Tài liệu Tài liệu ôn thi vào lớp 10 toán hay

Ôn tập toán lớp 9 NTVKN T1-9 CĂN BẬC HAI A. Kiến thức: 1. Định nghĩa căn bậc hai: - CBH của số a không âm là số x sao cho x2 = a - Số dương a có đúng hai CBH là hai số đối nhau: + Số dương : a ; + Số âm:  a - Số 0 có CBH là chính số 0, 0  0 2. Định nghĩa căn bậc hai số học. - Với số dương a, số a gọi là căn bậc hai số học của a. - Số 0 được gọi là căn bậc hai số học của 0. x  0 x a   2 x  a 3. So sánh các căn bậc hai số học. Với a > 0 và b > 0: a  b  B. Ví dụ: I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH X2 = A. X  0 Phương pháp: X  A   2 X  A Ví dụ 1: Tìm x biết x2 = 8. Giải : x =  8  2 2 II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH X  A VỚI X  0 a b Phương pháp: X  A  X  A2  X  A2 Ví dụ 2 : Tìm số x không âm : a) x  5  b) 2x  6  2x  36  2x  36  x  18 x  25  x  25 III. SO SÁNH: Phương pháp so sánh : Với a > 0 và b > 0 thì nếu a > b  > Ví dụ 3: So sánh: a) 15 và 4; b) 2 3 và 3 2 c) 2 5 và 6 d) 2 và 5 -2 Giải: 2 3  12   b) Ta có: 3 2  18   2 3  3 2  12  18  a) Ta có: 4 = 16  15 c) ta có: 6 = 2.3 = 2 9 > 2 5 (vì 9 > 5 ) d) 2 = 4 – 2 = 16 - 2 > 5 -2 (vì 16 > 5 ) C. Bài tập. Bài 1: Tính a) 0,25. 1 4 b) 1 100 .  16  9  4 2 Bài 2: Tìm số x không âm, biết: a) x  7 b) 3x  6 f) x 97   c) x4 g) 2 x  2  x  4 1 d) 5x  7 h) x  2 3 x  0   e) x 1  7 Ôn tập toán lớp 9 NTVKN Bài 3: SO SÁNH các giá trị chứa căn thức ( Không dùng máy tính ) a) 12 và 147 b) – 8 và  67 c) 2  3 và 5  3 d) 11 và 120 e) 17  10 và 7 f) 26  17 và 9 g) 8  24 và 65 h) 117  7 và 4 i) 4 5 và 12 k) 8 và 34  2 l) -3 7 và -9 m) -2 5 và -6 Bài 4: So sánh hai số sau: a. 5 và 3 3 b. 6 và 41 c. 7 và 47 d. 3 3 và 3 + 1 Bài 5: So sánh: a. 2 2 và 2 + 2 b. 2 5 và 5 - 5 Bài 6: So sánh: a. 2004 - 2003 và 2006 - 2005 b. 2 - 3 và 3 - 2 2 ……………………………………………………………… CĂN THỨC BẬC HAI A. Kiến thức : 1. Căn thức bậc hai : A một là biểu thức, ta gọi A là căn thức bậc hai. A có nghĩa khi A (xác định) A  0 . 2. 3. Hằng đẳng thức:  A nêu A  0 A2  A   .  A nêu A  0 B. Ví dụ: I. DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH Phương pháp tìm điều kiện: xác định khi A  0 Cần lưu ý xác định khi B  0. - Nếu A là nhị thức bậc nhất thì ta phải giải bất phương trình bậc nhất một ẩn. - Nếu A là đa thức bậc hai, Ta phải giải bất phương trình bậc hai. + Nếu A phân tích được thành nhân tử ta giải bất phương trình bằng xét dấu các nhị thức bậc nhất. . Trường hợp bất phương trình có dạng: x2  a , hoặc x2  a trong đó a là hằng số dương, ta có thể giải thích bằng cách: x  a 2 2 x  a x a    x a a x a  x a x   a + Nếu A không phân tích được thành nhân tử, ta sẽ chứng tỏ rằng A: . Luôn có giá trị dương (khi đó A có nghĩa với mọi x). . Hoặc luôn có giá trị âm (khi đó A không có nghĩa với mọi x) Ví dụ : Xác định giá trị của biến để biểu thức sau xác định: a) 2 x  4 có nghĩa ?. Giải : Ta có 2 x  4 có nghĩa khi 2 x  4  0  x  2 b) x 2  5 có nghĩa? Giải : Ta thấy x 2  0x nên x 2  5 có nghĩa với mọi x. 5 5 có nghĩa? Giải: có nghĩa khi : x – 3 > 0  x > 3 x 3 x 3 d) 1  4x 2 có nghĩa khi 1 – 4x 2  0 1 1 Cách 1: Ta có: 1 – 4x 2  0   1  2x   1  2x   0    x  2 2 1 1 1 1 2 0 x 2 x x Cách 2: 1  �� 4x 4 2 2 2 II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH = B 2 c) Ôn tập toán lớp 9 Phương pháp giải phương trình Ví dụ: Tìm x biết x  1  2 NTVKN =B x  1  0 x  1   x5 x  1  4 x  5 Giải : Ta có  III. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI THEO HẰNG ĐẲNG THỨC Phương pháp rút gọn đưa về dạng : = |A| B1: Xác định 2ab thuộc biểu thức của A B2: phân tích thành hằng đẳng thức với a + b = hệ số còn lại B3: đưa về dạng = | A | B4: so sánh 2 số a và b và bỏ trị tuyệt đối sao cho biểu thức A > 0 Ví dụ: Tính 1 3 Giải : Ta có :  2 42 3 ; 1 3  2  1 3  3 1 42 3    2 3 1  3 1  3 1 IV. PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Phương pháp: Áp dụng: A = Ví dụ: Phân tích thành nhân tử: a) x2 – 5; b) x – 3 Giải: a) x2 – 5 = x2 - x 2     5 2  A  với A  0 2 d) x2 - 2 3 x + 3 c) x + 2 x + 1    x  5 x  5 ; b) x  2 x  1    x 2  2 x.1  12   C. Bài tập. Bài 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức sau: a) g) m) s) b) h) t) r) 2 - 4 c) i) o) u) d) j) p) v) e) w) f) l) Bài 2: Tìm ĐKXĐ của biểu thức: a) 3  1  16x 2 b) 8x  x 2  15 c) x 2  x  1 d) x 2  5 1 1 1 1 e) f) g) h) 1  x-1 1  x2  3 x 2  8x  15 9x 2  6x  1 1 1 2 16  x 2 i) k) l) m) 6  x  x2 x  2x  1 2x  4x  1 x 2  8x  14 Bài 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa ? 1 a, 3x ; b,  x  ; x 2  1 ; 5x 2 5 x  10 3x ; 3 c, x2  9 ; 1 ; x2 x2  3 ; ( x  3)( x  2) 3  x 1 2 Ôn tập toán lớp 9 Bài 4 :Giải phương trình : a) = 4 g) = 12 l) = x b) = 4 h) = 21 m) = 2 c) = 10 i) = o) = d) = 12 j) - = 0 p) = 8 e) = 2 k) = 2 q) = 3 f) + x = 11 y) = 1 - 2x Bài 5 : Giải phương trình : a) 4x 2  20x  25  1 b) Bài 6 : Rút gọn căn bậc hai : a) 62 5 b) NTVKN s) = 3 t) = x v) = 5 25x 2  30x  29  x  7 c) 12  2 11 72 6 d) 24  2 23 e) f) 18  8 2 g) 14  6 5 h) 155  24 11 74 3 Bài 7 : Cho biểu thức : A  3x  1  4x 2  9  12x a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của x để A = 3 2 Bài 8: Cho biểu thức: B  x  6x  9  x 2  6x  9 a) Rút gọn B. b) Tìm giá trị của x để A = 1. Bài 9 : Phân tích thành nhân tử : a) x – 7 ; b) 2x – 5 c) x2 - x 2 2 5x  5 d) x 2  2 7x  7 Bài 10 : Rút gọn biểu thức : x  25 3 3 x 2  6x  9 x 2  8x  16 a) b) c) d) x 5 3 2x  6 12  3x Bài 11: Rút gọn a, (3  2) 2 b, (1  5) 2 c, (1  3) 2 d, (4  2) 4 Bài 12: Rút gọn: a, A = 3. (a  3)2 + ( a  1) 2 với 18 c, C = ( x  7)2 - (3x+1) với x bất kỳ Bài 13: Giải các phương trình: a, 3x  6 = 3 1 x 5 1 4 4x  3  x  2 b, Bài 14: Giải các phương trình: a, 2 x  1  x b, Bài 15: Giải các phương trình: a, (3x  1) 2  ( x  2) 2 b, x 2  4 x  4  x 2  6 x  9 …………………………………………………………………………. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A. Kiến thức. A.B  A. B với A  0, B  0  A. B nêu A  0; B  0 A 2 .B  A . B   ;  A. B nêu A  0; B  0 Với A  0 ta có:   A 2  A2  A B. Ví dụ: I. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI 4 A A với A  0, B >0  B B Ôn tập toán lớp 9 NTVKN Phương pháp rút gọn đưa về dạng : sử dụng A.B  A. B với A  0, B  0; B1: Xác định 2ab thuộc biểu thức của A B2: phân tích thành hằng đẳng thức với a + b = hệ số còn lại B3: đưa về dạng = | A | B4: so sánh 2 số a và b và bỏ trị tuyệt đối sao cho biểu thức A > 0 Ví dụ : Rút gọn biểu thức : a) 5  2 6 b) 9  2 20 c) 0,09x 2 với x < 0 Giải: a) 5  2 6  3  2 3. 2  2  b) 9  2 20  4  2 4. 5  5   3 2   2 4 5   2 = A 3 2  3 2  2 5 2 5 c) 0,09x 2  0,09. x 2  0,3x II. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI  A. B Neu A  0 A 2B  A 2 . B  A B   VỚI B  0  A. B Neu A  0 Lưu ý: Để tạo nên A trong căn ta lấy biểu thức chia cho các số chính phương như : 2= 4,3= 9, 4= 16, 5 = 25, 6= 36, 7 = 49,..... Ví dụ 1: M = - 2 + N=2- +3P= - Giải: Phương pháp khai phương: M  20  2 10  45  4.5  2 2. 5  9.5   2 5  2 2. 