MỤC LỤC
Lời cam đoan………………………………… .......... …………………............2
Mở đầu……………………………………… .......... …………………………..3
Chương 1
NGHIÊN CỨU PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG BẰNG CÁCH DÙNG
SỐ PHỨC
1.1 Mặt phẳng phức………………… ......... …………………………………..5
1.2. Phép đồng dạng trong mặt phẳng phức….......... ………………………..7
1.3 Một số bài toán hình học phẳng giải bằng cách dùng số phức và biểu
thức tọa vị của phép đồng dạng……………… .......... ………………………15
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DÙNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỒNG DẠNG
MỞ ĐẦU CHƯƠNG II…………………………….......... …………………..21
2.1 Các bài toán chứng minh……………………… ......... ………………….23
2,2 Các bài toán quỹ tích ……………………… .......... …………………...31
2.3 Các bài toán dựng hình..……………………… ......... ……………….….42
2.4 Các bài toán thi học sinh giỏi……………………….......... ……………..52
KẾT LUẬN……………………………………………......... ………………..68
DANH MỤC SÁCH THAM KHẢO………………… ......... ……………….69
1
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và được sự
hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Đoành. Các nội dung nghiên cứu,kết quả
trong đề tài này là trung thực và chưa công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước
đây. Những số liệu trong các bài toán phục vụ cho việc phân tích, nhận
xét,đánh giá được chính tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có ghi rõ
trong phần tài liệu tham khảo.
Hà Nội, ngày 2 tháng 5 năm 2016
Tác giả
Hoàng Thị Thủy
2
Thang Long University Library
MỞ ĐẦU
Phép biến hình trong mặt phẳng là mảng kiến thức rất quan trọng trong
việc giải các bài toán hình học.
Việc nghiên cứu hình học theo quan điểm biến hình đã được nhà toán học
Đức là Felin (1849 – 1925) hệ thống lại trong “chương trình Er Langen” năm
1872. Trong chương trình này Klein đã sắp xếp hệ thống các phép biến hình
lại thành những nhóm biến hình khác nhau như nhóm xạ ảnh, nhóm afive,
nhóm đồng dạng, nhóm dời hình. Dựa vào các bất biến của mỗi nhóm với các
nhóm con của nó Klein đã xác lập được mối quan hệ giữa các thứ hình học để
hệ thống hóa các thứ hình học.
Trong chương trình hình học lớp 11 học sinh được học về các phép dời
hình cụ thể như phép tịnh biến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm và phép
quay thông qua định nghĩa và tính chất cơ bản của các phép biến hình đó. Sau
đó hệ thống lại các phép biến hình đã học. Khái niệm hai hình đồng dạng với
nhau cũng được xây dựng trên cơ sở các phép biến hình tương ứng là “phép
đồng dạng”. Đây là một vấn đề khó vì học sinh lần đầu tiên được làm quen
với khái niệm biến hình trong việc nghiên cứu hình học.
Là một giáo viên đang giảng dạy ở trường THPT tôi muốn nghiên cứu
phép biến hình trong mặt phẳng phức. Để giúp các em học sinh ứng dụng số
phức giải bài toán hình học phẳng dễ dàng và sâu sắc hơn. Vì vậy tôi chọn đề
tài là: sè phøc vµ PHÐP BIÕN H×NH §ång d¹ng
Nội dung của đề tài gồm hai chương:
Chương I: Dùng số phức nghiên cứu phép đồng dạng phẳng. Trong
chương này tôi hệ thống hóa lại một cách ngắn gọn kiến thức về mặt phẳng
phức.Dùng số phức nghiên cứu phép đồng dạng và giới thiệu một số bài toán
hình học phẳng giải bằng cách dùng số phức.
3
Chương II: Sử dụng phép biến hình vào giải các bài toán hình học.
Ở chương này tôi đưa ra các bài toán chứng minh,bài toán tìm quỹ tích,
bài toán dựng hình trong mặt phẳng được giải bằng cách sử dụng phép biến
hình đồng dạng.
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Thăng Long Hà Nội
với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Văn Đoành. Cuối cùng
tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn nhiệt tình
của thầy. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô thuộc khoa Toán Tin, phòng sau đại học Trường đại học Thăng Long đã tạo điều kiện thuận
lợi, động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng hết sức để nghiên cứu tìm tòi nhưng do kinh nghiệm
và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi các thiếu sót. Rất
mong sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô và độc giả để luận văn này được
hoàn thiện hơn.
