MỤC LỤC
CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI ...... 5
1.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai .................................. 5
1.1.1. Nghiệm của phương trình bậc hai .............................................. 5
1.1.2. Định lý Vi - ét ........................................................................... 7
1.2. Bài toán dấu của tam thức bậc hai ..................................................... 8
1.2.1. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai ................................ 8
1.2.2. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai ................................. 10
1.3. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số và biện luận
phương trình bậc hai ............................................................................... 11
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC
BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA THAM SỐ ..................................................................................... 15
2.1. Hệ phương trình hỗn hợp và phương trình chứa dấu
giá trị tuyệt đối. ....................................................................................... 15
2.1.1. Hệ phương trình hỗn hợp .......................................................... 15
2.1.2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................... 16
2.2. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận
bất phương trình ...................................................................................... 18
2.3. Phương trình vô tỷ và phương trình bậc cao.................................... 23
2.3.1. Phương trình vô tỷ..................................................................... 23
2.3.2. Phương trình bậc cao................................................................ 26
2.4. Phương trình mũ và phương trình lôgarit ........................................ 31
2.4.1. Phương trình mũ ....................................................................... 31
2.4.2. Phương trình lôgarit ................................................................. 33
2.5. Một số phương trình lượng giác....................................................... 35
1
2.6. Một số sai lầm của học sinh khi sử dụng định lý đảo về dấu của tam
thức bậc hai ............................................................................................. 37
CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM
THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ PHỤ THUỘC
THAM SỐ .................................................................................................. 39
3.1. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số ................................ 39
3.2. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên một miền.................... 40
3.2.1. Hàm số bậc 3: ........................................................................... 41
3.2.2 Hàm phân thức:.......................................................................... 43
3.3. Cực trị và dạng đồ thị của hàm số .................................................... 44
3.4. Xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất thỏa mãn điều kiện cho trước .......................................................... 46
3.5. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng........ 48
3.6. Giao điểm của đường thẳng với hàm số bậc bốn và với các nhánh
của hypebol ............................................................................................. 52
3.6.1. Giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm bậc 4.................... 52
3.6.2. Giao điểm của đường thẳng với nhánh của hypebol ................ 53
CHƯƠNG IV: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM
THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ
BÀI TOÁN HÌNH HỌC ........................................................................... 55
4.1. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc chứng
minh bất đẳng thức. ................................................................................. 55
4.2. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc giải
các bài toán hình học. .............................................................................. 57
KẾT LUẬN ................................................................................................ 59
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ......... Error! Bookmark not
defined.
2
Thang Long University Libraty
MỞ ĐẦU
Trong chương trình môn toán ở trường phổ thông trung học có một
chương trong sách đại số lớp 10 viết về tam thức bậc hai. Các kết quả của
nó đã được đề cập và ứng dụng nhiều liên quan đến giải và biện luận
phương trình, bất phương trình, khảo sát hàm số…. Là một giáo viên đang
giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, tôi muốn đi sâu tìm hiểu và nghiên
cứu kỹ vấn đề này để công việc giảng dạy môn toán nói chung và giảng dạy
môn đại số nói riêng của bản thân tôi được tốt hơn. Xuất phát từ lý do trên
trong luận văn này tôi chọn đề tài “ Tam thức bậc hai và một số ứng
dụng”.
Nội dung luận văn gồm các phần sau:
Chương I. Một số dạng toán về tam thức bậc hai. Trong chương
này, tôi hệ thống hóa lại một cách ngắn gọn về các dạng toán như các
phương pháp giải phương trình bậc hai, so sánh nghiệm của tam thức bậc
hai với các số đã cho.
Chương II. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vào
việc giải phương trình, bất phương trình. Trong chương này chúng tôi
nêu lên một số ứng dụng trực tiếp định lý đảo của tam thức bậc hai và các
bài toán áp dụng gián tiếp định lý trên. Đó là giải hệ phương trình hỗn hợp
và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải phương trình vô tỷ và
phương trình bậc cao, giải phương trình mũ và phương trình lôgarit, giải
một số phương trình lượng giác, dấu của tam thức bậc hai trên một miền và
bài toán giải biện luận bất phương trình, một số sai lầm của học sinh khi sử
dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai .
