Lêi nãi ®Çu
Trong bé m«n To¸n ë trêng phæ th«ng th× chuyªn ®Ò BÊt ®¼ng thøc ®îc xem
lµ mét trong nh÷ng chuyªn ®Ò khã, nhiÒu häc sinh kh¸ thËm chÝ giái cßn lo ng¹i
tr¸nh nÐ bëi v× häc sinh cha h×nh thµnh ®îc nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ®Ó häc sinh
øng dông vµo viÖc chøng minh BÊt ®¼ng thøc.
Qua néi dung vÒ Bµi tËp lín em xin tr×nh bµy chuyªn ®Ò: Mét sè ph¬ng ph¸p
chøng minh BÊt ®¼ng thøc vµ øng dông cña nã trong viÖc chøng minh vµ gi¶i
quyÕt c¸c bµi to¸n cã liªn quan. C¸c bµi tËp ë ®©y víi ®é khã ®îc n©ng dÇn lªn
nh»m gióp häc sinh bít lóng tóng khi gÆp c¸c bµi to¸n vÒ chøng minh bÊt ®¼ng
thøc, gióp häc sinh cã thÓ tù ®Þnh híng ®îc ph¬ng ph¸p chøng minh vµ høng thó
h¬n khi häc vÒ bÊt ®¼ng thøc.
Néi dung cña chuyªn ®Ò bao gåm:
PhÇn I - KiÕn thøc c¬ b¶n cÇn n¾m: §©y lµ phÇn tãm t¾t mét sè kiÕn thøc
lý thuyÕt c¬ b¶n mµ häc sinh cÇn n¾m ®Ó sö dông trong qu¸ tr×nh chøng
minh BÊt ®¼ng thøc.
PhÇn II - C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc: Tæng hîp c¸c
ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc thêng dïng cho häc sinh THCS.
Víi mæi ph¬ng ph¸p cã c¸c kiÕn thøc cÇn n¾m, c¸c vÝ dô minh ho¹, bµi
tËp ¸p dông ®Ó häc sinh tù m×nh h×nh thµnh ®îc t duy c¶m nhËn vÒ
ph¬ng ph¸p ®ã.
PhÇn III - øng dông cña viÖc chøng minh bÊt ®¼ng thøc: Tr×nh bµy
nh÷ng øng dông phæ biÕn cña chøng minh BÊt ®¼ng thøc.
PhÇn IV - Híng dÉn, gi¶i c¸c BT ¸p dông: §©y lµ phÇn gi¶i chi tiÕt cña
c¸c BT ¸p dông cho tõng ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc ë trªn.
PhÇn V - Bµi tËp tæng hîp – tù gi¶i: Bao gåm c¸c bµi tËp tæng hîp cho
tÊt
c¶ c¸c d¹ng ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc.
C¬ së lý luËn – Thùc tiÔn
C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc th× rÊt phong phó nhng ®Ó cho
häc sinh h×nh thµnh ®îc ph¬ng ph¸p chøng minh còng nh øng dông BÊt ®¼ng thøc
trong To¸n häc th× cha cã. Sè häc sinh hiÓu vµ ®îc ®iÓm kh¸ cña phÇn nµy rÊt thÊp
thËm chÝ kh«ng cã, ®a sè c¸c em chØ ®îc ®iÓm Trung B×nh hoÆc YÕu. Ngoµi ra, sè
lîng thêi gian nghiªn cøu chuyªn s©u phÇn BÊt ®¼ng thøc trong kiÕn thøc cña chSinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 1
¬ng tr×nh THCS rÊt Ýt nªn häc sinh Ýt thêi gian ®Ó ý ®Õn c¸c kiÕn thøc mµ gi¸o
viªn gi¶ng trong phÇn nµy. Do ®ã häc sinh kh«ng cã høng thó khi häc sinh b¾t
gÆp d¹ng to¸n BÊt ®¼ng thøc nµy. Do thêi gian nghiªn cøu lµm bµi ®Ò tµi ng¾n nªn
t«i kh«ng thÓ ®a ra ®îc sè liÖu ®iÒu tra cô thÓ ®îc nhng t«i mong r»ng qua ®Ò tµi
nµy t«i hi väng nã sÏ lµ c«ng cô h÷u Ých cho nh÷ng em cã høng thó häc tËp bé
m«n To¸n nãi chung vµ chuyªn ®Ò BÊt ®¼ng nãi riªng.
