Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG
Kí hiệu
Tên gọi
Số các hoán vị của n phần tử
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
Diễn giải
Permutation
Cnk
P(A)
lim un
Số các tổ hợp chập k của n phần tử
Combinatory
Xác suất của biến cố A
Giới hạn của dãy số (un)
Probability
Limit
lim f ( x)
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới x0
lim f ( x)
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới âm vô cực
lim f ( x)
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới dương vô cực
lim f ( x)
Giới hạn bên phải của hàm số f(x) khi x dần tới x0
lim f ( x)
Giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x dần tới x0
y' hoặc f'(x)
y'' hoặc f''(x)
y(n) hoặc f(n)(x)
dy hoặc df(x)
n(A) hoặc A
Đạo hàm của hàm số y = f(x)
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x)
Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)
Vi phân của hàm số y = f(x)
Số phần tử hữu hạn của tập A
Pn
Ank
x x0
x
x
xx0
xx0
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Differenttial
1
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
----- oOo -----
CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Các giá trị lượng giác của cung (góc) :
sin luôn xác định R và sin( + k2) = sin
cos luôn xác định R và cos( + k2) = cos
- 1 sin 1 (sin 1).
- 1 cos 1 (cos 1).
tan xác định khi k và tan(k) = tan;
2
cot xác định khi k và cot( + k) = cot.
Dấu của các giá trị lượng giác của góc
Phần tư
Giá trị lượng giác
sin
cos
tan
cot
2. Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:
(300)
0 (00)
6
1
0
2
1
0
kxđ
3
2
1
3
3
I
II
III
IV
+
+
+
+
+
-
+
+
+
-
(450)
4
2
2
2
2
(600)
3
3
2
1
2
(900)
2
1
3
kxđ
1
1
3
3. Coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn:
1 tan 2
sin2 + cos2 = 1
1
0
0
1
( k , k Z).
2
2
cos
1
( k, k Z).
tan.cot = 1 ( k , k Z).
2
2
sin
4. Giaù trò löôïng giaùc cuûa caùc cung coù lieân quan ñaëc bieät:
Cung ñoái:(-) vaø Cung buø:( - ) vaø
Cung hôn keùm : ( + ) vaø
Cung phuï:( - ) vaø
2
1 cot2
2
cos(-) = cos
cos( - ) = -cos
cos(
2
tan(-) = -tan
tan( - ) = -tan
tan(
cot(-) = -cot
cot( - ) = -cot
2
cot(
2
5. Caùc coâng thöùc löôïn giaùc thöôøng söû duïng:
sin(-) = -sin
2
sin( - ) = sin
sin(
- ) = cos
- ) = sin
- ) = cot
- ) = tan
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
sin( + ) = -sin
cos( + ) = -cos
tan( + ) = tan
cot( + ) = cot
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Coâng thöùc coäng:
Coâng thöùc nhaân ñoâi:
Coâng thöùc haï baäc:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
sin2a = 2sinacosa
1 cos2a
cos2 a
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
cos2a = cos2a - sin2a
2
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
= 2 cos2a - 1
1 cos2a
sin2 a
sin(a + b) = sinacosb + cosasinb
= 1 - 2sin2a
2
tan a tan b
2tana
1 cos2a
tan(a b)
tan 2a
tan2 a
1 tan a tan b
1 tan 2 a
1 cos2a
tan a tan b
tan(a b)
1 tan a tan b
Coâng thöùc bieán tích thaønh toång:
Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích:
u v
u v
1
cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)]
cosu + cosv = 2cos
cos
2
2
2
u v
u v
1
sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)]
cosu - cosv = -2sin
sin
2
2
2
u v
u v
1
sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]
sinu + sinv = 2sin
cos
2
2
2
u v
u v
sinu - sinu = 2cos
sin
2
2
Coâng thöùc nhaân ba:
sin3a = 3sina - 4sin3a
cos3a = 4cos3a - 3cosa
Coâng thöùc sina + cosa:
sina + cosa = 2 sin(a + )
sina - cosa = 2 sin(a - )
4
4
sina + cosa = 2 cos(a - )
sina - cosa = - 2 cos(a + )
4
4
Ghi chuù:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
3
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I- ĐỊNH NGHĨA:
1. Hàm số sin và hàm số côsin:
a) Hàm số sin:
y
y
B
M
sinx
M'
sinx
x
A'
O
A
x
O
x
x
B'
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx
sin: R R
x y = sinx
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx
Tập xác định của hàm số sin là: D = R.
