I HÅC QUÈC GIA H NËI
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN
...........................
Nguy¹n Thanh Nh n
SÂNG RAYLEIGH
TRONG MÆ HNH HAI LÎP THUN NHT
LUN VN THC S KHOA HÅC
H Nëi - 2014
I HÅC QUÈC GIA H NËI
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN
..........................
Nguy¹n Thanh Nh n
SÂNG RAYLEIGH
TRONG MÆ HNH HAI LÎP THUN NHT
Chuy¶n ng nh: Cì håc vªt thº rn
M¢ sè: 60440107
LUN VN THC S KHOA HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc:
TS. Tr¦n Thanh Tu§n
H Nëi - 2014
LÍI CM ÌN
Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, t¡c gi£ xin b y tä láng
bi¸t ìn s¥u sc tîi TS Tr¦n Thanh Tu§n ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n º
t¡c gi£ câ thº ho n th nh luªn v«n n y.
T¡c gi£ công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y
cæ gi¡o trong khoa To¡n - Cì - Tin håc, ¤i håc Khoa Håc Tü Nhi¶n, ¤i
Håc Quèc Gia H Nëi v nhâm seminar do PGS -TS Ph¤m Ch½ V¾nh chõ
tr¼ ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i khoa.
Nh¥n dàp n y t¡c gi£ công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia
¼nh, b¤n b± ¢ cê vô v ëng vi¶n gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc
tªp v thüc hi»n luªn v«n n y.
H Nëi, ng y ... th¡ng ... n«m 2014
T¡c gi£
Nguy¹n Thanh Nh n
Möc löc
Kþ hi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
MÐ U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Ch÷ìng 1. Ph÷ìng ph¡p h m th¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1. Ph÷ìng tr¼nh t¡n sc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Cæng thùc t sè H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. K¸t luªn ch÷ìng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
16
17
Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Cæng thùc t sè H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn trong mæ h¼nh mët lîp câ d¡y bà
ng m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1. Ph÷ìng tr¼nh t¡n sc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Cæng thùc t sè H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
25
2.4. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn trong mæ h¼nh hai lîp câ ¡y bà
ng m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1. Ph÷ìng tr¼nh t¡n sc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Cæng thùc t sè H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. K¸t luªn ch÷ìng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
28
30
Ch÷ìng 3. Mët sè t½nh ch§t cõa ÷íng cong t¡n sc v t sè
H/V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1. Ph÷ìng tr¼nh t¡n sc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Kh£o s¡t iºm cüc ¤i v iºm khæng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. K¸t luªn ch÷ìng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
33
40
Ch÷ìng 4. Cæng thùc trung b¼nh vªn tèc sâng ngang . . . . .
41
4.1. T¦n sè cëng h÷ðng trong mæ h¼nh hai lîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
42
4.2. Cæng thùc trung b¼nh vªn tèc sâng ngang trong mæ h¼nh hai lîp .
43
4.3. ¡nh gi¡ cæng thùc vªn tèc trung b¼nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4. K¸t luªn ch÷ìng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
KT LUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Danh Möc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
Mët sè kþ hi»u sû döng
• u, v , w c¡c th nh ph¦n chuyºn dàch theo c¡c ph÷ìng 0x, 0y , 0z
• u̇, v̇ , ẇ vªn tèc chuyºn dàch theo c¡c ph÷ìng 0x, 0y , 0z
• c Vªn tèc sâng
• αm vªn tèc sâng dåc cõa lîp m
• βm vªn tèc sâng ngang cõa lîp m
• ρm khèi l÷ñng ri¶ng cõa lîp m
• dm ë d y cõa lîp m
• νm h¬nng sè Poisson cõa lîp m
• C = c/β1
• rs =
β1
β2
• cv = rs2
• rd = ρ1 /ρ2
• rt = d1 /d2
• p t¦n sè gâc
• k = p/c = 2π/λ
• γ1 = β12 /α12 = (1 − 2ν1 )/2(1 − ν1 )
• γ2 = β22 /α22 = (1 − 2ν2 )/2(1 − ν2 )
√
• gα1 = γ1 C 2 − 1
√
• gβ1 = C 2 − 1
• gα2 =
p
• gβ2 =
p
• gαm =
p
• gβm =
p
rs2 γ2 C 2 − 1
rs2 C 2 − 1
(c/αm )2 − 1
(c/βm )2 − 1
4
• pm = kgαm
• qm = kgβm
• Gm =
2
,m
C2
= 1, 2
• σ ùng su§t ph¡p
• τ ùng su§t ti¸p
• f¯ t¦n sè tîi h¤n
• β̄ vªn tèc sâng ngang trung b¼nh
5
MÐ U
Sâng Rayleigh l mët d¤ng cõa sâng b· m°t, ÷ñc °t theo t¶n cõa Lord
Rayleigh, ng÷íi ¢ dòng cæng thùc to¡n håc ti¶n o¡n sü tçn t¤i cõa sâng
n y v o n«m 1885. Sâng Rayleigh khi truy·n i cuën trán dåc theo m°t
§t. V¼ th¸, m°t §t bà di chuyºn l¶n xuèng, qua l¤i theo ph÷ìng truy·n
cõa sâng n y. Ph¦n lîn sü rung lc c£m nhªn ÷ñc trong c¡c trªn ëng
§t l tø sâng Rayleigh, vîi c÷íng ë lîn hìn t§t c£ c¡c d¤ng sâng àa
ch§n kh¡c. C¡c ph÷ìng tr¼nh v· sâng Rayleigh ban ¦u l ÷ñc x²t cho mæ
h¼nh b¡n khæng gian v câ d¤ng hi»n ìn gi£n. Tuy nhi¶n mæ h¼nh cõa b·
m°t tr¡i §t trong thüc t¸ l mæ h¼nh câ mët sè lîp °t tr¶n b¡n khæng
gian. Hi»n nay cæng thùc d¤ng hi»n cho sâng Rayleigh mîi ch¿ døng l¤i ð
mæ h¼nh câ mët lîp °t tr¶n b¡n khæng gian, v½ dö xem Tran Thanh Tu§n
(2009) [1], Malischewsky v Scherbaun (2004) [2], Haskell (1953) [3]. Vîi
c¡c mæ h¼nh nhi·u lîp hìn th¼ c¡c cæng thùc ÷ñc tr¼nh b y ð d¤ng ©n
do t½nh phùc t¤p cõa mæ h¼nh. Do â, º nhªn ÷ñc cæng thùc d¤ng hi»n
thuªn ti»n cho vi»c nghi¶n cùu gi£i t½ch c¡c t½nh ch§t cõa sâng Rayleigh,
luªn v«n s³ døng l¤i ð vi»c nghi¶n cùu mæ h¼nh gçm câ hai lîp thu¦n nh§t.