PhÇn I - kiÕn thøc c¬ b¶n
I . Mét sè bÊt ®¼ng thøc cÇn nhí:
a 2 0; a 0; b b b
o BÊt ®¼ng thøc C« sy:
a1 a 2 a 3 .... a n n
n
a1 a 2 a3 ....a n
Víi
ai 0
dÊu b»ng x¶y ra khi a1 a2 ... an
o BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski:
a a . a .x x . ax xa . xa
22 222 2
2
2 2 n 1 2 n 11 22 n n
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra <=>
a1 a2
a
.... n
x1 x2
xn
o BÊt ®¼ng thøc Trª- b-sÐp:
NÕu
abc
A B C
aA bB cC
a bc A B C
.
3
3
3
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 2
NÕu
abc
A B C
aA bB cC
a bc A B C
.
3
3
3
abc
DÊu b»ng x¶y ra khi A B C
II - Mét sè bÊt ®¼ng thøc phô ®· ®îc chøng minh lµ ®óng.
o x 2 y 2 2 xy
o x y xy dÊu( = ) khi x = y = 0
o x y 2 4 xy
2
o
2
a b
2
b a
1 1
4
( Khi b, c 0)
b c bc
1
b 2 ( khi x 0)
o
b
1
4
( Khi x, y 0)
bc (b c) 2
III – C¸c bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c
IV – C¸c hµm lîng gi¸c th«ng dông
V – C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n
TÝnh chÊt 1: a > b <=> b < a
TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c
TÝnh chÊt 3: a > b <=> a + c > b + c
HÖ qu¶ : a > b <=> a - c > b – c
a + c > b <=> a > b – c
TÝnh chÊt 4 : a > c vµ b > d => a + c > b + d
a > b vµ c < d => a - c > b – d
TÝnh chÊt 5 : a > b vµ c > 0 => ac > bd
a > b vµ c < 0 => ac < bd
TÝnh chÊt 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
a > b > 0 => an > bn
a > b <=> an > bn víi n lÎ .
VI – C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí
VII – C¸c kiÕn thøc vÒ to¹ ®é vec t¬
VIII – C¸c kiÕn thøc vÒ tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc:
a
a
a, b, c R
ab abc
a c
a ac c
a, b, c , d R
b d
b bd d
PhÇn II – C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc
C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc v« cïng ®a d¹ng ë ®©y t«i xin
tr×nh bµy nh÷ng d¹ng ph¬ng ph¸p th«ng dông nhÊt nh sau:
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 3
D¹ng 1 – Dùa vµo ®Þnh nghÜa vµ c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng
D¹ng 2 – Sö dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxky vµ c¸c bÊt ®¼ng thøc phô.
D¹ng 3 – Sö dông BÊt ®¼ng thøc Cauchy
D¹ng 4 – Chøng minh b»ng ph¶n chøng
D¹ng 5 – Ph¬ng ph¸p lîng gi¸c
D¹ng 6 – Ph¬ng ph¸p chøng minh qui n¹p
D¹ng 7 – Ph¬ng ph¸p ¸p dông c¸c tÝnh chÊt cña c¸c d·y tØ sè b»ng nhau
D¹ng 8 – Ph¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai
D¹ng 9 – Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu
D¹ng 10 - Ph¬ng ph¸p dïng c¸c bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c
D¹ng 11 –Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
D¹ng 12 – Ph¬ng ph¸p lµm tréi (chøng minh bÊt ®¼ng thøc cã n sè h¹ng)
Ngoµi c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc ®· nªu ë trªn th× cßn rÊt nhiÒu
c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nh: Ph¬ng ph¸p to¹ ®é – vect¬, bÊt ®¼ng thøc chøa dÊu gi¸
trÞ tuyÖt ®èi, sö dông cùc trÞ,… Nhng do c¸c kiÕn thøc lý thuyÕt c¸c em cha cã nªn
t«i chØ xin tr×nh bµy mét sè ph¬ng ph¸p nh trªn.
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 4
D¹ng 1- Dùa vµo ®Þnh nghÜa vµ c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng t¬ng ®¬ng
§©y lµ ph¬ng ph¸p c¬ b¶n nhÊt, dùa vµo c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng
thøc ®¬n gi¶n ®Ó biÕn ®æi c¸c bÊt ®¼ng thøc phøc t¹p cña ®Ò ra thµnh c¸c bÊt
®¼ng thøc ®¬n gi¶n vµ ®óng hoÆc c¸c bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh lµ ®óng.
ë phÇn nµy c¸c b¹n chó ý ®Õn c¸c h»ng ®¼ng thøc:
a 2 2ab b 2 (a b)2 0
a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc (a b c ) 2 0
Ph¬ng ph¸p:
Khi biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ta cè g¾ng lµm xuÊt hiÖn c¸c ®iÒu kiÖn ®· cho trong
gi¶ thiÕt nh»m ¸p dông ®îc ®iÒu kiÖn cña gi¶ thiÕt ®Ó chøng minh ®îc bÊt
®¼ng thøc ®ã lµ ®óng.
