Số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp

  • Số trang: 51 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 57 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu Trường Đại học khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN. Hà Nội - 2012 Mục lục Mở đầu 2 1 Số phức và các tính chất liên quan 4 1.1 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa và các tính chất của số phức . . . . . . . 4 1.1.2 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Số phức liên hợp và mô đun của số phức . . . . . . . 7 1.2 Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Tọa độ cực của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức 1.3.3 Các phép toán trên dạng lượng giác của số phức . . 10 1.4 . . . . . . . . . . 10 Căn bậc n của đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Ứng dụng số phức trong tính toán tổ hợp 17 2.1 Khai triển lũy thừa của nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Số phức với khai triển Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Các đẳng thức trong lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Ứng dung số phức trong logic hình thức liên quan đến tổ hợp 31 2.5 Sử dụng số phức giải các bài toán với phép đếm nâng cao . 43 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 1 Lời nói đầu Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công thức eiπ + 1 = 0). Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ. Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế. Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết. Một trong các vấn đề tôi xây dựng là dạng toán “số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp ” trên cơ sở khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton. Chương 1 Là những kiến thức về số phức. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản về số phức. Nội dung được trình bày gồm: dạng đại số của số phức, biểu diễn hình học của số phức, 2 Lời nói đầu dạng lượng giác của số phức, căn bậc n của đơn vị Chương 2 Là những kiến thức về khai triển nhị thức và trình bày các ứng dụng của số phức trong toán tổ hợp. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong nhóm Phương pháp toán sơ cấp lớp Cao học 08 - 10, đã động viên giúp đỡ tác giả về tài liệu tham khảo và kỹ thuật biên soạn Latex. Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Tháng 12 năm 2012 Học viên Nguyễn Thanh Hải 3 Chương 1 Số phức và các tính chất liên quan 1.1 1.1.1 Dạng đại số của số phức Định nghĩa và các tính chất của số phức Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]-[2]). Xét R2 = R ( × R = (x, y)|x, y ∈ R. x1 = x2 ∀z1 = (x1 , y1 ) , z2 = Hai phần tử (x1 , y1 ) và (x2 , y2 ) bằng nhau ⇔ y 1 = y2 (x2 , y2 ) ∈ R2 Tổng z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 . Tích z1 .z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 Tập R2 cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức C. Phần tử (x, y) ∈ C là một số phức. Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng. Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân. Tính chất 1.1.2. Tính chât phép cộng: 1. Giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1 , ∀z1 , z2 ∈ C. 4 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan 2. Kết hợp:(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), ∀z1 , z2 , z3 ∈ C. 3. Tồn tại phần tử không:∃0 = (0, 0) ∈ C, z + 0 = 0 + z = z, ∀z ∈ C. 4. Mọi số có số đối: ∀z ∈ C, ∃ − z ∈ C : z + (−z) = (−z) + z = 0. Số z1 − z2 = z1 + (−z2 ): hiệu của hai số z1 , z2 . Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ, z1 − z2 = (x1 − x2 , y1− y2 ) ∈ C. Tính chất 1.1.3. Tính chât phép nhân: 1. Giao hoán: z1 .z2 = z2 .z1 , ∀z1 , z2 ∈ C 2. Kết hợp: (z1 .z2 ).z3 = z1 .(z2 .z3 ), ∀z1 , z2 , z3 ∈ C 3. Tồn tại phần tử đơn vị: ∃1 = (0, 1) ∈ C, z.1 = 1.z = z, ∀z ∈ C 4. Mọi số khác 0 có số nghịch đảo: ∀z ∈ C∗ , ∃z −1 ∈ C : z.z −1 = z −1 .z = 1 z −1 1 = = z  x y , − x2 + y 2 x2 + y 2  Thương hai số z1 = (x1 , y1 ), z = (x, y) ∈ C∗ là   z1 x1 x + y1 y −x1 y + y1 x = , ∈ C. z x2 + y 2 x2 + y 2 Ví dụ 1.1.4. Nếu z = (1, 2) thì z −1 = ( 51 , −2 5 ). Nếu z1 = (1, 2), z2 = (3, 4) thì z1 z2 2 = ( 11 25 , 25 ). 5. Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: z1 .(z2 + z3 ) = z1 .z2 + z1 .z3 , ∀z1 , z2 , z3 ∈ C. 1.1.2 Dạng đại số của số phức Xét song ánh f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) . 5 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan Hơn nữa (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0); (x, 0).(y, 0) = (xy, 0) Ta đồng nhất (x, 0) = x. Đặt i = (0, 1) ta có: z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = x + iy. Định lý 1.1.5 (xem [1]-[2]). Số phức bất kỳ z = (x, y) được biểu diễn duy nhất dạng z = x + yi, x, y ∈ R, trong đó i2 = −1. Hệ thức i2 = −1 được suy ra từ định nghĩa phép nhân: i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1. Định nghĩa 1.1.6 (xem [1]-[2]). Biểu thức x + yi gọi là dạng đại số của số phức z = (x, y). Do đó:  C = x + yi x ∈ R, y ∈ R, i2 = −1 . x = Re(z): phần thực của z . y = Im(z): phần ảo của z . Đơn vị ảo là i Khi thực hành cộng, trừ, nhân số phức thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu ý i2 = −1 là đủ. Lũy thừa đơn vị ảo: i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i,i4 = 1, i5 = i. Bằng quy nạp ta được: i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −i, ∀n ∈ N∗ . Do đó in ∈ {−1, 1, −i, i} , ∀n ∈ N∗ . Nếu n nguyên âm, có in = i  −1 −n  −n 1 = = (−i)n . i 6 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan 1.1.3 Số phức liên hợp và mô đun của số phức Định nghĩa 1.1.7 (xem [1]-[2]). Cho z = x + yi. Số phức z = x − yi gọi là số phức liên hợp của z. Định lý 1.1.8. 1. z = z ↔ z ∈ R, 2. z = z, 3. z.z là số thực không âm 4. z1 + z2 = z1 + z2 , 5. z1 .z2 = z1 .z2 , 6. z −1 = (z)−1 , z ∈ C∗ ,   7. zz21 = zz12 , z 8.   z1 z2 = z1 z2 , z2 9. Re(z) = ∈ C∗ , z+z 2 , =(z) = z−z 2i . Định nghĩa 1.1.9 (xem [1]-[2]). Số |z| = p x2 + y 2 gọi là môđun của số phức z = x + yi Định lý 1.1.10. 