Tài liệu Tập học phần tử hữu hạn

Tập bài giảng Môn học PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TS. Lê Đình Hồng (Tel. 0903 994436) [email protected] TS. Nguyễn Võ Trọng (Tel. 0913 471608) [email protected] BM. Kỹ thuật Tài nguyên nước Khoa Kỹ thuật Xây dựng Đại học Bách khoa Tp. HCM 1.2015 Nội dung môn học 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp số dư gia trọng Lý thuyết đàn hồi (tự ôn tập) Phần tử thanh (tự ôn tập) Hàm nội suy Bài toán phẳng và khối Bài toán bản, vỏ Sơ lược về bài toán động lực học và phương pháp phần tử hữu hạn 9. Bài toán thấm (phương pháp số dư gia trọng) 10. Một vài kỹ thuật mô hình hóa trong phần tử hữu hạn Tài li u tham kh o Fundamentals of Finite Element Analysis, David V. Hutton, McGraw Hill, 2004. Finite Element Analysis, S.S. Bhavikatti, New Age International Publishers, 2005. t s sách khác s n có trong Th vi n H Bách khoa Tp. H Chí Minh, ch ng h n: A First Course in the Finite Element Method, Dary L. Logan, Brooks/Cole, 2002. Finite Element Analysis – Theory and Application with Ansys, Saeed Moaveni, Pearson Education, 2003. … Trong quá trình h c: Th c hi n m t s tính toán minh h a s d ng ph n m Sap2000, … Khuy n khích H c viên t v n (lý thuy t, th c , …) t t c cùng tham gia gi i quy t. ánh giá môn h c: Bài t p v nhà ( u ki n m thi 5 c tính trong m t ng k t): t l 30 % Thi cu i h c k : t l 70 % --------------------------------------------------------------------------ng: 100 % Ch ng 1 NG QUAN V PH NG PHÁP PH N T H U H N 1.1 M U Hi n t ng v t lý (t a nhi t trong bê tông, bi n d ng / dao ng c a công trình, th m qua ho c d i công trình, …) mô t b ng ph ng trình o hàm riêng i gi i v n d ng k t qu vào th c t ho c ki m tra công trình ã xây d ng. Ph ng trình o hàm riêng ch o: n gi n (ph ng trình, mi n tính toán và u ki n biên) l i gi i chính xác (t c l i gi i gi i tích). Ph c t p l i gi i x p x (hay l i gi i s ): Ph ng pháp sai phân h u h n: trong ph ng trình vi phân ch th b ng bi u th c sai phân h i s tuy n tính l i gi i t i m c. o hàm riêng o c thay ph ng trình ts mr i Ph ng pháp bi n phân: Rayleigh-Ritz, Galerkin, bình ph ng t i thi u. L u ý: không ph i m i bài toán u có th c vi t d i d ng bi n phân. Ph ng pháp ph n t h u h n: có th áp d ng cho m i lo i bài toán khoa h c và k thu t. 1.2 PH NG PHÁP SAI PHÂN H U H N Khai tri n Taylor c a u(xo+ x, yo) quanh u x0 x , y0 u x0 , y0 n 1 x u xn x0 1 0 n 1 n u xn n 1! x0 u x x0 x n! n x (1.1) h ng cu i cùng = s d . 2 u x2 0 m u(xo, yo) x 2! 2 ... Bi u th c sai phân ti n: u x x, y0 u x0 , y0 x u x0 x0 , y0 ui ui , j 1, j 2 u x x 2 0 2! ... (1.2) x x ( x) = sai s c t b l n nh t t l v i x. Khai tri n Taylor c a u(xo– x, yo) quanh u x0 x , y0 3 u x3 0 u x0 , y0 x 3! u x x0 3 2 u x2 0 m u(xo, yo) x 2! 