Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
----- oOo -----
CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Dấu nhị thức bậc nhất:
Dạng f(x) = ax + b (a 0). Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.
Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a 0):
b
-
+
x
a
ax + b
trái dấu với a
0
cùng dấu với a
2. Dấu tam thức bậc hai:
Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0.
Tính = b2 - 4ac
Nếu < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và
x
-
+
f(x)
cùng dấu với a
b
Nếu = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x = - và
2a
b
-
+
x
2a
f(x)
cùng dấu với a
0
cùng dấu với a
Nếu > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và
x
-
x1
x2
+
f(x)
cùng dấu với a
0
trái dấu với a
0
cùng dấu với a
* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' nếu hệ số b chẵn.
3. Xét dấu biểu thức và giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương
trình một ẩn:
Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Giải được bất phương trình
chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn.
Ví dụ1: Xét dấu các biểu thức sau:
1 2x
1
2
a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3);
b) f(x) =
;
c) f(x) =
;
d) f(x) =
.
2
2
( x 1)
( x 1)
x2 x 5
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
2
5
x 2 3x 1
1.
a) x2 + 2x + 3 < 0;
b) (x - 1)(x + 1)2 0;
c)
;
d)
x 1 2x 1
x 1
x 2 2 x 15 0
1 x 0
Ví dụ 3: Giải các hệ bất phương trình sau:
a) 2
;
b) 2
.
x 3x 4 0
x 6x 8 0
4. Dấu các nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*) ( = b2 - 4ac)
Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai nghiệm Phương trình (*) có hai nghiệm
nghiệm trái dấu (x1 < 0 < x2) âm phân biệt (x1 < x2 < 0) khi và dương phân biệt (0 < x1 < x2 ) khi
c
a0
a0
khi và chỉ khi: P = < 0.
0
a
c 0
c
chỉ khi: P 0
và chỉ khi: P 0
a
a
S b 0
S b 0
a
a
5. Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0).
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
1
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
a 0
a 0
a) f(x) 0 x R
;
b) f(x) 0 x R
.
0
0
6. Chia đa thức:
f ( x)
r ( x)
k ( x)
Yêu cầu biễu diễn
(với f(x) là đa thức có bậc lớn hoặc bằng bậc của g(x)), trong đó k(x)
g ( x)
g ( x)
f ( x)
là thương và r(x) là dư trong phép chia
.
g ( x)
f ( x)
r ( x)
Ví dụ 1: Biễu diễn các phân thức dạng
thành dạng k ( x)
:
g ( x)
g ( x)
x2
x 2 2x 5
x 3 3x 1
x3 1
;
b)
;
c)
;
d) 2
;
x 1
x 1
x2
x 1
x 3 5x 2 x 2
x 2 2x 1
x 3 3x 2
x 3 3x 1
e)
;
f)
;
g)
;
h)
.
1 2x
2x 2
1 x
x2 1
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau đây thành tích của nhị thức bậc nhất với một đa thức có bậc nhỏ hơn đa
thức đã cho:
a) -x3 + 3x2 - 3x + 1;
b) x3 + x2 - 2x - 2;
c) x3 + (m - 1)x2 - m.
7. Các khái niệm liên quan đến hàm số:
Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x.
y
Tập xác định của hàm số: D = {x R f(x) có nghĩa}.
Giá trị của hàm số y = f(x) tại x0 là y0 = f(x0).
Ví dụ 1: Giá trị của hàm số y = x2 + 1 tại x0 = 2 là 5
3 2x
y = f (x ) = x + 1
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) =
(1)
x7
a) Tính f(2), f(-1);
5
b) Tính giá trị của hàm số tại x = -2;
c) Tìm tọa độ điểm M có hoành độ x = 0 trên đồ thị hàm số
(1);
d) Tìm trên đồ thị hàm số (1) những điểm có tung độ bằng
0.
Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
3x 1
a) y = x 4 – 2 x 2 + 3;
b) y =
;
1 x
x
O
x2 x 1
2x
2
c) y =
;
d) y = 2
;
x 1
( x 9) 2
x
e) y = x 2 x 20 ;
f) y =
.