1. − |z| ≤ Re (z) ≤ |z| , − |z| ≤ = (z) ≤ |z| 2. |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0 3. |z| = |−z| = |z| 4. z.z = z 2 5. |z1 z2 | = |z1 | . |z2 | 6. |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | 7. z −1 = |z|−1 , z ∈ C∗ 1| ∗ 8. zz21 = |z |z2 | , z2 ∈ C 9. |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 | 7 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan 1.2 Biểu diễn hình học của số phức Định nghĩa 1.2.1 (xem [1]-[2]). Điểm M (x, y) trên mặt phẳng Oxy gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức z = x + yi. Số phức z = x + yi gọi là tọa độ phức của điểm M (x, y). Ta dùng ký hiệu M (z) để chỉ tọa độ phức của M là z . Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như trên gọi là mặt phẳng phức. Các điểm M, M 0 (tương ứng với z, z ) đối xứng nhau qua Ox. Các điểm M, M 00 (tương ứng với z, −z ) đối xứng nhau qua gốc tọa độO. − Mặt khác, ta có thể đồng nhất số phức z = x + yi với → v = OM , M (x, y). p Biểu diễn hình học của môđun: z = x + yi, OM = x2 + y 2 = |z|. Khoảng cách từ M (z) đến O là môđun của số phức z . Lưu ý: 1. Với số thực dương r, tập các số phức với môđun r biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn (O, r) 2. Các số phức z, |z| < r là các điểm nằm trong đường tròn (O, r). Các số phức z, |z| > r là các điểm nằm ngoài đường tròn (O, r) Xét số phức z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i và các véc tơ tương ứng → − → − − → − → − → − v1 = x1 i + y1 j , → v2 = x2 i + y2 j Tổng hai số phức z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) i Tổng hai véctơ → − → − → − − v1 + → v2 = (x1 + x2 ) i + (y1 + y2 ) j − − Tổng z1 + z2 tương ứng với véctơ tổng → v1 + → v2 . 8 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan Khoảng cách hai điểm M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ) bằng môđun của số phức − − z1 − z2 bằng độ dài của → v1 − → v2 . q → − → − M1 M2 = |z1 − z2 | = | v1 − v2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . Tích của số phức với một số thực. Xét số phức z = x + yi và véctơ tương → − → − − ứng → v = x i + y j . Nếu λ là số thực thì λz = λx + λyi tương ứng với véc tơ → − → − − λ→ v = λx i + λy j − − − − Nếu λ > 0 thì λ→ v ,→ v cùng hướng và |λ→ v | = λ |→ v| − − − − Nếu λ < 0 thì λ→ v ,→ v ngược hướng và |λ→ v | = −λ |→ v| → − − Nếu λ = 0 thì λ→ v = 0 1.3 Dạng lượng giác của số phức 1.3.1 Tọa độ cực của số phức Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M (x, y) khác gốc tọa độ. Số thực r = p x2 + y 2 gọi là bán kính cực của điểm M . Số đo θ ∈ [0, 2π] của góc lượng −→ −−→ giác Ox, OM gọi là argument của M . Cặp có thứ tự (r, θ) gọi là tọa độ cực của M , viết M (r, θ). Song ánh h : R × R\(0, 0) → (0, ∞) × [0, 2π) , h ((x, y)) = (r, θ) Điểm gốc O là điểm duy nhất có r = 0, θ không xác định. Mỗi điểm M trong mặt phẳng có P là giao điểm duy nhât của tia OM với đường(tròn đơn vị tâm O. x = r cos θ Rõ ràng y = r sin θ 9 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan 1.3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức Cho số phức z = x + yi ta có thể viết z dạng cực :z = r(cos θ + i sin θ) r = |z| ∈ [0, ∞), θ là một argument của z và θ ∈ [0, ∞) Với z 6= 0, r và θ xác định duy nhất Xét z = r(cosθ + isinθ) đặt α = θ + 2kπ, k ∈ Z thì z = r [cos (α − 2kπ) + i sin (α − 2kπ)] = r (cos α + i sin α) Tức là, với số phức bất kỳ z