Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
I - LÝ THUYẾT ÔN TẬP TOÁN 10
I. HÌNH HỌC :
1. Vectơ :
Quy tắc 3 điểm : AB
+ BC
= AC
Quy tắc hình bình hành : Cho hình bình hành ABCD, ta có : AB
+
AD = AC
B
C
O
Quy tắc phép trừ : AB
= CB
– CA
A
Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 khi và chỉ khi : MA = k MB
Điểm I là trung điểm AM khi và chỉ khi : IA
+ IB
= 0.
Khi đó với mọi điểm O ta có :
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi :
GA
OA
D
+ OB
= 2 OI
+ GB
+ GC
=
0
Khi đó với mọi điểm O ta có : 3 OG = OA + OB
+ OC
Tich vô hướng của 2 vectơ :
+ a . b = | a |.| b |.cos( a . b )
hướng 2 vectơ.
+ cos( a . b ) =
a.b
Công thức tính tích vô
| a || b |
.
Ghi nhớ : cos( a . b ) = tích vô
hướng chia tích độ dài.
2. Hệ trục toạ độ Đecác vuông góc :
Ta giả sử : A (x A ; y A ), B (x B ; y B ),C (x C ; y C ), a = (a 1 ; a 2 ), b = (b 1 ; b 2 )
+ M(x ; y) OM
=xi -y j
Ghi nhớ : Hoành độ x luôn đi với
vectơ đơn vị i
+ a = (a 1 ; a 2 ) a = a 1 i - a 2 j
Tung độ y luôn đi
với vectơ đơn vị j
+ AB
=( x B –x A ; y B –y A ).
Ghi nhớ : Lấy ngọn trừ gốc.
2
2
+ AB = ( x B x B ) ( y A y B )
công thức tính độ dài đoạn
thẳng
+ a + b = (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 )
+ a – b = (a 1 – b 1 ; a 2 – b 2 )
+ k a = (ka 1 ; ka 2 )
+ | a | = a12 a 22
công thức tính độ dài vectơ
+ a . b = a 1 .b 1 + a 2 .b 2
biểu thưc toạ độ của tích vô
hướng
1
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
+ a b a .b = 0
vuông góc
+ Tam giác ABC vuông tại O AB
. AC = 0
vuông
Điểm chia đoạn thẳng :
Điều kiện 2 vectơ
Điều kiện ABC
x A kx B y A ky B
;
)
1 k
1 k
x x y y
( A B ; A B ) Ghi
2
2
M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì : M (
Điểm I là trung điểm AB khi và chỉ khi : A
nhớ : trung
bình cộng.
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi : G (
x A x B xC
3
;
y A y B yC
3
)
3. Tỉ số lượng giác :
1
sinx 2 + cosx 2 = 1
1+tg 2 x = cos 2 x , (cosx 0)
1
1+cotg 2 x = sin 2 x , (sinx 0)
tgx =
cos x
sin x
cos x
, (cosx 0)
cotgx = sin x , (sinx 0)
tgx.cotgx = 1, (sinx 0 và cosx 0)
Liên hệ giữa 2 góc phụ, bù nhau :
sin(180 0 -x) = sinx
cos(180 0 -x) = –
cosx
sin(90 0 -x) = cosx
cos(90 0 -x) = sinx
Dấu các tỉ số lượng giác :
+ sinx 0, với mọi x.
+ cosx, tgx, cotgx luông cùng dấu. Nó dương nếu góc x nhọn và âm nếu
góc x tù.
4. Hệ thức lượng trong tam giác :
Định lý hàm số cosin :
+ a 2 = b 2 + c 2 – 2bc.cosA
cosA =
+ b 2 = a 2 + c 2 – 2ac.cosB
cosB =
+ c 2 = a 2 + b 2 – 2ab.cosC
cosC =
Định lý hàm số sin :
b2 c2 a2
2bc
2
a c2 b2
2ac
2
a b2 c2
2ab
A
c
B
h
H
a
b
c
2 R
sin A sin B sin C
m
b
a M
C
Công thức tính diện tích tam giác :
S ABC =
1
2
ac.sinB =
1
2
1
2
ah h =
1
2
bh b =
1
2
ch c
S ABC =
1
2
ab.sinC =
bc.sinA
S ABC =
abc
4R
S ABC = pr
S ABC =
p ( p a )( p b)( p c)
2
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Công thức đường trung tuyến :
m
2
a
2b 2 2c 2 a 2
=
4
m
2
b
2 a 2 2c 2 b 2
=
4
m
2
c
2a 2 2b 2 c 2
=
4
II. ĐẠI SỐ :
1. Hàm số : y = f(x)
- Tập xác định : là tập các gí trị x làm cho biểu thức f(x) có nghĩa.