Chương III. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
vào việc khảo sát hàm số. Tôi sử dụng định lý đảo của tam thức bậc hai
vào một số bài toán về khảo sát hàm số và đồ thị như: hàm số đồng biến,
hàm số nghịch biến trên một miền, cực trị và dạng đồ thị của hàm số, xác
định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn
điều kiện cho trước,…
3
Chương IV. Ứng dụng định lý đảo về tam thức bậc hai vào việc
chứng minh bất đẳng thức và bài toán hình học. Trong chương này tôi
trình bày về những ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong
việc chứng minh bất đẳng thức và một số bài toán hình học.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long với
sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Bùi Huy Hiền. Cuối cùng tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của Thầy.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin, Phòng sau
đại học trường đại học Thăng Long đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi
hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kinh nghiệm và thời gian có hạn,
nên bản luận văn này không thể tránh khỏi thiếu sót, tôi mong sự đóng góp
ý kiến của các Thầy Cô và độc giả.
Hải Phòng, ngày 8 tháng 7 năm 2015
Người thực hiện
Ngô Kim Trang
4
Thang Long University Libraty
CHƯƠNG I
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI
1.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai
1.1.1. Nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a, b, c
f( x) x 2
và a 0).
b
c
x
a
a
2
b
b2 c
x
2a 4a 2 a
b b 2 4ac
x
.
2a
4a 2
2
Đặt = b 2 – 4ac, ta có:
* Nếu < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
* Nếu = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x
b
.
2a
* Nếu 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, 2
b
.
2a
Để ý thấy rằng nếu ac < 0 thì 0 khi đó tam thức bậc hai luôn
có hai nghiệm phân biệt.
b ' '
Nếu b là số chẵn, b = 2b thì x1,2
với
a
'
' b ' 2 ac, 4 ' .
Ví dụ 1.1. Giải và biện luận theo tham số m phương trình sau
(m-1)x 2 - 2(m-3)x + m - 1 = 0
(1.1)
Lời giải.
a) Nếu m = 1 thì (1.1) trở thành phương trình bậc nhất 4x = 0 có
nghiệm là x = 0.
b) Nếu m 1 0 m 1 ta có phương trình bậc hai với
' (m 3)2 (m 1)2 4(m 2) .
Nếu ' 0 4(m 2) 0 m >2 : Phương trình (1.1) vô nghiệm.
5
Nếu ' 0 4(m 2) 0 m 2 : Phương trình (1.1) có nghiệm
kép x1,2
m3
1 .
m 1
Nếu ' 0 4(m 2) 0 m 2 : Phương trình (1.1) có hai nghiệm
phân biệt: x1
m3 2 2 m
m3 2 2 m
.
; x2
m 1
m 1
Kết luận:
m = 1: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
m>2: Phương trình vô nghiệm.
m = 2: Phương trình có nghiệm kép x1, 2 1 .
m<2 và m 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1
m3 2 2 m
m3 2 2 m
.
; x2
m 1
m 1
Ví dụ 1.2. Chứng minh rằng phương trình:
(x + 1) (x + 3) + m ( x + 2)( x + 4) = 0 (1.2)
luôn có nghiệm thực m .
Lời giải.
Ta có (1.2) x 4 x 3 mx 6mx 8m 0
2
2
(m 1) x 2 2(3m 2) x 8m 3 0 .
*) Nếu m + 1= 0 m = -1 phương trình thành – 2x – 5 = 0 phương
5
trình có 1 nghiệm x=
.
2
*) Nếu m + 1 0 m 1 phương trình (1.2) là phương trình bậc hai có:
' = (3m + 2)2 - (m + 1) (8m + 3) = m2 + m + 1
2
1 3
= m 0 m 1
2 4
Phương trình (1.2) có hai nghiệm phân biệt m 1 .
Vậy phương trình (1.2) luôn có nghiệm m .
6
Thang Long University Libraty
1.1.2. Định lý Vi - ét
Nếu phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) có hai nghiệm
b
S x1 x2 a
x1 , x2 thì
P x .x c .
