Số phức - tài liệu bồi dưỡng toán 12 nâng cao

  • Số trang: 22 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 17 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ §1. SỐ PHỨC Số tiết : 3LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Khái niệm số phức : • Tập hợp số phức : ℂ • Số phức (dạng ñại số) : z = a + bi (a, b ∈R, i ñơn vị ảo, i2 = −1) ; a là phần thực, b là phần ảo của z. • z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0. • z là số ảo ⇔ phần thực của z bằng 0. • Hai số phức bằng nhau : a = c a + bi = c + di ⇔  (a, b, c, d∈R) b = d  2. Biểu diễn hình học số phức : Số phức z = a + bi ñược biểu diễn bởi ñiểm M(a ; b) hay bởi vecto u = (a ; b) trong mp tọa ñộ Oxy (mặt phẳng phức). 3. Phép cộng và phép trừ số phức : • (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i. • Số ñối của z = a + bi là −z = −a – bi . • Tính chất : o Kết hợp : (z + z’) + z” = z + (z’ + z”) với mọi z, z’, z” ∈ ℂ . o Giao hoán : z + z’ = z’ + z với mọi z, z’∈ ℂ . o Cộng với0 : z + 0 = 0 + z = z vớimọi z∈ ℂ .   • z biểu diễn bởi u , z’ biểu diễn bởi vecto u ' thì : z ± z’ biểu diễn bởi u ± u ' . 4. Phép nhân số phức : • (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad +  bc)i.  k là số thực, z biểu diễn bởi vecto u thì kz biểu diễn bởi k u . • Tính chất : o Giao hoán : zz’ = z’z với mọi z, z’∈ ℂ . o Kết hợp : (zz’)z” = z(z’z”) với mọi z, z’, z” ∈ ℂ . o Nhân với 1 : 1.z = z.1 = z với mọi z∈ ℂ . o Phân phối : z(z’ + z”) = zz’ + zz” với mọi z, z’, z” ∈ ℂ . 5. Số phức liên hợp và môñun của số phức : • Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a – bi. Như vậy : z = a + bi = a − bi o z=z ; z + z' = z + z' ; zz ' = z.z ' o z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = − z .  • Môñun của số phức z = a + bi là số thực không âm z = a 2 + b 2 = z.z = OM o z ≥ 0, ∀z ∈ ℂ ; z =0⇔ z=0 o zz ' = z . z ' , z + z ' ≤ z + z ' với mọi z, z’∈ ℂ . 6. Phép chia cho số phức khác 0 : Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 85 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ • Số phức nghịch ñảo của z (z ≠ 0) là z −1 = • Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) : 1 z 2 z z' z '.z z '.z = z '.z −1 = 2 = z z.z z z' z' z'  z' z' , = w ⇔ z ' = wz ;   = = z z z z z B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: a) Số phức z = 2 + 3i có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 3. b) Số phức z = −I có phần thực bằng 0, phần ảo bằng −1, ñó là số ảo. Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy: a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức. b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức. Giải:   a) Vecto OM biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto OM ' biểu diễn số phức z’ = 2 + i b) z + z’ =(2  + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OP . z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi  vecto OQ . • Với z ≠ 0, Ví dụ 3: Tính : (2 – i)(1 + 2i) = (2 + 2) + (4 – 1)i = 4 + 3i. (2 + i)(2 – i) = (4 + 1) + (−2 + 2)i = 5. (2 + i)(1 + 2i) = (2 – 2) + (4 + 1)i = 5i. (bi)2 = b2.i2 = −b2 (b ∈R). i3 = i2.i = −i, i4 = 1, i5 = i. (1 + i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = −2 + 2i. Ví dụ 4: Phân tích z2 + 4 thành nhân tử. Giải: z2 + 4 = z2 − 4i2 = (z – 2i)(z + 2i). Tông quát nếu a là số thực thì : z2 + a2 = (z + ai)(z – ai). Ví dụ 5: Tính : 3 − i (3 − i)(1 − i ) 2 − 4i = = = 1 − 2i 1 + i (1 + i )(1 − i ) 12 + 12 2 + 2i ( 2 + 2i )( 2 + 2i ) ( 2 + 2i ) 2 −2 + 4 2i −1 + 2 2i = = = = 2 2 6 3 2 − 2i ( 2 − 2i )( 2 + 2i ) 2 +2 ( ) Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn : (1 + 2i)z = 3z – i. Giải: Ta có : (1 + 2i)z = 3z – i ⇔ (−2 + 2i)z = −i −i i i (2 + 2i ) −2 + 2i −1 1 ⇔z= = = = = + i −2 + 2i 2 − 2i (2 − 2i )(2 + 2i ) 8 4 4 C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 1. Tự làm. 2. Tự làm. 3. Xác ñịnh các số phức biểu diễn bởi các ñỉnh của một lục giác ñều có tâm là gốc tọa ñộ O trong Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 86 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ mặt phẳng phức, biết rằng một ñỉnh biểu diễn số i. Giải: Gọi D là ñiểm biểu diễn số i⇒ A biểu diễn số −i. π π  3 1  Dễ thấy ñiểm E có tọa ñộ  cos ;sin  =  ;  nên E biểu diễn 6 6  2 2  3 1 + i ; C ñối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số 2 2 3 1 3 1 phức − + i ; F biểu diễn số phức − i ; B biểu diễn số 2 2 2 2 3 1 phức − − i. 2 2 4. Thực hiện phép tính : 1 3 + i 1 2 + 3i 2 + 3i 1 1 3 2 2 = 2 = ; = = + i 2 1 3 2 − 3i 2 + 3 13 2 2 1 3 + − i 4 4 2 2 3 − 2i 3 − 4i (3 − 4i )(4 + i ) 16 − 13i = (3 − 2i )(−i ) = −2 − 3i ; = = i 4−i 16 + 1 17 1 3 1 5. Cho z = − + i . Hãy tính : ; z ; z 2 ; ( z )3 ; 1 + z + z 2 . 