16 x 2
8. Tính giới hạn:
Yêu cầu tính được các giới hạn dạng: lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) .
a)
2
x x0
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
3x 1
a) lim
;
x1 1 x
e) lim ( x 3 3x 2 x 1) ;
x
i) lim
x
2x 1
x 2 x 20
;
b) lim
x1
x
x x0
3x 1
;
1 x
f) lim ( x 3 3x 2 x 1) ;
x
j) lim
x
2x 1
x 2 x 20
3x 1
;
x 1 x
4
g) lim
;
x 1 x 2
x2 4
k) lim
;
x
x
c) lim
;
3x 1
;
x 1 x
4
h) lim
;
x 1 x 2
x2 4
l) lim
.
x
x2
d) lim
9. Đạo hàm:
a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm, khi đó:
2
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
(u + u - w)' = u' + v' - w';
(uv)' = u'v + v'u;
(k.u)' = k.u' ;
u
1
u ' v v' u
v'
( )'
( )' 2 .
v
v
v2
v
b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))
(C)' = 0
(x)' = x-1( R, x > 0)
(u)' = u-1.u'( R, u > 0)
1
u'
( x )'
( u )'
(x > 0)
(u > 0)
2 x
2 u
1
1
1
u'
( )' 2 (x 0)
( )' 2 (u 0)
x
u
x
u
(sinx)' = cosx
(sinu)' = cosu.u'
(cosx)' = -sinx
(cosu)' = -sinu.u'
u'
1
(tanx)' =
(x k , k Z)
(tanu)' =
(u k , k Z)
2
2
cos x
2
2
cos u
u'
1
(cotx)' = - 2 (x k, k Z).
(cotu)' = (u k, k Z).
sin x
sin 2 u
c) Moät soá coâng thöùc tính ñaïo haøm ñaëc bieät:
ax b
ad bc
ax 2 bx c
adx2 2aex be dc
(
)' =
(
)'
cx d
dx e
(cx d ) 2
(dx e) 2
ax 2 bx c
(ae bd ) x 2 2(af dc) x bf ec
)'
dx 2 ex f
(dx 2 ex f ) 2
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau đây:
1 x
x3
1
1
a) y = x3 + - x 2 1 ;
b) y =
;
c) y =
;
d) y =
.
x2
x2
x 1
x
d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x0) và phương trình tiếp
tuyến tại M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0).
Ví dụ: Cho hàm số y = x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đó, biết:
a) Tiếp điểm là điểm (1; 1);
b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4;
c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2;
1
d) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = x 1 .
2
10. Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):
Yêu cầu lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thị các hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.
Ví dụ:Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x - 1;
b) y = 1 - x;
c) y = 2;
d) x = -3;
e) y = x.
11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường:
Yêu cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường có phương trình cho trước.
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:
a) (C): y = x2 - 2x + 2 và d: y = x;
b) (C): y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và d: y = x + 1;
3
2
c) (C): y = x + 3x + 1 và d: y = 2x + 5;
d) (C): y = x3 - 3x và d: y = x2 + x - 4.
Ví dụ 2: Tìm tọa giao điểm của các đường sau đây với hai trục tọa độ:
a) y = x + 1;
b) y = x2 + 1;
c) y = x2 - 5x + 6;
d) y = x4 - 4x2 + 3.
(
Ghi chú:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
3
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
4
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1) Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b] hoặc K = [a; b])
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu
với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:
với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:
x1 < x2 f(x1) < f(x2)
x1 < x2 f(x1) > f(x2)
y
y
Bảng biến thiên:
x
Bảng biến thiên:
a
b
x
lim
a
b
lim
xb
xa
y
y
lim
lim
x a
x b
x
x
O
a
O
b
Đồ thị hàm số đồng biến
là đường đi lên từ trái sang phải
a
b
Đồ thị hàm số nghịch biến
là đường đi xuống từ trái sang phải
2) Tính ñôn ñieäu vaø daáu cuûa ñaïo haøm:
Tính ñaïo haøm y', xeùt daáu y', quan saùt ñoà thò haøm soá y = f(x) ñeå hoaøn thieän baûng bieán
thieân vaø ruùt ra nhaän xeùt:
a) y = x2.
y
TXÑ: D = R
y' = 2x
y' = 0 2x = 0 x = 0 y = 0
Baûng bieán thieân:
Ñoà thò:
x -
0
+
y'
0
+
+
+
y
0
x
O
1
b) y = .
x
TXĐ: D = ..........
y
y' = ..............................................................................................................
Bảng biến thiên:
x -
Đồ thị:
0
+
y'
x
y
O
Nhận xét: Nếu y' < 0 trên K thì hàm số .................................... trên K.
Nếu y' > 0 trên K thì hàm số ................................... trên K.
Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'(x) > 0 x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'(x) < 0 x K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
5
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn
điệu của hàm số y = f(x).
Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số
a) y = 2x4 + 1;
b) y = sinx trên khoảng (0; 2).
Giải:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
* Chuù yù: Quan saùt ñoà thò haøm soá y = x3 vaø traû lôøi caâu hoûi:
y
Khaúng ñònh sau ñuùng hay sai? vì sao?
"Neáu haøm soá y = f(x) taêng treân R thì f'(x) > 0 vôùi moïi x
y=x
3
R".
Traû lôøi: .......................................................................................................................
O
x
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x) 0 (f'(x) 0), x K và f'(x) = 0
chỉ tại một số hữu hạn điểm x0 thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Nếu f'(x) = 0 x K thì f(x) không đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c trên K)
II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):
Trình bày bài giải:
Tìm tập xác định D của hàm số. (D = {x R f(x) có nghĩa})
Tính đạo hàm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm các điểm xi (i = 1, 2, ..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định.
Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên).
Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1
1
Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = x 3 x 2 2 x 2
3
2
Giải:
6
...................................................................................................................
.....................................................................................................................
...................................................................................................................
.....................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................................................................................................................
.....................................................................................................................
...................................................................................................................
.....................................................................................................................
...................................................................................................................
.....................................................................................................................
...................................................................................................................
.....................................................................................................................
...................................................................................................................
.....................................................................................................................
...................................................................................................................
.....................................................................................................................
...................................................................................................................
.....................................................................................................................
Ví duï 2: Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa caùc haøm soá sau:
a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7;
b) y = x4 - 2x2 - 3;
c) y = -
x4 2 3
-x + ;
2
2
d) y =
x 1
.
x 1
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
2. ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc:
Ví duï: Chöùng minh raèng x > sinx treân khoaûng (0; ).
2
Giải:
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
7
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
Ghi chuù:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
1
a) y = x3 + 3x2 - 7x - 2;
b) y = -x3 + x2 - 5;
c) y = 3x3 - 8x2;
3
d) y = x3 - 6x2 + 9x;
e) y = x3 - 3x2 - x + 3;
f) y = 2x3 - 6x + 2.
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y = x4 - 2x2 + 3;
b) y = x4 + 8x2 + 5;
16 3 4
c) y = 16x + 2x2 x -x ;
d) y = x 4 – 2 x 2 + 3.
3
Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
x 1
3x 1
3 2x
a) y =
;
b) y =
;
c) y =
.
x7
1 x
x 1
Bài 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
x2 x 1
x 2 2x
x 2 2x 3
a) y =
;
b) y =
;
c) y =
.
1 x
x 1
x 1
2. Bài tập nâng cao:
8
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
2x
a) y = 2
;
b) y = x 2 x 20 .
x 9
x
Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y = 2
đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-;
x 1
-1) và (1; +). (HD: Chứng minh y' 0x (-1;1) và y' 0x (-;-1) (1; +))
Bài 3: Chứng minh hàm số y = 2 x x 2 đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2).
Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
x3
a) tanx > x (0 < x < );
b) tanx > x +
(0 < x <
).
2
2
3
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU:
Lập bảng biến thiên của hàm số sau:
1
3
5
y = x3 x2 x
6
2
2
Đồ thị hàm số y =
1 3 3 2 5
x x x
6
2
2
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
.................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
9
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
y
6
25
6
(
-6
-5
-1
)
x
O
64
-4
-7
5
6
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0
(a; b).
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x (x0 - h; x0 + h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt
cực đại tại x0.
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x (x0 - h; x0 + h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt
cực tiểu tại x0.
* Chú ý:
a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số;
f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), còn điểm M(x0;
f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là
cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
c) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại x0 thì f'(x0) = 0.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ:
Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc
trên K \{x0}, h > 0.
a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại
của hàm số f(x).
b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu
của hàm số f(x).
III. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ:
1. Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x)
Tìm tập xác định.
Tính f'(x). Tìm các điểm x sao cho tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Lập bảng biến thiên.
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
x
f'(x)
10
x0 - h
+
x0
0
x0 + h
-
x
f'(x)
x0 - h
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
-
x0
0
x0 + h
+
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
yCĐ
f(x)
f(x)
yCT
"Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương"
"Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm"
Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 - x2 - x + 3.