5  3 5  5 5  2 2. 5  5 5  2 2  N  2 12  48  3 27  108  2 4.3  16.3  3 9.3  36.3  4 3 4 3 9 3 6 3 3 3 P  343  112  63  492  16.7  9.7  49  4 7  3 7  49  7 7 Ví dụ 2: rút gọn biểu thức: A  x  2 x  1  x  1 với x > 1 A  x  2 x  1  x  1  (x  1)  2 x  1  1  x  1    2 x 1  1  x 1  x 1  1  x 1  x 1  1  x 1  1 Bài tập: Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: a) 1222  222 b) 682  322 3 6 7  14 f) 3 2 7 2 Bài 2: Rút gọn biểu thức e) c) 116 2  84 2   d) 25,6.250 g) 5  4 2 3  2 1  2 5  3  2 1  2  Ôn tập toán lớp 9 a) b) c) d) e) i) j) k) l) m) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y) f') g') z) .( + ) a') ( +7 ). b') 2.( - ). h') (4 + )( - ) i') ( 7 + ). Bài 3: Rút gọn biểu thức: A = - 7 - 14 B = 3( 4 - ) + 3( 1 - 2) C= 2+5 -3 D= + -4 E = ( - 2) + 12 F = 3 - 7 + 12 G=2-2+2 H= -4+7 I= - +2 J= - +3 K= -2+5 L=5-3+2Bài 4: Rút gọn biểu thức:nhiều căn thức: A=4B= +1 C= D= + E= IV = H= F= + -2 G= J= + K= L = (3 + ). M= N= O= + R= S= + P= T= + U= V= + W= + Y= Z= + II = Bài 5 : Rút gọn biểu thức : a) A  7  2 6  7  2 6 c)  2  3 b) 42 3  52 6  2 d) e) 2  17  4 9  4 5 Bài 7 : Rút gọn biểu thức :    g) h) o) d') e') n) c') I= - d) D  4  7  4  7 74 3  f) b) B  9  4 5  9  4 5 c) C  4  2 3  4  2 3 Bài 6 : Rút gọn biểu thức : a) NTVKN g)  A  3  3 2 3  3 3  1  52 6  2  3 3 2 2  64 2 2  2 3  18  8 2 2 B C  3 2 2  6 4 2 Bài 8 : Rút gọn biểu thức : 3 2 3 2 2   2 3 3 2 1 D 2 3  2 3 a) A  2x  4x  1  2x  4x  1 với x  6 1 2   Ôn tập toán lớp 9 NTVKN b) A  2x  2 2x  1  2x  2 2x  1 Với x  1 , HD: A2 = 2, mà A> 0 nên A  2 2 Bài 9: So sánh a) 2 và b) -3 và - 5 c) 21, 2 , 15 , - (tăng dần) d) 2 và e) 2 - 1 và 2 f) 6 và g) và 1 h) - và - 2 i) - 1 và 3 j) 2 - 5 và 1 k) và l) 6 , 4 , - , 2 , (Sx giảm dần) m) - 2 và n) 2 - 2 và 3 o) 28, , 2, 36 (sắp xếp tăng dần) q) và r) - 7 và 4 p) - 27, 4, 16 , 21 (sắp xếp giảm dần ) ……………………………………………………………………………. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A. Kiến thức. 2 A A với A  0, B >0 ; Với A  0 ta có: A  A 2  A  B B B. Ví dụ : 68 68 4 2    Ví dụ 1 : Tính :a) 153 9 3 153   b)   32  50  8 : 2      16.2  25.2  4.2 : 2  4 2  5 2  2 2 : 2  2 : 2 1 Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức : A 2 3 2 3 42 3    2 4 2   3 1 4 2  3 1 2 C. Bài tập : Bài 1 : Tính giá trị của biểu thức :   a) 5 48  3 27  2 12 : 3  9  1   2 b)  : 2 2 2   96 2  6 62 5 d) e) 3  5 : 2 f) 27  7 5 : 2 1 5 3 Bài 2 : Rút gọn biểu thức : 1 x  2x  1 x  2 2x  4 với  x  1 với a) x  4 b) 2  x  4 A B 2 2 2 ……………………………………………………………… T2-10 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN A. Kiến thức : 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :  A. B Neu A  0 A 2B  A B   với B  0  A. B Neu A  0  c) 7 Ôn tập toán lớp 9 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn: A B  A 2B với A  0, B  0; NTVKN A B   A 2 B với A < 0, B  0 A AB  với A  0, B  0 , B  0 B B 3. Khử mẫu biểu thức lấy căn: 4. Trục căn thức ở mẫu A A B  B B a) Với các biểu thức A, B > 0 ta có:  C A mB C  A  B2 AB b) Với các biểu thức A, B, C mà A  0 và A  B2 ta có:   C Am B C  AB A B c) Với các biểu thức A, B, C, mà A  0, B  0 , A  B ta có: B. Ví dụ: I. RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN CÓ PHÂN SỐ Ở DẠNG SỐ Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( A + B và A – B là hai biểu thức lien hợp của nhau) (A + B)(A – B) = A2 – B2 để trục căn ở mẫu . C A mB C Am B C C → Nghĩa là ;   AB A  B2 A B AB Lưu ý : Trong bài toán rút gọn căn có PHÂN SỐ chia làm hai dạng : CHỮ và SỐ. + Để có được kỹ năng rút gọn trên ta cần nhắc lại 1 số kiến thức của toán 6 - 7 - 8 để giải các bài toán trên cụ thể ta cần trả lời 1 số kiến thức trước khi giải: → Thừa số chung được không? ( xem lại các cách thừa chung của lớp 8 ) → Có hằng đẳng thức không? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 ) → Liên hợp được không? ( xem lại phương pháp rút gọn trong bài toán 7 của lớp 9 ) → Quy đồng được không? ( xem lại các giải pt có Ẩn ở mẫu của lớp 8) Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau:  3 3   5 2 5 2 A=   3    5 2 5 2   5 2 3      5 2 5 2   5 2  3 5 3 2 3 5 3 2   3 5 3 2 3 5 3 2  6 2 54 54     6 2 1 6 2 1 2 3  6  6 1 : 6 : 6 : 6 : 6  2 2 2 22 2( 2  1)  82  B=  C  2  2 2  3 5  2 2 2  3 5  2 2 2   3 5  2  2 2 2  3 5 2  3 5 2 2  3 5   8 2   62 5  83 5 8  1 5 5 5 8   2  8 1  5 5   5 1  7 5 5   5 1  Ôn tập toán lớp 9 Bài tập: Rút gọn các biểu thức: NTVKN 3 5 3 5 a) 6 3 c) 2 1  10  15 5 f) 8 e) + : g) 2 60  15 6 b/ 3  5   3 1 2  36 3 3 13  34  14  7 15  5  1   : 1 3  7  5  1 2 1 d)  3 2 2 5 33 10 7   5 2 3 11  1 3 5  3 4 5 3 7 h) 7 7 35  7  7 5 1 II.RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN CÓ PHÂN SỐ Ở DẠNG CHỨA CHỮ Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( A + B và A – B là hai biểu thức lien hợp của nhau) (A + B)(A – B) = A2 – B2 để trục căn ở mẫu . → Nghĩa là   C A mB C ;  2 A  B AB  C Am B C  AB A B  Lưu ý : Trong bài toán rút gọn căn có PHÂN SỐ chia làm hai dạng : CHỮ và SỐ. + Để có được kỹ năng rút gọn trên ta cần nhắc lại 1 số kiến thức của toán 6 - 7 - 8 để giải các bài toán trên cụ thể ta cần trả lời 1 số kiến thức trước khi giải: → Thừa số chung được không? ( xem lại các cách thừa chung của lớp 8 ) → Có hằng đẳng thức không? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 ) → Liên hợp được không? ( xem lại phương pháp rút gọn trong bài toán 7 của lớp 9 ) → Quy đồng được không? ( xem lại các giải pt có Ẩn ở mẫu của lớp 8) Lưu ý: Tìm tập xác định và cách tìm giá trị của ẩn x khi thay biểu thức bằng 1 giá trị xác định Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: x  x  x  x  x  x  x 1 x  x  x 1 A  1  1   x  1 x  1 x  1 x 1    x  2 x 1 x  2 x 1   x 1 x 1 ĐKXĐ: x  0, x   1     x 1 2 x 1  x 1 x 1 2    x 1  x 1  x 1 x2  x 2x  x Ví dụ 2: Cho biểu thức y  1 x  x 1 x a) Rút gọn y. b) Tìm x để y = 2. c) Cho x > 1. Chứng minh y  y  0 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của y Giải 9 Ôn tập toán lớp 9 3 x  x  1 x 2 x 1   a) y  1  x x  x 1 x   b)   y2 x x 2 x x 20 NTVKN    x 1 1 2 x 1  x  x   x 1 x 2 0  x 20 x 2 x 4 (Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ) c) Có y  y  x  x  x  x Do x  1  x  x  x  x  0  x  x  x  x  y  y  0     2 1 1 1  1 1 1 d) Có: y  x  x  x  x  x  2. x.     x      2 4 4  2 4 4 1 1 1 1 x  x Vậy Min y   khi x   4 2 2 4 III. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: + Thu gọn biểu thức (nếu có thể). + Thu gọn giá trị của biến (nếu có thể). + Thay giá trị thu gọn của biến vào biểu thức đã thu gọn. 1 1 ; y Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức: A  x 2  3x y  2y tại x  52 94 5 Giải: Ta có: A  x 2  3x y  2y  x 2  x y  2x y  2y   2    2  x x y 2 y x y  x y x2 y Ta có: x  y  1  52  52  52    52 54  1 94 5 5  2. 