Tài liệu Sự mở rộng tính Compact của lũy thừa Tychonoff của 2 trong ZF

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ∗∗∗∗∗∗∗ LÊ KHẮC HIẾU SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA 2 TRONG ZF Chuyên Ngành: HÌNH HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành Phố Hồ Chí Minh — 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ∗∗∗∗∗∗∗ LÊ KHẮC HIẾU K34.101.024 SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA 2 TRONG ZF Chuyên Ngành: HÌNH HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN TS. NGUYỄN HÀ THANH F TP. Hồ Chí Minh — 2012 F LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến chị Phạm Thị Tuyết đã tạo mọi điều kiện để em hoàn thành luận văn này. Đặc biệt, em trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy TS. Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập cũng như trong quá trình làm luận văn này. TP. HCM, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Lê Khắc Hiếu 1 LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta làm việc trong mô hình ZF nghĩa là lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel không có tiên đề chọn. Ta nghiên cứu các hình thức khác nhau của định lý tính compact Tychonoff cho không gian tôpô dưới dạng 2X (2X là không gian các ánh xạ từ X vào 2 = {0, 1}) và sức mạnh suy diễn của chúng theo trật tự các hệ quả của tiên đề chọn. Đây là sự tiếp nối của một nghiên cứu không gian compact của 2X được bắt đầu bởi J. Mycielski (xem [12]) và được tiếp tục bởi K. Keremedis và E. Tachtsis trong một bài báo khoa học xuất bản năm 2010. Cụ thể ta nghiên cứu sức mạnh của tính compact trong lý thuyết tập hợp cũng như sự mở rộng tính compact như compact đếm được, compact-n , n ∈ N cho tích Tychonoff của không gian rời rạc 2 = {0, 1}. Đó chính là vấn đề sẽ được trình bày trong luận văn này. Luận văn với đề tài "Sự mở rộng tính compact của lũy thừa Tychonoff của 2 trong ZF" được chia làm 3 chương. Chương 1. Trình bày một số định nghĩa cơ sở và vài định lý mở đầu được sử dụng để chứng minh. Mục đích của chương này giúp người đọc có cơ sở hiểu rõ cốt lõi bài luận văn ở Chương 2 và Chương 3. Chương 2. Trình bày tính compact đếm được và compact-n (n ∈ N) của tích Tychonoff 2X , ∀X. Chương 3. Xem xét tính compact đếm được và compact-n (n ∈ N, n > 1) của tích Tychonoff 2R . Mục đích của bài luận văn này là nghiên cứu sự mở rộng tính compact là compact đếm được và compact-n, ∀n ∈ N của 2X , ∀X và 2R . 2 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời nói đầu 2 Mục lục 3 Bảng ký hiệu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bản số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Không gian tôpô. Không gian tôpô con . . . . 1.4 Cơ sở. Tiền cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Lân cận. Điểm trong. Điểm giới hạn. Tập mở 1.6 Điểm dính. Tập đóng. Tập trù mật . . . . . . . 1.7 Ti −không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Các tiên đề Zermelo-Fraenkel . . . . . . . . . 1.9 Lọc, siêu lọc và ideal . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Đại số Boolean. Ideal trên đại số Boolean . . 1.11 Compact. Compact đếm được . . . . . . . . . 1.12 Compact hóa một điểm . . . . . . . . . . . . . .. 1.13 Lindelof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 Loeb. Loeb đếm được . . . . . . . . . . . . . . 1.15 Compact-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16 Các định lý mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 7 7 8 8 9 10 11 12 13 13 13 14 14 15 2 Tính compact đếm được và compact-n của 2X 19 3 Tính compact đếm được và compact-n của 2R 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 39 3 BẢNG KÝ HIỆU TP(2X ) : 2X là compact. TPC(2X ) : 2X là compact đếm được. AC(X) : P(X)\{∅} có một hàm chọn. Dom(f ) : Miền xác định của hàm f . Ran(f ) : Miền giá trị của hàm f . p ⊂ f : p là ánh xạ hạn chế của f . Với n ∈ N, ACf in(X) : Mọi họ các tập con hữu hạn khác rỗng của X có một hàm chọn. AC(≤ n, X) : Mọi họ các tập con khác rỗng ≤ n phần tử của X có một hàm chọn. CAC(≤ n, X) : AC(≤ n, X) thu hẹp trên các họ đếm được. ACdis (n, X) : Mọi họ rời nhau các tập con khác rỗng gồm n phần tử của X có một hàm chọn. CACdis (n, X) : ACdis (n, X) thu hẹp trên các họ đếm được. BPI : Mọi đại số Boolean đều có một ideal nguyên tố. UF(ω) : Tồn tại một siêu lọc tự do trên ω. AC : Mọi họ các tập hợp khác rỗng có một hàm chọn. CAC : AC thu hẹp trên các họ đếm được. CACf in : AC thu hẹp trên họ đếm được các tập hữu hạn khác rỗng. CAC(R) : AC thu hẹp trên họ đếm được các tập con khác rỗng của R. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quan hệ thứ tự Quan hệ hai ngôi ≤ trên tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự nếu các điều kiện sau thỏa mãn: a) Phản xạ: x ≤ x, ∀x ∈ X. b) Phản đối xứng: ∀x, y ∈ X, nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y. c) Bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X, nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z. Tập hợp X đã trang bị một quan hệ thứ tự ≤ được gọi là tập sắp thứ tự. Nếu x ≤ y, ta nói x đứng trước y, hay x nhỏ hơn hoặc bằng y. Khi x ≤ y và x 6= y, ta sẽ viết x < y. Ta nói hai phần tử x và y trong X là so sánh được nếu x ≤ y hoặc y ≤ x. Cho X là tập sắp thứ tự. Phần tử a ∈ X được gọi là phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) trong X, nếu ∀x ∈ X, x ≤ a (tương ứng a ≤ x) ⇒ x = a. Trong một tập sắp thứ tự không nhất thiết phải luôn có phần tử tối tiểu (tối đại), và cũng có thể có nhiều phần tử tối tiểu (tối đại) khác nhau. Giả sử A ⊂ X. Phần tử a ∈ X được gọi là cận dưới (tương ứng cận trên) của tập A, nếu ∀x ∈ A, ta luôn có a ≤ x (tương ứng x ≤ a). 