Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Tài liệu bồi dưỡng học sinh lớp 9 môn toán sưu tầm (9)...

Tài liệu Tài liệu bồi dưỡng học sinh lớp 9 môn toán sưu tầm (9)

.DOC
9
362
73

Mô tả:

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 I. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Giải: Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ:  x  y  2  4 xy Ta có  a  b  2  4ab ;  b  c  2  4bc ;  c  a  2  4ac   a  b  2  b  c  2  c  a  2  64a 2 b 2 c 2   8abc  2  (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Ví dụ 2: 1 1 1    9 (403-1001) a b c 2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z  4(1  x)(1  y )(1  z ) 1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR: 3) Cho a > 0, b > 0, c > 0 CMR: a b c 3    bc ca ab 2 4) Cho x  0 ,y  0 thỏa mãn 2 x  y  1 ;CMR: x+y  1 5 Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a 2  b 2  c 2  1 a3 b3 c3 1    Chứng minh rằng bc a c ab 2 Giải:  a2  b2  c2 Do a, b, c đối xứng,giả sử a  b  c   a  b  c  b  c a  c a  b Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a b c a2  b2  c2  a b c  1 3 1  b2.  c2.  .   = . = bc ac ab 3 bc ac ab 3 2 2 1 a3 b3 c3 1    Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= Vậy 3 bc ac ab 2 a2. Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1.Chứng minh rằng : a 2  b 2  c 2  d 2  a  b  c   b c  d   d  c  a   10 Giải: Ta có a  b  2ab 2 2 c 2  d 2  2cd Do abcd =1 nên cd = 1 1 1 (dùng x   ) ab x 2 Ta có a 2  b 2  c 2  2(ab  cd )  2(ab  Mặt khác: a b  c   b c  d   d  c  a  =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 )  4 (1) ab   1   1   1    ac     bc    2  2  2 ab   ac   bc  2 2 2 2 Vậy a  b  c  d  a b  c   b c  d   d  c  a   10 =  ab  Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng: (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd  a 2  b 2 . c 2  d 2 mà  a  c  2   b  d  2  a 2  b 2  2 ac  bd   c 2  d 2    a 2  b2  2 a2  b2 . c2  d 2  c2  d 2  ( a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2 II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10 abc a2 b2 c2  Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR: + + 2 bc ac ba Bài giải: bc a  a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) + 4 bc ac ab b2 c2  b; và  c Tương tự ta có: + + 4 4 ac ba abc a2 b2 c2  a+b+c  + + + 2 bc ac ba abc a2 b2 c2   + + (đpcm) 2 bc ac ba abc a2 b2 c2  Vậy + + 2 bc ac ba 1 1 Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A = 2 2 + xy .Bài giải: x y Với a, b, c > 0 ta có: 2 a b 4 1 1 4     (a, b > 0) ab a b a b a b 1 (x  y)2 Mặt khác: x + y  2 xy => xy  = (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 4 4 1 1 1 1 4 1 4 1 A = 2 2 + 2xy + 2xy  x2  y2  2xy + 2xy = (x  y)2 + 2xy  4 + 2. 1 = 4 + 2 = 6 x y 4 1 Vậy MinA = 6 khi x = y = 2 Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2  4ab => Bài 3. Cho a, b, c  0 : abc  1 1 1 1 1 CMR : 2  2  2  2 2 2 a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2 Hướng dẫn 2 2 2 2 2 Ta có: a  b  2ab; b  1  2b  a  2b  3  2  ab  b  1 1 1 2 a  2b 2  3 2  ab  b  1 Tương tự 1 1 1 1 1 1 1   2  2      2 2 2 2 a  2b  3 b  2c  3 c  2 a  3 2  ab  b  1 bc  c  1 ca  a  1  Mặt khác: 1 1 1 1 ab b     2  1 ab  b  1 bc  c  1 ca  a  1 ab  b  1 ab c  abc  ab bca  ab  b 1 1 1 1     a  b  c 1 => 2 a  2b 