Sâng Rayleigh ÷ñc gn li·n vîi ph÷ìng ph¡p t sè H/V l ph÷ìng ph¡p
nghi¶n cùu t sè cõa dàch chuyºn theo ph÷ìng ngang (Horizontal) v dàch
chuyºn theo ph÷ìng th¯ng ùng (Vertical) cõa ph¦n tû tr¶n b· m°t tr¡i
§t. Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc · xu§t bði Nogoshi v Igarashi (1971) [4] v
trð n¶n phê bi¸n hìn nhí Nakamura (1989 [5], 1996 [6], 2000 [7]), v nâ
÷ñc sû döng º x¡c ành t¦n sè cëng h÷ðng sü khu¸ch ¤i sâng àa ch§n
cõa c¡c lîp b· m°t. Ngo i ra nâ cán ÷ñc sû döng nh÷ l mët cæng cö º
x¡c ành c¡c t½nh ch§t cõa c¡c lîp b· m°t. Ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p ¸n
tø thüc t¸ l câ r§t nhi·u th nh phè lîn ÷ñc x¥y düng tr¶n mët n·n àa
t¦ng m·m v mët sè lîn th nh phè n¬m trong vòng àa ch§n, trong khi
â, n·n àa t¦ng m·m trong mët sè i·u ki»n n o â s³ khu¸ch ¤i c÷íng
ë sâng àa ch§n l¶n nhi·u l¦n, g¥y thi»t h¤i lîn v· ng÷íi v cõa. i·u n y
cho th§y sü c¦n thi¸t cõa vi»c kh£o s¡t kÿ l÷ïng v ÷a ra nhúng ¡nh
gi¡ tin cªy v· hi»n t÷ñng khu¸ch ¤i àa t¦ng. V§n · n y ¢ ÷ñc nhi·u
6
nh khoa håc v kÿ s÷ nghi¶n cùu trong mët thíi gian d i nh¬m nhªn ra
nhúng °c iºm ch½nh trong sü ph£n ùng cõa c¡c vòng §t èi vîi c¡c lîp
àa ch§t m·m (nh÷ t¦n sè cëng h÷ðng v h» sè khu¸ch ¤i). Câ mët sè
cæng cö cê iºn nh÷ àa vªt lþ, àa kÿ thuªt ( seismic refraction, seismic
reflection, boreholes ...) th÷íng g°p ph£i nhúng h¤n ch¸ khi sû döng trong
c¡c khu vüc th nh thà nh÷ chi ph½ cao, £nh h÷ðng ¸n mæi tr÷íng khi¸n
nhúng cæng cö n y g°p ph£i sü ph£n èi cõa cëng çng (do ph£i sû döng
thuèc nê v m¡y khoan), th¼ ph÷ìng ph¡p t sè H/V chõ y¸u düa tr¶n
vi»c o ¤c c¡c nhi¹u ëng ang ng y c ng trð n¶n phê bi¸n hìn. Ph÷ìng
ph¡p n y ¢ em l¤i mët cæng cö ti»n lñi, thüc t¸ v ½t tèn k²m º sû döng
÷ñc trong c¡c khu vüc th nh thà. Trong khuæn khê luªn v«n th¤c sÿ n y,
c¡c t½nh ch§t cõa t sè H/V ÷ñc dòng trong ph÷ìng ph¡p t sè H/V s³
÷ñc nghi¶n cùu èi vîi mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t.