+ Nếu f(x) có mẫu thì mẫu khác 0.
+ Nếu f(x) có căn bậc hai (tổng quát bậc chẵn) thì biểu thức trong căn
không âm.
- Tính đơn điệu : Cho f(x) xác định trên D. (a;b) D, hàm số f(x) được gọi là :
+ đồng biến trên (a;b) nếu : x 1 ,x 2 (a;b) ta có : x 1 > x 2 f(x 1 ) >
f(x 2 ) hay
f ( x 2 ) f ( x1 )
x 2 x1
>0
+ đồng biến trên (a;b) nếu : x 1 ,x 2 (a;b) ta có : x 1 > x 2 f(x 1 ) <
f(x 2 ) hay
f ( x 2 ) f ( x1 )
x 2 x1
<0
- Tính chẵn, lẻ : Cho f(x) xác định trên D :
x D x D
f ( x) f ( x)
x D x D
+ f(x) lẻ trên D nếu :
f ( x) f ( x)
+ f(x) chẵn trên D nếu :
+ Chú ý :
Hàm đa thức chỉ có bậc chẵn là hàm số chẵn :
VD : các hàm số sau đây là chẵn :
y = x2 + 1
y = ax 2 + b y = x 4 + x 2 + 1
y = x4 – x2
y = –3x 8 + x 4 – 5
Hàm đa thức chỉ có bậc lẻ và không có hệ số tự do là hàm số lẻ :
VD : các hàm số sau đây là hàm số lẻ :
y = x 3 + x y = –2x 7 –2 x 5 +x
Hàm đa thức bậc lẻ và có hệ số tự do, hàm đa thức có cả bậc chẵn
và lẻ là hàm số không chẵn, không lẻ :
VD : Các hàm số sau không chẵn, không lẻ :
y = x3+ x + 1
y = –2x 7 –2 x 5 +x – 2
y = –2x 7 –2 x 5 + x 2
y = x2 + x + 1
- Hàm số bậc nhất : y = ax + b, (a 0)
+ a > 0 : hàm số đồng biến trên R
+ a < 0 : hàm số nghịch biến trên R
+ Đồ thị là đường thẳng.
3
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
+ Cho d 1 : y = ax + b
d 2 : y = a’x + b’
* Nếu a a’ thì d 1 cắt d 2
a a'
* Nếu
thì d // d
b b'
a a'
* Nếu
thì d d
b b'
1
1
2
2
- Hàm số bậc hai : y = ax 2 + bx + c, (a 0)
+ a > 0 : hàm số đồng biến trên (– ;
b
2a
), nghịch biến trên (
b
2a
;+
).
+ a < 0 : hàm số đồng biến trên (
b
2a
;+ ), nghịch biến trên (– ;
b
2a
).
+ Đồ thị là parabol có trục đối xứng x =
b
2a
. Đỉnh I(
a > 0 đồ thị lõm.
-
O
-
b
2a
b
; 4a
2a
).
a < 0 đồ thị lồi
a>0
4
+
a<0
Nghòch bieán
Ñoàng bieán
5
2
-2
Nghòch bieán
-
Ñoàng bieán
O
-
b
+
2a
5
-4
+ Điều kiện để đường thẳng (d) : y = a’x + b’ tiếp xúc parabol (P) : y = ax
+ bx + c là phương trình hoành độ giao điểm : a’x + b’= ax 2 + bx + c có nghiệm số
kép. (tức biệt thức = 0).