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
Ví duï 2: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá y =
3x 1
.
x 1
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
AÙp duïng quy taéc I, haõy tìm cöïc trò cuûa haøm soá f(x) = x(x2 - 3)
2. Quy taéc 2:
Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp 2 trong khoaûng (x0 - h; x0 + h), vôùi h >
0. Khi ñoù:
f ' ( x0 ) 0
f ' ( x0 ) 0
a) Neáu
thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu
thì x0 là điểm cực đại.
f ' ' ( x0 ) 0
f ' ' ( x0 ) 0
Quy tắc 2:
Tìm tập xác định.
Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, ...) là các nghiệm của nó.
Tính f''(x) và tính f''(xi).
Dựa vào dấu của f''(xi) để suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
1
a) f(x) = x4 - 2x2 + 6;
b) f(x) = sin2x.
4
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
11
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
Ghi chuù:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10;
b) y = x4 + 2x2 - 3;
c) y = x +
1
;
x
d) y = x3(1 - x)2;
e) y = x 2 x 1 .
Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x4 - 2x2 + 1;
b) y = sin2x - x;
c) y = sinx + cosx;
d) y = x5 - x3 - 2x + 1.
Bài 3: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
x 2 mx m 1
Bài 4: Tìm các giá trị của m để x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y =
.
x 1
x 2 mx 1
Bài 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y =
đạt cực đại tại x = 2.
xm
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x3 - mx2 - 2x + 1 luôn có một điểm cực đại
và một điểm cực tiểu. (HD: Chứng minh y' = 0 có hai nghiệm phân biệt)
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6. Xác định m sao cho:
12
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
b) Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu.
5 2 3
5
Bài 2: Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = a x + 2ax2 - 9x + b đều là những số dương và x0 = là
3
9
điểm cực đại.
a) Hàm số có cực trị;
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
13
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) M với mọi x thuộc D và tồn
tại x0 D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu M = max f(x).
D
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) m với mọi x thuộc D và tồn
tại x0 D sao cho f(x0) = m. Kí hiệu m = min f(x).
D
II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG:
Quan sát đồ thị các hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng:
y
y
1
2
f(x) = x
x
O
-1
5+
1
x
-2
1
x
O
-5
-3
f(x) = x2 + 4∙x
5
Giá trị lớn nhất của hàm số f(x)= -x2 + 4x - 5 trên
(-; +) là: ................... tại x = ...........................
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x - 5 +
1
trên
x
(0; +) là: ..................... tại x = ...............................
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a; b).
Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đó suy ra kết luận.
(Nếu bài toán không chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập xác định)
x
f'(x)
a
x0
+
b
-
x
f'(x)
a
x0
-
b
+
GTLN
f(x)
f(x)
GTNN
Trong đó: f'(x) = 0 hoặc không xác định tại x0.
Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = x - 5 +
1
trên khoảng (0; +).
x
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
Ví duï 2: Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau:
1
1
a) f(x) = - 2
;
b) f(x) =
trên (0; 1).
x
x 1
Giải:
14
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ TREÂN MOÄT
ÑOAÏN:
1/ Ñònh lí: Moïi haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn ñeàu coù giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû
nhaát treân ñoaïn ñoù.
Quan saùt ñoà thò haøm soá sau vaø traû lôøi caùc caâu hoûi töông öùng:
y
Giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá y = x3 - x2 - x + 2
4
treân ñoaïn [0; 2] laø: ............................ taïi x = ................
Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = x3 - x2 - x + 2
2
1
O
treân ñoaïn [0; 2] laø: ............................ taïi x = ................
[
]
2
1
f(x) = x3
x2
x
x+2
2/ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:
Tìm các điểm x1, x2, ...., xn trên khoảng (a; b), tại đó f'(xi) = 0 hoặc không xác định (i = 1, 2,...n).
Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong {f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b)}. Ta có:
max f(x) = M, min f(x) = m.
a; b
a;b
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 10 trên [-3; 1].
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
15
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
Ví duï 2: Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = sinx treân caùc ñoaïn [
[
;2 ].
6
Giải:
7
6
;
6
] và
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
* Chuù yù:
Neáu haøm soá y = f(x) ñoàng
bieán treân [a; b] thì:
max y = f(b), min y = f(a)
[ a ;b ]
y
f(a)
maxy
[a;b]
maxy
[ a ;b ]
[a;b]
Neáu haøm soá y = f(x) nghòch
bieán treân [a; b] thì:
max y = f(a), min y = f(b)
[ a ;b ]
y
f(b)
[ a ;b ]
miny
miny
[a;b]
[a;b]
f(a)
f(b)
x
x
O
a
b
a
b
O
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = -x3 + 1 trên [-1; 1].