2  3 b2  2c 2  3 c 2  2a 2  3 2 Bài 4: Cho ba số x,y,z dương và xyz = 1. => CMR : Bài giải Ta có x3  y 3  1  3 3 x3 y 3  3xy z 3  y 3  1  3 3 z 3 y 3  3zy x 3  z 3  1  3 3 x 3 z 3  3 xz  1 3 xy 3zy 3 xz 1 1     3    3 33  xy xy zy xz zy xz   Nên vế trái = Vì xyz = 1. Dấu “ = “ khi x = y = z Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c      b3 c3 a3 b c a Giải Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a3 b3 b3 c3 c3   a3 b3 b3 c3 c3  1 3 a (1) b  1 3 b (2) c c (3) 3 3 a a a Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có: a3 2( 3  b Vậy:   1 3 b3 c3 a b c a b c  )   3  3 )  3  2(  c a b c a b c a a b c  2(   )  3 b c a a3 b3 c3 a b c      b3 c3 a3 b c a 1 3 3 xy zy xz Bài 6. (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13) Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng: 1 2  3 x y HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z  9/(x + y + z) Bài 7: (Hải Dương 12 – 13) Cho 2 số dương a, b thỏa mãn Q 1 1   2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b 1 1  4 . 2 2 a  b  2ab b  a  2ba 2 4 2 Hướng dẫn Với a  0; b  0 ta có: (a 2  b)2  0  a 4  2a 2b  b 2  0  a 4  b 2  2a 2b  a 4  b 2  2ab 2  2a 2b  2ab 2 ۣ 1 1 a  b  2ab 2 4 1 2 Tương tự có b 4  a 2  2a 2b  2ab  a  b  1 (1) 2ab  a  b  (2) . Từ (1) và (2)  Q 1 ab  a  b  1 1 1 1   2  a  b  2ab mà a ۳ b 2 ab ab 1  Q . 2 2(ab) 2 a b 1 1 Khi a = b = 1 thì  Q  . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 2 2 Vì Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x  2y , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  x 2  y2 xy Hướng dẫn x2  y 2 x2 y 2 x y x y 3x      (  ) Ta có M = xy xy xy y x 4y x 4y x y x y x y  2 . 1, Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho 2 số dương 4 y ; x ta có 4y x 4y x dấu “=” xảy ra  x = 2y x 3 x 6 3 . , dấu “=” xảy ra  x = 2y 4 y 4 2 3 5 Từ đó ta có M ≥ 1 + = , dấu “=” xảy ra  x = 2y 2 2 5 Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y 2 Vì x ≥ 2y  y 2 Bài 9: Hướng dẫn: Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a  1; b  4;c  9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  bc a  1  ca b  4  ab c  9 abc Hướng dẫn: Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4. 1 1 Chứng minh rằng xy  xz  1 1 1 11 1 4 4 HD xy  xz  x  y  z   x y  z  x 4  x       Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13) Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b  1 và a > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = Hướng dẫn 8a 2  b  b2 4a a = b = 0,5 Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13) 2 xy Cho x  0, y  0 thỏa mãn x 2  y 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  1  xy . Hướng dẫn: Với x  0, y  0 ta có x2  y 2 1 3 1 2  xyۣ ۳۳ xy 1 xy 2 2 2 1  xy 3 2 xy 2 4 2 Do đó A  1  xy  2  1  xy  2  3   3 . Dấu “=” xảy ra khi x  y . 2 1  xy 4 3  x  0, y  0  2  x y Từ  x  y 2  2 2 x  y  1  2 2 Vậy min A   khi x  y  . 