GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.
2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.
4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN
PHẦN 2:
TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ.
PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
A. Phương pháp:
Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân
thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm
hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa.
B. Ví dụ:
1
dx
VD1: Tính tích phân I = �e2x - ex .
0
Giải :
1
dx
=
Biến đổi I về dạng I = �x x
e
(e
+
1
)
0
1
[(ex + 1) - ex ]dx
�
ex (ex + 1)
0
1
1
1
( x - x
)dx
=�
e
e +1
0
1
=
1 ex + 1 - ex
(
)dx
�
ex
ex + 1
0
1
=
�(e- x - 1 +
0
ex
)dx
e +1
x
= (- e- x - x + ln ex + 1)10 =
VD2: Tính caùc tích phaân sau:
2 2
x 2x
I
a/
� x3 dx;
1
4
b/
x
J�
(3x e 4 )dx.
0
Giaûi:
2
2
2�
�1 2 � �
dx �
ln | x | � (ln 2 1) (ln1 2) ln 2 1.
a/ Ta coù: I �
� 2�
x x � �
x �1
1�
1
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
4
x
�3
�
b/ Ta coù: J � x 2 4e 4 � (24 4e) (0 4) 28 4e.
�2
�0
1
x5
I
dx.
VD3: Tính tích phaân:
�
2
x
1
0
Giaûi:
Từ x 5 x3 (x 2 1) x(x2 1) x.
1
1
x � �
1
1
1
1
�3
� 1
x x 2
dx � x 4 x 2 ln(x 2 1)]� ln 2 .
Ta ñöôïc: I �
�
�
4
2
2
4
x 1� �
�0 2
0�
/ 2
VD4: Tính
sin x
�cos x sin x dx.
0
Giaûi:
sin x
�cos x sin x � (A B)cos x (A B)sin x
A B�
�
cos x sin x
cos x sin x
�cos x sin x �
AB 0
�
1
� AB .
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: �
A B 1
2
�
Ta coù:
Vaäy:
/ 2
/ 2
/ 2
sin x
1
� 1 cos x sin x � � 1
�
dx
dx
x
ln(cos
x
sin
x)
�cos x sin x
��
�
�
2(cos x sin x �
2
�
� �2
0
0
0 �2
.
4
C.Bài tập:
Tính:
4
tg 2 x 2
1) 2 dx
sin x
2)
4
tg x dx
2
4)
4
2
| x-2 | dx
0
6
5)
( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx
0
4
3
3)
3
3
4
3
x 2 6 x 9 dx
6)
4
| x2-4 | dx
7)
cos 2 x 1 dx
4
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
2
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
b
f ( x)dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
1) DẠNG 1: Tính I �
a
A. Phương pháp:
t u ( x) dt u ' ( x )dx (t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục trên tập xđ của t)
+) Đặt
+)Đổi cận :
x b t u(b)
x a t u(a)
+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
b
u (b)
a
u (a)
I f u ( x).u ' ( x)dx f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)
1
,ln x) thì đặt t = lnx.
x
+, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x).
+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.
Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý.
B. Ví dụ:
+, Khi gặp dạng f(x) có chứa (
CHÚ Ý:
e2
Tính tích phân I =
VD1
dx
�x ln x .
e
Giải
dx
x
x = e � t = 1, x = e2 � t = 2
Đặt t = ln x � dt =
2
�I =
dt
�t
= ln t
2
1
= ln2.
1
Vậy I = ln2 .
VD2: Tính tích phân I =
p
4
cosx
�(sin x + cosx)
3
dx .
0
Hướng dẫn:
p
4
I =
cosx
�(sin x + cosx)
3
p
4
dx =
0
1
�(tan x + 1)
3
0
.
dx . Đặt t = tan x + 1
cos2 x
3
ĐS: I = .
8
VD3:Tính tích phân:
3
dx
I =�
(1 + x) 2x + 3 .
1
2
Hướng dẫn:
Đặt t = 2x + 3
3
ĐS: I = ln .
2
3
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
1
VD4. Tính tích phân I =
3- x
� 1 + xdx .
0
Hướng dẫn:
3
3- x
t2dt
Đặt t =
; đặt t = tan u L
� L 8� 2
2
1+ x
(t
+
1
)
1
p
ĐS: I = - 3 + 2.
