Tài liệu Sự tồn tại nghiệm của phương trình monge ampère phức trong các lớp năng lượng đa phức có trọng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —– -------------------- ------------------- SHERLOR NENGZE SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —– ---------------- --------------- SHERLOR NENGZE SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Sherlor Nengze i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Lào - Việt nam (Thủ đô Viêng Chăn) cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 05 năm 2017 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1.Hàm đa điều hòa dưới 4 1.2.Hàm đa điều hòa dưới cực đại 8 1.3.Toán tử Monge-Ampère phức 14 1.4.Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 16 1.5.Các lớp năng lượng Cegrell 18 Chương 2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE- 22 AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG 2.1. Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong £ n 22 2.2. Sự tồn tại nghiệm trong lớp Ec ( W) 25 2.3. Sự tồn tại nghiệm trong lớp Ec ( f ) 28 2.4. Sự tồn tại nghiệm trong lớp F ( f ) 32 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 iii (ddc .)n MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán tử Monge-Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị đã được E. Berfod và B.A. Taylor xây dựng năm 1982. Từ đó trở đi lý thuyết này liên tục phát triển và đạt được nhiều kết quả quan trọng, đồng thời tìm thấy nhiều ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học. Năm 1998, Cegrell đã định nghĩa các lớp năng lượng E 0 (W), F p (W), Ep (W) trên đó toán tử Monge-Ampère phức là xác định. Năm 2004, Cegrell đã định nghĩa các lớp E(W), F (W) và chỉ ra rằng lớp E( W) là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampère phức. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử MongeAmpère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Tiếp tục mở rộng lớp năng lượng F ( W) , năm 2009, S. Benelkourchi đã đưa ra lớp năng lượng có trọng Ec (W) và nghiên cứu toán tử Monge-Ampère trên lớp năng lượng đa phức hữu hạn trong trường hợp tổng quát. Đồng thời giải thích các lớp này theo nghĩa tốc độ giảm của dung lượng của tập mức dưới và mô tả đầy đủ trong các lớp Ec (W) . Nghiên miền giá trị của toán tử Monge-Ampère cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán Dirichlet,… Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử Monge-Ampère và áp dụng các kết quả đạt được trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp năng lượng có trọng, chúng tôi chọn “Sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong các lớp năng lượng đa phức có trọng” làm đề tài nghiên cứu của mình. 4 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các lớp năng lượng đa phức có trọng và sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong các lớp đó 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: + Trình bày tổng quan và hệ thống một số kết quả cơ bản của lý thuyết đa thế vị phức. + Trình bày lại một cách chi tiết một số kết quả của S. Benelkourchi về sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong các lớp năng lượng đa phức có trọng. 