Bài tập Toán 8
Học kì 2
Phần 1. Đại Số
Chương III:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Phương trình
1. Phương trình một ẩn
Một phương trình với ẩn x luôn có dạng: A(x) = B(x), trong đó vế trái
A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.
Nếu x0 là một giá trị sao cho A(x0 ) = B(x0 ) là một đẳng thức đúng thì
x = x0 được gọi là một nghiệm của phương trình A(x) = B(x).
Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, …, vô
số nghiệm, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào (phương trình vô
nghiệm).
Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập
nghiệm của phương trình đó và thường được ký hiệu bởi chữ S.
Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm)
của phương trình đó.
Số nghiệm của phương trình còn phụ thuộc vào việc xét các giác trị
của ẩn trên tập hợp số nào.
2. Hai phương trình tương đương
a) Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng
có chung một tập hợp nghiệm.
Sự tương đương ký hiệu bởi dấu . Phương trình (1) tương đương
với phương trình (2), ta viết: (1) (2).
Hai phương trình vô nghiệm được coi là tương đương (tập nghiệm
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 1
Bài tập Toán 8
Học kì 2
của chúng bằng )
Khi nói hai phương trình tương đương với nhau ta phải chú ý rằng
các phương trình đó được xét trên tập hợp số nào, có khi trên tập
này thì tương đương nhưng trên tập khác thì lại không
b) Hai qui tắc biến đổi tương đương:
Qui tắc chuyển vế: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia
của một phương trình đồng thời đổi dấu hạng tử ấy thì được một
phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
A( x ) B( x ) C( x ) A( x ) C( x ) B( x )
Qui tắc nhân: Nếu ta nhân (hay chia) một số khác 0 vào 2 vế của
một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với
phương trình đã cho.
A( x ) B( x ) m.A( x ) m.B( x ) ( m 0 )
3.1
Cho hai phương trình:
x2 – 5x + 6 = 0
(1)
x + (x – 2)(2x + 1) = 2.
(2)
a) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung là x = 2.
b) Chứng minh: x = 3 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau không, vì sao ?
3.2
3.3
Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:
a) 2(x + 1) = 3 + 2x
b) 2(1 – 1,5x) + 3x = 0
c) | x | = –1
d) x2 + 1 = 0
Xét tính tương đương của các phương trình:
Khi
(1 – x)(x + 2) = 0
(1)
(2x – 2)(6 + 3x)(3x + 2) = 0
(2)
(5x – 5)(3x + 2)(8x + 4)(x2 – 5) = 0
(3)
a) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập N.
b) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Z.
c) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Q.
d) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập R.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 2
Bài tập Toán 8
3.4
Trong các cặp phương trình sau hãy chỉ ra các cặp phương trình tương
đương, không tương đương. Vì sao ?
2
a) 3x + 2 = 1
và
x+1=
3
b) x + 2 = 0
và
(x + 2)(x – 1) = 0
c) x + 2 = 0
và
(x + 2)(x2 + 1) = 0
và
x2 – 4 = 0
e) 2x + 3 = x + 5
và
2x + 3 +
f) 2x + 3 = x + 5
và
g) x + 7 = 9
và
x2 + x + 7 = 9 + x2
h) (x + 3)3 = 9(x + 3)
và
(x + 3)3 – 9(x + 3) = 0
i) 0,5x2 – 7,5x + 28 = 0
và
x2 – 15x + 56 = 0
j) 2x – 1 = 3
và
x(2x – 1) = 3x
d) x2 – 4 +
3.5
3.6
Học kì 2
1
1
x2 2
1
1
=x+5+
x 1
x 1
1
1
2x + 3 +
=x+5+
x2
x2
Tìm giá trị của k sao cho:
a) Phương trình: 2x + k = x – 1
có nghiệm x = – 2.
b) Phương trình: (2x + 1)(9x + 2k) – 5(x + 2) = 40
có nghiệm x = 2
c) Phương trình: 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + k)
có nghiệm x = 1
d) Phương trình: 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80
có nghiệm x = 2
Tìm m, a và b để các cặp phương trình sau đây tương đương:
a) mx2 – (m + 1)x + 1 = 0
và
(x – 1)(2x – 1) = 0
b) (x – 3)(ax + 2) = 0
và
(2x + b)(x + 1) = 0
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 3
Bài tập Toán 8
Học kì 2
Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0
Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
1. Định nghĩa
Phương trình dạng ax + b = 0; với a, b là những hằng số, a 0 được gọi
là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Cách giải phương trình đưa được về phương trình bậc nhất
Quy đồng mẫu thức 2 vế.
