Tài liệu Tài liệu ôn thi đại học môn đại số và giải tích.

Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán TRƯỜNG THPT PHẠM VĂN ĐỒNG TÀI LIỆU CỦNG CỐ VÀ ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC (Dùng để dạy và học tăng tiết) Môn: Đại số và giải tích Giáo viên giảng dạy: Trần Chơn Mộ Đức - 2015 Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 1 Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Môn: Đại số và giải tích CÁC BÀI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 1)Tìm cực trị các hàm số sau: a)y  x 2  2x  3 d )y  x  2x 2 b)y  x  1 e)y   3x  4 3 x 2 c)y  2x 2  x 4  x  1 x  1 4 3 x Câu 3)Xác định m để: y  mx 3  3 x 2  5 x  2 đạt cực đại tại x=2 Câu 2)Tìm cực trị của hàm số: f ( x)  x  Câu 4)Xác định a,b để: 2  bx  ab (a  0) bx  a a) y  ax b)y  x4  ax 2 2 Đạt CT tại x=0 và CĐ tại x=4  b Đạt cực trị bằng -2 tại x=1 Câu 5)Xác định tham số m để hàm số y=x33mx2+(m21)x+2 đạt cực đại tại x=2. Câu 6)Định m để hàm số y = f(x) = x3-3x2+3mx+3m+4 a.Không có cực trị. b.Có cực đại và cực tiểu. c.Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị = 4 khi x = 0). d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O. x2  4x  m Câu 7) Định m để hàm số y = f(x) = 1 x a. Có cực đại và cực tiểu. b.Đạt cực trị tại x = 2. c.Đạt cực tiểu khi x = -1 Câu 8)Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y = 1 3 x2  m(m2 1)x  m4 1 luôn có cực trị. xm Câu 9)Cho hàm số y = f(x) = x3-mx2+(m2-m+1)x+1. Có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không? Câu 10)Cho hàm số y = f(x) = 1 3 2 x -mx +(m+2)x-1. Xác định m để hàm số: 3 a) Có cực trị. b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+). c) Có cực trị trong khoảng (0;+). Câu 11)Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = -x4+2mx2-2m+1. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 3x2 12x 2 trên [1;2] . Câu 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2sin3 x  cos2 x  4sin x  1 . Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 2 Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nếu có của hàm số y  Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  x 1 1  x2 . 1  2 với x > 0 x Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x2-2x+3. Câu 6. Tìm GTLN, GTNN y=x–5+ 4  x2 . Câu 7. Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx 4 sin 3 x trên đoạn [0;] 3 Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 2 sinx + sin2x trên đoạn 0;  3    2  3 2 Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  2 x  6 x  1 trên [1; 1]. 4 2 Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x  2 x  1 trên [0; 2]. Câu 11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  x 2  4 x  5 trên đoạn [2;3] . Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x )   x  1  4 trên  1; 2 x2 CÁC TIỆM ĐƯỜNG CẬN Câu 1 Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số : x2  2x x  2 1 a.y  b.y  c.y  x  1 x x  1 x 1  2x 3x  1 d .y  2 e.y  f .y  x  x  1 x  2 4x  1 ax  b Câu 2 Xác định hàm số : y  (c  0) Biết đồ thị qua A(-1 ; 7) và giao điểm của hai tiệm cận I(-2 ; 3) cx  d 2 2 Câu 3 Xác định m để hàm số : y  2x (2m3)x  m  2m Không có tiệm cận x m Câu 4 Cho hàm số y  x 1 x 1 a. Tìm các điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên b. Tìm các điểm trên đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận ngang c. Gọi M là điểm thuộc đồ thị. CMR tich khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng và khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận ngang là một hằng số d. Tìm N thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng và khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận ngang đạt giá trị nhỏ nhất. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 1 Cho hàm số y= x3 - 3x2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ bằng 4. c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3. d/ Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y= 9x + 2005. e/ Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y= Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 1 x + 2. f/Biết tiếp tuyến qua A(1;-2). 3 3 Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Câu 2Cho hàm số y= x2  x x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại các giao điểm với trục hoành. 3 c/ Tại điểm có tung độ bằng - . 2 Câu 3 .Cho hàm số y  b/ Tại điểm có hoành độ bằng 2. d//Biết tiếp tuyến qua A(2;0). 2x  1 có đồ thị (C)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi tại điểm M(2;5) . x 1 Câu 4 Cho hàm số y =  x4  2x2 có đồ thị (C)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M ( 2 ;0) . x2  3x  1 Câu 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y  , biết rằng tiếp tuyến này song song với x2 đường thẳng (d) : 5x  4y  4  0 . 