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Nội dung của luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1] và [5]. Chương 1. Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và nguyên lý so sánh. Chương 2. Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương trình bày một số khái niệm và kết quả về các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong £ n . Tiếp theo trong mục 2.2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp Ec ( W) (Định lý 2.2.1). Mục 2.3 trình bày 5 kết quả về sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp E c ( f ) (Định lý 2.3.6 và Hệ quả 2.3.7). Cuối cùng mục 2.4. trình bày sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp F ( f ) (Định lý 2.4.1 và Hệ quả 2.4.2). Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 6 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dưới Địng nghĩa 1.1.1. Giả sử WÌ £ n é ê là tập mở, u : W® - ¥ , + ¥ ) là hàm nửa ë liên tục trên, không đồng nhất bằng - ¥ trên moi thành phần liên thông của W. Hàm u gọi là đa điều hoà dưới trên W (viết u Î PSH (W) ) nếu với mọi a Î W và b Î £ n , hàm l a u (a + l b) là điều hoà dưới hoặc bằng - ¥ thành phần liên thông của tập { } trên mọi l Î £:a+lbÎ W. Định lý sau đây cho một đặc trưng của tính đa điều hoà dưới đối với các hàm lớp C 2 trên tập mở WÌ £ n . Định lý 1.1.2. Giả sử WÌ £ là tập mở và u Î C 2(W) . Khi đó u Î PSH (W) khi n và chỉ khi Hessian H ( z ) = ( ¶ 2u ) của u tại z xác định dương, nghĩa là với u ¶ z j ¶ zk mọi w = ( w , w ,..., w ) Î £ n , 1 2 n Hu (z )(w, w) = n 2 å ¶u j,k=1 n Định nghĩa 1.1.3. Tập hợp E Ì đều có một E ÇV Ì lân cận V {z Î V (z ) w wj ¶z ¶z j k ³ 0. k được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm a Î của a và một hàm u Î PSH (V ) : u (z ) = - ¥ }. 7 E sao cho Hệ quả 1.1.4. Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không. Dưới đây là một số kết quả liên quan tới tính đa điều hoà dưới khi qua giới hạn và tính lồi của họ các hàm đa điều hoà dưới. Định lý 1.1.5. Giả sử W là tập mở trong £ n . i) Nếu u , v Î PSH (W) thì m ax{u , v } Î PSH ( W) và nếu a , b ³ 0 thì a u + bv Î PSH (W) . Nghĩa là PSH ( W) là nón lồi. ii) Nếu {u j } j ³ 1 Ì PSH(W) là dãy giảm thì u = lim u j hoặc là hàm đa điều hoà dưới trên W hoặc º - ¥ . iii ) Nếu dãy {u j } Ì PSH(W) là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của W tới hàm u : W® ¡ thì u Î PSH (W) . iv) Giả sử {u a }a Î I Ì PSH(W) sao cho u = sup {u a : a Î I } là bị chặn trên địa phương. Khi đó chính