Tài liệu Số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TRẦN THỊ MƠ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, tháng 5 năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TRẦN THỊ MƠ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: GVC.TS Hoàng Ngọc Anh Sơn La, tháng 5 năm 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: TS.GVC Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình nghiên cứu khóa luận. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán – Lí – Tin, phòng Nghiên cứu khoa học và Hợp tác Quốc tế, thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên trong tập thể lớp K50 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi thực hiên và hoàn thành khóa luận. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi thêm hoàn thiện. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2013 Người thực hiện khóa luận Trần Thị Mơ MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 1. Lý do chọn khóa luận ................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................... 1 4. Giả thiết khoa học ........................................................................................ 1 5. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................... 1 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 7. Đóng góp của khóa luận ............................................................................... 2 8. Cấu trúc của khía luận ................................................................................. 2 PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 3 Chương 1: SỐ PHỨC ....................................................................................... 3 1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức ..................................................... 3 1.2. Các dạng biểu diễn số phức ...................................................................... 4 1.2.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp ........................................................... 4 1.2.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số ....................................................... 7 1.2.3. Biểu diễn hình học của số phức.............................................................. 7 1.2.4. Biểu diễn số phức nhờ ma trận .............................................................. 8 1.2.5. Số phức dưới dạng lượng giác.............................................................. 10 1.2.5.1. Argument của số phức....................................................................... 10 1.2.5.2. Dạng lượng giác của số phức............................................................. 10 1.2.5.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác .................................... 11 1.2.5.4. Công thức Moivre .............................................................................. 11 1.2.5.5. Phép khai căn một số phức ............................................................... 11 1.2.6. Dạng mũ của số phức ........................................................................... 12 1.2.7. Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann ........................................... 12 1.2.8. Khoảng cách trên ............................................................................. 14 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC ....... 17 2.1. Tính toán và biểu diễn một số biểu thức ................................................ 17 2.1.1. Kiến thức sử dụng ................................................................................ 17 2.1.2. Ví dụ ...................................................................................................... 20 2.1.3. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 25 2.2. Tính giá trị của một số biểu thức lượng giác ......................................... 26 2.2.1. Kiến thức sử dụng ................................................................................ 26 2.2.2. Ví dụ ...................................................................................................... 26 2.2.3. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 29 2.3. Tổng và tích của một dãy các biểu thức lượng giác ............................... 29 2.3.1. Kiến thức sử dụng ................................................................................ 29 2.3.2. Ví dụ ...................................................................................................... 30 2.3.3. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 36 2.4. Sử dụng số phức để giải phương trình lượng giác ................................. 37 2.4.1. Kiến thức sử dụng ................................................................................ 37 2.4.2. Ví dụ ...................................................................................................... 37 2.4.3. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 39 2.5. Bất đẳng thức lượng giác ........................................................................ 39 2.5.1. Ví dụ ...................................................................................................... 40 2.5.2. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 41 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 43 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn khóa luận Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đối với học sinh bậc Trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ.Với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của số phức. Việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán lượng giác là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của Toán học. Có nhiều tài liệu nghiên cứu về số phức nhưng tài liệu ứng dụng nó trong lượng giác thì chưa nhiều và chưa đưa ra đầy đủ về một vấn đề cụ thể mà chỉ trên cơ sở lí thuyết chung chung và tổng quát.Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về số phức và tìm hiểu sâu hơn các ứng dụng của số phức vào giải các bài toán trong lượng giác. Do vậy tôi chọn khóa luận: “Số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác”. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức, ứng dụng số phức để giải một số dạng bài toán trong lượng giác. - Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác cụ thể là nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một số bài toán lượng giác, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể. 4. Giả thiết khoa học Nếu biết cách phân loại các bài toán trong lượng giác và sử dụng số phức hợp lý sẽ giúp học sinh giải các bài toán lượng giác một cách đơn giản và dễ dàng hơn. 5. Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu lịch sử hình thành khái niệm số phức, các dạng biểu diễn số phức. - Nghiên cứu các bài toán lượng giác có thể sử dụng số phức để giải được. 1 6. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn. 7. Đóng góp của khóa luận Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo hữu ích cho Giáo viên phổ thông và các bạn học sinh, sinh viên. 8. Cấu trúc của khía luận Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chương và phần kết luận. Phần nội dung bao gồm các chương sau: Chương 1: Số phức. Chương 2: Ứng dụng của số phức trong lượng giác. 2 PHẦN NỘI DUNG Chương 1: SỐ PHỨC 1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỷ XVI. Đó là thời kì Phục Hưng của toán học châu Âu sau đêm dài trung cổ. Các đại lượng ảo: 1,b 1,a  b 1 xuất hiện đầu tiên từ thế kỷ XVI trong các công trình của các nhà toán học Italy như: công trình: “ Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G.Cacrdano (1501-1576) và công trình: “Đại số” (1572) của R.Bombelli(15301572). Khi giải phương trình bậc hai của G.Cacrdano và R.Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu 1 là lời giải hình thức của phương trình x 2  1  0 , xét biểu thức b 1 là nghiệm hình thức của phương trình x 2  b2  0 . Khi đó biểu thức tổng quát hơn dạng a  b 1 có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình (x  a)2  b2  0 . Về sau biểu thức có dạng a  b 1 , b  0 xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai và bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là a  bi , trong đó kí hiệu: i : 1 được L.Euler đưa vào năm 1777 gọi là đơn vị “ảo”. Ta có hệ thức i 2  1 là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh nó là một quy ước. Lịch sử toán học cũng đã ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức nhưng lại gọi chúng là “ngụy biện”. Chẳng hạn khi giải hệ phương  x  y  10 trình:   xy  30 Cardano đã tìm được nghiệm 5  5 và 5  5 và ông đã gọi nghiệm này là “âm thuần túy” hay gọi là “nghiệm âm ngụy biện”. Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là nhà toán học Italy R Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lý thuyết các số “ảo”. 3 Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gaus (năm 1831). Vào thế kỉ XVII- XVIII nhiều nhà toán học khác cũng nghiên cứu các tính chất của đại lượng ảo (số phức!) và khảo sát ứng dụng của chúng. Chẳng hạn, L.Euler mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kỳ (năm 1738), còn A.Moivre nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Lý thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có thứ tự (a;b); a  ; b  được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1) . Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với Định lý cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức mọi phương trình đa thức đều có nghiệm. Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) của trường số thực thu được bằng phép ghép đại số cho nghiệm i của phương trình x 2  1  0 . Với định lý cơ bản của đại số, Gauss đã chứng minh được trường trở thành trường đóng đại số hay các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu thêm được số mới. Hơn 2500 năm từ thời Pythagor đến giờ con đường phát triển khái niệm về số có thể tóm tắt bởi     với các bao hàm thức     . K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức. Như vậy các tập hợp số mới chứa tập số phức chỉ có thể thu được bằng việc từ bỏ một số tính chất thông thường nào đó của các số phức. 1.2. Các dạng biểu diễn số phức 1.2.