5 Nếu tập con A ⊂ X có cận dưới (tương ứng cận trên) thì ta nói A bị chặn dưới (tương ứng chặn trên). Tập A được gọi là bị chặn (hay giới nội) nếu A đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên. Ta ký hiệu DA là tập tất cả các cận dưới của A. Nếu DA 6= ∅ và a0 ∈ DA thỏa mãn a ≤ a0 , ∀a ∈ DA thì a0 được gọi là cận dưới đúng của tập A, ký hiệu là a0 = inf A. Ta ký hiệu TA là tập tất cả các cận trên của A. Nếu TA 6= ∅ và a0 ∈ TA thỏa mãn a0 ≤ a, ∀a ∈ TA thì a0 được gọi là cận trên đúng của tập A, ký hiệu là a0 = sup A. Phần tử x0 ∈ A được gọi là phần tử bé nhất (tương ứng lớn nhất) của A nếu ∀x ∈ A luôn có x0 ≤ x (tương ứng x ≤ x0 ). Ta nói tập X được sắp thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) nếu ∀x, y ∈ X thì x ≤ y hoặc y ≤ x. Khi đó ta cũng nói ≤ là quan hệ thứ tự toàn phần trên X. Tập sắp thứ tự toàn phần X được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của X luôn có phần tử bé nhất. 1.2 Bản số Hai tập X và Y gọi là cùng bản số (hay cùng lực lượng tập hợp) nếu có một song ánh từ X vào Y , ký hiệu |X| = |Y |. Tập X gọi là đếm được nếu X có cùng bản số với N, khi đó các phần tử trong X được đánh thứ tự X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}. Tập con của N gọi là hữu hạn nếu nó có phần tử lớn nhất, tập hợp có cùng bản số với tập hữu hạn trong N cũng gọi là hữu hạn. Ngược lại gọi là tập vô hạn. Tập vô hạn và không đếm được được gọi là tập không đếm được, một tập không phải là không đếm được thì gọi là cùng lắm đếm được, đó là 6 tập trống, hữu hạn hay đếm được. 1.3 Không gian tôpô. Không gian tôpô con Cho X là tập hợp khác rỗng và T là một họ các tập con của X sao cho: (i) ∅, X ∈ T . (ii) U, V ∈ T ⇒ U ∩ V ∈ T . S (iii) Vi , ∀ i ∈ I ⇒ Vi ∈ T . i∈I Khi đó T gọi là một tôpô trên X và (X, T ) là một không gian tôpô. Mỗi phần tử của T được gọi là tập T -mở hay đơn giản hơn là tập mở. Cho (X, T ) là một không gian tôpô và Y ⊂ X. Khi đó tôpô trên Y xác định bởi: TY = {G ∩ Y : G ∈ T } gọi là tôpô cảm sinh trên Y (TY là tôpô trên Y cảm sinh từ tôpô T trên X). Không gian tôpô (Y, TY ) gọi là không gian con của không gian (X, T ). 1.4 Cơ sở. Tiền cơ sở Một họ σ các tập con của tôpô T trên tập X được gọi là một cơ sở của tôpô T nếu mỗi phần tử của T là hợp của một họ S nào đó các phần tử của σ, nghĩa là ∀A ∈ T, A = Bi . Nói cách khác, Bi ∈σ σ là cơ sở của T nếu ∀G ∈ T, ∀x ∈ G, ∃Gx ∈ σ : x ∈ Gx ⊂ G. Một họ σ các tập con của tôpô T trên tập X được gọi là một tiền cơ sở của tôpô T trên X nếu họ các giao hữu hạn các phần tử của σ tạo thành một cơ sở của T . Nói cách khác, σ là tiền cơ sở của T nếu ∀G ∈ T, ∀x ∈ G, ∃W1 , W2 , . . . , Wn ∈ σ : x ∈ W1 ∩ W2 ∩ . . . ∩ Wn ⊂ G. Một tôpô có thể có nhiều tiền cơ sở khác nhau. Hiển nhiên, một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó. 7 1.5 Lân cận. Điểm trong. Điểm giới hạn. Tập mở Cho (X, T ) là một không gian tôpô. Tập con U ⊂ X gọi là một lân cận của điểm a ∈ X nếu tồn tại tập mở G sao cho a ∈ G ⊂ U . Họ tất cả các lân cận của điểm a gọi là hệ lân cận của a, ký hiệu Ua . Họ Va ⊂ Ua được gọi là một cơ sở lân cận hay cơ sở địa phương của điểm a nếu ∀U ∈ Ua , ∃V ∈ Va sao cho a ∈ V ⊂ U . Cho tập A ⊂ X. Điểm a ∈ X gọi là điểm trong của A nếu tồn tại U mở chứa a sao cho U ⊂ A. o Tập tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A, kí hiệu là A. Điểm a ∈ X gọi là điểm