1 2
a
* Nhận xét:
+) x1 x2 0 x1 0 x2.
x x 0
+) 1 2
x1 x2 0
0 x1 x2 .
x x 0
+) 1 2
x1 x2 0.
x1 x2 0
Ngược lại, nếu hai số thực có tổng là S, có tích là P thì hai số
đó là nghiệm của phương trình X 2 SX P 0 (với S 2 4 P 0 ).
Ví dụ 1.3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 + 5x - 6 =0 (1.3)
1
1
Hãy thiết lập phương trình có các nghiệm là y1
.
, y2
x1 1
x2 1
Lời giải.
Do x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1.3) nên theo định lý Vi-et ta
có:
5
6
x1 x2 ;
x1.x2 3 .
2
2
1
1
S y1 y2
x1 1
x2 1
5
2
x1 x2 2
1
2
.
5
x1.x2 x1 x2 1
9
3
1
2
1
1
1
1
2
P y1. y2
.
.
9
x1 1 x2 1 x1.x2 x1 x2 1
9
2
1
2
Vậy y1 , y2 là nghiệm của phương trình X 2 X 0 .
9
9
Hay 9 X 2 X 2 0 , chính là phương trình cần lập.
7
Ví dụ 1.4.
Tìm m sao cho phương trình x2 (2m 1) x m2 1 0
(1.4)
có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1 2x2 .
Lời giải.
Phương trình (1.4) có nghiệm
0 (2m 1)2 4(m2 1) 0 4m 3 0 m
3
4
Theo hệ thức Vi-et ta có:
3x2 2m 1 (*)
x1 x2 2m 1
Do
nên
x
2x
1
2
2
2
x1.x2 m 1
x1.x2 m 1 (**)
Từ (*) ta có x2
2(2m 1)
2m 1
, x1
thay vào (**) ta được:
3
3
2m 2
2
2
2
2
2
2
m 1 2(2m 1) 9m 9 8m 8m 2 9m 9
3
m 1
m2 8m 7 0
m 7.
2
Kết hợp điều kiện m
3
ta có m = 1 hoặc m = 7.
4
Chú ý. Khi giải một phương trình bậc hai có chứa tham số, để tìm
điều kiện của tham số thoả mãn yêu cầu về các nghiệm thì ta phải lưu
ý đến điều kiện có nghiệm của phương trình.
1.2. Bài toán dấu của tam thức bậc hai
1.2.1. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f ( x) ax2 bx c, a 0, b2 4ac.
Nếu 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x
Nếu 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, x0
.
b
b
tại x0 , f ( x0 ) 0 .
2a
2a
Nếu 0 thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 ( x1 x2 )
Khi đó f(x) cùng dấu với a với mọi x x1; x2 và trái dấu với a với
mọi x ( x1; x2 ) .
Như vậy: a. f ( ) 0 0
x1 x2
( ) .
Trong các trường hợp khác thì a. f ( ) 0 .
8
Thang Long University Libraty
Ví dụ 1.5. Giải bất phương trình 5x2 4 x 12 0
(1.5)
Lời giải.
Tam thức ở vế trái có ' 64 0 , do đó nó có hai nghiệm phân biệt
2 8
2 8
6
x1
2; x2
.
5
5
5
Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a = -5 < 0 nên tập hợp
6
5
nghiệm của bất phương trình (7) là (; ) (2;) .
Ví dụ 1.6. Với những giá trị nào của m thì bất phương trình sau có
nghiệm (m 1) x 2 2mx (m 3) 0
(1.6)
Lời giải.
* TH1: m = -1 bất phương trình đã cho trở thành 2x + 4 <0 vậy nó có
nghiệm x 2 .
* TH2: m 1 vế trái là tam thức bậc 2 có
m2 m 1 m 3 2m 2 2m 3 .
0 2m 2 2m 3 0 m
1 7
.
2
a 0 m 1 0 m 1.
Ta có bảng sau:
m
a
1 7
2
-1
-
0
+
+
+
1 7
2
+
0
+
_
0
+
a 0
+) Khi m 1 thì
suy ra bất phương trình có nghiệm
0
S ; x1 x2 ; .
