Tài liệu Sự phân tích nguyên sơ của ideal đơn thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HOA SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2011 MỤC LỤC Trang bìa phụ 1 Mục lục 2 Mở đầu 3 1 Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether 6 1.1. Iđêan nguyên sơ và một số lớp iđêan đặc biệt khác . . . . . . . . 6 1.2. Vành và môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Iđêan nguyên tố liên kết của môđun 1.4. Môđun con nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5. Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether 2 . . . . . . . . . . . 21 Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức 26 2.1. Vành đa thức nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . 37 2.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 MỞ ĐẦU Định lý Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ là tổng quát hóa Định lý cơ bản trong Số học. Ý nghĩa hình học của định lý phân tích nguyên sơ cho iđêan là: Mỗi tập đại số afin đều được phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập đại số afin bất khả quy. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, M là một R-môđun Noether. Theo Định lí Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ thì mọi môđun con N của M luôn có sự phân tích nguyên sơ thu gọn và giả sử N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qn (∗) là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con N , trong đó Qi là môđun con pi -nguyên sơ với mọi i = 1, 2, . . . , n (phân tích (*) được gọi là thu gọn nếu các iđêan pi là phân biệt và không có môđun con Qi nào là thừa). Khi đó tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } xác định duy nhất không phụ thuộc vào cách phân tích của môđun con N . Cụ thể {p1 , p2 , . . . , pn } = Ass (M/N ). Nếu pi là tối thiểu trong tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } thì Qi xác định duy nhất và được gọi là thành phần cô lập. Trái lại, Qi được gọi là thành phần nhúng. Cho R là một vành giao hoán Noether (nghĩa là R là R-môđun Noether). Khi đó mỗi iđêan I của vành R là một môđun con của R-môđun R nên cũng theo Định lý Lasker - Noether, I có sự phân tích thành giao của các iđêan nguyên sơ. Giả sử I = q 1 ∩ q2 ∩ . . . ∩ qn (∗) 4 là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của iđêan I , trong đó qi là pi -nguyên sơ với mọi i = 1, 2, . . . , n. Tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } xác định duy nhất không phụ thuộc vào cách phân tích của iđêan I và {p1 , p2 , . . . , pn } = Ass (R/I). Nếu pi là tối thiểu trong tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } thì iđêan qi xác định duy nhất và qi được gọi là thành phần cô lập. Trái lại, được gọi là thành phần nhúng. Cho K là một trường. Khi đó theo Định lý Hilbert về cơ sở thì vành đa thức n biến K [x1 , x2 , . . . , xn ] là một vành Noether. Một iđêan I trong vành K [x1 , x2 , . . . , xn ] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó được sinh bởi các đơn thức. Lớp các iđêan đơn thức trông tuy đơn giản nhưng có rất nhiều tính chất thú vị. Lớp iđêan này rất quan trọng, trước hết vì nó là ví dụ cho nhiều vấn đề trong Đại số giao hoán. Hơn nữa, lí thuyết về cơ sở Gröbner cho phép xấp xỉ một iđêan tùy ý bằng iđêan đơn thức, mà trong nhiều trường hợp từ cấu trúc của nó có thể nhận thông tin ngược trở lại về iđêan ban đầu. Như phần trên đã trình bày thì iđêan đơn thức I có sự phân tích nguyên sơ. Có những phương pháp nào để phân tích và làm thế nào để phân tích nhanh nhất một iđêan đơn thức thành giao của các iđêan nguyên sơ. Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày về những vấn đề đó. Luận văn này được chia thành 2 chương. Chương 1. Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether. Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết phân tích nguyên sơ của vành và môđun Noether. Cụ thể là sẽ trình bày về các vấn đề như: iđêan nguyên sơ, môđun con nguyên sơ, tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun, Định lí Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ của vành và môđun Noether, .... Ngoài ra, còn nêu một số kết quả đã có sẵn dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. 5 Chương 2. Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức. Chương này là nội dung chính của luận văn. Chúng tôi trình bày về vành đa thức nhiều biến; về một lớp iđêan đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến, đó là lớp iđêan đơn thức và sự phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức trong vành đa thức cùng một số phương pháp phân tích. Để hoàn thành luận văn này tác giả xin cảm ơn sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - Khoa Toán của trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn trong luận văn này còn có nhiều sai sót mong muốn nhận được sự chỉ bảo quý báu của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG 1 SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA MÔĐUN NOETHER 1.1 Iđêan nguyên sơ và một số lớp iđêan đặc biệt khác 1.1.1 Iđêan nguyên sơ. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là một iđêan của vành R và I 6= R. Iđêan I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I , nếu x ∈ / I thì ∃n ∈ N sao cho y n ∈ I . Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là nguyên sơ nếu và chỉ nếu m = pk (trong đó p là số nguyên tố và k ∈ N∗ ) hoặc m = 0. 1.1.2 Iđêan nguyên tố. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, p là một iđêan của vành R và p 6= R. Iđêan p được gọi là iđêan nguyên tố nếu ∀x, y ∈ R mà xy ∈ p thì x ∈ p hoặc y ∈ p. Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là nguyên tố nếu và chỉ nếu m là số nguyên tố hoặc m = 0. Chú ý, p là iđêan nguyên tố của vành R khi và chỉ khi R/p là một miền nguyên. 1.1.3 Iđêan cực đại. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, m là một iđêan của vành R và m 6= R. Iđêan m được gọi là iđêan cực đại nếu không tồn tại iđêan J 6= R mà m & J . Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là cực đại nếu và chỉ nếu m là số nguyên tố. 7 Chú ý rằng, m là iđêan cực đại của vành R khi và chỉ khi R/m là một trường. Do đó iđêan m cực đại ⇒ iđêan m nguyên tố ⇒ iđêan m nguyên sơ. 1.1.4 Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh. Cho R là vành và S ⊂ R. Khi đó giao của tất cả các iđêan của R chứa S là một iđêan của R chứa S . Iđêan này được gọi là iđêan sinh bởi tập hợp S , kí hiệu: < S >. Như vậy, I = < S > khi và chỉ khi I là iđêan bé nhất của vành R chứa S . Nếu S là iđêan của vành R thì < S > = S . Vì vậy, hệ sinh của một iđêan là không duy nhất. Cho I là một iđêan của vành R. Nếu tồn tại một hệ sinh của I gồm hữu hạn phần tử thì I được gọi là iđêan hữu hạn sinh. 1.1.5 Iđêan chính. Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính. Ví dụ, trong vành số nguyên Z, mọi iđêan đều có dạng mZ với m là một số nguyên nào đó, nên chúng là iđêan chính mZ = < m >. 1.1.6 Iđêan bất khả quy. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là một iđêan của vành R và I 6= R. Iđêan I được gọi iđêan bất khả quy nếu I không thể phân tích được thành giao của hai iđêan thực sự chứa I . 1.1.7 Iđêan căn. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan của vành R. Kí hiệu √ √ I = {a ∈ R| ∃n ∈ N : an ∈ I}. I là một iđêan của vành R và được gọi là căn của iđêan I . √ Nếu I = I thì I được gọi là iđêan căn. Khi đó 1.1.8 Tích của các iđêan. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị với I, J là iđêan của vành R. Kí hiệu IJ là iđêan sinh bởi tất cả các phần tử dạng ab với a ∈ I và b ∈ J , tức là IJ = n X i=0 ai bi | ai ∈ I, bi ∈ J, n ∈ N . 8 Khi đó IJ được gọi là tích của hai iđêan I và J . Tương tự, định nghĩa cho tích của hữu hạn iđêan. Cho I1 , I2 , . . . , In là các iđêan của vành R. Khi đó I1 I2 . . . In = m X a1i a2i . . . ani | aji ∈ Ij , ∀i = 0, m, ∀j = 1, n, m ∈ N i=0 là một iđêan của vành R và được gọi là tích của các iđêan I1 , I2 , . . . , In . m P a1i a2i . . . ani | aji ∈ I, ∀i = 0, m, ∀j = 1, n, m ∈ N . Đặc biệt, I n = i=0 0 Quy ước, I = R = < 1 >. 1.1.9 Thương của các iđêan. Cho vành R và I, J là các iđêan của vành R. Khi đó tập hợp I : J = {a ∈ R| aJ ⊆ I} = {a ∈ R| ab ∈ I, ∀b ∈ J} là một iđêan của vành R và được gọi là thương của hai iđêan I và J . Kí hiệu AnnR (J) := 0 : J = {a ∈ R| ab = 0, ∀b ∈ J} là một iđêan của vành R và AnnR (J) được gọi là linh hoá tử của iđêan J . Cho x ∈ R, x 6= 0. Ta viết AnnR (x) thay cho AnnR (< x >), tức là AnnR (x) = {a ∈ R| ax = 0}. 1.1.10 Phổ của vành. Cho vành R và I là một iđêan của vành R. Kí hiệu SpecR = {p| p là iđêan nguyên tố của R}, V (I) = {p ∈ SpecR| p ⊇ I}. Các tập hợp dạng V (I) có các tính chất sau: (i) Nếu I, J là một iđêan của vành R thì V (IJ) = V (I) ∪ V (J). Điều này đúng cho họ hữu hạn các iđêan. 9
T Ij = V (Ij ), với S là tập chỉ số tuỳ ý. j∈S j∈S √ √ (iii) V (I) = V (J) khi và chỉ khi I = J . (ii) V P (iv) V (0) = SpecR, V (R) = ∅. Các tập hợp dạng V (I) với I là iđêan của vành R thoả mãn các tiên đề về họ tập đóng trong không gian tôpô. Khi đó X = SpecR trở thành một không gian tôpô với họ tập đóng là V (I) trong đó I là iđêan của vành R. Tôpô này được gọi là tôpô Zariski. Không gian tôpô Zariski được gọi là phổ của vành R. Mỗi tập hợp V (I) được gọi là tập đại số xác định bởi I . 1.2 Vành và môđun Noether 1.2.1 Môđun Noether. Cho M là một R-môđun. Môđun M được gọi là môđun Noether nếu mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng, nghĩa là nếu M1 ⊂ M2 ⊂ . . . ⊂ Mn ⊂ . . . là một dãy tăng các môđun con của M thì tồn tại một số tự nhiên m sao cho Mk = Mm với mọi k ≥ m. Định lí sau đây là những đặc trưng của môđun Noether. 