có thể viết z = r (cos t + i sin t) , r ≥ 0, t ∈ R. khi đó ta nói z được biểu diễn dạng lượng giác. Tập Argz = {t, t = θ + 2kπ, k ∈ Z} gọi là argument mở rộng của z . Do đó hai số phức z1 , z2 6= 0 biểu diễn dạng lượng giác ( z1 = r1 (cost1 + isint1 ), z2 = r2 (cost2 + isint2 ) bằng nhau ⇔ 1.3.3 r1 = r2 t1 = t2 Các phép toán trên dạng lượng giác của số phức Định lý 1.3.1. z1 = r1 (cost1 + isint1 ), z2 = r2 (cost2 + isint2 ) Khi đó z1 .z2 = r1 .r2 [cos (t1 + t2 ) + i sin (t1 + t2 )] Chứng minh. z1 .z2 = r1 .r2 = (cos t1 + i sin t1 ).(cos t2 + i sin t2 ) = r1 .r2 . [(cos t1 . cos t2 − sin t1 . sin t2 ) + i (sin t1 cos t2 + sin t2 cos t1 )] = r1 .r2 [cos (t1 + t2 ) + i sin (t1 + t2 )] Lưu ý 1. |z1 z2 | = |z1 | |z2 | 10 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan ( 2. arg (z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 − 2kπ với k = 0, arg z1 + arg z2 < 2π 1, arg z1 + arg z2 ≥ 2π 3. có thể viết arg (z1 z2 ) = {arg z1 + arg z2 + 2kπ, k ∈ Z} 4. Mở rộng với n ≥ 2 số phức. Nếu zk = rk (cos tk + i sin tk ) , k = 1, 2, . . . , n n Y k=1 zk = n Y rk cos k=1 n X tk + i sin n X k=1 ! tk k=1 Định lý 1.3.2. (De Moivre) Cho z = r (cot t + i sin t) và n ∈ N, ta có z n = rn (cot nt + i sin nt) Chứng minh. Dùng công thức nhân với z = z1 = z2 = · · · = zn được z n = r.r . . . r [cos (t + t + · · · + t) + i sin (t + t + · · · + t)] = rn (cos nt + i sin nt) Lưu ý: 1. |z n | = |z|n 2. Nếu r = 1 thì (cost + isint)n = cos nt + i sin nt 3. Ta có thể viết Argz n = {n. arg z + 2kπ, k ∈ Z} Định lý 1.3.3. Giả sử z1 = r1 (cost1 + isint1 ), z2 = r2 (cost2 + isint2 ) z1 r1 = [cos (t1 − t2 ) + i sin (t1 − t2 )] . z2 r2 Chứng minh. z1 r1 (cos t1 + i sin t1 ) (cos t2 − i sin t2 )  = z2 r2 cos2 t2 + sin2 t2 = r1 [(cos t1 cos t2 + sin t1 sin t2 ) + i (sin t1 cos t2 − sin t2 cos t1 )] r2 r1 = [cos (t1 − t2 ) + i sin (t1 − t2 )] . r2 11 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan Lưu ý: 1| 1. zz12 = |z |z2 | .   2. arg zz12 = {arg z1 − arg z2 + 2kπ, k ∈ Z} . 3. 1 z = z −1 = 1r [cos (−t) + i sin (−t)] . 4. Công thức De Moivre còn đúng cho lũy thừa nguyên âm, tức là với n nguyên âm, ta có z n = rn (cos nt + i sin nt) . Biểu diễn hình học của tích hai số phức: Xét số phức z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) , z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ). Gọi P1 , P2 là giao điểm của đường tròn (O, 1) với tia OM1 , OM2 . Dựng P3 thuộc đường tròn và có argument cực θ1 + θ2 , chọn M3 thuộc tia OP3 , OM3 = OM1 .OM2 . Gọi z3 là tọa độ phức của M3 . Điểm M3 (r1 .r2 , θ1 + θ2 ) biểu diễn tích z1 .z2 . Gọi A là điểm biểu diễn của z = 1. OM3 OM2 OM3 OM2 = ⇒ = OM1 1 OM2 OA \ và M\ 2 OM3 = AOM1 Suy ra hai tam giác OAM1 , OM2 M3 đồng dạng. 1.4 Căn bậc n của đơn vị Xét số nguyên n ≥ 2 và số phức w 6= 0. Như vậy trong trường số thức R, phương trình z n − w = 0 được dùng định nghĩa căn bậc n của số w. Ta gọi nghiệm z của phương trình là một căn bậc n của w. Định lý 1.4.1. Cho w = r (cos θ + i sin θ) là số phức với r > 0 và θ ∈ [0, 2π). Căn bậc n của w gồm n số phân biệt, cho bởi   √ θ + 2kπ θ + 2kπ n zk = r cos + i sin , k = 0, 1, . . . , n − 1 n n 12 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan Chứng minh. Biểu diễn số phức z dạng lượng giác, tức là z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ) Theo định nghĩa, ta có z n = w, nên ρn (cos nϕ + i sin nϕ) = r (cosθ+isinθ) Do đó ρn = r, nϕ = θ + 2kπ, k ∈ Z ⇒ ρ = √ n r, ϕk = θ 2π +k n n Vậy nghiệm của phương trình có dạng zk = √ n r (cos ϕk + i sin ϕk ) , k ∈ Z Với 0 ≤ ϕ0 < ϕ1 < · · · < ϕn−1 < 2π . Do đó ϕk , k ∈ 0, 1, . . . , n − 1 là argument cực. Bởi tính duy nhất của tọa độ cực, ta có n nghiệm phân biệt của phương trình là z0 , z1 , . . . , zn−1 Ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt. Với số nguyên k bất kỳ, lấy k chia cho n có thương q và số dư r, tức là k = nq + r, q ∈ Z, r ∈ 0, 1, . . . , n − 1 ϕk = θ 2π θ 2π + (nq + r) = + r + 2qπ = ϕr + 2qπ n n n n Rõ ràng zk = z + r. Do đó {zk , k ∈ z} = {z0 , z1 , . . . , zn−1 } Như vậy phương trình có đúng n nghiệm. Biểu diễn hình học căn bậc n của w 6= 0, (n ≥ 3) là đỉnh của một n √ giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính n r, r = |w| Một nghiệm phương trình z n − 1 gọi là một căn bậc n của đơn vị. Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác, 1 = cos0 + isin0, từ công thức tìm căn bậc n của số phức, ta có căn bậc n của đơn vị là: ωk = cos 2kπ 2kπ + i sin , k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} n n 13 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan ω0 = cos 0 + i sin 0 2π 2π + i sin ω1 = cos n n Đặt 2π 2π + i sin n n 4π 4π ω2 = cos + i sin = ω2 n n ... 2 (n − 1) π 2 (n − 1) π ωn−1 = cos + i sin = ω n−1 n n Biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị (n ≥ 3) là các điểm tạo thành một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1 ω = cos Định lý 1.4.2. 1. nếu n|q thì nghiệm bất kỳ của z n − 1 = 0 cũng là nghiệm của z q − 1 = 0 2. Các nghiệm chung của phương trình z m − 1 = 0 và z n − 1 = 0 là các nghiệm của phương trình z d − 1 = 0, với d = U CLN (m, n) 2kπ 3. Các nghiệm nguyên thủy của z m −1 = 0 là ωk = cos 2kπ m +i sin m , 0 ≤ k ≤ m, U CLN (k, m) = 1 1. Nếu q = p.n thì z q−1 = (z n )p − 1  = (z n − 1) z n(p−1) + · · · + z n + 1 . Do đó điều phải chứng minh là hệ Chứng minh. quả suy trực tiếp từ hệ thức trên. 2pπ m 2. Xét ωp = cos 2pπ m + i sin m là một nghiệm của z − 1 = 0 và 2qπ n ωp0 = cos 2qπ m + i sin m là một nghiệm của z − 1 = 0. Bởi vì |ωp | = ωp0 = 1 = 2qπ n + 2rπr ∈ Z Ta cho mp − nq = r ⇒ pn − qm = rmn Mặt khác, m = m0 d, n = n0 d, U CLN (m0 , n0 ) = 1 pn − qm = rmn ⇒ n0 p − m0 q = rm0 n0 d m0 |n0 p ⇒ m0 |p ⇒ p = p0 m0 , p0 ∈ Z và Ta có ωp = ωq0 ⇔ 2pπ m 14 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan 0 0 0 2p m π 2p π d agrωp = 2pπ m = m0 d = d và ωp = 1 Ngược lại, d|m, d|n, bất kỳ nghiệm của z d − 1 là nghiệm của z m − 1 và z n − 1 = 0 3. trước hết ta tìm số nguyên dương nhỏ nhất p sao cho ωpd = 1. Từ hệ 2kpπ m 0 = 2k 0 π, k ∈ Z. Tức là kp m = k ∈ Z. Xét d = U CLN (k, m) và k = k 0 d, m = m0 d, ở đây U CLN (k 0 , m0 ) = 1. 