3 2 Bài 14: (Quảng nam 12 – 13) Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2. Chứng minh : Hướng dẫn: 2  a 1  2b 8   1  a 1  2b 7 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 1 2 8   1  a 1  2b 7 1 1 1  2 1 2  1 (1) (bđt Côsi) Ta có: = a 1 b  1 (a  1)(b  ) a  1 2b  1 2 2 a 1 b  1 2  7 (bđt Cô si) 4 1 (a  1)(b  )  2 2 2 8  7 (2) 1  (a  1)(b  ) 2 1 2 8   Từ (1) và (2) suy ra: 1  a 1  2b 7 Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b + 1 3 5 và a + b = 2  a = và b = 2 4 4 Bài 15: Chuyên lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vòng 01) Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P biết P ab ab  2c bc  bc  2a  ca ac  2b Hướng dẫn * Vì a + b+ c = 2  2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b)  2c+ab = (c+a)(c+b) 1 1 1 1  0 và  0 áp dụng cosi ta có  ac bc ac bc 1 1 1   a + c = b + c a = b dấu (=)  ( a  c )(b  c ) ac bc vì a ; b ; c > 0 nên 1 hay  (c  a )(c  b) ab  2c  ab   2. 1 1 1 (  ) 2 ca cb ab 1  ab ab       c  a  (c  b ) 2  c  a c  b  (1) dấu bằng  a = b bc 1  cb bc      (2) dấu bằng 2a b a c bc  2a ac 1  ca ca      (3) dấu bằng  a = c 2c b b a 2b  ca Tương tự: b=c cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có ab bc ca 1 ab ab cb cb    (   + ab  2c bc  2a ca  2b 2 ca cb ba ca ac ac  ) ba cb ab cb ab ac cb ac  1  )(  )(   P  ( ca bc cb ab a  b 2  ca  a.(b  c ) c.(b  a )  1  ( a  c ).b 1 1 = 2  c  a  b  c  a  b   2  a  b  c   2 .2  1   ab bc ca 2    P= ≤ 1 dấu bằng  a = b = c = ab  2c bc  2a ca  2b 3 2 Vậy min P = 1 khi a = b = c = 3  : P= + Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ab bc ca   . c  ab a  bc b  ca Hướng dẫn: Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c2 = c (Do c > 0) Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a) a b  ab ab Do đó   a  c b  c (Cô – si) c  ab (b  c)(c  a ) 2 c a b c   ca bc Tương tự:  c a a b  bc ca ; b  ca 2 a  bc 2 ac bc ab   Vậy P  a  c b  c a  b  3 2 2 Do đó: MinP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = 1/2 Bài 17: (Hà Nội 11 – 12) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  4x 2  3x  Hướng dẫn 1  2011 . 4x 1 1  2011  4 x 2  4 x  1  x   2010 4x 4x 1  (2 x  1) 2  ( x  )  2010 4x 1 1  0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + Vì (2 x  1) 2  0 và x > 0  4x 4x 1 1  2 x.  2.  1 4x 2 1 ð M = (2 x  1) 2  ( x  )  2010  0 + 1 + 2010 = 2011 4x 1  x  2 1   x    2x 1  0 2    1 1 1    1   x 2     x  ð M  2011 ; Dấu “=” xảy ra   x  x= 4x 4 2 2     x  0 x  0  1   x   2   x  0 1 Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 2 M  4 x 2  3x  Bài 18. (Hải Dương 11 – 12) Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng: x y z    1. x  3 x  yz y  3 y  zx z  3z  xy Hướng dẫn Từ  x  yz   0  x 2  yz  2x yz (*) Dấu “=” khi x2 = yz 2 Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z)  x(y  z)  2x yz Suy ra 3x  yz  x(y  z)  2x yz  x ( y  z ) (Áp dụng (*)) x 3x  yz x( x y z) x x  3x  yz x (1) x y z y y z z   (2), (3) y  3y  zx x y z z  3z  xy x y z x y z Từ (1), (2), (3) ta có x  3x  yz  y  3y  zx  z  3z  xy  1 Tương tự ta có: Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 Bài 19: Cho các số a, b, c đều lớn hơn 25 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 a b c   . 2 b 5 2 c 5 2 a 5 25 Do a, b, c > (*) nên suy ra: 2 a  5  0 , 2 b  5  0 , 2 c  5  0 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: Q a  2 b  5  2 a (1) 2 b 5 b  2 c  5  2 b (2) 2 c 5 c  2 a  5  2 c (3) 2 a 5 Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q  5.3  15 . Dấu “=” xẩy ra  a  b  c  25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15  a  b  c  25
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan