T-nhÓm hỮu hẠn

  • Số trang: 38 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 37 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hạnh Linh T-NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này , tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô , các anh chị và các bạn . Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tôi xin được bày tỏ lới cảm ơn chân thành tới : Ban giám hiệu, phòng sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư ph ạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình họ c tập v à th ực hiện bảo vệ luận văn. PGS. TS. Mỵ Vinh Quang người thầy kính mến đã hết lòng g iúp đỡ, dạy bảo , và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập . Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy Mỵ Vinh Quang. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết để tôi có thể hoàn thành luận văn. Và cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến các bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ giúp tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu dùng trong luận văn LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..........................................................................2 1.1. Nhóm con. Nhóm con chuẩn tắc. ..........................................................................2 1.2. Nhóm con tối đại. Nhóm con tối tiểu. ...................................................................2 1.3. Nhóm con trung tâm. Nhóm con chuẩn hóa. ........................................................3 1.4. Định lý Sylow. ......................................................................................................4 1.5. p’-nhóm. p-phần bù. p-perfect nhóm. ..................................................................5 1.6. Nhóm giải được. ....................................................................................................6 1.7. Nhóm siêu giải được. ............................................................................................7 1.8. Nhóm con á chuẩn tắc. ..........................................................................................8 1.9. Nhóm con chuẩn tắc yếu. ......................................................................................8 1.10. Nhóm con abnormal. ...........................................................................................9 1.11. Nhóm con pronormal. .......................................................................................10 1.12. Điều kiện á chuẩn hóa. ......................................................................................10 1.13. H-nhóm con. ......................................................................................................11 Chương 2. T-NHÓM HỮU HẠN. ..............................................................................13 2.1. T-nhóm hữu hạn. .................................................................................................13 2.2. PSP-nhóm. ..........................................................................................................30 KẾT LUẬN ..................................................................................................................33 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................34 BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Ý nghĩa H ≤G H là nhóm con của G H 0 thì H K không là p’-nhóm. Nếu k = 0 thì H / K tầm thường. Vậy H là p’-perfect nhóm. 1.6. Nhóm giải được 1.6.