ChuyÓn vÕ ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®ã ( 0; 0; 0; 0 )
ChuyÓn vÕ c¸c thõa sè vÒ d¹ng h»ng ®¼ng thøc ®Ó dÓ chøng minh
Lµm xuÊt hiÖn c¸c tÝch c¸c thõa sè cã chøa c¸c yÕu tè cña ®Ò bµi ®Ó ta xÐt
dÊu c¸c thõa sè ®ã
Chia nhá tõng vÕ ®Ó chøng minh sau ®ã céng vÕ theo vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc
con ®Ó ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh.
Mét sè vÝ dô:
VÝ dô 1:
Chøng tá r»ng víi a, b 0 th×:
(ax by )(bx ay ) (a b) 2 xy
Gi¶i
(1)
(1) abx 2 a 2 xy b 2 yx bay 2 a 2 xy 2abxy b 2 xy
ab( x 2 y 2 2 xy ) 0
ab( x y ) 2 0
BÊt ®¼ng thøc lu«n ®óng v× a, b 0 .
VÝ dô 2:
Cho 0 a b c Chøng minh r»ng:
a b c b c a
b c a a b c
Gi¶i
1
a b c b c a
( a 2c b 2 a c 2b b 2c c 2a a 2b)
b c a a b c abc
1
( a 2c b 2c ) (b 2 a a 2b) (c 2b c 2a )
abc
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 5
1
c(a 2 b 2 ) ab(b a ) c 2 (b a )
abc
1
(b a )(ca cb ab c 2 )
abc
1
(b a )(c b)(c a ) 0
abc
V× 0 a b c .
a b c b c a
VËy
b c a a b c
VÝ dô 3:
Víi a, b, c 0 chøng minh:
a
b
c
1 1 1
2( )
bc ca ab
a b c
Gi¶i
a
b
c
1 1 1
2( )
bc ca ab
a b c
2
2
2
a b c 2(bc ac ba ) (do abc 0)
a 2 b 2 c 2 2bc 2ac 2ab 0
( a b c ) 2 0 HiÓn nhiªn ®óng.
a
b
c
1 1 1
VËy
2( ) .
bc ca ab
a b c
VÝ dô 4: Chøng minh r»ng mäi a,b,c,d th× :
a 2 b2 c 2 d 2 1 a b c d (1)
Gi¶i
(1)
a b c d 1 (a b c d ) 0
2
a
2
2
2
2
a (b 2 b ) ( c 2 c ) ( d 2 d ) 1 0
1
1
1
1
( a ) 2 (b ) 2 (c ) 2 ( d ) 2 0
2
2
2
2
a 2 b2 c 2 d 2 1 a b c d
VÝ dô 5: Chøng minh r»ng nÕu: a b 2 th× a 3 b3 a 4 b 4 (1)
VËy :
Gi¶i
(1)
a 4 b 4 a 3 b3 0
a 3 ( a 1) b3 (b 1) 0
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 6
a 3 (a 1) b3 (b 1) ( a 1) (b 1) (a 1) (b 1) 0
( a 1)( a 3 1) (b 1)(b 3 1) a b 2 0
( a 1) 2 ( a 2 a 1) (b 1) 2 (b 2 b 1) a b 2 0
Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
V×:
(a 1) 2 0 ( a 1) 2 ( a 2 a 1) 0
(b 1) 2 0
(b 1) 2 (b 2 b 1)
ab 2
ab2 0
Bµi tËp ¸p dung:
Bµi 1: Cho a + b = 2. Chøng minh r»ng: a 4 b 4 2
Bµi 2:Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n ta cã:
1
1
1
...
2
2 3 2
(n 1) n
Bµi 3: Chøng minh m,n,p,q ta ®Òu cã
m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n + p + q +1)
Bµi 4: Chøng minh r»ng: (a10 b10 )(a 2 b 2 ) (a 8 b8 )(a 4 b 4 )
3
3
3
Bµi 5: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : a b a b Trong ®ã : a > 0 , b > 0
2
2
Bµi 6: Chøng minh r»ng: Víi mäi sè d¬ng a, b, c, d ta cã:
a3
b3
c3
d3
abcd
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a b
b c
c d
d a
D¹ng 2 – Sö dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«psky vµ c¸c bÊt ®¼ng thøc phô
§©y lµ ph¬ng ph¸p phæ biÕn nhÊt trong viÖc chøng minh BÊt ®¼ng thøc. Chóng ta
dùa vµo ®iÒu kiÖn ®· cho ë ®Ò bµi ®Ó ta lùa chän ph¬ng ph¸p cho thÝch hîp.