2 (1.3) ... Bi u th c sai phân lùi: u x i, j ui , j ui x 1, j x (1.4) (1.1) (1.3) u x i, j bi u th c sai phân trung tâm ui 1, j u x2 i, j 1, j x 2 x (1.1) + (1.3) 2 ui (1.5) 2 bi u th c x p x c a ui 1, j 2ui , j x ui 2 1, j o hàm b c hai x 2 (1.6) Ý ngh a c a bi u th c sai phân: d c ng ti p tuy n t i P (df/dx) c x p x b ng d c ng cát tuy n: AP (lùi); BP (ti n) ho c AB (trung tâm) ng trình x Ví d : gi i ph d2y dx biên y(1) = 1; y(2) = 2 b ng ph x = 0,25. 2 y 0v i u ki n ng pháp sai phân v i Ph ng trình sai phân cho nút i b t k : y 2 yi yi 1 xi i 1 yi 0 2 x Ph ng trình sai phân cho các nút 2, 3 và 4: i 2: i 3: i 4: y1 2 y2 y3 0,252 y 2 y3 y 4 1,50 2 0,252 y 2 y 4 y5 1,75 3 0,252 1,25 y2 0 y3 0 y4 0 u ki n biên y1 = y(x = 1) = 1 và y2 = y(x = 2) = 2 gi i h 3 ph ng trình 3 n s l i gi i c n tìm. 1.3 M T S NG D NG C A PH PH N T H U H N Bài toán th m qua p t: NG PHÁP Bài toán t a nhi t theo th i gian trong p bê tông Bài toán ng su t – bi n d ng Mô ph ng m t máy bay chi n u Bài toán dao 1.4 U ng do M C A PH ng t, t i thay gian, i theo th i NG PHÁP PH N T H U N dàng mô ph ng k t c u có hình d ng b t k ho c c u t o g m nhi u lo i v t li u khác nhau; lý biên; c t t c các lo i t i tr ng và u ki n Có th thay i kích th c ph n t n i t p trung ng su t dùng ph n t có kích th c nh , các n i khác dùng ph n t kích th c l n h n; dàng mô ph ng bài toán c l n phi tuy n v t li u. ng và phi tuy n hình 1.5 S C N THI T C A VI C NGHIÊN C U PH NG PHÁP PH N T H U H N i v i các bài toán th c t c n dùng các ph n m m th ng m i gi i, có th s d ng ph n m m m t cách úng n, c n hi u rõ các m sau: Lo i bài toán àn h i nào phù h p cho bài toán quan tâm; Lo i ph n t nào phù h p cho bài toán và h n ch a lo i ph n t h u h n c s d ng; i r c hóa mi n tính toán nh th nào có c t qu t t; u ki n biên thích h p cho bài toán; Cách bi u th k t qu c a bài toán có tính minh a cao; Các khó kh n trong vi c phát tri n ph n m m c n thi t ph i ki m tra k t qu tính toán t ph n m m. Ng i s d ng ph n m m c n có hi u bi t v s ng x k t c u c a bài toán d dàng ki m tra tính h p lý c a k t qu tính toán tin t ng vào t qu v n d ng vào th c t . Các sai l m th Nh p sai d th c, …). ng g p trong khi s d ng ph n m m: li u u vào (tính ch t v t lý, kích Ch n lo i ph n t không thích h p c n n m ng ph m vi áp d ng và u nh c m c a t ng lo i ph n t . Ch n lo i bài toán không phù h p c n phân bi t các lo i bài toán (lý thuy t àn h i). Hình d ng ph n t và l i ph n t không h p lý có nh h ng n chính xác c a k t qu tính toán. Gán t i và u ki n biên không úng. Ch PH NG PHÁP S ng 2 D GIA TR NG 2.1 CÁC LO I BÀI TOÁN Bài toán cân b ng (giá tr trong m t mi n kín tho ch ng h n bài toán t nh h trình ph n t h u h n ch A X i u ki n biên là b biên): tìm l i gi i X u ki n biên cho s n c công trình. Ph ng o có d ng: (2.1) B X g (2.2) Bài toán giá tr riêng (eigenvalue): tìm t n s t nhiên và hình d ng mode X , ch ng h n i v i bài toán dao ng trong k t c u. Ph ng trình ph n t h u h n ch o có d ng: A X i (2.3) B X u ki n biên là C X (2.4) g Bài toán lan truy n (propagation - giá