4
Thang Long University Library
Chương 1
NGHIÊN CỨU PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG
BẰNG CÁCH DÙNG SỐ PHỨC
1.1 MẶT PHẲNG PHỨC
1.1.1 Mặt phẳng phức.
Ta đồng nhất tập hợp các điểm của mặt phẳng E với tập hợp các số phức
C. Cụ thể, trong mặt phẳng đã cho một hệ tọa độ Đề-các oxy, mỗi điêm M có
tọa độ (x, y) được đồng nhất với số phức z = x+yi và gọi số phức đó là tọa vị
của M, ta viết M(z). Khi đó E được gọi là mặt phẳng phức.
Nếu M có tọa độ (x, y) thì véc tơ OM cũng có tọa độ (x, y) nên ta cũng
gọi số phức z = x+yi là tọa vị của OM , ta viết OM (z).
Số thực
1
zω + zω = z ω cos(ψ − ϕ ) với ψ = arg z , ϕ = arg ω chính là tích vô
2
(
)
hướng của hai véc tơ OM (z) và OP ( ω ) được ký hiệu là ( z, ω ). Như vậy nếu
z ≠ 0, ω ≠ 0 thì OM ⊥ OP khi và chỉ khi ( z , ω ) = 0.
Số thực
i
z.ω − zω = z ω sin (ω − ϕ )
2
(
)
được gọi là tích lệch của hai véc tơ OM (z ), OP(ω ) và ký hiệu là [z ,ω ] .
Như vậy, O, M, P thẳng hàng khi và chỉ khi [z, ω ] = 0 .
Khi O, M, P không thẳng hàng thì [z ,ω ] bằng hai lần diện tích đại số của
tam giác định hướng OMP : [z ,ω ] là số thực mà giá trị tuyệt đối của nó là hai
lần diện tích tam giác OMP, nó dương khi hướng đi dọc chu vi O → M → P
ngược chiều quay kim đồng hồ và nó âm khi định hướng ngược lại ).
1.1.2 Phương trình đường tròn và đường thẳng trong mặt phẳng
phức.
5
Tập hợp các điểm M trên đường thẳng d có các tọa vị thỏa mãn phương
trình
z = λ z + δ , λ = 1 , λδ + δ = 0
u
u
1
2
Trong đó: λ = , u là tọa vị véc tơ chỉ phương của d và δ là tọa vị của
hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. Điểm M ' (z , 0 ) đối xứng với
điểm M (z0 ) qua đường thẳng z = λ z + δ thì z 0' = λ z 0 + δ
Tập hợp các điểm M trên đường tròn C có tọa vị thỏa mãn phương trình
(
)
z z + β z + β z + p = 0 , β ∈ C , p ∈ R , β β − p〉0 . Đó là đường tròn có tâm
I (− β ) và bán kính R = β β − p .
1.1.3 Tỷ số đơn và tỷ số kép.
Cho ba điểm phân biệt M 0 (z 0 ) , M 1 (z1 ) , M 2 (z 2 )
Số phức
z2 − z0
được gọi là tỷ số đơn của bộ ba điểm M 0 , M 1 , M 2 và ký hiệu
z 2 − z1
là [M 0 , M 1 , M 2 ] .
Số phức ω = [M 0 , M 1 , M 2 ] có ω =
(
M 2M 0
và
M 2M1
)
arg ω = M 2 M 1 , M 2 M 0 và nếu ω là số thực thì M 0 , M 1 , M 2 thẳng hàng.
Cho bốn điểm phân biệt M 1 (z1 ) , M 2 (z 2 ) , M 3 (z3 ) , M 4 (z 4 ) . Số phức
ω=
[M 1 , M 2 , M 3 ] được gọi là tỷ số kép của bộ bốn điểm
[M 1 , M 2 , M 4 ]
M 1 , M 2 , M 3 , M 4 và
ký hiệu là [M 1 , M 2 , M 3 , M 4 ] .Bốn điểm M1,M2,M3,M4 thuộc một đường tròn khi
và chỉ khi [M 1 , M 2 , M 3 ] ∉ R , [M 1 , M 2 , M 4 ]∉ R nhưng [M 1 , M 2 , M 3 , M 4 ] ∈ R
1.1.4 Các phép biến hình của mặt phẳng phức.
6
Thang Long University Library
Các phép biến hình của mặt phẳng E là các song ánh từ E vào E. Phép biến
hình của E bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm ( gọi là phép biến đổi
afin ) được cho bởi z → z ' = αz + β z + γ
Nếu f bảo tồn khoảng cách ( gọi là phép dời hình) thì biểu thức của f là :
z ' → z = αz + β , α = 1
hoặc
z' → z = α z + β, α =1
phép dời hình bảo toàn hướng
phép dời hình đảo hướng.
Mỗi phép dời hình bảo toàn hướng là phép tịnh tiến hoặc phép quay
Tβ : z → z ' = z + β , β ( β ) (phép tịnh tiến theo véc tơ v )
Q( A, ϕ ) = QϕA : z → z ' = α z + β , là phép quay tâm A(
β
) và góc quay ϕ = arg α .
1−α
Mỗi phép dời hình đảo hướng là phép đối xứng trượt
f : z → z' = α z + β, α = 1
Đối xứng trượt là tích Tv oĐ∆ = Đ∆ oTv , trong đó ∆ là đường thẳng có phương
trình
z=
u
u
z + δ , trong đó α = , β = δ + v, < u , δ > = 0, [u , v] = 0.
u
u
1.2 PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHỨC
1.2.1 Phép vị tự
a) Biến đổi của mặt phẳng phức xác định bởi công thức:
z ' = kz (k ∈ R \ {0}) rõ ràng là phép vị tự tâm 0, hệ số vị tự k, từ đó biến đổi xác
định bởi:
7
(k ∈ R \ {0})
z ' − z 0 = k (z − z 0 )
là phép vị tự tâm J ( với tọa vị z0 ) với hệ số vị tự k; nó được ký hiệu bởi : VJ ,k
hoặc V(J,k)
* Nhận xét:
VJ ,1 là biến đổi đồng nhất
VJ ,−1 là biến đổi đối xứng Đj
Ta thấy VJ ,k là biến đổi afin bảo tồn hướng. Biến đoạn thẳng có độ dài l thành
đoạn thẳng có độ dài k l , bảo tồn số đo của góc định hướng, và khi k ≠ 1 thì có
điểm bất động duy nhất J, giữ mọi đường thẳng qua J bất biến ( đảo hướng
của nó nếu k < 0 bảo tồn hướng của nó nếu k > 0 ) , biến đường thẳng không
qua J thành đường thẳng song song với nó.
b) Công thức của phép vị tự :
Từ công thức : z ' − z 0 = k (z − z 0 )
⇒ z ' = kz + (1 − k )z 0
z ' = kz + β
(k ∈ R \ {0})
(k ∈ R \ {0})
với β = (1 − k )z 0
Ngược lại, xét biến đổi của mặt phẳng phức xác định bởi :
z ' = kz + β
(k ∈ R \ {0})
Khi k = 1 , đó là phép tịnh tiến theo véc tơ v(β ) , Tv : z → z ' = z + β
Khi k ≠ 1 , biến đổi có điểm bất động duy nhất J có tọa vị z0 , z0 = kz0 + β
⇒ z0 =
β
và công thức trên còn có thể viết dưới dạng:
1− k
z ' − z 0 = k ( z − z 0 ) là phép vị tự VJ ,k .
c) Tích của biến đổi f xác định bởi z ' = kz + β với biến đổi g xác định bởi :
z ' = lz + γ
(k , l ∈ R \ {0})
8
Thang Long University Library
là biến đổi gof xác định bởi z ' = klz + lβ + γ .Nếu k.l ≠ 1 thì gof là phép vị tự có
tâm thẳng hang với tâm của f và g.
và (Tv )−1 = T−v
Ta có Vl ,k −1 = VJ ,1/ k
Vậy tập hợp các phép tịnh tiến và vị tự trong mặt phẳng làm thành một nhóm
biến đổi của mặt phẳng ( Nhóm này không giao hoán vì fog được xác định bởi
: z ' = klz + kγ + β
d) Nhận xét
1
k
+ Tích 2 phép vị tự VJ ,k và VK , 1 là một phép tịnh tiến ( do k = 1 ). Cụ thể là:
k
V
1
K,
k
VJ ,k = Tv , v =
o
VJ , k o V
K,
1
k
= Tw
1
KJ
k
W = k JK
+ Tích của phép vị tự VJ ,k (k ≠ 1) với phép tịnh tiến Tu là phép vị tự với hệ số
vị tự k. Cụ thể:
Tu : z → z' = z + u ,
VJ ,k : z → z ' = kz + (1 − k )z 0
Tu o VJ ,k có công thức:
z → z ' = kz + (1 − k )z0 + u
nên là phép vị tự tâm K có tọa vị
z0 +
u
1− k
tức là : JK =
k
u ; Tích VJ , k oTu có công thức
1− k
z → z = k ( z + u ) + (1 − k ) z 0 .
Đó là phép vị tự tâm L có tọa vị z0 +
k
k
u
u , tức JL =
1− k
1− k
+ Tập hợp các phép vị tự tâm J làm thành một nhóm giao hoán,
1.2.2 Biến đổi đồng dạng.
9
a) Xét biến đổi f của mặt phẳng E mà có số k > 0 để với mọi cặp điểm M, N
độ dài đoạn thẳng f (M) f (N) bằng k lần độ dài đoạn thẳng MN . Gọi g là một
phép vị tự hệ số vị tự
1
thì gof bảo tồn độ dài mọi đoạn thẳng nên gof là một
k
phép dời hình h, từ đó f = g −1 o h , tức là f là tích của một phép dời hình với
1
k
một phép vị tự hệ số vị tự . Ngược lại mọi tích của một dời hình với một
phép vị tự hệ số l ( hay tích một phép vị tự hệ số l với một phép dời hình ) là
một biến đổi của E mà độ dài đoạn thẳng ảnh luôn gấp k = l lần độ dài đoạn
thẳng cho trước.
Các biến đổi như thế của E gọi là biến đổi đồng dạng, hệ số (đồng dạng ) k >
0 của mặt phẳng . Rõ ràng khi k =1, ta được phép dời hình. Biến đổi đồng
dạng là một biến đổi afin và từ lí luận trên suy ra: Mọi biến đổi đồng dạng bảo
tồn hướng ( gọi là đồng dạng loại một ) xác định bởi công thức ( coi E 2 là mặt
phẳng phức):
z → z ' = αz + β ,α ≠ 0. ( biến đổi đồng dạng loại 1)
và mọi biến đổi đồng dạng đảo hướng ( gọi là đồng dạng loại hai). Xác định
bởi công thức:
z → z ' = α z + β , α ≠ 0 ( biến đổi đồng dạng loại 2)
Các biến đổi đồng dạng đó có hệ số đồng dạng α .
Thật vậy, M (z1 ) , N (z 2 ) thì f (M )(z1' ), f (N )(z 2' )
z1' − z 2' = α (z1 − z 2 ) hoặc
z1' − z 2' = α ( z1 − z 2 )
Vậy z1' − z 2' = α z1 − z 2 hay f (M ) f (N ) = kMN
Rõ ràng tập hợp các biến đổi đồng dạng của mặt phẳng làm thành một nhóm (
chứa nhóm các phép dời hình) tập hợp các phép biến đổi đồng dạng loại 1
cũng làm thành một nhóm.
b) Tính chất của phép đồng dạng
10
Thang Long University Library
Phép đồng dạng là một phép afin. Qua một phép đồng dạng ảnh của đường
thẳng là đường thẳng, ảnh của tia là tia, ảnh của đoạn thẳng là đoạn thẳng, ảnh
của một góc là một góc có cùng số đo, ảnh của tam giác là một tam giác đồng
dạng với nó, ảnh của đường tròn có bán kính R là đường tròn có bán kính k R.
c) Sự xác định phép đồng dạng.
Cho hai cặp điểm phân biệt A1 (z1 ) , A2 (z2 ) và A1 ' (z1' ) , A2' (z2 ' ). Khi đó có duy nhất
một biến đổi đồng dạng loại 1 và có duy nhất một biến đổi đồng dạng loại hai
biến A1 thành A1' , A2 thành A2 ' .