Ngoµi ra, ta cÇn ph¶i chó ý ®Õn dÊu cña B§T ®Ó cã thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc
nµo ®Ó chøng minh. Khi ¸p dông c¸c B§T ®· ®îc chøng minh lµ ®óng th× b¹n nªn
t¸ch nhá B§T cÇn chøng minh ra thµnh c¸c vÕ nhá sau ®ã céng vÕ theo vÕ ®Ó ®îc B§T cÇn chøng minh.
Mét sè vÝ dô:
VÝ dô 1:
Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d¬ng x,y,z ta cã:
xyz ( x y z x 2 y 2 z 2 3 3
( x 2 y 2 z 2 )( xy yz zx )
9
Gi¶i
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 7
3( x 2 y 2 z 2 ) ( x y z ) 2
x y z 3( x 2 y 2 z 2
x 2 y 2 z 2 3 3 xyz 2
xy yz zx 3 3 xyz 2
Do ®ã ta cã:
xyz ( x y z x 2 y 2 z 2 ) xyz (( 3 1) x 2 y 2 z 2 )
( x 2 y 2 z 2 )( xy yz zx )
( x 2 y 2 z 2 )(3 3 xyz 2
3 1
3
xyz
3
3
xyz
3 1 1 3 3
3
9
3
DÊu “=” x¶y ra khi x=y=z
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng:
19942000 19952000 19962000 (1)
Gi¶i
1994 2000
1996 2000
1 2000
(1) (
)
1 (
)
(1
)
1995
1995
1995
Theo bÊt ®¼ng thøc Becnuli ta cã:
1 2000
2000
1994 2000
(1
)
1
1 (
)
1995
1995
1995
2000
1994 2000
V×:
1 (
)
1995
1995
VÝ dô 3:
Cho a b 2 Chøng minh r»ng: a4 b4 2
Gi¶i
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki cho 4sè 1,1,a,b ta cã:
(1.a 1.b)2 (12 12)(a2 b2)
(a b)2 2(a2 b2)
ۣ
4 2(a2 b2)
ۣ
2 a2 b2
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki cho 4sè 1,1,a2,b2 ta cã:
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 8
(1.a2 1.b2) (12 12)(a4 b4)
ۣ2 (a2
b2) 2(a4
4
ۣ
b4)
2(a4 b4)
a4 b4 2
VÝ dô 4: Cho a,b,c>0 Chøng minh r»ng:
Ta cã:
1 1 1
9
a b c a b c
Gi¶i
1 1 1
a a b
b c c
(a b c)( ) 1 1 1
a b c
b c a
c a b
a b
c a
b c
3 ( ) ( ) ( ) 9
b a
a c
c b
a b
V× :
2
b a
c a
2
a c
b c
2
c b
a b
c a
b c
Nªn: 3 ( ) ( ) ( ) 9
b a
a c
c b
VÝ dô 5: Cho 4 sè d¬ng a,b,c,d chøng minh r»ng:
a
b
c
d
2
b c c d a d a b
Gi¶i
¸p dông bÊt ®¼ng thøc phô:
1
1
(x,y>0)
xy (x y)2
Ta cã:
a
c
a(d a) c(b c)
a2 c2 ad bc
4
b c d a
(b c)(d a)
(a b c d)2
T¬ng tù:
b
d
b2 d2 ab cd
4
c d a b
(a b c d)2
Céng vÕ theo vÕ ta cã:
a
b
c
d
a2 b2 c2 d2 ad bc ab cd
4
b c c d a d a b
(a b c d)2
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 9
Ta chøng minh:
a2 b2 c2 d2 ad bc ab cd
4
2
(a b c d)2
4a2 b2 c2 d2 ad bc ab cd 2(a b c d)2
2a2 2b2 2c2 2d2 4ac 4bd 0
(a c)2 (b d)2 0
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: Cho x,y,z tho· m·n x(x 1) y(y 1) z(z 1)
Chøng minh r»ng:
x yz 4
Bµi 2: Cho a>b>c>0 vµ a 2 b 2 c 2 1 .Chøng minh r»ng
4
3
a3
b3
c3
1
bc ac ab 2
Bµi 3: Cho x , y lµ 2 sè thùc tho¶ m·n x2 + y2 = x 1 y y
Chøng minh r»ng : 3x + 4y 5
Bµi 4: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng:
2
ab
bc
ca
1 x2
6
Bµi 5:Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh mét tam gi¸c, p lµ nöa chu vi.