giới hạn hay điểm tụ của A nếu mọi U mở chứa a đều có U ∩ (A\{a}) 6= ∅. o Tập A mở nếu và chỉ nếu A = A hay Tập A mở nếu và chỉ nếu ∀ x ∈ A ⇒ ∃ U mở chứa x sao cho U ⊂ A. 1.6 Điểm dính. Tập đóng. Tập trù mật Cho (X, T ) là một không gian tôpô và M ⊂ X. Điểm x ∈ X gọi là điểm dính của tập M nếu mọi U mở chứa x đều có U ∩ M 6= ∅. Tập tất cả các điểm dính của M kí hiệu là M và gọi là bao đóng của M . o Khi đó M = X\(X\ M). Tập M đóng nếu và chỉ nếu M = M hay Tập M đóng nếu và chỉ nếu X\M mở. Cho các tập con M, N ⊂ X. Tập M gọi là trù mật trong tập N nếu N ⊂ M. Tập M gọi là trù mật (trù mật khắp nơi) nếu M = X. 8 1.7 Ti−không gian Cho X là không gian tôpô. X được gọi là To −không gian nếu với mỗi cặp điểm khác nhau tồn tại một lân cận của một trong hai điểm không chứa điểm kia. X được gọi là T1 −không gian nếu mọi cặp điểm khác nhau x, y ∈ X có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. X được gọi là T2 −không gian hay không gian Hausdorff hay không gian phân ly nếu mọi cặp điểm khác nhau tồn tại hai lân cận rời nhau, nghĩa là :  ∀x, y ∈ X : x 6= y ⇒ ∃U mở chứa x : U ∩ V = ∅. ∃V mở chứa y Ví dụ. 1. R với họ các tập mở xây dựng từ các quả cầu là một không gian tôpô và gọi là tôpô thông thường. 2. Cho tập X khác rỗng. Ta có: • P(X): Họ tất cả các tập con của X là một tôpô trên X, đó là tôpô lớn nhất trên X và gọi là tôpô rời rạc. • T0 = {∅, X} cũng là một tôpô trên X, đó là tôpô nhỏ nhất trên X và gọi là tôpô thô hay tôpô phi rời rạc. X gọi là T3 −không gian nếu mọi x ∈ X và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U, V sao cho x ∈ U, F ⊂ V và U ∩ V = ∅. X gọi là không gian chính quy nếu X vừa là T1 −không gian vừa là T3 −không gian. X gọi là T3 1 −không gian hay không gian hoàn toàn chính quy hay 2 không gian Tychonoff nếu X là T1 −không gian và với mỗi a ∈ X và mỗi tập con đóng F của X không chứa a, tồn tại hàm liên tục f : X → [0, 1] sao cho f (a) = 0, f (x) = 1, ∀x ∈ F . Nhận xét. X là T3 1 −không gian ⇒ X là không gian chính quy ⇒ X là 2 T2 −không gian ⇒ X là T1 −không gian ⇒ X là To −không gian. 9 1.8 Các tiên đề Zermelo-Fraenkel 1. Tiên đề mở rộng. Nếu X và Y đều có cùng phần tử thì X = Y . ∀u(u ∈ X ↔ u ∈ Y ) → X = Y 2. Tiên đề cặp. Với a, b tùy ý, tồn tại tập hợp {a, b} chứa đúng hai phần tử a và b. ∀a ∀b ∃X ∀x (x ∈ X ↔ x = a ∨ x = b) 3. Tiên đề tách. Nếu P là một tính chất (với tham số p) thì với X và p bất kỳ tồn tại Y = {u ∈ X : P (u, p)} là tập hợp chứa tất cả u ∈ X thỏa mãn tính chất P . ∀X ∀p ∃Y ∀u (u ∈ Y ↔ u ∈ X ∧ P (u, p)) 4. Tiên đề hợp. Với X bất kỳ, tồn tại Y = S X là hợp của tất cả các phần tử của X. ∀X ∃Y ∀u (u ∈ Y ↔ ∃z(u ∈ z ∧ z ∈ X)) 5. Tiên đề lực lượng tập hợp. Với X bất kỳ, tồn tại Y = P(X) là tập hợp của tất cả các tập con của X. ∀X ∃Y ∀u (u ∈ Y ↔ u ⊂ X) 6. Tiên đề vô tận. Tồn tại một tập hợp vô hạn. ∃S [∅ ∈ S ∧ ∀u (u ∈ S → {u} ∈ S)] 7. Tiên đề thế. Nếu một lớp F là một hàm thì với X bất kỳ tồn tại Y = F (X) = {F (x) : x ∈ X}. 