3
Chú ý:
1
3- x
I
=
dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn.
Phân tích
�
1
+
x
0
VD5:: Tính tích phaân : I
7
x3dx
�3 1 x2
0
Giaûi:
3t 2 dt
Ñaët t x 1 � t x 1, khi ñoù: 3t dt 2xdx � dx
.
2x
x= 0 � t = 1
�
Ñoåi caän:
�
x= 7 � t 2
�
3
2
3
2
2
x3dx
x3 .3t 2dt
3t(t 3 1)dt 3(t 4 t)dt.
Ta coù: 3
2xt
1 x2
2
2
�t 5 t 2 � 141
Khi ñoù: I 3�
(t t)dt 3 � �
.
5
2
10
�
�
1
1
4
C.Bài tập:
Tính các tích phân sau:
2
2
1) cos3 x sin 2 xdx ;
0
2
5) sin 2x(1 sin 2 x)3dx ;
6)
0
e
3
1 ln 2 x
dx ;
x
1
4
e
1
cos
0
4
x
1
3) sin 4x dx ;
1 cos2 x
0
2) cos5 xdx ;
0
9)
4
dx
;
7)
1
1
5
3 6
10) x (1 x ) dx ;
11)
0
6
0
1 ln x
dx ;
x
cos x
6 5sin x sin
0
3
2
4) x 1 x dx .
2
x
8)
4
1
cos xdx .
0
dx ;
12).
tg x
4
cos 2xdx
0
4
13) cos x sin x dx ;
3 sin 2 x
0
2
14)
0
sin 2 x
cos 2 x 4 sin 2 x
dx
.
x
3
ln 3 e 2e
ln 5
dx ;
15)
x
4
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
3
2
ln(tgx )
dx ;
17)
sin 2 x
16) sin 2 x dx ;
2
0 ( 2 sin x )
18)
4
4
8
(1 tg x )dx ;
19)
0
2
sin x cos x
dx .
1 sin 2 x
4
2
20) sin 2 x sin x dx ;
0
1 3 cos x
21)
2
sin 2 x cos x ;
dx
0 1 cos x
22)
2
sin x
(e cos x ) cos xdx ;
0
2
23)
1
x
1 x 1
1 3 ln x ln x
24)
dx ;
x
1
e
dx ;
4
2
25) 1 2 sin x dx .
0
1 sin 2 x
2) DẠNG 2:
b
f ( x )dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
A. Phương pháp: I �
a
Cách thực hiện:
+) Đặt x (t ) dx ' (t )dt ( trong đó (t ) là hàm số được lựa chọn thích hợp: ảnh của
(t ) nằm trong tập xác định của f và ' (t ) liên tục.)
+) Đổi cận :
x b t
x a t
+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
b
a
I f ( x)dx f (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý:
* Nếu f(x) có chứa:
- p p�
�
+, (a2 - x2)n thì đặt x = a .sin t với t �� ; �
, hoặc x = a .cost với t �[ 0; p] .
�2 2�
- p p�
�
�
; �, hoặc x = a .cot t với t �( 0; p) .
+, (a2 + x2)n thì đặt x = a .tant với t ��
�
�2 2�
a
a
2
2 n
+, ( x - a ) thì đặt x =
hoặc x =
.
sint
cost
a+ x a- x
+,
thì đặt x = acos2t
;
a- x a+ x
+, (x - a)(b - x) thì đặt x=a+(b-a)sin2t
B. Ví dụ
5
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
VD1 :Tính tích phân I =
1
2
1
� 1-
2
x
0
Giải
dx .
p p
�
- ; �
� dx = costdt
Đặt x = sin t, t ��
� 2 2�
�
1
p
x = 0 � t = 0, x = � t =
2
6
p
6
�I=
cost
dt =
sin2 t
� 10
p
6
=
p
6
cost
�cost dt
0
p
p
p
- 0= .
6
6
p
Vậy I = .
6
�dt = t 06 =
0
2
VD2: Tính tích phân I =
� 4-
x2 dx .
0
Hướng dẫn:
Đặt x = 2sin t
ĐS: I = p .
1
VD3:Tính tích phân I =
dx
�1 + x
2
.