Chøng minh r»ng:
p
pa
p b
pc
3p
(1)
Bµi 6: Cho a, b,c lµ 3 sè kh¸c 0. Chøng minh r»ng:
a 2 b2 c2 a b c
b2 c 2 a2 b c a
Bµi 7 Cho ba sè a, b, c 0 .Tho¶ m·n
Chøng minh r»ng:
b 2 2a 2
ab
c 2 2b 2
bc
ab bc ca abc
a 2 2c 2
ca
3
(*)
D¹ng 3 – sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy
§©y lµ ph¬ng ph¸p chøng minh B§T mµ häc sinh THCS dÔ nhËn d¹ng ®Ó chøng
minh ®ã lµ sö dông BÊt ®¼ng thøc Cauchy . Ta cÇn ph¶i chó ý ®Õn dÊu cña B§T
®Ó cã thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc nµo ®Ó chøng minh. Khi ¸p dông c¸c B§T ®· ®îc
chøng minh lµ ®óng th× b¹n nªn t¸ch nhá B§T cÇn chøng minh ra thµnh c¸c vÕ
nhá sau ®ã céng vÕ theo vÕ ®Ó ®îc B§T cÇn chøng minh.
VÝ dô 1: Cho 3 sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng:
a3
b3
c3 a b c
b3
c3
a3 b c a
Gi¶i
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 10
VËn dông bÊt ®¼ng thøc C«si, ta cã:
a3
b3
b3
c3
c3
a3
b3
b3
c3
c3
1 3
a
(1)
b
1 3
b
(2)
c
c
(3)
a
a3
a3
Céng vÕ theo vÕ (1) (2) vµ (3) ta cã:
1 3
a3
b3
c3
a b c a b c
2( 3
)
3
3 ) 3 2(
b
c
a
b c a b c a
a b c
2( ) 3
b c a
a3
b3
c3 a b c
VËy:
b3
c3
a3 b c a
VÝ dô 2: Cho a,b,c >0 tho¶ m·n
Chøng minh r»ng:
Ta cã:
abc
1
1
1
2
1 a 1 b 1 c
1
8
Gi¶i
1
1
1
b
c
1
1
1 a
1 b
1 c 1 b 1 c
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si:
1
bc
2
1 a
(1 b)(1 c)
1
ac
2
1 a
(1 a)(1 c)
1
ab
2
1 c
(1 a)(1 b)
Nh©n l¹i ta ®îc:
1
8abc
(1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c)
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 11
abc
1
8
VÝ dô 3: Gi¶ sö a,b,c d, lµ 4 sè d¬ng tho· m·n:
1
1
1
1
3
1 a 1 b 1 c 1 d
1
Chøng minh r»ng: abcd
81
Gi¶i
Tõ gi¶ thiÕt ta cã:
1
1
1
1
1
1
1
1 3 4
1 a
1 b
1 c
1 d
a
b
c
d
1
1 a 1 a 1 a 1 a
a(1 b) b(1 a) c(1 d) d(1 c)
1
(1 a)(1 b)
(1 c)(1 d)
a b 2ab
c d 2cd
1 a b ab 1 c d cd
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã:
2 ab 2ab
2 cd 2cd
2 ab
2 cd
1
1 2 ab ab 1 2 cd cd 1 ab 1 cd
4
abcd
abcd
1 2 2
4
1 ab cd abcd
1 ab cd abcd
44 abcd
44 abcd
1
1 24 abcd abcd
(1 4 abcd)2
1 4 abcd 44 abcd
1 34 abcd
abcd
Bµi tËp ¸p dông:
1
8
Bµi 1: Chøng minh r»ng: ( a+ b + c ) (
1
1 1
+ + ) ≥ 9 víi a,b,c > 0
a
b c
Bµi 2: Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c víi chu vi 2p
Chøng minh r»ng:
abc
a) (p a)(p b)(p c)
8
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 12
1
1
1
1 1 1
2( )
p a p b p c
a b c
Bµi 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng:
b)
a 1
b 1
c 1 3,5
Bµi 4:Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh vµ 2p lµ chu vi cña mét tam gi¸c.
Chøng minh r»ng:
abc
( p a )( p b)( p c )
8
D¹ng 4 – Chøng minh b»ng ph¶n chøng
§©y lµ ph¬ng ph¸p chøng minh B§T dùa vµo c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh ph¶n
chøng trong To¸n häc. §Ó chøng minh mÖnh ®Ò A ®óng th× ta gi¶ sö mÖnh ®Ò A sai
vµ chøng minh r»ng tõ mÖnh ®Ò A sai ta suy ra mét ®iÒu m©u thuÈn ®Ó kÕt luËn A
lµ ®óng.