Nhúng t½nh ch§t ¡ng chó þ cõa ÷íng cong t sè H/V ÷ñc sû döng
trong ph÷ìng ph¡p t sè H/V l t¦n sè cõa iºm cüc ¤i v iºm cüc tiºu
cõa ÷íng cong n y. Ph÷ìng ph¡p t sè H/V sû döng nhúng dú li»u v· t¦n
sè cüc ¤i v cüc tiºu cõa ÷íng cong t sè H/V cõa nhi¹u dao ëng ÷ñc
o ¤c t¤i b· m°t m°t §t º t½nh to¡n c¡c tham sè v h» sè khu¸ch ¤i cõa
mët vòng §t. Trong thüc h nh t½nh to¡n th¼ kÿ thuªt thøa nhªn mët k¸t
qu£ ìn gi£n, â l coi mæ h¼nh b· m°t tr¡i §t bao gçm mët lîp phõ tr¶n
mët b¡n khæng gian væ h¤n v khi m t sè cõa vªn tèc sâng ngang cõa
b¡n khæng gian èi vîi vªn tèc sâng ngang cõa lîp phõ tr¶n nâ l lîn th¼ câ
thº coi b÷îc sâng cõa sâng cëng h÷ðng (sâng khu¸ch ¤i) s³ câ ë d i b¬ng
bèn l¦n chi·u d y cõa lîp phõ. K¸t qu£ n y ¢ ÷ñc kiºm chùng qua c¡c
o ¤c v ÷ñc sû döng mët c¡ch rëng r¢i, v½ dö nh÷ trong c¡c dü ¡n cõa
SESAME (http://sesame-fp5.obs.ujf-grenoble.fr/index.htm) ho°c HADU
v NER-IES (http://www.geotechnologien.de/forschung/forsch2.11k.html;
http: // www. neries - eu.org/). K¸t qu£ n y ¢ ÷ñc chùng minh khi sû
döng mæ h¼nh mët lîp câ ¡y bà ng m (l tr÷íng hñp tîi h¤n cõa mæ h¼nh
mët lîp phõ tr¶n b¡n khæng gian khi t sè cõa vªn tèc sâng ngang cõa
b¡n khæng gian v lîp ti¸n ra væ còng) trong Malischewsky v c¡c cëng sü
(2008) [8]. Mët k¸t qu£ kinh nghi»m núa công ÷ñc sû döng trong ph÷ìng
ph¡p t sè H/V, â l t sè cõa t¦n sè cõa iºm khæng (t sè H/V b¬ng
7
khæng) v t¦n sè iºm cüc ¤i l x§p x¿ b¬ng 2. K¸t qu£ n y ÷ñc ÷a
ra bði Konno v Ohmachi (1998) [9] èi vîi mët tªp kh¡ h¤n ch¸ cõa gi¡
trà vªn tèc sâng ngang v nâ công ÷ñc kh¯ng ành bði Stephenson (2003)
[10] trong tr÷íng hñp c£ lîp phõ v b¡n khæng gian câ h» sè Poisson l
lîn. Nhúng k¸t qu£ têng qu¡t hìn v· hai k¸t qu£ kinh nghi»m n y công ¢
÷ñc kh£o s¡t chi ti¸t trong Tran Thanh Tuan v c¡c cëng sü (2011) [11]
khi kh£o s¡t mæ h¼nh mët lîp phõ tr¶n b¡n khæng gian. Nhúng t½nh ch§t
t÷ìng tü v· iºm cüc ¤i v iºm cüc tiºu cõa ÷íng cong t sè H/V s³
÷ñc nghi¶n cùu trong luªn v«n èi vîi mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t.
Do c§u t¤o thüc t¸ cõa vä tr¡i §t l gçm mët sè lîp tr¦m t½ch tr´ ÷ñc
°t tr¶n mët lîp ¡ câ ë cùng lîn hìn nhi·u so vîi c¡c lîp tr¦m t½ch, n¶n
nâi chung ë cùng cõa b¡n khæng gian trong mæ h¼nh l t÷ìng èi lîn so
vîi c¡c lîp b· m°t. Do â, luªn v«n s³ tªp trung nghi¶n cùu mæ h¼nh hai
lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m. ¥y l tr÷íng hñp tîi h¤n cõa mæ h¼nh
hai lîp thu¦n nh§t °t tr¶n b¡n khæng gian. Lþ do cõa vi»c h¤n ch¸ mæ
h¼nh câ ¡y bà ng m l trong Tran Thanh Tuan (2011) [11] ¢ ch¿ ra r¬ng
t¦n sè cõa c¡c iºm cüc ¤i v cüc tiºu cõa mæ h¼nh câ ¡y bà ng m kh¡
g¦n vîi t¦n sè cõa c¡c iºm n y trong mæ h¼nh câ b¡n khæng gian vîi ë
cùng t÷ìng èi lîn.
Vîi c¡c lþ do tr¶n, luªn v«n s³ kh£o s¡t sâng m°t Rayleigh trong mæ
h¼nh hai lîp câ ¡y bà ng m. Mæ h¼nh n y õ ìn gi£n º câ thº nhªn
÷ñc ph÷ìng tr¼nh t¡n sc v cæng thùc t sè H/V d÷îi d¤ng hiºn v nâ
l tr÷íng hñp tîi h¤n cõa mæ h¼nh hai lîp °t tr¶n b¡n khæng gian. Mæ
h¼nh hai lîp °t tr¶n b¡n khæng gian n y trong r§t nhi·u tr÷íng hñp l õ
º mæ t£ mæ h¼nh thüc t¸ cõa vä tr¡i §t. Vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh d¤ng hiºn
n y, mët sè t½nh ch§t cõa sâng Rayleigh s³ ÷ñc nghi¶n cùu mët c¡ch gi£i
t½ch.
Luªn v«n ÷ñc chia l m 4 ch÷ìng v ph¦n mð ¦u v k¸t luªn nh÷ sau:
Ch÷ìng 1. Ph÷ìng ph¡p h m th¸: Ch÷ìng n y tr¼nh b y vi»c thi¸t
lªp ph÷ìng tr¼nh t¡n sc v cæng thùc t sè H/V b¬ng ph÷ìng ph¡p h m
th¸ trong mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m.
Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn: Ph÷ìng ph¡p ma trªn
chuyºn ÷ñc sû döng trong ch÷ìng n y º nhªn l¤i ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t¡n
8
sc v cæng thùc t sè H/V trong mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà
ng m.
Ch÷ìng 3. Mët sè t½nh ch§t cõa ÷íng cong t¡n sc v t sè
H/V: Vîi ph÷ìng tr¼nh t¡n sc v cæng thùc t sè H/V d¤ng hiºn, ch÷ìng
n y s³ kh£o s¡t mët sè t½nh ch§t gi£i t½ch cõa ÷íng cong t¡n sc v ÷íng
cong t sè H/V.
Ch÷ìng 4. Cæng thùc trung b¼nh vªn tèc sâng ngang: Ch÷ìng
n y s³ i t¼m mët cæng thùc mîi cho vªn tèc sâng ngang cõa lîp t÷ìng
÷ìng khi thu¦n nh§t hâa hai lîp v· mët lîp phò hñp vîi ph÷ìng ph¡p t
sè H/V.
9
Ch֓ng 1
Ph÷ìng ph¡p h m th¸
Nëi dung ch½nh trong ch÷ìng n y s³ tr¼nh b y vi»c thi¸t lªp ph÷ìng
tr¼nh t¡n sc v cæng thùc t sè H/V cõa mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ
¡y bà ng m theo ph÷ìng ph¡p h m th¸. Ph÷ìng ph¡p h m th¸ câ ÷u iºm
l d¹ h¼nh dung v thº hi»n ÷ñc b£n ch§t vªt lþ cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh.
Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc sû döng º nhªn ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t¡n sc cõa
sâng Rayleigh trong c¡c mæ h¼nh ìn gi£n, v½ dö xem Malischewsky v
Scherbaum (2004) [2], Tran Thanh Tuan (2009) [1]. Tuy nhi¶n, vîi c¡c mæ
h¼nh phùc t¤p câ nhi·u lîp hìn, ph÷ìng ph¡p n y s³ r§t cçng k·nh do sè
l÷ñng tham sè xu§t hi»n trong c¡c ph÷ìng tr¼nh s³ r§t lîn. Khi â, ph÷ìng
ph¡p ma trªn chuyºn s³ ÷ñc sû döng v ÷ñc tr¼nh b y trong Ch÷ìng 2.
1.1. Ph÷ìng tr¼nh t¡n sc
X²t mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t n hçi ¯ng h÷îng vîi ¡y cõa lîp thù
hai bà ng m, lîp thù nh§t câ m°t tü do nh÷ H¼nh 1.1. Chån h» tröc tåa
ë nh÷ h¼nh v³ v gi£ sû sâng truy·n dåc theo tröc x1 vîi vªn tèc sâng c.
Lîp thù nh§t câ ë d y, h¬ng sè Posson, vªn tèc sâng ngang, khèi l÷ñng
ri¶ng l¦n l÷ñt l d1 , ν1 , β1 , ρ1 , lîp thù hai câ c¡c tham sè t÷ìng ùng l d2 ,
ν2 , β2 , ρ2 . X²t sâng ph¯ng ch¿ câ hai th nh ph¦n chuyºn dàch u1 v u3 , cán
chuyºn u2 = 0.
Trong mët lîp b§t ký tr÷íng vector chuyºn dàch ÷ñc biºu di¹n bði cæng
thùc (ành lþ Helmholtz)
u = ∇ϕ + ∇ ∧ ψ
.
10
(1.1)
H¼nh 1.1: Mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m
Trong biºu thùc (1.1) h m ϕ l mët tr÷íng væ h÷îng v ψ l tr÷íng
vector v hai tr÷íng n y ÷ñc chån d÷îi d¤ng sâng ph¯ng v câ
ϕ = Φ(x3 ) exp[i(kx1 − ωt)],
ψ = Ψ(x3 ) exp[i(kx1 − ωt)].
(1.2)
√
Ð ¥y i = −1 l ìn và £o, k = 2π/λ l sè sâng v ω = 2π/T l vªn tèc
gâc, T l chu ký cõa sâng v λ l b÷îc sâng. Ta câ mèi li¶n h» giúa sè sâng
v vªn tèc gâc ω = k.c . Chån biºu di¹n cõa c¡c h m Φ(x3 ) v Ψ(x3 )
Φ(x3 ) = A sinh(px3 ) + B cosh(px3 ),
Ψ(x3 ) = C sinh(qx3 ) + D cosh(qx3 ),
vîi
ω2
c2
2
2
p = − 2 + k = k − 2 + 1 = k 2 −γC 2 + 1 ,
α
α
2
2
ω
c
q 2 = − 2 + k 2 = k 2 − 2 + 1 = k 2 −C 2 + 1 .