0
Hướng dẫn:
� p p�
- ; �
� dx = (tan2 x + 1)dt
�
Đặt x = tan t, t ��
�
�
�
� 2 2�
x = 0 � t = 0, x = 1 � t =
p
4
�I =
�1 + tan
0
3- 1
VD4:Tính tích phân I =
�x
2
0
tan t + 1
dt =
2
t
p
Vậy I = .
4
2
p
4
p
4
p
�dt = 4 .
0
dx
.
+ 2x + 2
Hướng dẫn:
3- 1
dx
I = � 2
=
x + 2x + 2
0
3- 1
dx
�1 + (x + 1)
2
.
0
Đặt x + 1 = tan t
p
ĐS: I = .
12
2
2
VD5: Tính tích phaân : I �
0
x2
1 x2
dx.
6
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Giaûi:
Ñaët x = sint, khi ñoù: dx = costdt
x2dx
Laïi coù:
1 x2
sin2 t.costdt
1 sin 2 t
x= 0 � t = 0
�
�
2
vôùi �
x=
�t
�
� 2
4
.Ñoåi caän:
sin 2 t.costdt sin 2 t costdt 1
(1 cos2t)dt.
cost
cos t
2
/ 4
1 / 4
1� 1
�
I
(1 cos2t)dt �
t sin 2t �
Khi ñoù:
�
2 0
2� 2
�0
VD6: Tính tích phaân : I
2/ 3
�x
2
1
.
8 4
dx
x2 1
Giaûi:
1
cos t
, khi ñoù : dx 2 dt
sin t
sin t
�
x=
1
�
t
=
�
�
2
Ñoåi caän:
� 2
�
x=
�t
3
� 3
Ñaët x
1
cos tdt
sin 2 t
�
1
Khi ñoù: / 3
1
sin t
1
sin2 t
/ 2
/ 2
/ 2
�dt t / 3
/ 3
6
0
ax
I
VD7: Tính tích phaân :
�a x dx, (a 0)
a
Ñaët x a.cos2t, khi ñoù: dx 2a.sin 2tdt.
Ñoåi caän:
Laïi coù:
Giaûi:
�
x=
-a
�
t
=
�
2
�
�
x=0 � t
�
4
ax
a a.cos2t
dx
(2a.sin 2tdt) cot t (2a.sin 2tdt)
ax
a a.cos2t
4a.cos2 t.dt 2a(1 cos2t)dt.
7
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
/ 2
/ 2
� 1
�
� �
(1 cos2t)dt 2a �
t sin 2t � a �
1 �.
Do ñoù: I 2a �
2
4�
�
�
�
/ 4
/ 4
VD8: Tính tích phaân : I
/ 3
cosdx
� 2
/ 6 sin x 5sin x 6
Giaûi:
Ñaët x = sint, khi ñoù: dt = cosxdx
1
�
x=
� t=
�
� 6
2
Ñoåi caän:
�
3
�
x= � t
� 3
2
cosdx
dt
dt
2
Ta coù:
2
sin x 5sin x 6 t 5t 6 (t 2)(t 3)
B � [(A B)t 2A 3B]dt
�A
�
dt
�
(t 2)(t 3)
�t 3 t 2 �
AB0
�
�
2A 3B 1
�
Töø ñoù: �
Suy ra:
A 1
�
�
B 1
�
cos xdx
1 �
�1
�
dt.
�
sin x 5sin x 6 �t 3 t 2 �
2
3/2
1 �
t 3
�1
Khi ñoù: I ��
dt ln
�
t 3 t 2�
t 2
1/ 2 �
3/2
ln
1/ 2
3(6 3)
5(4 3)
C.Bài tập:
Tính các tích phân sau:
1
x
dx
1) 4
x x2 1
0
5)
2
3
x
2
9)
2
0
1
2)
dx
1 cos x sin x
0
3
1
x2 1
dx
cos x
dx
7 cos 2 x
1
2
6)
9 3x 2
dx
x2
1
3)
2
2
0
1 x2
1
7))
2
5
11)
1
2
1 x
0
2
2
4) x 4 x dx
dx
(1 x )
1
1 x4
dx
10)
1 x6
0
x2
dx
8)
cos x
1 cos
0
2
x
dx
x
2
3
1
x2 1
dx
dx
1 x 2x 2
0
12)
2
dx
2 x x 1
14)
dx .
