Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 M«n to¸n
Biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
PhÇn I
tæng hîp kiÕn thøc c¬ b¶n
I. C¸c phÐp biÕn ®æi vÒ c¨n thøc
1. H»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí
a b a2 2ab b 2
a b a b a2 b2
3
a b a3 3a2b 3ab2 b3
a3 b3 a b a2 ab b2
a b a2 2ab b2
3
a b a3 3a2b 3ab2 b3
a3 b3 a b a2 ab b 2
2
2
2. Mét sè phÐp biÕn ®æi c¨n thøc bËc hai
- §Òu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa A cã nghÜa khi A 0
- C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc.
A2 A
A
A
B
B
(A �0;B 0)
A B A 2B (A �0;B �0)
A 1
B B
C
AB (AB �0;B �0)
a b c
2
a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca
AB A. B
(A �0;B �0)
A 2B A B
(B �0)
A B A 2B (A 0;B �0)
A
B
A B
(B 0)
B
C( A mB)
C
C( A m B)
(A �0;A �B2 )
(A �0;B �0;A �B)
2
A B
A B
A �B
A�B
3. C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n
D¹ng 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã)
Bíc 2: Qui ®ång mÉu thøc (nÕu cã)
Bíc 3: §a mét biÓu thøc ra ngoµi dÊu c¨n
Bíc 4: Rót gän biÓu thøc
Bíc 5: TÝnh sè trÞ (nÕu cßn tham sè)
D¹ng 2: Rót gän biÓu thøc
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc
Bíc 2: Trôc c¨n thøc ë mÉu nÕu cã (nÕu cã)
Bíc 3: Qui ®ång mÉu thøc (nÕu cã)
Bíc 4: §a mét biÓu thøc ra ngoµi dÊu c¨n
Bíc 5: Rót gän biÓu thøc
D¹ng 3: Chøng minh ®¼ng thøc
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc
Bíc 2: BiÕn ®æi vÕ tr¸i vÒ vÕ ph¶i hoÆc vÕ ph¶i vÒ vÕ tr¸i. Còng cã khi chóng ta ph¶i biÕn
®æi c¶ hai vÕ cïng vÒ biÓu thøc trung gian
II. Ph¬ng tr×nh bËc hai
1. §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh bËc hai lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax 2 bx c 0 (a 0)
2. C«ng thøc nghiÖm: Ta cã b2 4ac .
- NÕu < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
b
- NÕu = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1,2
2a
b
b
- NÕu > 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1
; x2
2a
2a
b
c
3. HÖ thøc Viet: NÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2 th× S = x1 x 2
; P = x1.x 2
a
a
2
Gi¶ sö x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax bx c 0 (a 0). Ta cã thÓ sö dông ®Þnh lÝ Viet ®Ó tÝnh
c¸c biÓu thøc cña x1, x2 theo a, b, c
S1 = x12 x 22 x1 x 2 2x1x 2
2
b2 2ac
a2
S2 = x13 x 23 x1 x 2 3x1x 2 x1 x 2
3
S3 = x1 x 2
x1 x 2
2
3abc b3
a3
x1 x2 4x1x2
2
b2 4ac
a2
4. øng dông hÖ thøc Viet
a) NhÈm nghiÖm: Cho ph¬ng tr×nh ax 2 bx c 0 (a 0).
c
- NÕu a + b + c = 0 x1 = 1; x 2
a
c
- NÕu a - b + c = 0 x1 = -1; x 2
a
b) T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc
hai X2 - SX + P = 0
c) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: NÕu ph¬ng tr×nh ax 2 bx c 0 (a 0) cã hai nghiÖm x1; x2 th×
ax 2 bx c a x x1 x x 2
d) X¸c ®Þnh dÊu c¸c nghiÖm sè: Cho ph¬ng tr×nh ax 2 bx c 0 (a 0).
c
- NÕu 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
a
� 0
�
- NÕu �c
th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu
0
�
�a
�
�
� 0
� 0
�
�
�c
�c
- NÕu � 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng. NÕu � 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m
�a
�a
�b
�b
0
0
�
�
�a
�a
5. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n:
D¹ng 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm
c
Ph¬ng ph¸p: §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ b2 4ac 0 hoÆc �0
a
2
Trong trêng hîp cÇn chøng minh cã Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh ax bx c 0 ; a' x 2 b' x c ' 0 cã
nghiÖm ngêi ta thêng lµm theo mét trong hai c¸ch sau:
C¸ch 1: Chøng minh 1 2 �0
C¸ch 2: 1. 2 �0
D¹ng 2: T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai X 2 SX + P = 0
Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh X2 - SX + P = 0
Bíc 3: KÕt luËn
D¹ng 3: BiÓu thøc ®èi xøng hai nghiÖm
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
b
c
Bíc 2: TÝnh S = x1 x 2
; P = x1.x 2 , theo m
a
a
Bíc 3: BiÓu diÔn hÖ thøc ®Ò bµi theo S, P víi chó ý r»ng x12 x 22 S2 2P ;
1 1 S 1 1 S2 2P
;
x1 x 2 P x12 x 22
P2
D¹ng 4: HÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
b
c
Bíc 2: TÝnh S = x1 x 2
; P = x1.x 2 , theo m
a
a
x13 x 32 S S2 3P ;
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
2
Bíc 3: Khö m ®Ó lËp hÖ thøc gi÷a S vµ P, tõ ®ã suy ra hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô
thuéc tham sè m
D¹ng 5: §iÒu kiÖn ®Ó hai nghiÖm liªn hÖ víi nhau bëi mét hÖ thøc cho tríc
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
b
c
Bíc 2: TÝnh S = x1 x 2
; P = x1.x 2 , theo m
a
a
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh víi Èn sè m, so s¸nh ®iÒu kiÖn
Bíc 4: KÕt luËn
III. HÖ ph¬ng tr×nh
1. HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn sè:
C¸ch 1: Sö dông ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè:
- Nh©n c¸c vÕ cña hai ph¬ng tr×nh víi sè thÝch hîp (nÕu cÇn) sao cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai
ph¬ng tr×nh cña hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau
- Sö dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó thùc hiÖn ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét
trong hai Èn b»ng 0 (tøc lµ ph¬ng tr×nh mét Èn sè)
- Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®îc råi suy ra nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho
C¸ch 2: Sö dông ph¬ng ph¸p thÕ
- Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®îc hÖ ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh
mét Èn
- Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho
2. HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng
a) HÖ ®èi xøng lo¹i I: NÕu ta thay ®æi vai trß cña x, y th× tõng ph¬ng tr×nh kh«ng thay ®æi
Ph¬ng ph¸p: §a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh theo hai biÕn míi lµ: S = x + y vµ P = xy víi ®iÒu kiÖn S 2 4P
b) HÖ ®èi xøng lo¹i II: NÕu ta thay ®æi vai trß cña x, y th× ph¬ng tr×nh nµy chuyÓn thµnh ph¬ng tr×nh kia
Ph¬ng ph¸p: Trõ hai ph¬ng tr×nh víi nhau ®Ó nhËn dîc ph¬ng tr×nh míi cã d¹ng tÝch sè. Chó ý nÕu hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x0; x0) (tøc lµ x = y). NÕu hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x, y) th× ph¬ng tr×nh còng cã nghiÖm (y, x)
IV. Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai)
1. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu sè:
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghÜa
Bíc 2: Qui ®ång mÉu sè ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai)
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai) trªn
Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm
2. Ph¬ng tr×nh chøa dÊu trÞ tuyÖt ®èi:
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghÜa
Bíc 2: Khö dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, biÕn ®æi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai)
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai) trªn
Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm
3. Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng: ax 4 bx 2 c 0 (a 0)