Khử mẫu thức 2 vế.
Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn
sang một vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình vầ dạng
Ax = B.
3.7
3.8
3.9
Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
a) 1 + x = 0
b) x + x2 = 0
c) 1 – 2t = 0
d) 3y = 0
e) 0x – 3 = 0
f) (x2 + 1)(x – 1) = 0
g) 0,5x – 3,5x = 0
h) – 2x2 + 5x = 0
g) 0x + 0 = 0
Giải các phương trình sau:
a) 7x + 12 = 0
b) 5x – 2 = 0
c) 12 – 6x = 0
d) – 2x + 14 = 0
e) 3x + 1 = 7x – 11
f) 2x + x + 12 = 0
g) x – 5 = 3 – x
h) 7 – 3x = 9 – x
i) 5 – 3x = 6x + 7
j) 11 – 2x = x – 1
k) 15 – 8x = 9 – 5x
l) 0,25x + 1,5 = 0
Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của nghiệm ở dạng số thập
phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm:
a) 3x – 11 = 0
b) 12 + 7x = 0
c) 10 – 4x = 2x – 3
3.10 Giải các phương trình sau:
1. a) 3x – 2 = 2x – 3
b) 3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 4
Bài tập Toán 8
Học kì 2
c) 7 – 2x = 22 – 3x
d) 8x – 3 = 5x + 12
e) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1
f) x + 2x + 3x – 19 = 3x + 5
2. a) 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)
b) 2x(x + 2)2 – 8x2 = 2(x – 2)(x2 + 2x + 4)
c) 7 – (2x + 4) = – (x + 4)
d) (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
e) x(x + 3)2 – 3x = (x + 2)3 + 1
f) (x + 1)(2x – 3) = (2x – 1)(x + 5)
g) (x – 2)3 + (3x– 1)(3x+ 1) = (x + 1)3
3. a) 1,2 – (x – 0,8) = –2(0,9 + x)
b) 2,3x – 2(0,7 + 2x) = 3,6 – 1,7x
c) 3 + 2,25x + 2,6 = 2x + 5 + 0,4x
d) 0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7
e) 3,6 – 0,5(2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x)
f) 5x + 3,48 – 2,35x = 5,38 – 2,9x + 10,42
b)
10x 3
6 8x
1
12
9
3
13
c) 2 x 5 x
5
5
d)
7
20x 1,5
x 5(x 9)
8
6
e)
7x 1
16 x
2x
6
5
f)
x 2x 1 x
x
3
6
6
g)
3x 2 3x 1 5
2x
2
6
3
h)
x4
x x 2
x4
5
3
2
i)
4x 3 6x 2 5x 4
3
5
7
3
k)
5x 2 8x 1 4x 2
5
6
3
5
m)
2x 1 x 2 x 7
5
3
15
n)
3x 11 x 3x 5 5x 3
11
3
7
9
4. a)
5x 2 5 3x
3
2
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 5
Bài tập Toán 8
Học kì 2
o)
2 x
1 2x
0,5x
0,25
5
4
q)
1
1
1
(x 3) 3 (x 1) (x 2)
4
2
3
p)
3x 11 x 3x 5 5x 3
11
3
7
9
1 2(x 3) 3x 2(x 7)
5. a) 14
2
5
2
3
2(3x 1) 1
2(3x 1) 3x 2
b)
5
4
5
10
c)
5(x 1) 2 7x 1 2(2x 1)
5
6
4
7
d)
x 1 3(2x 1) 2x 3(x 1) 7 12x
3
4
6
12
e)
3(2x 1) 3x 1
2(3x 2)
1
4
10
5
f)
3(x 3) 4x 10,5 3(x 1)
6
4
10
5
g) x
3(x 30)
1 7x 2(10x 2)
24
15
2 10
5
h) x
3
7
10x 3
(2x 1) (1 2x)
17
34
2
3.11 Tìm x sao cho các biểu thức A và B cho sau có giá trị bằng nhau:
a) A = (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2)
và
B = (x – 4)2
b) A = (x + 2)(x – 2) + 3x2
và
B = (2x + 1)2 + 2x
c) A = (x – 1)(x2 + x + 1) – 2x
và
B = x(x – 1)(x + 1)
d) A = (x + 1)3 – (x – 2)3
và
B = (3x –1)(3x +1).
