Tài liệu ôn thi thpt môn toán

  • Số trang: 34 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 15 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH. 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN. 4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. 5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN PHẦN 2: TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: A. Phương pháp: Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa. B. Ví dụ: 1 dx VD1: Tính tích phân I = �e2x - ex . 0 Giải : 1 dx = Biến đổi I về dạng I = �x x e (e + 1 ) 0 1 [(ex + 1) - ex ]dx � ex (ex + 1) 0 1 1 1 ( x - x )dx =� e e +1 0 1 = 1 ex + 1 - ex ( )dx � ex ex + 1 0 1 = �(e- x - 1 + 0 ex )dx e +1 x = (- e- x - x + ln ex + 1)10 = VD2: Tính caùc tích phaân sau: 2 2 x  2x I  a/ � x3 dx; 1 4 b/ x J� (3x  e 4 )dx. 0 Giaûi: 2 2 2� �1 2 � � dx  � ln | x |  �  (ln 2  1)  (ln1  2)  ln 2  1. a/ Ta coù: I  � � 2� x x � � x �1 1� 1 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 4 x �3 � b/ Ta coù: J  � x 2  4e 4 �  (24  4e)  (0  4)  28  4e. �2 �0 1 x5 I  dx. VD3: Tính tích phaân: � 2 x  1 0 Giaûi: Từ x 5  x3 (x 2  1)  x(x2  1)  x. 1 1 x � � 1 1 1 1 �3 � 1 x x 2 dx  � x 4  x 2  ln(x 2  1)]�  ln 2  . Ta ñöôïc: I  � � � 4 2 2 4 x  1� � �0 2 0� / 2 VD4: Tính sin x �cos x  sin x dx. 0 Giaûi: sin x �cos x  sin x � (A  B)cos x  (A  B)sin x  A  B� � cos x  sin x cos x  sin x �cos x  sin x � AB 0 � 1 � AB . Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: � A B 1 2 � Ta coù: Vaäy: / 2 / 2 / 2 sin x 1 � 1 cos x  sin x � � 1 � dx    dx   x  ln(cos x  sin x) �cos x  sin x �� � � 2(cos x  sin x � 2 � � �2 0 0 0 �2   . 4 C.Bài tập: Tính:  4 tg 2 x  2 1)  2 dx  sin x 2) 4  tg x dx 2 4) 4  2  | x-2 | dx 0  6 5)  ( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx 0 4  3 3)  3 3 4 3 x 2  6 x  9 dx 6)  4 | x2-4 | dx 7)  cos 2 x  1 dx  4 II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 2 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh b f ( x)dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b] 1) DẠNG 1: Tính I  � a A. Phương pháp: t u ( x)  dt u ' ( x )dx (t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục trên tập xđ của t) +) Đặt +)Đổi cận : x b t u(b)  x a t u(a) +) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được b u (b) a u (a) I   f  u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) 1 ,ln x) thì đặt t = lnx. x +, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x). +, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu. Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý. B. Ví dụ: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( CHÚ Ý: e2 Tính tích phân I = VD1 dx �x ln x . e Giải dx x x = e � t = 1, x = e2 � t = 2 Đặt t = ln x � dt = 2 �I = dt �t = ln t 2 1 = ln2. 1 Vậy I = ln2 . VD2: Tính tích phân I = p 4 cosx �(sin x + cosx) 3 dx . 0 Hướng dẫn: p 4 I = cosx �(sin x + cosx) 3 p 4 dx = 0 1 �(tan x + 1) 3 0 . dx . Đặt t = tan x + 1 cos2 x 3 ĐS: I = . 8 VD3:Tính tích phân: 3 dx I =� (1 + x) 2x + 3 . 1 2 Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 3 ĐS: I = ln . 2 3 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 1 VD4. Tính tích phân I = 3- x � 1 + xdx . 0 Hướng dẫn: 3 3- x t2dt Đặt t = ; đặt t = tan u L � L 8� 2 2 1+ x (t + 1 ) 1 p ĐS: I = - 3 + 2. 3 Chú ý: 1 3- x I = dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn. Phân tích � 1 + x 0 VD5:: Tính tích phaân : I  7 x3dx �3 1  x2 0 Giaûi: 3t 2 dt Ñaët t  x  1 � t  x  1, khi ñoù: 3t dt  2xdx � dx  . 2x x= 0 � t = 1 � Ñoåi caän: � x= 7 � t  2 � 3 2 3 2 2 x3dx x3 .3t 2dt   3t(t 3  1)dt  3(t 4  t)dt. Ta coù: 3 2xt 1  x2 2 2 �t 5 t 2 � 141 Khi ñoù: I  3� (t  t)dt  3 �  �  . 5 2 10 � � 1 1 4 C.Bài tập: Tính các tích phân sau:  2  2 1) cos3 x sin 2 xdx ;  0  2 5) sin 2x(1  sin 2 x)3dx ;  6) 0 e 3 1  ln 2 x dx ;  x 1  4 e 1 cos 0 4 x 1 3) sin 4x dx ;  1  cos2 x 0 2) cos5 xdx ;  0 9)  4 dx ; 7) 1 1 5 3 6 10) x (1  x ) dx ;  11) 0  6 0 1  ln x dx ; x cos x 6  5sin x  sin 0 3 2 4) x 1  x dx . 2 x 8)  4 1 cos xdx . 0 dx ; 12). tg x 4 cos 2xdx 0  4 13) cos x  sin x dx ;  3  sin 2 x 0  2 14)  0 sin 2 x cos 2 x  4 sin 2 x dx . x 3 ln 3 e  2e ln 5 dx ; 15)  x 4 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh  3  2 ln(tgx ) dx ; 17)   sin 2 x 16)  sin 2 x dx ; 2 0 ( 2  sin x ) 18) 4  4 8 (1  tg x )dx ; 19) 0  2 sin x  cos x dx .   1  sin 2 x 4  2 20) sin 2 x  sin x dx ; 0 1  3 cos x 21)  2 sin 2 x cos x ; dx  0 1  cos x 22)  2 sin x (e  cos x ) cos xdx ; 0 2 23)  1 x 1 x  1 1  3 ln x ln x 24)  dx ; x 1 e dx ;  4 2 25) 1  2 sin x dx .  0 1  sin 2 x 2) DẠNG 2: b f ( x )dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b] A. Phương pháp: I  � a Cách thực hiện: +) Đặt x  (t )  dx  ' (t )dt ( trong đó  (t ) là hàm số được lựa chọn thích hợp: ảnh của  (t ) nằm trong tập xác định của f và  ' (t ) liên tục.) +) Đổi cận : x b t   x a t  +) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được b  a  I  f ( x)dx   f   (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý: * Nếu f(x) có chứa: - p p� � +, (a2 - x2)n thì đặt x = a .sin t với t �� ; � , hoặc x = a .cost với t �[ 0; p] . �2 2� - p p� � � ; �, hoặc x = a .cot t với t �( 0; p) . +, (a2 + x2)n thì đặt x = a .tant với t �� � �2 2� a a 2 2 