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Một dãy aben trong G là dãy các nhóm con = 1 G= G thỏa điều kiện Gi +1 Gi là nhóm aben ∀i . 0  G1  ...  Gn Một nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nó có một dãy aben. 1.6.2. Các tính chất của nhóm giải được Cho nhóm G , N là nhóm con của G . Ta có các khẳng định sau: (1) Nếu G giải được thì N giải được. (2) Nếu G giải được, N  G thì G N giải được. (3) Nếu N  G , N và G N giải được thì G giải được. (4) Tích hai nhóm con chuẩn tắc giải được là giải được. 7 1.7. Nhóm siêu giải được 1.7.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Dãy các nhóm con chuẩn tắc của G : 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G trong đó Gi +1 Gi là nhóm cyclic được gọi là dãy cyclic chuẩn tắc. Một nhóm G được gọi là nhóm siêu giải được nếu nó có một dãy cyclic chuẩn tắc. Chú ý rằng nhóm siêu giải được thì giải được. 1.7.2. Các tính chất của nhóm siêu giải được 1.7.2.1. Mệnh đề Cho G là nhóm siêu giải được H ≤ G , N  G . Khi đó : (1) H là nhóm siêu giải được. (2) G N là nhóm siêu giải được. (3) Nếu A1 , A2 ,..., An là nhóm siêu giải được thì A1 × A2 × ... × An là nhóm siêu giải được. 1.7.2.2. Mệnh đề Nhân tử cơ bản của nhóm siêu giải được có cấp nguyên tố và nhóm con tối đại có chỉ số là số nguyên tố [9, 5.4.7, tr 150]. 1.7.2.3. Định lý Cho G là nhóm siêu giải được. Khi đó : (1) Với mọi H ≤ G , H có một nhóm con có chỉ số trong H là p với mỗi p là ước nguyên tố của H . (2) Nếu p là ước nguyên tố lớn nhất của G thì G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc S và S có phần bù T trong G. 1.7.3. Nhóm p-siêu giải được 8 Nhóm hữu hạn G được gọi là p-siêu giải được nếu các p-nhân tử cơ bản của nó đều cyclic. p-nhân tử cơ bản là nhân tử cơ bản mà cấp của nó chia hết cho p. 1.8. Nhóm con á chuẩn tắc Nhóm con H của nhóm G được gọi là nhóm con á chuẩn tắc của G nếu tồn tại = G. dãy các nhóm con H H= 0  H1  ...  H n 1.9. Nhóm con chuẩn tắc yếu 1.9.1. Định nghĩa Nhóm con H của nhóm G được gọi là chuẩn tắc yếu trong G nếu H g ≤ NG ( H ) ⇒ g ∈ NG ( H ) . 1.9.2. Các tính chất của nhóm con chuẩn tắc yếu (1) Nếu H ≤ K ≤ G và H chuẩn tắc yếu trong G thì H chuẩn tắc yếu trong K. (2) Nếu N chuẩn tắc trong G, P là p-nhóm con chuẩn tắc yếu của G và ( N , p ) = 1 thì PN là chuẩn tắc yếu trong G và PN N là chuẩn tắc yếu trong G N . Chứng minh (1) Giả sử H k ≤ N K ( H ) , cần chứng minh k ∈ N K ( H ) . Lấy k ∈ K . Do H k ≤ N K ( H ) và N K ( H ) ≤ N G ( H ) nên H k ≤ N G ( H ) . Vì H là nhóm con chuẩn tắc yếu trong G nên suy ra k ∈ NG ( H ) ⇒ k ∈ K ∩ NG ( H ) = NK ( H ) . (2) Chứng minh PN là chuẩn tắc yếu trong G. Vì N  G và P chuẩn tắc yếu trong G nên PN là chuẩn tắc yếu trong GN = G . Chứng minh PN N là chuẩn tắc yếu trong G N . Giả sử ( PN N) gN ≤ N G N ( PN N )( g ∈ G , gN ∈ G N ) hay ( PN ) ≤ N G ( PN ) . Ta cần chứng minh g ∈ N G ( PN ) . g 9 Vì N  G và ( N , P ) = 1 nên P là p-nhóm con Sylow của PN. Vì N G ( P ) ≤ N G ( PN ) nên N G ( PN ) = N G ( P ) N . Nếu ( PN ) ≤ N G ( PN )( g ∈ G ) thì P g ≤ N G ( P ) N . Do đó ∃m ∈ N G ( P ) , n ∈ N g sao cho P g ≤ ( N G ( P )= ) mn ( N ( P )) G n ⇒ P gn ≤ N G ( P ) . −1 Vì P chuẩn tắc yếu trong G nên gn −1 ∈ N G ( P ) ⇒ g ∈ N G ( P ) N hay g ∈ N G ( PN ) . 