1 2 Câu 6. Tìm các hệ số a,b sao cho parabol (P) : y  2x  ax  b tiếp xúc với hypebol (H) : y  Tại điểm x M(1;1) SỰ TƯƠNG GIAO Câu 1:Cho hàm số: y=x3 – 6x2 + 9x (C). Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình : x3 – 6x2 + 9x – m=0 Câu 2: Cho y=x4 – 2x2 – 3 (C). Biện luận số nghiệm của phương trình x4 – 2x2 - 3 - m +1=0 bằng phương pháp đồ thị Câu 3: Cho y= x4 – 4 x2 + 5.(C) Dựa vào đồ thị (C) Biện luận số nghiệm của phương trình: x4 – 4 x2 + 5=m. Câu 4: Cho y= x3 - 3x – 2 (C) Dùng đồ thị (C), tìm m để phương trình : x3 - 3x =m có 3 nghiệm phân biệt. Câu 5: Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng (d) qua A(0;1) có hệ số góc k. Biện luận số giao điểm của (d) và (C). Câu 6: Cho hàm số y  3  2x .Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của x 1 hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Câu 7: Cho (C): y= x2  x  2 và ( d) qua gốc tọa độ có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và x 1 (C). Câu 8: Cho đường cong (C): y= 4 . Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng y=k. x 2 KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1:1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y  2 x  1 x 1 2/ Xác định m để hàm số y  Câu 2: Cho hàm số y  3x  2 x2 (m  2) x  1 3x  m đồng biến trên từng khoảng xác định của nó có đồ thị (C) Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 4 Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2.Tìm trên đồ thị (C) những điểm có toạ độ là các số nguyên. Câu 3. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C). 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x2 – m = 0. Câu 4. Cho hàm số y = - x4 + 2x2 +3 có đồ thị (C). 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Dựa vào đồ thị (C), tìm các giá trị của m để phương trình x4 – 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm thực phân biệt. Câu 5. Cho hàm số y = - x3 + 3x -1 có đồ thị (C). 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của (C). 2 x  1 . x 1 Câu 6 Cho hàm số y  a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết nó song song với đường thẳng y  x  4 Câu 7 Cho hàm số y = 2x3-3x2-1 có đồ thị (C). 1/Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2/Gọi dk là đường thẳng đi qua M(0;-1) và có hệ số góc k .Tìm k để đường thẳng dk cắt(C) tại 3 điểm phân biệt . Câu 8 Cho hàm số y = 2x  1 có đồ thị (C). x 1 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Câu 9 Cho hàm số y  x 3  3 x 2  4 có đồ thị (C) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tâm đối xứng. Câu 10 Cho hàm số y  x 3  3 x  4 có đồ thị (C) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tai diểm có hoành độ xo là nghiệm của phương trình y // ( xo )  6 Câu 11 Cho hàm số y = x3 +(m -1) x2 –(m +2)x -1 (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 b) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = x và tiếp xúc với đồ thị (C) của 3 hàm số Câu 12 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y  x3 x 1 2. CMR với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) y = 2x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. 3. Gọi A là giao điểm của (C) với trục Ox. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A. Câu 13. Cho hàm số y = 2x có đồ thị (C). x 1 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của(C) tại điểm có hòanh độ x = -2. Câu14. Cho hàm số y = x có đồ thị là (C). x 1 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. Câu 15 Cho hàm số y = x(x – 3)2 có đồ thị (C). 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 5 Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán 2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 1 4 5 x  3 x 2  có đồ thị là (C). 2 2 Câu 16. Cho hàm số y = 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0). Câu 17. Cho hàm số y = (x – 1)2(x +1)2 có đồ thị (C). 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Tìm m để đường thẳng d: y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. Câu 18 Cho hàm số y  x 1 x 1 1 có đồ thị là (C) 1) Khảo sát hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1). Câu 19. Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 2 có đồ thị (C). 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -9. Câu 20 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  x2 x3 2.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. Câu 21 Cho hàm số y = x 4 + 2(m+1)x 2 + 1 (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị. LŨY THỪA – LÔGARIT Câu 1 Rút gọn:  a. ( 3) 5 6 c. 3a  1 1 b. 4 + 2 3 - 4 - 2 3 a 4  a 2 a  4 a a a 1 1 4 +1 d/ a a a a : a 11 16 (a>0) Câu 2 So sánh các số : a/ 36 và 54? 