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt x2 = t 0
Bíc 2: BiÕn ®æi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn
Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm
4. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e víi a + d = b + c
1
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt t = x2 + (a + d)x + k = x2 + (b + c)x + k víi k = ad bc
2
Bíc 2: BiÕn ®æi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn
Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ t×m nghiÖm x
5. Ph¬ng tr×nh håi qui
a) D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax 4 bx 3 cx 2 bx a 0 (a 0)
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 0
1
Bíc 2: §Æt t x víi ®iÒu kiÖn t �2 vµ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t
x
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn
Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ t×m nghiÖm x
b) D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax 4 bx 3 cx 2 bx a 0 (a 0)
Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 0
1
Bíc 2: §Æt t x vµ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t
x
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn
Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ t×m nghiÖm x
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
3
2
6. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0 víi
e �d �
�; e 0
a �
�b �
2
Ph¬ng ph¸p:
2
2
d
d �d �
d
� d�
�d �
Bíc 1: §Æt t x � t 2 �x � x 2 2 � � x 2 � � t 2 2
bx
b �bx �
b
� bx �
�bx �
Bíc 2: §a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn
Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm
7. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng x a x b c
4
Ph¬ng ph¸p:
4
ab
ab
ab
�xa t
;x b t
2
2
2
Bíc 2: §a vÒ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng Èn t
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng trªn
Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm
Bíc 1: §Æt t = x
V. Hµm sè
1. Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a 0)
- Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®îc cho bëi c«ng thøc y = ax + b trong ®ã a 0
- Hµm sè bËc nhÊt x¸c víi mäi gi¸ trÞ x R vµ cã tÝnh chÊt ®ång biÕn khi a > 0; nghÞch biÕn khi a < 0
- §å thÞ cña hµm sè bËc nhÊt lµ mét ®êng th¼ng. C¾t trôc tung t¹i ®iÓm B(0; b). C¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm
�b �
A�
;0 �(trong ®ã a gäi lµ hÖ sè gãc, b gäi lµ tung ®é gãc)
�a �
- C¸c ®êng th¼ng cã cïng hÖ sè gãc a th× t¹o víi trôc Ox c¸c gãc b»ng nhau. NÕu gäi lµ gãc hîp bíi gi÷a
®êng th¼ng vµ tia Ox th× a = tg
- NÕu ®êng th¼ng (d): y = ax + b (a 0) vµ ®êng th¼ng (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) th×:
a a'
�
(d) c¾t (d’) a a’
(d) song song (d’) �
b �b'
�
a a'
�
(d) trïng (d’) �
(d) (d’) a.a’ = -1
b b'
�
2. Hµm sè y = ax2 (a 0)
- Hµm sè cã tÝnh chÊt: NÕu a > 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0. NÕu a < 0 th× hµm
sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0
- §å thÞ hµm sè lµ mét Parabol víi ®Ønh lµ gãc to¹ ®é vµ nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng
+ NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ
+ NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa díi trôc hoµnh, O lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ
3. C¸c d¹ng to¸n
D¹ng 1: X¸c ®Þnh hµm sè bËc nhÊt (ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng)
Ph¬ng ph¸p: Dùa vµo c¸c ®iÓm sau: NÕu ®iÓm A(x0; y0) thuéc ®å thÞ hµm sè y = ax + b th× ax0 + b = y0
C¸c kÕt qu¶ ®· nªu ë phÇn lý thuyÕt trªn
D¹ng 2: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax2 (a 0)
Ph¬ng ph¸p: Dùa vµo ®iÓm sau: NÕu ®iÓm A(x0; y0) thuéc ®å thÞ hµm sè y = ax2 th× ax02 = y0
D¹ng 3: T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ
Ph¬ng ph¸p: LËp ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm
Gi¶i ph¬ng tr×nh, tõ ®ã t×m ra to¹ ®é c¸c giao ®iÓm
D¹ng 4: T¬ng giao gi÷a ®êng th¼ng vµ Parabol
Ph¬ng ph¸p: Cho ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh y = ax + b (a 0) vµ Parabol y = Ax 2 (A 0). XÐt ph¬ng tr×nh
hoµnh ®é giao ®iÓm Ax2 = ax + b (1). Ta cã sè giao ®iÓm cña hai ®å thÞ phô thuéc vµo sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nµy
- §êng th¼ng c¾t Parabol khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm
- §êng th¼ng kh«ng c¾t Parabol khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
- §êng th¼ng tiÕp xóc Parabol khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp
VI. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh
1. Ph¬ng ph¸p chung
- Chän Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cña Èn sè (®¬n vÞ tÝnh). Èn sè thêng lµ ®¹i lîng cha biÕt trong bµi to¸n.
ViÖc chän mét Èn sè hay hai Èn sè tuú thuéc vµo sè ®¹i lîng cha biÕt trong bµi to¸n
- BiÓu diÔn mèi t¬ng quan gi÷a ®¹i lîng ®· biÕt vµ ®¹i lîng cha biÕt
- LËp ph¬ng tr×nh (hay hÖ ph¬ng tr×nh)
- Gi¶i ph¬ng tr×nh (hay hÖ ph¬ng tr×nh)
- NhËn ®Þnh kÕt qu¶ vµ tr¶ lêi
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
4
2. C¸c d¹ng to¸n
D¹ng 1: C¸c bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng
- Dùa vµo quan hÖ cña ba ®¹i lîng S: qu·ng ®êng; t: thêi gian; v: vËn tèc cña vËt chuyÓn ®éng ®Òu trong
c«ng thøc S = v.t
- Dùa vµo nguyªn lÝ céng vËn tèc: VÝ dô khi gi¶i bµi to¸n chuyÓn ®éng thuyÒn trªn s«ng ta cã: v 1 = v0 + v3; v2
= v0 – v3 trong ®ã v1 lµ vËn tèc thuyÒn ®i xu«i dßng, v2 lµ vËn tèc thuyÒn ®i ngîc dßng, v0 lµ vËn tèc riªng cña thuyÒn,
v3 lµ vËn tèc dßng ch¶y
D¹ng 2: C¸c bµi to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng
Dùa vµo quan hÖ ba ®¹i lîng: N: n¨ng suÊt lao ®éng (khèi lîng c«ng viÖc hoµn thµnh trong mét ®¬n vÞ thêi
s
gian); t: thêi gian ®Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc; s: lîng c«ng viÖc ®· lµm th× N =
t
D¹ng 3: C¸c bµi to¸n vÒ lµm chung – lµm riªng, vßi níc ch¶y chung – ch¶y riªng ...
Dùa vµo kÕt qu¶ sau
1
- NÕu x giê (hoÆc ngµy) lµm xong c«ng viÖc th× mçi giê (hoÆc ngµy) lµm ®îc c«ng viÖc ®ã
x
1
1
- NÕu trong 1 giê: §èi tîng A lµm ®îc c«ng viÖc, ®èi tîng B lµm ®îc c«ng viÖc th× lîng c«ng viÖc mµ
y
x
1 1
c¶ hai lµm ®îc trong 1 giê lµ + c«ng viÖc
x y
1
a
- NÕu mçi giê lµm ®îc c«ng viÖc th× a giê lµm ®îc c«ng viÖc
x
x
D¹ng 4: C¸c bµi to¸n s¾p xÕp, chia ®Òu s¶n phÈm (hµng hãa ...)
Nh d¹ng 2: Ch¼ng h¹n víi ba ®¹i lîng: N: sè lîng hµng ho¸ ph©n phèi cho mçi xe; t: lµ sè xe chë hµng; s:
s
tæng sè lîng hµng ho¸ trong kho th× N =
t
D¹ng 5: C¸c bµi to¸n t×m sè
Dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a c¸c hµng trong mét sè
Chó ý: ab 10a b ; abc 100a 10b c
D¹ng 6: C¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn tØ sè %
m
Chó ý c¸c kÕt qu¶ sau: m% cña A nghÜa lµ
.A
100
A
m
m
Sè A b»ng m% sè B nghÜa lµ
hay A
.B
B 100
100
m
Sè A sau khi t¨ng lªn m% th× ®îc sè míi cã gi¸ trÞ lµ A +
.A
100
D¹ng 7: C¸c bµi to¸n cã néi dung h×nh häc
Chó ý ®Õn c¸c hÖ thøc lîng trong tam gi¸c, c¸c c«ng thøc tÝnh chu vi, diÖn tÝch ... cña c¸c h×nh ...