3.12 Giải các phương trình sau:
7x 1
16 x
a)
2x
6
5
b)
(2x 1)2 (x 1) 2 7x 2 14x 5
5
3
15
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 6
Bài tập Toán 8
Học kì 2
3.13 Giải các phương trình sau:
x 1
1 2x
3x
5 1
3
3
5
2x
a) x
1 2x 3x 1
x 1
2x
6
2
3 2
3
2
5
3x 1
b)
3.14 Giải các phương trình sau:
a)
x 23 x 23 x 23 x 23
24
25
26
27
x2 x3 x4 x5
b)
1
1
1
1
98
97
96
95
x 1 x 2 x 3 x 4
c)
2012 2011 2010 2009
d)
201 x 203 x 205 x
30
99
97
95
e)
x 45 x 47 x 55 x 53
55
53
45
47
f)
2x
1 x
x
1
2010
2011 2012
g)
x 2 10x 29 x 2 10x 27 x 2 10x 1971 x 2 10x 1973
1971
1973
29
27
x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19
1972
1974
1976
1978 1980
h) 1970
x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980
29
27
25
23
21
19
(Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc năm 1978)
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 7
Bài tập Toán 8
Học kì 2
Phương trình tích
Phương trình tích là những phương trình sau khi biến đổi có dạng:
A( x ) B( x ) C( x ) 0 (1)
trong đó A(x), B(x), …, C(x) là những biểu thức ẩn x.
A( x ) 0
B( x ) 0
Cách giải: A( x ) B( x ) C( x ) 0
C( x ) 0
Giải các phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, …, C(x) = 0. Tất cả các nghiệm
tìm được tạo thành tập nghiệm của phương trình (1)
3.15 Giải các phương trình sau:
1. a) (3x – 2)(4x + 5) = 0
2
b) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0
c) (4x + 2)(x + 1) = 0
d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0
e) (x – 1)(2x + 7)(x2 + 2) = 0
f) (4x – 10)(24 + 5x) = 0
g) (3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 0
h) (5x + 2)(x – 7) = 0
i) 15(x + 9)(x – 3) (x + 21) = 0
j) (x2 + 1)(x2 – 4x + 4) = 0
2. a) (3x + 2)(x2–1) = (9x2–4)(x+1) b) x(x + 3)(x–3)–(x+2)(x2–2x+4)=0
c) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0
d) (3x–1)(x2+2) = (3x–1)(7x – 10)
e) (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4
f) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0
g) 3x – 15 = 2x(x – 5)
h) (2x + 1)(3x–2) = (5x–8)(2x + 1)
i) 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1) j) (2x2+1)(4x–3)=(x – 12)(2x2 + 1)
k) x(2x – 9) = 3x(x – 5)
2
m) 2x(x – 1) = x – 1
o)
3
1
x 1 x( 3x 7)
7
7
l) (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)
n) (2–3x)(x+11) = (3x – 2)(2 – 5x)
p)
1
1
2 2 (x 2 1)
x
x
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 8
Bài tập Toán 8
Học kì 2
2
2
3. a) (2x – 5) – (x + 2) = 0
2
2
2
b) (3x +10x–8) = (5x – 2x + 10)2
c) (x2 – 2x + 1) – 4 = 0
d) 4x2 + 4x + 1 = x2
e) (x + 1)2 = 4(x2 – 2x + 1)2
f) (x2 – 9)2 – 9(x – 3)2 = 0
g) 9(x – 3)2 = 4(x + 2)2
h) (4x2 – 3x – 18)2 = (4x2 + 3x)2
i) (2x – 1)2 = 49
j) (5x – 3)2 – (4x – 7)2 = 0
k) (2x + 7)2 = 9(x + 2)2
l) 4(2x + 7)2 = 9(x + 3)2
m) (x2 – 16)2 – (x – 4)2 = 0
n) (5x2–2x + 10)2 = (3x2 + 10x – 8)2
4. a) 3x2 + 2x – 1 = 0
b) x2 – 5x + 6 = 0
c) x2 – 3x + 2 = 0
d) 2x2 – 6x + 1 = 0
e) 4x2 – 12x + 5 = 0
f) 2x2 + 5x + 3 = 0
g) x2 + x – 2 = 0
h) x2 – 4x + 3 = 0
i) 2x2 + 5x – 3 = 0
j) x2 + 6x – 16 = 0
5. a) 3x2 + 12x – 66 = 0
b) 9x2 – 30x + 225 = 0
c) x2 + 3x – 10 = 0
d) 3x2 – 7x + 1 = 0
e) 3x2 – 7x + 8 = 0
f) 4x2 – 12x + 9 = 0
6. a) (x –
2 ) + 3(x2 – 2) = 0
7. a) 2x3 + 5x2 – 3x = 0
b) x2 – 5 = (2x –
5 )(x +
5)
b) 2x3 + 6x2 = x2 + 3x
c) x2 + (x + 2)(11x – 7) = 4
d) (x – 1)(x2 + 5x – 2) – (x3 – 1) = 0
e) x3 + 1 = x(x + 1)
f) x3 + x2 + x + 1 = 0
g) x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0
h) x3 – 7x + 6 = 0
3.16 Cho phương trình (ẩn x): 4x2 – 25 + k2 + 4kx = 0
a) Giải phương trình với k = 0
b) Giải phương trình với k = – 3
c) Tìm các giá trị của k để phương trình nhận x = – 2 làm nghiệm.
3.17 Cho phương trình (ẩn x): x3 + ax2 – 4x – 4 = 0
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 1.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 9
Bài tập Toán 8
Học kì 2
b) Với giá trị m vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình.
3.18 Cho phương trình (ẩn x): x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0
a) Xác định a để phương trình có một nghiệm x = – 2.
b) Với giá trị a vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình.
3.19 Cho biểu thức hai biến: f(x, y) = (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1)
a) Tìm các giá trị của y sao cho phương trình (ẩn x) f(x, y) = 0 nhận
x = – 3 làm nghiệm.
b) Tìm các giá trị của x sao cho phương trình (ẩn y) f(x, y) = 0 nhận y = 2
làm nghiệm.
5
4
và B
. Hãy tìm các giá trị của m để
2m 1
2m 1
hai biểu thức ấy có giá trị thỏa mãn hệ thức:
3.20 Cho 2 biểu thức: A
a) 2A + 3B = 0
b) AB = A + B
3.21 Dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình
sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.
a) ( 3 x 5)(2x 2 1) 0
b) (2x 7)(x 10 3) 0
c) (2 3x 5)(2,5x 2) 0
d) ( 13 5x)(3,4 4x 1,7 ) 0
e) (x 13 5)( 7 x 3) 0
f) (x 2,7 1,54)( 1,02 x 3,1) 0
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 10
Bài tập Toán 8
Học kì 2
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương trình chứa ẩn ở mẫu: ngoài những phương trình có cách giải đặc
biệt, đa số các phương trình đều giải theo các bước sau:
Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).
Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu.
Giải phương trình sau khi bỏ mẫu.
Kiểm tra xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa ĐKXĐ không. Chú ý
chỉ rõ nghiệm nào thỏa, nghiệm nào không thỏa.
Kết luận số nghiệm của phương trình đã cho là những giá trị thỏa
ĐKXĐ.