1 1 b/ 3600 và 5400? 1 1 1 Câu 3 Rút gọn biểu thức A = ( 4 3  1 0 3  2 5 3 )( 2 3  5 3 ) 1log 4 2log 3 2 ) A = (3 9 ) : (4 Câu 5 Cho a > 0 ;b > 0 ; c > 0 và a ,b ,c lập thành cấp số nhân.Chứng minh lna ; lnb ; lnc lập thành cấp số cộng Câu 4 Tính giá trị của biểu thức sau: Câu 6 Chứng minh rằng: logax (bx)  loga b  loga x 1  loga x Câu 7 Rút gọn: log41250 Câu 8 Cho lg 392  a , lg112  b . Tính lg7 và lg5 theo a và b . PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT Câu 1:Giải các pt : 4 x 1 a. 25x – 7.5x + 6 = 0. b. d. 32 x 1  9.3x  6  0 . e. 2 x2 6.9x 13.6x  6.4x  0 16x 17.4x 16  0 . c. 22x2 9.2x  2  0 f.  3  0. Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 6 Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán g. 4 x  2 .2 x  1  3  0 Câu 2:Giải các pt : 4x 5.2x  4  0 h. a. log3 (x 1)  log3 (2x 1)  log1 16  0 x  log3 4x  5 b. log9 2 c. log3 ( x  2)  log3 ( x  2)  log3 5 x1 e. log5(5 1).log25(5 x 2 d. lo g 2 x  5) 1 g. log 2 ( x  1)  3 log 2 ( x  1) 2 2 f. log2 2  log 2 32  0 k. l. log x – 1 4 = 1 + log2(x – 1) Câu 3: Giải các phương trình : c. 2 x  4 . 2 cos 2 b. 4 3  9x2  9 x 2   6ln x  2.3ln x 2  0 2 x 6 x x3  4  0 log2  x  log2 x2 ln x1 4lg x1  6lg x  2.3lg x 2  0 2 sin x  log log 7 x  log 3 m.5 2 a. 2 x  6log4 x  4 h. log 3 i. log2(x3) log2(x1) 3 lo g x d. 6  35  6  35  12        cos   1 e.  sin 5 5   x f. log 4 2 log 3 1  log 2 1  3 log 2 x   3x4 h. x 3 1 2 92x2 . 5logx 5 i. x4.53 = HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT Câu 1:Giải các hpt : 3.2 x  2.3 y  2,75 a.   x y  2  3  0,75 11  x y 3.3  2.4  4 c.  x y 3  4  3  x  2y  3  0 b.  x y 1  10 5  5 d.  3 x  3  2 y  4  x4 y  3 .2  1 Câu 2: Giải các hpt :  lo g x  1 y  2 b.   lo g 1  y  4 y  2 x   3 log5 x  log5 7. log7 y  1  log5 2 a.  3  log2 y  log2 51  3log5 x  log x (6 x  4 y )  2 d.   log y (6 y  4 x )  2  4x2 y2 2  c.   3 xy) 1 log2(2xy)log(2  2 2 y  6 x  2 2 .3 x  3 x  2  1 4 4 e.  2  lo g 3 x  y  2 2   Câu 3: Giải hệ phương trình sau :  y a.  4 . lo g 2 x  4 2y  4  lo g 2 x  2 Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng  2 x  200 . 5 b.  x  y  1 y  log 4 x  log 4 y  1 c.  2  log y x  log 2 y  1 7 Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT Câu 1: Giải các bất phương trình 31  x  31  x  1 0 a. b. ( 2  1) x 1  ( 2  1) x 1 x 1 lo g 3 c. x2 s in 2 x  4 1 d. 2 x  2  2 2 Câu 2:Giải các bất phương trình: x 3x  5  1 x  1 a. log0,2 x  log0,2 x  6  0 b. l o g d. log(x2 –x - 2 ) < 2log (3 - x ) e. log ( x  3)  log ( x  2)  1 2 2 f. l o g b.2.14x + 3.49x - 4x  0 c. 3 2  x  3 2  x  30 2 3 2 c. log 0,2 x  log 0,2 x  6  0 3 3x  5  1 x  1 Câu 3: . Giải bất phương trình: lo g a. 3 x2 s in 2 x  4 1 TÍCH PHÂN Câu 1:Tính các tích phân sau :  1 x a. I =  x ( e  sin x ) dx 2 b. I  0 4  0  2 t anx dx cos x I c. 0 sin 2 x dx 4  cos 2 x  d. I  2   x  sin x  cos xdx 0 Câu 2:Tính các tích phân sau : 1  2 a. I   (1  2 sin x ) co s xd x . 3 b. I  0 2  0  0 2 x2 2  x3 c. I   x  1 dx dx 0 3 d. I=  0 xdx x2  1 e.J= xdx (x 2  2)2 Câu 3:Tính các tích phân:  2 3 a. I  sin xcosxxsinxdx 0 b. I   1 0 16 x  2 4x2  x  4 dx c.  4 I  cos4 x sin4 x dx 0   1 d. I =  1  x 2 dx 0 2 e.J=  ( x  1 ) s i n x . d x 0 f. I  3  0 x  sin x dx . cos 2 x Câu 4: Tính các tích phân sau: Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 8 Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán 4 a. I  x 1  ln 5 1 1 x  dx . b. J   (e x  1)e x dx ex 1 ln 2 . 1 c. K   ( 2 x  1) e x dx 0  3 d. K   2 x ln xd x . 6 e. I   sin x cos 2 xdx 0 1 1 5 I  x (1  x ) dx  f. 0 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN I-DIỆN TÍCH: Câu 1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ( C ) : y = x 2 , (d) : y = diện tích của hình phẳng (H) . Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 6x và trục hoành . Tính y  ex , trục hoành và các đường thẳng x= 1. Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  ln x , x  1 , x  e và trục hoành e Câu 4. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường ( C ) : y = x , (d) : y = 6  x và trục hoành . Tính diện tích của hình phẳng (H) . Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex ,y = 2 và đường thẳng x = 1. Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 và hai tiếp tuyến xuất phát từ A (0, -2). 2 Câu 7. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C): y  1 ,hai đường thẳng x = 0 , x = 1 và trục hoành 2x  1 . Xác định giá trị của a để diện tích hình phẳng (H) bằng lna . II-THỂ TÍCH: Câu 1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành .  x 2  2x và trục hoành . Tính thể tích của khối tròn Câu 2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : y = x2 và (G) : y = x . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Câu 3 Tìm thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2x2 và y = x3 xung quanh trục Ox Câu 4 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : y = x 2 và (G) : y = x . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành . Câu 5 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành . Câu 6 Cho hàm số y= x2  2x và trục hoành . Tính thể tích của khối tròn 1 3 x  x 2 có đồ thị là ( C ) .Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi 3 ( C ) và các đường thẳng y=0,x=0,x=3 quay quanh 0x. Câu 7 Tính thể tích vật tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh truc Ox : y = - x2 + 2x và y=0 Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 9 Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Câu 8 Tính thể tích vật tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh truc Ox : y = cosx , y = 0, x = 0, x =  2 Câu 9 Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: x2  2x  2 y , tiệm cận xiên, x  2, x  3 . x 1 SỐ PHỨC Câu 1 Thực hiện các phép tính sau: c.  1  3 i     2  b. (3 + 4i)2 a. (2 - 3i)(3 + i) 3 Câu 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:(2+i)3- (3-i)3. 3 .Tính z  ( z ) 2 Câu 3 Cho số phức z  1  i 2 Câu 4 Cho số phức: z  1  2 i   2  i  . Tính giá trị biểu thức A  z. z . Câu 5 Thực hiện các phép tính sau: a. i (3  i )(3  i ) b. 2  3i  (5  i )(6  i ) 2 Câu 6 Tìm môđun của số phức : z = 4 – 3i + (1 – i)3 Câu 7 Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện : Z  Z  3  4 Câu 8 Thực hiện phép tính: 1    2i  3   1   3  1 c.  3  i      2i   i  3   2  2 2 5   i 3 4  4  3 1   5 3   d.   i      i    3  i  5  4 5   4 5     b. 2  3i   a. (2 - i) + Câu 9 Thực hiện phép tính: a. (2 - 3i)(3 + i) b. (3 + 4i) 1  c.   3i  2  2 3 Câu 10 Thực hiện phép tính: a. 1 i b. 2i 2  3i c. 4  5i 3 d. 5i  4  i  2  2i  Câu 11 Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. x2 + 7 = 0 b. x2 - 3x + 3 = 0 2 d. x - 2x + 18 = 0 e. x4 + x2 -2 = 0 Câu 12 Giải phương trình: 2 2 a.  z  3i  z2  2z  5  0 b. z  9 z  z  1  0     2  3i  c. x2 - 4 = 0 g. x3 +27 = 0 3 2 c. 2z  3z  5z  0 Câu 13 Giải phương trình x  8  0 trên tập số phức .. Câu 14 Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3 Câu 15 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z 2  2 z  17  0 3 Câu 16 Giải phương trình: 2  i z   1  3 i 1 i Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 2  i 10 Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Môn: Hình học KHỐI ĐA DIỆN Câu 1. Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC . Câu 2. Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó. Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB . Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ này . Câu 5.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA=a 2 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b/ Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối chóp SAIC theo a . c/ Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a Câu 6.Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và SA=AC , AB=a và góc  ABC  450 . Tính thể tích khối chóp S.ABC Câu 7.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng 6 và đường cao h = 1 . Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Câu 8.Tính tỉ số thể tích của hình lập phương và thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình lập phương đó. Câu 9.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB .Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ này . Câu 10. Cho hình chóp S,ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC . Câu 11.Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2 6 .Điểm M,N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN Câu 12.Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a c/ Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp .Hãy kể tên 2 kchóp đó Câu 13.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60o. Tính thể tích hình chóp SABCD theo a Câu 14.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA = SB = SC =SD = a. Tính đường cao và thể tích khối chóp theo a. KHỐI TRÒN XOAY 1/ KHỐI NÓN Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 11 ebooktoan.com Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Câu 1. Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 ,chiều cao h = 2 . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục của hình trụ . Tính cạnh của hình vuông đó .   30 , Câu 2. Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a , SAO   60 . Tính độ dài đường sinh theo a . SAB Câu 3. Tính tỉ số thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình lập phương Câu 4.: Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a. a. tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón b. tính thể tích của khối nón Câu 5.: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a/Tính diện tích xung quanh và của hình nón b/Tính thể tích của khối nón Câu 6.: Một hình nón có đường sinh là l=1 và góc giữa đường sinh và đáy là 450 a. Tình diện tích xung quanh của hình nón b. tính thể tích của khối nón. Câu 7.: Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a. khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay. b/ Tính thể tích của khối nón tròn xoay Câu 8.Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A và B là hai điểm . Thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và SAO = 300 , SAB = 600. a.Tính độ dài đường sinh và diện tích xung quanh theo a b. Tính thể tích của khối nón Câu 9.Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó. Câu 10.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB =  (  > 450). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đtròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. 2/- KHỐI TRỤ: Câu 1.Một khối trụ có bán kính r = 5cm, khoảng cách hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm. a.Tính diện tích của thiết diện và diện tích xung quanh b. Tính thể tích khối trụ Câu 2: Thiết diện chứa trục của khối trụ là hình vuông cạnh a a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ b. Tính thể tích khối trụ Câu 3.Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một htrụ trònxoay a/Tính d tích xung quanh của hình trụ. b/Tính thể tích của khối trụ Câu 4.Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 nội tiếp một khối trụ. Tính thể tích khối trụ đó Câu 5.: Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c nội tiếp trong một khối trụ. a. Tính thể tích của khối trụ. b. Tính diện tích xung quanh của hình trụ Câu 6.Một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và có bán kính đáy bằng 10cm. Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện. Câu 7.: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3 ; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của h trụ. b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng. Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 12 ebooktoan.com Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Câu 8.: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a/Tính diện tích xung quanh của h trụ. b/Tính thể tích của khối trụ tương đương. 3/ KHỐI CẦU Câu 1.: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA  ( ABC ) . a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm SC . 2 b) Cho SA = BC = a và AB  a 2 . Tính bán kính mặt cầu trên mặt cầu tâm O bán kính R  Câu 2.: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD ) và SA  a 3 . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và Klà hình chiếu của Btrên SC a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB. b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên. Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Câu 1 Cho điểm M(-1,2,3).Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên: a.Trục ox b.Mặt phẵng oyz Câu 2 Cho A(1,2,1), B(-2,1,2) a. Tìm A’ đối xứng A qua oy b. Tìm B’ đối xứng B qua oxy c. M chia AB theo tỷ số k=-3 d. Tính độ dài AB Câu 3 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1,0,1), B(2,1,2), D(1,-1,1), C’(4,5,-5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. Câu 4 Trong hệ toạ độ oxyz cho 3 điểm: : A(1,2,-3), B(3,2,0), C(-4,2,5). a. CM A, B, C là 3 đỉnh một tam giác b. Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành. c. Tìm a,b để M(a+2,2b-1, 1) thuộc AC. Câu 5 Cho tam giác ABC: A(1,0,3), B(2,2,4), C(0,3,-2) a.CMR: tam giác ABC vuông tại A. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. b.Tính góc C của tam giác Câu 6 Cho 3 điểm: A(2,0,1), B(0,0,1), C(1,1,2). Tính diện tích tam giác . từ đó suy ra độ dài đường cao AH. Câu 7 Cho hình lập phương ABCD,A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm A’D’, B’B. a. CM : MN  AC ' b. CM : AC '  ( A ' BD ) Tính góc giữa MN và CC’ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Biết A’(0;0;0) , B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’ . a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’ .. b. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’ Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 13 ebooktoan.com Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có các đỉnh A,B,C lần lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz và có trọng tâm G(1;2; 1 ) Hãy tính diện tích tam giác ABC . Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng (P) : 2 x  y  3 z  1  0 và (Q) : x  y  z  5  0 . a. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) . b. Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (T) : 3x  y  1  0 Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) : x  y  2 z  1  0 và mặt cầu (S) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  8  0 . a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) . b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) : x  y  2z 1  0 và mặt cầu (S) : x  y  z  2 x  4 y  6 z  8  0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) . Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O , vuông góc với mặt 2 2 2 phẳng (Q) : x  y  z  0 và cách điểm M(1;2; 1 ) một khoảng bằng 2 . Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phươngABCD.A’B’C’D’.BiếtA’(0;0;0),B’(a;0;0),D’(0;a;0), A(0;0;a) với a>0 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’ .Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’ . Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4).Viết phương trình mặt phẳng  qua ba điểm A, B, C Câu 9. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0).Chứng minh A,B,C không thẳng hàng .Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Câu 10. Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa (  ) Câu 11. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;-2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : x 3 y 1 z 3   và mặt phẳng (P) 2 1 1 : x  2y  z  5  0 . a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) . b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) . c. Viết phương trình đường thẳng (  ) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P). Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A(  2;1;  1) ,B(0;2;  1) ,C(0;3;0), D(1;0;1) . a. Viết phương trình đường thẳng BC . b. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng . c. Tính thể tích tứ diện ABCD Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;  1;1) , hai đường thẳng x  2  t x 1 y z  ( 1 ) :   , (  2 ) :  y  4  2 t và mặt phẳng (P) : y  2z  0 1 1 4 z  1  Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 14 ebooktoan.com Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng (  2 ) . b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng (1) ,( 2 ) và nằm trong mặt phẳng (P) . Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với các đỉnh là A(0; 2 ;1) , B( 3 ;1;2) , C(1; 1 ;4) . a. Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác . b. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (OAB) với O là gốc tọa độ . Câu 5.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x  1  2t  (d ) :  y  2t và mặt phẳng (P) : 2x  y  2z  1  0 . z  1  a. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) , bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P) . b. Viết phương trình đường thẳng (  ) qua M(0;1;0) , nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng (d) . Câu 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) : 2x  y  z  5  0 x2 y z3   và mặt phẳng (P) : 1 2 2 a. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A . b. Viết phương trình đường thẳng (  ) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) . x  2  4t  Câu 7.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :  y  3  2 t và mặt phẳng z  3  t  (P) :  x  y  2z  5  0 a. Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) . b. Viết phương trình đường thẳng (  ) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14 . Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với các đỉnh là A(0; 2 ;1) , B( 3 ;1;2) , C(1; 1 ;4) . a. Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác . b. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (OAB) với O là gốc tọa độ . Câu 9 Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng (  ) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8). 1.Viết phương trình tham số của đường thẳng AC 2.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (  ) Câu 10 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0). Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. Câu 11 Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  (  ) qua B có véctơ chỉ phương u (3;1;2). Câu 12 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3) 1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C 2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc mặt phẳng (ABC) Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 3) và mặt phẳng (P) : x 2y 2z 10 = 0. 1. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 15 ebooktoan.com Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng (1 ) : x 1 y  2 z ,   2 2 1 x  2t  (2): y 53t z  4  a. Chứng minh rằng đường thẳng (1) và đường thẳng ( 2 ) chéo nhau . b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (1) và song song với đường thẳng ( 2 ) . Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng (d 2 ) :  x  2  2t  (d1) :  y  3 và z  t x  2 y 1 z   . 1 1 2 a. Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1), (d 2 ) vuông góc nhau nhưng không cắt nhau . b. Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1), (d 2 ) . Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (  ) : 2x  y  2z  3  0 và hai x4 y 1 z x3 y5 z7 , ( d2 ) : .     2 2 1 2 3 2 a. Chứng tỏ đường thẳng ( d1 ) song song mặt phẳng (  ) và ( d 2 ) cắt mặt phẳng (  ) . đường thẳng ( d1 ) : b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ). c. Viết phương trình đường thẳng (  ) song song với mặt phẳng (  ) , cắt đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) lần lượt tại M và N sao cho MN = 3  x  2  2t x  2 y 1 z    . Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,chohai đường thẳng (d1 ) :  y  3 và (d2 ) : 1 1 2 z  t  Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1 ), (d 2 ) vuông góc nhau nhưng không cắt nhau . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (  ) : ( d1 ) : 2xy2z30và hai đường thẳng x  4 y 1 z x3 y 5 z 7     ,( d 2 ): 2 2 1 2 3 2 Chứng tỏ đường thẳng ( d1 ) song song mặt phẳng (  ) và ( d 2 ) cắt mặt phẳng (  ) . Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (1 ) : x 1 y  2 z ,   2 2 1  2t x   ( 2 ) :  y   5  3t z  4  Chứng minh rằng đường thẳng (1 ) và đường thẳng ( 2 ) chéo nhau .  x  1  t  Câu 7. Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng (d):  y  3  t  z  2  t  tỏ (d) cắt (P).Tìm giao điểm đó Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng và mặt phẳng (P): 2x+y+2z =0. Chứng 16 ebooktoan.com Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng x  2y  2  0 x 1 y z ;2  :   1 1 1 x  2z  0 1  :  1.Chứng minh  1  và   2  chéo nhau 2.Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S) biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng  1  và  2  THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Câu 1 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Hướng dẫn tóm tắt: Đặt V1=VS.AMN; V2=VA..BCNM; V=VS.ABC; AM  2 5 a; SM= 4a 5  SM 4  SB 5 V1 SM SN SM 1 .  . (1) V SB SC SB 2 V 2 V 3 3  1   2   V2  V (2) V 5 V 5 5  1 a3 . 3 a3 . 3  V2  V  SABC .SA  3 3 5 Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD); AB = SA = 1; AD  2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Hướng dẫn tóm tắt: 2 VANIB  36 Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích khối chóp O.AHK. Hướng dẫn tóm tắt: V 1      a3 2  AH , AK  . AO  6 27 Câu 4 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1  2a 5 và  BAC  120o . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM). Hướng dẫn tóm tắt: 1    a3 15 1   VAA BM  A A1.  AB,AM   ; SBMA   MB,MA1   3a2 3 1 1 2 6 3 3V a 5  d  . S 3 Câu 5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy góc  . Tìm  để thể tích của khối chóp đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn tóm tắt: 4 tan  1 1 1 tan 2  tan 2  V= a 3 . . Ta có . .   2 2 2 3 2 2 3 3 (2  tan  ) 2  tan  2  tan  2  tan  27 (2  tan  ) Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 17 ebooktoan.com Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán  V max  4a 3 3 27 khi đó tan 2  =1   = 45 o . Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD; K là điểm a trên cạnh AD sao cho AK  . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a. 3 Hướng dẫn tóm tắt: I là trung điểm AD, HL  SI  HL  ( SAD )  HL  d ( H ;( SAD )) MN // AD  MN // (SAD), SK  (SAD)  d(MN, SK) = d(MN, (SAD)) = d(H, (SAD)) = HL = a 21 . 7 Câu 7 Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC). Hướng dẫn tóm tắt: 1 a3 3 1 a2 13 3 3a VS.ABC = SSAC .SO  = SSAC .d ( B; SAC ) . SSAC   d(B; SAC) = 3 16 3 16 13 Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với A  1200 , BD = a >0. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp. Hướng dẫn tóm tắt: Gọi V, V1, và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình chóp S.ABCD: V S ABCD .SA SA   2.  13 V1 S BCD .HK HK V V V V1  V2 Ta được:   1  2  13  2  12 V1 V1 V1 V1 Câu 9 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB=AD = a, AA’ = a 3 và góc BAD = 600 . 2 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. Hướng dẫn tóm tắt: VA.BDMN = 3 3 1 1 a 2 3 3a 3 VS.ABD = . SA.SABD = .a 3 .  