Muèn chøng minh bÊt ®¼ng thøc A B ®óng, ta gi¶ sö A B sai,
tøc lµ A B ®óng, tõ ®ã chøng minh nh÷ng lËp luËn chÝnh x¸c ta suy ra ®iÒu
m©u thuÈn tõ gi¶ thiÕt. KÕt luËn A B ®óng. §iÒu v« lý cã thÓ lµ tr¸i víi gi¶
thiÕt, hoÆc lµ nh÷ng ®iÒu tr¸i ngîc nhau , tõ ®ã suy ra ®¼ng thøc cÇn chøng minh
lµ ®óng.
Mét sè h×nh thøc chøng minh b»ng ph¶n chøng:
Dïng mÖnh ®Ò ®¶o.
Phñ ®Þnh råi suy ra ®iÒu tr¸i víi gi¶ thiÕt.
Phñ ®Þnh råi suy ra tr¸i víi ®iÒu ®óng.
Phñ ®Þnh råi suy ra hai ®iÒu tr¸i ngîc nhau.
Mét sè vÝ dô:
VÝ dô 1: Cho a,b,c,d R vµ a b 2cd
Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai bÊt ®¼ng thøc sau ®©y lµ ®óng
c2 a,d2 b
Gi¶i
Gi¶ sö hai bÊt ®¼ng thøc trªn ®Òu sai, cã nghÜa ta ®îc :
2
c2 a vµ d b
c2 a 0 vµ d2 b 0
c2 a d2 b 0
c2 d2 (a b) 0
c2 d2 2cd 0
V× a+b =2cd
(c d)2 0 M©u thuÉn
Nªn sÏ cã Ýt nhÊt mét trong hai bÊt ®¼ng thøc ®· cho lµ ®óng
VÝ dô 2: Cho 3 sè d¬ng a,b,c nhá h¬n 2. Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét trong
c¸c bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai:
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 13
a(2 a) 1
b(2 b) 1
c(2 c) 1
Gi¶i
Gi¶ sö c¸c bÊt ®¼ng thøc sau ®Òu ®óng, nh©n ba ®¼ng thøc l¹i ta ®îc
a(2 a)b(2 c)c(2 c) 1
Mµ 0 a(2 a) 2a a2 1 (a 1)2 1
T¬ng tù ta cã:
0 b(2 b) 1
0 c(2 c) 1
Suy ra:
abc(2 a)(2 b)(2 c) 1
M©u thuÉn
VËy cã Ýt nhÊt mét trong c¸c bÊt ®¼ng thøc ®· cho lµ sai
VÝ dô 3: Cho 6 sè tù nhiªn kh¸c 0 nhá h¬n 108. Chøng minh r»ng cã thÓ chän ®îc 3 trong 6 sè ®ã, ch¼ng h¹n a,b,c sao cho a
0
(3)
abc>0
Chøng minh r»ng: a,b,c >0
Gi¶i
Gi¶ sö trong 3 sè thùc a,b,c ®· cho cã mét sè ©m hay b»ng 0, gi¶ sö sè ®ã lµ
a 0 mµ kh«ng lµm mÊt ®i tÝnh tæng qu¸t cña bµi to¸n. Ta cã:
a 0 a 0
abc 0
a 0
b>0
a 0
bc 0
b<0
c<0
c>0
XÐt kh¶ n¨ng a 0; b>0; c<0 a+c<0
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 14
Ta cã:
(1) :a b c 0 b>-(a+c) (a+c)b<-(a+c)2
(a c)b ca (a c)2 ac (a2 ac c2)
ab bc ca 0
V× :
(a2 ac c2 0 a,b,c R)
§iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt.
VËy 3 s« a,b,c ®Òu lµ sè d¬ng.
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1:
Cho 0 a, b, c 1 .Chøng minh r»ng Ýt nhÊt cã mét bÊt ®¼ng thøc sau ®©y lµ sai:
1
1
1
a(1 b) ; b(1 c) ; c(1 a)
4
4
4
KÕt qu¶ nµy m©u thuÈn víi kÕt qu¶ cña gi¶ thiÕt ®· nªu ra ë trªn.
VËy Ýt nhÊt ph¶i cã mét bÊt ®¼ng thøc sai.
Bµi 2:
Cho 25 sè tù nhiªn a1, a2 ,..., a25 tho¶ m¶n ®iÒu kiÖn
1 1 ... 1 9
.
a1
a2
a25
Chøng minh r»ng trong 25 sè tù nhiªn ®ã, tån t¹i hai sè b»ng nhau.
D¹ng 5 – Ph¬ng ph¸p lîng gi¸c
§©y lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè. §èi víi häc sinh
THCS th× viÖc sö dông ph¬ng ph¸p nµy lµ kh¸ míi v× kiÕn thøc c¬ b¶n cña phÇn lîng gi¸c cha ®îc nghiªn cøu s©u. Cho nªn ë ph¬ng ph¸p nµy t«i xin tr×nh bµy
mét sè kiÕn thøc lý thuyÕt vµ c¸c d¹ng ph¬ng ph¸p mét c¸ch chi tiÕt h¬n.
