Saùng kieán kinh nghieäm
SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM
SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP
VEÙCTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ
GIAÛI MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN SÔ CAÁP THÖÔØNG GAËP
Giaùo Vieân: Ngoâ Minh Tuaán
BÌNH XUYEÂN, THAÙNG 11 NAÊM 2010.
A. ÑAËT VAÁN ÑEÀ:
Döïa vaøo phöông phaùp toaï ñoä do chính mình phaùt minh Descartes ñaõ saùng laäp ra moân
hình hoïc giaûi tích .Qua ñoù cho pheùp chuùng ta nghieân cöùu hình hoïc baèng ngoân ngöõ ñaïi soá
thay cho ngoân ngöõ hình hoïc.Vieäc naøy giuùp ta boû ñi thoùi quen tö duy cuï theå, tröïc quan,
nhaèm ñaït tôùi ñænh cao cuûa söï khaùi quaùt hoaù vaø tröøu töôïng cuûa toaùn hoïc vaø nhieàu lónh vöïc
khaùc.
Trong daïy vaø hoïc toaùn vieäc löïa choïn coâng cuï phuø hôïp ñeå giaûi caùc baøi toaùn laø vieäc
laøm raát caàn thieát, choïn ñöôïc coâng cuï thích hôïp taát nhieân lôøi giaûi seõ toát nhaát. Sau ñaây toâi
xin trình baøy vieäc söû duïng“phöông phaùp vectô vaø toaï ñoä” ñeå giaûi moät soá baøi toaùn sô caáp ô’
phoå thoâng.
Trang 1
Saùng kieán kinh nghieäm
B. GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ
PHAÀN I: LYÙ THUYEÁT
I. HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ DESCARTES VUOÂNG GOÙC TRONG MAËT PHAÚNG.
1.
Ñònh nghóa: Trong maët phaúng cho hai ñöôøng thaúng x’ox, y’oy vuoâng goùc vôùi nhau.Treân Ox,
Oy laàn löôït choïn caùc veùc tô ñôn vò e1 , e2 .Nhö vaäy ta coù moät heä truïc toaï ñoä Descartes vuoâng goùc
Oxy.
2. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô: Cho ñieåm M trong mp Oxy. Haï MH vuoâng goùc
x’Ox vaø MK vuoâng goùc y’Oy. Theo qui taéc hình bình haønh, ta coù:
OM OH OK
xe1 ye2
Boä hai (x, y) ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ñieåm M vaø ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa
ñieåm M, kyù hieäu M(x, y).
Cho a treân heä truïc. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm M sao cho OM a . Goïi (x,y) laø toaï ñoä
cuûa ñieåm M . Khi ñoù boä hai (x,y) goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a treân heä truïc Oxy vaø kyù hieäu laø a = (x,y).
3. Caùc pheùp tính veùc tô :
Cho hai veùc tô a (a1 , a2 ) ; b (b1 , b2 ) vaø k laø moät soá thöïc.
Caùc pheùp tính veùc tô nhö pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân moät soá vôùi moät veùctô, tích voâ höôùng hai
veùc tô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
a b (a1 b1 , a2 b2 )
a b (a1 b1 , a2 b2 )
k .a (ka1 , ka1 )
a.b a1b1 a2b2
4. Caùc coâng thöùc veà löôïng :
Cho hai veùc tô a (a1; a2 ) ; b (b1; b2 ) vaø goïi laø goùc taïo bôûi hai veùctô ñoù
a.b a . b khi vaø chæ khi a vaø b laø hai veùctô cuøng höôùng
cos
a1.b1 a2 .b2
a.b
2
ab
a1 a2 2 . b12 b2 2
Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0, y0) ñeán ñöôøng thaúng (D):Ax +By +C = 0 laø :
d (M , D)
Axo Byo C
A2 B2
Trang 2
Saùng kieán kinh nghieäm
5. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, ñöôøng troøn .
* Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M(x0, y0) vaø nhaän veùctô n ( A, B) laøm veùc tô
phaùp tuyeán laø:
A(x – x0) + B(y – y0) = 0
* Phöông trình ñöôøng troøn taâm I (a, b) baùn kính R laø: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2
II.HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ DESCARTES VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN.