8. Tiên đề chính quy. Mọi tập hợp khác rỗng đều có một phần tử ∈ −tối tiểu. (∀S 6= ∅) (∃x ∈ S) [x ∩ S = ∅] 9. Tiên đề chọn. Mọi họ các tập hợp khác rỗng có một hàm chọn, nghĩa là đối với một họ tùy ý F gồm các tập hợp khác rỗng Ai , i ∈ I, tồn 10 tại một ánh xạ f sao cho f (Ai ) ∈ Ai với mọi i ∈ I. Khi đó f gọi là hàm chọn trên F. Ví dụ. Cho họ F gồm các tập hợp được biểu diễn dưới dạng {a, b} với a, b ∈ R. Khi đó f ({a, b}) = min(a, b) là một hàm chọn trên F. Hệ thống gồm 8 tiên đề đầu tiên được gọi là lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel và còn được kí hiệu là ZF. Hệ gồm 9 tiên đề trên kí hiệu là ZFC. Ngoài ra có một số sự tiên đề hóa trong ZF, cụ thể là ta sử dụng tiên đề hóa của T. J. Jech [3]. Chỉ với những thay đổi nhỏ của các tiên đề, nó có thể cho phép sự tồn tại của các đơn tử trong lý thuyết tập hợp. Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel với các đơn tử nhưng không có tiên đề chọn được ký hiệu là ZFA. 1.9 Lọc, siêu lọc và ideal Một tập hợp F ⊂ P(X)\{∅} được gọi là một lọc trên X nếu thỏa mãn: (i) Nếu F1 , F2 ∈ F thì F1 ∩ F2 6= ∅. (ii) Nếu F ∈ F và F ⊂ G thì G ∈ F. T Một lọc F được gọi là tự do nếu F = ∅. Một lọc F gọi là tối đại trên X nếu với mọi lọc G sao cho F ⊂ G thì F = G. Một lọc tối đại trên X còn được gọi là một siêu lọc trên X. Nói cách khác, lọc F là siêu lọc trên X nếu với mỗi G ⊂ X thì hoặc G ∈ F hoặc X\G ∈ F. Ví dụ. 1. Lọc tầm thường. F = {X}. 2. Lọc chính. Cho ∅ 6= Xo ⊂ X, lọc F = { F ⊂ X : F ⊃ Xo } là lọc chính trên X. Cho (X, T ) là một không gian tôpô và F là một lọc trên X. Ta nói F hội tụ đến một điểm x ∈ X nếu mọi lân cận mở của x đều thuộc về F. 11 Một họ I các tập con của một tập X khác rỗng bất kì là một ideal trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây: (1) ∅ ∈ I và X ∈ / I. (2) Nếu A, B ∈ I thì A ∪ B ∈ I. (3) Nếu A, B ⊂ X, A ∈ I và B ⊂ A thì B ∈ I. Nhận xét. Nếu F là một lọc trên X thì I = {X −F : F ∈ F} là một ideal trên X. Và ngược lại nếu I là một ideal trên X thì F = {X − F : F ∈ I} là một lọc trên X. Đây là hai khái niệm đối ngẫu với nhau. Đối ngẫu với khái niệm siêu lọc là khái niệm ideal nguyên tố: Với mỗi F ⊂ X thì F ∈ I hoặc X − F ∈ I. 1.10 Đại số Boolean. Ideal trên đại số Boolean Một đại số Boolean là một tập hợp B với ít nhất hai phần tử 0 và 1, được trang bị hai phép toán hai ngôi + và . và một phép toán một ngôi −. Những phép toán Boolean thỏa mãn các tiên đề sau đây: (i) Tính giao hoán. u + v = v + u, u.v = v.u (ii) Tính kết hợp. (u + v) + w = u + (v + w), (iii) Tính phân phối. u.(v +w) = u.v +u.w, (iv) Tính hút. u.(u + v) = u, (v) Tính bù . u + (−u) = 1, (u.v).w = u.(v.w) u+(v.w) = (u+v).(u+w) u + u.v = u u.