CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
ÔN THI VÀO LỚP 10
I. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Giải:
Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 4 xy
Ta có a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac
a b 2 b c 2 c a 2 64a 2 b 2 c 2 8abc 2
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2:
1 1 1
9 (403-1001)
a b c
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z 4(1 x)(1 y )(1 z )
1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR:
3) Cho a > 0, b > 0, c > 0
CMR:
a
b
c
3
bc ca ab 2
4) Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn 2 x y 1 ;CMR: x+y
1
5
Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a 2 b 2 c 2 1
a3
b3
c3
1
Chứng minh rằng
bc a c ab 2
Giải:
a2 b2 c2
Do a, b, c đối xứng,giả sử a b c a b c
b c a c a b
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
a
b
c
a2 b2 c2 a
b
c 1 3 1
b2.
c2.
.
= . =
bc
ac
ab
3
bc ac ab 3 2 2
1
a3
b3
c3
1
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Vậy
3
bc ac ab 2
a2.
Ví dụ 4:
Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1.Chứng minh rằng :
a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10
Giải:
Ta có a b 2ab
2
2
c 2 d 2 2cd
Do abcd =1 nên cd =
1
1 1
(dùng x )
ab
x 2
Ta có a 2 b 2 c 2 2(ab cd ) 2(ab
Mặt khác: a b c b c d d c a
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
1
) 4 (1)
ab
1
1
1
ac bc 2 2 2
ab
ac
bc
2
2
2
2
Vậy a b c d a b c b c d d c a 10
= ab
Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng:
(a c) 2 (b d ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd a 2 b 2 . c 2 d 2
mà a c 2 b d 2 a 2 b 2 2 ac bd c 2 d 2
a 2 b2 2 a2 b2 . c2 d 2 c2 d 2
( a c) 2 (b d ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2
II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10
abc
a2
b2
c2
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
+
+
2
bc ac
ba
Bài giải:
bc
a
a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
+
4
bc
ac
ab
b2
c2
b; và
c
Tương tự ta có:
+
+
4
4
ac
ba
abc
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
+
2
bc ac
ba
abc
a2
b2
c2
+
+
(đpcm)
2
bc ac
ba
abc
a2
b2
c2
Vậy
+
+
2
bc ac
ba
1
1
Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A = 2 2 + xy .Bài giải:
x y
Với a, b, c > 0 ta có:
2
a b
4
1 1
4
(a, b > 0)
ab
a b
a b
a b
1
(x y)2
Mặt khác: x + y 2 xy => xy
= (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
4
4
1
1
1
1
4
1
4
1
A = 2 2 + 2xy + 2xy x2 y2 2xy + 2xy = (x y)2 + 2xy 4 + 2. 1 = 4 + 2 = 6
x y
4
1
Vậy MinA = 6 khi x = y =
2
Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab =>
Bài 3.
Cho a, b, c 0 : abc 1
1
1
1
1
CMR : 2
2
2
2
2
2
a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2
Hướng dẫn
2
2
2
2
2
Ta có: a b 2ab; b 1 2b a 2b 3 2 ab b 1
1
1
2
a 2b 2 3 2 ab b 1
Tương
tự
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
a 2b 3 b 2c 3 c 2 a 3 2 ab b 1 bc c 1 ca a 1
Mặt khác:
1
1
1
1
ab
b
2
1
ab b 1 bc c 1 ca a 1 ab b 1 ab c abc ab bca ab b
1
1
1
1
a b c 1
=> 2
a 2b 2 3 b2 2c 2 3 c 2 2a 2 3 2
Bài 4: Cho ba số x,y,z dương và xyz = 1.