KiÕn thøc cÇn nhí:
1. C¸c hÖ thøc c¬ b¶n
+
+ 1 + tg2 =
cos 2 sin 2 1
k
1
cos 2
(
k)
2
1
( k)
+ tg . cotg = 1 (
)
+ 1 + cotg2 =
2
sin 2
2. C«ng thøc céng, c«ng thøc h¹ bËc, c«ng thøc nh©n ®«i, c«ng thøc biÕn tÝch
thµnh tæng vµ c«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch. Chóng ta dùa vµo c¸c tr¬ng hîp díi
®©y ®Ó cã thÓ ®æi biÕn lîng gi¸c mét c¸ch chÝnh x¸c.
Mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c thêng gÆp:
NÕu thÊy x + y
2
2
x sin
= 1 th× ®Æt
víi [0, 2]
y cos
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 15
NÕu thÊy x2 + y2 = a2 (a > 0) th× ®Æt
x a sin
víi [0, 2]
y a cos
x
sin
khi
2 ; 2
x cos khi 0;
NÕu thÊy |x| 1 th× ®Æt
x
m
sin
khi
;
2 2
NÕu thÊy |x| m ( m 0 ) th× ®Æt
x m cos khi 0;
Sö dông c«ng thøc: 1+ tg2 =
1
1
tg 2 2 1
2
cos
cos
NÕu |x| 1 hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc
th× ®Æt x =
1
cos
m
cos
k )
2
x2 1
víi 0; , 3
2
2
NÕu |x| m hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc
th× ®Æt x =
(
x 2 m2
víi 0; , 3
2
Sö dông c«ng thøc 1+ tg2 =
2
1
.
cos 2
NÕu x R vµ bµi to¸n chøa (1+x2) th× ®Æt x = tg víi
,
2 2
NÕu x R vµ bµi to¸n chøa (x2+m2) th× ®Æt x = mtg víi
,
2 2
VÝ dô 1: Cho a,b,c,d R Víi a c 1 d2 Vµ b d 1 c2
Chøng minh r»ng a b 1
Gi¶i
Víi:
a c 1 d2 Vµ b d 1 c2 Ta cã:
1 d2 0
d2 1
2
2
1 c 0
c 1
-1 d 1
-1 c 1
p
Do ®ã ta ®Æt: d cosb vµ c cosa víi a, b 0;
2
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 16
a c 1 d2 cosa 1 cos2 b cosa sin b
Vµ
b d 1 c2 cosb 1 cos2 a cosbsin a
a b cosa sin b cosbsin a
sin(b a ) 1
VËy:
ab1
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng:
(1 x2)sina 2x cosa
1 x,a R
1 x2
Gi¶i
p p
sin a
§Æt x tga
Víi a ; Th×
2 2
cosa
sin2 a
sin a
(1
)sina
2
cosa
2
2
(1 x )sina 2x cosa
cos
a
cos
a
1 x2
sin2 a
(1
)
cos2 a
(cos2 a sin2 a )sina 2sin a cosa cosa
cos2 a sin2 a
cos2a sina sin2a cosa
sin(a 2a ) 1
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng nÕu x 1 vµ n lµ sè nguyªn lín h¬n 1 th× ta cã bÊt
®¼ng thøc:
(1 x)n (1 x)n 2n
Gi¶i :
V×: x 1nªn ta ®Æt x cost víi
t p;p
(1 x)n (1 x)n (1 cost)n (1 cost)n
t
t
(2cos2 )n (2sin2 )n
2
2
t
t
2n (cos2 )n (sin2 )n 2n (1)
2
2
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 17
0 cos2 t 1
cos2 t (cos2 t )n
2
2
2
t
t
t
sin2 (sin2 )n
Do 0 sin2 t
2
2
2
t
t
1 (cos2 )n (sin2 )n
2
2
®óng
(1)
VËy bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh.