1. Ñònh nghóa :
Trong khoâng gian cho ba ñöôøng thaúng x’ox, y’oy, z’Oz vuoâng goùc vôùi nhau ñoâi moät. Treân
Ox, Oy, Oz laàn löôït choïn caùc veùc tô ñôn vò e1 , e2 , e3 . Nhö vaäy ta coù moät heä truïc toaï ñoä Descartes vuoâng
goùc Oxyz.
2. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô.
Cho ñieåm M trong kh oâng gian Oxyz. Haï MH vuoâng goùc x’Ox, MK vuoâng goùc y’Oy vaø ML
vuoâng goùc z’Oz. Theo qui taéc hình hoäp, ta coù :
OM OH OK OL
xe1 ye2 ze3
Boä ba (x,y,z) ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ñieåm M vaø ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M, kyù hieäu M(x,y,z).
Cho a . Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm M sao cho OM a . Goïi (x, y. z) laø toaï ñoä cuûa
ñieåm M. Khi ñoù boä ba (x, y, z) goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a treân heä truïc Oxyz vaø kyù hieäu laø a = (x,y,z).
3. Caùc pheùp tính veùc tô :
Cho hai veùc tô a (a1 , a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) vaø k laø moät soá thöïc.
Caùc pheùp tính vectô nhö pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân moät soá vôùi moät vectô, tích voâ höôùng, tích coù
höôùng hai vectô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
a b (a1 b2 , a2 b2 )
a b (a1 b1 , a2 b2 )
k.a (ka1 , ka1 )
a.b a1b1 a2b2
a a a a aa
a.b ( 2 3 , 3 1 , 1 2 )
b2 b3 b3 b1 b1 b2
4. Caùc coâng thöùc veà löôïng :
Cho hai vectô a (a1 , a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) vaø goïi laø goùc taïo bôûi hai vectô ñoù
a.b a . b khi vaø ch æ khi a vaø b laø hai vectô cuøng höôùng
Trang 3
Saùng kieán kinh nghieäm
cos
a1.b1 a2 .b2 a3.b3
a.b
ab
a12 a2 2 a32 . b12 b2 2 b32
Cho (D) laø ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù vectô chæ phöông a (a1, a2 , a3 ) vaø ñieåm M. Giaû söû ta
tính ñöôïc AM (b1,b2 , b3 ) Khi ñoù khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng (D) ñöôïc tính laø :
a2 a3
d ( M , D)
2
2
aa
aa
3 1 1 2
b2 b3
b3 b1 b1 b2
2
a12 a22 a32
5. Phöông trình cuûa maët phaúng, ñöôøng thaúng vaø maët caàu.
a. Phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M(x0,y0,z0) vaø coù caëp vectô chæ phöông
a (a1, a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) laø :
a2 a3
a a
aa
( x x0 ) 3 1 ( y y0 ) 1 2 ( z z0 ) 0
b2 b3
b3 b1
b1 b2
b. Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M(x0,y0,z0) v aø nhaän vectô
a (a1 , a2 , a3 ) laøm vectô chæ phöông laø:
x x0 a1t
y y0 a2t
z z a t
0
3
(t laø tham soá)
c. Phöông trình maët caàu t aâm I (a, b,c) vaø coù baùn kính R laø :
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2
PHAÀN II :
CAÙC BAØI TOAÙN
I. CAÙC BAØI TOAÙN GIAÛI BAÈNG PPTÑ TRONG MAËT PHAÚNG:
1. CAÙC BAØI TOAÙN ÑAÏI SOÁ:
Baøi 1: Cho 4 soá thöïc x1, x2, x3, x4.
chöùng minh raèng (x12 +y12)(x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2
Giaûi:
Treân maët phaúng toaï ñoä xeùt 2 vectô : a ( x1, y1 ); b ( x2 , y2 )
2
Ta coù
2
a b a.b a b (a.b)2
vaäy (x12 +y12) (x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2
Trang 4
Saùng kieán kinh nghieäm
ñaúng thöùc xaõy ra a // b x1 y2 x2 y1
Baøi 2: Chöùng minh raèng neáu x, y, z > 0 thì
x 2 xy y 2 x 2 xz z 2 y 2 yz z 2
Giaûi
Baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh töông ñöông vôùi:
y
3 2
z
3 2
y z
3
3 2
( x )2 (
y) ( x )2 (
z ) ( )2 (
y
z ) (1)
2
2
2
2
2 2
2
2
Xeùt 3 ñieåm A( x
y
,
3
3
3
y z
z ) ; B(0, y z ) ; C ( ,0)
2
2
2
2 2
2
(1) AB + AC > BC
Ta coù AB AC BC vôùi 3 ñieåm A, B, C baát kyø ôû ñaây
y 3
y)
AB ( x ,
2 2
AC ( x z , 3 z )
2
2
Hai veùctô naøy khoâng theå ngöôïc höôùng (vì hoaønh ñoä cuøng aâm) do ñoù khoâng theå xaõy ra ñaúng thöùc AB
+ AC > BC.