2 2 z Giải: 1 3 − − i 1 3 1 1 z z 1 3 2 2 ; z2 = − − i= =z = = 2 = =− − i 1 3 2 2 z z z.z z 2 2 + 4 4 3 2 ( z ) = z.( z ) = 1 ; 1 + z + z2 = 0. 6. Chứng minh rằng : 1 1 a) Phần thực của số phức z bằng ( z + z ) , phần ảo của số phức z bằng ( z − z ) . 2 2i b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z = − z . z'  z' c) Với mọi số phức z, z’, ta có z + z ' = z + z ' , zz ' = z.z ' và nếu z ≠ 0 thì = . z z Giải: a) Gọi số phức z = a + bi (a là phần thực, b là phần ảo) ⇒ z = a – bi. 1 ⇒ z + z = 2a ⇒ a = ( z + z ) 2 1 z - z = 2bi ⇒ b = ( z − z ) 2i b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ⇔ z + z = 0 ⇔ z = − z . c) Gọi số phức z = a + bi và z’ = c + di .Khi ñó z = a – bi và z ' = c – di. ⇒ z + z ' = (a + c) - (b + d)i, mà z + z’ = (a + c) + (b + d)i⇒ z + z ' = (a + c) - (b + d)i = z + z ' . 87 Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp số phức Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Tương tự cho các ñẳng thức còn lại. 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có : i4m = 1 ; i4m+1 = i ; i4m+2 = −1 ; i4m+3 = −i. Giải: i4m = (i4)m = (−1)2m = 1m = 1 ; i4m+1 = i4m.i = i ; i4m+2 = i4m+1.i = i.i = −1 i4m+3 = i4m+2.i = −i. 8. Chứng minh rằng :    a) Nếu vecto u của mp phức biểu diễn số phức z thì ñộ dài của vecto u là u = z , và từ ñó nếu các  ñiểm A1, A2 theo thứ tự biểu diễn các số phức z1, z2 thì A1 A2 = z2 − z1 . b) Với mọi số phức z, z’, ta có z.z ' = z . z ' và khi z ≠ 0 thì z' z' . = z z c) Với mọi số phức z, z’, ta có z + z ' ≤ z + z ' . Giải:    a) Ta có : z = a + bi ⇒ z = a 2 + b 2 , và u biểu diễn số phức z thì u nên ñộ dài vecto u là  a 2 + b 2 , do ñó u = z .    Nếu A1, A2 theo thứ tự biểu diễn z1, z2 thì vecto A1 A2 = OA2 − OA1 biểu diễn z2 – z1 nên  A1 A2 = z2 − z1 (ñpcm). b) Ta cần chứng minh : z.z ' = z . z ' và với z ≠ 0 thì : 2 2 2 z' z' z '.z 1 1 = 2 = 2 z '.z = 2 z ' . z = z z z z z c) Gọi z = a + bi, z’ = c + di ⇒ z + z’ = (a + c) + (b + d)I ⇒ z + z ' = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2(ac + bd ) ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) 2 = ( a 2 + b2 + c2 + d 2 ) 2 = ( z + z') 2 ⇒ z + z' ≤ z + z' 9. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng ñiều kiện sau: z −i b) =1 c) z = z − 3 + 4i a) z – i = 1 z+i Giải: Gọi z = a + bi a) ⇒ z - i = a + bi - i = 1 ⇔ a + (b – 1)i = 1 ⇔ a2 + (b – 1)2 = 1, Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn có tâm I(0 ; 1) và bán kính bằng 1. z −i a + (b − 1)i b) = = 1 ⇔ a + (b − 1)i = a + (b + 1)i ⇔ a 2 + (b − 1) 2 = a 2 + (b + 1) 2 ⇔ b = 0 z+i a + (b + 1)i Vậy z là số thực. c) Ta có : z = z − 3 + 4i ⇔ a + bi = a – bi – 3 + 4i ⇔a + bi = (a – 3) + (4 – b)i ⇔ a2 + b2 = (a – 3)2 + (4 – b)2 ⇔ 6a + 8b – 25 = 0. Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là một ñường thẳng. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 88 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ LUYỆN TẬP 10. Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có : z10 − 1 2 9 1+z+z +...+z = z −1 Giải: Do (1 + z + z2 + . . . + z9)(z – 1) = z + z2 + z3 +. . . .+z10 – (1 + z + z2 + . . . + z9) = z10 – 1 nên khi z ≠ 1 ta chia hai vế cho z – 1 thì ñược ñẳng thức cần chứng minh. 11. Hỏi mỗi số sau ñây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác ñịnh) ? z−z z 2 − ( z)2 z 2 + ( z)2 ; ; z 3 + ( z )3 1 + z.z Giải: Gọi z = a + bi ⇒ z = a – bi. • z 2 + ( z ) 2 = ( z + z ) 2 − 2 z.z là số thực. Vì z + z là số thực và z. z là số thực. • z - z là số ảo và z3 + ( z )3 = (z + z )[(z + z )2 – 3z. z ) là số thực nên z−z là số ảo. z + ( z )3 3 z 2 − ( z )2 là số ảo. 1 + z. z 12. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng ñiều kiện sau: a) z2 là số thực âm b) z2 là số ảo 1 c) z2 = ( z )2 d) là số ảo. z −i Giải: a) z2 là số thực âm ⇔ z là số ảo. Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z nằm trên trục ảo (Oy), trừ ñiểm O b) Gọi z = a + bi ⇒ z2 = a2 – b2 + 2abi là số ảo ⇔ a2 – b2 = 0 ⇔ b = ±a. Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z nằm trên hai ñường phân giác của các gốc tọa ñộ. c) z2 = ( z )2 ⇔ (z + z )(z − z ) = 0 z + z = 0 (truïc thöïc) ⇔  . Vậy tập hợp các ñiểm là các trục tọa ñộ. z - z = 0 (truïc aûo) 1 d) là số ảo ⇔ z – i là số ảo ⇔ x + (y – 1)i là số ảo ⇔ x = 0 và y ≠ 1. Vậy tập hợp các ñiểm z −i biểu diễn nằm trên trục Oy (trừ ñiểm có tung ñộ bằng 1). 