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp Mỗi số phức a  bi hoàn toàn được xác định a;b  gọi là các thành phần của chúng. Người đầu tiên cố gắng nêu rõ đặc trưng của các phép toán bằng ngôn ngữ các thành phần không cần nhắc đến kí hiệu “nghi vấn” i là Hamilton. Cụ thể ông đã diễn tả mỗi số phức bởi một cặp số thực (có thứ tự) thông thường. 4 Định nghĩa 1.1. Một cặp số thực có thứ tự (a;b), a  , b được gọi là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây: a  c i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức: (a;b)  (c;d)   b  d Chú ý: Hai số phức bằng nhau (a;b) và (c;d) ta có thể viết: (a;b)  (c;d) (nếu muốn nhấn mạnh đây là quan hệ đồng nhất giữa hai cặp số thực sắp thứ tự). (a;b) = (c;d) (nếu muốn nói rằng đây là quan hệ bằng nhau giữa hai số phức). ii) Phép cộng trong tập số phức: (a;b) + (c;d) := (a  c;b  d) và cặp (a  c;b  d) được gọi là tổng của các cặp (a;b) và (c;d) . iii) Phép nhân trong tập số phức: (a;b) (c;d) := (ac  bd;ad  bc) và cặp (ac  bd;ad  bc) được gọi là tích của các cặp (a;b) và (c;d) . iv) Số thực trong tập số phức: Cặp (a;0) được đồng nhất với số thực a, nghĩa là: (a;0) : a hay là (a;0)  a . Tập hợp các số phức được kí hiệu là . Như vậy, mọi phần của định nghĩa số phức đều được phát biểu bằng ngôn ngữ số thực và các phép toán trên chúng. Trong định nghĩa này ba tiên đề đầu thực chất là định nghĩa khái niệm bằng nhau, khái niệm tổng và khái niệm tích của các số phức. Tiên đề iv) tương thích với tiên đề i),ii) ,iii). Thật vậy: i)-iv): Giả sử hai số thực a và b bằng nhau như những cặp dạng đặc biệt đồng nhất với chúng: (a;0)  (b;0) . Khi đó theo tiên đề i) ta có: (a;0)  (b;0)  a  b tức là chúng bằng nhau theo nghĩa thông thường. ii)-iv): Theo tiên đề ii), tổng hai số thực a và c được xét như những cặp (a;0) và (c;0) là bằng cặp (a  c;0  0) = (a  c;0) . Nhưng theo tiên đề iv) thì (a  c;0)  a  c . Như vậy: (a;0) + (c;0) = (a  c;0  0) = (a  c;0)  a  c , 5 tức là đồng nhất bằng tổng a+c theo nghĩa thông thường. iii)-iv): Theo tiên đề iii), tích các số thực a và b được xét như những cặp (a;0) và (c;0) là bằng cặp: (ac  0.0;a.0  0.c)  (ac;0) và theo tiên đề iv) ta có (ac;0)  ac . Như vậy (a;0) (c;0) = (ac;0)  ac tức là đồng nhất bằng tích a với c theo nghĩa thông thường. Như vậy tiên đề iv) tương thích với các tiên đề i), ii), iii). Lưu ý: Các công thức sau đây được suy ra trực tiếp từ iii) và iv): (a;b)  (a; b),  . Vai trò đơn vị trong tập hợp số phức là cặp (1;0) vì: (a;b)(1;0)  (a;b) . Cho số phức z  (a;b); số phức z  (a; b) được gọi là số phức liên hợp của số phức z . Ta có: zz  (a;b)(a; b) = a 2  b2  0 . Từ tính chất này suy ra rằng với mọi (a;b)  (0; 0) tồn tại cặp nghịch đảo (a;b) 1 , cụ thể là cặp: 1 b   a (a; b)   2 ; 2 . 2 2 a b a  b2  a b 2 Như vậy tập hợp các số phức lập thành một trường. Trường đó có tính chất: (a)  . (b) Phương trình x 2  1  0 có nghiệm trong Dưới dạng cặp các phép toán trên . Đó là cặp (0;1) và (0; 1) . được thực hiện theo các quy tắc: (i) (a1;b1 )  (a 2 ;b2 )  (a1  a 2 ;b1  b2 ); (a1;b1 )  (a 2 ;b 2 )  (a1  a 2 ;b1  b 2 ). (ii) (a1;b1 )(a 2 ;b2 )  (a1a 2  b1b 2 ;a1b 2  a 2b1 ). (iii) (a1;b1 )  a1a 2  b1b 2 a1b 2  a 2b1   ;  ; trong đó (a 2 ;b 2 )  (0;0) . (a 2 ;b 2 )  a 2 2  b 2 2 a 2 2  b 2 2  6 1.2.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số Mọi số phức (a;b)  đều được biểu diễn dưới dạng: (a;b)  (a;0)  (b;0)  (a;0)  (b;0)(0;1)  a  bi , trong đó cặp (0;1) được ký hiệu bởi chữ i. Từ tiên đề iii) ta có: i 2  (0;1)(0;1)  (0.0  1.1;0.1  1.0)  (1;0)  1 . Biểu thức  a;b   a  bi được gọi là dạng đại số của số phức. Số phức z  a  bi  a; b  : a được gọi là phần thực của số phức đó và kí hiệu Rez; b được gọi là phần ảo của số phức đó và kí hiệu là Imz. Các phép toán (i)-(iii) đối với các số phức viết dưới dạng đại số z1 : (a1  b1i); z 2 : (a 2  b 2i) được định nghĩa như sau: (i* ) z1  z 2  (a1  b1i)  (a 2  b 2i)  (a1  a 2 )  (b1  b 2 )i, z1  z 2  (a1  b1i)  (a 2  b 2i)  (a 1  a 2 )  (b 1  b 2)i, (ii* ) z1z 2  (a1  b1i)(a 2  b 2i)  (a1a 2  b1b 2 )  (a1b 2  a 2b1)i , (iii* ) z1 a1  b1i a1a 2  b1b2 a1b2  a 2 b1    i ; trong đó a 2 2  b2 2  0. 2 2 2 2 z 2 a 2  b 2i a 2  b2 a 2  b2 Số phức liên hợp của số phức z  a  bi là z  a  bi . Do đó: z  z  2 Rez , z  z  2 i Im z , zz  z , trong đó z  r  z.z  a 2  b2 2 Số z  r  z.z  a 2  b2 được gọi là module của số phức z . Đối với số phức z1;z 2  , ta luôn có: z1  z2  z1  z2  z1  z2 . 1.2.3. Biểu diễn hình học của số phức Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(a;b) . Mỗi số phức (a;b)  a  bi có thể đặt tương ứng với điểm M(a;b) và ngược lại, mỗi điểm M(a;b) của mặt phẳng sẽ tương ứng với số phức (a;b)  a  bi . 7 Nhờ phép tương ứng: (a;b) a  bi . Ta xem các số phức như là một điểm của mặt phẳng tọa độ hay vectơ với điểm đầu tại gốc tọa độ O(0;0) và điểm mút tại M(a;b) . Định nghĩa 1.2. Mặt phẳng tọa độ với phép tương ứng đơn trị một-một (a; b) a+ bi được gọi là mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gauss và cũng được kí hiệu là z  a  bi là một điểm thuộc mặt phẳng đó. và Như vậy mặt phẳng 2 mà các điểm của nó được đồng nhất với các phần tử của trường được gọi là mặt phẳng phức. Trục hoành của mặt phẳng tọa độ gọi là trục thực (do các điểm của nó tương ứng với các số (a;0)  a  ) còn trục tung gọi là trục ảo (do các điểm của nó tương ứng với các số thuần ảo (0; b) = bi). Số phức z  a  bi cũng có thể biểu diễn bởi một vectơ đi từ gốc tọa độ với các hình chiếu a và b trên các trục tọa độ. Như vậy, vectơ z  a  bi bằng bán kính vectơ của điểm z. Với cách biểu diễn số phức dưới dạng vectơ đi từ gốc tọa độ, các phép cộng và trừ các số phức được thực hiện theo phép cộng và trừ các vectơ. Nhưng phép nhân và phép chia cần thực hiện theo quy tắc (ii* ) và (iii* ) vì trong đại số vectơ không có các quy tắc tương tự trực tiếp như vậy. 1.2.4. Biểu diễn số phức nhờ ma trận Xét tập hợp các ma trận cấp hai dạng đặc biệt trên trường số thực  a b  M :   a;b   b a      mà trên đó các phép toán cộng và nhân được thực hiện theo các quy tắc thông thường của đại số ma trận. Mỗi số phức z  a  bi ta đặt tương ứng với ma trận:  a b  b a    (1.1) Đó là ánh xạ đơn trị một-một. Qua ánh xạ này toàn bộ trường số phức được ánh xạ lên tập hợp M các ma trận dạng (1.1). Ta có: 8 b  d  a b  c d  a  c  =   b a   d c   (b  d) a  c        (1.2) ad  bc   a b   c d   ac  bd . =   b a   d c   (ad  bc) ac  bd        (1.3) Từ (1.2) và (1.3) suy ra rằng ánh xạ đã xây dựng là đẳng cấu giữa M vì ma trận ở vế phải của (1.2) là tương ứng với các số phức: và (a  c)  (b  d)i  (a  bi)  (c  di) và ma trận ở vế phải của (1.3) là tương ứng với các số phức: (ac  bd)  (ad  bc)i  (a  bi)(c  di) . Từ đó suy ra rằng tổng và tích hai số phức trong và tích các ảnh của chúng trong M. tương ứng với tổng Đồng thời ta cũng thu được tập hợp M 0 các ma trận cấp 2 dạng  a 0   M 0 :=  a     0 a   là đẳng cấu với tập hợp các số thực trong . Trong phép đẳng cấu này mỗi số a 0 thực a tương ứng với ma trận  . 0 a a 0 Từ đó có thể đồng nhất ma trận   với số thực a. 0 a Nếu ta xét một ma trận tùy ý của M thì  a b a 0  0 1 z   b     a  bj,  b a 0 a  1 0        0 1 trong đó: j   .  1 0    0 1  0 1   1 0  Ta có: j2    1 0    0 1  1 .  1 0       0 1 Từ đó, ma trận j    có vai trò như đơn vị ảo.  1 0   9 1.2.5. Số phức dưới dạng lượng giác 1.2.5.1. Argument của số phức Cho số phức z  a  bi  0 . Với r : z  a 2  b 2 ta có: 2 2 a b       1. r r Vì vậy tồn tại duy nhất một số thực 0  0  0  2  sao cho: a  r  cos0 a  r cos 0   b  r sin 0  b  sin  0  r và 0 được gọi là argument chính của số phức z. Kí hiệu: argz. Ta nói mọi số thực  sao cho: z  r  cos  isin  được gọi là argument của số phức z. Nếu  là một argument của z thì mọi argument của z có dạng   k2 , k  . Tập hợp tất cả các argument của z được kí hiệu và xác định: Argz=arg z  k2 : k  . Argz có các tính chất sau: Arg  z1.z 2  = Arg z1 + Arg z 2 , z  Arg  1  =  z2  Argz1  Argz 2 . 1.2.5.2. Dạng lượng giác của số phức Trên mặt phẳng phức ta có hệ thức: z  a  bi  r  cos  isin  (1.4) Rez = a = rcos , Imz = b = r sin  . Trong đó: (a) độ dài bán kính véctơ r := z  zz  a 2  b2 , (b) góc cực   Arg được gọi argument của z. Biểu thức (1.4) được gọi là dạng lượng giác hay dạng cực của số phức z  a  bi . 10 1.2.5.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Ta đã biết công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là định lí nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức. Định lí 1.1. Nếu z  r  cos  isin  , z '  r '  cos'  isin '   r  0, r  0 , ' thì zz '  rr ' cos    '   isin    '  , z' r '   cos  '     isin  '    (khi r  0 ). z r Chứng minh zz '   r  cos  isin    r '  cos'  isin '   rr ' coscos'  sin  sin '  i  sin cos'  cossin'    rr ' cos    '   isin    '   . Mặt khác, ta có: 1 1  cos     isin     . z r Theo công thức nhân số phức ta có: z' r'  '1  z  cos  '     isin  '     . (ĐPCM). z z r 1.2.5.4. Công thức Moivre Với mọi số nguyên dương n ta có:  r(cos  isin) n  r n (cos n  isin n) . được gọi là công thức Moivre. Nếu r  1 thì công thức Moivre có dạng đặc biệt: (cos  isin)n  cos n  isin n . 1.2.5.5. Phép khai căn một số phức Cho n là các số tự nhiên và z  . Ta nói w là căn bậc n của z nếu: wn  z . Với z  0 , đặt z  r  cos  isin  và w    cos+isin   . Khi đó: 11 n  cos n  isin n   r  cos  isin   .  n r Từ đó ta có:    2k , n k   Khi đó z  0 có n căn bậc n khác nhau, đó là:   2k   2k   w k  n r  cos  isin , n n   k = 0, 1, ..., n – 1. Ta có: n     k2   2k   z   n r  cos  isin  : k  0,1,...,n  1 . n n     1.2.6. Dạng mũ của số phức Với mọi số thực  : cos  isin  e i (1.5) Dạng lượng giác (1.4) được biến đổi thành dạng mũ z  rei đó là dạng số mũ của số phức z  0 . Dễ thấy: nếu z1  r1ei1 và z2  r2ei2 thì: 1. z1z2  r1r2ei( 1 2 ) 2. z1 r1 i( 1 2 )  e , r2  0 z 2 r2 Từ (1.5) ta có: 1  cos  (ei  ie i )   2  1 i i  sin   (e  e )  2i (1.6) Các công thức (1.6) được gọi là công thức Euler. 1.2.7. Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann Trong không gian Euclide ba chiều với hệ tọa độ Đềcác vuông góc 1 1 (; ; ) ta xét mặt cầu với tâm tại điểm (0; 0; ) với bán kính bằng . 