(−u) = 0 Cho B là một đại số Boolean. I là tập con của B sao cho: (1) 0 ∈ I, 1 ∈ / I. (2) Nếu u ∈ I và v ∈ I thì u + v ∈ I. (3) Nếu u, v ∈ B, u ∈ I và v ≤ u thì v ∈ I. Khi đó ta nói I là một ideal trên B. Một ideal I trên B là một ideal nguyên tố nếu với mọi u ∈ B, hoặc u ∈ I hoặc −u ∈ I. 12 1.11 Compact. Compact đếm được Cho (X, T ) là một không gian tôpô. X là compact nếu mọi phủ mở của X đều chứa một phủ con hữu hạn, nghĩa là nếu (Vα )α∈I là một phủ mở của X thì tồn tại α1 , . . . , αn ∈ I : n S X⊂ Vαk . Nói cách khác, X là compact nếu mọi họ G các tập con đóng k=1 T của X có tính giao hữu hạn đều có G 6= ∅, nghĩa là mọi họ tập đóng n T T Aα 6= ∅. Aαk 6= ∅ thì (Aα )α∈I sao cho nếu α1 , α2 , . . . , αn ∈ I ⇒ k=1 α∈I X là compact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X đều chứa một phủ con hữu hạn. Nói cách khác, X là compact đếm được nếu mọi họ đếm được G các tập con đóng của X có tính giao hữu hạn đều có T G 6= ∅. Một phủ U của X được gọi là một phủ tối tiểu của X nếu với mỗi U ∈ U, U\{U } không phủ X. Ta nói rằng X có tính phủ tối tiểu nếu mỗi phủ mở U của X có chứa phủ con tối tiểu V. Nhận xét. Trong ZF, mọi không gian tôpô compact đều có tính phủ tối tiểu. Mặt khác, mọi không gian tôpô chưa hẳn là có tính phủ tối tiểu. Ví dụ. Xét một đường thẳng số thực R với tôpô thông thường. Rõ ràng U = {(−n, n) : n ∈ N} là một phủ mở của R và không có phủ con tối tiểu. 1.12 Compact hóa một điểm b = X ∪ {a} là compact hóa Alexandroff (compact hóa một Ký hiệu X điểm) của không gian rời rạc X với a ∈ / X. b compact và Hausdorff trong ZF. X 1.13 .. Lindelof .. X là Lindelof nếu mọi phủ mở của X đều chứa một phủ con đếm được. 13 1.14 Loeb. Loeb đếm được X là Loeb nếu mọi họ các tập con đóng khác rỗng của X đều có một hàm chọn. X là Loeb đếm được nếu mọi họ đếm được các tập con đóng khác rỗng của X đều có một hàm chọn. 1.15 Compact-n Cho X là một tập hợp khác rỗng. 2X kí hiệu cho tích Tychonoff của không gian rời rạc 2 = {0, 1} và BX = {[p] : p ∈ F n(X, 2)} biểu thị cơ sở đóng mở tiêu chuẩn cho tôpô trên 2X , trong đó F n(X, 2) là tập hợp tất cả các hàm riêng hữu hạn từ X vào 2 và [p] = {f ∈ 2X : p ⊂ f }. Chú ý rằng một tập đóng cơ sở của 2X S có dạng khá đơn giản là [p]c = {πi−1 (p(i)) : i ∈ Dom(p)} với πi là phép chiếu chính tắc của 2X lên bản sao thứ i của 2. Với mỗi n ∈ N, đặt BnX = {[p] ∈ BX : |p| = n}. Ta gọi các phần tử của BnX , n ∈ N là các tập đóng mở n-cơ sở của 2X . Rõ ràng, BX = [ {BnX : n ∈ N}. Một tập hợp đóng mở O của 2X được gọi là bị hạn chế (bị thu hẹp) nếu tồn tại một tập hữu hạn Q ⊂ X và các phần tử pi ∈ 2Q , i = 1, 2, . . . , k với k ∈ N sao cho O = [p1 ] ∪ [p2 ] ∪ . . . ∪ [pk ] (F) và không có Q0 thực sự nào khác có tính chất như Q mà O có thể biểu diễn được dưới hình thức (F). Q được gọi là tập hợp các tọa độ bị hạn chế của O và pi ∈ 2Q , i = 1, 2, . . . , k, được gọi là các tọa độ của O. 14 Với mỗi n ∈ N, EnR (2X ) (hay đơn giản hơn là EnR ) kí hiệu cho tập hợp của tất cả các tập đóng mở bị hạn chế O và với mỗi O có tập hợp các tọa độ bị hạn chế cỡ n. Cho n ∈ N, 2X là compact-n nếu mọi phủ U ⊂ BnX của 2X có một phủ con hữu hạn. 1.16 Các định lý mở đầu Trong luận văn này, chúng ta sử dụng kết quả của các định lý sau đây (các định lý đã được chứng minh trong các tài liệu tham khảo đi kèm). Định lý 1. (i) ([12]) Trong ZF, BPI tương đương với mọi X, TP(2X ). (ii) ([9]) Trong