quy hoá nửa liên tục trên u * Î PSH(W) . Chứng minh. Các khẳng định i) , ii) , iii) suy ra từ định nghĩa 1.1.1. và định lý hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân trong trường hợp dãy hội tụ đều. Ta chứng minh iv) . Chỉ cần chứng tỏ a Î W, b Î £ n sao cho {a+ l b:l Î £ , l £ 1} Ì W thì 1 u * (a) £ Dễ thấy với mọi z Î W, b Î £ n u *(a + eiqb)dq 2 ò0 p sao cho {z + l b, l £ 1} Ì W ta có 1 u(z ) £ 2p 2p u *(z + eiqb)dq ò 2p 0 8 Với a Î W, chọn dãy { z n } Ì W sao cho z n ® a và u (z n ) ® u * (a) . Từ £ 1} Ì W. Khi đó {z + l b, l £ 1} Ì W nên với n đủ lớn {zn + l b, l 1 2p u(zn)£ u *(z n + e iqb)dq 2p ò0 Bổ đề Fatou cho ta 2p 1 u * (a ) = lim sup u (z n ) £ n 2p * iq ò lim sup u (z n + e b)dq 0 W n Sau đây là kết quả về dán hai hàm đa điều hoà dưới tương tự như hàm điều hoà dưới. Mệnh đề 1.1.6. Giả sử WÌ £ n là tập mở, w Ì W là tập con mở thực sự, khác rỗng của W. Giả sử u Î PSH (W), v Î PSH (w) và lim sup x ® y v(x ) £ v(y) với mọi y Î ¶ w Ç W. Khi đó hàm ì m ax{u , v} t rong w ï w=í trong W\ w ïu ï î là hàm đa điều hoà dưới trên W. ï Chứng minh. Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W. Chỉ cần chứng tỏ nếu a Î W, b Î £ n sao cho {a + l b, l £ r} Ì W thì 1 2p w(a) £ w(a + reiqb)dq 2p ò 0 Với a Î W, b Î £ n , chọn r > 0 đủ bé để {a + l b, l £ r} Ì Khi đó 9 w 1 u (a ) £ 2p 1 iq u (a + re b)d q £ w(a ) £ 2 ò0 p v (a ) £ 1 2p v (a + re i qb)d q £ w(a ) £ 2p ò 0 1 Từ đó w(a ) £ 2p 2p ò 2p iq w(a + re b)d q 2 ò0 p 1 2p w(a + re i qb)d q 2p ò 0 w(a + re i qb)dq . 0 Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, ở đó WwW là bao đóng của w lấy trong W. Chỉ cần xét trường hợp a Î wW Ç W. Khi đó w(a ) = u (a) . Vậy w(a ) = u (a ) £ 1 2p u (a + re i qb)d q £ w(a ) £ 2p ò0 và mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.1.7. Giả sử u Î PSH (W) , WÌ £ n 1 2p w(a + re i qb)dq 2p ò 0 W là tập mở và Y : u( W) ® ¡ là hàm lồi, tăng lớp C 2 . Khi đó Y o u Î PSH (W) . Chứng minh. Lại có thể coi u Î C 2(W) . Với mọi w Î W và w Ì £ n , do Y là hàm lồi tăng ta có ¢ ¢¢ n å j=1 < L(Y o u)(a, w) > = Y (u(a)) < Lu(a, w) > + Y (u(a)) 2 ¶u ¶ z (a)wj ³ 0 j Suy ra điều phải chứng minh. W Hệ quả 1.1.8. Nếu u Î PSH (W) thì e u Î PSH(W) . Nếu u Î PSH (W) , u ³ 0 và a ³ 1 thì u a Î PSH(W) . Hệ quả 1.1.9 . Nếu u , u 2 là các hàm không âm trên tập mở WÌ £ n và 1 2 log u , log u Î PSH (W) thì u u 2 Î PSH (W) và log(u 1 + u 2 ) Î PSH (W) . 1 1 10 Mệnh đề 1.1.10. (Nguyên lý cực đại) Giả sử D là một miền trong £ n và u Î PSH (D) , u không đồng nhất hàm hằng. Khi đó u không đạt cực đại toàn thể trên D. Hơn nữa nếu D là bị chặn thì với mọi z Î D ta có u(z)< sup { lim sup u ( z )} wζD D'z®w Chứng minh. Giả sử z 0 Î D sao cho u ( z 0 ) = m ax{u ( z ) : z Î D} . Đặt 0 0 D = u - 1u (z ) . Khi đó Æ ¹ D Ì D . Giả sử a Î D Ç D . Khi đó 0 0 u (z 0 ) = lim sup u (z ) £ lim sup u ( z ) = u (a ) £ u ( z0) D0 ' z ® a Vậy a Î D 0 và D 0 D0 ' z ® a đóng trong D . Nếu a Î D 0 , với mọi b Î £ n , chọn r > 0 sao cho {a + l b : l £ r } Ì D . Khi đó 1 2p u(z0 ) = u(a) £ u(a + reiqb)dq £ ò 2p u(z 0) 0 Từ đó, do tính nửa liên tục trên của u suy ra u = u ( z 0 ) trên một lân cận của a . Vậy D0 là mở và do đó D 0 = D . Điều này kéo theo u = u ( z 0 ) trên D và mâu thuẫn với giả thiết. 