tr ban u và giá tr biên): l i gi i trong m t mi n h th a mãn các u ki n ban u và u ki n biên cho n, ch ng h n i v i bài toán dao ng trong k t u, bài toán t a nhi t. L i gi i ph i c tính toán xu t phát t giá tr ban u cho s n trong khi ph i th a các u ki n biên. Ph ng trình ph n t h u h n ch d2X A dt 2 B dX dt C X F X ,t , t o có d ng: 0 (2.5) i u ki n biên là D X và g, t u ki n ban X X0, t (2.6) 0 u là 0 (2.7) dX Y0 , t 0 dt [A], [B], [C] và [D] là các ma tr n vuông mà h s a chúng ã bi t; X là vect n s ch a bi t; b , g , X 0 , Y0 là các vect h ng s ã bi t; là giá tr riêng; t là bi n th i gian; và F là vect hàm s c a X và t. 2.2 PH NG PHÁP S thu t x p x D GIA TR NG gi i bài toán giá tr biên b ng cách d ng hàm th th a u ki n biên và thi t l p bài toán d ng tích phân c c ti u sai s , theo ý ngh a trung bình trên toàn mi n tính toán. Ví d ph ng trình vi phân có d ng D y x ,x 0 a x b (2.8) u ki n biên y a y b i gi i theo ph (2.9) 0 ng pháp s d gia tr ng có d ng: n y x (2.10) ci N i x i 1 ci = h s c n xác Ni(x) = hàm th nh; c ch n s n, sao cho liên t c trên toàn mi n: và th a t t c các Thay (2.10) vào (2.8) R x u ki n biên. s d D y x ,x 0 Ph ng pháp s d gia tr ng yêu c u ci n ph ng trình n n s sau b a wi x R x dx 0 i 1,2,..., n (2.11) c tính t h (2.12) wi = hàm gia tr ng b t k , ch n s n. i gi i là chính xác t i biên (t yêu c u i v i hàm th ) nh ng có sai s t i các v trí bên trong mi n tính toán. Ph ng trình mô t thanh có b dày t và b r ng w thay i ch u kéo d c tr c (không xét tr ng l ng b n thân) là du (2.13) A y E P 0 dy và u ki n biên là u 0 0 (2.14) Ch n l i gi i gi thi t th a u y hàm sai s du dy A y w2 (2.15) c1 y c2 y 2 c3 y 3 Thay (2.15) vào (2.13) w1 u ki n biên u(0) = 0 w1 L y t E c1 2c2 y 3c3 y 2 P R (2.16) Cho w1 = 2; w2 = 1; t = 0,125; L = 10; E = 10,4 106; P = 1000 R/E 0,25 0,0125 y c1 2c2 y 3c3 y 2 96,154 10 6 (2.17) Ph ng pháp ch n m (collocation) Hàm sai s b c ng b c b ng zero t i 3 m, ch ng n t i y = L/3; = 2L/3 và L. Thay vào (2.17) h 3 ph ng trình 3 n s R L/3 0; R 2L / 3 0; R L 0 (2.18) gi i c1, c2 và c3 thay vào (2.15) 423,0776 10 6 y 21,65 10 u Ph 15 y 2 1,153848 10 6 y 3 (2.19) ng pháp mi n con (subdomain) Tích phân c a hàm sai s b c mi n con, ch ng h n: mi n 1 t y = 0 n y = L/3; mi n 2 t y = L/3 n y = 2L/3; và mi n 3 t y = 2L/3 (2.17) L /3 0 Rdy gi i u h 3 ph 0; 2 L /3 L /3 c1, c2 và c3 ng b c b ng zero t i 3 n y = L. ng trình 3 n s Rdy 0; L 2 L /3 Rdy 0 (2.20) thay vào (2.15) 391,35088 10 6 y 6,075 10 6 y 2 809,61092 10 9 y 3 (2.21) Ph ng pháp bình ph ng c c ti u Yêu c u min L 0 R 2 dy (2.22) 0 R = hàm c a 3 n s c1, c2 và c3 u ki n c c ti u L R R dy 0 i 1,2,3 (2.23) 0 ci L 0 R R dy c1 0; L 0 R R dy c2 h 3 ph ng trình 3 n s thay vào (2.15) u Ph 0; L 0 R gi i R dy c31 0 (2.24) c1, c2 và c3 389,733 10 6 y 6,442 10 6 y 2 0,789 10 6 y 3 (2.25) ng pháp Galerkin Yêu c u hàm sai s tr c giao v i hàm gia tr ng i tích phân i ng