Vaäy baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc chöùng minh.
Baøi 3 Giaûi baát phöông trình:
x 1 x 3 2( x 3) 2 2 x 2(1)
Giaûi
Ñieàu kieän x 1
Xeùt maët phaúng toaï ñoä Oxy caùc vectô:
u ( x 3, x 1)
v (1,1)
u ( x 3) 2 x 1
v 3
u.v x 1 x 3
Suy ra baát phöông trình (1) töông ñöông u.v u . v
Trang 5
Saùng kieán kinh nghieäm
u v
x 3 x 1
x2 6 x 9 x 1
x 3
x 2 7 x 10 0
x 3
x 5
x 2
x 3
x5
Vaäy x=5 laø nghieäm duy nhaát.
Baøi 4
Chöùng minh raèng:
cos 4 x 1 sin 4 x 1 cos 2 x , x R
Giaûi
Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy, caùc vectô:
a (cos 2 x,1)
a b (cos 2 x,0)
2
b
(sin
x
,1)
Khi ñoù, töø
a b a b
cos 4 x 1 sin 4 x 1 cos 2 x (dpcm)
Baøi 5 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá:
y f ( x) cos 2 x 2cos x 5 cos 2 x 4cos x 8
Giaûi
Trong maët phaúng toaï ñoä xeùt caùc veùctô:
a (1 cos x,2)
b (2 cos x,2)
a (1 cos x) 2 22 cos x 2 2cos x 5
2
2
2
Khi ñoù : b (2 cos x) 2 cos x 4cos x 8
a b 32 42 5
Trang 6
Saùng kieán kinh nghieäm
a b ab
töø
<=> y 5
Daáu “=” xaûy ra (chaúng haïn) taïi x
2
3
Vaäy miny=5
Baøi 6 : T ìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc
y x 2 2 px 2 p 2 x 2 2qx 2q 2 ( p q)
Gi aûi
Ta c où
y ( x p)2 p 2 ( x q) 2 q 2
Treân mp toaï ñoä laáy hai ñieåm A(p, q) : B(q,q). Baøi toaùn trôû thaønh: Tìm M(x,0) thuoäc Ox sao cho
(MA +MB) ñaït giaù trò nhoû nhaát.
Xeùt hai tröôøng hôïp:
- Neáu pq <0 thì A hoaëc B truøng O, hoaëc A,B naèm veà hai phía ñoái vôùi O .Khi ñoù (MA + MB) nhoû nhaát
M truøng O, töùc laø ymin 2 p 2 2q 2 2( p q ) ñaït ñöôïc khi x = 0
- Neáu pq >0 thì A, B naèm cuøng phía ñoái vôùi O (ñoàng thôøi naèm cuøng phía ñoái vôùi Ox). Laáy A’ ñoái xöù ng vôùi
A qua Ox ta coù A’(p, -p), ñoàng thôøi :
MA MB MA ' MB A ' B
Ñaúng thöùc xaõy ra A’, M, B thaúng haøng
x p k (q p )
A' M k A' B
p k (q p )
p
k p q
x 2 pq
pq
ymin A ' B ( p q)2 ( p q)2
2( p 2 q 2 )
ñaït ñöôïc khi x = 2pq/(p+q)
Baøi 7 Giaûi phöông trình:
x 2 2 x 2 4 x 2 12 x 25 9 x 2 12 x 29
Giaûi
Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy xeùt caùc vectô:
u ( x 1,1)
u v (3x 2,5)
v (2 x 3, 4)
Trang 7
Saùng kieán kinh nghieäm
u x2 2 x 2
v 4 x 2 12 x 25
u v 9 x 2 12 x 29
Suy ra phöông trình (1) töông ñöông:
uv u v
u kv(k 0)
x 1 k (2 x 3)
1 k .4
1
k 4
x 1 1 (2 x 3)
4
1
k
4
4 x 4 2 x 3
1
k 4
x 7
2
Vaäy phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x
7
2
Baøi 8:Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm
3 x 6 x (3 x)(6 x) m
Giaûi
Ñaët u 3 x ; v 6 x
Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh
u v 1 10 2m (1)
u v uv m
2
2
2
2
u
v
9
(2)
u v 9
u 0, v 0
u 0, v 0
(3)
- Phöông trình (1) bieåu thò 1 ñöôøng thaúng thay ñoåi song song vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù hai, phöông
trình (2) bieåu dieãn 1 ñöôøng troøn coù taâm taïi goùc toaï ñoä vaø baùn kính = 3
Heä coù nghieäm khi vaø chæ khi ñöôøng thaúng (1) vaø ñöôøng troøn (2) coù ñieåm chung thoaû ñieàu
kieän (3).