5.2  4    81  16.5 94 5 94 5 94 5    52  52 1  2   52  2 y  52 Thay: x  5  2 ; A 52   y  5  2 vào A ta có:  5  2 5  2  5  2 2    5  2  4  Bài tập: Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: A= B= C= + D= E= + F = + - ( +) G= H= - 10    5  2 2 5  4  4 6 5  Ôn tập toán lớp 9 I= J = 1+ .1 K= L= - : M= : N= + O= + P= Q = - .( - ) R= + S= T= Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau : A = - ( với a  0, b  0, a  b) B = - ( với với a  0, b  0, a  b) C = - . (Với x  0, y  0, x  y) D = x - 4 - ( x > 4) E = : (a>0, b>0, a  b) F = 2 + .2 - (Với a>0, a  1) G = - ( với a  9 ) H = - - 6 ( với x  9) I = - : - 1 ( với x  0, x  1) J = - ( với x  6 ) K = + ( Với bất kì m) L = + ( với 1  a  2) M  =   x 1 x 1  1  : x 1   2 x  x 1 NTVKN 2 x   (Với x>0, x  1) 2  N= x2  x x x 1 1 2x  x x ( với x>0) 2 x 9 O= x 3   2 x 1 P= x x 1 x5 x 6 x 2 3 x x x x2 x 1 1   Q= R= x x 1 x  x 1 x 1  2x x  x  x x x x 1 x  .     x  1 x x 1   2x  x  1 2 x  1 S= V= 1 x  2     x x 1 : x x x 1  x 1 T= x x y  y x xy  x  1    2    x  1  x  1  1 :  x x 1 x x  y x y x  x 1 x U= a 3 a 1 4 a  4   a 2 a 2 4a W=   a 1 1 3 a  a 1  a 1    : 2  a a 1 a  1  1  a  3 a  a 1     X =  x 2  3 x 2 x  x   x x 1   2 x    24 x 3 x 1 x  3 :   x 1 x 1 3 x    1 x 2  :    x 1  x  x  1  2 2 x 4x  x6 x 9 Z =  2  x  2  x  x  4  :   2 x   x 3 Y=  Bài 3 : Chứng minh đẳng thức căn. Phương pháp chứng minh: thực tế, Bài toán CM cũng chỉ là bài toán rút gọn, ta chọn 1 vế bất kì rồi thu gọn cho thành vế còn lại. Vẫn sử dụng hết các tính chất của 8 bài toán đã học. Chứng minh các đẳng thức sau : a) = - 1 b) + - 2 = 0 11 Ôn tập toán lớp 9 c) = 1 + d) = 3 e) = 1 f) - . > 2 g) : = a - b h) ++ +.... + = 4 i) + . = 1 j) (4 + )( - ) = 2 k) + = 28 l) - = - NTVKN x 2 1  ): x 1 x  x x 1 a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị của A khi x= 3 - 2 2 Bài 5. Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 A  khi a  ; b a 1 b 1 74 3 74 3 1 B  5x 2  4 5x  4 khi x  5  5 1  2x 1  2x 3 C  khi x  4 1  1  2x 1  1  2x ……………………………………………………………… BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC CHỨA CĂN * DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: Bài 1: Rút gọn biểu thức a/ 20  45  3 18  72 . b/ ( 28  2 3  7 ) 7  84 . Bài 4: Cho biểu thức c/  6 5  2 A( 1 d/  2   120 . 1 3  2 2 2 4 5  1 200  : 8  Bài 2. Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức B  1100  7 44  2 176  1331 A  4 3  2 2  57  40 2   1 2 D  72  5  4,5 2  2 27 3 3 3  2 3 2 E 6 2 4  12  6 .  2 . 3 3 2 3 2  C 2 1  2002 . 2003  2 2002   F  8  2 15  8  2 15 G  4 7  4 7 H  8  60  45  12 I 94 5  94 5   K  2 8 3 5 7 2 . L 2  5  14 12 N 3 5 3 5  3 5 3 5 72  5 20  2 2  M 5  3  50 5  24 75  5 2 3 8  2 12  20 P 3 18  2 27  45 12  Ôn tập toán lớp 9 Q NTVKN 2 1  2  3 2 5  2 5     2 5  R  3  13  48 Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: a/ A  1 1  5 3 5 3 b/ B  42 3 6 2 1 2 2   2 3 6 3 3 c/ C  Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau: a/ 2 2  3  2    1  2 2   2 6  9 2 4 c/  2  5 2  4  2  5 2 b/ 2  3  2  3  6 8 d/ 75  48  300 Bài 5: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ 2  3 và 10 b/ 2003  2005 và 2 2004 Bài 6: Thực hiện phép tính: a/    c/ 2 8  3 5  7 2 12  75  27 : 15 b/ 252  700  1008  448 Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau: a/ d/ 2  3 1 3  ; 2 2 2 2 2 1 : 3 b/ 3  2 2  6  4 2 ; 3 e/ 3 1 8  2 15  c/ 5 3 và 3 5  72  5 20  2 2 2 3  2 3 2 2 3 :    2 2 6 2 3  c/      8  2 15 Bài 8: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) 7 1 4 1 và ; c/ 14  13 và 2 3  11 . 