+) Khi 1 m
a 0
1 7
thì
suy ra bất phương trình có nghiệm
2
0
S x1; x2 .
a 0
1 7
1 7
m
thì
suy ra f x 0 x
2
2
0
phương trình cho vô nghiệm.
+) Khi
9
nên bất
+) Khi m
a 0
1 7
thì
suy ra bất phương trình có nghiệm
2
0
S x1; x2 .
1 7 1 7
; thì bất phương trình đã
Vậy m ;
2 2
cho có nghiệm.
Chú ý. Ta có thể giải bài toán bằng cách tìm điều kiện để bất phương
trình vô nghiệm. Tức tìm điều kiện để m 1 x 2 2mx m 3 0 x .
Những giá trị của m còn lại sẽ làm cho bất phương trình có nghiệm.
1.2.2. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 bx c (a 0) và một số thực .
- Nếu a.f() < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < < x2 .
- Nếu a.f() > 0 thì f(x) có thể có nghiệm hoặc không. Trong trường
hợp có nghiệm x1 x2 thì (-; x1) (x2; + ) .
Hệ quả 1.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a 0) và một số thực . Khi đó,
a.f() < 0 khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 0
Vị trí nghiệm
x1 < x2
x1 x2 <
s
2
s
2
< x1 x2
Với S là tổng hai nghiệm.
Chú ý.
- Trong các bài toán hệ số a có chứa tham số cần xét riêng trường
hợp suy biến a = 0.
- Nếu a 0 và a.f(x) = 0 thì là một nghiệm của f(x) còn nghiệm
thứ hai tùy thuộc vào các yếu tố khác. Ta phải xét để biết được vị trí
nghiệm còn lại đó.
Nhận xét.
- Muốn lập bảng xét dấu như trên cần phải tính tiếp được các đại
s
lượng cần thiết như , a.f(), và xét dấu của chúng theo các mốc
2
tương ứng. Những mốc này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
- Học sinh thường gặp phải những dạng bài toán phải suy luận, biến
đổi để đưa về dạng bài toán so sánh như trên. Ngoài ra, cũng hay gặp phải
những bài toán có dạng là so sánh hai số , ( < ) với các nghiệm của
tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Gọi x1, x2 là hai nghiệm của f(x) thì:
0
) x1 x2 a. f ( ) 0
s
2
a. f ( ) 0
) x1 x2
a. f ( ) 0
a. f ( ) 0
) x1 x2
a. f ( ) 0
a. f ( ) 0
) x1 x2
a. f ( ) 0
12
Thang Long University Libraty
a. f ( ) 0
) x1 x2 0
s
2
0
a.f () 0
+) x1 x 2 a.f () 0
s
2
Ví dụ 1.9. Tìm m để hệ sau có nghiệm:
2
3x 4mx 4 0
x 1
(1.9.1)
(1.9)
(1.9.2)
Lời giải.
(Dùng phương pháp gián tiếp)
Trước hết ta tìm điều kiện để hệ trên vô nghiệm tức là hệ
3x 2 4mx 4 0
x 1
(1.9.1)
(1.9.2)
(*)
vô nghiệm.
Vì f(0) = - 4 < 0 nên với mọi m của phương trình (1.9.1) luôn có hai
nghiệm trái dấu. Do đó hệ (*) vô nghiệm khi và chỉ khi hai nghiệm x1, x2
a.f (1) 0
1
m .
của (1.9.1) thỏa mãn điều kiện: x1 1 1 x 2
4
a.f (1) 0
1
Từ đó suy ra hệ đã cho có nghiệm khi m .
4
Ví dụ 1.10. Cho phương trình m 1 x 2 2 m 1 x 3(m 2) 0 (1.10)
Với giá trị nào của m:
a. Phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( - 1; 1 ).
b. Nghiệm lớn của phương trình thuộc khoảng ( - 2; 1 ).
13
Lời giải.
a. Xét hai trường hợp:
* Với m = 1, ta được – 4x + 3 = 0 x =
3
( - 1 ; 1).