Giải:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
IV. ÖÙNG DUÏNG:
16
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
Ví duï: Cho moät taám nhoâm hình
vuoâng caïnh a. Ngöôøi ta caét ôû boán goùc
boán hình vuoâng baèng nhau, roài gaäp
taám nhoâm laïi nhö hình veõ ñeå ñöôïc
moät caùi hoäp khoâng naép. Tính caïnh
cuûa caùc hình vuoâng bò caét sao cho theå
tích cuûa khoái hoäp laø lôùn nhaát.
a
x
Giaûi:
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
Ghi chuù:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
17
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên [-4; 4] và [0; 5];b) y = x4 - 3x2 + 2 trên [0; 3] và [2; 5];
2 x
c) y =
trên [2; 4] và [-3; -2];
d) y = 5 4 x trên [-1; 1].
1 x
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 x 2 x .
Bài 3: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
4
4
a) y =
;
b) y = 4x3 - 3x4;
c) y = x + (x > 0);
2
x
1 x
1
x
d) y = x;
e) y =
;
f) y =
.
2
1 x4
4 x
Bài 4: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. (HD:
Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và chu vi của hình chữ nhật theo x.)
Bài 5: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48cm2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ
nhất. (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và diện tích hình chữ nhật theo x.)
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
3
1
x2 3
a) y = 2
;
b) f(x) = -3x2 + 4x - 8 trên [-2; );
c) y = x - trên (0; 2].
2
x
x x2
2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +
với x > 1.
x 1
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x2 - 3x + 2 trên đoạn [-10; 10].
Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) y = 2sin2x + 2sinx - 1;
b) y = cos22x - sinxcosx + 4.
Bài 5: Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.
Bài 6: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.
Bài 7: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng
hằng số a (a > 0).
Bài 8: Cho hàm số y 2x4 3x2 2x 1. Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng (d): y = 2x - 1 là nhỏ nhất.
Bài 9: Tìm x để các hàm số sau đây đạt giá trị lớn nhất:
5
a) y = x(6 - x), x [0; 6];
b) y = (x + 3)(5 - 2x), x [- 3; ].
2
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
18
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
§4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Quan sát đồ thị hàm số y =
x 1
, trả lời các câu hỏi sau:
x2
Tính các giới hạn lim
y
x2
Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ
thị hàm số đến đường thẳng y = 1 càng gần số
nào khi x ? và đồ thị hàm số như thế
nào với đường thẳng y = 1 khi x ?
1
y=1
O
x 1
x 1
và lim
.
x x 2
x2
x
2
Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ
thị hàm số đến đường thẳng x = 2 càng gần số
nào khi x 2+ và khi x 2- và đồ thị hàm số
như thế nào với đường thẳng x = 2 khi x 2+
và khi x 2-?
x=2
I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; + ), (- ; b) hoặc ( ; + )). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f(x) = y0 (hoặc lim f(x) = y0).
x
x
* Chú ý: Nếu lim f ( x) lim f ( x) l , ta viết chung là lim f ( x) l .
x
x
x
II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
Định nghĩa: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y
= f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f(x) = + .
x x0
(hoặc lim f(x)= - ; lim f(x) = - ; lim f(x) = + )
x x0
x x0
x x0
Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
x 1
1
a) y =
;
b) y = ;
2x 4
x
Giải:
c) y =
x2 x 3
.
x 1
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
..............................................................................................................................
...................................................................................................................
........................................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
19
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12
...................................................................................................................
...................................................................................................................
Ghi chuù:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
3x 2
x5
x7
x
a) y =
;
b) y =
;
c) y =
;
d) y =
;
2 x
x 1
x3
2x 1
2
2x 5
7
4
e) y =
;
f) y =
;
g) y = 1 ;
h) y = .
x
5x 2
x 1
x
Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
2 x
x 2 3x 2
x2 x 1
a) y =
;
b)
y
=
;
c)
y
=
;
x 1
9 x2
3 2 x 5x 2
x3
x2 x 1
x 1
d) y = 2
;
e) y =
;
f) y =
.
2
x 4
x 4
x 1
2. Bài tập nâng cao:
2x 1
Bài 1: Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C), tìm điểm M thuộc
x 1
(C) sao cho IM nhỏ nhất.
x2
Bài 2: Cho hàm số y =
(1). Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số (1) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm
x3
cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
20
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
- Xem thêm -
.PDF 
90 
2208 
105 