β
β
2
(1.3)
(1.4)
Trong â C = c/β , γ = β 2 /α2 . Thay ph÷ìng tr¼nh (1.2) v o ph÷ìng tr¼nh
(1.1) v chó þ r¬ng ¤o h m cõa h m mô vîi cì sè e s³ cho ta nh¥n tû l
exp[i(kx1 − ωt)], nâ luæn d÷ìng n¶n ta câ thº gi£n ÷îc nh¥n tû n y, khi â
bi¶n ë chuyºn dàch theo c¡c ph÷ìng s³ câ d¤ng
U1 (x3 ) = ikΦ −
dΨ
,
dx3
dΦ
U3 (x3 ) =
+ ikΨ.
dx3
(1.5)
Th nh ph¦n ùng su§t ph¡p v ùng su§t ti¸p nhªn ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh
11
tr¤ng th¡i câ d¤ng
dU1
σ31 = ρβ 2
+ ikU3 ,
dx3
dU3
2
σ33 = ρα
+ ik(1 − 2γ)U1 .
dx3
(1.6)
Do â èi vîi lîp thù nh§t c¡c ¤i l÷ìng chuyºn và v ùng su§t theo c¡c
biºu thùc (1.3) s³ ÷îc biºu di¹n nh÷ sau
Φ1 (x3 ) = A1 sinh(p1 x3 ) + B1 cosh(p1 x3 ),
(1.7)
Ψ1 (x3 ) = C1 sinh(q1 x3 ) + D1 cosh(q1 x3 ),
√
√
vîi γ1 = β12 /α12 = (1 − 2ν1 )/2(1 − ν1 ), p1 = k −C 2 γ1 + 1, q1 = k −C 2 + 1.
C¡c th nh ph¦n chuyºn dàch theo c¡c ph÷ìng x1 v x3 cõa lîp thù nh§t
l
dΨ1
(1)
,
U1 (x3 ) = ikΦ1 −
dx3
(1.8)
dΦ1
(1)
U3 (x3 ) =
+ ikΨ1 .
dx3
T÷ìng tü èi vîi c¡c th nh ph¦n ùng su§t ph¡p v ùng su§t ti¸p
!
(1)
(1)
σ13 = ρ1 β12
(1)
σ33 = ρ1 α12
dU1
(1)
+ ikU3
,
dx3
(1)
dU3
dx3
(1.9)
!
(1)
+ ik(1 − 2γ1 )U1
.
èi vîi lîp thù hai c¡c biºu thùc (1.3) ÷ñc biºu di¹n
Φ2 (x3 ) = A2 sinh(p2 x3 ) + B2 cosh(p2 x3 ),
Ψ2 (x3 ) = C2 sinh(q2 x3 ) + D2 cosh(q2 x3 ).
(1.10)
C¡c th nh ph¦n chuyºn dàch trong lîp thù hai theo hai ph÷ìng x1 v x3
l
(2)
U1 (x3 ) = ikΦ2 −
(2)
U3 (x3 )
dΨ2
,
dx3
dΦ2
=
+ ikΨ2 .
dx3
12
(1.11)
C¡c th nh ph¦n ùng su§t ph¡p v ùng su§t ti¸p cõa lîp hai l
(2)
σ13 = ρ2 β22
(2)
dU1
dx3
!
(2)
+ ikU3
!
(2)
(2)
σ33 = ρ2 α22
,
dU2
(2)
+ ik(1 − 2γ2 )U1
.
dx3
vîi
γ2 = β22 /α22 = (1 − 2ν2 )/2(1 − ν2 ), rs =
p
(1.12)
β1
,
β2
p
p2 = k −C 2 γ2 rs2 + 1, q2 = k −C 2 rs2 + 1.
i·u ki»n bi¶n cõa b i to¡n bao gçm ba i·u ki»n bi¶n. Thù nh§t l
i·u ki»n cõa ùng su§t tr¶n m°t tü do, thù hai l i·u ki»n li¶n töc cõa
m°t ti¸p xóc cõa hai lîp v thù ba l i·u ki»n chuyºn dàch cõa m°t ¡y
bà ng m.
i·u ki»n bi¶n tr¶n m°t tü do: Tr¶n m°t tü do cõa lîp thù nh§t, t¤i
¥y to n bë b· m°t khæng chàu t¡c döng cõa lüc n o do â ùng su§t ph¡p
v ùng su§t ti¸p tr¶n m°t n y b¬ng khæng, v¼ vªy ta câ c¡c biºu thùc sau
(1)
σ13 (−d1 ) = 0,
(1)
σ33 (−d1 )
= 0.
(1.13)
i·u ki»n bi¶n li¶n töc: T¤i m°t ti¸p xóc giúa hai lîp c¡c h m chuyºn
dàch v c¡c th nh ph¦n ùng su§t cõa hai lîp l nh÷ nhau, do â chuyºn
dàch v ùng su§t tr¶n m°t ti¸p xóc n y l b¬ng nhau n¶n ta câ i·u ki»n
li¶n töc theo chuyºn dàch v i·u ki»n li¶n töc theo ùng su§t nh÷ sau:
- i·u ki»n li¶n töc cõa chuyºn dàch
(1)
(2)
(1)
(2)
U1 (0) = U1 (0),
U3 (0) = U3 (0).
(1.14)
- i·u ki»n li¶n töc ùng su§t
(1)
(2)
(1)
(2)
σ13 (0) = σ13 (0),
σ33 (0) = σ33 (0).
13
(1.15)
i·u ki»n ng m: T¤i m°t ¡y cõa lîp thù hai bà ng m, do t¤i ¥y
khæng câ chuyºn dàch theo c¡c h÷îng do bà ng m n¶n ta câ
(2)
U1 (d2 ) = 0,
(1.16)
(2)
U3 (d2 ) = 0.