1.2.2 Định lí. Cho môđun M . Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) M là môđun Noether; (ii) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại theo quan hệ thứ tự bao hàm; (iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Gọi S = {Ai | Ai là môđun con nào đó của M }. Lấy A1 ∈ S . Nếu A1 tối đại trong S ta có (ii). Nếu A1 không tối đại trong S thì sẽ ∃A2 ∈ S mà A1 ⊂ A2 . Lập luận A2 như A1 ta có A1 ⊂ A2 ⊂ A3 . Tiếp tục quá trình lập luận trên ta sẽ có một dãy tăng A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ Ak ⊂ . . .. Và do M là môđun Noether nên ∃k ∈ N∗ để Ak = Ak+1 = . . .. Do đó Ak tối đại trong S nên ta có (ii). 10 (ii) ⇒ (iii). Lấy A là môđun con bất kì của M . Xét tập hợp Γ = {môđun con hữu hạn sinh của A}. Ta thấy Γ là một tập hợp các môđun con của M nên Γ 6= ∅. Vì x ∈ A nên Rx ∈ Γ, Rx là xyclic nên hữu hạn sinh < x > = Rx = {rx| r ∈ R}. Do Γ thoả mãn (ii) nên Γ có phần tử tối đại là < x1 , x2 , . . . , xk > = C với xi ∈ A. Ta phải chứng minh < x1 , x2 , . . . , xk > = A. Ta sẽ sử dụng chứng minh phản chứng. Giả sử nếu < x1 , x2 , . . . , xk > * A khi đó sẽ ∃a ∈ A mà a∈ / < x1 , x2 , . . . , xk >. Lấy B = < x1 , x2 , . . . , xk , a > suy ra C * B điều này mâu thuẫn với tính tối đại của C do đó C = A hay là < x1 , x2 , . . . , xk > = A. Vậy A hữu hạn sinh, tức là ta có (iii). (iii) ⇒ (i). Lấy dãy tăng các môđun con của M như sau A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ Ak ⊂ . . . . (∗) Gọi A = S∞ i=1 An . Kiểm tra được A là môđun con của M theo (iii) nên ta có A hữu hạn sinh và A = < x1 , x2 , . . . , xk >. Do (∗) là dãy tăng nên ∃n ∈ N∗ để x1 , x2 , . . . , xk ∈ An . Suy ra < x1 , x2 , . . . , xk >⊆ An suy ra A ⊆ An . Mà S A= ∞ i=1 An nên An ⊆ A nên A = An tức là An = An+1 = . . .. Vậy dãy (∗) dừng nên M là môđun Noether, tức là ta có (i). 1.2.3 Ví dụ. a) Xét Z là Z-môđun thì Z là môđun Noether. b) V là không gian vectơ hữu hạn chiều thì V là một môđun Noether. 1.2.4 Vành Noether. Vành R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu I1 ⊂ I2 ⊂ . . . ⊂ In ⊂ . . . là dãy tăng các iđêan trong R thì tồn tại số tự nhiên m sao cho Ik = Im với mọi k ≥ m. Như vậy, vành R là Noether nếu nó là môđun Noether trên chính nó. Chúng ta có nhiều cách nhận biết vành Noether qua định lí đặc trưng của vành Noether như sau. 11 1.2.5 Định lí. Giả sử R là một vành. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) R là vành Noether; (ii) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại theo quan hệ thứ tự bao hàm; (iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh. 1.2.6 Ví dụ. a) Vành số nguyên Z là vành Noether, vì mọi iđêan của Z có dạng mZ (m ∈ Z) có nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh (sinh bởi một phần tử là mZ = < m >). b) Mọi trường X đều là vành Noether, vì trường X bất kì chỉ có hai iđêan là {0} và X nên dãy tăng các iđêan chỉ là {0} ⊆ X (dãy có hai phần tử), suy ra dãy dừng hoặc hai iđêan đều hữu hạn sinh (do {0} = < 0 >, X = < 1 >). 