2 2 12 2   1  1   2 2 S  (; ; ) :           2  4     sao cho nó tiếp xúc với mặt phẳng z = 0 tại gốc tọa độ và trục thực của mặt phẳng z trùng với trục   0;   0 còn trục ảo thì trùng với trục   0;   0 . Ta xét phép chiếu  với cực bắc tại điểm P(0; 0; 1). Giả sử z  là điểm tùy ý. Nối điểm z  với cực bắc P bằng đoạn thẳng, đoạn thẳng này cắt mặt cầu S tại điểm A(z). Và ngược lại, giả sử A  S là một điểm tùy ý của mặt cầu. Khi đó PA sẽ cắt mặt phẳng phức tại điểm z. Hiển nhiên đó là một phép đơn trị một-một. Định nghĩa 1.3. Phép tương ứng  : z A(z) S như đã mô tả ở trên được gọi là phép chiếu nổi với cực tại điểm P. Điểm A(z)  S được gọi là ảnh nổi hay là ảnh cầu của điểm z. Định lý 1.2. Trong phép chiếu nổi  : điểm z  x  iy   z A(z) S sẽ tương ứng với điểm A(z)  S có tọa độ là x 1 z 2 ,  y 1 z 2 ,  z 2 1 z 2 (1.7) Công thức (1.7) được gọi là công thức của phép chiếu nổi. Chứng minh Vì ba điểm P(0;0;1) ; A(z) = (; ; ) và z  (x;y;0) cùng nằm trên một đường thẳng nên các tọa độ của chúng phải thỏa mãn hệ thức: 0 0  0   x  0 y  0 0 1 x Hay là:     i ,y   1  1  1   2  2 1 1 2  2 2 z         Nếu z  và thì ,   1  (1   2 ) 2 4  2 2 và do đó   z 2 1 z 2 . Thế giá trị  vào (1.8) ta tìm được:  x 1 z 2 ,  y 1 z 13 2 . (1.8) Ta thấy, trong phép biến đổi  , điểm P(0; 0; 1) không tương ứng với điểm z nào của mặt phẳng . Ta xét số phức “lý tưởng” z   và “bổ sung” cho mặt phẳng phức bằng cách thêm cho nó điểm xa vô cùng duy nhất (gọi tắt là điểm vô cùng) tương ứng với số phức z   . Định nghĩa 1.4. Tập hợp lập nên từ mặt phẳng phức và điểm vô cùng ( kí hiệu là  ) được gọi là mặt phẳng phức mở rộng và kí hiệu là . 1.2.8. Khoảng cách trên Ta đưa vào trong hai mêtric, trong mêtric thứ nhất khoảng cách giữa hai điểm z1 ,z 2  được giả thiết bằng: d  d (z1;z 2 ) : z1  z 2  (x1  x 2 ) 2  (y1  y 2 ) 2 . Mêtric này là mêtric Euclide thông thường trong mặt phẳng 2 . Trong mêtric thứ hai (gọi là mêtric cầu) khoảng cách giữa hai điểm z1;z 2  được hiểu là khoảng cách (trong không gian ; ;  ) giữa các ảnh cầu của chúng. Khoảng cách này được gọi là khoảng cách cầu hay khoảng cách Jordan giữa hai điểm z1;z 2  : d def d (z1;z2 ) . Định lý 1.3. Giả sử d  d (z1;z2 ) là khoảng cách cầu giữa các điểm z1  x1  iy1 và z 2  x 2  iy 2 . Khi đó: z1  z 2 d (z1;z 2 )  1 2 (1  z1 ) .(1  z 2 ) 2 2 (1.9) 1 2 1 nếu z 2   thì: d (z1; )  1  z1 (1.10) 2 và khoảng cách cầu thỏa mãn các tiên đề thông thường của một mêtric. Chứng minh Thật vậy, từ công thức (1.7) ta có: 1 2 2 d (z1;z 2 )  [(1 -2 ) +(1 -2 ) +(1 - 2 ) ] 2 2 =[  212   2    212   2    21 2   2 ] 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 =[(     )  ( 2   2   2 )  2(1 2  12  1 2 )] 2 1 2 1 2 1 2 14 2 2 1 2  [1 + 2 -2(12 +12 +1 2 )] 1 2 2 2   z2 x1x 2  z1    2  2 2 2 2 1  z2  (1  z1 )(1  z 2 )  1  z1   z 1   2 2 2 2  (1  z1 )(1  z 2 ) (1  z1 )(1  z 2 )   2 z1 z 2 y1y 2 2 2 (1  z 2 )  z 2 (1  z1 )  2(x1x 2  y1y 2 )  2 z1 z 2 2 2 2 1  z1 2 2 1  z2  1 2 2 2 1 1  z1 2  z 2 2  2x1x 2  2y1y 2  2 (x  x ) 2  (y  y ) 2  2 2 1 2    1  2 2 2 2 1  z1 1  z 2 1  z1 1  z 2  z1  z 2 1  z1 2 1  z2 2 z1  z 2 Vậy d (z1;z 2 )  1 2 (1  z1 ) .(1  z 2 ) 2 2 1 2 . Ta được điều phải chứng minh. Trường hợp: z 2   , ta có: 1 d (z1; )  1  1  (1  1 )2  1  1  (1  z  1 ) 2 1 2 vì z 2   nên  2  1 . Ta luôn có d (z1;z2 )  0 và d (z1;z2 )  0  z1  z2 . Ta thấy: d (z1;z2 )  d (z2 ;z1) .Ta phải chứng minh: d (z1;z3 )  d (z1;z2 )  d (z2 ;z3 ) . Đối với z1;z 2 ;z 3 ta có: (z1  z 2 )(1  z3 z3 )  (z1  z3 )(1  z 2 z 3 )  (z 3  z 2 )(1  z1 z 3 ) . 15