2
2. Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất phươnh trình :
- Phương trình : ax + b = 0
+ TXD : D = R
+ a 0, pt có nghiệm duy nhất x =
b
a
+ a = 0 và b = 0, pt có nghiệm với mọi x thuộc R
+ a = 0 và b 0, pt vô nghiệm.
Chú ý : Khi giải và biện luận, trong trường hợp a = 0 ta phải thế giá
trị tham số m tìm được vào để biết b = 0 hay b 0.
4
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
ax by c
- Hệ phương trình :
a' x b' y c'
+ tính : D =
ab
a ' b'
= ab’ – a’b D x =
cb
c ' b'
= cb’ – c’b D y =
ac
a ' c'
=
ac’ – a’c
+ D 0, hệ có nghiệm duy nhất : (x 0 ; y 0 ), với x 0 =
Dx
D
, y0 =
Dy
D
+ D = D x = D y = 0, hệ có vô số nghiệm. Khi đó 2 pt trong hệ tỉ lệ nhau.
+ D = 0 mà D x hoặc D y khác 0 thì hệ vô nghiệm.
Chú ý : Khi giải và biện luận theo tham số m, trong trường hợp D =
0 ta phải thế giá trị m tìm được vào D x , D y để xem nó bằng 0 hay khác
không.
- Bất phương trình ax + b = 0
+ TXD : D = R
+ a > 0, bpt có nghiệm : x >
+ a < 0, bpt có nghiệm : x <
b
a
b
a
hay tập nghiệm T = (
b
a
; + ).
hay tập nghiệm T = (– ;
b
a
).
+ a = 0 và b > 0 : bpt có nghiệm với mọi x thuộc R hay tập nghiệm T = R
+ a = 0 và b 0 : bpt vô nghiệm.
Chú ý : trong trường hợp a = 0, ta phải thế giá trị m tìm được vào
bất phương trình.
- Hệ bất phương trình : Nghiệm của hệ bpt là nghiệm chung của các phương
trình trong hệ.
+ Hệ bpt 1 ẩn : là hệ gồm 2 hay nhiều bất pt 1 ẩn. Ta giải từng bpt trong
hệ được các tập nghiệm tương ứng T 1 ,T 2 , . . Nghiệm của hệ là giao của các tập
nghiệm : T 1 ,T 2 , . .
+ Hệ bpt bậc nhất 2 ẩn :
ax by c
. Biểu diễn miền nghiệm của từng
a ' x b' y c '
bpt trong hệ, miền nghiệm chung của các bpt đó là (miền không bị gạch) là miền
nghiệm của hệ bpt.
5
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
II - PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
y
A. ĐƯỜNG THẲNG
n
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
M
1. Phương trình đường thẳng :
M0(x0, y0)
Ax By C 0 (1), A2 B 2 �0
o
x
r
r
Đường thẳng cho bởi (1) có vectơ pháp tuyến n ( A, B) ; vectơ chỉ phương u ( B, A)
r
( hoặc u ( B, A) ).
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(x0, y0) và có vectơ pháp tuyến
r
n ( A, B ) :
�
A x x0 B y y0 0
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0(x0, y0) và có vectơ chỉ
r
phương u (a, b) :
�x x0 at
,t �R
�
�y y0 bt
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M 0(x0, y0) và có vectơ chỉ
r
phương u (a, b) :
x x0 y y0
a
b
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(x0, y0) và có hệ số góc k cho trước :
y k x x0 y0
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A( xA , y A ) và B( xB , yB ) :
x x A xB x A
y yA yB yA
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn : phương trình đường thẳng đi qua 2
điểm A(a, 0) và B(0, b) :
x y
1
a b
Cho chùm đường thẳng xác định bởi hai đường thẳng (d1 ) : A1 x B1 y C1 0 và
(d 2 ) : A2 x B2 y C2 0 . Khi đó mọi đường thẳng của chùm có phương trình :
A1 x B1 y C1 A2 x B2 y C2 0 với 2 2 �0
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng : 1 : A1 x B1 y C1 0
2 : A2 x B2 y C2 0
Ta có :
∆1 cắt ∆2 � D
A1 B1
A2 B2
�0
hay : A1 B2 A2 B1 �0
6
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
∆1 // ∆2 � D 0 , Dx
B1 C1
B2 C2
�0
hoặc
Dy
C1 A1
C2
A2
�0
∆1 ∆2 � D Dx Dy 0
Nếu A2 B2C2 �0 thì :
∆1 cắt ∆2
∆1 // ∆2
∆1 ∆2
A1 B1
A2 B2
A
B
C
� 1 1 � 1
A2 B2 C2
A
B C
� 1 1 1
A2 B2 C2
۹
3. Khoảng cách từ một đểm đến một đường thẳng :
Cho đường thẳng : Ax By C 0 và điểm M0(x0, y0).