Trang 8
Saùng kieán kinh nghieäm
Vaäy Pt coù nghieäm khi
3 1 10 2m 3 2
6 2 9
m3
2
Baøi 9: Chöùng minh raèng:
a 2 a 1 a 2 a 1 2, a R
(Höôùng daãn)
Xeùt hai vectô
1 3
x a ,
2 2
1 3
y
a
,
2
2
1 2cos2 x 1 2sin 2 x m
Baøi 10: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá :
y f ( x) cos 2 x 6cos x 13 cos 2 x 2cos x 2
treân
2004 , 2006
(Höôùng daãn)
Xeùt hai vectô
a (3 cos x, 2)
b (1 cos x,1)
2. CAÙC BAØI TOAÙN HÌNH HOÏC :
Baøi 1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, caùc caïnh goùc vuoâng laø bvaø c, M laø moät ñieåm treân caïnh BC
sao cho goùc BAM = . Chöùng minh raèng:
AM =
bc
c.cos b sin
Giaûi
Choïn heä truïc toaï ñoä nhö hình veõ Khi ñoù A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y)
Töø ñònh nghóa: x = AM cos , y = AM sin .
Neân M(AM cos , AM sin )
Do M thuoäc BC CM cuøng phöông v ôùi CB
AM cos AM sin
0
b
c
AM (c cos b sin ) bc
bc
AM
c cos b sin
Trang 9
Saùng kieán kinh nghieäm
Baøi 2: Cho tam giaùc ABC coù ñoä daøi caùc trung tuyeán va ñoä daøi baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp
laàn löôït laø ma, mb, mc, R
Chöùng minh:
ma mb mc
9R
2
(Ñaïi hoïc y döôïc TPHCM naêm2000)
Giaûi
Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giac ABC.Ta coù:
(OA OB OC ) 2 0
OA2 OB 2 OC 2 2(OA.OB OB.OC OC.OA) 0
3R 2 2 R 2 (cos 2 A cos 2 B cos 2C ) 0
3 2(3 2sin 2 A 2sin 2 B 2sin 2 C ) 0
9
4
Do ñoù theo baát ñaúng thöùc Bunhiacopski:
sin 2 A sin 2 B sin 2 C
ma mb mc 3(ma2 mb2 mc2 )
9 2
(a b 2 c 2 )
4
9(sin 2 A sin 2 B sin 2 C ).R 2
9
9
9. .R 2 .R
4
2
9
R
2
Daáu”=” xaûy ra khi tam giaùc ABC ñeàu.
ma mb mc
Trang 10
Saùng kieán kinh nghieäm
Baøi 3: (SGK HH 10)
Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC, D laø hình chieáu cuûa H treân AC , M
laø trung ñieåm cuûa HD. Chöùng minh AM vuoâng goùc BD.