A
c
b
h
c'
b'
a
H
C
c¹nh ®èi
VII. C¸c bµi to¸n h×nh häc ph¼ng
1. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng
a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH ta cã
b2 = a. b’
c2 = a. c’
2
2
2
b +c =a
h2 = b’. c’
1
1 1
a. h = b. c
2 2
2
h
b c
B
b) TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän
- C¸c tØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän ®îc ®Þnh nghÜa nh sau:
c�
nh �
�
i
c�
nh k�
sin =
cos =
c�
nh huy�
n
c�
nh huy�
n
c�
nh �
�
i
c�
nh k�
tg =
cotg =
c�
nh k�
c�
nh �
�
i
- Víi hai gãc vµ phô nhau ta cã
sin = cos
cos = sin
tg = cotg
cotg = tg
c¹nh kÒ
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
5
- Mét sè gãc ®Æc biÖt
sin300 cos600
1
2
sin450 cos45 0
2
2
3
tg45 0 cot g45 0 1
2
3
t g300 cot g600
co t g300 t g600 3
3
c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng
Trong mét tam gi¸c vu«ng, mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n víi sin gãc ®èi hoÆc nh©n víi c«sin
gãc kÒ. Mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng kia nh©n tang gãc ®èi hoÆc nh©n víi c«tang gãc kÒ
d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c
a.h
a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB
S=
(h lµ ®êng cao øng víi c¹nh a)
S=
2
2
2
2
S = p.r (p lµ nöa chu vi, r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c)
a.b.c
S=
(R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c)
4R
S = p p a p b p c (p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c)
cos300 sin600
2. §êng trßn:
a) Sù x¸c ®Þnh ®êng trßn. TÝnh chÊt ®èi xøng cña ®êng trßn
- §êng trßn t©m O b¸n kÝnh R (víi R > 0) lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu ®iÓm O mét kho¶ng b»ng R
- Tuú theo OM = R; OM < R; OM > R mµ ta cã ®iÓm M n»m trªn, n»m bªn trong, n»m bªn ngoµi ®êng trßn
- Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng, bao giê còng vÏ ®îc mét vµ chØ mét ®êng trßn
- §êng trßn cã t©m ®èi xøng, ®ã lµ t©m ®êng trßn. §êng trßn cã v« sè trôc ®èi xøng, ®ã lµ bÊt k× ®êng kÝnh
nµo cña nã
b) §êng kÝnh vµ d©y cung cña ®êng trßn. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y
- Trong mét ®êng trßn, d©y lín nhÊt lµ ®êng kÝnh
- §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy
- §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy
- Trong mét ®êng trßn: Hai d©y b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng c¸ch ®Òu t©m. Trong hai d©y kh«ng b»ng
nhau, d©y lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n
c) VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn
C¨n cø vµo sè ®iÓm chung 0, 1, 2 cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn mµ ta ®Þnh nghÜa c¸c vÞ trÝ: ®êng th¼ng vµ ®êng trßn kh«ng giao nhau; tiÕp xóc nhau; c¾t nhau. øng víi mçi vÞ trÝ trªn, kho¶ng c¸ch d tõ t©m ®êng trßn ®Õn ®êng
th¼ng vµ b¸n kÝnh R cña ®êng trßn cã c¸c liªn hÖ: d > R; d = R; d < R. Ta cã c¸c ®Þnh lÝ
- NÕu mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm
- NÕu mét ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã th× ®êng
th¼ng Êy lµ mét tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn
d) TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau:
NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th×:
- §iÓm ®ã c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm
- Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn. Tia kÎ tõ t©m ®i qua ®iÓm ®ã lµ
tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai b¸n kÝnh ®i qua c¸c tiÕp ®iÓm
e) §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, ngo¹i tiÕp tam gi¸c, bµng tiÕp tam gi¸c
- §êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, cßn tam gi¸c gäi lµ
ngo¹i tiÕp ®êng trßn. T©m cña ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng ph©n gi¸c c¸c gãc trong tam
gi¸c
- §êng trßn ®i qua ba ®Ønh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c, cßn tam gi¸c gäi lµ néi tiÕp
®êng trßn. T©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng trung trùc tam gi¸c
- §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia lµ ® êng
trßn bµng tiÕp tam gi¸c. T©m cña mçi ®êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña hai ®êng ph©n gi¸c cña hai gãc
ngoµi tam gi¸c hoÆc giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c cña mét gãc trong vµ mét trong hai ® êng ph©n gi¸c cña gãc ngoµi
kh«ng kÒ víi nã
f) VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng trßn
C¨n cø vµo sè ®iÓm chung 0, 1, 2 cña hai ®êng trßn mµ ta ®Þnh nghÜa c¸c vÞ trÝ: Hai ®êng trßn kh«ng giao
nhau, tiÕp xóc nhau, c¾t nhau
Do tÝnh chÊt ®èi xøng cña ®êng trßn, nÕu hai ®êng trßn c¾t nhau th× giao ®iÓm ®èi xøng víi nhau qua ®êng
nèi t©m, nÕu hai ®êng trßn tiÕp xóc nhau th× giao ®iÓm n»m trªn ®êng nèi t©m
g) Gãc víi ®êng trßn:
+ Gãc ë t©m: Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®êng trßn ®îc gäi lµ gãc ë t©m. Sè ®o cung nhá b»ng sè ®o cña gãc
ë t©m ch¾n cung ®ã. Sè ®o cung lín b»ng hiÖu gi÷a 360 0 vµ sè ®o cung nhá. Sè ®o cña nöa ®êng trßn b»ng 1800.
+ Gãc néi tiÕp: Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®êng trßn vµ hai c¹nh chøa d©y cung cña ®êng trßn ®ã.
Cung bªn trong cña gãc gäi lµ cung bÞ ch¾n. Trong mét ®êng trßn sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng n÷a sè ®o cung bÞ
ch¾n
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
6
+ Gãc t¹o bëi gi÷a tiÕp tuyÕn vµ d©y cung: Cho ®êng trßn (O), A lµ tiÕp ®iÓm, xAy lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A,
AB lµ mét d©y cung. Gãc t¹o bëi tia Ax (hoÆc tia Ay) víi d©y AB ®îc gäi lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. Sè ®o
cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n
+ Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn: Mçi gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn ch¾n hai cung: mét cung n»m
bªn trong gãc vµ cung kia n»m bªn trong gãc ®èi ®Ønh cña cung ®ã. Sè ®o cã ®Ønh ë bªn trong ® êng trßn b»ng nöa
tæng sè ®o hai cung bÞ ch¾n
+ Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn: Sè ®o gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn b»ng nöa hiÖu hai cung bÞ
ch¾n
Chó ý: Trong mét ®êng trßn
- C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau
- C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau
- C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau
- Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung.
- Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ngîc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nöa ®êng trßn.
- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau.
h) §é dµi ®êng trßn - §é dµi cung trßn.
- §é dµi ®êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d
Rn
- §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : l
180
I) DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn
- DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2
R 2n lR
- DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n 0: S
360
2
3. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n
D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.
C¸ch chøng minh:
- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba
- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c
- Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau
- Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba
- Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng gãc
- Hai gãc so le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ
- Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh
- Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu
- Hai gãc t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng
- Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau.
D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau
C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba
- Hai c¹nh cña mét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu
- Hai c¹nh t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau
- Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng)
- Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n
- Hai d©y tr¬ng øng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn hoÆc hai ®êng b»ng
nhau. TÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau
D¹ng 3: Chøng minh hai ®êng th¼ng song song
C¸ch chøng minh:
- Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng song song víi ®êng th¼ng thø ba
- Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba
- Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: ë vÞ trÝ so le
trong; ë vÞ trÝ so le ngoµi; ë vÞ trÝ ®ång vÞ.
- Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn
- Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh, ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, ...
D¹ng 4: Chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc
C¸ch chøng minh:
- Chóng cïng song song víi hai ®êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c.
- Chøng minh chóng lµ ch©n ®êng cao trong mét tam gi¸c.
- §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña d©y vµ d©y kh«ng ®i qua t©m.
- Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau.
- TÝnh chÊt 2 ®êng chÐo h×nh thoi, h×nh vu«ng
D¹ng 5: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng, ba ®êng th¼ng ®ång quy.