4
* Với m 1, điều kiện là phương trình đã cho có:
Nghiệm kép thuộc (-1 ; 1)
(1.10.1)
x 1 x2 1
hoặc 1
, thử lại ‘‘ = ’’.
1
x
1
x
1
2
(1.10.2)
Giải (1.10.1), ta được :
(m 1)2 3(m 2)(m 1) 0 4m2 7m 7 0
0
m 1
b
m 1
(1; 1)
(1; 1)
1
1
2a
m 1
m 1
vô nghiệm.
Giải (1.10.2), ta được :
3
f(- 1).f(1) 0 7( - 4m +3) 0 m .
4
Thử lại với m =
3
, ta được x2 + 14x – 15 = 0 x = 1 hoặc x = - 15, tức là
4
không thỏa mãn điều kiện đề bài.
b. Để nghiệm của phương trình thuộc khoảng ( – 2 ; 1) điều kiện
là x1 2 x2 1, dấu bằng cần thử lại
6
m 1
af (2) 0 5
3
m 1.
4
af (1) 0
3 m 1
4
Vậy với
3
m 1, thỏa mãn điều kiện đề bài.
4
14
Thang Long University Libraty
CHƯƠNG II
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC
BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
2.1. Hệ phương trình hỗn hợp và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt
đối.
2.1.1. Hệ phương trình hỗn hợp
Hệ gồm một phương trình bậc hai và một bất phương trình một ẩn có
ax 2 bx c 0
dạng
f x 0.
Cách giải: Các phương pháp thường được sử dụng là :
- Sử dụng định nghĩa.
- Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Phương pháp đồ thị.
- Phương pháp điều kiện cần và đủ.
Ví dụ 2.1.
Giải và biện luận theo tham số m hệ
x 2 3x 2 m
2
x 2 x 0
(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1)
Lời giải.
(2.1.1) f(x) = x 2 3x 2 m 0 .
(2.1.2) 0 x 2 .
Ta tiến hành so sánh nghiệm của f(x) với 0 và 2 bằng cách lập bảng so
sánh nghiệm. Phương trình (1) có = 9 - 4( 2 – m ) = 1 + 4m.
a.f (0) = 2 - m.
a.f (2) = - m.
15
s
3
s
1
0 0; 2 0 .
2
2
2
2
m
a.f(0) a.f(2)
s
0
2
s
2
2
Kết luận
+
-
Vô nghiệm
-
1
4
+
+
0 x1 x2
0
+
+
+
+
0 x1 x2 2
-
0 1 x1 x2 2
0
0
+
2
+
-
+
0 x1 2 x2
-
0 x1 2 x2
0
+
-
3
2
2
-
+
x1 0 2 x2
-
+
Căn cứ vào bảng xét dấu ta có kết luận sau:
- Nếu m
1
và m > 2 thì hệ vô nghiệm.
4
- Nếu m
1
3
thì hệ có nghiệm x .
2
4
3 1 4m
1
- Nếu m 0 thì hệ có hai nghiệm phân biệt x1
;
2
4
x2
3 1 4m
.
2
- Nếu 0 m 2 thì hệ có một nghiệm x1
3 1 4m
.
2
2.1.2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Với các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, có thể được chuyển
về phương trình bậc hai bằng một trong các cách sau:
Cách 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương.
16
Thang Long University Libraty
g x 0
Với dạng: f x g x 2
2
f x g x .
Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 2.2. Giải và biện luận phương trình x 2 3x 5 m x 2 3x 2 (2.2)
Lời giải.
2
2
2
2
( x 3x 5 m) ( x 3x 2)
(2.2) 2
x 3x 2 0
2(3 m) x 2 6(3 m) x (5 m) 2 4 0
x 2
x 1
2.2.1
Đặt f(x) = 2 ( 3 – m ) x2 + 6( 3 – m ) x + ( 5 – m )2 – 4.
(2.2.2)
Ta so sánh các nghiệm của f(x) với hai số - 2 và – 1 ta có:
f(-2) = 2( 3 - m) 4 – 12( 3 - m) + (5 - m)2 – 4
= m2 - 6m + 9 = (m-3)2 > 0 m 3.
f(-1) = 2(3 – m ) – 6( 3 – m ) + ( 5 – m )2 – 4
= m2 - 6m + 9 = (m - 3)2 > 0 m 3.
s
1
1
0
2
2
m 3 .
s
1
2 0
2
2
m 3 .