Giaûi
Choïn heä truïc toaï ñoä nhö hình veõ
Khi ñoù: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y)
DH AC
( x, y )(c, a) 0
Ta coù : AD cung phuong AC x y a
c a 0
a 2c
x
cx ay 0
a2 c2
2
ax cy ac
y c a
a2 c2
a 2c
c2 a
,
) , M laø trung ñieåm cuûa HD neân:
Vaäy D( 2
a c2 a2 c2
a 2c
c2 a
M(
,
)
2(a 2 c 2 ) 2(a 2 c 2 )
2a 2c c3 c2 a
a 2c
-c2 a 2a3
BD. AM ( 2 2 , 2 2 )( 2 2 ,
)
a c a c 2(a c ) 2(a 2 c 2 )
2a 4c 2 a 2c 4 -c4 a 2 2a 4c 2
0
2(a 2 c 2 )
2(a 2 c 2 )
Vaäy BD Vuoâng goùc AM (ñpcm)
Trang 11
Saùng kieán kinh nghieäm
Baøi 4 (Ñeà thi HSG toaøn quoác – Naêm 1979)
Ñieåm M naèm treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ñeàu ABC. Chöùng minh giaù trò cuûa MA4
+ MB4 + MC4 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa M.
Giaûi
Goïi I,R laø taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (c) ngoaïi tieáp tam giaùc ñeàu ABC. Döïng heä truïc
3R R 3
3R R 3
,
); C ( ,
); I ( R,0)
2
2
2
2
M ( x, y) (C ) MI R
MI 2 R 2 x 2 y 2 2Rx
2
3R 2
R 3 2
4
4
4
2
2 2
MA MB MC ( x y ) ( x ) ( y
)
2
2
nhö hình veõ, ta coù A(0,0); B(
Ta coù
3R
R 3 2
( x )2 ( y
)
2
2
2
(2 Rx)2 (3R 2 Rx R 3 y) 2 (3R 2 Rx R 3 y) 2
6 R 2 x 6 R 2 y 2 18R 4 12 R 3 x
6 R 2 ( x 2 y 2 ) 18R 4 12 R 3 x
6 R 2 2 Rx 18R 4 12 R 3 x 18R 4
Vaäy giaù trò MA4 + MB4 + MC4 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí M
B aøi 5 (Ñ eà thi v oâ ñ òch Anh - n aêm 1981)
Cho tam giaùc ABC caân taïi A. D laø trung ñieåm caïnh AB, I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam
giaùc ABC, E laø troïng taâm cuûa tam giaùc ACD. Chöùng minh IE vuoâng goùc CD.
Gi aûi
Choïn heä truïc nhö hình veõ (O laø trung ñieåm cuûa BC)
Khi ñoù : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0)
Goïi I(x, y)
Giaû thieát suy ra
c
a
DI BA
( x , y ).(c, a) 0
2
2
OI
BC
( x, y ).(2c, o) 0
x 0
a2 c2
y
2a
V aäy I (0,
a2 c2
)
2a
Trang 12
Saùng kieán kinh nghieäm
c c 2 3c a c 2 c 2
IE.DC ( , )( , ) 0
6 2a 2 2
4 4
IE DC (dpcm)
II. CAÙC BAØI TOAÙN GIAÛI BAÈNG PP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN .
1. CAÙC BAØI ÑAÏI SOÁ:
Baøi 1:Giaûi heä phöông trình
x y z 1
2
2
2
x y z 1
3
3
3
x y z 1
Giaûi
Xeùt hai veùc tô u ( x0 , y0 , z0 ) ; v ( x0 2 , y0 2 , z0 2 ) trong ñoù u ( x0 , y0 , z0 )
Laø nghieäm tuyø yù (neáu coù) cuûa heä ñaõ cho.
Ta coù u.v x03 y03 z03 1
Ngoaøi ra tính ñöôïc u 1 ; v 1 2( x02 y02 y02 z02 z02 x02 1
Vaäy u . v 1 u.v
Do ñoù u.v u . v
x0 y0 1
y z 1
0 0
Daáu baèng xaõy ra
z0 x0 1
x y z 1
0
0
0
x0 1 x0 0 x0 0
Töø ñoù suy ra
y0 0 ; y0 1 ; y0 0
z 0 z 0 z 1
0
0
0
Thöû laïi ta ñöôïc heä ñaõ cho coù 3 nghieäm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1)
Baøi 2 : Giaûi baát phöông trình:
x 1 2 x 3 50 3x 12
Giaûi
Ñieàu kieän:
x 1
3
3
50
x
x
2
2
3
50
x 3
Trang 13
Saùng kieán kinh nghieäm
Trong maët phaúng Oxy xeùt caùc vectô:
u (1,1,1)
v ( x 1, 2 x 3, 50 3 x )
u 3
u x 1 2 x 3 50 3 x 48 4. 3
u.v x 1 2 x 3 50 3 x
Suy ra(1) u.v u . v
Ñaúng thöùc naøy luoân ñuùng
Vaäy nghieäm baát phöông trình ñaõ cho laø
Baøi 3
3
50
x
a2
2
3
x y z 3
Giaûi heä:
x2 y 2 z 2 3(1)
x3 y3 z3 3
Giaûi
Xeùt trong Khoâng gian Oxyz caùc vectô:
u ( x, y , z )
v (1,1,1)
u x2 y 2 z 2 3
u 3
u.v x y z 3
u.v u . v
u v
x y z
0
1 1 1
x y z 1
(Thoaû (1) Vaäy: x=y=z=1 laø nghieäm duy nhaát cuûa heä (1).