C¸ch chøng minh:
- Dùa vµo tæng hai gãc kÒ bï cã tæng b»ng 180 0
- Dùa vµo hai gãc ®èi ®Ønh
- Dùa vµo hai ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cïng song song víi ®êng th¼ng kh¸c
- Dùa vµo hai gãc b»ng nhau cã 1 c¹nh trïng nhau
- Chøng minh chóng lµ ba ®êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c
trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia)
- VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet.
D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
7
* Hai tam gi¸c thêng:
- Trêng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g)
- Trêng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c)
- Trêng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c)
* Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét c¹nh vµ mét gãc nhän b»ng nhau
- Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau
- C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau
D¹ng 7: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng
* Hai tam gi¸c thêng: - Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét (g-g)
- Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-g-c)
- Cã ba c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-c-c)
* Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau
- Cã hai c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ
- Cã c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ
D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp
C¸ch chøng minh:
- Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800
- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn
- Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm.
- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc .
- Dùa vµo ph¬ng tÝch cña ®êng trßn
VIII. C¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian
1. H×nh l¨ng trô: H×nh l¨ng trô lµ h×nh ®a diÖn cã hai mÆt song song gäi lµ ®¸y vµ c¸c c¹nh kh«ng thuéc hai ®¸y
song song víi nhau. L¨ng trô ®Òu lµ l¨ng trô ®øng cã ®¸y lµ ®a gi¸c ®Òu
Sxq = p. l (p lµ chu vi thiÕt diÖn th¼ng, l lµ ®é dµi c¹nh bªn)
L¨ng trô ®øng: Sxq = p. h (p lµ chu vi ®¸y, h lµ chiÒu cao)
V = B. h (B lµ diÖn tÝch ®¸y, h lµ chiÒu cao)
H×nh hép ch÷ nhËt:
Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c lµ c¸c kÝch thíc cña h×nh hép ch÷ nhËt)
V = a. b. c
C¸c ®êng chÐo h×nh hép ch÷ nhËt d = a2 b2 c 2
H×nh lËp ph¬ng: V = a3 (a lµ c¹nh)
2. H×nh chãp: H×nh chãp lµ h×nh ®a diÖn cã mét mÆt lµ ®a gi¸c, c¸c mÆt kh¸c lµ tam gi¸c cã chung ®Ønh. H×nh chãp
®Òu lµ h×nh chãp cã ®¸y lµ ®a gi¸c ®Òu vµ c¸c mÆt bªn b»ng nhau. H×nh chãp côt lµ phÇn h×nh chãp n»m gi÷a ®¸y
vµ thiÕt diÖn song song víi ®¸y. H×nh chãp côt tõ h×nh chãp ®Òu gäi lµ h×nh chãp côt ®Òu
1
H×nh chãp ®Òu: Sxq = . n .a. d (n lµ sè c¹nh ®¸y; a lµ ®é dµi c¹nh ®¸y; d lµ ®é dµi trung ®o¹n)
2
Stp = Sxq + B (B lµ diÖn tÝch ®¸y)
1
V= .B.h
3
1
H×nh chãp côt ®Òu: Sxq = n.a n.a' .d (n lµ sè c¹nh ®¸y; a, a’ c¹nh ®¸y; d trung ®o¹n chiÒu cao mÆt bªn)
2
V = V1 + V2 (V1 thÓ tÝch h×nh chãp côt; V2 thÓ tÝch h×nh chãp trªn)
1
V = .h B B' B.B' (B, B’ lµ diÖn tÝch ®¸y, h lµ chiÒu cao)
3
3. H×nh trô: H×nh trô lµ h×nh sinh ra bíi h×nh ch÷ nhËt quay xung quanh mét c¹nh cña nã
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2. R. h (R lµ b¸n kÝnh ®¸y; h lµ chiÒu cao)
- DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2. R. h + 2. R2
- ThÓ tÝch h×nh trô: V = S. h = . R2. h (S lµ diÖn tÝch ®¸y)
4. H×nh nãn: H×nh nãn lµ h×nh sinh ra bëi tam gi¸c vu«ng quay xung quanh mét c¹nh gãc vu«ng cña nã. H×nh nãn
côt lµ phÇn h×nh nãn gi÷a ®¸y vµ mét thiÕt diÖn vu«ng gãc víi trôc
H×nh nãn:
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = . R. l (R lµ b¸n kÝnh ®¸y; l lµ ®êng sinh)
- DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = . R. l + . R2
1
- ThÓ tÝch: V = .R 2 .h (h lµ chiÒu cao)
3
H×nh nãn côt: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (R1 + R2). l (R1; R2 lµ b¸n kÝnh hai ®¸y; l lµ ®êng sinh)
- DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = (R1 + R2). l + (R12 + R22)
1
- ThÓ tÝch: V = .h.(R12 R 22 R1 R 2 ) (h lµ chiÒu cao)
3
5. H×nh cÇu:
- DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4. R2 (R lµ b¸n kÝnh)
4
- ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = .R 3
3
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
8
IX. BÊt ®¼ng thøc vµ bµi to¸n t×m cùc trÞ
1. §Þnh nghÜa:
a>ba–b>0b–a<0
2. Mét sè tÝnh chÊt:
�A B
1/ �
�A C
BC
�
�AC BC,C 0
3/ A B � �
�AC BC,C 0
�A B 0
5/ �
� AC BD
CD0
�
7/ A Bγ�0,n
N,n 2
�
n,m �N*
9/ �
nm
�
3. Mét sè B§T c¬ b¶n:
a b
2
n
A
n
B
�A n A m ,A 1
�n
m
�A A ,0 A 1
aba–b0b–a0
2/ A > B A + C > B + C
�A B
4/ �
� A C BC
CD
�
6/ A > B > 0, n N* An > Bn
�1 1
v�
i AB 0
�
A B
8/ A B � �
�1 1 v�
i AB 0
�
A B
�
a2n1 b2n1
ab �
�
�
10/ �
��
2n 1
n �N �
a 2n1 b
�
a �a
�4ab
a b �a b
a b �a b
1 1
4
1 1 1
9
(víi a, b > 0)
(víi a, b, c > 0)
�
�
a b a b
a b c abc
1 1
1
n2
a b
... �
(Víi a1, a2, …, an > 0)
�2 (víi ab > 0)
a1 a2
an a1 a2 ... an
b a
a) BÊt ®¼ng thøc CauChy: D¹ng tæng qu¸t: Gi¶ sö a 1, a2, …, an lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m, khi ®ã ta cã:
n
a1 a2 ... an n
�a1 a2 ... an �
D¹ng 1:
D¹ng 2: �
� a1a2 ...an
��a1a2 ...an
n
n
�
�
§¼ng thøc x¶y ra a1 = a2 = … = an
n
S
�S �
* NÕu a1 + a2 + ... + an = S (const) th× Max a1a 2 ...an � � x¶y ra a1 = a2 = … = an =
n
�n �
HÖ qu¶:
* NÕu a1a2...an = P (const) th× Min a1 a2 ... a n n n P x¶y ra a1 = a2 = … = an =
n
P
BÊt ®¼ng thøc CauChy suy réng: Cho n sè d¬ng a1, a2, …, an (n 2) vµ n sè d¬ng 1, 2, … n sao cho 1+
2 + … + n = 1 th×: a11 .a11 ....a11 �1a1 2a2 ... nan
DÊu b»ng x¶y ra a1 = a2 = … = an
b) BÊt ®¼ng thøc: CauChy – Bunhiakowski – Schwarz (CBS)
D¹ng tæng qu¸t: Cho 2n sè thùc tuú ý a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn khi ®ã:
a
2
1
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra
HÖ qu¶:
a 22 ... a n2 b12 b 22 ... bn2 � a1b1 a 2b 2 ... a nb n
2
a1 a2
a
... n
b1 b2
bn
* NÕu a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c (const) th× Min x12 x 22 ... xn2
c2
x¶y ra
a12 a22 ... an2
x1 x 2
x
... n
a1 a2
an
* NÕu x12 x 22 ... x 2n c2 (const) th×
Max a1x1 a2 x 2 ... an xn c . a12 a22 ... an2 �
x1 x 2
x
... n �0
a1 a2
an
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
9
Min a1x1 a2 x 2 ... an x n c . a12 a 22 ... an2 �
x1 x 2
x
... n �0
a1 a2
an
2
2
2
a a ... an
D¹ng kh¸c cña CBS: a1 a2 ... an � 1 2
b1 b2
bn
b1 b2 ... bn
2
PhÇn II
Mét sè d¹ng bµi tËp tù luyÖn
Bµi tËp vÒ biÓu thøc
1
a 2
5
Bµi 1: Cho biÓu thøc : P
a 3 a a 6 2 a
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 1
�
x �� x 3
x 2
x 2 �
1
:
Bµi 2: Cho biÓu thøc: P = �
��
� x 1 �� x 2 3 x x 5 x 6 �
�
�
��
�
a) Rót gän P
b)T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 0
� x 1
1
8 x �� 3 x 2 �
: 1
Bµi 3: Cho biÓu thøc: P = �
�3 x 1 3 x 1 9x 1 ��
�� 3 x 1 �
�
�
��
�
a) Rót gän P
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P =
6
5
�
�
a �� 1
2 a
Bµi 4: Cho biÓu thøc P = �
1
:
��
� a 1 �� a 1 a a a a 1 �
�
�
��
�
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 1
c) T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a 19 8 3
�
�
��
�
a(1 a)2 �
1 a3
1 a3
�
�
Bµi 5: Cho biÓu thøc: P =
:�
a�
.�
a�
�1 a
��1 a
�
1 a
�
�
�
��
�
�
�
1
b) XÐt dÊu cña biÓu thøc M = a.(P- )
2
� x 1
2x x ��
x 1
2x x �
1��
: 1
Bµi 6: Cho biÓu thøc: P = �
�
� 2x 1
�� 2x 1
2x 1
2x 1 �
�
��
�
1
a) Rót gän P
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x . 3 2 2
2
�
2 x
1 ��
x �
Bµi 7: Cho biÓu thøc: P = �
: 1
��
�
�x x x x 1
�
x 1 ��
�
�� x 1 �
a) Rót gän P
b) T×m x ®Ó P 0
�
�2a 1
��
a
1 a3
.�
a�
Bµi 8: Cho biÓu thøc: P = �
�
� a3 1 a a 1 ��1 a
�
�
��
�
a) Rót gän P
b) XÐt dÊu cña biÓu thøc P. 1 a
a) Rót gän P
x 1�
.