Chứng minh
Tìm phép biến đổi đồng dạng loại 1
z ' = αz + β
(α ≠ 0)
Ta có :
'
z1 = αz1 + β
'
z 2 = αz 2 + β
Từ đó
α=
z1' − z 2'
, β = z1' − αz1
z1 − z 2
Phép biến đổi đồng dạng loại 2
z' = α z + β
biến A1 thành A1' , A2 thành A2' có α =
z1' − z 2'
, β = z1' − α z1
z1 − z 2
d) Nhận biết phép biến đổi đồng dạng
Định lí 1
Song ánh f biến một đường tròn C0 thành đường tròn C0 ' là biến đổi đồng
dạng.
Chứng minh:
11
Trước tiên chứng minh rằng nếu A, B, C thẳng hàng cùng thuộc đường thẳng
thì A' = f ( A) , B ' = f (B ) , C ' = f (C ) thẳng hàng.
Giả sử A', B', C' không thẳng hàng. Lấy D' là một điểm tùy ý của đường thẳng
A'B' thì D = f −1 (D ' ) phải thuộc đường thẳng AB vì nếu A, B, D không thẳng
hàng thì đường tròn C đi qua A, B, D có ảnh là đường tròn C' đi qua A', B',
D'. Điều này vô lý vì A', B', D' thẳng hàng.
Tương tự, mọi điểm trên đường thẳng B'C', C'A' đều có tạo ảnh thuộc d. Từ
đó suy ra rằng tạo ảnh M của mọi điểm M' của mặt phẳng đều thuộc d và do
đó f không còn là song ảnh.
Vậy A', B', C' thẳng hàng. Điều đó có nghĩa f là biến đổi afin.
Bây giờ chứng minh rằng biến đổi afin biến đường tròn thành đường tròn là
một biến đổi đồng dạng.
Biến đổi afin f cho bởi
z → z ' = αz + β z + γ
(α
≠ β)
Với I 0 (z0 ) , M (z ) , I 0 M = R , M thuộc đường tròn tâm I 0 bán kính R,
z = z0 + Re iϕ , thì f (M ) cách f (I 0 ) một khoảng R' , có nghĩa
(
(
)
)
α z + β z + γ − α z0 + β z0 + γ = α ( z − z0 ) + β z − z0 = R α e iϕ + βe −iϕ = R '
Suy ra
α e iϕ + β e − iϕ =
R'
R
Đẳng thức này tương đương với
(αe
iϕ
)(
)
+ β e − i ϕ α e iϕ + β e iϕ =
R'
R
hay
R'
α β e 2iϕ + α βe − 2iϕ − − α α − β β = 0
R
Từ đó suy ra hoặc α = 0 , β =
R'
R
hoặc β = 0 , α =
R'
. Vậy f có dạng
R
12
Thang Long University Library
z → z ' = α z + γ hoặc z → z ' = β z + γ , tức f là biến đổi đồng dạng
Định lí 2
Song ánh f của mặt phẳng lên chính nó bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm phân
biệt tùy ý là biến đổi đồng dạng loại 1, còn nếu tỉ số đơn của ba điểm phân
biệt tùy ý bằng số phức liên hợp của tỉ số đơn của ba điểm ảnh thì nó là một
biến đổi đồng dạng loại 2.
Chứng minh
Cho biến đổi đồng dạng loại 1 f: z ' = αz + β
(α ≠ 0)
và cho ba điểm M 0 (z0 ) , M 1 (z1 ) , M 2 (z 2 ) . Khi đó
'
'
[ f (M 0 ), f (M 1 ), f (M 2 )] = z 2' − z0'
z 2 − z1
=
α (z 2 − z 0 ) z 2 − z 0
=
= [M 0 , M 1 , M 2 ]
α (z 2 − z1 ) z 2 − z1
Tương tự, nếu f là biến đổi đồng dạng loại hai thì
'
'
[ f (M 0 ), f (M 1 ), f (M 2 )] = z2' − z0'
z 2 − z1
=
α (z 2 − z 0 )
= M 0 , M1, M 2
α (z 2 − z1 )
[
]
* Ngược lại, song ánh f bảo toàn tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thì f là biến
đổi đồng dạng loại 1.