1.2.7 Linh hoá tử. Giả sử M là một R-môđun. Kí hiệu AnnR (M ) = {a ∈ R| aM = 0} = {a ∈ R| ax = 0, ∀x ∈ M }. Khi đó Ann(M ) là một iđêan của vành R và được gọi là linh hoá tử của môđun M . Chú ý, giả sử x ∈ M . Kí hiệu AnnR (x) = {a ∈ R| ax = 0}. Ta có Ann(x) là một iđêan của R. 1.2.8 Phần tử ước của không. Cho M là một R-môđun. Phần tử a ∈ R được gọi là một ước của không của M nếu tồn tại x ∈ M, x 6= 0 sao cho ax = 0. 1.2.9 Phần tử chính quy. Cho M là một R-môđun. Phần tử b ∈ R được gọi là phần tử chính quy của M nếu b không phải là ước của không của M . 1.2.10 Môđun các thương. Cho vành R và S ⊂ R. Tập hợp S được gọi là tập nhân đóng của vành R nếu ab ∈ S, 1 ∈ S với ∀a, b ∈ S . 12 Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề-các R × S = {(r, s)| r ∈ R, s ∈ S}. Xét quan hệ hai ngôi ∼ như sau: (r, s) ∼ (r0 , s0 ) ⇔ ∃t ∈ S : t(rs0 − r0 s) = 0. Dễ dàng chứng minh được quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên R×S . Khi đó R × S được chia thành các lớp tương đương (r, s) = {(r0 , s0 ) ∈ R × S| (r0 , s0 ) ∼ (r, s)}. Kí hiệu r/s thay cho (r, s) và S −1 R = R × S/∼ = {(r, s)| r ∈ R, s ∈ S}. Trang bị phép toán cộng (+) và nhân (·) trên S −1 R như sau: Phép toán cộng (+): Phép toán nhân (·): r/s + r0 /s0 = (rs0 + sr0 )/ss0 . r/s · r0 /s0 = rr0 /ss0 . Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện. Tập hợp S −1 R cùng với phép cộng và nhân như trên là một vành giao hoán có đơn vị. Phần tử không: 0/1 = 0/s với ∀s ∈ S . Phần tử đơn vị: 1/1 = s/s. Phần tử r/s = r0 /s0 ⇔ (r, s) ∼ (r0 , s0 ) ⇔ ∃t ∈ S : t(rs0 − r0 s) = 0. Cho M là một R-môđun và S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề-các M × S ta xét quan hệ hai ngôi ∼ như sau: (m, s) ∼ (m0 , s0 ) ⇔ ∃t ∈ S : t(s0 m − sm0 ) = 0. Dễ chứng minh được ∼ là quan hệ tương đương trên M × S . Khi đó M × S được chia thành các lớp tương đương. Với mỗi phần tử (m, s) ∈ M × S , kí 13 hiệu m/s là lớp tương đương chứa (m, s), tức là m/s = {(m0 , s0 ) ∈ M × S| (m0 , s0 ) ∼ (m, s)} = {(m0 , s0 ) ∈ M × S| ∃t ∈ S : t(s0 m − sm0 ) = 0}. Kí hiệu tập thương của M × S theo quan hệ tương đương ∼ là: S −1 M = M × S/∼ = {m/s| m ∈ M, s ∈ S}. Trên S −1 M ta có m/s = m0 /s0 ⇔ ∃t ∈ S : t(s0 m − sm0 ) = 0 và trang bị hai phép toán: Phép toán cộng (+): m/s + m0 /s0 = (s0 m + sm0 )/ss0 . Phép toán nhân với vô hướng (·) : r/s · m/s = rm/ts; với ∀m/s, m0 /s0 ∈ S −1 M ; ∀r/s ∈ S −1 R. Khi đó dễ kiểm tra thấy S −1 M là một S −1 R-môđun và gọi là môđun các thương của R theo tập nhân đóng S , với phần tử không là 0/1 = 0M /s, ∀s ∈ S . Nếu p là một iđêan nguyên tố của vành R thì S = R\p là một tập nhân đóng của vành R. Trong trường hợp này thay cho việc S −1 R ta viết Rp và thay cho việc S −1 M ta viết Mp . Khi đó Rp (tương ứng Mp ) được gọi là vành địa phương hoá (tương ứng môđun địa phương hoá ) của vành R (tương ứng môđun M ) tại iđêan nguyên tố p. 1.2.11 Mệnh đề. Cho S là một tập nhân đóng của vành giao hoán R. Nếu 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun thì 0 → S −1 M 0 → S −1 M → S −1 M 00 → 0 cũng là một dãy khớp ngắn. 14 1.2.12 Hệ quả. Giả sử N và P là các môđun con của R-môđun M . Khi đó S −1 (M/N ) ∼ = S −1 M/S −1 N. 1.2.13 Giá của môđun. Cho môđun M là một R-môđun. Ta gọi giá của môđun M là tập hợp được kí hiệu SuppR M = {p ∈ SpecR| Mp 6= 0} ⊆ SpecR. Chú ý, nếu M là môđun hữu hạn sinh thì SuppR M = V (AnnM ). 