Tài liệu Tài liệu ôn thi đại học môn toán năm 2015 (tập 1)

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 1) (Phần 1: Đại số) - Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12). - Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ GD&ĐT. - Tài liệu được chia ra làm 2 phần: + Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên đề. Trong phần này có 10 chuyên đề:  Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số.  Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.  Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.  Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.  Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.  Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.  Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.  Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.  Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.  Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức. + Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm) Trong phần này có 5 chuyên đề:  Chuyên đề 1: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ...  Chuyên đề 2: Chuyên đề Hình học phẳng.  Chuyên đề 3: Chuyên đề Hình học không gian.  Chuyên đề 4: Chuyên đề Phương trình đường thẳng (*).  Chuyên đề 5: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi. Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài. - Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn: 1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên) 2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên). 3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn). 4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên. 5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. 6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên. 7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. - Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. - Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm. Chủ biên: Cao Văn Tú 1 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. - Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2. Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định. Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email: [email protected] ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn, nghiêm túc và hiệu quả!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC CÂU HỎI PHỤ Chủ đề 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. HÀM ĐA THỨC: 3 2 * Hàm số bậc ba: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) Chủ biên: Cao Văn Tú 2 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. 4 2 * Hàm trùng phương: y = f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) 1. Tập xác định: D=R 2. Sự biến thiên: a) Giới hạn tại vô cực: y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) a >0 lim f (x) = +∞ a <0 x →+∞ x →+∞ a >0 lim f (x) = +∞ x →+∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ lim f (x) = −∞ lim f ( x) = +∞ lim f ( x) = −∞ lim f ( x) = +∞ a <0 lim f (x) = −∞ x →+∞ lim f (x) = −∞ x →−∞ (Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết) b) Chiều biến thiên: + Tính y’=? Cho y ' = 0 ⇔ x = ? + Bảng biến thiên: • • x -∞ ? +∞ y' ? y ? (Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) Kết luận về chiều biến thiên của hàm số. Kết luận về cực trị của hàm số. 3. Đồ thị: A) Điểm đặc biệt: + Giao điểm với Oy: Cho x = 0 ⇒ y = ? + Giao điểm với Ox (nếu có): Cho y = 0 ⇔ x = ? + Điểm cho thêm ( một số điểm thuộc đồ thị) B) Vẽ đồ thị: y x O Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y = x 3 + 3 x 2 − 4 Nội dung Bài giải 1. Tập xác định: D = ¡ 2. Sự biến thiên: a. Giới hạn: lim y = +∞ ; lim y = −∞ x →+∞ Giải thích –chỉ cách ghi nhớ cho HS Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Chỉ cần tìm giới hạn của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm x →−∞ lim x3 = ?? x →±∞ b. Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x y’ = 0 ⇔ 3x2 + 6x = 0 ⇔ x(3x + 6) = 0 ⇔ x = 0; x = - 2 c. Bảng biến thiên: x -∞ y' + Chủ biên: Cao Văn Tú -2 0 - 0 0 +∞ + 3 Bước 3: Tìm y’ và lập phương trình y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có thì ghi ra nếu vô nghiệm thì nêu vô nghiệm) – vì chủ yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong bảng biến thiên Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y. - Dòng 1: Ghi nghiệm của đạo hàm (nếu có). Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. y 0 -∞ - Dòng 2: Xét dấu của đạo hàm. - Dòng 3: Ghi chiều bt, cực trị, giới hạn +∞ CT CĐ Tài liệu lưu hành nội bộ. -4 Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0. Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −2 ) và( 0; +∞ ) , nghịch biến trên khoảng ( −2;0 ) . 3. Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: y = 0 ⇒ x = -2; x = 1 Bước 5: Phải nêu điểm cực đại; điểm cực tiểu; (nếu không có thì không nêu ra); các khoảng đơn điệu của hàm số. Bước 6: Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau: 1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy 2. Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, giao điểm với Ox, Oy 3. Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) Giao điểm với Oy: x=0⇒y=-4 2 Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = − x ( x − 3) − 1 . Giải 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = − x ( x − 3) − 1 . 1. TXĐ: D = ¡ 2. Sự biến thiên và cực trị của hàm số. a) Sự biến thiên  x = 0 ⇒ y = −1 2 Ta có: y ' = −3 x 2 + 6 x ; Cho y ' = 0 ⇔ −3 x + 6 x = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y = 3 2,00 0,25 0,50 y = +∞ ; lim y = −∞ b) Giới hạn: xlim →−∞ x →+∞ c) Bảng biến thiên −∞ x y’ + +∞ y 0 0 0,25 +∞ 2 0 3 – + 0,25 −∞ -1 * Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞;0 ) và( 2; +∞ ) , đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) . * Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ yCD = 3, Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ yCD = −1. 3. Đồ thị: +Đúng dạng (0,25), +Đúng cực trị (0,25) 2 * Giao của (C) với trục tung: ( 0; −1) , trục hoành: − x ( x − 3) − 1 = 0. 0,25 (C) 4 * Điểm thuộc đồ thị: ( −1;2 ) , ( 3; −1) . d: y=m-1 2 0,50 5 -2 (HS cần nghiên cứu thêm các dạng còn lại của hàm số) y y y Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3 y • O I a>0 • x O Chủ biên:Dạng Cao 1: Văn Túsố có 2 cực trị ⇔ ? hàm • • x a<0 I I I O 4 a>0 x O x a<0 [email protected] Dạng 2: hàm số không Email: có cực trị ⇔? Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = − x 4 + 2 x 2 − 2 Nội dung Bài giải 1. Tập xác định D = ¡ 2. Sự biến thiên: a. Giới hạn: lim y = +∞ ; lim y = +∞ x→+∞ Giải thích –chỉ cách ghi nhớ cho HS Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Chỉ cần tìm giới hạn của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm x→−∞ lim x 4 = ?? x→±∞ b. Chiều biến thiên: y’ = 4x3 - 4x y’ = 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔ x(4x2 – 4) = 0⇔ x = 0; x = 1; x = -1 c. Bảng biến thiên: x -∞ -1 y' - 0 y +∞ CT -4 + 0 0 -3 CĐ 1 0 - +∞ + CT +∞ -4 Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3 Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4; x = 1; y = -4 Khoảng đơn điệu của hàm số. 3. Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: x= x=- Bước 3: Tìm y’ và lập phương trình y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có thì ghi ra nếu vô nghiệm thì nêu vô nghiệm) – vì chủ yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong bảng biến thiên Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y. - Dòng 1: Ghi nghiệm của đạo hàm (nếu có). - Dòng 2: Xét dấu của đạo hàm. - Dòng 3: Ghi chiều bt, cực trị, giới hạn Bước 5: Phải nêu điểm cực đại; điểm cực tiểu; (nếu không có thì không nêu ra); các khoảng đơn điệu của hàm số. Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau: 1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy 2. Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, giao điểm với Ox, Oy 3. Dựa vào BBT và dạng đồ thị để vẽ đúng dạng (tham khảo các dạng đồ thị ở sau đây) ;y=0 ;y=0 Giao điểm với Oy: x=0;y=-3 Ví dụ 4: Cho hàm số: y = x 4 − 6 x 2 + 4 có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. Giải Cho hàm số: y = x 4 − 6 x 2 + 4 có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2,00 đã cho. Chủ biên: Cao Văn Tú 5 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. 1. TXĐ: D = ¡ 2. Sự biến thiên và cực trị của hàm số. 0,25 x = 0 ⇒ y = 4 d) Sự biến thiên: Ta có: y ' = 4 x 3 − 12 x ; y ' = 0 ⇔   x = ± 3 ⇒ y = −5 e) Giới hạn: lim y = +∞ ; lim y = +∞ x →−∞ 0 0 4 CĐ + ) ( +∞ 3 0 – + 0,25 +∞ CT -5 * Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 3;0 và 0,25 x→+∞ f) Bảng biến thiên x −∞ − 3 y’ – 0 +∞ y CT -5 (− 0,50 ) ( −∞; − 3 ) và( 0; 3 ) , đồng biến trên khoảng 3; +∞ . 0,25 * Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇒ yCD = 4, hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 3 ⇒ yCD = −5. 3. Đồ thị: * Giao của (C) với trục tung: x = 0 ⇒ y = 4 , trục hoành: x 4 − 6 x 2 + 4 = 0 * Điểm thuộc đồ thị: ( −2; −4 ) ; ( 2; −4 ) . 0,50 +Đúng dạng (0,25), +Đúng cực trị (0,25) Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương y y O x a>0 y y O x O a>0 a<0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt x O x a<0 Dạng 1: hàm số có 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 1 nghiệm duy nhất x = 0 BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 1. y = −2 x 3 + 3x 2 + 1 2. y = − x 3 + 3 x 2 − 5 x + 2 3. y = − x 4 + 2 x 2 − 1 Chủ biên: Cao Văn Tú 1 4 2 4. y = − x − 2 x 4 6 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 5. y = ( 1 − x ) ( x + 2 ) 2 6. y = x 3 − 3 x 7. y = x 4 − 4 x 2 + 1 8. y = 1 − 2 x 2 − x 4 y = f ( x) = II. HÀM NHẤT BIẾN: Tài liệu lưu hành nội bộ. ax + b , (c ≠ 0; ad–bc ≠0) cx + d  d 1) Tập xác định: D = ¡ \ −   c 2) Sự biến thiên: a) Giới hạn: y = ? vaø − + lim  d x → − ÷  c lim + y = ? ⇒ x = −  d x → − ÷  c d c là tiệm cận đứng a a a vaø lim y = ⇒ y = là tiệm cận ngang x →−∞ x →+∞ c c c (Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết) b) Chiều biến thiên: ad − bc d + y' = 2 . Kết luận y ' < 0 hoặc y ' > 0 với mọi x ≠ − ( cx + d ) c + lim y = + Bảng biến thiên: x –∞ − d c +∞ y' ? ? y ? ? (Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) . Kết luận về chiều biến thiên của hàm số. . Hàm số không có cực trị. 3) Đồ thị : a) Điểm đặc biệt: + Giao điểm với Oy: Cho x = 0 ⇒ y = ? + Giao điểm với Ox: Cho y = 0 ⇔ x = ? + Điểm cho thêm b) Vẽ đồ thị: y x O Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua giao điểm I(?;?) của 2 đường tiệm cận. −x + 2 Ví dụ 5: Khảo sát hàm số y = . x +1 Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số 1. Tập xác định D = \{-1} 2. Sự biến thiên: Bước 2: Hàm số luôn có 2 tiêm cận là a. Giới hạn và tiệm cận: tiệm cân đứng và tiệm cận ngang Tiệm cận đứng x = - 1 vì lim− y = −∞ ; lim+ y = +∞ x→−1 Chủ biên: Cao Văn Tú x→−1 7 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. y = −1 lim y = −1 Tiệm cận ngang: y = - 1 vì xlim →−∞ x→+∞ b. Chiều biến thiên: −3 y’ = < 0 ∀x∈D. ( x + 1)2 Bước 3: Tìm y’ và dựa vào tử số để khẳng định luôn luôn âm (hay luôn luôn dương) từ đó suy ra: Hàm số luôn luôn giảm (hay luôn luôn tăng ). Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định c. Bảng biến thiên: x -∞ y' y -1 -1 +∞ +∞ -∞ -1 Hàm số không có cực trị 3. Đồ thị hàm số: +Giao điểm với Ox: y=0⇒x=2 Giao điểm với Oy: Bước 5: HS luôn không có cực trị Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau: 1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định giao điểm với Ox, Oy. 2. Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang. Sau đó vẽ chính xác đồ thị qua các điểm đặc biệt. 3. Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) x=0⇒y=2 +Cho thêm một số điểm đặc biệt. Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến y y I I O O x Dạng 1: hsố đồng biến (y’>0) x Dạng 2: hsố nghịch biến(y’<0) BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = 2x −1 x−2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1. y = x +1 x −1 2. y = x x +1 3. y = 2 − 1 3− x 4. y = 2x −1 x 5. y = x−2 2x +1 Chủ đề 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chủ biên: Cao Văn Tú 8 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. 