Tài liệu SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành An SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành An SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ Chuyên ngành : Hình học và Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CÁM ƠN Luận văn thạc sĩ toán này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Trọng Hòa và TS. Nguyễn Hà Thanh. Trong quá trình viết luận văn, tôi đã được hai thầy hướng dẫn, góp ý kiến và bổ sung những kiến thức liên quan tới đề tài của luận văn. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đến hai thầy, cám ơn hai thầy vì tất cả đã làm cho tôi, để tôi trưởng thành và biết nghiên cứu về toán, một môn khoa học cơ bản, khó khăn nhưng đầy thú vị và hấp dẫn. Tôi cũng xin gởi lời cám ơn tới • Sở Giáo Dục & Đào Tạo Tỉnh Bà Rịa -- Vũng Tàu và Trường THPT Hòa Bình đã hỗ trợ kinh phí cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và viết luận văn. • Quí thầy cô giảng viên đã giảng dạy tôi 2 năm học thạc sĩ toán tại Trường Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh. • Gia đình nội và ngoại, đặc biệt là vợ tôi Trần Thị Minh Trang và con trai Nguyễn Văn Minh Khang đã sát cánh bên tôi và động viên tôi trong quá trình học. • Bạn bè trong lớp K22 -- Hình học & Tôpô đã hiểu và chia sẻ những kiến thức của mình trong suốt quá trình tôi làm đề tài. NGUYỄN THÀNH AN 1 MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 DANH MỤC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN......................................................... 3 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4 1. Lý do chọn đề tài. ............................................................................................................4 2. Nội dung và phương pháp nghiên cứu ..........................................................................5 3. Ý nghĩa khoa học của luận văn ......................................................................................5 4. Cấu trúc luận văn ...........................................................................................................5 5. Ký hiệu trong luận văn ...................................................................................................6 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 7 1.1. Sự hội tụ trong không gian tôpô. ................................................................................7 1.1.1. Sự hội tụ theo lưới (Moore – Smith) .......................................................................7 1.1.2. Sự hội tụ theo lọc (Cartan) ......................................................................................8 1.2. Không gian Riesz khối địa phương. ..........................................................................9 1.2.1. Cấu trúc dàn của không gian Riesz. ........................................................................9 1.2.2. Tôpô khối địa phương. ..........................................................................................16 1.2.3. Giới hạn quy nạp. ..................................................................................................19 1.3. Không gian hội tụ.......................................................................................................19 CHƯƠNG 2: SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ ....................... 