* Với m = 3 thì f(x) = 0 x thì phương trình có nghiệm với
x ; 2 1; .
* Với m 3 ta có:
= (3 - m) (9(3 - m) - 2(5 - m)2 + 8) = ( m - 3)2( 2m – 5 )
5
suy ra phương trình (2.2.2) vô
2
nghiệm nên phương trình (2.2.1) vô nghiệm.
+) < 0 2m – 5 < 0 m
17
+) = 0 2m – 5 = 0 m =
nghiệm kép x1 x2
5
suy ra phương trình (2.2.2) có
2
3
( loại ).
2
5
m
+) > 0
2 thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 .
m 3
a.f 1 0
a.f 2 0
5
. < m < 3 a > 0 s 1 0 - 2 < x1 < x2 <-1 (loại).
2
2
s
2 0
2
af 1 0
.m>3 a<0
x1 < - 2 < -1< x2 (thỏa mãn).
af
(
2)
0
Vậy: . m < 3 phương trình vô nghiệm.
. m = 3 phương trình có vô số nghiệm x ; 2 1; .
. m > 3 phương trình có hai nghiệm.
2.2. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận
bất phương trình
Dấu của tam thức bậc hai trên một miền là một vấn đề quan trọng
của các bài toán về bất phương trình bậc hai, mà đặc biệt là bài toán có
tham số.
Dưới đây là các dạng bài toán thường gặp:
Dạng 1. Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax2 + bx + c (a 0) tìm điều kiện để
f ( x) > 0 (f x < 0) với mọi x.
Lời giải
a 0
0
+) f x > 0 x R
18
Thang Long University Libraty
a 0
0
+) f x < 0 x R
Dạng 2. Cho tam thức bậc hai f x = ax2 + bx + c ( a 0) tìm điều kiện để
f x > 0 (f x < 0) với mọi x > .
Lời giải.
+) Với a = 0 làm trực tiếp.
+) Với a > 0, f x có đồ thị là parabol quay về lõm lên trên nên f x > 0
x ( ; )
0
0
x1 x2 .
+) Với a < 0, f x có đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới nên f x >
0 nếu chỉ có nghiệm x (x1 ; x2). Bởi vậy không thể xảy ra f x > 0
x ( ; ) .
Ví dụ 2.3.
Cho bất phương trình f x = (a - 1)x2 + (2a + 3) x + a -3 > 0
(2.3)
1. Tìm a để (2.3) có nghiệm.
2. Với giá trị nào của a thì (2.3) có nghiệm đúng x 1 .
Lời giải.
1. (Dùng phương pháp gián tiếp)
Ta tiến hành tìm a để (2.3) vô nghiệm. Điều này tương đương với
tìm a để f x 0 có nghiệm x R .
a 1
a 1 0
3
a
.
3
2
28
a
(2
a
3)
4(
a
1)(
a
3)
0
28
Vậy với a >
3
thì (2.3) có nghiệm.
28
19
2.
5
+) Nếu a = 1 thì (1) có dạng 5 x – 2 > 0 x > . Vậy a = 1 thỏa mãn.
2
+) Nếu a > 1 thì f x có đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên nên
0
28a 3 0
f (x) 0 x x 1 0
28a 3 0
x 1 x 2 1 f (1)(a 1) (a 1)(4a 1) 0
3 2a
1
2(a 1)
3
a 28
a 3
28
3
a
a 1
28
1
a 1
a
4
a 1
1
a
4
Kết hợp với a 1 ta có a 1 .
Vậy a 1 là các giá trị cần tìm.
Dạng 3. Tìm điều kiện để bất phương trình f x = ax2 + bx + c > 0
(a 0) nghiệm đúng x ( , )
Lời giải.
+) a = 0 làm trực tiếp.
+) a > 0, f x có đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên nên
20
Thang Long University Libraty
- Xem thêm -