1 Cho hàm số y = (m − 1) x 3 + mx 2 + (3m − 2) x (1) 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. Câu 1. • Tập xác định: D = R. y ′= (m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2 . (1) đồng biến trên R ⇔ y ′≥ 0, ∀x ⇔ m ≥ 2 Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − mx − 4 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (−∞; 0) . Câu 2. • m ≤ −3 Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(2m +1) x 2 + 6m(m +1) x + 1 có đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) Câu 3. • y ' = 6 x 2 − 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có ∆ = (2m + 1)2 − 4(m 2 + m) = 1 > 0 x = m y' = 0 ⇔  . Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; m ), (m + 1; +∞) x = m +1 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +∞) ⇔ m + 1 ≤ 2 ⇔ m ≤ 1 Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +∞ ) . Câu 4. • Hàm đồng biến trên (0; +∞) ⇔ y ′= 3 x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m) ≥ 0 với ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ f (x) = 3x 2 + 2 x + 2 ≥ m với ∀x ∈ (0; +∞) 4x + 1 2(6 x 2 + x − 3) −1 ± 73 = 0 ⇔ 6x2 + x − 3 = 0 ⇔ x = Ta có: f ′( x ) = 2 12 (4 x + 1) Lập bảng biến thiên của hàm f ( x ) trên (0; +∞) , từ đó ta đi đến kết luận:  −1 + 73  3 + 73 f ≥m ÷≥ m ⇔  12 ÷ 8   Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 − 3m + 1 (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). Câu 5. • Ta có y ' = 4 x3 − 4mx = 4 x( x 2 − m) + m ≤ 0 , y ′≥ 0, ∀x ⇒ m ≤ 0 thoả mãn. + m > 0 , y ′= 0 có 3 nghiệm phân biệt: − m , 0, Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi Câu 6. Cho hàm số y = Chủ biên: Cao Văn Tú mx + 4 x+m m. m ≤ 1 ⇔ 0 < m ≤ 1 . Vậy m ∈ ( −∞;1] . (1) 9 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −1 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (−∞;1) . m2 − 4 ′ y = . ( x + m)2 • Tập xác định: D = R \ {–m}. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ y ′< 0 ⇔ −2 < m < 2 Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (−∞;1) thì ta phải có − m ≥ 1 ⇔ m ≤ −1 (1) (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: −2 < m ≤ −1 . CHỦ ĐỀ 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. Câu 7. • PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:  x = −1 (1) ⇔  2 (2)  g( x ) = x + 2 x + m − 2 = 0 (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x ⇔ PT (1) có 3 nghiệm phân biệt x 3 + 3 x 2 + mx + m –2 = 0  ∆ ′= 3 − m > 0 ⇔ m<3  g(−1) = m − 3 ≠ 0 ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 ⇔  Cho hàm số y = − x 3 + (2m + 1) x 2 − (m 2 − 3m + 2) x − 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Câu 8. • y ′= −3 x 2 + 2(2m + 1) x − (m 2 − 3m + 2) . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung ⇔ PT y′ = 0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔ 3(m2 − 3m + 2) < 0 ⇔ 1 < m < 2 . 1 3 2 Cho hàm số y = x − mx + (2m − 1) x − 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Câu 9. • TXĐ: D = R ; y ′= x 2 –2mx + 2m –1 . Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung ⇔ y ′= 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ∆′ = m 2 − 2m + 1 > 0 ⇔   2m − 1 > 0 m ≠ 1  ⇔ 1 m > 2 3 2 Câu 10. Cho hàm số y = x − 3 x − mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x − 1 . Chủ biên: Cao Văn Tú 10 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. • Ta có: y ' = 3x 2 − 6 x − m . Tài liệu lưu hành nội bộ. Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 3 x 2 − 6 x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔ ∆ ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1 m 1  2m   + 2 ÷x +  2 − ÷ Thực hiện phép chia y cho y′ ta được: y =  x − ÷ y '−  3 3 3  3   m m  2m    2m   ⇒ y1 = y ( x1 ) = −  + 2 ÷x1 +  2 − ÷; y2 = y ( x2 ) = −  + 2 ÷x2 +  2 − ÷ 3 3  3    3   m  2m   ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là ∆: y = −  + 2 ÷x +  2 − ÷ 3  3   Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x − 1 ⇔ xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x − 1 3  2m  ⇔ − + 2 ÷ = 1 ⇔ m = − (thỏa mãn) 2  3  TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x − 1 ⇔ y I = xI − 1 ⇔ y1 + y2 x1 + x2 m  2m   = −1 ⇔ −  + 2 ÷( x1 + x2 ) + 2  2 − ÷ = ( x1 + x2 ) − 2 2 2 3  3   2m  2m  ⇔ + 3 ÷.2 = 6 − ⇔m=0 3  3  3  Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = 0; −  2  Câu 11. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. x = 0 • Ta có: y′ = 3x 2 − 6mx ; y′ = 0 ⇔  . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0.  x = 2m uur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ AB = (2m; −4m3 ) Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)   2 m − 4m 3 = 0  AB ⊥ d 2 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x ⇔  ⇔ 3 ⇔ m=± I ∈ d   2 2 m = m Câu 12. Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y − 74 = 0 . • y ′= −3 x 2 + 6mx ; y ′= 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2m . Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT y ′= 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 . uuu r Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; −3m − 1), B(2m; 4m3 − 3m − 1) ⇒ AB(2m; 4m3 ) Trung điểm I của AB có toạ độ: I (m;2m3 − 3m − 1) Chủ biên: Cao Văn Tú 11 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. r Tài liệu lưu hành nội bộ. Đường thẳng d: x + 8y − 74 = 0 có một VTCP u = (8; −1) . 3  I ∈ d m + 8(2m − 3m − 1) − 74 = 0 A và B đối xứng với nhau qua d ⇔  ⇔  uuur r ⇔ m=2  AB ⊥ d   AB.u = 0 Câu 13. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2 y – 5 = 0 . • Ta có y = x 3 − 3x 2 + mx ⇒ y ' = 3x 2 − 6 x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ′= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3 1 2  1 1 Ta có: y =  x − ÷y ′+  m − 2 ÷x + m 3 3 3 3  Tại các điểm cực trị thì y ′= 0 , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: 2  1 y =  m − 2 ÷x + m 3 3  2  1 Như vậy đường thẳng ∆ đi qua các điểm cực trị có phương trình y =  m − 2 ÷x + m 3 3  nên ∆ có hệ số góc k1 = 2 m −2. 3 1 5 1 d: x – 2 y – 5 = 0 ⇔ y = x − ⇒ d có hệ số góc k2 = 2 2 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ⊥ ∆  12 ⇒ k1k2 = −1 ⇔  m − 2 ÷ = −1 ⇔ m = 0 23  Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I ∈ d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 Câu 14. Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 (1) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: y = 1 x. 2 • y ' = 3x 2 − 6(m + 1) x + 9 Hàm số có CĐ, CT ⇔ ∆ ' = 9(m + 1)2 − 3.9 > 0 ⇔ m ∈ (−∞; −1 − 3) ∪ (−1 + 3; +∞) 1 m +1 ′ 2 Ta có y =  x − ÷y − 2(m + 2m − 2) x + 4m + 1 3  3 Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm của AB. ⇒ y1 = −2(m2 + 2m − 2) x1 + 4m + 1 ; y2 = −2(m 2 + 2m − 2) x2 + 4m + 1 Chủ biên: Cao Văn Tú 12 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ.  x + x = 2(m + 1) và:  1 2  x1.x2 = 3 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = −2(m 2 + 2 m − 2) x + 4 m + 1 A, B đối xứng qua (d): y =  AB ⊥ d 1 ⇔ m = 1. x ⇔ I ∈ d 2 3 2 Câu 15. Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + 9 x − m , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x 2 sao cho x1 − x 2 ≤ 2 . • Ta có y ' = 3 x 2 − 6(m + 1) x + 9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x 2 ⇔ PT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 ⇔ PT x 2 − 2(m + 1) x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x 2 .  m > −1 + 3 ⇔ ∆ ' = (m + 1) 2 − 3 > 0 ⇔  m < −1 − 3 (1) + Theo định lý Viet ta có x1 + x 2 = 2(m + 1); x1 x 2 = 3. Khi đó: x1 − x 2 ≤ 2 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 4 x1 x 2 ≤ 4 ⇔ 4( m + 1) − 12 ≤ 4 2 2 ⇔ (m + 1)2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1 (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là − 3 ≤ m < −1 − 3 và − 1 + 3 < m ≤ 1. Câu 16. Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m ) x 2 + (2 − m ) x + m + 2 , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 . 