0 k0 p 0 0 0 Ta có kmpd 0 d = m0 . Bởi vì k và m nguyên tố cùng nhau, ta có m |p. Do đó số nguyên dương nhỏ nhất p thỏa mãn ωkp = 1 là p = m0 . kết hợp với hệ thức m = m0 d suy ra p = md , d = U CLN (k, m). Nếu ωk là căn nguyên thủy bậc m của đơn vị, thì từ hệ thức ωkp = 1, p = U CLNm(k,m) suy ra p = m tức là U CLN (k, m) = 1. thức ωpd = 1 ta suy ra Lưu ý: Phương trình z m − 1 = 0 và z n − 1 = 0 có nghiệm chung duy nhất là 1 nếu và chỉ nếuU CLN (m, n) = 1. Định lý 1.4.3. Nếu ω ∈ Un là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì các nghiệm của phương trình z n − 1 = 0 là ω r , ω r+1 , . . . , ω r+n−1 , r ∈ N∗ Chứng minh. Cho r là một số nguyên dương và h ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Khi n đó ω r+h = (ω n )r+h = 1, tức là ω ( r + h) là một nghiệm của z n − 1 = 0. Ta chỉ cần chứng minh ω r , ω r+1 , . . . , ω ( r + n − 1) phân biệt. Giả sử không phân biệt, tức là tồn tại r + h1 6= r + h2 , h1 > h2 mà ω r+h1 = ω r+h2 . Khi đó ω r+h2 .(ω h1 −h2 − 1) = 0. Nhưng ω r+h2 6= 0 ⇒ ω h1 −h2 = 1. Đối chiếu với 0 < h1 − h2 < n và ω là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, ta có mâu thuẫn. Xét căn bậc 3 của đơn vị. Giải phương trình x3 − 1 = 0 ta được các nghiệm là √ √ 1 3 1 3 i, x3 = − − i x1 = 1, x2 = − + 2 2 2 2 15 Chương 1. Số phức và các tính chất liên quan . Các nghiệm đó chính là căn bậc ba của 1. Đặt ε = − 12 − √ 3 2 i ⇒ ε2 = − 12 + √ 3 2 i. 1. ε + ε2 = −1 2. ε3 = 1 3. ε3k = 1 4. ε3k+1 = ε 5. ε3k+2 = ε2 16 Ta có các tính chất sau: Chương 2 Ứng dụng số phức trong tính toán tổ hợp 2.1 Khai triển lũy thừa của nhị thức Ta nhắc lại những công thức khai triển nhị thức sau: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y 3 (x + y)4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy 3 + y 4 Ta có công thức tổng quát tính hệ số của (x + y)n , còn gọi là công thức nhị thức Newton như sau: Định lý 2.1.1. Cho mỗi số tự nhiên n ≥ 1 ta có n (x + y) = n X k n−k k Cn x y k=0 Chứng minh. Để khai triển (x + y)n , ta thực hiện phép khai triển lũy thừa một cách hình thức mà không rút gọn chúng. Chẳng hạn (x + y)2 = xx + xy + xy + yy 17 Chương 2. Ứng dụng số phức trong tính toán tổ hợp Như vậy ta có biểu diễn hình thức (x + y)n = (x + y) (x + y) . . . (x + y) = | {z } X c1 c2 . . . cn n ở đó có tất cả 2n số hạng c1 c2 . . . cn ∈ {x, y}. Trong khi thực hiện phép rút gọn, ta phải đem nhóm tất cả các số hạng có trùng số mũ của x và y lại với nhau. Với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta tính số các dãy n phần tử, trong đó x lặp k lần còn y lặp n − k lần. Do đó số các dãy có lặp theo tần số này là n! k!(n−k)! , chính bằng Cnk . Do đó ta có n (x + y) = n X k n−k k Cn x y k=1 Ví dụ 2.1.2. Ta có: (x + y)5 = C50 x5 + C51 x4 y + C52 x3 y 2 + C53 x2 y 3 + C54 xy 4 + C55 y 5 Lưu ý: Trong tam giác Pascal, trong đó số bắt đầu và kết thúc của mỗi dòng trong tam giác Pascal là số 1, và mỗi số khác của mỗi dòng bằng tổng của hai số của dòng trên nó, cho cách tính nhanh chóng hệ số của nhị thức Newton. 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 Tính chất 2.1.3. n (x + y) = n X 1 4 1 k n−k k Cn x y k=0 1. Số các số hạng ở bên phải của công thức trên bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái. 18
- Xem thêm -