Tài liệu Sự tồn tại điểm bất động của toán tử uo lõm chính quy đều tác dụng trong không gian banach với nón h cực trị (lv01839)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ----------------------------------------- TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ u0  LÕM CHÍNH QUY ĐỀU TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN h  CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ----------------------------------------- TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ u0  LÕM CHÍNH QUY ĐỀU TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN h  CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS – TS – GVCC Nguyễn Phụ Hy Hà Nội - 2015 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy – người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2; các thầy, cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Trương Thị Hải Duyên Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn: “Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h  cực trị” là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy. Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn . Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Trương Thị Hải Duyên Mục lục Mở đầu …………………………………………………………………. 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Banach nửa sắp thứ tự .......................................... 4 1.1.1. Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian 4 Banach ………………………………………………….. 1.1.2. Dãy đơn điệu, cận trên đúng và cận dưới đúng của một 8 tập hợp…………………………………………………... 1.2. Quan hệ thông ước giữa các phần tử ………………………… 10 1.3. u0  chuẩn trên không gian Eu0 …………………………….. 11 1.4. Nón chuẩn tắc và nón h  cực trị …………………………….. 15 1.4.1. Nón chuẩn tắc và tính chất ……………………………... 15 1.4.2. Nón h  cực trị và tính chất …………………………….. 18 ……………… 20 …………... 20 ……………. 27 1.5. Các không gian Banach nửa sắp thứ tự: n , 1.5.1. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 1.5.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 2 n 2 Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều trong không gian Banach với nón h  cực trị 2.1. 2.2. Khái niệm toán tử u0  lõm chính quy đều và tính chất ……. 37 2.1.1. Khái niệm toán tử u0  lõm chính quy đều ……………. 37 2.1.2. Một số tính chất ………………………………………… 38 Toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong một số không gian Banach ………………………………………………….. 39 2.2.1. Toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không n gian Eukleide ………………………………………. 39 2.2.2. Toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach 2.3. 2 …………………………………………. 42 Sự mở rộng định lí tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều …………………………………………… 44 Áp dụng ……………………………………………………… 48 Kết luận ………………………………………………………………… 50 Tài liệu tham khảo …………………………………………………….. 51 2.4. 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động là một ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng dụng. Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau và gắn với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec,… Các nhà toán học đã xét các toán tử khác nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Frese hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm… Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm dương của các phương trình toán tử (1962). GS – TSKH Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không gian tuyến tính với các toán tử lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm (1984). Các tác giả Kraxnoxelxki, Bakhtin đã nghiên cứu và công bố những kết quả về lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach với một nón cố định hoặc hai nón cố định, các toán tử được xét có chung tính chất u0  đo được. Năm 1987, PGS – TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về điểm bất động của toán tử lõm chính quy và các điểm bất động của toán tử  K , u0   lõm chính quy (2012). Tác giả đã mở rộng và phát triển các kết quả về toán tử lõm cho lớp toán tử lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach với một nón cố định, nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất u0  đo được. Để xét sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm hay lõm chính quy, các tác giả kể trên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các toán tử. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy giáo, PGS – TS – GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi chọn 2 nghiên cứu đề tài: “ Sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h  cực trị”. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều theo hướng bổ sung điều kiện cho nón. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiều về không gian Banach nửa sắp thứ tự. Tìm hiểu về nón chuẩn tắc và nón h  cực trị. Tìm hiểu về nón trong không gian Banach n , 2 . Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h  cực trị. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử u0  lõm chính quy, sự tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h  cực trị. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước có liên quan đến điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h – cực trị. 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu và các bài báo về điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong không gian Banach với nón h – cực trị. Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất. Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn. 6. Những đóng góp của luận văn 3 Luận văn trình bày tổng quát về không gian Banach nửa sắp thứ tự, một số tính chất về toán tử u0  lõm chính quy đều, toán tử u0  lõm chính quy đều tác dụng trong các không gian n , 2 , sự mở rộng định lý tồn tại điểm bất động của toán tử u0  lõm chính quy đều. Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lớp toán tử khác. Hy vọng luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc. 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian Banach nửa sắp thứ tự 1.1.1. Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là không gian Banach thực, K là tập con của không gian E khác rỗng. Tập K được gọi là một nón của không gian E , nếu: i, K là tập đóng trong không gian E ; ii, x, y  K ,  ,    thì  x   y  K ; iii, x  K : x   thì  x  K . ( là phần tử không trong không gian E ) Định lí 1.1.2. Giao của hai nón (chứa phần tử khác  ) là một nón. Chứng minh: Giả sử K1 , K 2 là hai nón trong không gian E . Ta chứng minh K  K1  K2 cũng là nón trong không gian E . Thật vậy: Vì K1 , K 2 là hai nón trong không gian E nên K1 , K 2 đóng trong E suy ra K đóng trong E . x, y  K ,  ,     x, y  K1 , K2   x   y  K1 , x   y  K2   x   y  K   x   y  K x  K , x    x  K1 , x  K2 Vì K1 , K 2 là nón trong không gian E nên  x  K1,  x  K2   x  K . Vậy giao của hai nón (chứa phần tử khác  ) là một nón. Định lí 1.1.3. Giả sử F là tập con của không gian E khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn và không chứa phần tử không  của E . Khi đó, tập: K ( F )  z  tx : x  F , t  0 là một nón trong không gian E . 