24 2.1. Dàn véctơ hội tụ khối địa phương. ...........................................................................24 2.2. Một số tính chất bất biến...........................................................................................29 2.3. Đối ngẫu của dàn véctơ hội tụ khối địa phương. ....................................................32 2.4. Tính đầy đủ và sự làm đầy. .......................................................................................37 CHƯƠNG 3: MỘT VÀI ỨNG DỤNG .................................................................... 41 3.1. Định lý đồ thị đóng. ...................................................................................................41 3.2. Đối ngẫu của không gian Riesz khối địa phương....................................................42 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 46 2 DANH MỤC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN x Lân cận của điểm x trong không gian tôpô X . x Cơ sở lân cận của x trong không gian tôpô X . s ( A) Bao khối của tập A . τ ( x ) τ - lân cận lọc tại x . co (  ) Bao lồi của lọc  . (X ) Không gian các hàm thực liên tục trên không gian tôpô X . o (  ) Không gian các hàm giá trị thực liên tục trên  . L+ Nón dương của dàn véctơ L .  ( X ,Y ) Không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . L' Đối ngẫu tôpô của L gồm tất cả các hàm tuyến tính liên tục trên L . L Đối ngẫu thứ tự của L gồm tất cả các hàm tuyến tính bị chặn thứ tự trên L . 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Hình học – Tôpô là một trong các chuyên ngành quan trọng của lý thuyết Toán học hiện đại. Nó có mối liên hệ chặt chẽ với các chuyên ngành khác như Giải tích, Đại số,… và có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và đời sống. Trong Tôpô, bài toán về sự hội có rất nhiều ứng dụng trong các lý thuyết cơ bản và hiện đại của Toán học, nên đây được xem là một vấn đề thời sự được nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu. Chẳng hạn, trong tôpô Hausdorff - Kuratowski - Bourbaki (HKB) ta xét hai sự hội tụ sau • Cho X là không gian tôpô compact. Dãy ( f n ) trong C ( X ) hội tụ về f ∈ C ( X ) trong tôpô đều nếu ∀ > 0, ∃N ∈  : ∀x ∈ X , n ∈ , n ≥ N , f ( x) − f n ( x) <  Điều kiện trên tương đương với điều kiện của sự hội tụ đều tương đối trên dàn véctơ ∃u ∈ C ( X ), u ≥ 0 : ∀ > 0, ∃N ∈ , n ≥ N , −u ≤ f − f n ≤ u Điều này cho phép ta tổng quát hóa khái niệm của sự hội tụ đều trong C ( X ) đến bất kỳ dàn véctơ L nào đó. Hơn nữa, sự hội tụ đều tương đối trên một dàn véctơ tùy ý nói chung không được cảm sinh bởi một tôpô. Điều này dễ thấy, bởi trong không gian Co () sự hội tụ đều tương đối không thỏa mãn tính chất Diagonal. • Cho (Ω, M , m) là không gian độ đo σ -hữu hạn và 1 ≤ p ≤ ∞ . Dãy ( f n ) trong Lp (Ω) hội tụ chặn hầu khắp nơi đến f ∈ Lp (Ω) nếu ∃u ∈ Lp (Ω), E ⊂ Ω, m( E ) = 0 : ∀x ∈ Ω  E , f n ( x) ≤ u ( x), n ∈ , f n ( x) → f ( x) ∈  Điều kiện trên tương đương với điều kiện của sự hội tụ thứ tự trên dàn véctơ Lp (Ω) 0 ∃(un ) ⊂ Lp (Ω) : − un ≤ f − f n ≤ un , n ∈  , un +1 ≤ un , n ∈  , inf {un : n ∈ } = Điều này cho phép ta tổng quát hóa khái niệm của sự hội tụ chặn hầu khắp nơi đến bất kỳ dàn véctơ L nào đó. Đồng thời, trên L không tồn tại tôpô được cảm sinh bởi dãy. Cụ thể, trên L1 (Ω) không tồn tại tôpô cảm sinh hội tụ thứ tự trong khi hội tụ thứ tự trong không gian này lại thỏa mãn tính chất Diagonal nhưng không thỏa mãn tính chất Urysohn. Hai sự hội tụ trên cho thấy được mô hình của sự hội tụ không tôpô trên dàn véctơ, điều này dẫn đến một số nguyên tắc cơ bản của tôpô trên dàn véctơ không được mô tả trong các thành