13. Tìm nghiệm phức của các phương trình sau : a) iz + 2 – i = 0 b) (2 + 3i)z = z – 1 c) (2 – i) z - 4 = 0 d) (iz – 1)(z + 3i)( z - 2 + 3i) = 0 e) z2 + 4 = 0. Giải: i−2 −1 1 3 a) z = = 1 + 2i b) z = =− + i i 1 + 3i 10 10 4 8 4 8 4 c) z = = + i⇒z= − i d) z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i 2−i 5 5 5 5 e) z = ±2i. • z2 – ( z )2 = (z + z )(z - z ) là số ảo và 1 + z. z là số thực nên Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 89 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 14. a) Cho số phức z = x + yi (x, y ∈R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức b) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn ñiều kiện z+i . z −i z+i là số z −i thực dương. Giải: z + i x + ( y + 1)i [x + ( y + 1)i ].[x − ( y − 1)i] x2 + y 2 − 1 2x = = = 2 + 2 i a) 2 2 2 z − i x + ( y − 1)i x + ( y − 1) x + ( y − 1) x + ( y − 1)2 Vậy phần thực là x 2 + y2 − 1 2x và phần ảo là x 2 + ( y − 1)2 x 2 + ( y − 1)2 x = 0 x = 0 z+i 2x x 2 + y2 − 1 là số thực dương ⇔ 2 = 0 và > 0 ⇔ ⇔   2 2 z −i x + ( y − 1)2 x 2 + ( y − 1)2 x + y −1 > 0 y <−1 hoaëc y >1 Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn z nằm trên trục Oy bỏ ra ñoạn thẳng IJ (I biểu diễn số i, J biểu diễn số −i). 15. a) Trong mp phức, cho 3 ñiểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1, z2, z3. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào ? b) Xét 3 ñiểm A, B, C của mp phức theo thư tự biểu diễn 3 số phức phân biệt z1, z2, z3 thỏa mãn : z1 = z2 = z3. Chứng minh rằng A, B, C là 3 ñỉnh của tam giác ñều khi và chỉ khi z1 + z2 + z3 = 0. Giải:  1    a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có : OG = (OA + OB + OC ) 3 1 Suy ra , G biểu diễn số phức (z1 + z 2 + z 3 ) . 3    b) Ba ñiểm A, B , C (hay 3 vecto OA, OB, OC ) biểu diễn 3 số phức z1, z2, z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 ⇔ OA = OB = OC (theo 8.a)) tức là ñiểm O cách ñều 3 ñiểm A, B, C hay 3 ñiểm ñó nằm trên ñường tròn tâm O (gốc tọa ñộ). A, B, C là 3 ñỉnh của tam giác ñều khi và chỉ khi trọng tâm G trùng với tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay G ≡ O ⇔ z1 + z2 + z3 = 0 (theo a)). 16. ðố vui. Trong mp phức cho các ñiểm : O (gốc tọa ñộ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z’ ≠ 0 và B’ biểu diễn số phức z.z’. Hai tam giác OAB, OA’B’ có phải là hai tam giác ñồng dạng không ?. Giải: Theo gt ta có: OA = 1; OA’ = z’ ; OB = z ; OB’ = z.z’ ; AB = z − 1 ; A’B’ = z.z’ −z’. OA' z' OB' z.z' A'B' z.z' - z' Và : = = z' , = = z' , = = z' OA 1 OB AB z z -1 b) Do ñó hai tam giác OAB, OA’B’ ñồng dạng với tỉ số ñồng dạng là z’. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 90 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ §2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Số tiết : 2LT + 1BT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Căn bậc hai của số phức : • z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z2 = w. • z = x + yi (x, y∈R) là căn bậc hai của w = a + bi (a, b∈R)  x 2 − y 2 = a ⇔ . 2 xy = b • Số 0 có ñúng một căn bậc hai là 0. • Số phức khác 0 có ñúng hai căn bậc hai là 2 số ñối nhau. • Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là ± a . • Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là ± − a .i . 2. Phương trình bậc hai : Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước A ≠ 0) • Tính ∆ = B2 – 4AC −B ± δ • ∆ ≠ 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt (δ là một căn bậc hai của ∆) 2A −B . • ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép z1 = z2 = 2A B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của : a) −1 b) −a2 (a là số thực khác 0) c) −5 + 12i d) i Giải: a) −1 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là ±i . b) −a2 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là ± ai . c) ðặt w = −5 + 12i. Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w  x = 2  2 2  x − y = −5   x = −2 ⇔ ⇔ 2 xy = 12 6   y = x Vậy có hai căn bậc hai của −5 + 12i là : 2 + 3i và −2 – 3i. d) Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w = i  2 2 2  x = ±  x − y = 0 2 ⇔ ⇔ 2 xy = 1 y = 1  2x 2 (1 + i) . 2 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức : a) z2 – z + 1 = 0 b) z2 + (−2 + i)z – 2i = 0 Giải: Vậy có hai căn bậc hai của i là : ± a) Ta có : ∆ = 1 – 4 = −3 là số thực âm nên một căn bậc hai của ∆ là : Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 3i . 91 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 1 + 3i 1 − 3i và z2 = 2 2 b) Ta có : ∆ = (i – 2)2 – 4(−2i) = 3 – 4i + 8i = 3 + 4i = (2 + i)2 ( hay ta ñi tìm một căn bậc 2 của ∆). 2−i+2+i 2-i -2-i = 2, z 2 = Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt : z1 = = -i . 2 2 C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 17. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt z1 = −i ; 4i ; −4 ; 1 + 4 3 i Giải: Hai căn bậc hai của −i là : − Hai căn bậc hai của 4i là : 1 2 + 1 2 i, 1 2 − 1 2 i. 2 + 2i, − 2 − 2i . Hai căn bậc hai của 1 + 4 3 i là : 2 + 3i, − 2 − 3i . 18. Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì z = w Giải: z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z2 = w ⇒ z2 = z2 = w ⇒ z = 19. Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau : a) z2 = z + 1 b) z2 + 2z + 5 = 0 Giải: 2 z = w . c) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 1 5 ± b) z = −1 ± 2i c) z = 2i và z = −1 + i/ 2 2 20. a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn ñúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không ? Vì sao ? b) Tìm hai số phức , biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai z2 + Bz + C = 0 (B, C là 2 số phức ) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực ? Vì sao ?ðiều ngược lại có ñúng không ? Giải: −B ± δ a) Từ công thức nghiệm của phương trình bậc hai (δ 2 = B2 – 4AC) chứng tỏ z1 + z2 = −B/A 2A và z1.z2 = C/A ⇒ công thức vẫn còn ñúng. b) Hai số phức cần tìm là nghiệm phương trình : z2 – (4 – i)z + 5(1 – i) = 0. Giải ra ta ñược hai nghiệm là : 3 + i và 1 – 2i. c) Nếu phương trình z2 + Bz + C = 0 có 2 nghiệm z1, z2 là 2 số phức liên hợp thì z2 = z1 . a) z = Theo công thức Vi-ét, B = −(z1 + z2) = −(z1 + z1 ) là số thực và C = z1.z2 = z1. z1 là số thực. ðiều ngược lại không ñúng vì nếu B, C thực thì khi ∆ = B2 – 4C > 0 hai nghiệm là 2 số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau, khi ∆ ≤ 0 thì phương trình mới có 2 nghiệm là 2 số phức liên hợp. 21. a) Giải phương trình sau : (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = 0 b) Tìm số phức B ñể phương trình bậc hai z2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Giải: 92 Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ a) Phương trình ⇔ z2 + i = 0 hoặc z2 – 2iz – 1 = 0. Vậy phương trình ñã cho có 3 nghiệm z1 = i, z2 = 1 1 1 1 − + i, z 3 = − i 2 2 2 2 b) Ta có : B = −(z1 + z2), z1.z2 = 3i (z1, z2 là 2 nghiệm phương trình : z2 + Bz + 3i = 0, mà theo gt ta ñược : z12 + z22 = 8 ⇔ (z1 + z2)2 – 2z1.z2 = 8 ⇔ b2 – 6i = 8 ⇔ b2 = (8 + 6i) ⇔ b = ± (3 + i). 22. ðố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của −1 là −1 và tính : −1 . −1 như sau : a) Theo ñịnh nghĩa căn bậc hai của −1 thì −1 . −1 = −1. b) Theo tính chất của căn bậc hai (tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số ñó) thì −1 . −1 = trong lập luận trên. Giải: a) Lập luận a) ñúng. b) Lập luận b) sai. Vì (−1)(−1) = 1 = 1 , từ ñó học sinh ñó suy ra −1 = 1. Hãy tìm ñiều sai −1 . −1 chỉ là một căn bậc hai của (−1)(−1) = 1 (theo H1 trang 194). Lưu ý có hai căn bậc hai của 1 là 1 và −1, các kí hiệu −1 . −1 và 1 chưa xác ñịnh. LUYỆN TẬP 1 23. Tìm nghiệm phức của phương trình sau : z + = k trong các trường hợp sau : z a) k = 1 Giải: b) k = 2 c) k = 2i 1 ± 3i 2 b) z = (1 ± i) c) z = (1 ± 2)i . 2 2 24. Giải các phương trình sau trên ℂ và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình trong mp phức. a) z3 + 1 = 0 b) z4 – 1 = 0 c) z4 + 4 = 0 d) 8z4 + 8z3 = z + 1 Giải: a) k = 1 thì z = 1 3 1 3 + i, z 3 = i (hình 1) 2 2 2 2 b) z4 – 1 = (z2 + 1)(z2 – 1) = 0 có nghiệm z1 = i, z2 = −i, z3 = 1, z4 = −1. (hình 2) c) z4 + 4 = (z2 + 2i)(z2 – 2i) = 0 có nghiệm z1 = 1 – i, z2 = −1 + i, z3 = 1 + i, z4 = −1 – i.(hình 3) d) 8z4 + 8z3 = z + 1 ⇔ (z + 1)(8z3 – 1) = 0 ⇔ (z + 1)(2z – 1)(4z2 + 2z + 1) = 0 có nghiệm z1 = −1, a) z3 + 1 = 0 ⇔ (z + 1)(z2 – z + 1) = 0 có 3 nghiệm z1 = −1, z2 = 1 3 1 3 z2 = ½, z3 = − + i, z 4 = - i .(hình 4) 4 4 4 4 Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 93 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 25. a) Tìm các số thực b, c ñể phương trình (với ẩn z) : z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c ñể phương trình (với ẩn z) : z3 + az2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm. Giải: a) Theo H2 trang 195, với z = 1 + i là nghiệm thì: (1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0 ⇔ b + c + (2 + b)i = 0 ⇔ b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra : b = −2, c = 2 b) Với 1 + i là nghiệm ta ñược : (1 + i)3 + a(1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0 ⇔ (b + c – 2) + (2 + 2a + b)i = 0 ⇔ b + c – 2 = 0 (1) và 2a + b + 2 = 0 (2). Với 2 là nghiệm ta ñược : 8 + 4a + 2b + c = 0 (3). Từ (2) và (3) cho c = −4, (1) ⇒ b = 6 (2) ⇒ a = −4. Vậy a = c = −4, b = 6. 26. a) Dùng công thức cộng trong lượng giác ñể chứng minh rằng với mọi số thực ϕ, ta có : (cosϕ + isinϕ)2 = cos2ϕ + isin2ϕ Từ ñó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2ϕ + isin2ϕ. Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở §2. b) Tìm các căn bậc hai của 2 (1 − i) bằng 2 cách nói ở câu a). 