B¬ng vi»c sû döng ph÷ìng tr¼nh c¥n b¬ng v c¡c i·u ki»n bi¶n tr¶n m°t
tü do, i·u ki»n li¶n töc t¤i m°t ti¸p xóc cõa hai lîp vªt ch§t v i·u ki»n
bi¶n t¤i m°t ng m ta câ h» 8 ph÷ìng tr¼nh tø (1.13) ¸n (1.16), h» n y câ 8
©n l A1 , B1 , C1 , D1 , A2 , B2 , C2 , D2 . º h» n y câ nghi»m khæng t¦m th÷íng
th¼ ành thùc cõa ma trªn cõa h» ph÷ìng tr¼nh n y ph£i b¬ng khæng. Vi¸t
h» n y v· d¤ng ma trªn khèi F.[A1 , B1 , C1 , D1 , A2 , B2 , C2 , D2 ]T = 0 vîi
M1 M2 0
0
M3 M4 M5 M6
F =
M7 M8 M9 M10
0
0 M11 M12
¥y ch½nh l ph÷ìng tr¼nh t¡n sc cõa sâng Rayleigh trong mæ h¼nh hai
lîp câ ¡y bà ng m. Vîi c¡c ma trªn th nh ph¦n cõama trªn F l
2πigα1 cosh(kd1 gα1 )
−2πigα1 sinh(kd1 gα1 )
M1 =
2
−(1 + gβ1 ) sinh(kd1 gα1 ) (1 + gβ21 ) cosh(kd1 gα1 )
(1 + gβ21 ) sinh(kd1 gβ1 ) −(1 + gβ21 ) cosh(kd1 gβ1 )
M2 =
2πigβ1 cosh(kd1 gβ1 ) −2πigβ1sinh(kd1 gβ1 )
0 i
−gβ1 0
0 −i
gβ2 0
; M6 =
M3 =
; M4 =
; M5 =
0
i
0 −i
gα1 0
−gα2 0
2icr cv gα1
0
0
−cr cv (1 + gβ21 )
M7 =
; M8 =
2
0
c
r cv (1 + gβ1 )
2icr cv gβ1 2 0
0
1 + gβ2
0
−2igα2
;
M10 =
M9 =
2
0
−(1 + gβ2 )
−2igβ2 0
ik sinh(kd2 gα2 )
ik cosh(kd2 gα2 )
M11 =
;
gα2 k cosh(kd2 gα2 ) gα2 k sinh(kd2 gα2 )
−gβ2 k cosh(kd2 gβ2 ) −gβ2 k sinh(kd2 gβ2 )
M12 =
ik sinh(kd2 gβ2 )
ik cosh(kd2 gβ2 )
º h» câ nghi»m khæng t¦m th÷íng th¼ det(F ) = 0. Thüc hi»n khai triºn
14
ành thùc ta câ ÷ñc biºu thùc
F0 + F1 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd1 gβ1 )
+ F2 cosh(kd2 gα2 ) cosh(kd2 gβ2 )
+ F3 sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd1 gβ1 )
+ F4 sinh(kd2 gα2 ) sinh(kd2 gβ2 )
+ F5 cosh(kd1 gβ1 ) cosh(kd2 gβ2 ) sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gα2 )
+ F6 cosh(kd2 gα2 ) cosh(kd2 gβ2 ) sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gβ2 )
+ F7 cosh(kd2 gα2 ) cosh(kd1 gβ1 ) sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gβ2 )
(1.17)
+ F8 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gβ2 ) sinh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gβ1 )
+ F9 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gβ1 ) sinh(kd2 gβ2 )
+ F10 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gα2 ) sinh(kd2 gα2 ) sinh(kd2 gβ2 )
+ F11 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gα2 ) cosh(kd1 gβ1 ) cosh(kd2 gβ2 )
+ F12 sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gβ1 ) sinh(kd2 gβ2 ) = 0
trong â c¡c biºu thùc Fi , (i = 0, 12) trong ph÷ìng tr¼nh t¡n sc (1.17)
÷ñc x¡c ành nh÷ sau
F0 = 4gα1 gα2 gβ1 gβ2 (1 + gβ21 )(4rd2 c2v (1 + gβ21 ) + 4(1 + gβ22 ) − rd cv (3 + gβ21 )(3 + gβ22 ))
F1 = −4gα1 gα2 gβ1 gβ2 (4rd2 c2v (1 + gβ21 )2 + (5 + 2gβ21 + gβ41 )(1 + gβ22 ) − rd cv (3 + 4gβ21 + gβ41 )(3 + gβ22 ))
F2 = −4gα1 gα2 gβ1 (1 + gβ21 )gβ2 (5 + 4rd2 c2v (1 + gβ21 ) + 2gβ22 + gβ42 − rd cv (3 + gβ21 )(3 + gβ22 ))
2
F3 = −2gα2 gβ2 (−rd2 c2v (1 + 4(1 + 4gα
)gβ21 + 6gβ41 + 4gβ61 + gβ81
1
2
2
− 2(1 + (2 + 4gα
)gβ21 + gβ41 )(1 + gβ22 ) + rd cv (1 + (3 + 8gα
)gβ21 + 3gβ41 + gβ61 )(3 + gβ22 ))
1
1
2