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun 1.3.1 Định nghĩa. Giả sử M là một R-môđun. Một iđêan nguyên tố p của vành R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M, x 6= 0 sao cho p = AnnR (x) = {a ∈ R| ax = 0}. Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR M (hoặc AssM nếu ta không để ý đến vành R). 1.3.2 Ví dụ. Giả sử p là một iđêan nguyên tố của vành R. Ta xét vành thương R/p như là R-môđun. Khi đó p là một iđêan nguyên tố liên kết của môđun R/p. Thật vậy, giả sử x là một phần tử khác không tuỳ ý của R/p, tức là x = x + p với x ∈ R, x ∈ / p. Ta có Ann(x) = {a ∈ R| ax = 0} = {a ∈ R| ax ∈ p} = {a ∈ R| a ∈ p} = {p}. Từ chứng minh trên ta còn suy ra p là iđêan nguyên tố duy nhất của môđun R/p. Do đó AssR (R/p) = {p}. 1.3.3 Mệnh đề. Giả sử M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên tố của vành R, p ∈ AssR M khi và chỉ khi M chứa một môđun con N sao cho N∼ = R/p. 15 Chứng minh. Giả sử p ∈ AssR M . Khi đó ∃x ∈ M, x 6= 0 sao cho p = Ann(x). Khi đó, ánh xạ f : R → N biến a 7→ ax là một R-toàn cấu môđun. Ta có Kerf = {a ∈ R| ax = 0} = p. Theo định lí đồng cấu môđun ta có N ∼ = R/Kerf = R/p. Ngược lại, giả sử tồn tại một môđun con N của M sao cho N ∼ = R/p. Lấy phần tử tuỳ ý x ∈ N, x 6= 0, do đó x ∈ M . Do N ∼ = R/p nên mỗi phần tử của N có thể được viết dưới dạng x = x + p với x ∈ R. Chứng minh như Ví dụ 1.3.2, ta có AssR (x) = p. Do đó p ∈ AssR M . P là tập hợp tất cả các iđêan của R có dạng Ann(x) P với x ∈ M, x = 6 0. Nếu p là phần tử cực đại trong theo quan hệ bao hàm 1.3.4 Mệnh đề. Kí hiệu thì p ∈ AssM . Chứng minh. Để chứng minh p ∈ AssR M ta chỉ cần chứng minh p là iđêan nguyên tố. Thật vậy, giả sử p = Ann(x) với x ∈ M, x 6= 0. Lấy ∀a, b ∈ R, với ab ∈ p và b ∈ / p. Khi đó, bx 6= 0 và abx = 0. Suy ra a ∈ AnnR (bx). Mặt P khác, ta lại có AnnR (bx) ⊇ AnnR (x) = p. Do Ann(bx) ∈ và p là phần tử P cực đại của nên p = AssR (bx). Do đó a ∈ p. Vậy p là iđêan nguyên tố. Từ kết quả trên ta suy ra được các hệ quả sau. 1.3.5 Hệ quả. M = 0 khi và chỉ khi AssR M = ∅. Chứng minh. Nếu M = 0. Khi đó tập hợp P = ∅. Do đó AssR M = ∅. Ngược lại, nếu AssR M = ∅. Ta phải chứng minh M = 0. Giả sử, M 6= 0. P Khi đó, ∃x ∈ M mà x 6= 0. Do đó tập hợp 6= ∅. Vì R là vành Noether P nên mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại. Suy ra có phần tử cực đại và theo Mệnh đề 1.3.4, phần tử đó thuộc AssR M . Điều này mâu thuẫn với giả thiết AssR M = ∅. Vậy M = 0. 16 Chú ý, từ Hệ quả 1.3.5 ta suy ra M 6= 0 khi và chỉ khi AssR M 6= ∅. 1.3.6 Hệ quả. Kí hiệu D là tập hợp tất cả các ước của không của M . Khi đó D= [ p. p∈AssR M Chứng minh. Giả sử a ∈ D. Khi đó, ∃x ∈ M, x 6= 0 sao cho ax = 0. Suy ra a ∈ Ann(x). Theo Mệnh đề 1.3.4, ∃p ∈ AssR M sao cho p ⊇ Ann(x) nên S a ∈ p. Do đó D ⊆ p∈AssR M p. S Giả sử b ∈ p∈AssR M p. Khi đó, ∃p ∈ AssR M sao cho b ∈ p. Mặt khác, do p ∈ AssR M nên ∃x ∈ M, x 6= 0 sao cho p = AssR M . Từ đó b ∈ Ann(x) hay S bx = 0. Do đó b ∈ D. Suy ra p∈AssR M p ⊆ D. 1.3.7 Mệnh đề. Cho S là một tập nhân đóng của vành R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó: AssR (S −1 M ) = AssR M ∩ {p ∈ SpecR| p ∩ S = ∅}. 