phần của tôpô HKB nhưng các khái niệm tổng quát của tôpô có thể mô tả được sự 4 hội tụ lại không thỏa mãn tiên đề Moore - Smith, đó chính là cấu trúc hội tụ và không gian hội tụ. Hơn nữa, sự hội tụ đều tương đối và hội tụ thứ tự được xem là tổng quát hóa một cách tự nhiên của sự hội tụ và đóng vai trò cơ bản trong lý thuyết dàn véctơ. Tuy nhiên, không phải sự hội tụ đều tương đối và hội tụ thứ tự có thể mô tả một cách đầy đủ trong tôpô HKB. Vì vậy, một khái niệm tổng quát hơn của tôpô là cần thiết để mô tả được sự hội tụ trong tôpô HKB và mô hình của sự hội tụ không tôpô khác nhau trong lý thuyết dàn véctơ. Đó chính là một số khái niệm của dàn véctơ hội tụ khối địa phương, đây được xem như là tổng quát hóa của không gian Riesz khối địa phương. Các khái niệm này được biết đến để phù hợp với sự hội tụ đều tương đối và hội tụ thứ tự. Đặc biệt, ứng dụng của các khái niệm này trong việc trình bày định lí đồ thị đóng đối với các toán tử tuyến tính trên lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương và các kết quả đối ngẫu của không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương. Đó chính là lý do tôi chọn đề tài Sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ”. 2. Nội dung và phương pháp nghiên cứu Luận văn nghiên cứu hai vấn đề chính đó là Sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ và một vài ứng dụng của nó. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của luận văn là sử dụng các công cụ mạnh của tôpô, tổng hợp và hoàn thiện kết quả từ những bài báo đã có, tài liệu khoa học có liên quan tới vấn đề cần nghiên cứu. Đưa ra một số ví dụ và ứng dụng cụ thể của đề tài. 3. Ý nghĩa khoa học của luận văn Ta biết rằng, một số nguyên tắc cơ bản của tôpô trên dàn véctơ không được mô tả trong các thành phần của tôpô Hausdorff - Kuratowski - Bourbaki (HKB) nhưng các khái niệm tổng quát của tôpô có thể mô tả được sự hội tụ lại không thỏa mãn tiên đề Moore - Smith. Vì vậy, một khái niệm tổng quát hơn của tôpô là cần thiết để mô tả được sự hội tụ trong tôpô HKB và sự hội tụ của các mô hình không tôpô khác nhau trong lý thuyết dàn véctơ. Đó chính là một số khái niệm của dàn véctơ hội tụ khối địa phương. Đồng thời, chúng ta hiểu rõ và nắm bắt được nhiều cách tiếp cận khác nhau của sự hội tụ trong nhiều chuyên ngành của Toán học và những ứng dụng của nó. 4. Cấu trúc luận văn Luận văn được trình bày như sau 5 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài, nội dung luận văn, phạm vi nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu. Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận văn. Chương 2 Sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ. Chương 3 Một vài ứng dụng của sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ. KẾT LUẬN Tóm tắt kết quả đạt được và nêu vấn đề mở của đề tài. Tài liệu tham khảo Một số tài liệu liên quan tới luận văn. 5. Ký hiệu trong luận văn Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Để trích dẫn một kết quả, chúng tôi cũng dùng những ký hiệu quen thuộc. Chẳng hạn, nếu ghi 1.6.3 có nghĩa là xem mục 1.6.3 ở chương 1; nếu ghi 2.2.5 có nghĩa là xem mục 2.2.5 ở chương 2; còn nếu ghi [10, Định lí 2.1 ] có nghĩa là xem định lí 2.1 tài liệu tham khảo số 10. 6 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chủ yếu của chương này là trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho đề tài luận văn một cách cơ bản, ngắn ngọn về Sự hội tụ trong không gian tôpô; Không gian Riesz khối địa phương; Không gian hội tụ còn những chứng minh chi tiết tham khảo tại [1], [2], [3], [5], [6], [12], [13], [15], [16], [17], [18], [23]. 