Thật vậy, lấy M 1 (z1 ) , M 2 (z 2 ) phân biệt thì với mọi điểm M (z ) ta có
z 2' − z '
z −z
= 2
'
'
z 2 − z1 z 2 − z1
trong đó : z1' , z 2' , z ' lần lượt là tọa vị của f ( M 1 ) , f ( M 2 ) ,
f (M )
'
z2' − z1
z ' 2 − z1'
'
Suy ra: z ' =
z + z2 −
z2
z2 − z1
z2 − z1
Vậy f xác định bởi z → z ' = αz + β , trong đó
'
α=
z 2' − z1'
z 2' − z1
'
≠
0
,
β
=
z
−
z2
2
z 2' − z1'
z 2 − z1
13
Tương tự, đối với song ánh biến tỉ số đơn thành số phức liên hợp thì song ánh
đó là biến đổi đồng dạng loại 2.
1.2.3 Điểm bất động và dạng chính tắc của phép biến đổi đồng dạng
a) Điểm bất động.
Biến đổi đồng dạng khác dời hình có một và chỉ một điểm bất động.
Thực vậy: Nếu f là biến đổi đồng dạng loại một xác định bởi z ' = αz + β , α ≠ 0
và α ≠ 1 thì điểm bất động I (Z ) xác định bởi
0
z 0 = αz 0 + β
hay z 0 =
β
1−α
Nếu g là biến đổi đồng dạng loại hai,
z ' = α z + β , α ≠ 0 , và α ≠ 1 . Thì điểm bất động M 0 ( z 0 ) xác định bởi
z0 = α z 0 + β
⇒ z0 = α z0 + β
Vậy z0 = α (α z0 + β ) + β hay
z0 =
αβ + β
1 − αα
b) Dạng chính tắc của biến đổi đồng dạng.
Nhận xét
Mỗi phép biến đổi đồng dạng là tích của một phép vị tự và một phép dời hình
nhưng tích này nói chung không giao hoán được. Chẳng hạn:
1) Cho Q là phép quay, V là phép vị tự. Khi đó
QoV = VoQ khi và chỉ khi tâm quay trùng với tâm vị tự.
2) Tích của phép đối xứng trục Đ∆ và một phép vị tự VJ,k giao hoán được
Đ∆ o VJ,k = VJ,k o Đ∆ khi và chỉ khi J phải thuộc ∆.
Chứng minh
(1)
14
Thang Long University Library
Gọi J là tâm của phép vị tự V ta có Q * V (J ) = V * Q(J ) ⇒ Q(J ) = V (Q(J )) . Do
đó Q(J ) là điểm bất động của phép vị tự V, vậy Q(J ) = J .
Do đó J là điểm bất động của phép quay Q, vậy J là tâm quay.
Ngược lại, nếu J là tâm quay và tâm vị tự thì :
QoV = VoQ . Thực vậy, coi J là gốc tọa độ thì
V xác định bởi z → z ' = kz , k ∈ R \ {0}
Q xác định bởi z → z ' = αz , α =1. Khi đó Q * V và V * Q đều được xác định
bởi z → z ' = kαz
(2)
Nếu VJ,k o Đ∆ = Đ∆ o VJ,k thì
VJ,k o Đ∆ (J) = Đ∆ o VJ,k (J) ⇒ VJ,k (Đ∆ (J) ) = Đ∆ (J)
Vậy Đ∆ (J) = J . Do đó J ∈∆.
Ngược lại, nếu J ∈∆ , coi J là gốc tọa độ, ∆ là trục ox thì Đ∆ xác định
bởi z → z ' = z còn VJ,k xác định bởi z → z ' = kz , k ∈ R \ {0}. Do đó VJ,k o Đ∆ và
Đ∆ o VJ,k đều được xác định bởi z → z ' = k z
Định lí . Mỗi biến đổi đồng dạng loại một khác dời hình là tích giao hoán
được của một phép quay và phép vị tự ( vị tự - quay)
Mỗi biến đổi đồng dạng loại II là tích giao hoán được của phép đối xứng trục
và phép vị tự ( vị tự - đối xứng) .
Thực vậy:
Giả sử f được xác định bởi
z ' = αz + β , α ≠ 0 , α ≠ 1 , gọi J ( z 0 ) là điểm bất động duy nhất của f , tức là
z0 =
β
1−α
thì f xác định bởi z ' − z0 = α (z − z0 )
15
Vậy f là tích của phép vị tự tâm J, tỉ số k = α và phép quay tâm J góc quay
argα.