�
x 1 �
�
b) So s¸nh P víi 3
�
a
a�
�
a
�
b) T×m a ®Ó P < 7 4 3
�2 x
x
3x 3 ��2 x 2 �
:
1�
Bµi 11: Cho biÓu thøc: P = �
��
� x 3
�
x 3 x 9 ��
�
�� x 3
�
�x 2
x 1
Bµi 9: Cho biÓu thøc P = 1: �
�x x 1 x x 1
�
a) Rót gän P
�
��
1 a a
1 a
a�
.�
Bµi 10: Cho biÓu thøc : P = �
�1 a
��1
�
��
a) Rót gän P
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
10
a) Rót gän P
b) T×m x ®Ó P <
1
2
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
�x 3 x �� 9 x
x 3
x 2�
Bµi 12: Cho biÓu thøc: P = �
1��
:
�
� x 9
��x x 6 2 x
x 3�
�
��
�
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P < 1
15 x 11 3 x 2 2 x 3
Bµi 13: Cho biÓu thøc : P =
x 2 x 3 1 x
x 3
a) Rót gän P
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P=
1
2
2
c) Chøng minh P �
3
Bµi 14: Cho biÓu thøc: P=
2 x
x m
x
x m
m2
4x 4m2
víi m > 0
a) Rót gän P
b) TÝnh x theo m ®Ó P = 0.
c) X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x t×m ®îc ë c©u b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 1
a2 a 2a a
Bµi 15: Cho biÓu thøc P =
1
a a 1
a
a) Rót gän P
b) BiÕt a > 1 H·y so s¸nh P víi P
c) T×m a ®Ó P = 2
d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
� a 1
ab a �� a 1
ab a �
Bµi 16: Cho biÓu thøc P = �
1��
:
1�
� ab 1
�� ab 1
�
ab 1
ab 1
�
��
�
a) Rót gän P
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a = 2 3 vµ b =
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu
3 1
1 3
a b 4
� a 1
a a 1 a a 1 �
1 �
a 1�
�a
�
�
�
� a 1
�
a a a a �
a�
a
1
�
�
a) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P = 7
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P > 6
Bµi 17: Cho biÓu thøc : P =
2
�a
1 �� a 1
a 1�
Bµi 18: Cho biÓu thøc: P = �
��
�
�2 2 a �� a 1
a 1�
�
��
�
a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 0
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P = -2
Bµi 19: Cho biÓu thøc P =
a b
2
4 ab a b b a
.
a b
ab
a) Rót gän P
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a = 2 3 vµ b = 3
�x 2
x
1 � x 1
:
Bµi 20: Cho biÓu thøc : P = �
�x x 1 x x 1 1 x �
� 2
�
�
a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng P > 0 x �1
�2 x x
1 ��
x 2 �
Bµi 21: Cho biÓu thøc : P = �
: 1
��
�
�x x 1
�
x 1 ��
�
�� x x 1 �
a) Rót gän P
b) TÝnh P khi x= 5 2 3
3x
�
�
� 1
� 1
2
Bµi 22: Cho biÓu thøc P = 1: �
2
�:
�2 x 4 x 4 2 x �4 2 x
�
�
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 20
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
11
2
� x y xy
�:
�
x y
�
b) Chøng minh P �0
� 1
� 1
3 ab ��
3 ab � a b �
Bµi 24: Cho biÓu thøc P = �
.�
�
��
�:
� a b a a b b ��
� a b a a b b �
�
�
��
�a ab b �
�
a) Rót gän P
b) TÝnh P khi a =16 vµ b = 4
�2a a 1 2a a a a �a a
Bµi 25: Cho biÓu thøc: P = 1 �
.
�
� 1 a
�2 a 1
1 a a
�
�
6
2
a) Cho P=
t×m gi¸ trÞ cña a
b) Chøng minh r»ng P >
3
1 6
�x 5 x �� 25 x
x 3
x 5�
Bµi 26: Cho biÓu thøc: P = �
1��
:
�
�x 25
��x 2 x 15
x 5
x 3�
�
��
�
a) Rót gän P
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P < 1
3
3
�
Bµi 23: Cho biÓu thøc : P = � x y x y
�x y
yx
�
a) Rót gän P
� a 1 . a b
�:
a b�
� 2a 2 ab 2b
b) T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn
a 2�
�
a 1 �
�
1
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P >
6
�
�1
1 � 2
1 1 � x3 y x x y y 3
.
�:
Bµi 29: Cho biÓu thøc: P = �
�
�
�x
y�
�
x 3 y xy 3
�
� x y x y�
�
�
a) Rót gän P
b) Cho x.y = 16. X¸c ®Þnh x, y ®Ó P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt
�
3a
Bµi 27: Cho biÓu thøc P = � 3 a
�a ab b a a b b
�
a) Rót gän P
� 1
1 �� a 1
Bµi 28: Cho biÓu thøc P = �
�: �
a ��
� a 1
� a 2
Bµi 30: Cho biÓu thøc : P =
x3
xy 2y
2x
1
.
1 x
x x 2 xy 2 y 1 x
a) Rót gän P
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng x ®Ó y = 625 vµ P < 0,2
� x 2
x 2 � x 1
.
Bµi 31 : Cho biÓu thøc : Q = �
�x 2 x 1 x 1 �
� x
�
�
a) T×m x ®Ó Q Q
Bµi 32 : Cho biÓu thøc P =
b) T×m sè nguyªn x ®Ó Q cã gi¸ trÞ nguyªn.
1
x 1
x
x x
a) Rót gän biÓu thøc sau P.
Bµi 33 : Cho biÓu thøc : A =
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x =
1
2
x x 1 x 1
x 1
x 1
a) Rót gän biÓu thøc
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x =
c) T×m x ®Ó A < 0.
d) T×m x ®Ó
1
4
A A
� 1
� 3 �
1 �
Bµi 34 : Cho biÓu thøc : A = �
1
�
�
�
a 3�
� a 3
� a�
a) Rót gän biÓu thøc sau A.
b) X¸c ®Þnh a ®Ó biÓu thøc A >
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
1
.