2 21 9 5 2 2 Bài 9: Cho A  11  96 và B  Không dùng bảng số, máy tính, hãy so sánh A và B. 1 2  3 a/ 3  5 và 2 2  6 ; b/ Bài 10: Chứng minh các đẳng thức sau: a/  2  2   5 2    3 2  5   20 2  33 ; 2 c/ b/ 8  2 10  2 5  8  2 10  2 5  2  10 1 1 1   ...  9 1 2 2 3 99  100 Bài 11: Tìm x, biết a/ x2 x1 2 b)  4  x 2 . 81  36 c) x  x 1 3 x Bài 12: Giải các phương trình sau: a, 3x  9  x  4  0 b, 4 x 2  4 x  1  ( x  3) 2  0 x 5 1 x4 d) c, x 2  4  6  3x  0 Bài 13: Rút gọn: A= x  4 x  2  2  x  4 x  2  2 Bài 14: Giải phương trình: a, 2 x 2  9  x 2  7  0 b, 3x 2  4 x  15  2 x  1 c, x 5  2 1 1 x 5 2 x 5  3 2 6 Bài 15 Giải các phương trình sau: a) x3  5 b) x  2 x  1  0 13 c)  x  3  1 2 Ôn tập toán lớp 9 NTVKN d)  x  3  x  3 e)  x  3  3  x f) x  2  4 x  8  12 *DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ 2 2  x x 2 ; B 3  x  2x  2 Bài 1: Cho A  2x  3 x 2 x 2 a) Rút gọn A và B. b) Tìm x để A = B. x 1 Bài 2: Cho A  . Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên. x 3  1 a 1  1  Bài 3: Cho biểu thức M   với a >0 và a  1 : a 1  a  2 a 1 a a a/ Rút gọn biểu thức M. b/ So sánh giá trị của M với 1. Bài 4: Cho biểu thức :  P   1 x  x 1 a/ Rút gọn biểu thức P. Bài 5: Cho biểu thức : a/ Rút gọn A. A    2   x3  x 1  a/ Rút gọn B; 2 b/ Tính giá trị của P với 2x x  1 3  11x   x  3 3  x x2  9 x x  32 2 . c/ Tìm x nguyên để A nguyên.  1  x3 x .   x  1   1 x  2x  1 B   3  x 1 x  2  2x  x   x   với x  3 b/ Tìm x để A < 2. Bài 6: Cho biểu thức : 2  x   với x  0 và x  1 b/ Tìm x để B = 3. Bài 7: Cho biểu thức:  1 A       x 1  . y   2 x  y 1 1  : x y   x3  y x x x3 y  y  xy 3 >0, y > 0 a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. 1 3   x2 1     :  Bài 8: Cho biểu thức A    2 2 x  3   3 x  3 x   27  3 x a) Rút gọn A b) Tìm x để A < –1  x 1  x  x x x      Bµi 9: Cho biÓu thøc A =   x  1   2 2 x  x  1 a) Rót gän A; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6.  x 2 1   10  x     :  x  2  Bµi 10: Cho biÓu thøc B =   x 2  x 2 x 4 2 x a) Rót gän B; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó B > 0. Bµi 11: Cho biÓu thøc C = a) Rót gän C; Bµi 12: Rót gän biÓu thøc : D= x  2  x2  4 x  2  x2  4  1 3 1   x 1 x x 1 x  x 1 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1.  x  x  x  x  P = 1   1  x  1  x  1    x  2  x2  4 x  2  x2  4 14 y3 với x Ôn tập toán lớp 9 Q= NTVKN 1 x 1 : x2  x x x  x  x H= 2x  3 x  2 Bài 13. Cho các biểu thức: A = a) Rút gọn A và B. Bài 15. Cho biểu thức: 3a  9x  3 a a 2 P  3x x 3 x x 2 x2  P    x 1 xy  1  P   x 3 x 2  a) Rút gọn P. x 3 1 1 x 2 3 x  .  6. y N sao cho P N. x 1   11    x xy  x 1 x 2  x 2 15 để P  4 1 b) Cho a 2 c) Tìm các giá trị của a xy   1  a 1  b) Tìm x a) Rút gọn P. Bài 17. Cho biểu thức: a 2  b) Tìm a để |P| = 1. a) Rút gọn P. Bài 16. Cho biểu thức: x  2x  2 b) Tìm giá trị của x để A = B. Bài 14. Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P. x3  và B = x 2 x 1  2 x  2 x  2 1 xy  x xy  1 x 1   xy  1    Tìm giá trị lớn nhất của P.    : 1   x 5 x 6   x 2   x  1  x b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức Bài 18. Cho biểu thức: P = 2x  2 x  1 P đạt giá trị nhỏ nhất. x x 1 x x 1 _ x x x x a) Rút gọn P. b) So sánh P với 5. c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, CMR biểu thức 8 P chỉ nhận đúng một giá trị nguyên. Bài 19. Cho biểu thức:  x 2 x 3 P x 5 x 6  2 x   a) Rút gọn P. Bài 20. Cho biểu thức: P = x 1 x2 x 1   x 1 x x 1 x  x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q  x2  x x x 1 a) Rút gọn P. c) Tìm x để biểu thức  2x  x x  2( x  1) x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của P. Q 2 x P nhận giá trị là số nguyên.  