2 Giải: a) (cosϕ + isinϕ)2 = cos2ϕ − sin2ϕ + 2sinϕ.cosϕ .i = cos2ϕ + isin2ϕ. Các căn bậc hai của cos2ϕ + isin2ϕ là : ± (cosϕ + isinϕ). Còn theo cách giải trong bài học, ta cần giải hệ phương trình : 2 2  x − y = cos2ϕ  2 xy = sin 2ϕ Giải ra ta tìm ñược hai căn bậc hai là : ± (cosϕ + isinϕ). b)  π  π 2 π π 2 (1 − i) có hai căn bậc hai là (1 − i) = cos − i sin = cos  −  + i sin  −  thì theo câu a), 2 2 4 4  4  4   π  π   π π 1 ±  cos  −  + i sin  −   = ±  cos − isin  = ±  2 + 2 − i 2 − 2  (dùng ct hạ bậc) 8 8 2   8  8     2 2 2 x − y =  2 Còn theo cách trong bài học, ta cần giải hệ phương trình :  2  2 xy = −  2  2+ 2 − 2− 2  − 2+ 2 2 − 2     Giải ra ta ñược các nghiệm : ; , ; . 2 2 2 2         Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 94 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ §3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số tiết : 1 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. Dạng lượng giác của số phức : a) Acgumen của số phức z ≠ 0: Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là ñiểm biểu diễn số z. Số ño (radian) của mỗi góc lượng giác tia ñầu Ox, tia cuối OM ñược gọi là một acgumen của z. Nếu ϕ là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng ϕ + k2π (k∈Z). b) Dạng lượng giác của số phức : Dạng z = r(cosϕ + isinϕ) (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (a, b∈R) (z ≠ 0)  r = a2 + b 2  a  ⇔ cosϕ = (ϕ là acgumen của z, ϕ = (Ox, OM). r  b  sin ϕ = r 2. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác : Nếu z = r(cosϕ + isinϕ), z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’) thì: z.z’ = rr’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ +ϕ’)] z r =  cos(ϕ − ϕ ') + isin(ϕ − ϕ ')  . z' r '  3. Công thức Moa-vrơ : n Với n là số nguyên, n ≥ 1 thì : r (cosϕ + i sin ϕ )  = r n (cos nϕ + isin nϕ ) Khi r = 1, ta ñược : (cosϕ + i sin ϕ )n = (cos nϕ + i sin nϕ ) 4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác : Các căn bậc hai của số phức z = r(cosϕ + isinϕ) (r > 0) là :  ϕ ϕ r  cos + i sin  và 2 2   ϕ   ϕ  ϕ ϕ − r  cos + i sin  = r cos  + π  + i sin  + π   . 2 2   2   2 B. MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ 1: Tìm acgumen của : một số thực dương tùy ý, số thực âm tùy ý, 3i, −2i và 1 + i. Giải: Số thực dương tùy ý có một acgumen là 0. Số thưc âm tùy ý có một acgumen là π. Số 3i có một acgumen là π/2, số −2i có một acgumen là −π/2, số 1 + i có một acgumen là π/4. Ví dụ 2: Hãy tìm dạng lượng giác của số phức : 1+ i z= 3 +i Giải: Ta tìm dạng lượng giác của 1 + i , gọi r là môñun và ϕ là acgumen. Khi ñó : r= 2 , cosϕ = 1/ 2 = sinϕ ⇒ ϕ = π/4. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 95 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ  π π 2  cos + i sin  4 4   π π 3 + i là : 2  cos + i sin  . 6 6  Do ñó dạng lượng giác của 1 + i là : Tương tự, dạng lượng giác của ⇒ 1+ i = 2 2 3 +i Ví dụ 3: Tính :   π π  π π  2 π π  cos  −  + isin  −   =  cos + i sin  . 2  12 12   4 6   4 6 a) (1 + i)5 Giải: b) (1 + 3 i)9 5     π π  5π 5π  2 2 a) (1 + i) =  2  cos + i sin   = ( 2 )5  cos + i sin  = 4 2  − −i  = −4(1 + i) .  2  4 4  4 4  2      5 b) Ta tìm dạng lượng giác của 1 + 3i .  r = 1 + 3 = 2  1  Ta có : cosϕ = suy ra r = 2 và ϕ = π/3 2   3 sin ϕ = 2  Dạng lượng giác của 1 + 3i là : 2(cosπ/3 + isin π/3) C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA : 27. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: z ; −z ; 1/ z ; kz (k∈R*) trong mỗi trường hợp sau : a) z = r(cosϕ + isinϕ) (r > 0) b) z = 1 + 3i Giải: a) z = r(cosϕ − isinϕ) = r(cos(−ϕ) + isin(−ϕ)) −z = − r(cosϕ + isinϕ) = r[cos(ϕ + π) + isin(ϕ + π)] 1 1 1 1 = = (cosϕ + isin ϕ ) = [cosϕ + i sin ϕ ] r z r (cosϕ - isinϕ ) r kz = k. r(cosϕ + isinϕ) khi k > 0. kz = − k.r[cos(ϕ + π) + isin(ϕ + π)] khi k < 0. b) z = 1 + 3i = 2(cosπ/3 + isin π/3). Khi ñó : z = 2(cosπ/3 − isinπ/3) = 2(cos(−π/3) + isin(−π/3)) −z = − 2(cosπ/3 + isinπ3) = 2[cos(4π/3) + isin(4π/3)] 1 1 1 π π 1 π π = = (cos + i sin ) = [cos + i sin ] 3 3 2 3 3 z 2(cos π - isin π ) 2 3 3 kz = k. 2(cosπ/3 + isinπ/3) khi k > 0. kz = − 2k[cos(4π/3) + isin(4π/3)] khi k < 0. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 96 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 28. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a) 1 − i 3 ; 1 + i ; (1 − i 3)(1 + i) ; 1− i 3 1+ i b) 2i( 3 − i) 1 2 + 2i Giải: d) z = sinϕ + icosϕ (ϕ∈R). c)   π   π  π π a) 1 − i 3 = 2  cos − isin  = 2 cos  −  + i sin  −   3 3   3    3   π π −π −π  1 + i = 2  cos + i sin  ; (1 − i 3)(1 + i) = 2 2  cos + i sin  4 4 12 12     (1 − i 3 −7 π −7π  = 2  cos + i sin  1+ i 12 12   b) 2i( 3 − i) = 2( 1 + i 3 ) = 4(cosπ/3 + isin π/3). (hoặc làm như câu a)) 1 2 −π −π  = + i sin  cos  4  4 4   π π 2 2  cos + i sin  4 4  d) z = sinϕ + icosϕ = cos(/2 −ϕ) + isin(π/2 −ϕ). 29. Dùng công thức khi triển nhị thức Niu-tơn (1 + i)19 và công thức Moa-vro ñể tính : 16 18 C190 − C192 + C194 − ..... + C19 − C19 Giải: 16 16 18 18 1 19 19 Ta có : (1 + i)19 = (C190 + C192 i 2 + C194 i 4 + ..... + C19 i + C19 i ) + (C19 i + C193 i3 + .... + C19 i ) c) 1 = 2 + 2i 16 18 1 17 19 = C190 − C192 + C194 − ..... + C19 − C19 + (C19 − C193 + C195 − ..... + C19 − C19 ).i 16 18 ⇒ phần thực là C190 − C192 + C194 − ..... + C19 − C19 19    π π  19 π 19 π  Theo Moa-vro, ta có : (1 + i) =  2  cos + i sin   = ( 2 )19  cos + i sin  4 4  4 4      2 2 = ( 2 )19  − +i  = −29 + 29 .i  2 2   16 18 ⇒ phần thực là : −29. Vậy : C190 − C192 + C194 − ..... + C19 − C19 = −29 = −512. 19 Cách khác: (1 + i)2 = 2i ⇒ (1 + i)19 = (2i)9(1 + i) = 29.i(1 + i) = 29(−1 + i), từ ñó suy ra số cần tìm. 30. Gọi M, M’ là các ñiểm trong mp phức theo thứ tự biểu diễn các số z = 3 + i ; z’ = (3 − 3) + (1 + 3 3)i . a) Tính z’/z b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số ño của góc lượng giác (OM, OM’). Tính số ño ñó. Giải: a) z’/z = 1 + 3i Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 97 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ b) Ta có : sñ(OM, OM’) = sñ(Ox,OM’) – sñ(Ox, OM) = ϕ’ - ϕ = acgumen z' (sai khác k2π), trong z ñó ϕ và ϕ’ theo thứ tự là acgumen của z và z’. Theo a) z’/z = 1 + 3i có π acgumen là + k 2π (k∈Z) nên góc lượng giác (OM, OM’) có số ño là 3 π + k 2π . 3 2 1 (1 + i) và ε = (−1 + i 3) . 2 2 π π a) Chứng minh rằng zo = cos + i sin , z1 = zo.ε, z2 = zo.ε2 là các nghiệm của phương trình: 12 12 3 z – w = 0. b) Biểu diễn hình học các số phức zo , z1 , z2. Giải: a) Ta có : w = cosπ/4 + isinπ/4, ε = cos2π/3 + isin2π/3 và phương trình z3 – w = 0 ⇔ z3 = w (*) ta cần thế các nghiệm ñó vào (*). 31. Cho các số phức w = 3  π π π π =  cos + isin  = cos + i sin = w 12 12  4 4  3 3 3 3 z1 = (zo. ε) = zo . ε = w.1 = w z23 = (zo.ε2)3 = zo3. ε6 = w b) Hình bên zo3 LUYỆN TẬP 32. Sử dụng công thức Moa-vro ñể tính sin4ϕ và cos4ϕ theo các lũy thừa của sinϕ và cosϕ. Giải: cos4ϕ + isin4ϕ = (cosϕ + isinϕ)4 = cos4ϕ + 4cos3ϕ.(isinϕ) + 6cos2ϕ(i2sin2ϕ) + 4cosϕ.(isinϕ)3 + i4sin4ϕ = cos4ϕ − 6cos2ϕsin2ϕ + sin4ϕ + (4cos3ϕ.sinϕ − 4cosϕ.sin3ϕ).i Từ ñó : cos4ϕ = cos4ϕ − 6cos2ϕsin2ϕ + sin4ϕ và sin4ϕ = 4cos3ϕ.sinϕ − 4cosϕ.sin3ϕ. 33. Tính : ( 3 − 1)6 ;  1    1+ i  2004 ;  5 + 3i 3     1 − 2i 3    21 Giải: 6    π  π   ( 3 − 1)6 =  2  cos  −  + i sin  −    = 26 [cos(−π) + i sin( −π)] = −26 .    6  6     1    1+ i  2004 1+ i  =   2  2004  1  =   2 2004  200π 200 π  1 1 + i sin  cos  = 1002 (cosπ + i sin π) = − 1002 4 4  2 2  Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 98 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 21  5 + 3i 3   42 π 42 π  21 + i sin   = (−1 + i 3)21 = 2 21  cos =2  1 − 2i 3  3 3     1 34. Cho số phức w = − (1 + i 3) . Tìm các số nguyên dương n ñể wn là số thực. Hỏi có chăng một 2 số nguyên dương m ñể wm là số ảo ? Giải: 1 4π 4π 4 nπ 4 nπ + i sin ⇒ wn = cos + i sin (n guyên dương). Số này là Ta có : w = − (1 + i 3) = cos 2 3 3 3 3 4nπ số thực khi và chỉ khi sin = 0 ⇔ 4n/3 phải là số nguyên, tức là n phải là một bội nguyên dương 3 của 3. 4 mπ Số wm (m nguyên dương) là số ảo khi và chỉ khi cos = 0 , tức là khi và chỉ khi có số nguyên k 3 4m 1 = + k ⇔ 8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2. Vậy không có ñể 3 2 số nguyên dương m ñể wm là số ảo. 35. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trương hợp sau : a) z = 3 và một acgumen của iz là 5π/4. z b) z = 1/3 và một acgumen của là −3π/4. 1+ i Giải: iz 5π π 3π a) Ta có z = 3, một acgumen của iz là 5π/4 ⇒ acgumen(z) = acgumen = − = i 4 2 4  3π 3π  Vậy z = 3  cos + i sin  . và dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là : 4 4      3π 3π  3π 3π  11π 11π  3  cos + isin  và − 3  cos + i sin  = 3  cos + i sin  8 8  8 8  8 8     b) Gọi ϕ là một acgumen của z ⇒ −ϕ là một acgumen của z . Và do acgumen của 1 + i là π/4 nên z π 3π π acgumen của là −ϕ − π/4 , theo gt ta ñược : −ϕ − = − + κ2π ⇔ ϕ = + l2π (k,l∈Z). 1+ i 4 4 2 1 π π Suy ra z =  cos + isin  . Từ ñó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là : 3 2 2 3 π π 3 5π 5π   cos + i sin  và  cos + i sin  . 3  4 4 3  4 4  36. Viết dạng lượng giác của các số phức sau : π 5π a) 1 − i tan b) tan +i 5 8 Giải: c) 1 - cosϕ - isinϕ (ϕ∈R, ϕ ≠ k2π, k∈Z). Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 99 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ   π  π π 1   π c os − i sin = c os − + i sin       −  π π   5 5 5  5  cos cos 5 5 5π 1  5π 5π  −1  5π 5π  1  7π 7π  b) tan +i = + i cos  = − sin − i cos  = cos + i sin   sin   5π 5π  3π 8 8 8  8 8 8 8  cos  cos cos  8 8 8 (vì cos5π/8 < 0) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ c) 1 - cosϕ - isinϕ = 2 sin 2 − 2i sin cos = 2 sin  sin − i cos  . 2 2 2 2 2 2 a) 1 − i tan π = 5 1 ϕ π  ϕ π  ϕ Khi sinϕ/2 > 0 thì 1 - cosϕ - isinϕ = 2 sin  cos  −  + i sin  −   2 2 2  2 2  ϕ π  ϕ π  ϕ Khi sinϕ/2 < 0 thì 1 - cosϕ - isinϕ = − 2 sin  cos  +  + i sin  +   2 2 2  2 2  Khi sinϕ/2 = 0 thì 1 - cosϕ - isinϕ = 0 = 0(cosα + isinα) (α ∈R, tùy ý). ÔN TẬP CHƯƠNG IV 37. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau : 3 + 2i 1 − i a) (2 – 3i)2 b) + c) (x + iy)2 – 2(x + iy) + 5 (x, y∈R). Với x, y 1 − i 3 − 2i nào thì số phức ñó là số thực ? Giải: a) phần thực −46, phần ảo −9 b) phần thực 23/26, phần ảo 63/26 2 2 c) phần thực x – y – 2x + 5, phần ảo 2y(x – 1). Số phức ñó là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ⇔ y = 0 hoặc x = 1. z+w 38. Chứng minh rằng nếu z = w = 1 thì số : là số thực (giả sử 1 + zw ≠ 0). 1+zw Giải: 1 1 +  z+ w  z+ w 1 1 z w = z+ w ⇒ ñpcm = z = w = 1 thì z = , w = nên :  = z w  1+zw  1+zw 1+ 1.1 1+zw z w 39. Giải các phương trình sau trên ℂ : 2 2 a) (z + 3 – i) – 6(z + 3 – i) + 13 = 0  iz + 3  iz + 3 b)  -3 = 0  -3 z -2 i  z -2 i  c) (z2 + 1)2 + (z + 3)2 = 0 Giải: a) ðặt w = z + 3 – i. Nghiệm phương trình là z = 3i và z = −i. iz+3 −1 + 5i 4 + 35i b) ðặt w = . Nghiệm phương trình là z = và z = z-2i 2 17 Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 100 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ c) (z2 + 1)2 + (z + 3)2 = (z + 1)2 – [i(z + 3)]2 = (z2 + 1 + i(z + 3))(z2 + 1 – i(z + 3)) = 0 . Nghiệm phương trình là z = 1 – 2i, z = −1 + i, z = 1 + 2i, z = −1 −i. z 40. Xét các số phức : z1 = 6 − i 2 , z2 = -2-2i , z3 = 1 z2 a) Viết z1 , z2 , z3 dưới dạng lượng giác. 7π 7π và sin b) Từ câu a), hãy tính cos 12 12 Giải:   π   3π   π   3π   a) z1 = 2 2 cos  −  + i sin  −   ; z2 = 2 2 cos  −  + i sin  −    6   4    6   4  z3 = z1/z2 = cos b) 7π 7π + i sin 12 12 z1 6 − i 2 ( 6 − i 2)( −2 + 2i) − 6 + 2 6+ 2 = = = + i z2 −2 − 2i 8 4 4 Từ ñó theo a) ta ñược : cos 7π − 6 + 2 7π 6+ 2 = và sin = . 12 4 12 4 41. Cho z = ( 6 + 2) + i( 6 − 2 ) a) Viết z2 dưới dạng ñại số và dưới dạng lượng giác. b) Từ câu a), hãy suy ra dạng lượng giác của z. Giải:  π π a) z2 = 8 3 + 8i = 16  cos + i sin  6 6   π π b) Vì phần thực và phần ảo của z ñều dương nên z = 4  cos + i sin  12 12   42. a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng tana = ½, tanb = 1/3 với a, b∈(0 ; π/2) thì a + b = π/4. b) a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 5 + i và 8 + i, hãy chứng minh rằng tana = ½, tanb = 1/5, tanc = 1/8 với a, b, c∈(0 ; π/2) thì a + b + c = π/4. Giải: a) Biểu diễn hình học 2 + i, 3 + i theo thứ tự bởi M, N trong mp phức. Ta có : tan(Ox, OM) = ½ = tana ; tan(Ox, ON) = 1/3 = tanb. Do a, b∈ (0 ; π/2), còn M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất nên suy ra một acgumen của 2 + i bằng a, một acgumen của 3 + i bằng b. Mặt khác, (2 + i)(3 + i) = 5(1 + i) có một acgumen bằng π/4, mà acgumen của tích các số phức bằng tổng các acgumen của các số phức ñó (sai khác k2π, k∈Z), nên từ a, b∈(0 ; π/2) ⇒ a + b = π/4. b) Biểu diễn hình học 2 + i, 5 + I, 8 + i theo thứ tự bởi M, N, P trong mp phức. Ta có : tan(Ox, OM) = ½ = tana ; tan(Ox, ON) = 1/3 = tanb ; tan(Ox, OP) = 1/8 = tanc. Do a, b, c∈ (0 ; π/2), còn M, N, P nằm trong góc phần tư thứ nhất nên suy ra một acgumen của 2 + i bằng a, một acgumen của 5 + i bằng b, một acgumen của 8 + i bằng c. Mặt khác, (2 + i)(3 + i)(8 + i) = 65(1 + i) có một acgumen bằng π/4, mà acgumen của tích các số phức bằng tổng các acgumen của các số phức ñó (sai khác k2π, k∈Z), nên từ a, b, c∈(0 ; π/2) Suy ra : a + b + c = π/4. Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 101 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ ðÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 43. (C) ; 44. (A) ; 45. (A) ; 46. (B) ; 47. (B) ; 48. (A) ; 49. (B) ; 50. (C) ; 51. (A) ; 52. (B) ; 53. (B) ; 54. (B). Chú ý : −sinϕ − icosϕ = −i(cosϕ - isinϕ) = −i[cos(−ϕ) + isin(−ϕ)]. ÔN TẬP CUỐI NĂM 1. a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = ex – x – 1 ñồng biến trên nửa khoảng [0 ; +∞). b) Từ ñó, suy ra ex > x + 1 với mọi x > 0. Giải: a) Vì f(x) liên tục trên R và f’(x) = ex – 1 > 0 với mọi x > 0. b) Do f(x) ñồng biến trên [0 ; +∞) nên với mọi x > 0, ta có f(x) = ex – x – 1 > f(0) = 0 ⇒ ex > x + 1 với mọi x > 0. 