2
12
�x 1 x 1 x 2 4x 1 �x 2010
.
Bµi 35 : Cho biÓu thøc: A = �
.
�
x2 1 � x
�x 1 x 1
a) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi x ®Ó biÓu thøc cã nghÜa.
b) T×m x Z ®Ó A Z
�
�2 x 2 x 1
Bµi 36 : Cho biÓu thøc: A = �x x 1 x x 1 �:
.
�x x x x �
x
1
�
�
a) T×m x ®Ó A < 0.
b) T×m x nguyªn ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn
�x 2
x
1 � x 1
Bµi 37 : Cho biÓu thøc: A = �
:
�x x 1 x x 1 1 x �
� 2
�
�
a) Rót gän biÓu thøc A.
b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2
a 3
a 1 4 a 4
Bµi 38 : Cho biÓu thøc: P =
(a �0; a 4)
4a
a 2
a 2
a) Rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9
� a a �
� a a �
Bµi 39 : Cho biÓu thøc: N = �
1
1
�
�
� a 1 �
� a 1 �
�
�
�
�
�
a) Rót gän biÓu thøc N.
b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó N = -2010
x x 26 x 19 2 x
x 3
Bµi 40 : Cho biÓu thøc P
x2 x 3
x 1
x 3
a) Rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x 7 4 3
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã
�2 x
x
3x 3 ��2 x 2 �
Bµi 41 : Cho biÓu thøc P �
:
1�
��
� x 3
�� x 3
�
x
9
x
3
�
��
�
1
a) T×m x ®Ó P
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
2
� a 1
��
a 1
1 �
4 a�
.� a
Bµi 42: Cho A= �
�víi x > 0 ,x 1
� a 1
��
a
1
a
�
�
�
a) Rót gän A
b) TÝnh A víi a = 4 15 .
10 6 .
4 15
�x 3 x �� 9 x
x 3
x 2 �
1��
:
Bµi 43: Cho A= �
�víi x �0 , x 9, x 4
� x9
��x x 6
x 2
x 3�
�
��
�
a) T×m x ®Ó A < 1.
b) T×m x �Z ®Ó A Z
15 x 11 3 x 2 2 x 3
Bµi 44: Cho A =
víi x �0 , x 1.
x 2 x 3 1 x
x 3
a) Rót gän A.
b) T×m GTLN cña A.
1
2
c) T×m x ®Ó A =
d) CMR : A �
2
3
x2
x 1
1
Bµi 45: Cho A =
víi x �0 , x 1.
x x 1 x x 1 1 x
a) Rót gän A.
b) T×m GTLN cña A
1
3
2
Bµi 46: Cho A =
víi x �0 , x 1.
x 1 x x 1 x x 1
a) Rót gän A.
b) CMR : 0 �A �1
�x 5 x �� 25 x
x 3
x 5�
Bµi 47: Cho A = �
1��
:
�
�x 25
��x 2 x 15
x 5
x 3 �
�
��
�
a) Rót gän A.
b) T×m x �Z ®Ó A Z
2 a 9
a 3 2 a 1
Bµi 48: Cho A =
víi a �0 , a 9 , a 4.
a5 a 6
a 2 3 a
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
13
a) T×m a ®Ó A < 1
b) T×m x �Z ®Ó A Z
�x x 7
1 �� x 2
x 2 2 x �
Bµi 49: Cho A = �
:
víi x > 0 , x 4.
��
�
� x4
�� x 2
�
x
4
x
2
x
2
�
��
�
1
a) Rót gän A.
b) So s¸nh A víi
A
3
3
� xy
�
x
y
Bµi 50: Cho A = �
�:
�x y
yx �
�
�
a) Rót gän A.
x y
2
xy
x y
víi x �0 , y �0, x y
b) CMR : A �0
x x 1 x x 1 �
1 �� x 1
x 1�
Bµi 51 : Cho A =
�x
.�
� Víi x > 0 , x 1
�
�
x x x x �
x �� x 1
x 1�
�
a) Rót gän A.
b) T×m x ®Ó A = 6
�
�
x 4
3 �� x 2
x �
�
Bµi 52 : Cho A =
:�
� víi x > 0 , x 4.
� x x 2
x 2 ��
x
x 2�
�
�
�
�
a) Rót gän A
b) TÝnh A víi x = 6 2 5
1 �� 1
1 � 1
� 1
:
Bµi 53 : Cho A= �
víi x > 0 , x 1.
��
�
1 x 1 x ��
1 x 1 x � 2 x
�
a) Rót gän A
b) TÝnh A víi x = 6 2 5
�2x 1
Bµi 54 : Cho A = � 3
�
� x 1
a) Rót gän A.
� 1
Bµi 55: Cho A= �
� x 1 x
�
a) Rót gän A.
�2 x
Bµi 56 : Cho A = �
� x 3
�
��
x4 �
:�
1
�
�víi x �0 , x 1.
x 1�
x
x
1
�
�
�
b) T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn
�� 1
2 x 2
2 �
:�
�
� víi x �0 , x 1.
x
1
x x x 1�
x
1
�
�
�
b) T×m x ®Ó A ®¹t GTNN
x
3x 3 ��2 x 2 �
:
1� víi x �0 , x 9
��
�
x 3 x 9 ��
�� x 3
�
1
a) Rót gän A.
b) T×m x ®Ó A < 2
� x 1
x 1 8 x �� x x 3
1 �
Bµi 57 : Cho A = �
:
��
� víi x �0 , x 1.
� x 1
��
x 1 x 1 �� x 1
x 1�
�
�
a) TÝnh A víi x = 6 2 5
b) CMR : A 1
1
1 �
x 1
� 1
Bµi 58 : Cho A = �
víi x > 0 , x 1.
�:
x 1 �x 2 x 1
�x x
a) Rót gän A
b) So s¸nh A víi 1
� x 1
1
8 x �� 3 x 2 �
1
Bµi 59 :
Cho A = �
: 1
Víi x �0,x �
�3 x 1 3 x 1 9x 1 ��
�� 3 x 1 �
�
9
�
��
�
6
a) T×m x ®Ó A =
b) T×m x ®Ó A < 1.
5
� x 2
x 2 �x 2 2x 1
.
Bµi 60 : Cho A = �
víi x �0 , x �1.
�x 1 x 2 x 1 �
� 2
�
�
a) Rót gän A.
b) CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c) TÝnh A khi x = 3 + 2 2
d) T×m GTLN cña A
Bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
14
Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh : m 2x
2
2 1 2 x m2
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m 2 1
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 3 2
c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt
Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh : m 4 x 2 2mx m 2 0
(x lµ Èn )
a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 2 .T×m nghiÖm cßn l¹i
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm ph©n biÖt
c) TÝnh x12 x 22 theo m
Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh : x 2 2 m 1 x m 4 0
(x lµ Èn )
a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm tr¸i dÊu
b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m
c) Chøng minh biÓu thøc M = x1 1 x 2 x 2 1 x1 kh«ng phô thuéc vµo m.
Bµi 4: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh
a) x 2 x 2 m 1 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt
b) 4x 2 2x m 1 0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt
c) m2 1 x 2 2 m 1 x 2m 1 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh : x 2 a 1 x a2 a 2 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi a
b) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 .T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó x12 x 22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
1 1 1
Bµi 6: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m ·n hÖ thøc: . Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh sau
b c 2
ph¶i cã nghiÖm x2 + bx + c = 0 vµ x2 + cx + b = 0
Bµi 7: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung:
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 vµ 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh : 2x 2 2mx m2 2 0
a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt
b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m, t×m nghiÖm d¬ng lín nhÊt cña ph¬ng tr×nh
Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai tham sè m : x 2 4x m 1 0
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
b) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m · n ®iÒu kiÖn x12 x 22 = 10
Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2 m 1 x 2m 5 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cung dÊu . Khi ®ã hai nghiÖm mang dÊu g× ?