Khoảng cách từ M0 đến ∆ là :
d M0,
Ax0 By0 C
A2 B 2
Góc giữa hai đường thẳng :
Góc giữa hai đường thẳng 1 : A1 x B1 y C1 0 và 2 : A2 x B2 y C2 0 được tính
bởi :
cos
A1 A2 B1 B2
A12 B12 . A22 B22
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Phương Pháp:
+ Sử dụng các cách viết phương trình đường thẳng đã nêu trong lý
thuyết.
+ Khi đường thẳng cần tìm đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã
biết, nên sử dụng phương trình của chùn đường thẳng.
+
+
Bài1: Tìm PTTQ, PTTS, PTCT của đường thẳng (d):
1) (d) đi qua A(2;1) và nhận v = (-5;2) làm véc tơ chỉ phương.
2) (d) đi qua A(-2;3) và nhận n = (3;-2) làm pvt.
3) (d) đi qua A(1;4) và song song với đường thẳng (d1): 2x – 3y + 5 = 0
4) (d) đi qua A(-3;1) và vuông góc với đường thẳng (d1): 4x – 2y –1 = 0
5) (d) đi qua A(2;1) và B(-3;2).
6) (d) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x = 3, trục Oy tạiđiểm có tung độ y = –2.
7) (d) đi qua A(5;2) và có hệsố góc k = –3.
7
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(1; 4); B(3; – 1); C(6; 2)
a) Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC.
b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Bài 3: Cho hai điểm P(4; 0); Q(0; –2)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(3; 2) và song song với đường
thẳng PQ.
b) Viết phương trình đường trung trực của đoạn PQ.
Bài 4: Cho phương trình d: x – y = 0 và điểm M(2; 1).
a) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.
b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.
Bài 5: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB, BC, CA là: AB : 2x – 3y – 1 = 0;
BC : x + 3y + 7 = 0; CA : 5x – 2y + 1 = 0. viết phương trình của đường cao kẻ từ B, và
đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Biết cạnh AB : 2x – 3y + 5 = 0 ; cạnh AC : 2x + 7y – 5 = 0;
cạnh BC có trung điểm là M(4; 1).
a. Xác định tọa độ các điểm A, B, C.
b. Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB.
Bài 7: Tam giác ABC có phương trình cạnh AB : 3x – y + 4 = 0, đường cao qua đỉnh A
và B lần lượt có phương trình : 5x + 2y – 8 = 0 ; 4x – y + 5 = 0. Viết phương trình các
cạnh AC, BC và đường cao qua đỉnh C.
Bài 8: a) Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 9 = 0. Tìm PTTS và PTCT của đường thẳng d.
�x 1 3t
. Tìm PTCT và PTTQ của đường thẳng d.
�y 2 2t
b) Cho đường thẳng d : �
VẤN ĐỀ 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương Pháp:
+ Vận dụng các công thức đã nêu trong lý thuyết.
+ Góc giữa hai đường thẳng và được tính bởi :
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng :
a) x + 3y – 1 = 0 và
5x – y + 7 = 0
8
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
b) 2x – y + 17 = 0 và
�x 1 2t
�y 3 5t
c) �
và
d) 4x – 10y + 1 = 0và
–3x + 6y – 12 = 0
�x 1 2t
�
�y 2 t
�x 1 2t
�
�y 3 2t
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 5) và cách đều hai điểm
P(1;–2) và Q(3; 2).
Bài 3: Trên đường thẳng ∆: x – y + 2 = 0, tìm điểm M cách đều hai điểm A(0; 4) và
B(4; –9)
Bài 4:
B. ĐƯỜNG TRÒN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Phương Trình Đường Tròn:
a. Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(1)
2
2
b. Nếu a + b – c > 0 thì phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2) là
phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R a 2 b2 c
2. Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn:
a. Cho đường tròn (C) và điểm M(xo; yo)(C), với I(a; b) là tâm của (C).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M :
Dạng 1:
(xo– a)(x – a) + (yo– b)(y – b) = R2
Dạng 2:
xox + yoy – a(xo + x) – b(yo + y) + c = 0
Dạng 3:(TQ)
(xo – a)(x – xo) + (yo – b)(y – yo) = 0
b. Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R và đường thẳng
∆: Ax + By + C = 0. Đường thẳng ∆ tiếp xúc với (C) d(I; ∆) = R.
hay
Aa Bb C
A2 B 2
R.
III - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Giải các phương trình sau:
a. x 2 8 x 12 0
b. 1,5 x 2 2,6 x 1 0
c. (1 2 ) x 2 2 x 1 2 0
Cách giải và biện luận phương trình : a x 2 bx c 0
a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình : bx + c = 0
9
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
a 0 : Tính = b 2 4ac
Khi < 0 : phương trình vô nghiệm
Khi = 0 : phương trình có nghiệm kép x1 x 2
b
2a
Khi > 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1
b
b
; x2
2a
2a
Áp dụng : Giải và biện các phương trình sau:
1. x 2 (1 m) x m 0 ( a =1 , b = 1 m , c = m)
Ta có : = b 2 4ac = (1 m) 2 4( m)
= 1+ m 2 2m + 4m
= (m+1) 2
= 0 (m+1) 2 = 0 m = 1 : pt có nghiệm kép
x1 x 2
m 1
1
2
> 0 (m+1)
2
0
m 1 : pt có 2 nghiệm phân biệt
x1 1
;
x 2 m
2. (m-3) x 2mx m 6 0 ( a = m 3 , b = 2m , c = m 6 )
2
m 3 = 0 m = 3 : pt trở thành :
6x 3 = 0
x=
1
2
m 3 0 m 3 : Ta có ' = (b ' ) 2 ac
= ( m) 2 (m 3)( m 6)
= m 2 (m 2 6m 3m 18)
= 9m 18
' < 0 9m 18 < 0 m < 2 : phương trình vô nghiệm
' = 0 9m 18 = 0 m = 2 : phương trình có nghiệm
kép
x1 x 2
m
2
m 3
' > 0 9m 18 > 0 m > 2 : phương trình có 2
nghiệm phân biệt
x1
m
9m - 18
m 3
;
x2
m 9m 18
m 3
Bài tập. Giải và biện các phương trình sau:
a.. x 2 (2m 3) x m 2 0
b. x 2 2(m 1) x m 2 0
c. (m 2) x 2 2(m 1) x m 5 0
d. (m 1) x 2 (2 m) x 1 0
e. (4m + 1) x 2 4mx m 3 0
10
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
*Tim một nghiệm biết nghiệm kia:
Ta dùng công thức
x 2
b
x1
a
c
ax 1
2
2 x (m 3) x m 1 0
hay
x2
Áp dụng :
Cho phương trình :
Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia
Giải
Do phương trình có một nghiệm bằng 3 ta có :
2(3) 2 ( m 3)3 m 1 0
m 4
Ta có
x2
c
m 1 1
ax 1
2.3
2
2
trình : x 2(m 1) x m 2 3m 0
Bài tập : Cho phương
Định m để phương trình có một nghiệm bằng 0 , tính nghiệm kia
( Có hai giá trị m = 0 x = 0 ,x = 2
m = 3 x = 0 ,x = 4)
Bài tập : Với mỗi phương trình sau , biết một nghiệm ,tìm k và tính nghiệm còn
lại
a. x 2 kx 15 0
,
biết một nghiệm là 5
2
x
5
x
k
0
b.