b) Hàm số côsin:
y
y
B
M''
cosx
M
x
A'
O
cosx
A
x
O
x
x
B'
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx
cos: R R
x y = cosx
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y =
cosx
Tập xác định của hàm số côsin là: D = R.
2. Hàm số tang và hàm số côtang:
a) Hàm số tang:
Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y =
Tập xác định của hàm số y = tanx là: D = R\{
sin x
(cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx.
cosx
+ k, k Z}.
2
b) Hàm số côtang:
Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y =
Tập xác định của hàm số y = cotx là: D = R\{k, k Z}.
4
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
cosx
(sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx.
sin x
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Nhắc lại định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x).
* Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó suy ra các hàm số y
= tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ.
II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
Giải nghĩa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống.
Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các hàm số:
a) y = sinx;
b) y = tanx.
Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì .
III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
1. Hàm số y = sinx:
Hàm số y = sinx xác định với mọi x R và -1 sinx 1;
Là hàm số lẻ;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]:
y
y
B
1
x3
x2
sinx2
x4
sinx2
x1
sinx1
A'
sinx1
A x
O
O
x1
2
x2
x3
x4
x
B'
] và nghịch biến trên [ ; ].
2
2
Hàm số y = sinx đồng biến trên [0;
Bảng biến thiên:
2
1
0
x
y = sinx
0
0
y
* Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối
xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; ] qua gốc tọa độ O, ta
được đồ thị hàm số trên đoạn [-; 0].
1
-
-
2
2
O
x
-1
b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R:
y
1
-
5
2
-2
-
-
-
3
2
3
O
2
2
2
2
5
x
2
-1
2
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
5
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
c) Tập giá trị của hàm số y = sinx:
Tập giá trị của hàm số y = sinx là T = [-1; 1].
2. Hàm số y = cosx:
Hàm số y = cosx xác định với mọi x R và -1 cosx 1;
Là hàm số chẵn;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2;
Hàm số y = cosx đồng biến trên [-; 0] và nghịch biến trên [0; ].
Bảng biến thiên:
x
-
0
1
y = cosx
-1
-1
Đồ thị hàm số y = cosx:
y
1
-
5
2
-
-
-2
-
2
3
2
O
2
3
2
2
2
-1
Tập giá trị của hàm số y = cosx là T = [-1; 1].
Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin.
3. Hàm số y = tanx:
Tập xác định: D = R\{ k , k Z};
2
Là hàm số lẻ;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0; ):
2
y
B
M2
T2
tanx2
T1
tanx1
A
O
M1
A'
O
x1 x2
B'
Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;
).
2
Bảng biến thiên:
6
5
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
2
x
x
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
4
-
x
y = tanx
2
+
1
0
thì đồ thị hàm số y = tanx càng gần đường thẳng x = .
2
2
b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D:
Đồ thị hàm số y = tanx trên ( ; ) :
2 2
* Nhận xét: Khi x càng gần
y
-
2
O
Đồ thị hàm số y = tanx trên D:
-3
2
-
2
x
y
-
3
2
2
O
2
Tập giá trị của hàm số y = tanx là T = (-; +).
4. Hàm số y = cotx:
Tập xác định: D = R\{k, k Z};
Là hàm số chẵn;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; ):
Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; ).