F4 = 4gα1 gβ1 (1 + gβ21 )(1 + (2 + 4gα2 )gβ22 + gβ42 + 2rd2 c2v (1 + gβ21 )(1 + gα
g2 )
2 β2
2
− rd cv (3 + gβ21 )(1 + (1 + 2gα
)gβ22 ))
2
2
2
F5 = rd cv gβ1 (−1 + gβ21 )(4gα
+ gα
(1 + gβ21 )2 )gβ2 (−1 + gβ22 )
1
2
2
)gβ21 + 6gβ41 + 4gβ61 + gβ81 )
F6 = −gα2 gβ2 (2rd2 c2v (1 + 4(1 + 4gα
1
2
2
− 2rd cv (1 + (3 + 8gα
)gβ21 + 3gβ41 + gβ61 )(3 + gβ22 ) + (1 + (2 + 4gα
)gβ21 + gβ41 )(5 + 2gβ22 + gβ42 )))
1
1
2
F7 = −rd cv gα2 gβ2 (−1 + gβ21 )(−1 + gβ22 )(1 + 2gβ21 + gβ41 + 4gα
g2 )
1 β2
2
F8 = −rd cv gα1 (−1 + gβ21 )(1 + (2 + 4gα
)gβ21 + gβ41 )gβ2 (−1 + gβ22 )
2
F9 = rd cv gα1 gα2 (−1 + gβ21 )(−1 + gβ22 )(gβ22 + gβ41 gβ22 + 2gβ21 (2 + gβ22 ))
2
2
F10 = −gα1 gβ1 (8rd2 c2v (1 + gβ21 )2 (1 + gα
g 2 ) − 4rd cv (3 + 4gβ21 + gβ41 )(1 + (1 + 2gα
)gβ22 )
2 β2
2
2
+ (5 + 2gβ21 + gβ41 )(1 + (2 + 4gα
)gβ22 + gβ42 ))
2
2
F11 = gα1 gα2 gβ1 gβ2 (16rd2 c2v (1 + gβ21 )2 − 4rd cv (3 + 4gα
+ gβ41 )(3 + gβ22 )
1
+ (5 + 2 + gβ21 + gβ41 )(5 + 2 + gβ22 + gβ42 ))
2
2
F12 = rd2 c2v (1 + 4(1 + 4gα
)gβ21 + 6gβ41 + gβ81 )(1 + gα
g2 )
1
2 β2
2
2
− 2rd cv (1 + (3 + 8gα
)gβ21 + 3gβ41 + gβ61 )(1 + (1 + 2gα
)gβ22 )
1
2
2
2
+ (1 + (2 + 4gα
)gβ21 + gβ41 )(1 + (2 + 4gα
)gβ22 + gβ42 )
1
2
15
1.2. Cæng thùc t sè H/V
T sè H/V l chuyºn dàch theo ph÷ìng ngang v ph÷ìng th¯ng ùng
t¤i m°t tü do cõa lîp m°t. Nh÷ h¼nh 1.1 ta chån tröc Ox1 tròng vîi m°t
ti¸p xóc giúa hai lîp do â m°t ph¯ng tü do cõa lîp tr¶n theo tröc Ox3 s³
câ ph÷ìng tr¼nh x3 = −d1 . Theo (1.8) dàch chuyºn theo ph÷ìng cõa x1 t¤i
m°t n y l U1(1) (−d1 ), theo ph÷ìng x3 l U3(1) (−d1 ). Do â cæng thùc t sè
H/V l
(1)
U1 (−d1 )
(1.18)
(1)
U3 (−d1 )
−B1 cosh(d1 gα1 k) − iC1 gβ1 cosh(d1 gβ1 k) + A1 sinh(d1 gα1 k) + iD1 gβ1 sinh(d1 gβ1 k)
.
=
A1 cosh(d1 gα1 k) + iD1 gβ1 cosh(d1 gβ1 k) − B1 sinh(d1 gα1 k) − iC1 gβ1 sinh(d1 gβ1 k)
χ=
Trong cæng thùc n y, χ phö thuëc c¡c h» sè A1 , B1 , C1 , D1 . M°t kh¡c h»
ph÷ìng tr¼nh tø (1.13) ¸n (1.16) l h» ph÷ìng tr¼nh phö thuëc tuy¸n t½nh
biºu di¹n qua 8 ©n A1 , B1 , C1 , D1 , A2 , B2 , C2 , D2 . Do â câ thüc hi»n biºu
di¹n c¡c h» sè theo A1 rçi sau â thay v o (1.18). C¡c h» sè s³ bà khû v
cæng thùc t sè H/V trð th nh
(1)
χ=
U1 (−d1 )
(1)
U3 (−d1 )
=
−gβ1 T
gα1 M
(1.19)
C¡c biºu thùc T, M trong cæng thùc (1.19) câ d¤ng
T = T1 cosh(kd2 gα2 ) cosh(kd1 gβ1 ) + T2 cosh(kd1 gβ1 ) cosh(kd2 gβ2 )
+ T3 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gα2 ) + T4 cosh(kd1 gα1 ) cosh(kd2 gβ2 )
+ T5 sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gα2 ) + T6 sinh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gβ1 )
(1.20)
+ T7 sinh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gα2 ) + T8 sinh(kd1 gβ1 ) sinh(kd2 gβ2 )
v
M = M1 cosh(kd2 gβ2 ) sinh(kd1 gα1 ) + M2 cosh(kd2 gβ2 ) sinh(kd1 gβ1 )
+ M3 cosh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gα1 ) + M4 cosh(kd2 gα2 ) sinh(kd1 gβ1 )
+ M5 cosh(kd1 gβ1 ) sinh(kd2 gα2 ) + M6 cosh(kd1 gβ1 ) sinh(kd2 gβ2 )