1.9.3. Mệnh đề Nếu H chuẩn tắc yếu trong G và H chuẩn tắc trong nhóm con K của G thì NG ( K ) ⊂ NG ( H ) . Chứng minh Lấy g ∈ N G ( K ) tức là ta có K g = K . Theo giả thiết H  K ≤ G ⇒ H ≤ K ≤ N G ( H ) . Suy ra H g ≤ K g =K ≤ N G ( H ) ⇒ H g ≤ N G ( H ) . Do H là chuẩn tắc yếu trong G nên g ∈ N G ( H ) . Vậy N G ( K ) ⊂ N G ( H ) . 1.10. Nhóm con abnormal 1.10.1. Định nghĩa Nhóm con H của nhóm G được gọi là abnormal trong G nếu x ∈ H , H x với mọi x ∈ G . Ví dụ: (1) Nếu D là chuẩn hóa tử của p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G thì D abnormal trong G. 10 (2) Nếu H là nhóm con tối đại, không chuẩn tắc trong G thì H abnormal trong G. 1.10.2. Định lý Nhóm con H của G là abnormal nếu và chỉ nếu những điều kiện dưới đây được thỏa : (1) Mọi nhóm con trung gian K, H ≤ K ≤ G , đều tự chuẩn hóa, nghĩa là NG ( K ) = K . (2) Nếu hai nhóm con trung gian liên hiệp với nhau thì chúng trùng nhau. Chú ý: Nếu H abnormal trong G và H ≤ K ≤ G thì K abnormal trong G [1, Định lý 5.3]. 1.11. Nhóm con pronormal 1.11.1. Định nghĩa Nhóm con H của nhóm G được gọi là pronormal trong G nếu với mỗi g ∈ G , tồn tại u ∈ H , H g sao cho H g = H u . Ví dụ: (1) Mọi nhóm con chuẩn tắc đều pronormal. (2) Mọi nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn đều pronormal. (3) Mọi nhóm con abnormal đều pronormal. 1.11.2. Định lý Nếu H pronormal trong G thì N = N G ( H ) abnormal trong G [1, Định lý 6.12]. 1.11.3. Hệ quả Cho P là p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G thì N G ( P ) là abnormal trong G [1, 6.13]. 1.12. Điều kiện á chuẩn hóa Nhóm con H của G được gọi là thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong G nếu với mọi nhóm con K của G sao cho H  K thì ta luôn có N G ( K ) ≤ N G ( H ) . 11 Nhận xét: Nếu H thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong nhóm G thì H thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong mọi nhóm con của G chứa H. 1.13. H-nhóm con 1.13.1. Định nghĩa Nhóm con H của nhóm G được gọi là H-nhóm con của G nếu N G ( H ) ∩ H g ≤ H , ∀g ∈ G Ví dụ: (1) Các nhóm con chuẩn tắc và tự chuẩn hóa của một nhóm bất kì là H-nhóm con. (2) Các p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn là H-nhóm con. 1.13.2. Bổ đề Cho G là một nhóm và N , H ≤ G . (1) Nếu N ≤ H và N  G thì H là H-nhóm con của G khi và chỉ khi H N là Hnhóm con của G N . (2) Nếu H ≤ N và G = N G ( H ) N thì H là H-nhóm con của N kéo theo H là H-nhóm con của G [5, Bổ đề 2]. 1.13.3. Bổ đề Cho G là một nhóm và H là H-nhóm con của G. Nếu H ≤ K ≤ N G ( H ) thì NG ( K ) ≤ NG ( H ) . Chứng minh Lấy g ∈ N G ( K ) . Khi đó H , H g ≤ K ≤ N G ( H ) g Mặt khác do H là H-nhóm con của G nên N G ( H ) ∩ H ≤ H g g Suy ra H ≤ H ⇒ H = H ⇒ g ∈ N G ( H ) . Do đó N G ( K ) ≤ N G ( H ) . 12 1.13.4. Định lí Cho G là một nhóm và H là H-nhóm con của G thì: (1) N G ( N G ( H ) ) = N G ( H ) , do đó N G ( H ) là H-nhóm con của G. (2) Nếu H là nhóm con á chuẩn tắc của K ≤ G thì H  K . (3) Nếu N  G và N ≤ N G ( H ) thì N G ( HN ) = N G ( H ) và HN là H-nhóm con của G [5, Định lý 6]. 13 Chương 2. T-NHÓM HỮU HẠN Trong chương này, các nhóm được xét là nhóm hữu hạn. 2.1. T-nhóm hữu hạn 2.1.1. Định nghĩa Nhóm G được gọi là T-nhóm nếu mọi nhóm con á chuẩn tắc của G đều chuẩn tắc trong G. 2.1.2. Ví dụ Ví dụ 1 : S3 là một T-nhóm. Chứng minh Nhận thấy S3 chỉ có sáu nhóm con là 1, (12 ) , (13) , ( 23) , A3 , S3 . Chứng tỏ (12 ) không là nhóm con á chuẩn tắc của S3 . (13) Thật vậy, vì (12 )= 13) ( 23) ∉ (12 ) (13) (12 )(= −1 ; nên (12 ) không là nhóm con chuẩn tắc của S3 . Mặt khác = 12 2,= S3 6 . Gọi H là nhóm con trung gian của S3 đối với (12 ) nên H = (12 ) hoặc H = S3 . Do đó không tồn tại dãy Vậy (12 ) Tương tự , suy ra H = 2 hoặc H = 6 (1, 2 )  H1  ...  