0 1 1 3x
x 5
1
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
A. Phương pháp:
13)
8
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
* Kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:
d(a.x + b)
(a � 0) .
+, d(a.x + b) = a.dx � dx =
a
d(aex + b)
x
x
d(ae
+
b)
=
ae
.dx
�
dx
=
+,
.
a.ex
d(sinx)
d(cosx)
+, d(sinx) = cosx.dx � dx =
; d(cosx) = - sinx.dx � dx =
.
cosx
- sinx
dx
dx
1 d(a.x + b) 1
.
=
= ln(a.x + b) .
+, d(lnx) =
x
a.x + b a a.x + b
a
x.dx
2
2
+, d( x + a ) =
.
x2 + a2
B.Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
1
1)
dx
�2007.x + 2008 ;
2)
0
p
4
e
3)
2
�sin x.cosxdx;
e .dx
;
3e2x
�4 1
0
x
p
4
cot x.dx .
4) �
p
6
C. Bài tập Tính các tích phân sau:
1
1)
1
2 x2
1 x
0
3
x2
) dx;
2) (
2 x3
0
;
e
e
2 ln x
6) �
dx ;
x
1
2
dx
7)
;
e x 1 ln x
1
3)
1 x
0
1
2 x2
3
1
2
x
4) xe dx ;
dx ;
0
3
8) sin x dx ;
cos3 x
0
9)
3
3
2 x
5) x e dx .
1
1
sin x e
cos x
dx ;
0
10)
dx
.
+3
�2e
x
0
IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
A. Phương pháp:
Công thức tích phân từng phần:
b
b
u ( x).v' ( x)dx u ( x).v( x) a v( x).u ' ( x)dx
b
a
b
a
b
udv u.v a vdu
Hay:
b
a
a
Cách thực hiện:
+) Đặt
u u(x)
du u' (x)dx
dv v' ( x)dx v v( x)
b
b
+) Thay vào công thức tích phân từng từng phần : udv u.v a vdu
a
b
a
Chú ý:
9
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
+)Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
du = u/ (x)dx không quá phức tạp.
b
+)Hơn nữa, tích phân
�vdu phải tính được.
a
+)Đặc biệt:
b
i/ Nếu gặp
b
b
�P(x) sinaxdx, �P(x) cosaxdx, �e
ax
a
a
.P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt
a
u = P(x) .
b
ii/ Nếu gặp
�P(x) ln xdx thì đặt u = ln x .
a
b
b
�e
ax
iii/ Nếu gặp
.sinaxdx ,
a
�e
ax
.cosaxdx thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt
a
u = eax .
B. Ví dụ:
1
VD1:Tính tích phân I =
�xe dx .
x
0
Giải
u=x
�
�du = dx
�
Đặt �dv = ex dx � �
(chọn C = 0)
�
�
�v = ex
�
�
1
�
1
�xe dx = xe
x
x 1
0
-
0
�e dx = (x x
1)ex
1
0
= 1.
0
e
VD2Tính tích phân I =
�x ln xdx .
1
Giải
dx
�
du =
�
�u = ln x
�
x
��
Đặt �
�
�
2
�dv = xdx
�
x
�
�
v=
�
�
2
e
e
e
2
2
x
1
e +1
� �x ln xdx =
ln x - �xdx =
.
2
21
4
1
1
VD3Tính tích phân I =
p
2
�e
x
sin xdx .
0
Giải
p
2
�I =
u = sin x
�du = cosxdx
�
�
�
�
Đặt �
�
x
x
�
�
�dv = e dx
�v = e
�ex sin xdx = ex sin x
0
p
2
0
p
2
-
p
�ex cosxdx = e2 - J .
0
10
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
u = cosx
�du = - sin xdx
�
�
�
�
Đặt �dv = ex dx
�
x
�
�
�
�v = e
p
2
�e
x
�J =
cosxdx = ex cosx
p
2
0
0
p
� I = e2 - (- 1 + I) � I =
p
2
+ �ex sin xdx = - 1 + I
0
p
2
e + 1.
2
2
ln(1 x)
dx.
x2
1
VD4:Tính tích phaân: I �
Giaûi:
1
�
du
dx
�u ln(1 x)
�
�
�
1
x
� �
Ñaët: �
dx
1
dv
�
�
v
�
x2
� x
2
2
2
1
1
1
1 �
�1
dx ln3 ln 2 �
dx
Khi ñoù: I ln(x 1) �
�
�
x
2
x 1 x �
1
1 x(x 1)
1�
2
1
3
ln3 ln 2 (ln | x | ln(x 1)) ln 3 3ln 2.
2
2
1
1
VD5:Tính tích phaân:
0 (x
2
x)e2x dx
Giaûi:
1
0 (x
2
2x
x)e dx .
u x2 x
2x
dv e dx
Ñaët
1
2x 2
I = 2 e (x x)
1
2x
1
0
I1 =
2x
I1 = 2 e (2x 1)
0 (2x 1)e
1
=
dx
1 1
(2x 1)e2xdx e2 I1
2 0
, Ñaët
1
0
u 2x 1
2x
dv e dx
1 2x
e dx
0
1
1
3e2 1 (e2 1) e2 .
2
2
du 2x 1 dx
1 2x
v e
2
du 2x 1dx
1 2x
v 2 e
1
1
(3e2 1) e2x
2
2
Vaäy I = e2
1
0
1 2 e2
e
2
2
11
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
VD6:Tính tích phaân:
0
1x
5
3
.e x dx
Giaûi:
0
3
I = 1x5 .e x dx . Ñaët t = –x3 dt = –3x2dx ,
x=0
I=
t = 0 , x = –1 t = 1
0
t
1
u t
t
dv e dt
Ñaët
1
1
1
t
1 ( t).e 3 dt 3 0 t.e dt 3 I1 .
t
I1 = e .t
1
0
Vôùi I1 =
1
t
0 t e dt
.
du dt
t
v e
1 t
t
0 e dt e e
VD7:Tính tích phaân: I
/ 2
�(x
1
0
2
1
3
1.
Vaäy I = I1
1
3
1)sin xdx.
0
Giaûi:
�u (x 2 1)
du 2xdx
�
� �
v cos x
dv sin xdx
�
�
Ñaët: �
/ 2
2
Khi ñoù: I (x 1)cos x 0
Xeùt tích phaân J
2
/ 2
/ 2
0
0
�x cos xdx 1 2 �x cos xdx
(1)
/ 2
�x cos xdx.
0
du dx
�u x
�
��
dv cos xdx
v sin x
�
�
Ñaët: �
Khi ñoù: J xsin x
/ 2
0
/ 2
/ 2
�sin xdx 2 cos x 0
0
�
�2
1
2
(2)
�
�
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I 1 2 � 1 � 1.
VD8:Tính tích phaân:
1
0 xe
x
dx
Giaûi:
1
0 xe
x
dx
. Ñaët t = x
t2 = x 2tdt = dx
12
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
x=1 t=1 , x=0 t=0
I=
1 2 t
t e 2tdt
0
1
t 3
I1 = e .t
0
1
2 t 3et dt 2I1
0
1
3 et .t2 dt e 3I2
0
u t 2
Ñaët
1
01
2 et t dt e 2I3
0
u t
t
dv e dt
Ñaët
t
I3 = e .t
1
0
dt .
. vôùi I3 =
1 t
0 e
t dt
.
du dt
t
v e
1 t
e dt
0
1 t 2
0 e .t
du 2tdt
t
v e
t
1
. Vôùi I2 =
du 3t 2dt
t
v e
dv e dt
t 2
I2 = e .t
. Ñaët
u t3
t
dv e dt
e et
1
e (e 1) 1
0
Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e
e2x sin 2 xdx.
VD 9:Tính tích phaân: I �
0
Giaûi:
1 2x
Bieán ñoåi I veà daïng: I e sin xdx e (1 cos2x)dx
20
0
2x
2
(1)
1
e2 1
e dx e2x
Xeùt tích phaân: I1 �
2
2
2
0
0
2x
(2)
e2x cos2xdx
Xeùt tích phaân: I 2 �
0
du 2sin 2xdx
�
�u cos2x
�
� � 1 2x
Ñaët: �
2x
v e
dv
e
dx
�
�
� 2
1 2x
e2 1 2x
2x
e sin 2xdx
e sin 2xdx
Khi ñoù: I 2 e cos2x �
2
2 2 �
0
0
0
(3)
e2x sin 2xdx
Xeùt tích phaân: I 2, 1 �
0
du 2 cos2xdx
�
�u sin 2x
�
� � 1 2x
Ñaët: �
v e
dv e 2x dx
�
�
� 2
13
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
1 2x
I 2, 1 e sin �
e2x cos2xdx I 2 .