n +, ( x - a ) thì đặt x = hoặc x = . sint cost a+ x a- x +, thì đặt x = acos2t ; a- x a+ x +, (x - a)(b - x) thì đặt x=a+(b-a)sin2t B. Ví dụ 5 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh VD1 :Tính tích phân I = 1 2 1 � 1- 2 x 0 Giải dx . p p � - ; � � dx = costdt Đặt x = sin t, t �� � 2 2� � 1 p x = 0 � t = 0, x = � t = 2 6 p 6 �I= cost dt = sin2 t � 10 p 6 = p 6 cost �cost dt 0 p p p - 0= . 6 6 p Vậy I = . 6 �dt = t 06 = 0 2 VD2: Tính tích phân I = � 4- x2 dx . 0 Hướng dẫn: Đặt x = 2sin t ĐS: I = p . 1 VD3:Tính tích phân I = dx �1 + x 2 . 0 Hướng dẫn: � p p� - ; � � dx = (tan2 x + 1)dt � Đặt x = tan t, t �� � � � � 2 2� x = 0 � t = 0, x = 1 � t = p 4 �I = �1 + tan 0 3- 1 VD4:Tính tích phân I = �x 2 0 tan t + 1 dt = 2 t p Vậy I = . 4 2 p 4 p 4 p �dt = 4 . 0 dx . + 2x + 2 Hướng dẫn: 3- 1 dx I = � 2 = x + 2x + 2 0 3- 1 dx �1 + (x + 1) 2 . 0 Đặt x + 1 = tan t p ĐS: I = . 12 2 2 VD5: Tính tích phaân : I  � 0 x2 1  x2 dx. 6 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh Giaûi: Ñaët x = sint, khi ñoù: dx = costdt x2dx Laïi coù: 1  x2  sin2 t.costdt 1  sin 2 t x= 0 � t = 0 � � 2  vôùi � x= �t  � � 2 4 .Ñoåi caän:  sin 2 t.costdt sin 2 t costdt 1   (1  cos2t)dt. cost cos t 2 / 4 1 / 4 1� 1 � I  (1  cos2t)dt  � t  sin 2t � Khi ñoù: � 2 0 2� 2 �0 VD6: Tính tích phaân : I  2/ 3 �x 2   1  . 8 4 dx x2  1 Giaûi: 1 cos t , khi ñoù : dx   2 dt sin t sin t  � x= 1 � t = � � 2 Ñoåi caän: � 2  � x= �t  3 � 3 Ñaët x  1 cos tdt sin 2 t  � 1 Khi ñoù:  / 3 1 sin t 1 sin2 t / 2  / 2 / 2 �dt  t  / 3  / 3  6 0 ax I  VD7: Tính tích phaân : �a  x dx, (a  0) a Ñaët x  a.cos2t, khi ñoù: dx  2a.sin 2tdt. Ñoåi caän: Laïi coù: Giaûi:  � x= -a � t = � 2 �  � x=0 � t  � 4 ax a  a.cos2t dx  (2a.sin 2tdt)  cot t (2a.sin 2tdt) ax a  a.cos2t  4a.cos2 t.dt  2a(1  cos2t)dt. 7 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh / 2 / 2 � 1 � � � (1  cos2t)dt  2a � t  sin 2t �  a � 1  �. Do ñoù: I  2a � 2 4� � � � / 4 / 4 VD8: Tính tích phaân : I  / 3 cosdx � 2  / 6 sin x  5sin x  6 Giaûi: Ñaët x = sint, khi ñoù: dt = cosxdx 1 �  x= � t= � � 6 2 Ñoåi caän: �  3 � x= � t  � 3 2 cosdx dt dt  2  Ta coù: 2 sin x  5sin x  6 t  5t  6 (t  2)(t  3) B � [(A  B)t  2A  3B]dt �A �  dt  � (t  2)(t  3) �t  3 t  2 � AB0 � � 2A  3B  1 � Töø ñoù: � Suy ra: A 1 � � B  1 � cos xdx 1 � �1 �  dt. � sin x  5sin x  6 �t  3 t  2 � 2 3/2 1 � t 3 �1 Khi ñoù: I  ��  dt  ln � t 3 t 2� t 2 1/ 2 � 3/2  ln 1/ 2 3(6  3) 5(4  3) C.Bài tập: Tính các tích phân sau: 1 x dx 1)  4 x  x2  1 0 5) 2 3 x 2 9)  2  0 1 2) dx  1  cos x  sin x 0 3 1 x2  1 dx cos x dx 7  cos 2 x 1  2 6) 9  3x 2 dx x2  1 3) 2 2  0 1  x2 1 7)) 2 5  11) 1 2 1 x 0 2 2 4) x 4  x dx dx  (1  x ) 1 1 x4 dx 10)  1 x6 0 x2 dx 8) cos x  1  cos 0 2 x dx x 2 3 1 x2  1 dx dx  1 x  2x  2 0 12)  2 dx 2 x x  1 14)  dx . 