ZF, BPI suy ra mọi T2 −không gian compact đều là không gian Loeb. (iii) ([9]) (ZF) Mọi tập con đóng của không gian Loeb đều là Loeb. Chứng minh. (i) Giả sử BPI. Cố định một họ G các tập con đóng của 2X có tính giao hữu hạn. [ G = {Gi = {πq−1 (gi (q)) : q ∈ Dom(gi ), gi ∈ F n(X, 2)} : i ∈ I}. Vì BPI nên ta gọi F là một siêu lọc mở rộng của G. Vì với mỗi i ∈ I, Gi ∈ F và F tối đại nên πq−1 (gi (qi )) ∈ F với qi ∈ Dom(gi ). Ta định nghĩa f ∈ 2X i như sau:  f (q) = Khi đó f ∈ T gi (q) , nếu πq−1 (gi (q)) ∈ F với i ∈ I 1, các trường hợp khác G. Do đó TP(2X ). Ngược lại, giả sử TP(2X ), với mọi X. Ta chứng minh BPI (xem [12]) (ii) Xem [9] (iii) Cho X là không gian Loeb, A là tập con đóng của X. Ta cần chứng minh A là Loeb. Cố định một họ B = {Bi : i ∈ I} các tập con đóng của A. Vì A là tập con đóng của X nên B là họ các tập con đóng của X. Vì X là Loeb nên họ B có một hàm chọn. Do đó A là Loeb. 15 Định lý 2. ([6]) (ZF) Với bất kỳ bản số được sắp thứ tự tốt ℵ, tích Tychonoff 2ℵ là compact. Chứng minh. Cố định một họ B = {Bi : i ∈ I} các tập con đóng của 2ℵ có tính giao hữu hạn. Đặt C = {{πx−1 (1), πx−1 (0)} : x ∈ ℵ} với πx là phép chiếu chính tắc của 2ℵ lên bản sao thứ x của 2. Vì với mỗi x ∈ ℵ, πx−1 (1) ∪ πx−1 (0) = 2ℵ nên với mỗi họ F ⊂ P(2ℵ ) có tính giao hữu hạn thì F ∪ {πx−1 (1)} hoặc F ∪ {πx−1 (0)} có tính giao hữu hạn. Ta xây dựng thông qua một phép quy nạp siêu hạn đơn giản trên ℵ một tập {Fxi : i ∈ ℵ} sao cho với mọi i ∈ ℵ, tập B ∪ {Fxj : j ∈ i} có tính giao hữu hạn. (0)} sao cho (1), πx−1 Với n = 0, đặt Fxo là phần tử đầu tiên của {πx−1 o o B ∪ {Fxo } có tính giao hữu hạn. Với n = k + 1 là một số thứ tự không giới hạn của ℵ, ta đặt Fxn là phần tử đầu tiên của {πx−1 (1), πx−1 (0)} sao cho n n B ∪ {Fxi : i ≤ k} ∪ {Fxn } có tính giao hữu hạn. Với n là một số thứ tự (0)} sao cho (1), πx−1 giới hạn của ℵ, ta đặt Fxn là phần tử đầu tiên của {πx−1 n n B ∪ {Fxi : i ∈ n} ∪ {Fxn } có tính giao hữu hạn. Rõ ràng B ∪ {Fxi : i ∈ ℵ} là họ các tập con đóng của 2ℵ có tính giao hữu hạn.  Ta định nghĩa một hàm f : ℵ −→ 2 thỏa f (x) = Ta cần chứng minh f ∈ T 1 nếu Fx = πx−1 (1) 0 nếu Fx = πx−1 (0) B. Dễ dàng kiểm tra mỗi lân cận cơ sở Of của f có giao không tầm thường với mỗi B ∈ B. Thật vậy, cố định một B ∈ B và đặt Of = πx−1 (f (xn1 )) ∩ πx−1 (f (xn2 )) ∩ . . . ∩ πx−1 (f (xnv )) là một n1 n2 nv lân cận cơ sở của f . Theo định nghĩa hàm f ta có Of = Fxn1 ∩ Fxn2 ∩ . . . ∩ Fxnv . Vì B, Fxnj ∈ B ∪ {Fxi : i ∈ ℵ}, j ≤ v và B ∪ {Fxi : i ∈ ℵ} có tính giao hữu hạn nên Of ∩ B 6= ∅. T Do đó f ∈ B. Hoàn thành chứng minh định lý. 16 Định lý 3. (i) ([8]) TPC(2R ) không chứng minh được trong ZF. (ii) ([7]) CAC(R) không suy ra được TP(2R ) trong ZF. Chứng minh. (i) Đầu tiên ta đưa ra nhận xét sau đây. Nhận xét. (ZF) TPC(2R ) suy ra mọi họ A = {Ai : i ∈ ω} các tập con S gồm hai phần tử của P(R) sao cho A rời nhau đều có một hàm chọn. Chứng minh nhận xét. Cố định A = {Ai : i ∈ ω} là họ các tập con S gồm hai phần tử của P(R) sao cho A rời nhau. Cố định một song ánh fo : R −→ (0, 1) và với mỗi i ∈ ω\{0}, đặt fi : R −→ (i, i + 1) sao cho fi (x) = fo (x) + i. Dễ dàng kiểm tra {{fi (p), fi (q)} : Ai = (p, q), i ∈ ω} là họ các tập con gồm hai phần tử của P(R) thỏa mãn : (a) fi (p) ∩ fi (q) = ∅, ∀i ∈ ω. (b) (fi (p) ∪ fi (q)) ∩ (fj (p) ∪ fj (q)) = ∅, ∀i, j ∈ ω và i 6= j. Vì vậy, ta có thể giả sử họ A thỏa (a) và (b). Với mỗi i ∈ ω, đặt Gi = {f ∈ 2R : f −1 (1), f −1 (0) phân biệt với các phần tử của Ai } Khi đó G = {Gi : i ∈ ω} là họ các tập con đóng của 2R có tính giao hữu hạn. Thật vậy, lấy g ∈ 2R \Gi và với mỗi x ∈ R, gọi πx là phép chiếu chính tắc của 2R lên bản sao thứ x của 2. Nếu Ai = (p, q) thì theo cách đặt Gi có hai trường hợp xãy ra : (1) p hoặc q chứa hai điểm x, y phân biệt sao cho g(x) = 1, g(y) = 0. Khi đó O = πx−1 (1) ∩ πy−1 (0) là một lân cận mở của g và O ∩ Gi = ∅. (2) g|p∪q ≡ 1 hoặc g|p∪q ≡ 0. Khi đó O = πx−1 (1) ∩ πy−1 (1), x ∈ p, y ∈ q hoặc O = πx−1 (0) ∩ πy−1 (0), x ∈ p, y ∈ q là lân cận mở của g và O ∩ Gi = ∅. Từ trường hợp (1) và (2), ta suy ra với mọi i ∈ ω, Gi đóng trong 2R . Mặt khác, cố định một tập con hữu hạn Q = {Gin : n < m}, m ∈ ω S S của G. Đặt Ain = (pin , qin ). Vì ( Ai ) ∩ ( Aj ) = ∅, ∀i, j ∈ ω và i 6= j (theo (b)) nên ta có thể định nghĩa hàm h ∈ 2R thỏa h|pin = 1, ∀n < m và T h|(R\ S{pin : n < m}) = 0. Dễ dàng kiểm tra h ∈ Q. Do đó G có tính giao hữu T T hạn. Do TPC(2R ) nên G 6= ∅. Lấy t ∈ G và gọi ti là phần tử duy nhất 17 của Ai thỏa ti ⊂ t−1 (1). Rõ ràng T = {ti : i ∈ ω} là một tập chọn của A và A có hàm chọn tương ứng. Hoàn thành chứng minh nhận xét. Trong mô hình thứ hai của Cohen (mô hình M7 trong [3]) tồn tại một họ đếm được A = {Ai : i ∈ ω} các tập con gồm hai phần tử của P(R) mà thừa nhận không có hàm chọn trong mô hình. Do đó, không mất tính tổng quát, giả sử với mọi i ∈ ω, nếu Ai = {X, Y } thì X\Y 6= ∅ và Y \X 6= ∅. Vì |R × ω| = |R| nên ta có thể xem họ [ B = {Bi : i ∈ ω}, với Bi = {(( Ai )\X) × {i} : X ∈ Ai }, S là họ các tập con gồm hai phần tử của P(R) sao cho B rời nhau. Vì A không có hàm chọn nên B không có hàm chọn. Do đó theo nhận xét thì TPC(2R ) không xãy ra trong M7. Hoàn thành chứng minh (i). (ii) Trong mô hình của Feferman (mô hình M2 trong [3]),CAC(R) luôn đúng. Ta chứng minh TP(2R ) không xãy ra trong M2. Đầu tiên ta có nhận xét sau đây. Nhận xét. (ZF) TP(2R ) suy ra mọi họ A = {Ai : i ∈ I} các tập con gồm S hai phần tử của P(R) sao cho A rời nhau đều có một hàm chọn. Chứng minh nhận xét. Chứng minh tương tự như chứng minh nhận xét trong (i). Đặt A = {{[X], [X c ]} : X ∈ P(ω)} với [X] = {Y ∈ P(ω) : |X4Y | < ℵ0 } trong đó 4 là ký hiệu của phép toán hiệu đối xứng giữa các tập hợp. Vì S A là một phân hoạch của P(ω) và |P(ω)| = |R| nên ta có thể xem mỗi S S phần tử của A là một tập con của R. Do đó ta có thể xem A như là một phân hoạch của R. Khi đó A là họ các tập con gồm hai phần tử của S P(R) và A rời nhau và A không có hàm chọn nào (xem [3]). Theo nhận xét thì TP(2R ) không xãy ra trong M2. Hoàn thành chứng minh. 18