Bµi 11: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2 m 1 x 2m 10 0 (víi m lµ tham sè )
a) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
b) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x 1; x2 h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x 1; x2 mµ
kh«ng phô thuéc vµo m
c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó 10x1x 2 x12 x 22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
Bµi 12: Cho ph¬ng tr×nh m 1 x 2 2mx m 1 0 víi m lµ tham sè
a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt m �1
b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m dÓ ph¬ng tr×nh cã tÝch hai nghiÖm b»ng 5, tõ ®ã h·y tÝnh tæng hai nghiªm cña ph ¬ng tr×nh
c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m
x x 5
d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n hÖ thøc: 1 2 0
x 2 x1 2
2
Bµi 13: Cho ph¬ng tr×nh: x mx m 1 0 (m lµ tham sè)
a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x 1; x2 víi mäi m; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ
cña m t¬ng øng
b) §Æt A x12 x 22 6x1x 2 . Chøng minh A m2 8m 8 .
c) T×m m ®Ó A = 8 vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng.
d) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm kia
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
15
Bµi 14: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh a.x 2 bx c 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1; x2. §Æt Sn x1n xn2 (n nguyªn d¬ng)
a) Chøng minh: a.Sn 2 bSn1 cSn 0
5
5
�
1 5 � �
1 5 �
b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A= �
�
�
� 2 � � 2 �
�
�
� �
�
Bµi 15: Cho f(x) = x2 - 2 (m + 2).x + 6m + 1
a) CMR ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m
b) §Æt x = t + 2 .TÝnh f(x) theo t, tõ ®ã t×m ®iÒu kiÖn ®èi víi m ®Ó ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã 2 nghiÖm lín h¬n 2
Bµi 16: Cho ph¬ng tr×nh: x 2 2 m 1 x m2 4m 5 0
a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d¬ng
c) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau vµ tr¸i dÊu nhau
d) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm nÕu cã cña ph¬ng tr×nh . TÝnh x12 x 22 theo m
Bµi 17: Cho ph¬ng tr×nh x 2 4x 3 8 0 cã hai nghiÖm lµ x1; x2. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu
6x12 10x1 x 2 6x 22
thøc : M
5x1x 23 5x13 x 2
Bµi 18: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2 m 2 x m 1 0
1
2
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
c) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m m ®Ó : x1(1 2x 2 ) x 2 (1 2x1) m2
Bµi 19: Cho ph¬ng tr×nh x 2 mx n 3 0 (1) (n , m lµ tham sè)
a) Cho n = 0 . CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m
�x x 1
b) T×m m vµ n ®Ó hai nghiÖm x1; x2 cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n hÖ : �21 22
�x1 x 2 7
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m =
Bµi 20: Cho ph¬ng tr×nh: x 2 2 k 2 x 2k 5 0 ( k lµ tham sè)
a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k
b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña k sao cho x12 x 22 18
Bµi 21: Cho ph¬ng tr×nh 2m 1 x 2 4mx 4 0 (1)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 1
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m bÊt k×
c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm b»ng m
Bµi 22: Cho ph¬ng tr×nh: x 2 2m 3 x m2 3m 0
a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m
b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n 1 x1 x 2 6
Bµi 23: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2mx 2m 1 0
a) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m.
b) §Æt A = 2(x12 x 22 ) 5x1x 2 . CMR A = 8m2 18m 9 . T×m m sao cho A = 27
c) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nay b»ng hai nghiÖm kia
Bµi 24: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = 0
Bµi 25: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: (m - 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0
Bµi 26: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0
d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0
Bµi 27: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
Bµi 28: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – 7 = 0
a) TÝnh: A = x12 + x22
B = x1 x 2
C=
1
1
x1 1 x 2 1
b) LËp ph¬ng tr×nh bËc 2 cã c¸c nghiÖm lµ
D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
1
1
vµ
x1 1
x2 1
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
16
Bµi 29: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè)
a) Chøng minh ph¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k
b) T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña k ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu
c) Gäi x1, x2 lµ nghÖm cña ph¬ng tr×nh (1) .T×m k ®Ó : x13 + x23 > 0
Bµi 30: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m lµ tham sè)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5
b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m
c) T×m m ®Ó x1 x 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (x1 , x2 lµ ha1 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) nãi trong phÇn b)
Bµi 31: Cho ph¬ng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m lµ tham sè)
9
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 2
b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m
c) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn
nghiÖm kia.
Bµi 32: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè .
a) BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
b) T×m m ®Ó (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.
c) T×m m ®Ó (1) cã mét nghiÖm b»ng 3. T×m nghiÖm thø hai.
Bµi 33: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè
a) T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp
b) T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x12 + x22 = 10
Bµi 34: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x 1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y
tÝnh: a) x12 + x22
b) x1 x1 x 2 x 2
c)
x12 x 22 x1x x x1 x2
.
x12 x12 1 x 22 x 22 1
Bµi 35: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
b) T×m gi¸ trÞ cña m tho¶ m· n x12 + x22 = 12 (trong ®ã x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh).
Bµi 36: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0.
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
b) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
c) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2, t×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8.
Bµi 37: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 0.
b) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = 4.
Bµi 38: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1).
b) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). TÝnh B = x13 + x23.
Bµi 39: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham sè).
a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm lµ b»ng 2. T×m nghiÖm cßn l¹i.
b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m· n x13 + x23 �0.
Bµi 40: Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1.
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi 41: Cho ph¬ng tr×nh (2m - 1)x2 - 2mx + 1 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1, 0)
Bµi 42: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã:
a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0 vµ 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – 1 = 0 vµ mx2 – x + 2 = 0.
c) x2 – mx + 2m + 1 = 0 vµ mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0.
Bµi 43: XÐt c¸c ph¬ng tr×nh sau: ax2 + bx + c = 0 (1) vµ cx2 + bx + a = 0 (2)
T×m hÖ thøc gi÷a a, b, c lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai ph¬ng tr×nh trªn cã mét nghiÖm chung duy nhÊt.
Bµi 44: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) vµ x2 – mx + 10m = 0 (2)
T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm b»ng hai lÇn mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
Bµi 45: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = 0 vµ x2 + ax + 1 = 0
a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó cho hai ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung.
b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× hai ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng.
Bµi 46: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + mx + 2 = 0 (1) vµ x2 + 2x + m = 0 (2)
a) §Þnh m ®Ó hai ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung.
b) §Þnh m ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng.
c) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt
Bµi 47: Cho c¸c ph¬ng tr×nh: x2 – 5x + k = 0 (1) vµ x2 – 7x + 2k = 0 (2)
X¸c ®Þnh k ®Ó mét trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lín gÊp 2 lÇn mét trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
(1).
Bµi tËp vÒ hµm sè bËc nhÊt
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
17
Bµi 1: a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4).
b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng trªn víi trôc tung vµ trôc hoµnh
Bµi 2 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn.
b) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3.
c) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè trªn vµ c¸c ®å thÞ cña c¸c hµm sè y = -x + 2 ; y = 2x – 1 ®ång quy
Bµi 3: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.
a) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1.
b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1; -4).
c) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi m
Bµi 4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®êng th¼ng AB ®ång
thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2).
Bµi 5: Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3.
a) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (2; 5)
b) Chøng minh r»ng ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. T×m ®iÓm cè ®Þnh Êy.
c) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 2 1
6x
4x 5
Bµi 6 : T×m gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c ®êng th¼ng sau : y =
;y=
vµ y = kx + k + 1 c¾t nhau t¹i mét ®iÓm.
4
3
Bµi 7 : Gi¶ sö ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = ax + b. X¸c ®Þnh a, b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A(1; 3) vµ B(-3; -1).
Bµi 8 : Cho hµm sè : y = x + m
(D). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®êng th¼ng (D) :
a) §i qua ®iÓm A(1; 2010).
b) Song song víi ®êng th¼ng x – y + 3 = 0.
Bµi 9: Cho hµm sè y = (m - 2)x + n
(d)
T×m gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó ®å thÞ (d) cña hµm sè :
a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4)
b) C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cãtung ®é b»ng 1- 2 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 2+ 2 .
c) C¾t ®êng th¼ng -2y + x – 3 = 0
d) Song song vèi ®êng th¼ng 3x + 2y = 1
Bµi 10: Cho hµm sè : y 2x 2 (P)
a) VÏ ®å thÞ (P)
b) T×m trªn ®å thÞ c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai trôc to¹ ®é
c) XÐt sè giao ®iÓm cña (P) víi ®êng th¼ng (d) y mx 1 theo m
d) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') ®i qua ®iÓm M(0; -2) vµ tiÕp xóc víi (P)
Bµi 11 : Cho (P) y x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y 2x m
1) X¸c ®Þnh m ®Ó hai ®êng ®ã :
a) TiÕp xóc nhau . T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm
b) C¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B , mét ®iÓm cã hoµnh ®é x= -1. T×m hoµnh ®é ®iÓm cßn l¹i
T×m to¹ ®é A vµ B
2) Trong trêng hîp tæng qu¸t, gi¶ sö (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N. ×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña
®o¹n MN theo m vµ t×m quü tÝch cña ®iÓm I khi m thay ®æi.
Bµi 12: Cho ®êng th¼ng (d) 2(m 1)x (m 2)y 2
a) T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) c¾t (P) y x 2 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B
b) T×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n AB theo m
c) T×m m ®Ó (d) c¸ch gèc to¹ ®é mét kho¶ng Max
d) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ (d) ®i qua khi m thay ®æi
Bµi 13: Cho (P) y x 2
a) T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho tõ ®ã cã thÓ kÎ ®îc hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau vµ tiÕp xóc víi
(P)
b) T×m trªn (P) c¸c ®iÓm sao cho kho¶ng c¸ch tíi gèc to¹ ®é b»ng 2
3
Bµi 14: Cho ®êng th¼ng (d) y x 3
4
a) VÏ (d). TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®îc t¹o thµnh gi÷a (d) vµ hai trôc to¹ ®é
b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ gèc O ®Õn (d)
Bµi 15: Cho hµm sè y x 1 (d)
a) NhËn xÐt d¹ng cña ®å thÞ. VÏ ®å thÞ (d)
b) Dïng ®å thÞ , biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 1 m
Bµi 16: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ®êng th¼ng : (d) y (m 1)x 2
(d') y 3x 1
a) Song song víi nhau
b) C¾t nhau
c) Vu«ng gãc víi nhau
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
18
Bµi 17: T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó ba ®êng th¼ng : (d1): y = 2x – 5; (d2): y = x + 2; (d3): ax - 12 ®ång quy t¹i mét ®iÓm trong
mÆt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 18: CMR khi m thay ®æi th× (d) 2x + (m - 1)y = 1 lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
1
Bµi 20: Cho (P) y x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y=ax + b .X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®I qua ®iÓm A(-1; 0) vµ tiÕp
2
xóc víi (P).
Bµi 21: Cho hµm sè y x 1 x 2
a) VÏ ®å thÞ hµn sè trªn
b) Dïng ®å thÞ c©u a biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 1 x 2 m
Bµi 22: Cho (P) y x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y = 2x + m
a) VÏ (P)
b) T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d)
2
x
Bµi 23: Cho (P) y
vµ (d) y = x + m
4
a) VÏ (P)
b) X¸c ®Þnh m ®Ó (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B
c) X¸c ®Þnh ®êng th¼ng (d') song song víi ®êng th¼ng (d) vµ c¾t (P) t¹i ®iÎm cã tung ®é b»ng -4
d) X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d'') vu«ng gãc víi (d') vµ ®i qua giao ®iÓm cña (d') vµ (P)
Bµi 24: Cho hµm sè y x 2 (P) vµ hµm sè y = x + m (d)
a) T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B
b) X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P)
c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. ¸p dông. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai
®iÓm A vµ B b»ng 3 2
Bµi 25: Cho ®iÓm A(-2; 2) vµ ®êng th¼ng ( d1 ) y = -2(x + 1)
a) T×m a ®Ó hµm sè y a.x 2 (P) ®i qua A
b) X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d2) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (d1)
c) Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ (d 2) ; C lµ giao ®iÓm cña (d 1) víi trôc tung. T×m to¹ ®é cña B vµ C. TÝnh
diÖn tÝch tam gi¸c ABC
1
Bµi 26: Cho (P) y x 2 vµ ®êng th¼ng (d) qua hai ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é lÇm lît lµ -2 vµ 4
4
a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d)
2;4 �
c) T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t¬ng øng hoµnh ®é x ��
�
�sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt.
x2
vµ ®iÓm M (1; -2)
4
a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua M vµ cã hÖ sè gãc lµ m
b) CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B khi m thay ®æi
c) Gäi x A ; xB lÇn lît lµ hoµnh ®é cña A vµ B .X¸c ®Þnh m ®Ó x A2 xB x A xB2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
d) Gäi A' vµ B' lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña A vµ B trªn trôc hoµnh vµ S lµ diÖn tÝch tø gi¸c AA'B'B.
*TÝnh S theo m;
*X¸c ®Þnh m ®Ó S= 4(8 m2 m2 m 2)
Bµi 27: Cho (P) y
Bµi 28: Cho hµm sè y x 2 (P)
a) VÏ (P)
b) Gäi A,B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB
c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P)
1
Bµi 29: Trong hÖ to¹ ®é xOy cho Parabol (P) y x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y mx 2m 1
4
a) T×m m sao cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm
b) Chøng tá r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
1
Bµi 30: Cho (P) y x 2 vµ ®iÓm I(0; -2) .Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m.
4
a) VÏ (P) . CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B m �R
b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®o¹n AB ng¾n nhÊt
3
x2
Bµi 31: Cho (P) y
vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( ;1) cã hÖ sè gãc lµ m
2
4
a) T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P)
b) T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
19
x
x2
vµ ®êng th¼ng (d) y 2
2
4
a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d)
b) T×m to¹ ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®êng tiÕp tuyÕn cña (P) song song víi (d)
Bµi 33: Cho (P) y x 2
a) Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P)
Bµi 34: Cho (P) y 2x 2 . Trªn (P) lÊy ®iÓm A cã hoµnh ®é x=1 vµ ®iÓm B cã hoµnh ®é x=2 . X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña
m vµ n ®Ó ®êng th¼ng (d) y=mx+n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB
(d1 )x y m
Bµi 35: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh
c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn (P)
(d2 )mx y 1
Bµi 32: Cho (P) y
y 2x 2
Ph¬ng tr×nh – bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Çn
HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y:
x
x
2x 3 - 1
a)
b) 3
=2
2
x - 1 x2
x + x +1
Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m:
(m – 2)x + m2 – 4 = 0
Bµi 3: T×m m Z ®Ó ph¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm nguyªn: (2m – 3)x + 2m 2 + m - 2 = 0.
Bµi 3: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: 7x + 4y = 23.
Bµi 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2x 3y 5
2x y 3
�
�x 4y 6
�
a) �
b) �
c) �
5 y 4x
�3x 4y 2
�4x 3y 5
�
5
�2
�x x y 2
2x 4 0
�x y 1
�
�
d) �
e) �
f) �
�4x 2y 3
�x y 5
�3 1 1,7
�
�x x y
mx y 2
�
Bµi 5: Cho hÖ ph¬ng tr×nh : �
�x my 1
a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m.
b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x + y = -1.
c) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m
�x 2y 3 m
Bµi 6: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: �
2x y 3(m 2)
�
a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi thay m = -1.
b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m m ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
(a 1)x y a
�
Bµi 7: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: �
cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y).
�x (a 1)y 2
a) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo a.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 5.
2x 5y
c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó biÓu thøc
nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
xy
�x ay 1
(1)
Bµi 8: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: �
ax y 2
�
a) Gi¶i hÖ (1) khi a = 2.
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
mx y n
�
Bµi 9: X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè m vµ n, biÕt r»ng hÖ ph¬ng tr×nh �
cã nghiÖm lµ 1; 3 .
nx my 1
�
�
a 1 x y 4 (a lµ tham sè).
Bµi 10: Cho hÖ ph¬ng tr×nh �
ax y 2a
�
a) Gi¶i hÖ khi a = 1.
Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n
20
- Xem thêm -
.DOC 
33 
3248 
126 