1.1. Sự hội tụ trong không gian tôpô. 1.1.1. Sự hội tụ theo lưới (Moore – Smith) Định nghĩa 1.1.1. Tập I được gọi là tập có hướng nếu trong I có quan hệ ≤ thỏa mãn các điều kiện sau i) ∀i ∈ I thì i ≤ i . ii) ∀i, j , k ∈ I sao cho i ≤ j và j ≤ k thì i ≤ k . iii) ∀i, j ∈ I thì ∃k ∈ I sao cho i ≤ k và j ≤ k . xi được gọi là lưới trong Cho tập có hướng I và tập X . Khi đó, ánh xạ x : I → X , i  x ( i ) := X , ký hiệu { xi } i∈I . Nếu J là tập có hướng và ánh xạ a : J → I thỏa mãn ∀io ∈ I , ∃jo ∈ J : ∀j ∈ J , j ≥ jo ⇒ a ( j ) ≥ io thì lưới { xa ( j ) }i∈J được gọi là lưới con của lưới { xi }i∈I . Định nghĩa 1.1.2. Lưới { xi }i∈I trong không gian tôpô X hội tụ đến x ∈ X , ký hiệu xi → x nếu ∀V ∈ U x , ∃i ∈ I , ∀j ≥ i : x j ∈ V . Ví dụ 1.1.1. Cho X = { x1 , x2 , x3 } với tôpô {∅, X , { x1 , x3 } , { x2 , x3 } , { x3 }} . Khi đó, lưới { x3 } hội tụ đến x1 , x2 và x3 , còn lưới { x1 , x2 } hội tụ về x2 . Mệnh đề 1.1.1. Lưới có không quá một điểm giới hạn nếu và chỉ nếu X là không gian Hausdorff. Mệnh đề 1.1.2. Cho lưới { xi } hội tụ về x và { xa ( j ) }i∈J là lưới con của { xi } . Khi đó lưới con {x } a ( j ) i∈J cũng hội tụ về x . Mệnh đề 1.1.3. Cho ánh xạ f : X → Y với X và Y là hai không gian tôpô. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương. 7 i) f liên tục tại xo . ii) Nếu mọi lưới { xi } trong X hội tụ về xo thì f ( xi ) → f ( xo ) . Lưới hội tụ trong không gian tôpô được đặc trưng bởi Tiên đề Moore - Smith như sau Cho X là tập tùy ý và gọi S là tập các dãy trong X và P( X ) là tập tất cả các tập con của X . Xét ánh xạ σ : S → P ( X ) , s  σ ( s ) trong đó σ ( s ) là tập tất cả các giới hạn của s . Đặc biệt, nếu σ ( s ) = ∅ thì s không hội tụ đến bất kỳ phần tử nào của X . Còn nếu tồn tại tôpô τ trên X sao cho σ ( s ) là tập tất cả τ -giới hạn của s ∈ S thì các điều kiện sau luôn thỏa mãn. • Nếu s là dãy mà tất cả các số hạng đều bằng x thì x ∈ σ ( x) . • Nếu x ∈ σ ( s ) thì x ∈ σ ( s′) với s' là dãy con tùy ý của s . • Nếu dãy con s' lại chứa dãy con s'' mà x ∈ σ ( s′′) thì x ∈ σ ( s ) . • Giả sử s n = ( xmn ) với xn ∈ σ ( s n ), ∀n ∈  và x ∈ σ ( s ) với s = ( xn ) thì tồn tại ánh xạ tăng nghiêm ngặt δ :  →  sao cho x ∈ s′ với s′ = ( xδn( n ) ) . Các điều kiện từ MS1) đến MS4) được gọi là tiên đề Moore - Smith, điều kiện MS3) còn được gọi là tính chất Urysohn và MS4) được gọi là tính chất Diagonal. 1.1.2. Sự hội tụ theo lọc (Cartan) Định nghĩa 1.1.3. Một lọc trên tập X là một tập con F của P( X ) sao cho i) Với mọi A ∈ F thì A ≠ ∅ . ii) Với A, B ∈ F thì A ∩ B ∈ F . iii) Với A ∈ F mà A ⊂ B ⊂ X thì B ∈ F . \end{dn} Từ iii) của định nghĩa 1.1.3 dễ thấy rằng X ∈ F bằng cách chọn X = B . Định nghĩa 1.1.4. Họ E ≠ ∅ với E ⊂ P( X ) là cơ sở lọc trong X nếu E thỏa mãn các điều kiện sau i) Với A ∈ E thì A ≠ ∅ . ii) Với A1 , A2 ∈ E tồn tại A ∈ E sao cho A ⊂ A1 ∩ A2 . Khi đó lọc F= { A ∈ P( X ) : ∃B ∈ E , B ⊂ A} gọi là lọc sinh bởi cở sở lọc E , ký hiệu là F = [ E ] hoặc F = [ E ] X . Cho F và G là hai lọc trên X . Ta nói lọc F mịn hơn lọc G nếu G ⊆ F . Một lọc F trong X được gọi là siêu lọ nếu ∀G ⊂ X : F ⊂ G ⇒ F = G 8 Do vậy, với mỗi lọc F trong = X thì F  {G : G ⊇ F là siêu loc} . Khi đó, mỗi lọc đều tồn tại siêu lọc mạnh hơn nó. = f (F ) : Nếu ánh xạ f : X → Y và F là lọc trên X thì { f ( F ) : F ∈ F } là cơ sở lọc và được gọi là ảnh lọc F trên Y . Đặc biệt, nếu F là siêu lọc trên X thì f ( F ) là siêu lọc trên Y . Định nghĩa 1.1.5. Lọc F hội tụ về xo , ký hiệu F → xo nếu ∀V ∈ U x , ∃A ∈ F : A ⊂ V o Từ định nghĩa 1.1.5 ta thấy F → xo ⇔ F mạnh hơn U o Mệnh đề 1.1.4. Mỗi lọc trong X có không quá một điểm giới hạn khi và chỉ khi X là không gian Hausdorff. Định lí 1.1.5. Cho ánh xạ f : X → Y với X và Y là hai không gian tôpô. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương. i) f liên tục tại xo . ii) Nếu mọi lọc F trong X hội về xo thì f ( F ) → f ( xo ) . Cho lưới { xi }i∈I , đặt= Mi : {x j : j ≥ i} . Khi đó, họ {M i }i∈I là cơ sở lọc, lọc tương ứng gọi là lọc liên kết với lưới. Mối liên hệ về sự hội tụ của lưới và lọc được thể hiện bởi định lí sau Định lí 1.1.1. Lưới { xi } hội tụ về x nếu và chỉ nếu lọc tương ứng hội tụ về x . 1.2. Không gian Riesz khối địa phương. Dàn véctơ được biết đến như là không gian Riesz. Vì thế, tôi sẽ trình bày một cách cơ bản, ngắn ngọn về không gian Riesz khối địa phương, xem [1], [6], [13]. 1.2.1. Cấu trúc dàn của không gian Riesz. Định nghĩa 1.2.1. Một không gian véctơ thứ tự L là không gian véctơ thực được trang bị một quan hệ thứ tự ≥ tương thích với cấu trúc đại số L thỏa mãn các tính chất sau i) Nếu u, v ∈ L sao cho u ≥ v thì u + w ≥ v + w, ∀w ∈ L . ii) Nếu u, v ∈ L sao cho u ≥ v thì λu ≥ λ v, ∀λ ∈ , λ ≥ 0 . Phần tử không của L được ký hiệu là 0 . Nếu u ≥ 0 thì u gọi là phần tử dương, còn nếu u > 0 thì u gọi là phần tử dương nghiêm ngặt. Khi đó, tập hợp L+ = {u ∈ L : u ≥ 0} $được gọi là nón dương của L . Tính chất 1.2.1. Nón dương L+ có các tính chất sau 9 i) L+ + L+ ⊆ L+ , trong đó L+ + L+ = {u + v : u , v ∈ L+ } {λu : u ∈ L } ii) λ L+ ⊆ L+ với 0 ≤ λ ∈  , trong đó= λ L+ + iii) L+ ∩ ( − L+ ) = {0} , trong đó − L+ =− { u : u ∈ L+ } Bất kỳ tập con C của không gian véctơ thực L thỏa mãn ba tính chất a), b) và c) được gọi là nón của L . Nếu C là nón của L và với quan hệ u ≥ v dẫn đến u − v ∈ C thì L có một nón dương chính là C . Định nghĩa 1.2.1. Tập con A khác rỗng của không gian thứ tự L được nói là có supremun, ký hiệu sup A nếu thỏa mãn các điều kiện sau i) ∃u ∈ L : u ≥ a, ∀a ∈ A . ii) Nếu ∃v ∈ L : v ≥ a, ∀a ∈ A thì v ≥ u . Định nghĩa tương tự cho infimun của A , ký hiệu là inf A . Ta sẽ ký hiệu sup {u, v}=: u ∨ v và inf {u , v}= u ∧ v . Định nghĩa 1.2.3. Không gian véctơ thứ tự L là không gian Riesz (hoặc dàn véctơ) nếu bất kỳ hai phần tử u, v ∈ L luôn tồn tại sup {u, v} trong L . Ví dụ 1.2.1. Xét L =  n là không gian véctơ sao cho= u ∈  n thì u (u1 ,..., un ) voi ui ∈  Với mọi u, v ∈ L ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau u ≥ v ⇔ ui ≥ vi voi 1 ≤ i ≤ n Khi đó, dễ dàng kiểm tra được L là không gian Riesz. Định lí 1.2.1. Mỗi không gian Riesz L có tính chất sau i) (Tính chất phân hoạch trội). Nếu 0 ≤ u ≤ z1 +  + z p với zn ∈ L+ thì tồn tại u1 ,..., u p ∈ L+ sao cho u = u1 +  + u p và un ≤ zn voi n = 1,..., p ii) (Tính chất nội suy Riesz) Nếu u, v, z1 , z2 ∈ L+ và u + v = z1 + z2 thì tồn tại u1 , u2 , v1 , v2 sao cho u1 + u2 = u u1 + v1 = z1 v2 + v1 = v v2 + u2 = z2 Phần tử u của L có phần dương là u + =: u ∨ 0 , phần âm là u − :=(−u ) ∧ 0 và giá trị tuyệt đối là {u} := u ∨ (−u ) . 