x 1 x  1  1 x     Bài 22. Cho biểu thức: P    2 x  2 x  1 x  1    a) Rút gọn P.   x 1  x 1 5  P 2 b) Tìm x để a) Rút gọn P. Bài 21. Cho biểu thức: P = x  2  :  2   x 3   b) Tìm x để P x 2 15 2 2  P x . Ôn tập toán lớp 9 NTVKN x Bài 23. Cho biểu thức: P = x 1 x a) Rút gọn P. x  x x 1 x b) Tìm x để x  x 1 x 9 P 2  1  a a  1  a a  2 A  1  a :  a  a    1  a Bài 24. Cho    1 1  a    a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A với a = 9. c) Với giá trị nào của a thì A  A Bài 25. Cho biểu thức : B  a) Rút gọn B. a  b 1 a b b b     . a  ab 2 ab  a  ab a  ab  b) Tính giá trị của B nếu a  6  2 5 c) So sánh B với -1 1 1 ab      Bài 26. Cho A     : 1  a  ab   ab   a  ab a) Rút gọn A. b) Tìm b biết A   A c) Tính giá trị của A khi a  5  4 2 ; b  2  6 2  a 1  a 1 1    4 a  a  Bài 27. Cho biểu thức A    a 1 a  a 1  b) Tìm giá trị của A nếu a  a) Rút gọn A. 6 2 6 c) Tìm giá trị của a để A A  a 1  a  a a  a    Bài 28. Cho biểu thức A    . a 1   2 2 a  a  1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A để A = - 4  c  ac  B a   Bài 29. Cho biểu thức a c  a) Rút gọn B. 1 a c ac   ac  c ac  a ac b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54; a = 24 c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0.  Bài 30. Cho biểu thức: A=  m+  a) Rút gọn A 2mn 2mn  1  m  1 2 2 2  1+n 1 n  n với m ≥ 0 ; n ≥ 1 b) Tìm giá trị của A với m  56  24 5 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A    2 x 1 2 x   : 1   với x ≥ 0 ; x ≠ 1. x  1 x x  x  x  1    x 1  Bài 31. Cho P   16 Ôn tập toán lớp 9 a) Rút gọn biểu thức P. NTVKN b) Tìm x sao cho P < 0 x2  x 2x  x 1 Bài 32. Xét biểu thức A y  . x  x 1 x a) Rút gọn A. Tìm x để A = 2. b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : A - | A| = 0 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A ? Bài 33. Cho A =     a a 1 a. Rút gọn A Bài 34. Cho P =  1 a   :  a       x  1    : x   x  c) Tìm a để A < 0 2 x   x  1 x P. x  6 x  3  2 a. Rút gọn B 2 2 3 x4  x 1   x 1   x 1  x  1  b) Tìm x để B = 2 c) Tìm x để B > 0  x x 1 x x  1  2( x  2 x  1)    x x  x x : x 1   b) Tìm x  Z để A  Z a. Rút gọn A  x2   x x 1  x   a. Rút gọn A x x 1   : x  1 1 x 1 2 b) Chứng minh rằng 0 < A < 2  x  1 x  1 x 2  4 x  1  x  2009  .   x x 2  1   x 1 x 1 a. Rút gọn K Bài 40. Cho P = x 1 b) Tính giá trị của P tại x=  x 1    Bài 36. Cho B =   2 2 x   Bài 39. Cho K = 3 2 b) Tính giá trị của x để P = -1 c) Tìm x thỏa mãn Bài 38. Cho A = 2   a 1   4 x 8x   x 1 2      2 x  4 x: x 2 x  x      a) Rút gọn P Bài 37. Cho A = a 1  b) Tính giá trị của A khi a = a. Rút gọn P Bài 35. Cho P = 1 b) Tìm x nguyên để K nhận giá trị nguyên  x  y x  y    1  xy 1  xy  a. Rút gọn P    : 1  x  y  2 xy      1  xy    b) Tính P tại x = 2 2 3 17 c) Tìm giá trị lớn nhất của P Ôn tập toán lớp 9 Bài 41. Cho P = NTVKN  1 1   2x  x  1 2x x  1       :  1 x x  1 x x 1 x a. Rút gọn P b) Tính P tại x = x2 Bài 42. Cho M = x 1 x  x 1 x a. Rút gọn M Bài 43. Cho A =  2x  1     x x 1    x4   : 1   x 1  x  x  1 b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên     x x 1        :  x   1 x x 1 x 1 x 1  x 1 4 x 1  2   x 1   x    1    x  x  b) Chứng minh rằng M > 0  x x 1   x 1   x 1   :  x 1   a. Rút gọn P Bài 47. Cho M = 1 b) Tìm x sao cho M > 0 a. Rút gọn M Bài 46. Cho P = x 1 x 1 1 a. Rút gọn M Bài 45. Cho M = 74 3 b) Chứng minh rằng 1 > 3M a. Rút gọn A Bài 44. Cho M = x 1  x      x 1  x x  b) Tìm x để P = 3  2x x  x    x x 1  x  x x x 1  x 1 .  