Tích đó giao hoán được do nhận xét 1.
Nếu biến đổi đồng dạng loại hai g xác định bởi z ' = α z + β và J (z 0 ) là điểm
bất động duy nhất với z0 =
αβ +β
và công thức của g có thể viết
1−αα
z ' − z 0 = α ( z − z 0 ) .Vậy g là tích của phép đối xứng qua đường thẳng ∆ có
phương trình xác định bởi z ' − z 0 =
(
)
α
z − z 0 và phép vị tự tâm J ( z 0 ) tỉ số
α
k=α .
Tích đó giao hoán được do nhận xét 2.
Phép vị tự quay thường kí hiệu Z ( J , ϕ , k ) ,J là tâm của phép quay và tâm vị
tự, ϕ là góc quay,k là tỉ số vị tự.Phép vị tự đối xứng thường kí hiệu Z ( J , ∆, k ) ,J
là tâm vị tự thuộc ∆ , ∆ là trục đối xứng,k là tỉ số vị tự.
1.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG GIẢI BẰNG CÁCH
DÙNG SỐ PHỨC VÀ BIỂU THỨC TỌA VỊ CỦA PHÉP ĐỒNG DẠNG
Bài toán 1. Trong mặt phẳng cho hai cặp điểm A, B và A', B' ( A ≠B, A' ≠ B')
mà độ dài các đoạn AB và A'B' không bằng nhau. Gọi f là biến đổi đồng
dạng loại 1, biến A thành A', B thành B'. Hãy dựng điểm bất động J1 của f.
Giải:
Coi A là gốc tọa độ O, B là điểm đơn vị E của mặt phẳng phức
A (0), B (1)
Coi f xác định bởi z → z ' = αz + β
Khi đó A' (β ) , B' (α + β )
Khi đó J 1 (z1 ) mà z1 =
β
1−α
16
Thang Long University Library
Vậy bài toán đưa về việc dựng điểm J1 có tọa vị z1 với α và β là hai số phức
cho trước, α ≠ 1
* Dựng điểm C có tọa vị 1 − α
Dựng BC = B ' A' , vì B' A'(− α ) ⇒ BC (− α ) ,do đó C (1 − α )
(
)
* C1 là điểm đối xứng với C qua đường phân giác góc AB, AA' khi đó tọa vị
mọi điểm trên tia AC1 khác A có ac - gu - men bằng ac - gu - ment của
* Khi đó J1 là điểm trên tia AC1 sao cho
β
1−α
AJ 1 AA'
=
.
AB AC
Ta có thể dựng như sau:
Lấy E1 trên tia AC1, sao cho AE1 = AB
Lấy C2 trên tia AA', sao cho AC2 = AC
Khi đó đường thẳng qua A' song song với E1C2 cắt AC1 tại J1.
Chú ý :
Dùng phương pháp tổng hợp
Ta có
J 1 A' J 1 B'
=
. Vậy J 1 là một giao của đường tròn Apollonius chia cặp
J1 A J1 B
(A', A) theo tỉ số k với đường tròn Apolloninus chia cặp (B',B) theo tỉ số k.
17
Bài toán 2 Trong mặt phẳng cho tam giác A0A1A2 và đường thẳng l. Qua A0 ,
A1 , A2 kẻ các đường thẳng song song với nhau cắt l theo thứ tự tại P0, P1, P2 ,
số đo góc định hướng giữa l và các đường thẳng đó là ϕ ( sai khác cộng kπ).
Qua P0, P1, P2 lần lượt kẻ các đường thẳng l0 , l1 , l2 sao cho các góc định
hướng giữa A1A2 với l0 , giữa A2A0 với l1 , giữa A0A1 với l2 đều có số đo là ψ
( sai khác cộng kπ).
a) Với điều kiện nào của ϕ và ψ thì các đường thẳng l0 , l1 , l2 đồng quy.
b) Khi các đường thẳng đó không đồng quy, gọi Q0, Q1, Q2 theo thứ tự là giao
của l1 với l2 , giao của l2 với l0 , giao của l0 với l1 , thì tam giác Q0Q1Q2 đồng
dạng với tam giác A0A1A2 . Tính hệ số đồng dạng
Giải
Coi đường tròn ngoại tiếp tam giác A0A1A2 là đường tròn đơn vị của mặt
phức và A0 (α0), A1 (α1), A2 (α2),.