10 Định lí 1.2.2. Nếu u, v và w là các phần tử thuộc không gian Riesz L thì i) u +v = u ∨v+u ∧v. ii) = 0. u u + − u − và u + ∧ u − = iii) u ∨ v = (u − v) + + v = (v − u ) + + u . iv) u ∧ v = u − (u − v) + = v − (v − u ) + . v) u= u + + u − (dẫn đến [u ] = 0 nếu và chỉ nếu u = 0 ). vi) u − v ≤ u + v ≤ u + v . vii) u + (v ∨ w) = (u + v) ∨ (u + w) và u + (v ∧ w) = (u + v) ∧ (u + w) . viii) λ (u ∨ v)= (λu ) ∨ (λ v) và λ (u ∧ v)= (λu ) ∧ (λ v) nếu λ ≥ 0 . ix) λu = λ u với λ ∈  . x) u − (v ∨ w) = (u − v) ∨ (u − w) và u − (v ∧ w) = (u − v) ∧ (u − w) . xi) u − v = u ∨ v − u ∧ v . xii) u ∨ w − v ∨ w + u ∧ w − v ∧ w = u − v . xiii) Nếu u, v, w ∈ L+ thì (u + v) ∧ w ≤ u ∧ w + v ∧ w . Từ tính chất c) suy ra rằng không gian véctơ thứ tự L là không gian Riesz nếu và chỉ nếu phần tử u + tồn tại với u ∈ L , tức là sup {u, 0} tồn tại với u ∈ L . Định nghĩa 1.2.4. Tập con S của không gian Riesz L được gọi là khối nếu ∀u ∈ S , v ∈ L : v ≤ u ⇒ v ∈ S Mỗi tập con A của L được chứa trong tập khối nhỏ nhất gọi là bao khối của A ký hiệu là s ( A) . Khi đó, ta có thể môtả s ( A) như sau s ( A) = {v ∈ L : ∃u ∈ A, u ≤ v } Tính chất 1.2.2. Nếu L là không gian Riesz và hai tập F , G ⊆ L thì i) s ( F + G ) ⊆ s ( F ) + s (G ) . ii) s ( F ∪ G )= s ( F ) ∪ s (G ) . iii) s (α F ) = α s ( F ) với α ∈  .    i∈I  Từ ii) của tính chất 1.2.2 nếu {Fi : i ∈ I } là họ tập con của L thì s   Fi  =  s( Fi ) Mỗi tập con khối S đều là tập cân đối, tức là u ∈ S thì λu ∈ S 11 i∈I Định lí 1.2.3. Bao lồi của tập khối trong không gian Riesz là tập khối. Định nghĩa 1.2.5. Cho K là không gian véctơ con của không gian Riesz L . Khi đó, ta nói rằng i) K là không gian Riesz con của L nếu mỗi cặp u, v ∈ K thì u ∨ v thuộc K . ii) K là ideal của L nếu K là khối con của L . iii) ideal K là bó nếu tồn tại tập con của A có supremun trong L thì supremun thuộc A . Từ c) của định lí 1.2.2 ta thấy rằng một không gian véctơ con K của không gian Riesz L là không gian Riesz con nếu và chỉ nếu với mỗi u ∈ K thì u + ∈ K . Vì 0 ≤ u + ≤ u nên mỗi ideal là không gian Riesz con, chiều ngược lại không đúng nhưng ta có thể chứng minh được bằng mệnh đề sau Mệnh đề 1.2.1. Không gian Riesz con K là ideal của L nếu 0 ≤ u ≤ v và v ∈ K thì u ∈ K . Mỗi tập con D của không gian Riesz L đều nằm trong ideal nhỏ nhất A gọi là ideal sinh bởi D . Khi đó, A là giao của tất cả các ideal chứa D , nghĩa là n   = A u ∈ L : ∃u1 ,..., un ∈ D và λ1 ,..., λn ∈  + voi u ≤ ∑ λi ui  i =1   Ideal chính tắc là ideal sinh bởi một phần tử u, ký hiệu Au . Nếu A, B là ideal của L thì tổng đại số A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} cũng là ideal của L . Lưới {uα } trong không gian Riesz L gọi là tăng, ký hiệu uα ↑ nếu thỏa mãn ∀α , β : β ≥ α thì uβ ≥ uα Tương tự, thì uα ↓ là ký hiệu lưới giảm trong không gian Riesz L . Ta cũng sẽ ký hiệu uα ↑ u được hiểu là lưới {uα } tăng và tồn tại supremun của {uα } bằng u . Ý nghĩa tương tự cho ký hiệu uα ↓ u . Định nghĩa 1.2.6. Lưới {uα } của không gian Riesz L hội tụ thứ tự đến u ∈ L , ký hiệu uα ( o)u nếu tồn tại lưới {vα } sao cho vα ↓ 0 thì uα − u ≤ vα , ∀α . Từ e) và f) của định lí 1.2.6 dễ dàng thấy rằng giới hạn của lưới là duy nhất. Đồng thời, hội tụ thứ tự có các tính chất sau 12 Tập con S của không gian Riesz L gọi là đóng thứ tự nếu với mỗi {uα } ⊆ S sao cho uα → u thì u ∈ S . Khi đó, ideal đóng thứ tự được gọi là bó. Đồng thời, ideal A là bó nếu và chỉ nếu 0 ≤ uα ↑ u với {uα } ⊆ A thì u ∈ A . Định nghĩa 1.2.7. Cho K là không gian Riesz con của không gian Riesz L . Khi đó, K được gọi là trù mật thứ tự trong L nếu với mỗi 0 < u ∈ L tồn tại v ∈ K sao cho 0 < v ≤ u . Hai phần tử u và v của một không gian Riesz gọi là trực giao, ký hiệu u ⊥ v nếu u∧v = 0 Tính trực giao có các tính chất sau Phần bù trực giao của tập D ≠ ∅ trong không gian Riesz L được định nghĩa bởi D d := {u ∈ L : u ⊥ v, ∀v ∈ D} Dễ thấy rằng D d là ideal của L . Phần bù trực giao của D d được ký hiệu D dd . Do đó D ∩ Dd = {0} và D ⊆ D dd . Hơn nữa, nếu A ⊆ B thì B d ⊆ Ad . Định lí 1.2.5. Nếu A là ideal của không gian Riesz L thì A trù mật thứ tự trong Add . Hệ quả 1.2.1. A trù mật thứ tự trong L nếu và chỉ nếu Ad = {0} . Hệ quả 1.2.2. Với mỗi ideal A trong không gian Riesz L thì ideal A ⊕ Ad trù mật thứ tự trong L . Một điều thú vị của không gian Riesz là lớp các không gian Riesz Archimedes. 