5 Chứng minh: Vì F    x  F  z  1.x  K ( F )  K ( F )   . Ta chứng minh K ( F ) thỏa mãn ba tiên đề về nón: i, Chứng minh K ( F ) là tập đóng. Ta chứng minh m  0, M  0 để m  z  M , z  F . (1.1) Ta có F bị chặn nên tồn tại số M  0 sao cho: z  M , z  F . Nếu inf z  0   dãy  zn n1  F để lim zn  0 nên lim zn   trong E .  n zF n  Khi ấy   F do F đóng, trái giả thiết F không chứa  . Do đó inf z  0 , giả sử inf z  m  0  z  inf z  z  m, z  F . zF zF zF Bây giờ ta đi chứng minh tập K ( F ) là tập đóng. Ta có nhận xét phần tử không   K ( F ) vì   0.x với x  F . Lấy một dãy bất kì un n1  K ( F ) sao cho lim un  u trong E . Nếu u    n  thì u  K ( F ). Giả sử u   , theo định nghĩa giới hạn, với (e  (n0  * ) sao cho n  n0 có: un  u  Khi đó un  u  un  u  Do vậy 1 u . 2 1 u . 2 1 3 u  un  u , n  n0 . 2 2 Mặt khác do un  K ( F ) nên un  tn zn , tn  0, zn  F  n  1, 2,3,... Theo (1.2) ta có: 1 u  0) 2 (1.2) 6 1 3 1 3 u  tn zn  tn zn  u  u  tn  u . 2 2 2 zn 2 zn Từ (1.1) ta có: m  zn  M , zn  F    Do vậy tồn tại dãy con tni Ta có:  1 3 u  tn  u , n  n0 . 2M 2m  tn n 1 sao cho lim tn  t0 . i 1  i  i 1 3 u  t0  u , t0  0. 2M 2m Ta xét dãy con  zn   i i 1 t n zn  1 zni  u   zni  i i t0 t0  thì:   tni zni 1  1 1  u   tni  t0 . zni  uni  u  t0  t0 t0   t0  Do vậy lim zni  i  M 1 i  tni  t0  uni  u  0 t0 t0 1  1 1 u  0  u  F và u  t0  u   K  F  t0 t0  t0  Vậy K  F  là tập đóng. ii, x, y  K  F  , ta chứng minh x  y  K  F  Thật vậy x, y  K  F  thì: x  t1 z1 , t1  0, z1  F y  t2 z2 , t2  0, z2  F  x  y  t1 z1  t2 z2 . Nếu t1  0 hoặc t2  0 thì rõ ràng x  y  F (Vì khi ấy x  y  x  K ( F ) hoặc x  y  y  K (F ) )  t  t Nếu t1, t2  0  t1  t2  0 có: x  y   t1  t2   1 z1  2 z2  t1  t2   t1  t2 7 Do F là tập lồi nên t1 t z1  2 z2  F , t1  t2 t1  t2 mà t1  t2  0 nên x  y  K  F  . (1.3) x  K  F  ;   ,  0, chứng minh  x  K  F  . Có x  K  F   x  tz, t  0, z  F   x   tz. Do   0; t  0   t  0 mà z  F nên  tz  K ( F ) .   x  K  F . (1.4) Từ (1.3) và (1.4) suy ra x, y  K ,  ,    thì  x   y  K . iii, x  K  F  ; x   ta chứng minh  x  K  F  bằng phản chứng. Giả sử u0  K  F  sao cho u0   và u0  K  F .    u0   u0   K  F  và u0  t1z1; t1  0; z1  F ; u0  t2 z2 ; t2  0; z2  F , Mặt khác : Nếu t1  t2  0 :  t1  t z1  2 z2   K  F  t1  t2   t1  t2   u0   u0   t1 z1  t2 z2   t1  t2   do t1 t z1  2 z2  F t1  t2 t1  t2 Vì t1  t2  0  t1 t z1  2 z2   . t1  t2 t1  t2    F . Trái giả thiết F không chứa  . Nếu t1  t2  0 thì t1  t2  0  u0   , không đúng giả thiết. Vậy, u0  K  F . Do đó K ( F ) là nón trong không gian định chuẩn E . Định nghĩa 1.1.4. 8 Với hai phần tử x, y  E ta viết x  y (hoặc y  x ), nếu y  x  K . Định lí 1.1.5. Quan hệ "  " xác định trong định nghĩa 1.1.4 là một quan hệ sắp thứ tự trên không gian E . Chứng minh : + x  E, x  x    K nên x  x  quan hệ "  " có tính chất phản xạ. + x, y  E , x  y và y  x thì y  x  K và x  y  K . Do y  x    x  y  nên nếu x  y   thì mâu thuẫn với điều kiện iii, của định nghĩa 1.1.1. Do đó x  y    x  y . Suy ra quan hệ "  " có tính chất phản đối xứng. + x, y, z  E, x  y và y  z thì y  x  K và z  y  K . Do z  x  ( z  y )  ( y  x)  K nên x  z . Suy ra quan hệ "  " có tính chất bắc cầu. Vậy quan hệ "  " xác định trong định nghĩa 1.1.4 ở trên là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E với nón K . Khi đó ta nói E là không gian Banach nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K . Định nghĩa 1.1.6. Không gian Banach thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự xác định trong định nghĩa 1.1.4 gọi là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K  E . 