1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại W Định nghĩa 1.2.1. Cho WÌ £ n là tập mở và u Î PSH(W) . Ta nói u là hàm đa điều hòa dưới cực đại trên W và viết u Î MPSH (W) nếu với mọi tập mở, compact tương đối G Ð W và mọi hàm v nửa liên tục trên trên G , v Î PSH (G ) và v £ u trên ¶ G thì v £ u trên G . Trường hợp n = 1 thì tập MPSH(W) trùng với tập các hàm điều hòa trên W. Mệnh đề sau nói về các cách nhận biết một hàm là đa điều hoà dưới cực đại. 11 Mệnh đề 1.2.2. Giả sử WÌ £ n là tập mở và u Î PSH(W) . Khi đó các khẳng định sau là tương đương. ( i) Với mọi tập mở, compact tương đối G Ð W và mọi hàm v Î PSH (G ) , nếu lim sup(u ( z ) - v ( z )) ³ 0 với mọi x Î ¶ G thì u ³ v trên G . z®x (ii) Nếu v Î PSH (W) và với e > 0 tồn tại u - v ³ e trên W\ K thì u ³ (iii) tập compact K Ì W sao cho v trên W. Nếu v Î PSH (W) , G là tập mở, compact tương đối trong W và u ³ v trên ¶ G thì u ³ v trên G . (iv) Nế v Î PSH (W) , G là tập mở, compact tương đối trong u xÎ lim inf(u ( z ) - v ( z)) ³ 0 thì u ³ v trên G . ¶G, W và với mỗi z®x (v) u là hàm cực đại. Chứng minh. (i ) Þ (ii) . Giả sử v Î PSH (W) thỏa mãn giả thiết của (ii) và giả sử a Î W sao cho u (a ) - v (a) = h < 0 . Đặt h E = { z Î W: u ( z ) < v ( z ) + 2 } Theo giả thiết có compact K Ì W sao cho với mọi z Î W\ K thì u (z) ³ v ( z ) + h . Vậy E Ì K và do đó E 2 là tập compact trong W. Tồn tại tập mở, . Trên ¶ G compact tương đối G Ì W chứa E lim inf(u - (v + h )) ³ 0 2 z®¶G 12 Bởi giả thiết ( i) , u ³ v + h trên G và ta gặp mâu thuẫn vì a Î E Ì G mà 2 u (a ) = v (a ) + h < v (a) + h . 2 (ii ) Þ (iii) . Giả sử v Î PSH (W) , G là tập mở, compact tương đối trong W và u ³ v trên ¶ G . Đặt ì zÎG z Î W\ G ï m ax(u ( z ), v ( z )) , u%(z ) = í ï ïu(z), ï î Mệnh đề 1.1.6. cho u%Î PSH (W) . Với e > 0, lấy K = G là tập compact trong W và với z Î W\ K , u (z ) - u%(z ) = 0 > - e . Do đó bởi giả thiết u ³ u%trên G . (iii ) Þ (iv) . Giả sử v Î PSH (W) và G Ð W sao cho lim inf(u ( z ) - v ( z)) ³ 0 G'z®x đúng cho mọi x Î ¶ G . Khi đó lim sup v ( z ) £ u( x) . Đặt G'z®x ì zÎG ï m ax(u ( z ), v ( z )) , u%(z ) = í ï z Î W\ G ïu(z), ï î Khi đó theo mệnh đề 1.1.6, ta cóu%Î PSH (W) . Dễ thấy trên ¶ G thì u = u%. Vậy u ³ u%trên W và do đó u ³ v trên G (iv ) Þ (v) . Giả sử G Ì W là tập mở, compact tương đối và v là hàm nửa liên tục trên trên G và v £ u trên ¶ G . Do tính compact tương đối của G trong W, ta có thể coi u là