=>
CMR :
Bài giải
Ta có x3 y 3 1 3 3 x3 y 3 3xy
z 3 y 3 1 3 3 z 3 y 3 3zy
x 3 z 3 1 3 3 x 3 z 3 3 xz
1
3 xy
3zy
3 xz
1
1
3
3 33
xy
xy
zy
xz
zy
xz
Nên vế trái =
Vì xyz = 1. Dấu “ = “ khi x = y = z
Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng:
a3
b3
c3 a b c
b3
c3
a3 b c a
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
a3
b3
b3
c3
c3
a3
b3
b3
c3
c3
1 3
a
(1)
b
1 3
b
(2)
c
c
(3)
3
3
a
a
a
Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:
a3
2( 3
b
Vậy:
1 3
b3
c3
a b c a b c
)
3
3 ) 3 2(
c
a
b c a b c a
a b c
2( ) 3
b c a
a3
b3
c3 a b c
b3
c3
a3 b c a
1
3 3
xy zy xz
Bài 6. (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13)
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng:
1 2
3
x y
HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z 9/(x + y + z)
Bài 7: (Hải Dương 12 – 13)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn
Q
1 1
2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b
1
1
4
.
2
2
a b 2ab b a 2ba 2
4
2
Hướng dẫn
Với a 0; b 0 ta có: (a 2 b)2 0 a 4 2a 2b b 2 0 a 4 b 2 2a 2b
a 4 b 2 2ab 2 2a 2b 2ab 2 ۣ
1
1
a b 2ab 2
4
1
2
Tương tự có b 4 a 2 2a 2b 2ab a b
1
(1)
2ab a b
(2) . Từ (1) và (2) Q
1
ab a b
1
1
1 1
2 a b 2ab mà a ۳
b 2 ab
ab 1 Q
.
2
2(ab)
2
a b
1
1
Khi a = b = 1 thì Q . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là
2
2
Vì
Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: M
x 2 y2
xy
Hướng dẫn
x2 y 2 x2 y 2 x y
x y 3x
( )
Ta có M =
xy
xy xy y x
4y x 4y
x y
x y
x y
2
. 1,
Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho 2 số dương 4 y ; x ta có
4y x
4y x
dấu “=” xảy ra x = 2y
x
3 x 6 3
.
, dấu “=” xảy ra x = 2y
4 y 4 2
3 5
Từ đó ta có M ≥ 1 + = , dấu “=” xảy ra x = 2y
2 2
5
Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y
2
Vì x ≥ 2y y 2
Bài 9:
Hướng dẫn:
Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13)
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a 1; b 4;c 9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P
bc a 1 ca b 4 ab c 9
abc
Hướng dẫn:
Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4.
1
1
Chứng minh rằng xy xz 1
1
1
11
1
4
4
HD xy xz x y z x y z x 4 x
Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13)
Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b 1 và a > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
Hướng dẫn
8a 2 b
b2
4a
a = b = 0,5
Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13)
2 xy
Cho x 0, y 0 thỏa mãn x 2 y 2 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 1 xy .
Hướng dẫn: Với x 0, y 0 ta có
x2 y 2
1
3
1
2
xyۣ ۳۳ xy
1 xy
2
2
2
1 xy 3
2 xy
2
4
2
Do đó A 1 xy 2 1 xy 2 3 3 .
Dấu “=” xảy ra khi x y .
2
1 xy
4
3
x 0, y 0
2
x y
Từ x y
2
2
2
x
y
1
2
2
Vậy min A khi x y
.
3
2
Bài 14: (Quảng nam 12 – 13)
Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2. Chứng minh :
Hướng dẫn:
2 a 1 2b 8
1 a 1 2b 7
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
1
2
8
1 a 1 2b 7
1
1
1
2
1
2
1 (1) (bđt Côsi)
Ta có:
= a 1 b 1
(a 1)(b )
a 1 2b 1
2
2
a 1 b
1
2 7 (bđt Cô si)
4
1
(a 1)(b )
2
2
2
8
7 (2)
1
(a 1)(b )
2
1
2
8
Từ (1) và (2) suy ra:
1 a 1 2b 7
Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b +
1
3
5
và a + b = 2 a = và b =
2
4
4
Bài 15: Chuyên lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vòng 01)
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
biết
P
ab
ab 2c
bc
bc 2a
ca
ac 2b
Hướng dẫn
* Vì a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab)
= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b)
1
1
1
1
0 và
0 áp dụng cosi ta có
ac
bc
ac
bc
1
1
1
a + c = b + c a = b
dấu
(=)
( a c )(b c )
ac
bc
vì a ; b ; c > 0 nên
1
hay
(c a )(c b)
ab
2c ab
2.