3.22 Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
1
a) 3x2 – 2x = 0
b)
3
x 1
2
x
2x
1
c)
d) 2
x 1 2x 4
x 9 x 3
3.23 Giải các phương trình sau:
2x 1
1
5x
6
1. a)
1
b)
1
x 1
x 1
2x 2
x 1
1
1
1
x 8
c) x x 2 2
d)
8
x
x
7x x 7
1
x 3
5x 2 2x 1
x2 x 3
e)
3
f)
1
x2
2x
2 2x
2
1 x
2. a)
c)
e)
g)
i)
2
x 5
1
x 3 x 1
x 6
x
x4 x2
x 3 x 2
1
3
x2 x4
5
3x 2 6x 1
x 7 2x 3
2x 1 5(x 1)
x 1
x 1
b)
d)
f)
h)
j)
x3 x 2
2
x 1
x
2x 5 3x 5
1
0
x2
x 1
x 3 x 2
1
x2 x4
x 1 x 1 2(x 2 2)
x2 x2
x2 4
x 1
x
5x 2
x 2 x 2 4 x2
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 11
Bài tập Toán 8
x2
3
2(x 11)
2
2 x x2
x 4
1
5
15
3. a)
x 1 x 2 (x 1)(2 x)
6
4
8
c)
x 1 x 3 (x 1)(3 x)
k)
1
3
5
2x 3 x(2x 3) x
x2 1
2
g)
x 2 x x(x 2)
e)
3.24 Giải các phương trình sau:
x 1 x 1
16
a)
2
x 1 x 1 x 1
12
1
c)
1
3
8 x
x2
4
2x 5 2x
e) 2
x 2x 3 x 3 x 1
2
x 1 x 3
g)
2
x 6x 8 x 2 x 4
x
2x
x
i)
2
2x 2 x 2x 3 6 2x
Học kì 2
2
x 1 x x 2 x 1
x2
x 1
x 1
x 1
x
5x
2
b) 1
3 x (x 2)(3 x) x 2
3x 1 2x 5
4
d)
1
x 1
x3
(x 1)(x 3)
l)
x 3 (x 1)3
7x 1
x
(4x 3)(x 5) 4x 3 x 5
3x
x
3x
h)
x 2 x 5 (x 2)(5 x)
f)
b)
d)
f)
h)
j)
3
1
7
x x 2 x 1 x 2
x 25
x5
5 x
2
2
2
2x 50 x 5x 2x 10x
1
3x 2
2x
3
x 1 x 1 x2 x 1
2
3
1
3
2
2
x x x 1 1 x
x 1
5
x3
0
x 2 5x 6 2 x
2
3.25 Giải các phương trình sau:
4
3
2
a)
2
25x 20x 3 5x 1 5x 3
1
1
2
b) 2
2
2
x 3x 2 x 5x 6 x 4x 3
1
1
1
1
c) 2
2
2
x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42 18
3.26 Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.
2a 2 3a 2
3a 1 a 3
a)
b)
2
a 4
3a 1 a 3
10 3a 1 7a 2
2a 9
3a
c)
d)
3 4a 12 6a 18
2a 5 3a 2
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 12
Bài tập Toán 8
Học kì 2
Phương trình có hệ số chứa tham số
1. Phương trình có hệ số có chưa tham số:
Các hệ số bằng chữ trong phương trình còn được gọi là tham số.
Với mỗi giá trị của tham số, ta được 1 phương trình khác, do đó
nghiệm và số nghiệm của các phương trình có thể khác nhau.
Giải và biện luận phương trình theo tham số là khảo sát nghiệm và số
nghiệm của phương trình đó theo các giá trị khác nhau của tham số.
Khi giải phương trình có hệ số chứa tham số ta cần chú ý: Khi chia
cho một biểu thức chứa tham số phải đặt điều kiện cho các tham số để
biểu thức ấy khác 0.
2. Giải và biện luận phương trình có hệ số chứa tham số
Khai triển, chuyển các hạng tử có chứa ẩn sang một vế, các hạng tử
khác sang một vế, thu gọn để đưa về phương trình dạng Ax = B (1).
Phân tích A, B thành nhân tử (nếu được).
Biện luận:
Nếu A 0: phương trình (1) có nghiệm duy nhất x
B
.
A
Nếu A = 0, phương trình (1) có dạng: 0x = B
Nếu B = 0, (1) 0x = 0: phương trình (1) có nghiệm tùy ý
Nếu B 0: phương trình (1) vô nghiệm.