0
x
2
+
y = tanx
0
x
-
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
7
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
y
x
2
O
b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D:
y
-2
-3
2
-
O
2
2
2
x
3
2
Tập giá trị của hàm số y = cotx là T = (-; +).
Ghi chú:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
8
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
3
] để hàm số y = tanx:
2
b) Nhận giá trị bằng 1;
d) Nhận giá trị âm.
Bài 1: Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-;
a) Nhận giá trị bằng 0;
c) Nhận giá trị dương;
Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số:
1 cosx
1 cosx
a) y =
;
b) y =
;
sin x
1 cosx
c) y = tan( x
3
);
d) y = cot(x
6
).
1
.
2
Bài 4: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.
Bài 5: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a) y = 2 cosx + 1;
b) y = 3 - 2sinx.
Bài 7: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = sinx.
Bài 8: Chứng minh rằng sin2(x + k) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Xét tính chẵn - lẻ của mỗi hàm số sau:
a) y = -2sinx;
b) y = 3sinx - 2;
c) y = sinx - cosx;
d) y = sinxcos2x + tanx.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
Bài 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx =
a) y = 2cos(x +
) + 3;
3
b) y = 1 sin(x 2 ) - 1;
c) y = 4sin x .
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
9
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = a:
Xét phương trình sinx = a (a R) (1)
Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm
Trường hợp a 1:
x k2
x k2 (k Z)
sinx = a
x arcsina k2
x arcsina k2 (k Z)
sin
B
1
M'
a K
A' -1
M
1 A
O
coâ
sin
-1
B'
* Chú ý:
u( x) k2 [ 0 k3600 ]
sinu( x) sin
(k Z )
0
0
0
[sin u( x) sin 0 ]
u( x) k2 [180 k360 ]
sinu(x) = a
(-1 a 1)
sin u( x) a
(sinu( x) a)
u( x) arcsina k2 [arcsina k3600 ]
(k Z )
0
0
u( x) arcsina k2 [180 arcsina k360 ]
f ( x) g( x) k2
Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)]
(k Z )
f ( x) g( x) k2
Đặc biệt:
sin[f(x)] = 1 f(x) =
+ k2, k Z
2
sin[f(x)] = -1 f(x) = - + k2, k Z
2
sin[f(x)] = 0 f(x) = k, k Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1
1
2
a) sinx = ;
b) sinx = ;
c) sin2x = 1;
d) sin(x + 450) = .
2
5
2
Giải:
10
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
2. Phöông trình cosx = a:
Xeùt phöông trình cosx = a (a R) (2)
sin
Tröôøng hôïp a > 1: phöông trình (2) voâ nghieäm
B
1
Tröôøng hôïp a 1:
M
x k2
cosx = cos
(k Z )
1 A
a
A' -1
x k2
O
coâ
sin
H
cosx = a
x arccosa k2
M'
cosx = a
(k Z )
-1
B'
x arccosa k2
* Chú ý:
u( x) k2 [ 0 k3600 ]
cosu( x) cos
(k Z )
0
0
[cosu( x) cos 0 ]
u
(
x
)
k
2
[
k
360
]
cosu(x) = a
(-1 a 1)
u( x) arccosa k2 [arccosa k3600 ]
cosu( x) a
(k Z )
0
[cosu( x) a]
u( x) arccosa k2 [ arccosa k360 ]
f ( x) g( x) k2
Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)]
(k Z )
f ( x) g( x) k2
Đặc biệt:
cos[f(x)] = 1 f(x) = k2, k Z
cos[f(x)] = -1 f(x) = + k2, k Z
cos[f(x)] = 0 f(x) = + k, k Z.
2
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1
2
2
a) cosx = cos ;
b) cos3x = ;
c) cosx = ;
d) cos(x + 600) =
.