1.1.2. Dãy đơn điệu, cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập hợp Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K  E . Định nghĩa 1.1.7. Dãy điểm  xn n1  E  gọi là dãy không giảm, nếu x1  x2  ...  xn  ... Dãy điểm ( y)n1  E gọi là dãy không tăng, nếu y1  y2  ...  yn  ... 9 Các dãy không tăng, dãy không giảm gọi là dãy đơn điệu. Định nghĩa 1.1.8. Tập con M  E gọi là bị chặn trên bởi phần tử u  E , nếu x  M  x  u ; tập con M gọi là bị chặn dưới bởi phần tử v  E , nếu x  M  x  v ; tập M gọi là bị chặn trong không gian E , nếu    0  x  M  x  . Định nghĩa 1.1.9. + Phần tử z  E gọi là cận trên đúng của tập con M  E , nếu  x  M  x  z ;  Nếu  u  E  x  M  x  u, thì z  u . Kí hiệu z  sup M . + Phần tử w  E gọi là cận dưới đúng của tập con M  E , nếu   x  M  x  w ;  Nếu    E  x  M  x   , thì w  v. Kí hiệu w  inf M . Định lí 1.1.10. Phần tử cận trên đúng, cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất. Chứng minh: + Cận trên đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất: Giả sử z1, z2  E là các cận trên đúng của M . Khi đó: z1, z2  E và thỏa mãn x  M đều có x  z1 và x  z2 nên theo định nghĩa cận trên đúng thì z2  z1 và z1  z2 , do đó z1  z2 . Vậy cận trên đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất. + Cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất: Giả sử w1, w2  E là các cận dưới đúng của M . Khi đó: 10 w1, w2  E và thỏa mãn x  M đều có x  w1 và x  w2 nên theo định nghĩa cận dưới đúng thì w2  w1 , w1  w2  w1  w2 . Vậy cận dưới đúng (nếu tồn tại) của một tập hợp là duy nhất. 1.2. Quan hệ thông ước giữa các phần tử Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K  E. Định nghĩa 1.2.1. Giả sử x, y  E. Phần tử x được gọi là thông ước với phần tử y nếu tồn tại hai số dương     x, y  ,     x, y  sao cho  y  x   y. Định lí 1.2.2. Quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E. Chứng minh : + Tính chất phản xạ: Rõ ràng y  E , ta luôn có: 1. y  y  1. y  y thông ước với y . + Tính chất đối xứng: Nếu x thông ước với y thì theo định nghĩa 1.1.6 tồn tại hai số dương  ,  sao cho  y  x   y. Do đó 1  x y 1  x hay y thông ước với x . + Tính chất bắc cầu: Giả sử x, y, z  E trong đó x thông ước với y và y thông ước với z . Ta chứng minh x thông ước với z . Khi đó tồn tại các số dương 1 , 1 ,  2 , 2 sao cho: 1 y  x  1 y , 2 z  y  2 z  12 z  x  12 z. Đặt   1 2 ,   1 2 . Khi đó  z  x   z , với   0,   0. Nên, x thông ước với z. Vậy quan hệ thông ước trên không gian E là một quan hệ tương đương trên không gian E. 11 Kí hiệu K (u0 ) là tập hợp tất cả phần tử x  E thông ước với phần tử u0  K \  . Định lí 1.2.3. K  u0  là tập lồi và K  u0   K \  . Chứng minh: + K (u0 ) là tập lồi Giả sử x, y  K  u0  , t  0;1 , ta chứng minh tx  1  t  y  K  u0  . x thông ước với u0  1, 1 sao cho: 1u0  x  1u0 . y thông ước với u0   2 , 2 sao cho: 2u0  y  2u0 .  