4 4 3 4 4 16 Câu 10 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a. Hướng dẫn tóm tắt: Kẻ đường cao HK của AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1. A H . AH a 3 Ta có AA1.HK = A1H.AH  HK  1  AA1 4 Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = b, AA’ = c ( c 2  a 2  b 2 ). Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA. Hướng dẫn tóm tắt: Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 18 ebooktoan.com Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Std  ab a 2  b 2  c 2 2c Câu 12 Cho khối chóp S.ABC có SA  (ABC), ABC vuông cân đỉnh C và SC = a . Tính góc  giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất. Hướng dẫn tóm tắt: a3       SCA   0;   VSABC  (sin   sin 3  ) . Xét hàm số y  sin x  sin 3 x trên khoảng  0;  . Từ BBT   (VSABC ) max 2  6 2 1 a3 a3 3   khi sin   ,    0;   ymax  6 9  2 3 Câu 13 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao cho AM = x, (0 < x < a). Mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N. Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B' 1 thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. 3 Hướng dẫn tóm tắt: Ta có A'M, B'B, C'N đồng quy tại S. Đặt V1 = VSBMN, V2 = VSB'A'C' , V = VMBNC'A'B'. bằng Ta có a a  x SB a  x , (0< x < a)   SB  SB ' a x V ax 1 a4 x ta có: 1   .  . Mà V2  S  A ' B ' C ' .SB '  V2  a  3 6x a 3 Xét phép vị tự tâm S tỉ số k = 1 3 2 a 4   x   a3   x   x    1  1     1   1     1    6 x   a   6   a   a   2 2 1 a3   x   x   1  x  x Theo đề bài V = a 3  1  1    1     a 3   1     1    1  0 (*) 3 6   a   a   3  a  a  V1  3 a4  x  1   ; 6x  a   Do đó: V  V2  V1  x 1 3 5 a Đặt t  1   , t  0 (vì 0 < x < a), PT (*)  t2 + t – 1 = 0  t = ( 5  1)  x  2 2  a Câu 14 Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0  m  a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0). Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM, biết rằng x2 + y2 = a2. 1 1 a a3 3 V = ya (a  x) . V 2  a 2 (a  x)(a  x)3 . Vmax = khi x  . 6 36 2 8 Câu 15 Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy có tâm O và đường kính là AB = 2R. Gọi M là điểm ASB  2 ,  thuộc đường tròn đáy và  ASM  2  . Tính thể tích khối tứ diện SAOM theo R,  và  . Hướng dẫn tóm tắt: Gọi OH là đường cao của OAM , ta có:  SO  OA.cotg  R.cotg sin    AH  SA.sin   R OA R  sin   SA  sin   sin  R sin 2   sin 2  . sin  1 R 3 cos  sin   .SO. AH .OH  sin 2   sin 2  . 3 3sin 3   OH  OA2  AH 2  Vậy: VS . AOM Câu 16 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh bên bằng 1. Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một góc α. Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC. Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 19 ebooktoan.com Tài liệu ôn tập luyện thi TN và ĐH môn Toán Hướng dẫn tóm tắt: AMS   . Gọi I là tâm của Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm của BC  AMS   . mặt cầu nội tiếp hình chóp, I  SO; N là hình chiếu của I trên SM, MI là phân giác của  a 3 Ta có SO = OM tan = tan ( Với a là độ dài của cạnh đáy) 6 a2 a2 a2 2 3 Ta có SO2 + OM2 = SB2 – BM2  tan 2    1 a 12 12 4 4  tan 2  r = OI = OM.tan  2 tan =  2 . Vậy V = 4  tan 2  3 4 tan 3  2  4  tan   2 3 Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA  (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN). Hướng dẫn tóm tắt: Gắn hệ trục toạ độ sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; a),    a 2 a 2 a 2   a  a a a M  0; ; 0  , N  ; ;    BN , BM     ;  ;  2 4   4  2  2 2 2 3       1 a  VBMND   BN , BM  BD  6 24 1   a2 3 1 S BMN   BN , BM   Mặt khác, VBMND  S BMN .d  D,( BMN )  , 2 3 4 2 3V a 6  d  D,( BMN )   BMND  S BMN 6 a SAB   SAC  300 Câu 18 Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = . SA  a 3 ,  2 Tính thể tích khối chóp S.ABC. Hướng dẫn tóm tắt: Dùng định lí côsin tính được: SB  a , SC = a. Gọi M là trung điểm của SA. Hai tam giác SAB và SAC cân nên MB  SA, MC  SA. Suy ra SA  (MBC). Ta có VS .ABC  VS . MBC  VA . MBC  1 1 1 MA.S MBC  SA.S MBC  SA.S MBC 3 3 3 Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau. Do đó MB = MC  MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC  MN  BC. Tương tự MN  SA. 2 2 2 a 3  a   a 3  3a .  MN  MN  AN  AM  AB  BN  AM  a        4 16 4  2  2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a 3 a a3 SA. MN.BC  a 3 . .  . 3 2 6 4 2 16 Câu 19 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc Do đó: VS .ABC  với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng a2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ 8 ABC.A’B’C’. Hướng dẫn tóm tắt: Trần Chơn Gv trường THPT Phạm Văn Đồng 20