2x  x  1  2  x x 1 a. Tìm x để M có nghĩa b) Rút gọn M c. Tìm x nguyên để M nhận giá trị nguyên d) Chứng minh rằng M < 1 với mọi x Bài 48. Cho P =     ba b  a  a 2 a b b   : ( b  a)   ab a  b  b) Chứng minh rằng P  0 a. Rút gọn P Bài 49. Cho P =  x3 x 1   x9    x 3  x 2 9 x :   2 x  3 x  x  x 6    a. Rút gọn P Bài 50. Cho P = ab  2a  1   a a 1  a   b) Tìm x để P = 1   a a 1 :   a 1   1 a a a. Rút gọn P b) Tìm a để  a   P. 1  a  0 2x  3 x  2 x 3  x  2x  2 Bµi 51: Cho c¸c biÓu thøc P = vµ Q = x 2 x 2 a) Rót gän biÓu thøc P vµ Q; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q. 18 Ôn tập toán lớp 9 NTVKN Bµi 52: Cho c¸c biÓu thøc  x3 x B 1  x  9    9 x x 3 :   x x 6  2 x    x 2  x 3  a) Rót gän biÓu thøc B. b) Tìm x để B > 0 . c) Với x > 4 ; x  9 , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1).  3x  9x  3  x  x  2  1  x 1 Bµi 53: Cho biÓu thøc P =   a) Rót gän P; 1  1 : x  2  x  1 1 lµ sè tù nhiªn; P b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2 3 .  x 2 x 3 x 2  x    Bµi 54: Cho biÓu thøc : P =   :  2   x 3   x  1   x 5 x 6 2 x 1 5 a) Rót gän biÓu thøc P; b) T×m x ®Ó   . P 2 2x 5 x 1 x  10   Bµi 55: Cho A  víi x  0. Chøng minh r»ng x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 gi¸ trÞ cña A kh«ng phô thuéc vµo biÕn sè x. Bµi 56: Cho biÓu thøc: M = a) Rót gän M.       ab  a   1 : ab  1   a 1  ab  1 a 1  ab  1 B) TÝnh gi¸ trÞ cña M nÕu a= 2  c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M nÕu  a 1 a  a 1 3 1 3 vµ b= 1  3 b 4 1    4 a .  a  Bµi 57: Cho A=   víi x>0 ,x  1 a  1 a  1 a     a. b) TÝnh A víi a =  4  15  .  10  6  . Rót gän A  ab  a  1  ab  1   4  15  (KQ:A= 4a)  x 3 x   9 x x 3 x 2  1 :     víi x  0 , x  9, x  4 . Bµi 58: Cho A=  x 2 x  3   x9   x x 6 a. Rót gän A. b) x= ? Th× A < 1. c) T×m x  Z ®Ó A  Z (KQ:A= 3 ) x 2 Bµi 59: Cho A = a. 15 x  11 3 x  2 2 x  3   x  2 x  3 1 x x 3 víi x  0 , x  1. Rót gän A. b) T×m GTLN cña A. CMR : A  2 . 3 Bµi 60: Cho A = c) T×m x ®Ó A = x2 x 1 1   x x 1 x  x 1 1 x 1 2 d) víi x  0 , x  1. a . Rót gän A. = b. T×m GTLN cña A . x ) x  x 1 19 ( KQ : A Ôn tập toán lớp 9 NTVKN 1 3 2   víi x  0 , x  1. x 1 x x 1 x  x 1 0 A1 b. CMR : Bµi 61: Cho A = a . Rót gän A. ( KQ : A= x ) x  x 1  x 5 x   25  x x 5 x 3  1 :     víi x  0 , x  9. Bµi 62: Cho A =  x  25 x  2 x  15 x  5 x  3     a. Rót gän A. b. T×m x  Z ®Ó x  25 (KQ: A = A Z 5 ) x 3 2 a 9 a  3 2 a 1   a 5 a 6 a  2 3 a Bµi 63: Cho A = a. Rót gän A. víi a  0 , a  9 , a  4. b. T×m a ®Ó A < 1 c. T×m a  Z ®Ó A  Z x x 7 1   x2 x 2 2 x      :   x 2  x 2 x  2 x  4   x4 víi x > 0 , x  4. Bµi 64: Cho A=  a. Rót gän A. x9 ) 6 x = 3 3  x y x  y  :  Cho A =   x y yx    Bµi 65: a. Rót gän A. xy x  xy  y Bµi 66:  x x y  2  xy x y ( KQ: A = x x 1 x x  1  1   x 1 x 1    x  .     x x x x  x   x  1 x  1  b. T×m x ®Ó A = 6   a. Rót gän A 1 x ) a. 3 2 x Víi x > 0 , x  1. ( KQ : A= )   x 4 3   x 2 x    :    Bµi 67: Cho A =  x 2  x x  2  x x 2   Bµi 68: víi x  0 , y  0, x  y b) CMR : A  0 a. Rót gän A.   ( KQ: A ) Cho A = 2 x  x 1 1 A b) So s¸nh A víi b.  1 1   víi x > 0 , x  4. TÝnh A víi x = 6  2 5 1 1  1 (KQ: A=   Cho A=  víi x > 0 , x  1. :   1  x 1 x  1  x 1 x  2 x Rót gän A b. TÝnh A víi x = 6  2 5 (KQ: A = ) 20