13 Định nghĩa 1.2.8. Một không gian Riesz L được gọi là Archimedes nếu với u, v ∈ L+ và nu ≤ v, ∀n ∈ * thì u = 0 . Dễ dàng kiểm tra được rằng không gian Riesz con của không gian Riesz Archimedes cũng là không gian Archimedes. Định lí 1.2.6. Cho K là không gian Riesz con của không gian Riesz Archimedes L . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương. i) K trù mật thứ tự trong L . u sup {v ∈ K : 0 ≤ v ≤ u} trong L . ii) Với mỗi u ∈ L+ thì= Mệnh đề ii) của định lí 1.2.6 tương đương với mỗi u ∈ L+ tồn tại lưới {uα } ⊆ K sao cho 0 ≤ uα ↑ u trong L . Định lí 1.2.7. Cho L là không gian Riesz. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương. L là Archimedes. i) Nếu mỗi lưới bị chặn {λα } trong  hội tụ về 0 thì với mỗi u ∈ L . ii) A = Add với mọi bó A trong L . 0 với iii) Với mọi tập con khác rỗng S của L+ thì inf {u − v : u ∈ S , v ∈ T } = T= {v ∈ L : 0 ≤ v ≤ u, ∀u ∈ S } . Định nghĩa 1.2.9. Ánh xạ tuyến tính π : L → M với L và M là hai không gian Riesz được gọi là • đồng cấu Riesz nếu u ∧ v trong L thì π (u ) ∧ π (v) trong M . • đẳng cấu Riesz nếu π đồng cấu Riesz và song ánh. Hai không gian Riesz L và M được gọi là đẳng cấu nếu có một đẳng cấu Riesz giữa chúng. Đồng cấu Riesz bảo toàn cấu trúc dàn được mô tả bởi định lí sau Định lí 1.2.8. Cho ánh xạ tuyến tính π : L → M giữa hai không gian Riesz L và M . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương. 14 Định lí 1.2.9. Nếu π là đồng cấu Riesz thì i) u ≥ v trong L thì π u ≥ π v trong M . ii) Hạt nhân của π là ideal của L . Từ định lí 1.2.9 nếu cho v = 0 thì π u ≥ 0 thì ta gọi π là ánh xạ tuyến tính dương. Do đó, mọi đồng cấu Riesz đều là ánh xạ tuyến tính dương dẫn đến mọi đẳng cấu Riesz đều là ánh xạ tuyến tính dương 1-1 nhưng chiều ngược lại không đúng. Định lí sau sẽ cho chúng ta điều kiện để chiều ngược lại đúng. Định lí 1.2.10. Song ánh tuyến tính dương π là đẳng cấu Riesz nếu và chỉ nếu π −1 dương. Ví dụ 1.2.2. Cho L là mặt phẳng hai chiều với thứ tự tọa độ theo điểm tức là và M là mặt phẳng hai chiều với thứ tự như sau Ánh xạ đồng nhất từ L vào M là ánh xạ tuyến tính dương 1-1 nhưng chiều ngược lại không dương. Đồng thời, L và M không đẳng cấu Riesz bởi vì ánh xạ tuyến tính 1-1 từ M vào L biến nửa mặt phẳng {( y1 , y2 ) : y1 > 0} thành nửa mặt phẳng nhưng nửa mặt phẳng này không dương trong L . Hơn nữa, L là Archimedes còn M thì không. Định lí 1.2.11. Cho π : L → M là đồng cấu Riesz và S là khối con của L . Khi đó, π ( S ) cũng là tập khối con của M . Định nghĩa 1.2.10. Cho L là không gian Riesz và A ⊂ L . Với hai phần tử u, v ∈ L đoạn thứ tự [u, v ] được định nghĩa như sau [u, v ] := {w ∈ L : u ≤ w ≤ v} 15 Tập con A của L bị chặn thứ tự nếu A chứa trong một đoạn thứ tự. Ánh xạ tuyến tính T : L → M với L và M là hai không gian Riesz được gọi là bị chặn thứ tự nếu A bị chặn thứ tự trong L thì T ( A) bị chặn thứ tự trong M . Tập con A của không gian X là tập con đóng bất khả quy của X nếu A = cl X (intA) Ánh xạ f : X → Y với X và Y là hai không gian bất kỳ được gọi là ánh xạ đóng bất khả quy nếu A là tập con đóng bất khả quy trong X thì f ( A) là tập đóng trong Y . 