1t   2 (1  t )  u0  tx  (1  t ) y   1t  2 (1  t )  u0 . Đặt   min 1, 2   0 ,   max  1, 2   0 Ta có:  ,   0 và  u0  1t   2 (1  t )  u0  tx  (1  t ) y   1t  2 (1  t )  u0   u0 hay tx  1  t  y  K  u0  . + K  u0   K \   Giả sử x  K (u0 ) ta sẽ chứng minh x   và x  K . Thật vậy: x  K (u0 )  (  0,   0) sao cho  u0  x   u0  x   , x  u0  K và  u0  K \  .  x  x   u0   u0  K \  .  x  K \  . 1.3. u0  chuẩn trên không gian Eu0 Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K  E , u0  K \   . 12 Định nghĩa 1.3.1. Phần tử x  E gọi là u0  đo được, nếu tồn tại các số không âm s1 , s2 sao cho s1u0  x  s2u0 . Kí hiệu Eu0   x  E : s1  0, s2  0,  s1u0  x  s2u0. Định lí 1.3.2. Đối với mỗi phần tử x  Eu0 , tồn tại các số không âm nhỏ nhất   x  ,   x  sao cho   x  u0  x    x  u0 . Chứng minh: Giả sử, x  Eu0  s1, s2  0 sao cho s1u0  x  s2u0  x  s1u0  K và  x  s2u0  K Xét hai ánh xạ: E f: t E g: f (t )  x  tu0 t g (t )   x  tu0 f liên tục nhờ tính liên tục của phép cộng hai vectơ và phép nhân vectơ với một số thực trên không gian E . Khi đó, do K là tập đóng trong không gian E , nên f 1 ( K ) là tập đóng trong với chuẩn thông thường. Giả sử inf f 1 ( K )     tn n1   Khi đó  n0   *  n  n  t 0 n sao cho lim f (tn )  . n  0. Do đó x 1  x  tnu0   K hay   u0  K . tn tn Cho n   ta được u0  K , mâu thuẫn với tính chất của K . Điều đó chứng tỏ inf f 1 ( K )   và inf f 1 ( K )  f 1 ( K ). Xét tập t  0 : x  tu0  K , hiển nhiên s1 t  0 : x  tu0  K   inf t  0 : x  tu0  K     ( x)  0 và nghĩa là x  u0  0 hay u0  x. 13 Tương tự g liên tục nhờ tính liên tục của phép cộng hai vectơ và phép nhân vectơ với một số thực trên không gian E . Khi đó, do K là tập đóng trong không gian E , nên g 1 ( K ) là tập đóng trong Giả sử inf g 1 ( K )     tn n1   Khi đó  n0   *  n  n  t 0 n với chuẩn thông thường. sao cho lim g (tn )  . n  0. Do đó 1 x  tnu0  x   K hay  u0  K . tn tn Cho n   ta được u0  K , mâu thuẫn với tính chất của K . Điều đó chứng tỏ inf g 1 ( K )   và inf g 1 ( K )  g 1 ( K ). Xét tập t  0 : tu0  x  K , hiển nhiên s1 t  0 : tu0  x  K   inf t  0 :  x  tu0  K     ( x)  0, nghĩa là  u0  x  0 hay x   u0 . Định lí 1.3.3. Eu0 là không gian tuyến tính con của không gian E . Chứng minh: + Với mọi x, y  Eu0 ta chứng minh x  y  Eu0 Do x, y  Eu0 nên tồn tại các số thực t1 , t2 , t3 , t4 sao cho t1u0  x  t2u0 và t3u0  y  t4u0 , từ đó ta có   t1  t3  u0  x  y   t2  t4  u0 . Vì vậy x  y  Eu0 . + Với x  Eu0 ,   ta chứng minh  x  Eu0 Do x  Eu0 nên tồn tại các số thực dương t1, t2 sao cho t1u0  x  t2u0 . Nếu   0 thì  t1  u0   x   t2  u0 . Nếu   0 thì   0 và 14     t1u0     x     t2u0      t2u0   x     t1u0 ta luôn có  x  Eu0 . Do đó x  Eu0 ,   Vậy Eu0 là không gian tuyến tính con của không gian E . Định lí 1.3.4. Ánh xạ: . u0 : Eu0  x x u0  max  ( x),  ( x) là một chuẩn trên không gian Eu0 , trong đó   x  ,   x  xác định trong định lí 1.3.2. Chứng minh: Ta nhận thấy ngay . u0 xác định một ánh xạ từ không gian E vào + x  Eu0 , ta có bất đẳng thức   x  u0  x    x  u0 và x u0  max   x  ,   x  nên x u0 0 x u  0  max   x  ,   x     x     x   0  x   . 0 + Với x  Eu0 ,   Do x  Eu0 , t1 , t2   : t1u0  x  t2u0 . Nếu   0 thì t1u0   x  t2u0  inf t1   inf t1    x  và inf t2   inf t2    x  . Từ đó  x u = max   x  ,   x    max   x  ,   x    x 0 u0  x Nếu   0 thì   0 và     t1u0     x     t2u0      t2u0   x     t1u0 Ta có: inf  t2    inf t2   ( x) u0 .