Phương trình của l : z = λ z + δ , λ = 1 , λδ + δ = 0
Các đường thẳng song song với nhau kẻ qua A0 , A1 , A2 có phương trình
(
z −α0 = µ z −α0
)
( )
= µ (z − α ) ,
z − α1 = µ z − α1
z −α 2
2
µ =1, µ ≠ λ
Viết λ = e 2iu , µ = e 2iv , u, v ∈ R , v − u = ϕ + kπ
(
P0 (z 0 ) z 0 thỏa mãn z = λ z + δ và z − α 0 = µ z − α 0
nên z 0 =
1
µ δ + λα 0 − λα 0
µ −λ
((
Tương tự, P1 (z1 ) , z1 =
)
)
1
µ δ + λα 1 − λα 1
µ −λ
((
)
)
)
18
Thang Long University Library
P2 (z 2 ) , z 2 =
1
µ δ + λα 2 − λα 2
µ −λ
((
)
)
Các đường thẳng l0 , l1 , l2 có phương trình lần lượt là
(
)
(
)
(
)
z − z0 = ν
α 2 − α1
z − z0
α 2 − α1
z − z1 = ν
α0 − α2
z − z1
α0 − α2
z − z2 = ν
α1 − α 0
z − z 2 , ν = e 2 iψ
α1 − α 0
Hai đường thẳng l0 , l1 không song song nên cắt nhau tại Q2 có tọa vị z 2' thỏa
mãn phương trình của hai đường thẳng đó, nên
z 2' =
µδ − λδ 1 −νδ 3
λ − µν
α2 +
µ −λ
µ −λ
Trong đó δ 1 = α 0 + α 1 + α 2 , δ 3 = α 0α 1α 2 .
Tương tự ta có tọa vị z0' , z1' của Q0 và Q1.Như vậy ánh xạ f của mặt phẳng
phức xác định bởi công thức z → z ' =
theo thứ tự thành Q0 , Q1 , Q2 .Ta có
λ − µν
µδ − λδ 1 −νδ 3
z+
biến A0 , A1 , A2
µ −λ
µ −λ
λ − µv sin(ϕ + ψ )
λ − µν 1 − e 2i (ϕ +ψ )
= 2 iϕ
nên
=
µ −λ
e −1
µ −λ
sin ϕ
Vậy khi ϕ +ψ ≠ kπ (k ∈ z ) thì f là phép biến đổi đồng dạng loại 1 hệ số đồng
dạng là
sin(ϕ + ψ )
(Khiψ = 0 thì f là phép dời hình loại 1.Ta vẽ hình trong
sin ϕ
trường hợp này.
19
Khi ϕ +ψ = kπ và chỉ khi đó f là ánh xạ hằng,tức Q0 , Q1 , Q2 trùng nhau,hay
l0 , l1 , l2 đồng quy.
Bài toán 3
Điểm P nằm trên đường tròn C tâm O ngoại tiếp tam giác không vuông
A0A1A2 . Các đường cao của tam giác A0A1A2 xuất phát theo thứ tự từ A0 , A1 ,
A2 lại cắt C tại A'0 , A'1 , A'2 . Các điểm P0, P1, P2 là điểm đối xứng của P theo
thứ tự qua các đường thẳng OA0 , OA1 , OA2 . Các điểm P'0, P'1, P'2 là các
điểm đối xứng của P theo thứ tự qua các đường thẳng OP0 , OP1 , OP2 . Các
điểm P"0, P"1, P"2 là các điểm đối xứng của P'0, P'1, P'2 qua đường thẳng OP.
Các điểm thẳng Q0 , Q1 , Q2 là các điểm đối xứng của P"0, P"1, P"2 qua tiếp
tuyến của C tại A'0 , A'1 , A'2 .
a) ∆ Q0 Q1 Q2 vị tự với tam giác A'0 A'1 A'2 với hệ số 2
b) Tìm quỹ tích tâm phép vị tự nói trên khi điểm P chạy trên C.
Giải
20
Thang Long University Library
- Xem thêm -