+ M7 cosh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gα2 ) + M8 cosh(kd1 gα1 ) sinh(kd2 gβ2 )
16
(1.21)
vîi c¡c biºu thùc Ti , Mi , (i = 1, 8):
T1 = −2gα1 gβ2 (1 − rd cv (1 + gβ21 ) + gβ22 )
T2 = 2gα2 (2 + rd cv (1 + gβ21 ) + gβ2
T3 = gα1 (1 + gβ21 )gβ2 (1 − 2rd cv + gβ22 )
T4 = 2gα1 gβ2 (−1 + rd cv )
T5 = gα2 gβ2 (−2 + rd cv (1 + gβ21 ))(1 + gβ21 )
T6 = −4(−1 + rd cv )gα1 gβ1 gα2 gβ2
T7 = −(1 + gβ21 )(−1 + rd cv (1 + gβ21 ) − gβ22 )
T8 = 2gα1 gβ1 (−1 + 2rd cv − gβ22 )
v
M1 = 4(−1 + rd cv )gα1 gβ1 gβ2
M2 = −(1 + gβ21 )(−2 + rd cv (1 + gβ21 ))gβ2
M3 = (1 + gβ21 )gβ2 (−1 + rd cv (1 + gβ21 ) − gβ22 )
M4 = (1 + gβ21 )gβ2 (−1 + rd cv (1 + gβ21 ) − gβ22 )
M5 = −2(−1 + rd cv )(1 + gβ21 )gα2 gβ1 gβ2
M6 = gβ1 (1 + gβ21 )(−1 + 2rd cv − gβ22 )
M7 = 2gα2 gβ1 (−2 + rd cv (1 + gβ21 ))gβ2
M8 = 2gβ1 (1 − rd cv (1 + gβ21 ) + gβ22 )
1.3. K¸t luªn ch÷ìng 1
Ph÷ìng ph¡p h m th¸ ¢ ÷ñc sû döng trong ch÷ìng n y º nhªn ÷ñc
c¡c cæng thùc d¤ng hiºn cõa ph÷ìng tr¼nh t¡n sc v t sè H/V cõa sâng
Rayleigh trong mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y bà ng m. C¡c cæng thùc
d¤ng hi»n n y s³ ÷ñc sû döng º kh£o s¡t c¡c t½nh ch§t cõa ÷íng cong
t¡n sc v ÷íng cong t sè H/V.
17
Ch֓ng 2
Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn
Ch÷ìng 1 ¢ tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p h m th¸ º nhªn ÷ñc ph÷ìng tr¼nh
t¡n sc cõa sâng Rayleigh trong mæ h¼nh hai lîp. Nâi chung, trong ph÷ìng
ph¡p h m th¸ s³ câ bèn tham sè xu§t hi»n trong méi lîp °c tr÷ng cho h»
thèng bèn sâng (hai sâng P v hai sâng SV) i l¶n v i xuèng trong méi
lîp. Do vªy, vîi c¡c mæ h¼nh câ nhi·u lîp, gi£ sû l n lîp, th¼ sè tham sè
xu§t hi»n trong h» ph÷ìng tr¼nh s³ l 4n v i·u n y s³ l m cho h» ph÷ìng
tr¼nh r§t cçng k·nh v khâ kh£o s¡t. Do â, vîi c¡c mæ h¼nh câ nhi·u lîp
th¼ ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn hay ÷ñc sû döng hìn. Ph÷ìng ph¡p n y
câ ÷u iºm l d¹ d ng nhªn ÷ñc ph÷ìng tr¼nh t¡n sc cõa sâng Rayleigh,
tuy nhi¶n c¡c ph÷ìng tr¼nh nhªn ÷ñc s³ ch¿ døng l¤i ð d¤ng ©n d÷îi d¤ng
t½ch cõa c¡c ma trªn. Ch÷ìng 2 n y s³ i t¼m hiºu v· ph÷ìng ph¡p ma
trªn chuyºn v ¡p döng nâ v o mæ h¼nh hai lîp thu¦n nh§t câ ¡y ng m.
Do mæ h¼nh ang x²t l t÷ìng èi ìn gi£n n¶n c¡c cæng thùc d¤ng hi»n
câ thº nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch khai triºn t½ch cõa hai ma trªn. Ph÷ìng ph¡p
ma trªn chuyºn s³ ÷ñc sû döng º t¼m cæng thùc trung b¼nh cõa vªn tèc
sâng ngang mîi sû döng trong ph÷ìng ph¡p t sè H/V.
2.1. Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn
Ph÷ìng ph¡p ma trªn chuyºn ÷ñc · xu§t bði Thomson (1950) [13]
trong vi»c t½nh to¡n vªn tèc sâng Rayleigh v sâng Love. V sau â Haskell
[3] ¢ ph¡t triºn ph÷ìng ph¡p n y cho mæi tr÷íng n hçi ¯ng h÷îng gçm
nhi·u lîp tr¶n b¡n khæng gian. Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc x¥y düng b¬ng vi»c
biºu di¹n chuyºn dàch v ùng su§t cõa tøng lîp thæng qua sü thay êi thº
t½ch v sü quay cõa ph¦n tû vªt ch§t v k¸t hñp t½nh li¶n töc cõa mæi
18
- Xem thêm -