Baøi 4 : Cho a, b laø hai soá thöïc tuyø yù. Chöùng minh raèng
Trang 14
Saùng kieán kinh nghieäm
1 (a b)(1 ab) 1
2 (1 a 2 )(1 b2 ) 2
Giaûi
Trong khoâng gian vôùi heä truïc toaï ñoä Ñeà - caùc vuoâng goùc Oxyz, ñaët
u (1, a,0)
v (1, b,0)
1 ab
cos(u, v)
1 a 2 1 b2
ab
sin(
u
,
v
)
1 a 2 1 b2
2(1 ab)(a b)
1
(1 a 2 )(1 b2 )
1 (a b)(1 ab) 1
2 (1 a 2 )(1 b2 ) 2
ta coù sin 2(u, v) 2sin(u, v).cos(u, v)
2
CAÙC BAØI TOAÙN HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN
Baøi 1
Cho tam dieän oxyz. A, B, C laàn löôït laø caùc ñieåm di ñoäng treân ox, oy, oz sao cho:
1
1
1
1
OA OB OC
2005
Chöùng minh raèng: (ABC)luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh.
Giaûi
Choïn heä truïc toaï ñoä vuoâng goùc oxyz (nhö hình veõ )
Sao cho: A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(vôùi OA=a,OB=b,OC=c)
Khi ñoù phöông trình maët phaúng (ABC) laø:
Trang 15
Saùng kieán kinh nghieäm
x y z
1
a b c
Hôn nöõa:
1 1 1
1
(Do giaû thieát)
a b c 2005
M (2005,2005,2005) mp( ABC )
=>mp(ABC)luoân ñi qua ñieåm coá ñònh
M(2005,2005,2005).
Baøi 2:Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ vôùi AB = a, BC = b, AA’ = c.
a/ Tính dieän tích cuûa tam giaùc ACD’ theo a, b, c
b/ Giaû söû M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø BC. Haõy tính theå tích cuûa töù dieän
D’DMN theo a, b, c.
Giaûi
a/ Ta laäp heä truïc toaï ñoä vuoâng goùc coù goác truøng vôùi ñænh A, caùc truïc coù phöông truøng vôùi
AB ; AD ; AA ' Khi ñoù : A(0,0,0) , C(a,b,0) , D’(0,b,c).
AC (a, b,0); AD ' (0, b, c);[ AC , AD] (bc, ca, ab)
1
S
[ AC , AD]
ACD ' 2
1
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
2
b/ Deã daøng tính ñöôïc
S
3ab
8
DMN
1
abc
V S
DD '
3 DMN
8
Baøi 3:Cho hai nöûa mp (P) vaø (Q) vuoâng goùc vôùi nhau theo giao tuyeán (d). Treân (d) laáy AB =
a (a laø ñoä daøi cho tröôùc). Treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc vôùi (d) vaø ôû trong (Q) laáy ñieåm N
sao cho BN =
a2
.
b2
a/ Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (BMN) theo a, b.
b/ Tính MN theo a , b. Vôùi giaù trò naøo cuûa b thì MN coù ñoä daøi cöïc tieåu. Tính ñoä daøi cöïc tieåu
ñoù.