3
6
2
2
Giải:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
3. Phöông trình tanx = a:
tanx = tan x = + k, k Z [x = 0 + k1800, k Z]
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
11
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
tanx = a
* Chú ý:
tan[u(x)] = a
tanx = a x = arctana + k, k Z [x = arctana + k1800, k Z]
tan[u(x)] = tan u(x) = + k, k Z [ux) = 0 + k1800, k Z]
tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k Z [ux) = arctana + k1800, k Z]
Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)] f(x) = g(x) + k, k Z.
Đặc biệt:
tan[u(x)] = 0 u(x) = k, k Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1
a) tanx = tan ;
b) tan2x = - ;
c) tan(3x + 150) = 3 .
3
5
Giải:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
4. Phöông trình cotx = a:
cotx = cot x = + k, k Z [x = 0 + k1800, k Z]
cotx = a
* Chú ý:
cot[u(x)] = a
cotx = a x = acrcota + k, k Z [x = acrcota + k1800, k Z]
cot[u(x)] = cot u(x) = + k, k Z [ux) = 0 + k1800, k Z]
cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k Z [ux) = acrcota + k1800, k Z]
Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)] f(x) = g(x) + k, k Z.
Đặc biệt:
cot[u(x)] = 0 u(x) =
+ k, k Z.
2
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
2
a) cot4x = cot
;
b) cot3x = -2;
7
Giải:
12
c) cot(2x - 100) =
1
3
.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
Ghi chuù:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1
a) sin(x + 2) = ;
b) sin3x = 1;
3
2x
1
3
)=- ;
c) sin(
d) sin(x + 200) = .
3 3
2
2
Bài 2: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?
Bài 3: Giải các phương trình sau:
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
13
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
a) cos(x - 1) =
2
;
3
b) cos3x = cos120;
3x
1
)=- ;
2 4
2
2 cos2x
0.
Bài 4: Giải phương trình
1 sin 2x
Bài 5: Giải các phương trình sau:
3
a) tan(x - 150) =
;
3
c) cos2x.tanx = 0;
c) cos(
d) cos22x =
1
.
4
b) cot(3x - 1) = - 3 ;
d) sin3xcotx = 0.
Bài 6: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan( - x) và y = tan2x bằng nhau?
4
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) sin3x - cos5x = 0;
b) tan3x.tanx = 1.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
1
3
a) sin2x = với 0 < x < ;
b) cos(x - 5) =
với - < x < ;
2
2
1
c) tan(2x - 150) = 1 với -1800 < x< 900;
d) cot3x =
với < x < 0.
2
3
Bài 2: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
1 cosx
sin(x 2)
a) y =
;
b) y =
cos2x cosx
2 sin x 2
tan x
1
c) y =
;
d) y =
.
1 tan x
3 cot 2x 1
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
14
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at + b = 0
trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Cách giải: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) 2sinx - 3 = 0;
b) 5cosx + 3 = 0;
c) 3 tanx + 1 = 0;
d) 3 cotx - 3 = 0.
Giải:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
II- PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI ÑOÁI VÔÙI MOÄT HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC:
Ñònh nghóa: Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc laø phöông trình daïng: at2 +
bt + c = 0
trong ñoù a, b, c laø caùc haèng soá (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Cách giải: Đặt ẩn phụ (điều kiện cho ẩn phụ nếu có), giải phương trình theo ẩn phụ rồi đưa về việc giải
các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
x
x
a) 3cos2x - 5cosx + 2 = 0;
b) 3tan2x - 2 3 tanx + 3 = 0;
c) 2sin2 2 + 2 sin - 2 =
2
0.
Giải:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
15
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
III- PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI sinx VAØ cosx:
1. Coâng thöùc bieán ñoåi bieåu thöùc asinx + bcosx:
asinx + bcosx =
a2 b2 sin(x + )
với cos =
a
a2 b2
và sin =
b
a2 b2
2. Phương trình dạng asinx + bcosx = c:
Xét phương trình asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0) (1)
Nếu a = 0, b ≠ 0 (hoặc a ≠ 0, b = 0) thì (1) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
c
Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì (1) a2 b2 sin(x + ) = c sin(x + ) =
a2 b2
Ví dụ 1: Giải phương trình sinx + 3 cosx = 1.