0 1  1  3x x 5 1 III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: A. Phương pháp: 13)  8 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh * Kiến thức: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu: dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx. * Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau: d(a.x + b) (a � 0) . +, d(a.x + b) = a.dx � dx = a d(aex + b) x x d(ae + b) = ae .dx � dx = +, . a.ex d(sinx) d(cosx) +, d(sinx) = cosx.dx � dx = ; d(cosx) = - sinx.dx � dx = . cosx - sinx dx dx 1 d(a.x + b) 1 . = = ln(a.x + b) . +, d(lnx) = x a.x + b a a.x + b a x.dx 2 2 +, d( x + a ) = . x2 + a2 B.Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 1 1) dx �2007.x + 2008 ; 2) 0 p 4 e 3) 2 �sin x.cosxdx; e .dx ; 3e2x �4 1 0 x p 4 cot x.dx . 4) � p 6 C. Bài tập Tính các tích phân sau: 1 1) 1 2 x2  1 x 0 3 x2 ) dx; 2) ( 2  x3 0 ; e e 2  ln x 6) � dx ; x 1 2 dx 7)  ; e x 1  ln x 1 3)  1 x 0 1 2 x2 3 1 2 x 4) xe dx ; dx ; 0  3 8) sin x dx ;  cos3 x 0 9)  3 3 2 x 5) x e dx . 1 1 sin x e cos x dx ; 0 10) dx . +3 �2e x 0 IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: A. Phương pháp: Công thức tích phân từng phần: b b u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x) a  v( x).u ' ( x)dx b a b a b udv  u.v  a  vdu Hay: b a a Cách thực hiện: +) Đặt u u(x)  du u' (x)dx dv v' ( x)dx v v( x) b b +) Thay vào công thức tích phân từng từng phần : udv  u.v  a  vdu a b a Chú ý: 9 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh +)Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx không quá phức tạp. b +)Hơn nữa, tích phân �vdu phải tính được. a +)Đặc biệt: b i/ Nếu gặp b b �P(x) sinaxdx, �P(x) cosaxdx, �e ax a a .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt a u = P(x) . b ii/ Nếu gặp �P(x) ln xdx thì đặt u = ln x . a b b �e ax iii/ Nếu gặp .sinaxdx , a �e ax .cosaxdx thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt a u = eax . B. Ví dụ: 1 VD1:Tính tích phân I = �xe dx . x 0 Giải u=x � �du = dx � Đặt �dv = ex dx � � (chọn C = 0) � � �v = ex � � 1 � 1 �xe dx = xe x x 1 0 - 0 �e dx = (x x 1)ex 1 0 = 1. 0 e VD2Tính tích phân I = �x ln xdx . 1 Giải dx � du = � �u = ln x � x �� Đặt � � � 2 �dv = xdx � x � � v= � � 2 e e e 2 2 x 1 e +1 � �x ln xdx = ln x - �xdx = . 2 21 4 1 1 VD3Tính tích phân I = p 2 �e x sin xdx . 0 Giải p 2 �I = u = sin x �du = cosxdx � � � � Đặt � � x x � � �dv = e dx �v = e �ex sin xdx = ex sin x 0 p 2 0 p 2 - p �ex cosxdx = e2 - J . 