1 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 − x2 > . 3 • Ta có: y ' = 3 x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m) Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1 < x2 )  5 ⇔ ∆ ' = (1 − 2m)2 − 3(2 − m) = 4m 2 − m − 5 > 0 ⇔  m > 4   m < −1 (*)  2(1 − 2m)  x1 + x2 = − 3 Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 , x2 . Khi đó ta có:  2 − m x x =  1 2 3 x1 − x2 > 2 2 1 1 ⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 > 3 9 ⇔ 4(1 − 2 m)2 − 4(2 − m) > 1 ⇔ 16 m2 − 12 m − 5 > 0 ⇔ m > Kết hợp (*), ta suy ra m > Câu 17. Cho hàm số y = Chủ biên: Cao Văn Tú 3 + 29 3 − 29 ∨m< 8 8 3 + 29 ∨ m < −1 8 1 3 1 x − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + , với m là tham số thực. 3 3 13 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 2 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 . • Ta có: y ′= x 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2) Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y ′= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m 2 − 5m + 7 > 0 (luôn đúng với ∀m)   x + x = 2(m − 1)  x2 = 3 − 2 m Khi đó ta có:  1 2 ⇔  x 1 − 2 x = 3(m − 2)  2)  x1 x2 = 3(m − 2)  2( ⇔ 8m2 + 16m − 9 = 0 ⇔ m = −4 ± 34 . 4 Câu 18. Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 –3x . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 = −4 x2 . • y ′= 12 x 2 + 2mx –3 . Ta có: ∆′ = m 2 + 36 > 0, ∀m ⇒ hàm số luôn có 2 cực trị x1, x2 .   x1 = −4 x2  m  Khi đó:  x1 + x2 = − 6  1   x1 x2 = − 4 Câu hỏi tương tự: ⇒m=± 9 2 a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 ; x1 + 2x2 = 3 ĐS: m = −105 . Câu 19. Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx − 5 , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. • Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương ⇔ PT y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt a = (m + 2) ≠ 0 ∆ ' = 9 − 3m(m + 2) > 0  ∆ ' = − m 2 − 2m + 3 > 0 −3 < m < 1  m    ⇔ P = ⇔ m < 0 ⇔ m < 0 ⇔ −3 < m < − 2 . >0 3( m + 2)  m + 2 < 0 m < −2  S = −3 > 0  m+2 Câu 20. Cho hàm số y = x 3 –3 x 2 + 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = 3 x − 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. • Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức g( x, y ) = 3 x − y − 2 ta có: g( x A , y A ) = 3 x A − y A − 2 = −4 < 0; g( x B , yB ) = 3 x B − yB − 2 = 6 > 0 Chủ biên: Cao Văn Tú 14 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. ⇒ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y = 3 x − 2 . Do đó MA + MB nhỏ nhất ⇔ 3 điểm A, M, B thẳng hàng ⇔ M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: y = −2 x + 2 4  x=  y = 3 x − 2   4 2 5 ⇔ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:  ⇒ M  ; ÷. 5 5  y = −2 x + 2 y = 2  5 Câu 21. Cho hàm số y = x 3 + (1– 2m ) x 2 + (2 – m ) x + m + 2 (m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. • y ′= 3 x 2 + 2(1 − 2m ) x + 2 − m = g( x ) YCBT ⇔ phương trình y ′= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1 .  ∆′ = 4m 2 − m − 5 > 0  5 7 g(1) = −5m + 7 > 0 ⇔ ⇔ 0, ∀m Khi đó: điểm cực đại A(m − 1;2 − 2m ) và điểm cực tiểu B(m + 1; −2 − 2m )  m = −3 + 2 2 2 Ta có OA = 2OB ⇔ m + 6m + 1 = 0 ⇔  .  m = −3 − 2 2 Câu 23. Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 . 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). • y ′= −3 x 2 + 6mx + 3(1 − m 2 ) . PT y ′= 0 có ∆ = 1 > 0, ∀m ⇒ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) . Chia y cho y′ ta được: Khi đó: 1 m y =  x − ÷y ′+ 2 x − m 2 + m 3 3 y1 = 2 x1 − m 2 + m ; y2 = 2 x2 − m 2 + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y = 2 x − m 2 + m . 3 2 Câu 24. Cho hàm số y = x − 3 x − mx + 2 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. Chủ biên: Cao Văn Tú 15 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = −4 x + 3 . 2 • Ta có: y ' = 3x − 6 x − m . Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 3 x 2 − 6 x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔ ∆ ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1 m 1  2m   + 2 ÷x +  2 − ÷ Thực hiện phép chia y cho y′ ta được: y =  x − ÷ y '−  3 3 3  3   m m  2m    2m   ⇒ y1 = y ( x1 ) = −  + 2 ÷x1 +  2 − ÷; y2 = y ( x2 ) = −  + 2 ÷x2 +  2 − ÷ 3 3  3    3   m  2m   ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: y = −  + 2 ÷x +  2 − ÷ 3  3   Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: y = −4 x + 3   2m   −  3 + 2 ÷ = −4    ⇔ ⇔ m = 3 (thỏa mãn).  2 − m  ≠ 3 ÷  3 3 2 Câu 25. Cho hàm số y = x − 3 x − mx + 2 có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x + 4 y – 5 = 0 một góc 450 . 2 • Ta có: y ' = 3x − 6 x − m . Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 3 x 2 − 6 x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔ ∆ ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1 m 1  2m   + 2 ÷x +  2 − ÷ Thực hiện phép chia y cho y′ ta được: y =  x − ÷ y '−  3 3 3  3   m m  2m    2m   + 2 ÷x1 +  2 − ÷; y2 = y ( x2 ) = −  + 2 ÷x2 +  2 − ÷ ⇒ y1 = y ( x1 ) = −  3 3  3    3   m  2m   + 2 ÷x +  2 − ÷ ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là ∆: y = −  3  3    2m  1 + 2 ÷ . Đường thẳng d: x + 4 y – 5 = 0 có hệ số góc bằng − . Đặt k = −   3  4 3 39 1 1    1 k= m=− k + = 1− k    5 10 4 4 o 4 ⇔ ⇔ ⇔ Ta có: tan 45 = 1 k = − 5 m = − 1  k + 1 = −1 + 1 k 1− k   4 4 4 3  2  1 Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m = − . 2 k+ Chủ biên: Cao Văn Tú 16 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Câu 26. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −4 . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ·AOB = 1200 .  x = −2 ⇒ y = m + 4 • Ta có: y ′= 3x 2 + 6 x ; y ′= 0 ⇔  x = 0 ⇒ y = m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4) uur uur 1 OA = (0; m ), OB = (−2; m + 4) . Để ·AOB = 120 0 thì cos AOB = − 2 ⇔ m(m + 4) m 2 ( 4 + (m + 4)2 ) =− −4 < m < 0 1 ⇔ m 2 ( 4 + (m + 4)2 ) = −2 m(m + 4) ⇔  2 2 3m + 24m + 44 = 0 −4 < m < 0 −12 + 2 3  ⇔ . −12 ± 2 3 ⇔ m = 3 m = 3 Câu 27. Cho hàm số y = x 3 –3mx 2 + 3(m 2 –1) x – m3 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −2 . 2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định. x = m +1 • y ′= 3 x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1) ; y ′= 0 ⇔  x = m −1  x = −1 + t Điểm cực đại M (m –1;2 –3m ) chạy trên đường thẳng cố định:   y = 2 − 3t x = 1+ t Điểm cực tiểu N (m + 1; −2 – m ) chạy trên đường thẳng cố định:   y = −2 − 3t 1 4 3 (1) x − mx 2 + 2 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3 . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. Câu 28. Cho hàm số y = x = 0 • y ′= 2 x 3 − 2mx = 2 x( x 2 − m) . y ′= 0 ⇔  2 x = m Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ PT y ′= 0 có 1 nghiệm ⇔ m ≤ 0 . 4 2 2 Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) = x + 2( m − 2) x + m − 5m + 5 (Cm ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. x = 0 3 • Ta có f ′( x ) = 4 x + 4(m − 2) x = 0 ⇔  2 x = 2 − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT f ′( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m < 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 17 (*) Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A ( 0; m2 − 5m + 5) , B ( 2 − m ;1 − m ) , C ( − 2 − m ;1 − m ) uur uuu r ⇒ AB = ( 2 − m ; −m 2 + 4m − 4 ) , AC = ( − 2 − m ; −m 2 + 4m − 4 ) Do ∆ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi ∆ABC vuông tại A ⇔ AB. AC = 0 ⇔ ( m − 2 ) 3 = −1 ⇔ m = 1 (thoả (*)) 4 2 2 Câu 30. Cho hàm số y = x + 2(m − 2) x + m − 5m + 5 ( Cm ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. x = 0 3 • Ta có f ′( x ) = 4 x + 4(m − 2) x = 0 ⇔  2 x = 2 − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT f ′( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m < 2 (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A ( 0; m2 − 5m + 5) , B ( 2 − m ;1 − m ) , C ( − 2 − m ;1 − m ) uur uuu r ⇒ AB = ( 2 − m ; −m 2 + 4m − 4 ) , AC = ( − 2 − m ; −m 2 + 4m − 4 ) 1 Do ∆ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi µA = 60 0 ⇔ cos A = 2 uuu r uuur AB. AC 1 r uuur = ⇔ m = 2 − 3 3 . ⇔ uuu AB . AC 2 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y = x 4 − 4(m − 1) x 2 + 2m − 1 Câu 31. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 . x = 0 2 • Ta có y′ = 4 x 3 + 4mx ; y′ = 0 ⇔ 4 x ( x + m) = 0 ⇔   x = ± −m (m < 0) Khi đó các điểm cực trị là: A(0; m2 + m), B ( −m ; m ) , C ( − −m ; m ) uur uuu r AB = ( − m ; − m 2 ) ; AC = (− − m ; −m 2 ) . ∆ABC cân tại A nên góc 120o chính là µA . uur uuu r 1 AB . AC 1 − − m . −m + m 4 1 µ o ⇔ cos A = − ⇔ uur uuu =− r =− ⇔ A = 120 4 2 2 2 m −m AB . AC m = 0 (loaïi ) 1 4 4 4  1 ⇔ = − ⇒ 2m + 2m = m − m ⇔ 3m + m = 0 ⇔ m = − 3 2 m4 − m 3  m + m4 1 Vậy m = − 3 . 3 Câu 32. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 có đồ thị (Cm) . Chủ biên: Cao Văn Tú 18 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . x = 0 3 2 • Ta có y ′= 4 x − 4mx = 4 x ( x − m) = 0 ⇔  2 x = m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ PT y ′= 0 có ba nghiệm phân biệt và y ′ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó ⇔ m > 0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: A(0; m − 1), B ( − m ; −m 2 + m − 1) , C ( m ; −m 2 + m − 1) SV ABC = 1 yB − y A . xC − x B = m 2 m ; AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m 2 m = 1 AB. AC.BC (m 4 + m)2 m =1⇔ = 1 ⇔ m 3 − 2m + 1 = 0 ⇔  m = 5 − 1 4SV ABC 4m 2 m  2 Câu hỏi tương tự: R= a) y = x 4 − 2mx 2 + 1 ĐS: m = 1, m = −1 + 5 2 Câu 33. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. x = 0 3 • Ta có y ' = 4 x − 4mx = 0 ⇔  2  g ( x) = x − m = 0 Hàm số có 3 cực trị ⇔ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ g = m > 0 ⇔ m > 0 (*) Với điều kiện (*), phương trình y ′= 0 có 3 nghiệm x1 = − m ; x2 = 0; x3 = m . Hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 ; x3 . Gọi A(0; 2 m + m4 ); B ( m ; m4 − m 2 + 2m ) ; C ( − m ; m 4 − m 2 + 2m ) là 3 điểm cực trị của (Cm) . Ta có: AB 2 = AC 2 = m 4 + m; BC 2 = 4m ⇒ ∆ABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BC ⇒ M (0; m 4 − m 2 + 2m) ⇒ AM = m 2 = m 2 Vì ∆ ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó: 5 S∆ ABC 1 1 = AM .BC = .m 2 . 4m = 4 ⇔ m 2 = 4 ⇔ m 5 = 16 ⇔ m = 5 16 2 2 Vậy m = 5 16 . Câu hỏi tương tự: a) y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 , S = 32 ĐS: m = ±2 CHỦ ĐỀ 4: SỰ TƯƠNG GIAO Câu 34. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) Chủ biên: Cao Văn Tú 19 (1) Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 1. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau. • PT hoành độ giao điểm của (1) và d: x 3 + 3x 2 + mx + 1 = 1 ⇔ x ( x 2 + 3 x + m) = 0 9 d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C ⇔ m < , m ≠ 0 4 Khi đó: xB , xC là các nghiệm của PT: x 2 + 3x + m = 0 ⇒ xB + xC = −3; xB .xC = m Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1 = 3 x B2 + 6 x B + m và tại C là k2 = 3 xC2 + 6 xC + m Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ 4m 2 − 9m + 1 = 0 ⇔ m= 9 − 65 9 + 65 ∨ m= 8 8 Câu 35. Cho hàm số y = x 3 –3 x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. • Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 –(m + 3) x – m – 2 = 0  x = −1 ( y = 3) ⇔ ( x + 1)( x 2 – x – m – 2) = 0 ⇔  2  g( x ) = x − x − m − 2 = 0 9 d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P ⇔ m > − , m ≠ 0 4 Khi đó: x N , xP là các nghiệm của PT: x 2 − x − m − 2 = 0 ⇒ x N + x P = 1; x N . x P = −m − 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là k1 = 3x N2 − 3 và tại P là k2 = 3 xP2 − 3 Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ 9m2 + 18m + 1 = 0 ⇔ m= −3 + 2 2 −3 − 2 2 ∨ m= 3 3 Câu 36. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 4 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau. • PT đường thẳng (d): y = k ( x − 2) + PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 − 3 x 2 + 4 = k ( x − 2)  x = 2 = xA ⇔ ( x − 2)( x 2 − x − 2 − k ) = 0 ⇔  2  g( x ) = x − x − 2 − k = 0 + (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N ⇔ PT g( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, khác 2 ∆ > 0 9 ⇔− - Xem thêm -