liên tục trên G và v £ u trên ¶ G . Thật Î C ¥ (W ) Ç PSH (W ) với e e vậy nếu trái lại ta xét họ ue =u*ce . Nếu ta chứng tỏ trên G , v £ u thì v £ u WÉG e e 13 trên G vì trên G ta có lim u e = u . Từ giả thiết v £ u trên ¶ G nên e® 0 lim sup v ( x ) £ u (y ) với y Î ¶ G . Do đó hàm G'x®y ì G ï m ax{u , v } t ren u%= ï í ïu ï t ren W\ G î là đa điều hoà dưới trên W. Ta thấy lim inf( u - u%) ³ 0 với mọi x Î ¶ G . Thật G'z®x vậy nếu không có h < 0 và dãy {z n } Ì G, zn ® x mà u ( z n ) - u%(zn ) £ h < 0 với mọi n . Từ đó u ( z n ) £ u%(zn ) + h Cho n ® ¥ ta có u ( x ) £ m ax(u ( x ), v ( x )) + h = u ( x ) + h < u(x) và gặp mâu thuẫn. Vậy từ giả thiết u ³ u%trên G và chứng minh (iv ) Þ (v) hoàn thành. (v ) Þ (i) . Giả sử G Ð W, v Î PSH (G ) và lim inf( u - v )( z ) ³ 0 với mọi G'z®x x Î ¶ G . Lại có thể coi u liên tục trên W. Khi đó xét ì zÎ G ï v ( z ), v%(z ) = í ï zÎ ¶G ï lim sup v (t ), ï îï G ' t ® z Khi đó v%Î PSH (G ) và nửa liên tục trên trên G . Mặt khác từ lim inf( u ( z ) - v ( z )) ³ 0 kéo theo u ( x ) ³ v%(x) tại mọi x Î ¶ G . Từ đó suy ra G'z®x u ³ u%trên G và vậy thì u ³ v trên G . W Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và f Î L¥ ( ¶ W) . Ta kí hiệu U (W, f ) là lớp các hàm đa điều hòa dưới v Î PSH(W) sao cho v * ¶W v * ( z ) = lim sup v( w) W' w® z 14 £ f , ở đó với mọi z Î W. Với z Î W, ta xác định u (z ) = u W,f (z ) = sup{v(z ) : v Î U (W, f )} Hàm UW,f gọi là bao Perron – Bremermann của f trong W. Định lý 1.2.3. Giả sử W là miền bị chặn và f Î C ( ¶ W) sao cho u * = u * = f là hàm liên tục trong W. trên ¶ W, ở đó u = uW,f . Khi đó u = uW,f Î U (W, f ) . Vậy u W, f = u * Chứng minh. Từ u * = f trên ¶ W nên u * W,f và do đó W,f uW, f là nửa liên tục trên trên W. Vậy chỉ cần chứng minh u = uW,f là nửa liên tục dưới trên W. Cố định z 0 Î W và e > 0. Do với mọi w Î ¶ W,. lim inf u ( z ) = lim sup u ( z ) = f (w) nên lim u (z ) = f ( w) . Từ đó do ¶ W là z®w z®w z®w compact suy ra có d > 0 sao cho " z Î W, " w Î ¶ W, z .w £ d Ü u (z ) - f ( w) < e d Lấy z%Î W với % < z%- z 0 ì (1.1) và đặt W= W- ( z 0 - z%). Xác định hàm 2 + z%) - 2e}, 0 ï m ax{u ( z ), u ( z + z ï v(z)=í % z Î WÇ W z Î W\ % ï u ( z ), W ï î % Dùng (1.1) ta chứng tỏ v = u trên một lân cận của WÇ ¶ W trong W và do đó % % hàm v Î PSH(W) . Nếu z Î W\ W thì rõ ràng v (z ) = u (z ) . Lấy y Î WÇ ¶ W và xét % với z- y z Î WÇ ¶ W y + z 0 - z%Î ¶ W. Vậy theo (1.1) f (y + z 0 - z%) - e . Mặt khác do z + z 0 - z%Î W và z + z 0 - z%- (y + z 0 - z%) = z - y < d 2 nên u ( z + z 0 - z%) < f (y + z 0 - z%) + e Từ đó u ( z ) > u ( z + z 0 - z%) - 2e Như vậy cho y % % thay đổi trên WÇ W ta được một lân cận của WÇ W trong W sao cho u ( z ) > u ( z + z 0 - z%) - 2e . Vậy v = u trên lân cận đó. Hơn nữa nếu % z - w £d 0 - z%- w z Î WÇ W và w Î ¶ W sao cho 2 (1.1), ta có thì z+z - Xem thêm -