0 10 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh u = cosx �du = - sin xdx � � � � Đặt �dv = ex dx � x � � � �v = e p 2 �e x �J = cosxdx = ex cosx p 2 0 0 p � I = e2 - (- 1 + I) � I = p 2 + �ex sin xdx = - 1 + I 0 p 2 e + 1. 2 2 ln(1  x) dx. x2 1 VD4:Tính tích phaân: I  � Giaûi: 1 � du  dx �u  ln(1  x) � � � 1  x � � Ñaët: � dx 1 dv  � � v � x2 � x 2 2 2 1 1 1 1 � �1 dx   ln3  ln 2  � dx Khi ñoù: I   ln(x  1)  � � � x 2 x 1 x � 1 1 x(x  1) 1� 2 1 3   ln3  ln 2  (ln | x |  ln(x  1))   ln 3  3ln 2. 2 2 1 1 VD5:Tính tích phaân: 0 (x 2  x)e2x dx Giaûi: 1 0 (x 2 2x  x)e dx .  u  x2  x  2x  dv  e dx Ñaët 1 2x 2  I = 2 e (x  x) 1 2x 1  0  I1 =  2x  I1 = 2 e (2x  1) 0 (2x  1)e 1 = dx 1 1 (2x  1)e2xdx e2  I1 2 0 , Ñaët 1  0   u  2x  1  2x  dv  e dx 1 2x e dx 0  1 1 3e2  1  (e2  1) e2 . 2 2    du  2x  1 dx   1 2x v  e  2   du  2x  1dx   1 2x  v  2 e 1 1  (3e2  1)  e2x 2 2 Vaäy I = e2  1 0 1 2 e2 e  2 2 11 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh VD6:Tính tích phaân: 0  1x 5 3 .e x dx Giaûi: 0 3 I =  1x5 .e x dx . Ñaët t = –x3  dt = –3x2dx , x=0   I=  t = 0 , x = –1  t = 1 0 t  1  u  t t  dv e dt Ñaët   1 1 1 t 1 ( t).e   3  dt  3 0 t.e dt  3 I1 . t  I1 = e .t 1  0 Vôùi I1 = 1 t 0 t e dt .  du dt t  v e   1 t t 0 e dt e  e VD7:Tính tích phaân: I  / 2 �(x 1 0 2 1 3 1. Vaäy I =  I1  1 3  1)sin xdx. 0 Giaûi: �u  (x 2  1) du  2xdx � � � v   cos x dv  sin xdx � � Ñaët: � / 2 2 Khi ñoù: I   (x  1)cos x 0 Xeùt tích phaân J  2 / 2 / 2 0 0 �x cos xdx  1  2 �x cos xdx (1) / 2 �x cos xdx. 0 du  dx �u  x � �� dv  cos xdx v  sin x � � Ñaët: � Khi ñoù: J  xsin x / 2 0  / 2  / 2 �sin xdx  2  cos x 0  0 � �2  1 2 (2) � � Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I  1  2 �  1 �   1. VD8:Tính tích phaân: 1 0 xe x dx Giaûi: 1 0 xe x dx . Ñaët t = x  t2 = x  2tdt = dx 12 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh  x=1  t=1 , x=0  t=0  I= 1 2 t t e 2tdt 0  1 t 3  I1 = e .t 0 1  2 t 3et dt 2I1 0 1  3 et .t2 dt e  3I2 0  u  t 2 Ñaët  1 01  2 et t dt e  2I3 0  u  t t  dv e dt Ñaët  t  I3 = e .t 1  0 dt . . vôùi I3 = 1 t 0 e t dt .  du dt t  v e   1 t e dt 0  1 t 2 0 e .t  du  2tdt t  v e t 1 . Vôùi I2 =   du 3t 2dt  t  v e    dv e dt t 2  I2 = e .t . Ñaët  u  t3  t  dv  e dt e  et 1 e  (e  1) 1 0 Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e  e2x sin 2 xdx. VD 9:Tính tích phaân: I  � 0 Giaûi:  1  2x Bieán ñoåi I veà daïng: I   e sin xdx   e (1  cos2x)dx 20 0 2x   2 (1)  1 e2  1 e dx  e2x   Xeùt tích phaân: I1  � 2 2 2 0 0 2x (2)   e2x cos2xdx Xeùt tích phaân: I 2  � 0 du  2sin 2xdx � �u  cos2x � � � 1 2x Ñaët: � 2x