Giaûi
a/ Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz sao cho A truøng vôùi goác toaï ñoä (A(0,0,0)): B coù toaï ñoä (0,a,0);
a2
N coù toaï ñoä ( , a, 0 ). Ta coù
b
Trang 16
Saùng kieán kinh nghieäm
BM (0, a, b)
a2
BN ( ,0,0)
b
b 0 a b
a b
2 ,
2
[ BM , BN ] (
,
) (0, a 2 , a 2 )
a
a
0 0 0
0
b b
a 2 (0,1, 1)
Do ñoù mp(BMN) qua B(0,a,0) vaø coù VTPT laø v (0,1, 1)
Phöông trình cuûa maët phaúng naøy laø:
(y – a).1 – (z – 0) = 0
hay
y–z -a=0
Khoaûng caùch töø A(0,0,0,) ñeán maët phaúng ñoù laø :
a
a
11
2
a2
a4
a 2 b2
b/ Ta coù MN ( , a, b) MN
b
b4
MN a2 2a2 (baát ñaúng thöùc Coâsi)
a4
a 3 2 b2 b a
MN coù ñoä daøi cöïc tieåu
b
MinMN a 3 khi b a
Baøi 4: Cho moät goùc tam dieän ba maët vuoâng goùc Oxyz. Laáy laàn löôït treân Ox, Oy,Oz caùc
ñieåm P, Q, R khaùc ñieåm O. Goïi A, B, C laàn löôït laø trung ñieåm cuûa PQ, QR, RP. Chöùng minh raèng
neáu goùc nhò dieän caïnh OA cuûa töù` dieän OABC laø goùc nhò dieän vuoâng thì hai goùc B vaø C cuûa tam
giaùc ABC thoaû heä thöùc tgB.tgC = 2.
Giaûi
Choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxyz sao cho P(2a,0,0) ; Q(0,2b,0) ;R(0,0,2c). Khi
ñoù:
A(a,b,0) ; B(0,b,c) ; C(a,0,c)
Phaùp veùc tô cuûa maët phaúng (OAB) vaø (OAC) laàn löôït laø:
n1 (bc, ac, ab)
n2 (bc, ac, ab)
Goùc nhò dieän caïnh OA vuoâng khi vaø chæ khi:
n1.n2 0 b2c 2 a 2c 2 a 2b2
Trong tam giaùc ABC ta coù:
Trang 17
Saùng kieán kinh nghieäm
b 2 c 2 a 2 c 2 a 2b 2
a2
b 2 c 2 a 2 c 2 a 2b 2
tgC
b2
b2c 2 a 2c 2 a 2b 2 2a 2b 2
tgB
.
tgC
2 2 2(dpcm)
Vaäy
a 2b 2
ab
tgB
Baøi 5: Cho tam giaùc vuoâng goc ôû A.tìm quyõ tích caùc ñieåm M trong khoâng gian thoaû maõn :
MB 2 MC 2 MA2
Giaûi
Choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà caùc Oxyz sao cho A truøng O, B(b,0,.0),C(0,c,0)
( Vôùi AB =b>0,AC=c>0)
Khi ñoù M(x, y, z) thoaû :
MB 2 MC 2 MA2
( x b) 2 y 2 z 2 ( y c ) 2 z 2 x 2 y 2 z 2
( x b) 2 ( y c ) 2 z 2 0
x b
y c
z 0
M (b, c, 0)
Vaäy quyõ tích caàn tìm chæ coù moät ñieåm duy nhaát M(b,c,0)
Trang 18
Saùng kieán kinh nghieäm
C. KEÁT LUAÄN
Treân ñaây laø moät soá baøi toaùn ñaïi soá vaø hình hoïc trong maët phaúng cuõng nhö trong khoâng gian.
Neáu kheùo leùo choïn heä truïc toaï ñoä phuø hôïp, vaän duïng phöông phaùp vectô vaø toaï ñoä thì coù theå
chuyeån thaønh baøi toaùn ñaïi soá hoaëc giaûi tích vaø tìm ra lôøi giaûi ngaén goïn, phaàn naøo laøm saùng toû vaán
ñeà maø toâi ñöa ra. Trong quaù trình vieát, do thôøi gian vaø kinh nghieäm giaûng daïy coù haïn neân chaéc
khoâng traùnh khoûi nhieàu thieáu soùt, mong caùc thaày coâ goùp yù. Toâi xin chaân thaønh caûm ôn.
Bình Xuyeân, thaùng 11 naêm 2010
Ngöôøi vieát
Ngô Minh Tuấn.
Trang 19
- Xem thêm -