3. Phương trình có nghiệm theo điều kiện:
Trong thực hành, đôi lúc đề không yêu cầu giải và biện luận mà chỉ yêu
cầu một phần nhỏ trong phần giải và biện luận.
Cho phương trình: Ax = B (1)
(1) có nghiệm duy nhất A 0
A 0
(1) vô nghiệm
B 0
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 13
Bài tập Toán 8
Học kì 2
A 0
(1) có vô số nghiệm
B 0
A 0
(1) có nghiệm khi A 0 hoặc
B 0
4. Minh họa giải và biện luận phương trình bằng sơ đồ sau:
Ax = B
A=0
A0
0x = B
B0
B=0
PT có nghiệm
duy nhất
PT
vô nghiệm
PT có vô số
nghiệm
B
S
A
S=
S=R
3.27 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:
x 2a
a
ax a
a)
8
b)
5
3
3
10
2
x
x a
c)
1 a
d)
2
e) (a 2 2)(x 1) x 2
a
a 3
3.28 Giải và biện luận các phương trình sau:
a) (m 2 1)x (m 2 m)(m 2)
b) m 2 (x 1) 3mx (m 2 3)x 1
c)
e)
g)
i)
m2 x 6 4x 3m
(m 1)x (m 1)2
m(m 2 x 1) 1 x
m(x 4m) x 3 2 mx
k) m(mx 1) (2m 3)x 1
d)
f)
h)
j)
m(m 6)x m 8x m 2 2
(m 2 4)x m 2 8
m(mx 3) 2 x
m(3x m) x 2
l) m 2 (1 x) m(x 2) 3
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 14
Bài tập Toán 8
m) m(mx 1) 4(m 1)x 2
Học kì 2
2
n) m (x 1) m(2x 1)
3.29 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:
a) (a 2 3)x 1 a 2 (x 1) 3ax
b) (x 1)m 2(m 1)x 2m 3
xa
xb
c) a(x 2) a 2 x 2 0
d)
2
b
a
2
2
xa b xba b a
x a x a x 2
e)
f)
a
b
ab
a 2 a 2 a2 4
x 4 x 4a x 4a 3
xa xb xc
1 1 1
g)
h)
2
a 1
a 1
a 2 1
bc
ac
ab
a b c
3.30 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:
xa x b
1
2
3
a)
2
b)
0
x b x a
x 2 x 2a x a
x 1
x 1
1
1 1 1
c)
d)
x 2 a x 1 a
xa b x a b
x a 1 x b 1
a
e)
xa
xb
(x a)(x b)
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 15
Bài tập Toán 8
Học kì 2
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
1. Các bước giải
Bước 1: Lập phương trình:
Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời:
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa
mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa, rồi kết luận.
2. Một số kiến thức cần lưu ý
a) Loại toán cấu tạo số:
Số có hai, chữ số được ký hiệu là ab
Giá trị của số: ab = 10a + b; (Đk: 1 a 9 và 0 b 9, a,b N)
Số có ba, chữ số được ký hiệu là abc
abc = 100a +10b + c, (Đk: 1 a 9 và 0 b, c 9; a, b, c N)
b) Loại toán chuyển động:
Có 3 đại lượng là quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t) liên
hệ bởi công thức: s = v.t
Chuyển động trên dòng nước chảy:
Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng.
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước
c) Loại toán “làm chung – làm riêng” một công việc hoặc với “vòi
nước chảy chung – chảy riêng” đầy bể:
Có 3 đại lượng:
- Khối lượng công việc
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 16
Bài tập Toán 8
Học kì 2
- Phần việc làm (chảy) trong một đơn vị thời gian (năng suất)
- Thời gian
Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta xem toàn bộ
công việc là 1.
- Nếu đội nào làm xong công việc trong x (ngày) thì trong 1 ngày
1
đội đó làm được (công việc).
x
- Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong
1
1 giờ vòi đó chảy được (bể).
x
3. Một số ví dụ minh họa cách chọn ẩn
a) Thông thường ta hay chọn ẩn số dựa vào câu hỏi của đề bài. Bài
toán hỏi điều gì, ta chọn điều đó làm ẩn số.
Ví dụ: Một khu đất hình chữ nhật có chu vi 450m. Nếu tăng chiều dài
1
1
thêm
chiều dài cũ và giảm chiều rộng đi
chiều rộng cũ thì chu vi
5
4
khu đất không thay đổi. Tính diện tích khu đất lúc đầu.
Giải:
Nửa chu vi khu đất là: 452 : 2 = 225 (m)
Gọi chiều dài khu đất là x (m). Điều kiện: x > 0.
Khi đó:
- Chiều rộng của khu đất là: 225 – x (m)
1
- Chiều dài khu đất sau khi tăng thêm là: x x (m)
5
1
- Chiều rộng khu đất sau khi giảm đi là: ( 225 x ) ( 225 x ) (m)
4
Theo đề bài, ta có phương trình (lập PT theo chu vi):
1
1
x x ( 225 x ) ( 225 x ) 225
5
4
x 125 (thỏa điều kiện)
Vậy: Chiều dài của khu đất là: 125 (m)
Chiều rộng của khu đất là: 225 – 125 = 100 (m)
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 17
Bài tập Toán 8
Học kì 2
2
Diện tích khu đất là: 100 125 = 12500 (m )
b) Trong một số trường hợp, ta có thể chọn ẩn số là một đại lượng
trung gian để được phương trình đơn giản hơn, dễ giải hơn.
Ví dụ: Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược
dòng từ bến B đến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến, biết
rằng vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h.
Giải:
Gọi vận tốc riêng của canô (vận tốc canô lúc nước yên lặng) là
x (km/h). Điều kiện: x > 0.
Khi đó:
- Vận tốc canô lúc xuôi dòng là: x + 2 (km/h)
- Vận tốc canô lúc ngược dòng là: x – 2 (km/h)
- Quãng đường canô đi xuôi dòng (khoảng cách từ A đến B) là:
4(x + 2) (km)
- Quãng đường canô đi ngược dòng (cũng là khoảng cách từ A
đến B) là: 5(x – 2) (km)
Ta có phương trình:
5( x 2 ) 4( x 2 )
x 18 (thỏa điều kiện)
Vậy khoảng cách giữa hai bến là: 4(18 + 2) = 80 km.
3.31 Bài toán cổ: Ngựa và La đi cạnh nhau cùng chở vật nặng trên lưng. Ngựa
than thở về hành lý quá nặng của mình. La đáp: “Cậu than thở nỗi gì ?
Nếu tôi lấy của cậu một bao thì hành lý của tôi nặng gấp đôi của cậu. Còn
nếu cậu lấy của tôi một bao thì hành lý của cậu mới bằng của tôi”. Hỏi
Ngựa và La mỗi con mang bao nhiêu bao ?
3.32 Năm 1999, bố 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi năm nào thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi
con ?
3.33 Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa
thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi của Phương thôi. Hỏi năm nay Phương
bao nhiêu tuổi ?
3.34 Ông của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần tuổi
của Bình thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của cả ba người là 130.
Hãy tính tuổi của Bình.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 18
Bài tập Toán 8
Học kì 2
3.35 An hỏi Bình: “Năm nay cha mẹ của anh bao nhiêu tuổi ?” Bình trả lời:
“Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây khi tổng số tuổi của bố và mẹ tôi là
104 tuổi thì tuổi của 3 anh em chúng tôi là 14, 10 và 6. Hiện nay tổng số
tuổi của cha mẹ tôi gấp 2 lần tổng số tuổi của 3 anh em chúng tôi”. Tính
xem tuổi của cha và mẹ Bình là bao nhiêu ?
3.36 Tìm hai số, biết tổng của hai số bằng 65 và hiệu của chúng là 11.
3.37 Tìm hai số, biết tổng của hai số bằng 75 và số này gấp đôi số kia.
3.38 Một số tự nhiên lẻ có hai chữ số và chia hết cho 5. Hiệu của số đó và chữ
số hàng chục của nó bằng 68. Tìm số đó.