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x – 10. b) Chứng minh rằng phương trình 2x3 – 3x2 – 12x – 10 = 0 có nghiệm thực duy nhất. c) Gọi nghiệm thực duy nhất của phương trình là α. Chứng minh rằng 3,5 < α < 3,6. Giải: a) Ta có : f’(x) = 6(x2 – x – 2). Ta có BBT: x −∞ −1 2 +∞ f’(x) + 0 − 0 + f(x) −3 +∞ −∞ −30 b) Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) < 0 với mọi x < 2 ⇒ f(x) = 0 không có nghiệm với x < 2. Trên nửa khoảng [2 ; +∞) hàm số liên tục, ñồng biến và f(2).f(4) = (−30).22 < 0 nên phương trình có một nghiệm duy nhất. c) f(3,5),f(3,6) < 0. 3. Gọi (C) là ñồ thị hàm số y = lnx và (D) là một tiếp tuyến bất kì của (C). Chứng minh rằng trên khoảng (0 ; +∞), (C) nằm ở phía dưới của ñường thẳng (D). Giải: 1 ( x − xo ) + ln xo Gọi xo là hoành ñộ tiếp ñiểm ⇒ yo = lnxo. Phương trình tiếp tuyến là (D) : y = xo ðể (C) nằm ở phía dưới (D) thì 1 ( x − xo ) + ln xo − lnx ≥ 0, ∀x∈(0 ; +∞) xo x x − 1 − ln ≥ 0 xo xo Ta xét hàm số g(t) = t – lnt (t > 0). 4. Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in ñược 3600 bản in trong một giờ. Chi phí ñể vận hành một máy trong mỗi lần in là 50 nghìn ñồng. Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn ñồng. Hỏi nếu in 50.000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in ñể ñược lãi nhiều nhất ? Giải: Nếu sử dụng n máy in (n nguyên, 1 ≤ n ≤ 8) thì tổng chi phí (= chi phí vận hành + chi phí cho n máy chạy) ñể in 50.000 tờ quảng cáo là : 50000 f(n) = (6 n + 10)10 + 50 n (nghìn ñồng) 3600n Lãi nhiều nhất nếu chi phí ít nhất.Do ñó cần tìm GTNN của f(n) trên [1 ; 8], ∀n∈R*. Kết quả n = 5. ⇔ Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 102 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ 5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = 1 −x + x + 6 2 trên ñoạn [0 ; 1]. Giải: GTLN là : 1 6 , GTNN là : 2/5. 4x 6. a) Cho P(x) = x và hai số a, b thỏa mãn a + b = 1. Hãy tính P(a) + P(b). 4 +2 1 log 2 − log 5 1 6 2 6 b) Hãy so sánh A = 3 18 và B =   6 Giải: 4a 4b 2.4 a+ b + 2(4 a + 4 b ) 8 + 2(4 a + 4 b ) a) P(a) + P(b) = a + = = = 1 (với a + b = 1) 4 + 2 4 b + 2 4 a+ b + 2(4 a + 4 b ) + 4 8 + 2(4 a + 4 b ) 1 log 6 2 − log 2 5 5 6 log 6 1 5 ( log6 5− log6 2 ) 2 =6 =6 = = 2,5 < 3 18 ⇒ A > B b) Ta có : B =   2 6 7. a) Chứng minh rằng nếu a và b là 2 số dương thỏa mãn a2 + b2 = 7ab thì a+b 1 log 7 = (log 7 a + log 7 b) . 3 2 3 b) Biết a và b là 2 số dương, a ≠ 1 sao cho logab = 3 . Hãy tính log a b a b3 . Giải: a) log 7 a+b 1 = (log 7 a + log 7 b) ⇔ 3 2 2 a+b  9 ab  log 7   = (log 7 a + log 7 b) ⇔ log 7   = (log 7 a + log 7 b) (ñpcm)  3   9  3  13 −3  a log a  a .b 2  1 − 3 3 log a   3 3 a 2(2 − 9 3) 31 − 20 3 b   b) log a b = = =3 2 = = 1 3 3 6(2 + 3) b3 log a a b 1 + log a b 1+ 2 2 8. a) Tìm ñạo hàm của các hàm số y = cosx.e2tanx và y = log2(sinx). b) Chứng minh rằng hàm số y = e4x + 2e−x thỏa mãn hệ thức : y(3) – 13y’ – 12y = 0. Giải:  2  a) y’ = e2 tan x  − s inx  và y’ = cotx/ln2  cos x  b) Tự giải. 9. a) Vẽ ñồ thị của các hàm số y = 2x, y = ( 2 ) x và y = ( 3) x trên cùng một mp tọa ñộ. Hãy nêu nhận xét về vị trí tương ñối của 3 ñồ thị ñó. b) Vẽ ñồ thị hàm số y = log3x. Từ ñó hãy suy ra ñồ thị của hàm số y = 2 + log3x và ñồ thị của hàm số y = log3(x + 2). Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 103 Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ Giải: Tự giải 10. Giải các phương trình và hệ phương trình sau : a) 81sin 2 x   b) log 2  log 1 2 x − 3log 1 x + 5  = 2   2 2   2 x .8− y = 2 2  d)  1 1 1  log9 + = log3 (9 y ) x 2 2  2 + 81cos x = 30 c) 4 log x +1 − 6 log x − 2.3log x 2 +2 =0 Giải: π π + k π và y = ± + k π 6 3 −2 c) x = 10 11. Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau : a) x = ± a) y =log [1 – log(x2 – 5x + 16)] b) x = 1/16 và x = 2 d) x = 2 và y = 1/16 b) y = log 0,5 (− x 2 + x + 6) + 1 x + 2x 2 Giải: a) 0 < x2 – 5x + 16 và log(x2 – 5x + 16) < 1. KQ : D = (2 ; 3)  1 − 21  1 + 21  b) D =  −2; ;3  ∪   2 2       12. Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau : a) y = x3(1 + x4)3 Giải: (1 + x 4 )4 a) +C 16 b) y = cosx.sin2x c) y = x cos2 x −3cos x − cos3 x +C c) ln cos x + x tan x + C (từng phần) 6  π 13. Tìm hàm số f, biết rằng f’(x) = 8sin 2  x +  và f(0) = 8. 12   Giải:   π π f(x) là nguyên hàm của hàm số 8sin 2  x +  thỏa f(0) = 8 ⇒ f(x) = 4 x − 2sin  2 x +  + 9 12  6   14. Tính các tích phân sau : 1 1 dx 1 dx a) ∫ 2 b) ∫ 2 c) ∫ x 2 .e x dx 0 0 0 x +1 x + x +1 Giải: 1 1 dx 4 dx π a) π/4 b) ∫ 2 =∫ = c) e – 2. 2 0 0 x + x +1 (2 x + 1) + 3 3 3 15. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường : a) y + x2 = 0 và y + 3x2 = 2 b) y2 – 4x = 4 và 4x – y = 16. Giải: a) 8/3 b) 243/8 b) Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 104
- Xem thêm -