H n = S3 . không là nhóm con á chuẩn tắc của S3 . (13) , ( 23) không là nhóm con á chuẩn tắc của S3 . Ta có A3  S3 (vì [ S3 : A3 ] = 2 ); hiển nhiên 1  S3 , S3  S3 . Vậy trong S3 chỉ có ba nhóm con 1, A3 , S3 là á chuẩn tắc của S3 đồng thời là chuẩn tắc của S3 . Do đó S3 là T-nhóm. 14 Ví dụ 2. S 4 không là một T-nhóm. Chứng minh Xét tập con của S 4 là V4 = {1, (12 )( 34 ) , (13)( 2 4 ) , (14 )( 23)} . Ta có A4  S 4 . Với mọi ( i j ) ∈ S 4 , ∀δ ∈ S 4 , với mọi k ∈ {1, 2,3, 4} . Khi đó k khi δ ( k ) ≠ i và δ ( k ) ≠ j  −1 δ −1 ( i j ) δ ( k ) =δ i  ( j ) khi δ ( k ) =  −1 j δ ( i ) khi δ ( k ) = ( ) Nên δ −1 ( i j ) δ = δ −1 ( i ) δ −1 ( j ) . ( )( ) Do đó δ −1 (12 )( 34 ) δ = δ −1 (12 ) δδ −1 ( 34 ) δ = δ−1 (1) δ −1 ( 2 ) δ −1 ( 3) δ −1 ( 4 ) ∈ V4 (do δ−1 là song ánh). Tương tự δ −1 (13)( 2 4 ) δ, δ −1 (14 )( 23) δ ∈ V4 , ∀δ ∈ S 4 . Do đó V4  S 4 . Từ đó suy ra V4  A4  S 4 . Xét D = = (12 )( 34 ) {1, (12 )( 34 )} Mà V4 = {1, (12 )( 34 ) , (13)( 2 4 ) , (14 )( 23)} . Suy ra D ≤ V4 . Vậy D  V4 ( Do [V4 : D ] = 2) . Từ đó ta có D V4  A4  S 4 . Do đó D là một nhóm con á chuẩn tắc của S 4 . ( 2 3) Mặt khác (12 )(= 34 ) = ( 23)(12 )( 34 )( 23) (13)( 2 4 ) ∉ (12 )( 34 ) Vậy D không là nhóm con chuẩn tắc của S 4 . Do đó S 4 không là T-nhóm. . 15 2.1.3. Mệnh đề Cho G là một nhóm. Khi đó G là một T-nhóm nếu và chỉ nếu với H  K  G ta có H  G , với mọi H, K là các nhóm con của G. Chứng minh ( ⇒ ) : Hiển nhiên. ( ⇐ ) : Giả sử G là một nhóm mà với mọi nhóm con H, K thỏa H  K  G ta có H G. Lấy H là nhóm con á chuẩn tắc tùy ý của G, thì tồn tại dãy nhóm con của G : = H H= G. 0  H1  ...  H n Ta chứng minh H  G bằng phương pháp qui nạp theo n. Với n ≤ 2 , điều phải chứng minh là hiển nhiên. Giả sử điều phải chứng minh đúng với n= k ≥ 2 . Xét trường hợp n= k + 1 , = nghĩa là ta có H H= G . Khi đó 0  H1  ...  H k +1 H k −1  H k  H k +1 = G . Theo giả thiết H k −1  G . Nên từ dãy trên ta viết lại được dãy H = H 0  H1  ...  H k −1  G . Theo giả thiết qui nạp ta có H  G . Vậy H là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi H là nhóm con á chuẩn tắc của G. Do đó G là một T-nhóm. 2.1.4. Định lý Nhóm con của một T-nhóm hữu hạn giải được là một T-nhóm [9, 13.4.7, tr.406]. 2.1.5. Định lý Nhóm G là T-nhóm giải được nếu và chỉ nếu mọi nhóm con của G là H-nhóm con [5, Định lý 10]. 16 2.1.6. Mệnh đề Mọi H-nhóm con của G là chuẩn tắc yếu trong G. Chứng minh Giả sử H là H-nhóm con của G, tức là ta có H g ∩ N G ( H ) ≤ H , ∀g ∈ G . Giả sử có H g ≤ N G ( H ) ta cần chứng minh g ∈ N G ( H ) . g Do H g ≤ N G ( H ) nên H g ∩ N G ( H ) = H g suy ra H ≤ H . Từ đó suy ra H g = H hay g ∈ N G ( H ) . Vậy H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G. Chú ý: Điều ngược lại là không đúng. Ta xét ví dụ sau: Xét G = S 4 và H = (1 2 3 4 ) . Ta có N G ( H ) = (1 2 3 4 ) , (1 3) . Với g = 2 3) , H g (1= (1 4 2 3) thì ta có H g ∩ N G ( H ) = (1 2 )( 3 4 ) không phải là nhóm con của H. Do đó H không phải là H-nhóm con của G. Nhưng N G ( H ) có duy nhất một nhóm con cyclic cấp 4. Bởi vậy nếu H g ≤ N G ( H ) thì H g = H . Vậy H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G. 2.1.7. Mệnh đề Nếu H là nhóm con pronormal của nhóm G thì H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G. Chứng minh
- Xem thêm -