1
1
1
(
)
2 ca
cb
ab
1 ab
ab
c a (c b ) 2 c a c b
(1) dấu bằng a = b
bc
1 cb
bc
(2) dấu bằng
2a b a c
bc 2a
ac
1 ca
ca
(3) dấu bằng a = c
2c b b a
2b ca
Tương tự:
b=c
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có
ab
bc
ca
1
ab
ab
cb
cb
(
+
ab 2c
bc 2a
ca 2b
2 ca cb ba ca
ac
ac
)
ba
cb
ab
cb
ab
ac
cb
ac
1
)(
)(
P (
ca
bc
cb
ab
a b
2 ca
a.(b c )
c.(b a )
1 ( a c ).b
1
1
= 2 c a b c a b 2 a b c 2 .2 1
ab
bc
ca
2
P=
≤
1
dấu
bằng
a
=
b
=
c
=
ab 2c
bc 2a
ca 2b
3
2
Vậy min P = 1 khi a = b = c = 3
: P=
+
Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P =
ab
bc
ca
.
c ab
a bc
b ca
Hướng dẫn: Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c2 = c (Do c > 0)
Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a)
a
b
ab
ab
Do đó
a c b c (Cô – si)
c ab
(b c)(c a )
2
c
a
b
c
ca
bc
Tương tự:
c a a b
bc ca ;
b ca
2
a bc
2
ac bc ab
Vậy P a c b c a b 3
2
2
Do đó: MinP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = 1/2
Bài 17: (Hà Nội 11 – 12)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 4x 2 3x
Hướng dẫn
1
2011 .
4x
1
1
2011 4 x 2 4 x 1 x
2010
4x
4x
1
(2 x 1) 2 ( x ) 2010
4x
1
1
0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x +
Vì (2 x 1) 2 0 và x > 0
4x
4x
1
1
2 x.
2. 1
4x
2
1
ð M = (2 x 1) 2 ( x ) 2010 0 + 1 + 2010 = 2011
4x
1
x
2
1
x
2x 1 0
2
1
1
1
1
x 2 x
ð M 2011 ; Dấu “=” xảy ra x
x=
4x
4
2
2
x 0
x 0
1
x 2
x 0
1
Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x =
2
M 4 x 2 3x
Bài 18. (Hải Dương 11 – 12)
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
x
y
z
1.
x 3 x yz y 3 y zx z 3z xy
Hướng dẫn
Từ x yz 0 x 2 yz 2x yz (*) Dấu “=” khi x2 = yz
2
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz
Suy ra 3x yz x(y z) 2x yz x ( y z ) (Áp dụng (*))
x 3x
yz
x( x
y
z)
x
x 3x yz
x
(1)
x y z
y
y
z
z
(2),
(3)
y 3y zx
x y z
z 3z xy
x y z
x
y
z
Từ (1), (2), (3) ta có x 3x yz y 3y zx z 3z xy 1
Tương tự ta có:
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 19: Cho các số a, b, c đều lớn hơn
25
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
a
b
c
.
2 b 5 2 c 5 2 a 5
25
Do a, b, c >
(*) nên suy ra: 2 a 5 0 , 2 b 5 0 , 2 c 5 0
4
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
Q
a
2 b 5 2 a (1)
2 b 5
b
2 c 5 2 b (2)
2 c 5
c
2 a 5 2 c (3)
2 a 5
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q 5.3 15 .
Dấu “=” xẩy ra a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15 a b c 25
- Xem thêm -