v e dv  e dx � � � 2   1 2x e2  1  2x 2x e sin 2xdx    e sin 2xdx Khi ñoù: I 2  e cos2x  � 2 2 2 � 0 0 0 (3)   e2x sin 2xdx Xeùt tích phaân: I 2, 1  � 0 du  2 cos2xdx � �u  sin 2x � � � 1 2x Ñaët: � v e dv  e 2x dx � � � 2 13 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh   1 2x I 2, 1  e sin  � e2x cos2xdx  I 2 . Khi ñoù: 2 0 0 44 2 4 4 1 3 (4) I2 Thay (4) vaøo (3), ta ñöôïc: I 2  e2  1 e2  1   I2 � I 2   . 2 2 4 4 (5) 1 e2  1 e2  1 1 Thay (2), (5) vaøo (1), ta ñöôïc: I  [  (  )]  (e2   1). 2 2 2 4 4 8 t  I1 = e .t 1  0 1 t 1 t 0 e dt e  e 0 1. Vaäy I = 2 C. Bài tập Tính tích phân  3 1) x  sin xdx  cos2 x 0 1 5) (x  1) e dx 2 2x 0 1 9)) 2 xtg xdx 0  2) x sin x cos xdx 2 0  4 2 3) x(2 cos x  1)dx  2 4) 0 e 6) (x ln x) dx 2 1 ln(1  x) dx x2 1  e  2 7)) cos x.ln(1  cos x)dx 8)  0 ln x ( x  1) 1 e 2 dx 1 2x 10) ( x  2)e dx 0 IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ A Phương pháp: a -Dạng 1:Nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : f(x)dx 0 a - Dạng 2:Nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a a 0 f(x)dx 2f(x)dx . - Dạng 3:Nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì   f ( x) dx  f ( x )dx vôùi   R + vaø a > 0 x   a 1  0 - Dạng 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì b b a+b x.f(x)dx = . � �f(x).dx 2 a a B. Ví dụ VD1: Tính tích phân 1/ 2 1 x I � cos x.ln( )dx 1 x 1/ 2 1 x ) thỏa: Giải: nhận xét hs f(x) cos x.ln( 1 x 14 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh * Liên tục trên [-1/2;1/2] * f(x) +f(-x) =......= 0 Theo tc 1 ta được I=0 VD2 :Tính tích phân p 2 �cosx.ln(x + I= x2 + 1)dx - p 2 VD3 Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) = 2 - 2.cos2x . 3p 2 Tính tích phân I = �f(x).dx - 3p 2 VD4: Tính tích phân p 2 p 1 b)J = � ( 2 - tan2(sinx)).dx . cos (cosx) 0 x.sinx.cos x.dx ; a) I = � 2 0 VD5: Tính các tích phân 2p ln(sinx + 1+ sin2 x)dx; a) I = � 0 2008p b) J = �sin 2007 x.dx . 0 VD6: Tính các tích phân sau: 1 x4 dx a)  x 2 1 1 sin 2 x dx c)  x 3 1  1  1 x2 dx b)  1  2x 1 PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1. Dạng bậc lẻ với hàm sin. Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. sin2 x = 1- cos2x = 1- t2. Chú ý: (sinx)2n+1 = (sin2 x)n.sinx = (1- t2)n.sinx Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = p 2 �cos 2 x sin3 xdx . 0 Giải Đặt t = cosx � dt = - sin xdx p x = 0 � t = 1, x = � t = 0 2 15 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh p 2 1 0 �I =� cos x(1 - cos x) sin xdx = - � t (1 - t )dt = 2 2 2 2 Vậy I = 2 . 15 0 1 1 �t3 t5 � � 2 2 4 � (t t )dt = = . � � � � � � 3 5 15 0 0 2. Dạng bậc lẻ với hàm cos. Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. cos2 x = sin2 x = 1- t2. Chú ý: (cosx)2n+1 = (cos2 x)n.cosx = (1- t2)n.cosx Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = p 2 �cos 5 xdx . 0 Giải Đặt t = sin x � dt = cosxdx p x = 0 � t = 0, x = � t = 1 2 p 2 p 2 1 �I =� cos xdx = � (1 - sin x) cosxdx = 5 2 0 2 0 Vậy I = 1 � 2t3 � t5 � 8 2 2 � (1 t ) dt = t + = . � � � � � � 3 5 15 0 0 8 . 15 3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos. Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc 1+ cos2x 1- cos2x 1 cos2 x = ;sin2 x = ;sinx.cosx = sin2x Chú ý: 2 2 2 Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I = p 2 �cos 4 x sin2 xdx . 0 Giải p 2 p 2 p 2 p 2 1 1 1 I =� cos4 x sin2 xdx = �cos2 x sin2 2xdx = (1 - cos4x)dx + � cos2x sin2 2xdx � 4 16 4 0 0 0 0 p p p 2 2 2 �x 1 sin3 2x � p 1 1 2 � � . = sin 4x + = = (1 cos4x)dx + sin 2xd(sin2x) � � � � � � 16 64 24 �0 32 16 0 8 0 p Vậy I = . 32 Nhận xét: Ví dụ 4. Tính tích phân I = p 2 dx �cosx + sin x + 1 . 0 Giải x 1 2x 2dt Đặt t = tg � dt = tg + 1 dx � dx = 2 2 2 2 t +1 p x = 0 � t = 0, x = � t = 1 2 ( ) 16 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 1 �I= 1 �1 0 2 t 2t + 2 1+ t 1 + t2 2dt . 1 + t2 = +1 1 dt �t + 1 = ln t + 1 1 0 = ln2 . 0 Vậy I = ln2 . 4. Dạng liên kết p Ví dụ 1. Tính tích phân I = xdx �sin x + 1 . 0 Giải Đặt x = p - t � dx = - dt x = 0 � t = p, x = p � t = 0 0 (p - t)dt � I =- � = sin(p - t) + 1 p p �( sin t + 1 p 0 p p p dt = � t t 2 0 sin + cos 2 2 ( ) 2 ) t dt sin t + 1 p dt p dt = p� - I �I = � sin t + 1 2 0 sin t + 1 0 t p p p d p dt p 2 4 = p tg t - p = � 4 0 cos2 t - p = 2 � p 2 2 4 2 t 0 cos 2 4 2 4 Vậy I = p . ( Tổng quát: ( ) p ( ) ) ( ) p = p. 0 p p xf(sin x)dx = � f(sin x)dx . � 2 0 0 Ví dụ 2. Tính tích phân I = �sin 2007 p 2 Mặt khác I + J = p 2 Giải p Đặt x = - t � dx = - dt 2 p p x = 0� t = , x = � t = 0 2 2 p p sin2007 - t 2 2 cos2007 t dx = p p �sin2007 t + cos2007 t dx = J (1). - t + cos2007 - t 0 2 2 ( �dx = 0 Tổng quát: sin2007 x dx . 2007 2007 � sin x + cos x 0 ( 0 � I =- p 2 p 2 ) ) ( p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p . 4 2 sin x dx = n n � sin x + cos x 0 Ví dụ 3. Tính tích phân I = ) n p 6 p 2 cosn x p dx = , n �Z+ . n n � sin x + cos x 4 0 sin x dx và J = � sin x + 3cosx 0 2 p 6 cos2 x dx . � sin x + 3cosx 0 Giải 17 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh +, I - 3J = p 6 2 2 sin x - 3cos x dx = 3cosx �sin x + 0 p 6 �(sin x - 3cosx)dx 0 = ( - cosx p 6 +, I + J = dx �sin x + 0 3sin x ) p 6 0 3 (1). = 1- p 6 1 dx � 2 0 sin x + p 3cosx 3 p Đặt t = x + � dt = dx 3 p p p x = 0� t = , x = � t = 3 6 2 dx = p ( p ) p p 2 2 2 2 d(cost) 1 dt 1 sin tdt 1 1 1 1 � I +J = � = � 2 = � 2 = � d(cost) 2 p cos t - 1 4 p cost - 1 cost + 1 2 p sin t 2 p sin t ( 3 3 3 = ) 3 1 cost - 1 ln 4 cost + 1 p 2 p 3 = 1 ln 3 (2). 4 3 1- 3 � �I - 3J = 1 - 3 � I = ln 3 + � � 4 � 16 �� Từ (1) và (2) � � . � 1 � � 1 1- 3 I + J = ln 3 � � � � 4 �J = 16 ln 3 4 3 1- 3 1 1- 3 Vậy I = ln 3 + . , J = ln 3 16 4 16 4 1 ln(1 + x) dx . Ví dụ 4. Tính tích phân I = � 1 + x2 0 p 4 Giải x = tgt � dx = (1 + tg2t)dt Đặt p x = 0 � t = 0, x = 1 � t = 4 ln(1 + tgt) � 1 + tg t �I = 2 0 p 4 �I = p 4 ( 1 + tg2t ) dt = �ln(1 + tgt)dt . 0 p Đặt t = - u � dt = - du 4 p p t = 0� u = , t = � u = 0 4 4 0 � ) u � du � � p 4 0 p 4 � 1 - tgu � � = �ln � 1+ du = � � � � 1 + tgu 0 = p 1 + tg( �ln(1 + tgt)dt = - �ln � � 4 p 4 p 4 0 0 p 4 � 2 � � � du � �ln � � 1 + tgu � 0 p �ln2du - �ln ( 1 + tgu ) du = 4 ln2 Vậy I = I. p ln2 . 8 18 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh p 4 Ví dụ 5. Tính tích phân I = cosx dx . x +1 �2007 - p 4 Giải Đặt x = - t � dx = - dt p p p p x=� t= , x= � t=4 4 4 4 - p 4 p 4 cos(- t) � I =- � dt = - t +1 p 2007 2007t cost t dt � p 1 + 2007 - 4 p 4 (1 + 2007t ) - 1 =� costdt = 1 + 2007t p - = 4 p 4 Tổng quát: �( 1 - - p 4 ) 1 costdt 2007t + 1 p 4 �costdt - 4 p 4 I �I = p 4 1 costdt = 2� p - 4 p 4 �costdt = 0 2 . 2 Với a > 0 , a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - a; a ] thì a a f(x) f(x)dx . �ax + 1dx = � - a 0 Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên � và thỏa f(- x) + 2f(x) = cosx . p 2 Tính tích phân I = �f(x)dx . - p 2 Đặt J = Giải �f(- x)dx , x = - t � dx = - dt - p 2 p p p p � t= , x= � t=2 2 2 2 x=p 2 �I= p 2 �f(- t)dt = J p 2 � 3I = J + 2I = p 2 �[ f(- x) + 2f(x) ] dx - p 2 = p 2 p 2 �cosxdx = 2�cosxdx = 2. - p 2 0 Vậy I = 2 . 3 Vậy I = p . 2 Chú ý: 19 GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. p2 4 Ví dụ 7. Tính tích phân I = xdx . �cos 0 Giải x � x = t2 � dx = 2tdt p2 p x = 0 � t = 0, x = �t= 4 2 Đặt t = p 2 � I = 2� t costdt = 2( tsint + cost ) p 2 0 = p - 2. 0 1 Caâu8:: Tính tích phaân : I  Vậy I = p - 2. 2008 x � sin xdx 1 Giaûi: Vieát laïi I veà döôùi daïng: I  0 2008 x � 1 Xeùt tích phaân J  0 2008 x � 1 sin xdx  � x 2008 sin xdx. (1) 0 sin xdx. 1 2 3t dt Ñaët x  t � dx  dt khi ñoù: 3t 2dt  2xdx � dx  . 2x x= -1 � t = 1 Ñoåi caän: x=0 � t  0  0 ( t) Khi ñoù: I   � 1 2008 1 sin(t)dt   � x 2008 sin xdx. (2) 0 Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0. / 2 cos4 x dx. Caâu9:: Tính tích phaân : I  � 4 4 0 cos x  sin x Giaûi: Ñaët t    x � dx  dt 2 Ñoåi caän:  � x= 0 � t = � 2 �  � x= � t  0 � 2 20
- Xem thêm -