1.3.8 Bổ đề. Giả sử 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun. Khi đó: (i) AssR M 0 ⊆ AssR M ⊆ AssR M 0 ∪ AssR M 00 ; (ii) SuppR M = SuppR M 0 ∪ SuppR M 00 . Chứng minh. (i) Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết M 0 là môđun con của M và M 00 = M/M 0 . Vì M 0 là môđun con của M nên theo định nghĩa, ta có AssR M 0 ⊆ AssR M . Giả sử p ∈ AssR M . Theo Mệnh đề 1.3.3, tồn tại một môđun con N của M sao cho N ∼ = R/p. Nếu N ∩ M 0 6= 0, thì ∃x 6= 0 và x ∈ N ∩ M 0 . Vì N∼ = R/p và R/p là miền nguyên nên Ann(x) = p. Do đó, p ∈ AssR M . Suy ra, p ∈ AssR M 0 ∪ AssR M 00 . Nếu N ∩ M 0 = 0 thì có thể xem N là môđun con của M 00 . Do đó p ∈ AssR M 00 . 17 Từ các chứng minh trên ta có AssR M 0 ⊆ AssR M ⊆ AssR M 0 ∪ AssR M 00 . (ii) Theo Mệnh đề 1.2.11, từ dãy khớp 0 → M 0 → M → M 00 → 0 ta có dãy sau cũng khớp 0 → Mp0 → Mp → Mp00 → 0 với ∀p ∈ SpecR. Do đó, nếu p ∈ / SuppM , tức là Mp = 0 thì ta suy ra Mp0 = 0 và Mp00 = 0 nên p ∈ / SuppM 0 và p ∈ / SuppM 00 . Điều đó chứng tỏ rằng SuppM ⊆ SuppM 0 ∪ SuppM 00 . Mặt khác, giả sử p ∈ SuppM 00 . Khi đó Mp 6= 0. Ta suy ra Mp0 và Mp00 không thể đồng thời bằng 0. Vì nếu như vậy thì Mp = 0. Do đó Mp0 6= 0 hoặc Mp00 6= 0 hay p ∈ SuppM 0 ∪ SuppM 00 . 1.3.9 Định lí. Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun. Khi đó AssR M ⊆ SuppR M và bất kì phần tử tối thiểu nào của SuppM theo quan hệ bao hàm đều thuộc AssR M . Chứng minh. Giả sử p ∈ AssR M . Theo Mệnh đề 1.3.3 thì R/p đẳng cấu với một môđun con của M . Do đó ta có dãy khớp 0 → R/p → M . Áp dụng Mệnh đề 1.2.11, ta có dãy khớp 0 → Rp /pRp → Mp . Do Rp /pRp là trường thặng dư của vành Rp nên Rp /pRp 6= 0. Do đó Mp 6= 0 hay p ∈ SuppM . Vậy AssR M ⊆ SuppR M . Giả sử p là thành phần cực tiểu của SuppM (theo quan hệ thứ tự bao hàm). Khi đó Mp = 0. Ta có SpecR = {qRp | q ⊆ p; q ∈ SpecR}. Do đó SuppRp Mp = {pRp }. Mặt khác, do Mp 6= 0 nên AssRp Mp 6= 0 bởi Hệ quả 1.3.5. Theo chứng minh trên ta lại có AssRp Mp ⊆ SuppRp Mp = {pRp }. Do đó AssRp Mp = {pRp }. Suy ra AssRp Mp = {p}. Áp dụng Mệnh đề 1.3.7, ta có AssRp Mp = AssR M ∩ {q ∈ SpecR| q ⊆ p}. Từ đó suy ra p ∈ AssR M . 18 1.3.10 Định lí. Giả sử M là R-môđun Noether khi đó tập hợp AssR M là hữu hạn. Chứng minh. Nếu M = 0 thì AssR M = ∅ bởi Hệ quả 1.3.5. Giả sử M 6= 0 ta có AssR M 6= ∅. Do đó ∃p1 ∈ AssR M . Theo Mệnh đề 1.3.3, tồn tại môđun con M1 ⊂ M sao cho M1 ∼ = R/p1 . - Nếu M1 6= M thì M/M1 6= 0, suy ra ∃p2 ∈ AssR (M/M1 ) 6= 0. Do đó tồn tại môđun con M2 ⊆ M và M2 ⊇ M để M/M1 ∼ = M2 /M1 . - Nếu M2 6= M1 lại tiếp tục quá trình trên với M1 /M2 , . . . ta tìm được một dãy tăng các môđun con của M là 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ . . . ⊂ Mn = M , dãy này là hữu hạn vì M là môđun Noether và dãy có tính chất Mi /Mi+1 ∼ = R/pi trong đó pi ∈ SpecR. Ta có các dãy khớp ngắn 0 → M1 → M2 → M2 /M1 → 0, 0 → M2 → M3 → M3 /M2 → 0, ... 0 → Mn−1 → Mn → Mn /Mn−1 → 0. Áp dụng Bổ đề 1.3.8 (i) vào các dãy khớp trên ta có AssR M ⊆ AssR (M2 /M1 )∪ AssR (M3 /M2 )∪. . .∪AssR (Mn /Mn−1 ) = {p1 }∪{p2 }∪. . .