,
biết một nghiệm là -3
2
c. kx 15 x 7 0 ,
biết một nghiệm là 7
(
m
1
)
x 2 2(m 1) x m 2 0
Bài tập : Cho phương trình
a. Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia
b. Xđ m để phương trình có hai nghiệm
c. Xđ m để phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa 4( x1 x 2 ) = 7 x1 x 2
Bài tập: Cho phương trình (m 1) x 2 2 x m 1 0
a. Chứng tỏ với m 1 phương trình luôn có hai nghiệm
b. Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng -3 và tính nghiệm kia
c. Xđ m để phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn điều kiện x1 4x 2
Bài tập : Cho phương trình 2 x 2 7 x 4m 1 0
a. Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng -3 và tính nghiệm kia
b. Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng 3 nghiệm kia
d. Chứng tỏ với m 1 phương trình luôn có hai nghiệm
e. Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng -3 và tính nghiệm kia
*Tim hai số biết tổng và tích của chúng :
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u .v =P thì u và v là nghiệm của
phương trình : x 2 Sx P 0
Áp dụng : 1.Tim hai số biết tổng 5 và tích là -24
2. Một sợi dây dài 40cm , hãy khoanh lại một hcn có diện tích bằng 100 cm 2
Ứng dụng :1. Hãy xác định các hệ số a , b , c ,
a.
b
a
,
c
a
của các phương trình sau :
1,5 x 2 2,6 x 1 0
11
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
b. (1 2 ) x 2 2 x 1 2 0
c. x 2 (2m 3) x m 2 0
d. x 2 2(m 1) x m 2 0
e. (m 2) x 2 2(m 1) x m 5 0
f..(m 1) x 2 (2 m) x 1 0
g.(4m + 1) x 2 4mx m 3 0
h. x 2 4 x m 1 0
2. Tính biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
Sử dụng định lí Viet :
x1 x 2
b
c
; x1 .x 2
a
a
Các kết quả thường dùng :
x 21 x 2 2
x x2 S
1
1
b
1
x1 x 2
x1 .x 2
P
c
b
c
( x1 x 2 ) 2 2 x1 x 2 ( ) 2 2
a
a
(điều kiện c 0 )
b 3
c b
) 3 ( )
a
a a
2
2
(
m
1) x m 2 0
.Cho phương trình : (m+1)x
Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa
4( x1 x 2 ) = 7
2. phương trình : mx 2 (1 3m) x m 2 0
Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt
x 1 , x 2 thỏa
x 31 x 3 2 ( x1 x 2 ) 3 3 x1 x 2 ( x1 x 2 ) (
Bài tập .
1
x1 x 2
x1
x
2 3 0
2 x2 2 x2
ĐS m = 1 , m =
1
13
3. Xác định m để pt : x 2 2(m 1) x m 2 0
có hai nghiệm thỏa mãn : x 21 x 2 2 14
4. Xác định m để pt x 2 4 x m 1 0
có hai nghiệm thỏa mãn : x 31 x 3 2 40
Hệ thức độc lập theo tham số giưa hai nghiệm :
b
x
x
1
2
a
Là khử tham số giữa tổng và tích hai nghiệm :
x .x c
1 2 a
Baì tập : Cho phương trình : x 2 2(m 1) x m 2 3m 4 0
Xđ m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và tìm hệ thức lien hệ giữa
x1 , x 2 độc lập đối với m.
*Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: a x 2 bx c 0
12
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Giả sử x1 x2
1.
0
a.c 0
2. P < 0
0
3.
a.c 0
pt có 2 nghiệm pb
x1 0 x 2
a 0
0
4.
P 0
S 0
x1 , x 2
(phương trình có hai nghiệm trái dấu)
pt có 2 nghiệm cùng dấu
0 < x1 x2 ( phương trình có hai nghiệm dương phân
biệt )
a 0
0
5.
P 0
S 0
x1 x 2 <
0 (phương trình có hai nghiệm âm phân biệt )
Bài tập : 1.Cho phương trình : mx 2 2(m 2) x m 3 0
Tìm các giá trị của m để :
a. Phương trình có hai nghiệm trái dấu
b. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Giải
a.
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi :
P<0
m 3
0
m
0
- Xem thêm -
.DOC 
38 
145 
120 