Khi ñoù:
2
0
0 44 2 4 4
1
3
(4)
I2
Thay (4) vaøo (3), ta ñöôïc: I 2
e2 1
e2 1
I2 � I 2
.
2 2
4 4
(5)
1 e2 1 e2 1
1
Thay (2), (5) vaøo (1), ta ñöôïc: I [
(
)] (e2 1).
2 2 2
4 4
8
t
I1 = e .t
1
0
1 t
1
t
0 e dt e e
0
1.
Vaäy I = 2
C. Bài tập
Tính tích phân
3
1) x sin xdx
cos2 x
0
1
5) (x 1) e dx
2
2x
0
1
9))
2
xtg xdx
0
2) x sin x cos xdx
2
0
4
2
3) x(2 cos x 1)dx
2
4)
0
e
6) (x ln x) dx
2
1
ln(1 x)
dx
x2
1
e
2
7)) cos x.ln(1 cos x)dx 8)
0
ln x
( x 1)
1
e
2
dx
1
2x
10) ( x 2)e dx
0
IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
A Phương pháp:
a
-Dạng 1:Nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
f(x)dx 0
a
- Dạng 2:Nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a
a
a
0
f(x)dx 2f(x)dx .
- Dạng 3:Nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
f ( x)
dx
f ( x )dx vôùi R + vaø a > 0
x
a 1
0
- Dạng 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì
b
b
a+b
x.f(x)dx
=
.
�
�f(x).dx
2
a
a
B. Ví dụ
VD1: Tính tích phân
1/ 2
1 x
I �
cos x.ln(
)dx
1 x
1/ 2
1 x
) thỏa:
Giải: nhận xét hs f(x) cos x.ln(
1 x
14
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
* Liên tục trên [-1/2;1/2]
* f(x) +f(-x) =......= 0
Theo tc 1 ta được I=0
VD2 :Tính tích phân
p
2
�cosx.ln(x +
I=
x2 + 1)dx
- p
2
VD3
Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) =
2 - 2.cos2x .
3p
2
Tính tích phân I =
�f(x).dx
- 3p
2
VD4:
Tính tích phân
p
2
p
1
b)J = �
( 2
- tan2(sinx)).dx .
cos (cosx)
0
x.sinx.cos x.dx ;
a) I = �
2
0
VD5:
Tính các tích phân
2p
ln(sinx + 1+ sin2 x)dx;
a) I = �
0
2008p
b) J =
�sin
2007
x.dx .
0
VD6:
Tính các tích phân sau:
1
x4
dx
a) x
2 1
1
sin 2 x
dx
c) x
3 1
1
1 x2
dx
b)
1 2x
1
PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.
Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
sin2 x = 1- cos2x = 1- t2.
Chú ý:
(sinx)2n+1 = (sin2 x)n.sinx = (1- t2)n.sinx
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I =
p
2
�cos
2
x sin3 xdx .
0
Giải
Đặt t = cosx � dt = - sin xdx
p
x = 0 � t = 1, x = � t = 0
2
15
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
p
2
1
0
�I =�
cos x(1 - cos x) sin xdx = - �
t (1 - t )dt =
2
2
2
2
Vậy I =
2
.
15
0
1
1
�t3 t5 �
�
2
2
4
�
(t
t
)dt
=
=
.
�
�
�
�
�
�
3
5
15
0
0
2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.
Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
cos2 x = sin2 x = 1- t2.
Chú ý:
(cosx)2n+1 = (cos2 x)n.cosx = (1- t2)n.cosx
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I =
p
2
�cos
5
xdx .
0
Giải
Đặt t = sin x � dt = cosxdx
p
x = 0 � t = 0, x = � t = 1
2
p
2
p
2
1
�I =�
cos xdx = �
(1 - sin x) cosxdx =
5
2
0
2
0
Vậy I =
1
� 2t3
�
t5 �
8
2 2
�
(1
t
)
dt
=
t
+
=
.
�
�
�
�
�
�
3
5
15
0
0
8
.
15
3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.
Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc
1+ cos2x
1- cos2x
1
cos2 x =
;sin2 x =
;sinx.cosx = sin2x
Chú ý:
2
2
2
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I =
p
2
�cos
4
x sin2 xdx .
0
Giải
p
2
p
2
p
2
p
2
1
1
1
I =�
cos4 x sin2 xdx = �cos2 x sin2 2xdx =
(1 - cos4x)dx + �
cos2x sin2 2xdx
�
4
16
4
0
0
0
0
p
p
p
2
2
2
�x
1
sin3 2x �
p
1
1
2
�
� .
=
sin
4x
+
=
=
(1
cos4x)dx
+
sin
2xd(sin2x)
�
�
�
�
�
�
16 64
24 �0
32
16 0
8 0
p
Vậy I =
.
32
Nhận xét:
Ví dụ 4. Tính tích phân I =
p
2
dx
�cosx + sin x + 1 .
0
Giải
x
1 2x
2dt
Đặt t = tg � dt = tg + 1 dx � dx = 2
2
2
2
t +1
p
x = 0 � t = 0, x = � t = 1
2
(
)
16
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
1
�I=
1
�1 0
2
t
2t
+
2
1+ t
1 + t2
2dt
.
1 + t2 =
+1
1
dt
�t + 1 = ln t + 1
1
0
= ln2 .
0
Vậy I = ln2 .
4. Dạng liên kết
p
Ví dụ 1. Tính tích phân I =
xdx
�sin x + 1 .
0
Giải
Đặt x = p - t � dx = - dt
x = 0 � t = p, x = p � t = 0
0
(p - t)dt
� I =- �
=
sin(p - t) + 1
p
p
�( sin t + 1 p
0
p
p
p
dt
= �
t
t
2 0
sin + cos
2
2
(
)
2
)
t
dt
sin t + 1
p
dt
p
dt
= p�
- I �I = �
sin t + 1
2 0 sin t + 1
0
t p
p
p
d p
dt
p
2 4 = p tg t - p
= �
4 0 cos2 t - p = 2 �
p
2
2 4
2 t
0 cos
2 4
2 4
Vậy I = p .
(
Tổng quát:
(
)
p
(
)
)
(
)
p
= p.
0
p
p
xf(sin x)dx = �
f(sin x)dx .
�
2 0
0
Ví dụ 2. Tính tích phân I =
�sin
2007
p
2
Mặt khác I + J =
p
2
Giải
p
Đặt x = - t � dx = - dt
2
p
p
x = 0� t = , x = � t = 0
2
2
p
p
sin2007
- t
2
2
cos2007 t
dx
=
p
p
�sin2007 t + cos2007 t dx = J (1).
- t + cos2007
- t
0
2
2
(
�dx =
0
Tổng quát:
sin2007 x
dx .
2007
2007
�
sin
x
+
cos
x
0
(
0
� I =-
p
2
p
2
)
)
(
p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p .
4
2
sin x
dx =
n
n
�
sin
x
+
cos
x
0
Ví dụ 3. Tính tích phân I =
)
n
p
6
p
2
cosn x
p
dx = , n �Z+ .
n
n
�
sin x + cos x
4
0
sin x
dx và J =
�
sin
x
+
3cosx
0
2
p
6
cos2 x
dx .
�
sin
x
+
3cosx
0
Giải
17
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
+, I - 3J =
p
6
2
2
sin x - 3cos x
dx =
3cosx
�sin x +
0
p
6
�(sin x -
3cosx)dx
0
= ( - cosx p
6
+, I + J =
dx
�sin x +
0
3sin x )
p
6
0
3 (1).
= 1-
p
6
1
dx
�
2 0 sin x + p
3cosx
3
p
Đặt t = x + � dt = dx
3
p
p
p
x = 0� t = , x = � t =
3
6
2
dx =
p
(
p
)
p
p
2
2
2
2
d(cost)
1
dt
1 sin tdt 1
1
1
1
� I +J = �
= � 2 = � 2
= �
d(cost)
2 p cos t - 1 4 p cost - 1 cost + 1
2 p sin t 2 p sin t
(
3
3
3
=
)
3
1 cost - 1
ln
4 cost + 1
p
2
p
3
=
1
ln 3 (2).
4
3
1- 3
�
�I - 3J = 1 - 3
�
I =
ln 3 +
�
�
4
� 16
��
Từ (1) và (2) � �
.