∪{pn } = {p1 , p2 , . . . , pn }. (vì Mi /Mi−1 ∼ = R/pi với pi ∈ SpecR nên suy ra AssR (Mi /Mi−1 ) = {pi }). Vậy tập hợp AssR M hữu hạn. 1.4 Môđun con nguyên sơ Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một R-môđun M . Khi đó với mỗi a ∈ R, thì qui tắc λa : M → M cho bởi λa (x) = ax với ∀x ∈ M , là một tự đồng cấu của M . Đồng cấu này được gọi là đồng cấu nhân bởi phần tử a cho M . 19 1.4.1 Chú ý. (i) λa là đơn cấu khi và chỉ khi a không là ước của không trong M , điều này tương đương với 0 : a = {x ∈ M | ax = 0} = 0. (ii) λa là luỹ linh nếu và chỉ nếu ∃n ∈ N∗ để an M = 0, tương đương với √ an ∈ AnnM , hay a ∈ AnnM . √ (iii) Nếu M 6= 0 thì mỗi phần tử a ∈ R không thể đồng thời vừa thuộc AnnM , vừa không thể là ước của không trong M , tức là λa không thể vừa là đơn cấu, vừa là luỹ linh. 1.4.2 Định nghĩa. Môđun con N của một R-môđun M được gọi là một môđun con nguyên sơ của M nếu N 6= M , đồng thời với mỗi a ∈ R thì đồng cấu nhân λa : M/N → M/N hoặc đơn cấu hoặc luỹ linh. Từ Định nghĩa 1.4.2 ta thấy, một môđun con thực sự N của M là một môđun con nguyên sơ khi và chỉ khi, với mỗi a ∈ R mà ∃x ∈ M \N làm cho ax ∈ N , thì ∃n để an M ⊂ N . 1.4.3 Mệnh đề. Nếu N là một môđun con nguyên sơ của môđun M . Khi √ p đó tập hợp p = rM (N ) = N : M = Ann(M/N ) là một iđêan nguyên tố. Trong trường hợp này, người ta gọi N là môđun con p-nguyên sơ của M . Chứng minh. Nếu N là một môđun con nguyên sơ của M thì rM (N ) là tập tất cả những phần tử a ∈ R làm cho đồng cấu nhân λa : M/N → M/N không là đơn cấu. Mặt khác, nếu ab ∈ rM (N ), tức là λab = λa λb không là đơn cấu, thì một trong hai đồng cấu λa hoặc λb sẽ không là đơn cấu. Điều đó rút ra hoặc a ∈ rM (N ), hoặc b ∈ rM (N ). Chú ý rằng đồng cấu đồng nhất λ1 là đơn cấu, nên 1 ∈ / rM (N ). Vậy rM (N ) là một iđêan nguyên tố. Từ Mệnh đề 1.4.3, ta có hệ quả sau. 20 1.4.4 Hệ quả. Nếu q là iđêan nguyên sơ của vành R thì p = √ q là một iđêan nguyên tố và q cũng được gọi là iđêan p-nguyên sơ. Chú ý rằng, chiều ngược lại của mệnh đề trên nói chung là không đúng. Trong trường hợp iđêan cực đại, ta có mệnh đề sau. √ 1.4.5 Mệnh đề. Nếu I = m là một iđêan cực đại của vành R thì I là một iđêan m-nguyên sơ. Chứng minh. Giả sử ab ∈ I và b ∈ / √ I = m. Từ tính cực đại của m, ta có m + Rb = R. Do đó ∃x ∈ m và r ∈ R để x + rb = 1 và ∃k để xk ∈ I . Từ đó rút ra I = (x + rb)k = xk + sb và do đó a = axk = sab ∈ I . Vậy I là một iđêan m-nguyên sơ. Từ Mệnh đề 1.4.5 ta nhận được hệ quả sau. 1.4.6 Hệ quả. Luỹ thừa của một iđêan cực đại là một iđêan nguyên sơ. 1.4.7 Mệnh đề. Nếu N1 , N2 là các môđun con p-nguyên sơ của M thì N = N1 ∩ N2 cũng là một môđun con p-nguyên sơ của M . Chứng minh. Giả sử rM (N1 ) = rM (N2 ) = p. Khi đó với mỗi a ∈ p, ∃n1 và ∃n2 để an1 M ⊂ N1 và an2 M ⊂ N2 . Do đó an1 +n2 M ⊂ N hay a ∈ rM (N ). Ngược lại, với mỗi a ∈∈ rM (N ), thì ∃n để an M ⊂ N = N1 ∩ N2 , nghĩa là a ∈ p. Do vậy rM (N ) = p. Ta còn phải chứng minh N là nguyên sơ. Thật vậy, với ∀a ∈ R, x ∈ M sao cho ax ∈ N . Suy ra ax ∈ N1 và ax ∈ N2 . Điều đó dẫn đến a ∈ p hoặc x ∈ N1 ∩ N2 . Do đó nếu a ∈ / rM (N ) = p thì x ∈ N1 ∩ N2 = N . Vậy N là một môđun con nguyên sơ.