1.2.2. Tôpô khối địa phương. Định nghĩa 1.2.11. Một tôpô τ trên không gian véctơ E được gọi là tôpô tuyến tính nếu hai hàm Một không gian véctơ tôpô ( E ,τ ) là không gian véctơ E được trang bị một tôpô tuyến tính τ . Mỗi tôpô tuyến tính τ trên E đều có một cơ sở V là lân cận tại 0 đồng thời thỏa mãn ba tính chất sau Ngược lại, nếu một họ V các tập con của không gian véctơ E tạo thành một cơ sở lọc, tức là thỏa mãn ba tính chất trên thì tồn tại duy nhất một tôpô tuyến tính τ trên E có cơ sở là họ V tại 0 . Định lí 1.2.12. Cho V là một cơ sở lân cận trong không gian véctơ tôpô E . Khi đó, E là Hausdorff khi và chỉ khi với mỗi x ≠ 0 đều có một V ∈ V không chứa x , tức là  V = {0} V ∈V Định nghĩa 1.2.12. Một không gian véctơ tôpô ( E ,τ ) được gọi là khả mêtríc nếu tồn tại một hàm mêtríc 16 sao cho tôpô sinh bởi d là τ . Định lí 1.2.13. Không gian véctơ tôpô Hausdorff ( E ,τ ) là khả mêtríc nếu và chỉ nếu τ có một cơ sở lân cận đếm được tại 0 . Tập con A của không gian véctơ tôpô được gọi là chặn tôpô nếu với mỗi τ -lân cận V của 0 tồn tại λ > 0 sao cho λ A ⊆ V . Tôpô lồi địa phương τ trên E là tôpô tuyến tính có cơ sở tại 0 gồm các tập hợp lồi. Định nghĩa 1.2.13. Một không gian véctơ ( E ,τ ) là không gian lồi địa phương nếu τ là tôpô lồi địa phương Hausdorff. Nếu {ρα } là họ nửa chuẩn trên không gian véctơ E thì ta luôn định nghĩa tôpô lồi địa phương trên E sinh bởi họ nửa chuẩn đó. Định lí 1.2.14. Cho τ là tôpô tuyến tính trên E . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương. i) τ là tôpô lồi địa phương. ii) Tồn tại họ nửa chuẩn {ρα } trên E sinh ra tôpô τ . Tập con A của không gian lồi địa phương ( E ,τ ) với τ là tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn {ρα } là τ -bị chặn nếu và chỉ nếu ρα ( A) bị chặn trong  với mọi α . Định nghĩa 1.2.14. Không gian Fréchet là không gian véctơ lồi địa phương đầy đủ, khả mêtríc. Như vậy mọi không gian Banach đều là không gian Fréchet. Bổ đề 1.2.1. Trong một không gian Fréchet E mỗi tập V lồi, cân đối, đóng và hấp thụ là một lân cận của 0. Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thụ trong một không gian lồi địa phương cũng được gọi là một thùng. Khi đó, một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùng đều là lân cận của 0 gọi là một không gian thùng. Điều này dẫn đến mọi không gian Fréchet đều là không gian thùng. Định nghĩa 1.2.15. Một tôpô tuyến tính τ (không cần thiết là Hausdorff) trên không gian Riesz L được gọi là khối địa phương nếu τ có một cơ sở lân cận của 0 gồm tập hợp các khối. Một không gian Riesz L được trang bị một tôpô khối địa phương τ được gọi là không gian Riesz khối địa phương ( L,τ ) . Kết quả sau đây thể hiện đặc trưng của tôpô tuyến tính đó là khối địa phương. 17 Định lí 1.2.15. Cho τ là tôpô tuyến tính trên không gian Riesz L . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương. Tính liên tục của u  u + tại 0 từ định lí 1.2.15 có đủ đảm bảo tôpô tuyến tính τ là khối địa phương không? Câu trả lời là không, xem ví dụ ở [1]. Gọi {( Lα ,τ α )} là họ không gian Riesz khối địa phương. Ta đặt Định lí 1.2.16. Giả sử {( Lα ,τ α )} là họ không gian Riesz khối địa phương. Khi đó ( L,τ ) là không gian Riesz khối địa phương. Tiếp theo là một tính chất của không gian Riesz khối địa phương Hausdorff. Định lí 1.2.17. Cho ( L,τ ) là không gian Riesz khối địa phương Hausdorff. Khi đó, ta có các mệnh đề sau 18