Giải:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
Ví duï 2: Giaûi phöông trình 3sin3x - 4cos3x = 5.
Giaûi:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
Ghi chuù:
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) sin2x - sinx = 0;
b) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0;
Bài 2: Giải các phương trình sau:
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----16
c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0.
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
b) 3 sin3x - cos3x = 2 ;
d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0.
a) cosx - 3 sinx = 2 ;
c) 2sinx + 2cosx - 2 = 0;
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x +
b) sin2
2 sin4x = 0;
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0;
1
c) sin2x + sin2x - 2cos2x = ;
2
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1;
c) tanx - 2cotx + 1 = 0.
b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
d) 2cos2x - 3 3 sin2x - 4sin2x = -4.
b) tanx + tan(x +
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) 2(sinx + cosx) + 6sinxcosx – 2 = 0;
c) (1 - 2 )(1 + sinx – cosx) = sin2x;
e) 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0;
x
x
2 cos 2 0 ;
2
2
) = 1.
4
b) 2sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 8 = 0;
d) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0;
f) sin2x + 2 sin(x - ) = 1.
4
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) cosxcos5x = cos2xcos4x;
b) sin2x + sin4x = sin6x;
2
2
2
2
c) sin 4x + sin 3x = sin 2x + sin x;
d) (sinx – cosx)2 – ( 2 + 1)(sinx – cosx) + 2 = 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) sinx + 3 cosx = 2sin(2x + );
b) 2sinx(cosx - 1) = 3 cos2x;
6
b) cos3x - sinx = 3 (cosx - sin3x);
c) 3 cosx - sinx = 2 (sin3x cos3x).
Bài 3: Giải các phương trình sau:
2
a) cos[ cos(x )]
;
b) tan[ (cos x sin x)] 1 .
4
2
4
2
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
17
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
* ÔN TẬP CHƯƠNG I *
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
18
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?
b) Hàm số y = tan(x + ) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?
5
Bài 2: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn [
3
; 2] để hàm số đó:
2
a) Nhận giá trị bằng -1;
b) Nhận giá trị âm.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
x 1
2
1
a) sin(x + 1) = ;
b) sin22x = ; c) cot2 2 = 3 ;
d) tan( + 12x) = - 3 .
3
2
12
2
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2cos x - 3cosx + 1 = 0;
b) 2sinx + cosx = 1.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) y = 2(1 cosx) + 1;
b) y = 3sin(x - ) - 2;
6
c) y = 3 - 4sinx;
d) y = 2 - cosx .
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số:
tan x cot x
2 cosx
a) y =
;
b) y =
.
1 sin2x
1 tan(x )
3
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) y = 2cos( x
3
) + 3;
b) y = 1 sin(x 2 ) - 1;
c) y = 4sin x .
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
19
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
CHƯƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT
----- oOo -----
CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tập hợp:
Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào.
Tập con:
B
A
A
x : x A x B )
Số tập con của tập có n phần tử là 2n.
2. Các phép toán trên tập hợp:
Giao
Hợp
à
Tính chất:
a) A A với mọi tập hợp A.
b) Nếu A B và B C thì A C.
c) A với mọi tập hợp A.
Kí hiệu: N*, Z*, Q*, R* là các tập hợp số
không có phần tử 0.
Hiệu
Phần bù
B
A
A
B
A B ={xx A và x B}
A
B
A
A B ={xx A hoặc x B}
B
A\ B ={xx A và x B}
x A
x A
x A
x A B
x A\ B
x B
x B
x B
3. Dấu hiệu chia hết:
Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
4. Số và chữ số:
x A B
Khi B A thì A\B
gọi là phần bù của B
B
trong A, kí hiệu C A .
số có ba chữ
số
128
Ghi chú:
chữ số
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
20
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----
- Xem thêm -