3.39 Tìm một phân số có tử nhỏ hơn mẫu 22 đơn vị, biết rằng nếu thêm 5 đơn
1
vị vào tử và bớt 2 đơn vị ở mẫu thì được phân số mới bằng phân số .
2
Tìm phân số đã cho.
3.40 Tìm một phân số có tử nhỏ hơn mẫu 11 đơn vị, biết rằng nếu thêm 3 đơn
3
vị vào tử và bớt 4 đơn vị ở mẫu thì được phân số mới bằng phân số .
4
Tìm phân số đã cho.
3
. Nếu
5
chia số thứ nhất cho 9 và chia số thứ hai cho 6 thì thương thứ nhất bé hơn
thương thứ hai là 3 đơn vị. Biết rằng các phép chia nói trên là các phép
chia hết.
3.41 Tìm 2 số nguyên, biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai bằng
3.42 Tìm 4 số tự nhiên có tổng 2007. Biết rằng nếu số I bớt đi 2, số II thêm 2,
số III chia cho 2 và số IV nhân với 2 thì được kết quả bằng nhau. Tìm 4 số
đó.
3.43 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào
bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp 153
lần số ban đầu.
3.44 Tìm một số có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số là 10 và nếu đổi chỗ hai
chữ số cho nhau thì được một số mới lớn hơn số cần tìm là 18 đơn vị.
3.45 Tìm một số có hai chữ số. Nếu thêm chữ số 5 vào bên trái số đó thì được
một số lớn hơn 153 đơn vị so với khi thêm chữ số 5 ở bên phải số đó.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 19
Bài tập Toán 8
Học kì 2
3.46 Tìm một số có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục.
Nếu viết thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn số đã
cho 370 đơn vị.
3.47 Chu vi một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 80m. Nếu giảm chiều
rộng 3m và tăng chiều dài 8m thì diện tích tăng thêm 32m2. Tính kích
thước miếng đất.
1
số học sinh cả lớp. Sang học
8
kì II, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học
sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?
3.48 Học kì I, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng
3.49 Trong môt buổi lao động, lớp 8A gồm 40 học sinh chia thành 2 tốp: tốp
thứ nhất trồng cây và tốp thứ hai làm vệ sinh. Tốp trồng cây đông hơn tốp
làm vệ sinh là 8 người. Hỏi tốp trồng cây có bao nhiêu học sinh ?
3.50 Hai chiếc ôtô khởi hành từ hai tỉnh A và B, ngược chiều nhau. Chiếc xe đi
từ A có vận tốc 40km/h, chiếc xe đi từ B với vận tốc 30km/h. Nếu chiếc
xe đi từ B khởi hành sớm hơn chiếc xe đi từ A là 6 giờ thì 2 xe gặp nhau ở
địa điểm cách đều A và B. Tìm quãng đường AB ?
3.51 Một ôtô đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ nghỉ
lại ở Thanh hóa, ôtô lại từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30km/h. tổng
thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ). Tính quãng
đường Hà Nội – Thanh Hóa.
3.52 Một ôtô phải đi quãng đường AB dài 60km trong một thời gian nhất định.
Ôtô đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định 10km/h và đi nửa
sau quãng đường với vận tốc kém hơn dự định 6km/h. Biết ôtô đến B
đúng thời gian đã định. Tính thời gian ôtô dự định đi quãng đường AB.
3
vận tốc
4
ôtô II. Nếu ôtô I tăng vận tốc 5km/h, còn ôtô II giảm vận tốc 5km/h thì
sau 5 giờ quãng đường ôtô I đi được ngắn hơn quãng đường ôtô II đã đi là
25km. Tính vận tốc của mỗi ôtô.
3.53 Hai ôtô khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc ôtô I bằng
3.54 Ôtô I đi từ A đến B. Nửa giờ sau, ôtô II đi từ B đến A với vận tốc gấp rưỡi
vận tốc ôtô I. Sau đó 45 phút hai ôtô gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ôtô,
biết quãng đường AB dài 95 km.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
File Word liên hệ:
[email protected] ĐT: 0983734349
Trang 20
.PDF 
98 
1986 
128 