VÝ dô 4:
Chøng minh r»ng: 1 1 a 2 (1 a )3 (1 a )3 2
2
2 2a 2 (1)
Gi¶i:
Tõ ®k |a| 1 nªn
§Æt a=cos víi [0,] 1 a 2 sin ; 1 a 2 cos ; 1 a 2 sin
2
1 2 sin
(1)
2
cos .2 2 cos 3 sin 3 2 2 2 2 sin cos
2
2
2
2
2
2
sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos
2
sin cos sin 2 1 sin cos
2
2
2
2
2
2
sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 1 ®óng (®pcm)
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1:
Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng:
A = a b 2 3ab 2(1 2 3 )a (4 2 3 )b 4 3 3 2
Bµi 2: Cho a, b tho¶ m·n : 5a 12b 7 = 13
2
2
2
2
Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) - 1
Bµi 3:
Chøng minh r»ng: 3 2 A 2 3a 2 2a
Bµi 4:
Chøng minh r»ng A =
1 a2
32
a2 1 3
2 a 1
a
Bµi 5:
2
Chøng minh r»ng: - 4 A = 5 12 2a 1 9 a 1
Bµi 6:
a
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 18
Chøng
|a b|
(1 a 2 )(1 b 2 )
Bµi 7:
Chøng minh r»ng:
Bµi 8:
Chøng minh r»ng:
|bc|
minh
(1 b 2 )(1 c 2 )
ab
cd
|ca|
(1 c 2 )(1 a 2 )
(a c)( b d )
(a b)(1 ab)
1
2
(1 a 2 )(1 b 2 )
(1)
r»ng:
a , b, c
a , b, c, d 0
(1)
a, b R
D¹ng 6 – Ph¬ng ph¸p chøng minh qui n¹p
Ph¬ng ph¸p qui n¹p thêng sö dông ®Ó chøng minh mét bÊt ®¼ng thøc phô thuéc
vµo sè nguyªn d¬ng n. Ta thùc hiÖn c¸c bíc sau:
KiÓm nghiÖm ®Ó chøng tá B§T ®óng víi ®iÒu kiÖn nhá nhÊt.
Gi¶ sö B§T ®óng víi mét sè nguyªn d¬ng k bÊt kú
CÇn chøng minh B§T còng ®óng víi n = k + 1
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: 2n 2n 1 Víi mäi sè d¬ng n 3
Gi¶i:
3
Víi n=3 th× 2 8 2.3 1 7 ®óng
Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n=k bÊt k× cã nghÜa lµ:
2k 2k 1 2.k.2 (2k 1).2
Ta cÇn chøng minh:
2k1 2(k 1) 1
Theo gt quy n¹p ta cã:
2k1 (2k 1)2 4k 2 2k 2k 2 2(k 1) 1
§iÒu ph¶i chøng minh.
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n 2
Ta cã:
1
1
1 13
...
n1 n 2
2n 24
Gi¶i:
a. Víi n=2 ta cã:
1 1 13
14 13
®óng
3 4 24
24 24
1
1
1 13
Gi¶ sö víi n=k ta cã:
...
k1 k2
2k 24
Ta cÇn chøng minh:
1
1
1
13
...
k2 k 3
2k 2 24
Ta cã:
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 19
V× :
Nªn:
1
1
1
1
1
1
1
1
...
(
... )
k2 k3
2k 2
k1
2k 2k 1 2k 2 k 1
1
1 13
...
k1
2k 24
13
1
1
1
13
®óng.
24 2k 1 2k 2 k 1 24
VÝ dô 3: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc C«si trong trêng hîp tæng qu¸t.
Víi a1, a 2 ... a n R n , n 2 th×
a1 a2 ... an
n
n
a1.a2...an
Gi¶i:
Víi n =2 bÊt ®¼ng thøc ®¶ ®îc chøng minh ë 1. (bÊt ®¼ng thøc ¥clit)
NÕu x1 x2 x1n1 x2n1 . x , x R
1 2
VËy x , x R th× ta lu«n cã (chuyÓn mét bé phËn sang vÕ ph¶i, ta
1 2
®îc)
( x1n1 x2n1)( x1 x2 ) 0
x1n x2n x1 x2n1 x2 x1n1.
LÊy n sè thùc kh«ng ©m x , x ...xn R , viÕt c¸c bÊt ®¼ng thøc t¬ng øng
1 2
råi céng l¹i ta ®îc:
( x n x n ) ( x n x n ) ... ( x n xnn )
1
2
1
3
1
n
n
n
n
n x n)
( x x ) ... ( x xn ) ... ( x
n
2
3
2
n1
( x x n1 x x n1)
1 2
2 1
( x x n1 x x n1) ... ( x xnn1 xn x n1) ...
1 3
31
1
1
n1) (1)
( x
xnn1 xn x
n1
n1
Tõ ®ã:
(n 1)( x n x n ... xnn ) x ( x n1 x n1 ... xnn1)
1
2
1 2
3
x ( x n1 x n1 ... xnn1) xn ( x n1 x n1 ... x n1) (2)
2 1
3
1
2
n1
Sinh viªn: NguyÔn M¹nh Hïng Líp: C§SP To¸n Tin K48
Trang 20
.DOC 
70 
373 
105 