�
1
�
�
1
1- 3
I + J = ln 3
�
�
�
�
4
�J = 16 ln 3 4
3
1- 3
1
1- 3
Vậy I = ln 3 +
.
, J = ln 3 16
4
16
4
1
ln(1 + x)
dx .
Ví dụ 4. Tính tích phân I = �
1 + x2
0
p
4
Giải
x
=
tgt
�
dx = (1 + tg2t)dt
Đặt
p
x = 0 � t = 0, x = 1 � t =
4
ln(1 + tgt)
� 1 + tg t
�I =
2
0
p
4
�I =
p
4
( 1 + tg2t ) dt = �ln(1 + tgt)dt .
0
p
Đặt t = - u � dt = - du
4
p
p
t = 0� u = , t = � u = 0
4
4
0
�
)
u �
du
�
�
p
4
0
p
4
� 1 - tgu �
�
= �ln �
1+
du =
�
�
�
�
1
+
tgu
0
=
p
1 + tg( �ln(1 + tgt)dt = - �ln �
�
4
p
4
p
4
0
0
p
4
� 2
�
�
�
du
�
�ln �
�
1 + tgu �
0
p
�ln2du - �ln ( 1 + tgu ) du = 4 ln2 Vậy I =
I.
p
ln2 .
8
18
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
p
4
Ví dụ 5. Tính tích phân I =
cosx
dx .
x
+1
�2007
-
p
4
Giải
Đặt x = - t � dx = - dt
p
p
p
p
x=� t= , x= � t=4
4
4
4
-
p
4
p
4
cos(- t)
� I =- �
dt =
- t
+1
p 2007
2007t cost
t dt
�
p 1 + 2007
-
4
p
4
(1 + 2007t ) - 1
=�
costdt =
1 + 2007t
p
-
=
4
p
4
Tổng quát:
�( 1 -
-
p
4
)
1
costdt
2007t + 1
p
4
�costdt -
4
p
4
I �I =
p
4
1
costdt =
2�
p
-
4
p
4
�costdt =
0
2
.
2
Với a > 0 , a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - a; a ] thì
a
a
f(x)
f(x)dx .
�ax + 1dx = �
- a
0
Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên � và thỏa f(- x) + 2f(x) = cosx .
p
2
Tính tích phân I =
�f(x)dx .
-
p
2
Đặt J =
Giải
�f(- x)dx , x = - t � dx = - dt
-
p
2
p
p
p
p
� t= , x= � t=2
2
2
2
x=p
2
�I=
p
2
�f(- t)dt = J
p
2
� 3I = J + 2I =
p
2
�[ f(- x) + 2f(x) ] dx
-
p
2
=
p
2
p
2
�cosxdx = 2�cosxdx = 2.
-
p
2
0
Vậy I =
2
.
3
Vậy I =
p
.
2
Chú ý:
19
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
p2
4
Ví dụ 7. Tính tích phân I =
xdx .
�cos
0
Giải
x � x = t2 � dx = 2tdt
p2
p
x = 0 � t = 0, x =
�t=
4
2
Đặt t =
p
2
� I = 2�
t costdt = 2( tsint + cost )
p
2
0
= p - 2.
0
1
Caâu8:: Tính tích phaân : I
Vậy I = p - 2.
2008
x
�
sin xdx
1
Giaûi:
Vieát laïi I veà döôùi daïng: I
0
2008
x
�
1
Xeùt tích phaân J
0
2008
x
�
1
sin xdx �
x 2008 sin xdx.
(1)
0
sin xdx.
1
2
3t dt
Ñaët x t � dx dt khi ñoù: 3t 2dt 2xdx � dx
.
2x
x= -1 � t = 1
Ñoåi caän:
x=0 � t 0
0
( t)
Khi ñoù: I �
1
2008
1
sin(t)dt �
x 2008 sin xdx.
(2)
0
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0.
/ 2
cos4 x
dx.
Caâu9:: Tính tích phaân : I � 4
4
0 cos x sin x
Giaûi:
Ñaët t
x � dx dt
2
Ñoåi caän:
�
x= 0 � t =
�
2
�
�
x= � t 0
� 2
20
- Xem thêm -
.DOC 
34 
101 
148 
