Tài liệu Tài liệu tự học toán 11 chí tiết dễ hiểu (lí thuyết và bài tập)

ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC LỚP 10 I. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn định hướng 2. Cung lượng giác và góc lượng giác 3. Đường tròn lượng giác 4. Số đo của cung và góc lượng giác 5. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG III. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hệ thức lượng giác cơ bản sin2 x  cos2 x  1 tan x  sin x cos x cot x  cos x sin x tan x.cot x  1 1  tan2 x  1 cos 2 x 1  cot 2 x  1 sin2 x sin4 x  cos 4 x  1  2sin2 x cos2 x sin6 x  cos6 x  1  3sin2 x cos2 x 2. Cung liên kết  : 2 Cung đối nhau: x và –x Cung phụ nhau:  x và  x 2 Cung hơn kém cos( x)  cos x  sin( x)   sin x  tan( x)   tan x cot( x)   cot x    sin   x   cos x   2    cos   x   sin x  2    tan    x   cot x 2         cot  2  x   tan x       sin   x   cos x   2    cos   x    sin x  2   tan    x    cot x 2         cot  2  x    tan x    Cung bù nhau: x và x Cung hơn kém  : sin(  x)  sin x  cos(  x)   cos x  tan(  x)   tan x cot(  x)   cot x tan(  x)  tan x  cot(  x)  cot x  sin(  x)   sin x cos(  x)   cos x x và  x 2 Đặc biệt x và   x sin(x  k2)  sin x (k  )  cos(x  k2)  cos x tan(x  k)  tanx (k  Z)  cot(x  k)  cot x 3. Công thức biến đổi Công thức cộng Công thức nhân đôi sin(a  b)  sinacos b  sinb cos a sin2a  2sinacos a sin(a  b)  sinacos b  sinb cos a cos 2a  cos2 a  sin2 a cos(a  b)  cos acos b  sinasinb cos(a  b)  cos acos b  sinasinb tan(a  b)  tana  tanb 1  tana.tanb = 2 cos2 a  1 = 1  2 sin2 a tan2a  2 tan a 1  tan2 a Công thức hạ bậc cos 2 a  1  cos 2a 2 sin2 a  1  cos 2a 2 tan2 a  1  cos 2a 1  cos 2a sina cos a  1 sin2a 2 tan(a  b)  tana  tanb 1  tana.tanb cot(a  b)  cot a.cot b  1 cot a  cot b cot(a  b)  cot a.cot b  1 cot b  cot a cot2a  Công thức biến đổi tổng thành tích cos a  cos b  2 cos ab ab cos 2 2 ab ab sina  sinb  2 sin cos 2 2 cos a  cos b  2 sin sina  sinb  2 cos cot 2 a  1 2 cot a Công thức biến đổi tích thành tổng cos acos b  1 cos(a  b)  cos(a  b)  2 sinasinb  1 cos(a  b)  cos(a  b)  2 sinacos b  1 sin(a  b)  sin(a  b)  2 ab ab sin 2 2 ab ab sin 2 2   Chú ý: sin a  cos a  2 sin  a   4   Ví dụ 1: Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các cung có số đo là: a) 2400 Ví dụ 2: Cho sina  b)  17 4 c) k (k  ) 2 4 ( 900  a  1800 ) . Tính cosa, tana. 5 Ví dụ 3: Tính sin150. Ví dụ 4: Chứng minh sin x cos3 x  sin3 x cos x  Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: sin 4x 4 cos x sin(x  y)  sin x cos(x  y)  3  cos  y    cos y 6 2  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. HÀM SỐ 1. Khái niệm hàm số Cho tập hợp D  R. Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x  D với một và chỉ một số thực y, số này phụ thuộc vào x, kí hiệu là f(x) 2. Một số tính chất của hàm số a. Hàm số chẵn, hàm số lẻ b. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến c. Hàm số tuần hoàn II. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số y = sinx Tập xác định: D=R Tập giá trị: [-1;1] Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì: T=2 Tính đồng biến, nghịch biến:   Hàm số đồng biến trên 0;   2   Hàm số nghịch biến trên  ;   2  2. Hàm số y = cosx Tập xác định: D=R Tập giá trị: [-1;1] Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = cosx là hàm số chẵn Tính tuần hoàn: Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì: T=2 Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên  ;0  Hàm số nghịch biến trên 0; 3. Hàm số y = tanx   \   k,k   2  Tập xác định: D Tập giá trị: (-;+) Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = tanx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì: T= Tính đồng biến, nghịch biến:    Hàm số đồng biến trên   ;   2 2 4. Hàm số y = cotx \ k,k   Tập xác định: D Tập giá trị: (-;+) Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = cotx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì: T= Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số nghịch biến trên  0;      Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số y  tan  2x   3 Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số y  1  2 cos x sin x Ví dụ 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y  f(x)  1  2 cos x sin x Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3sinx + 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. PHƯƠNG TRÌNH sinx = a a  1 Trường hợp 1:  a  1 Phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2: 1  a  1 sin x  a  s inx  sin   x    k2  k   x      k2   x  arcsina  k2 sinx  a    x    arcsina  k2 k   Chú ý: Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong cùng một phương trình. Ví dụ 1: Giải phương trình: sin x   Ví dụ 2: Giải phương trình: sin x  3 2 2 3 II. PHƯƠNG TRÌNH cosx = a a  1 Trường hợp 1:  a  1 Phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2: 1  a  1 cos x  a  cos x  cos   x    k2  k   x    k2  x  arccos a  k2 cosx  a    x   arccos a  k2  k   Chú ý: Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong cùng một phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình:  2  cos  2x    4 2    cos 2x  450  2 2 III. PHƯƠNG TRÌNH tanx = a tan x  a  tan x  tan   x    k (k  ) tan x  a  x  arctana  k (k  ) Chú ý: Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong cùng một phương trình. Ví dụ 4: Giải phương trình: tan  x  1  3 IV. PHƯƠNG TRÌNH cotx = a cot x  a  cot x  cot   x    k (k  ) cot x  a  x  arc cot a  k (k  ) Chú ý: Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong cùng một phương trình.   Ví dụ 5: Giải phương trình: cot   x    3 3  CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT u  v  k2 sinu  sin v   (k  ) u    v  k2 u  v  k2 cos u  cos v   (k  ) u   v  k2 Chú ý: cosx  0  x  sin x  0  x  k (k  )   k (k  ) 2 tanu  tan v  u  v  k k   (Điều kiện: cos u  0 hoặc cos v  0 ) cot u  cot v  u  v  k k   (Điều kiện: sinu  0 hoặc sin v  0 )  Ví dụ 6: Giải phương trình: sin2x  sin  x   Ví dụ 7: Giải phương trình: tan3 x  tanx  4  MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP (Phần 1) I. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 1. Định nghĩa Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at  b  0 trong đó a, b là các hằng số ( a  0 ) và t là một trong các hàm số lượng giác. 2. Phƣơng pháp Ta chuyển về phương trình lượng giác cơ bản at  b  0  t       b a Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 sin  x    1  0 3 Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 tan2x  3  0 II. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at2  bt  c  0 trong đó a, b, c là các hằng số ( a  0 ) và t là một trong các hàm số lượng giác. 2. Phƣơng pháp Đặt t là hàm số lượng giác trong phương trình, đặt điều kiện (nếu có).  1  sin x,cos x  1 Giải phương trình bậc 2 tìm t. Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản.   Ví dụ 3: Giải phương trình: tan2 x  1  3 tan x  3  0 III. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d trong đó a, b, c, d là các hằng số 2. Phƣơng pháp Trường hợp 1: cos x  0 Trường hợp 2: cos x  0 , chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x 2 2 Ví dụ 4: Giải phương trình: cos x  3 sin x cos x  2 sin x  1  0 2 2 Ví dụ 5: Giải phương trình: 2 sin 2x  3 sin 2x cos 2x  3 cos 2x  2 MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP (Phần 2) IV. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx 1. Định nghĩa Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có dạng asin x  b cos x  c ( trong đó a, b, c là các hằng số) 2. Phƣơng pháp giải a sin x  b cos x  c Nếu a2  b2  c2 thì phương trình vô nghiệm Nếu a2  b2  c2 thì phương trình có nghiệm a2  b2 Chia cả hai vế của phương trình cho a sin x  b cos x  c  Đặt cos   a 2 a b 2 a a2  b2 sin x  a  b2 2 a b cos x  c a2  b2 phương trình trở thành 2 c 2 a2  b2 b và sin   cos  sin x  sin  cos x  b c  sin(x  )  Giải phương trình lượng giác cơ bản sin(x  )  2 a  b2 c a2  b2 Ví dụ 1: Giải phương trình sin7x  3 cos 7x  2 Ví dụ 2: Giải phương trình 3sin x  4 cos x  5 2 V. PHƢƠNG TRÌNH DẠNG TỔNG-TÍCH CỦA sinx VÀ cosx 1. Định nghĩa Phương trình dạng tổng - tích của sinx và cosx là phương trình có dạng: a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 (trong đó a, b, c là các hằng số) 2. Phƣơng pháp giải   Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   4   t    t 2  sin2 x  cos 2 x  2 sin x cos x  sin x cos x  2; 2   t2  1 2  Thay vào phương trình, giải phương trình bậc hai tìm t Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản Ví dụ 3: Giải phương trình sin x  cos x  sin x cos x  1 VI. PHƢƠNG TRÌNH DẠNG HIỆU-TÍCH CỦA sinx VÀ cosx 1. Định nghĩa Phương trình dạng hiệu - tích của sinx và cosx là phương trình có dạng a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 (trong đó a, b, c là các hằng số) 2. Phƣơng pháp giải   Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   4   t    t 2  sin2 x  cos 2 x  2 sin x cos x  sin x cos x  2; 2   1  t2 2 Thay vào phương trình, giải phương trình bậc hai tìm t Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản Ví dụ 4: Giải phương trình sin x cos x  6(sin x  cos x  1)  MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC (phần 1) I. BIẾN ĐỔI PHƢƠNG TRÌNH ĐÃ CHO VỀ CÁC DẠNG CƠ BẢN 1. Phƣơng pháp Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đưa phương trình về các dạng cơ bản Chú ý: Ta nhận xét các cung trong các hàm số lượng giác của phương trình. Tìm cách biến đổi để đưa về cung giống nhau. 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình 4 cos 2x  2sin x  3  0 Ví dụ 2: Giải phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình Ví dụ 4: Giải phương trình Ví dụ 5: Giải phương trình sin4 x  cos 4 x  sin2x  3 0 2 3 cos 5x  2sin3x cos 2x  sin x  0 2(sin6 x  cos 6 x)  sin x cos x 2  2 sin x (1  2 sin x) cos x  3 (1  2 sin x)(1  sin x) 0 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC (phần 2) II. BIẾN ĐỔI PHƢƠNG TRÌNH ĐÃ CHO VỀ DẠNG TÍCH 1. Phƣơng pháp Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để làm xuất hiện các nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích.  f(x)  0  f(x).g(x).h(x)  0  g(x)  0 (f(x), g(x), h(x) là các biểu thức lượng giác) h(x)  0 2. Các biểu thức cần chú ý trong quá trình phân tích nhân tử sin2 x  (1  cos x)(1  cos x) 1  tan x  sin x  cos x cos x cos2 x  (1  sin x)(1  sin x)   sin x  cos x  2 sin  x   4  sin2x  2sin x cos x 1  cos 2x  2cos2 x cos 2x  (cos x  sin x)(cos x  sin x) 1  cos 2x  2sin2 x 1  sin2x  (sin x  cos x)2 1  cos 2x  sin2x  2cos x(sin x  cos x) 1  sin2x  (sin x  cos x)2 1  cos 2x  sin2x  2sin x(sin x  cos x) 3. Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sin2x  3cos x  0 Ví dụ 2: Giải phương trình sin x  sin2x  sin3x  0 Ví dụ 3: Giải phương trình sin x 1  cos x   1  cos x  cos2 x Ví dụ 4: Giải phương trình (1  2sin x)2 cos x  1  sin x  cos x Ví dụ 5: Giải phương trình 3 sin2x  cos 2x  2 cos x  1 ÔN TẬP CHƢƠNG 1 I. HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 1. Hàm số y = sinx Tập xác định: D=R Tập giá trị: [-1;1] Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì: T=2   Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên 0;   2   Hàm số nghịch biến trên  ;   2  2. Hàm số y = cosx Tập xác định: D=R Tập giá trị: [-1;1] Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = cosx là hàm số chẵn Tính tuần hoàn: Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì: T=2 Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên  ;0  Hàm số nghịch biến trên 0; 3. Hàm số y = tanx   \   k,k   2  Tập xác định: D Tập giá trị: (-;+) Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = tanx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì: T=    Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên   ;   2 2 4. Hàm số y = cotx \ k,k   Tập xác định: D Tập giá trị: (-;+) Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = cotx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì: T= Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số nghịch biến trên  0;  II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản 2. Phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp 3. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số: y  1  cos x 1  2 sin x Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2 sin2 x  3cos 2x  4     Ví dụ 3: Giải phương trình: sin  2x    cos x 3 Ví dụ 4: Giải phương trình: cos 2x  3 sin2x  2sin5x  Ví dụ 5: Giải phương trình: 1  tan x  2 2 sin  x    (Đề TSĐH A-2013) 4  QUI TẮC ĐẾM I. QUY TẮC CỘNG 1. Nội dung quy tắc Để thực hiện công việc A ta có các phương án (trường hợp) A1 ; A2 ; A3 ;...Ak Phương án A1 có n1 cách thực hiện Phương án A2 có n2 cách thực hiện … Phương án Ak có nk cách thực hiện Khi đó, số cách thực hiện công việc A là: n1  n2  ...  nk 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Trên giá sách có 12 quyển sách tiếng Việt, 7 quyển sách tiếng Anh, 6 quyển sách tiếng Pháp. Hỏi có bai nhiêu cách chọn một quyển sách? II. QUY TẮC NHÂN 1. Nội dung quy tắc Để thực hiện công việc A ta phải thực hiện các quá trình liên tiếp A1 ; A2 ; A3 ;...Ak Quá trình A1 có n1 cách thực hiện Quá trình A2 có n2 cách thực hiện … Quá trình Ak có nk cách thực hiện Khi đó, số cách thực hiện công việc A là: n1 .n2 ...nk 2. Các ví dụ Ví dụ 2: Từ nhà bạn An tới trường học có 3 con đường đi, từ trường học tới nhà Bình có 4 con đường đi. Hỏi nếu từ nhà An đến trường học, rồi từ trường học An qua nhà Bình chơi thì An có bao nhiêu cách đi? Ví dụ 3: Một đội văn nghệ có 8 bạn nữ và 6 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam – nữ? Ví dụ 4: Từ các chữ số 0, 1, 2,..., 9 ta có thể lập được bao nhiêu số: a) Gồm bốn chữ số. b) Gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một. c) Số chẵn có 4 chữ số. d) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau từng đôi một. HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP (phần 1) I. HOÁN VỊ 1. Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử (n  1) . Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó 2. Số các hoán vị Kí hiệu số các hoán vị của n phần tử là Pn . Khi đó ta có định lý: Pn  n.(n  1).(n  2)...3.2.1  n! Chú ý Ta kí hiệu: n.(n  1).(n  2)...3.2.1 là n! (đọc là n giai thừa) Quy ước: 0! = 1 3. Các ví dụ Ví dụ 1: Một nhóm bạn có 5 người vào rạp xem phim, ngồi vào 5 cái ghế liên tiếp. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn này? Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau? Ví dụ 3: Có 3 bạn nam, 4 bạn nữ ngồi vào một dãy ghế gồm 7 cái. Hỏi có bao nhiêu cách ngồi nếu: nam ngồi gần nhau? II. CHỈNH HỢP 1. Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử (n  1) . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 2. Số các chỉnh hợp Kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn (1  k  n) . Khi đó ta có định lý: Akn  n.(n  1).(n  2)...(n  k  1)  n! n  k  ! Chú ý : Mỗi chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử đó Ann  Pn 3. Các ví dụ Ví dụ 4: Một lớp học có 40 học sinh. Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập và một lớp phó kỷ luật. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn? Ví dụ 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từng đôi một? Ví dụ 6: Có 3 bạn nam, 4 bạn nữ xếp vào một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu: hai vị trí đầu hàng và vị trí cuối hàng là nữ? Ví dụ 7: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số: Gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và nhất thiết phải có số 1 và số 5? Gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và tổng các chữ số hàng trăm, hàng ngàn, hàng chục ngàn là 8.