Mô tả:
BË GI•O DÖC V€
TR×ÍNG
€O T„O
„I HÅC S× PH„M H€ NËI 2
KHOA TO•N
Nguy¹n Thà Ph÷ìng
SÌ L×ÑC V—
×ÍNG CONG ELLIPTIC
TR–N TR×ÍNG HÚU H„N
KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P
„I HÅC
H Nëi
N«m 2016
BË GI•O DÖC V€
TR×ÍNG
€O T„O
„I HÅC S× PH„M H€ NËI 2
KHOA TO•N
Nguy¹n Thà Ph÷ìng
SÌ L×ÑC V—
×ÍNG CONG ELLIPTIC
TR–N TR×ÍNG HÚU H„N
Chuy¶n ng nh: H¼nh håc
KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P
„I HÅC
NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC:
Ph¤m Thanh T¥m
H Nëi
N«m 2016
Möc löc
1 ֒ng cong Elliptic
1.1 Tr÷íng húu h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
1.1.1 Tr֒ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.2
3
°c sè cõa tr÷íng . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 T½nh ch§t tr÷íng húu h¤n. . . . . . . . . . . . .
3
1.2 a t¤p aphin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3 a t¤p x¤ £nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.1 C§u x¤ tr¶n a t¤p . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 C§u x¤ Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 ֒ng cong Elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Luªt nhâm tr¶n ÷íng cong Elliptic . . . . . . . 18
1.4.2 ¯ng gièng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Tªp iºm cõa ÷íng cong Elliptic tr¶n tr÷íng húu h¤n 24
2.1 Sè c¡c iºm húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 H m z¶ta cõa mët a t¤p x¤ £nh . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Gi£ thuy¸t Riemann cho ÷íng cong elliptic . . . . . . 26
2.4 Gi£ thuy¸t Weil cho ÷íng cong elliptic . . . . . . . . . 28
1
Ch֓ng 1
֒ng cong Elliptic
1.1
Tr÷íng húu h¤n
1.1.1
Tr֒ng
Mët v nh giao ho¡n câ ìn và câ nhi·u hìn mët ph¦n tû v måi ph¦n tû
kh¡c khæng ·u kh£ nghàch ( èi vîi ph²p nh¥n) ÷ñc gåi l mët tr÷íng.
Nh÷ vªy mët tªp k vîi 2 ph²p to¡n cëng v nh¥n l mët tr÷íng n¸u thäa
m¢n:
k l nhâm Aben vîi ph²p to¡n cëng câ ph¦n tû trung háa.
knf0g l nhâm aben vîi ph²p to¡n nh¥n câ ph¦n tû ìn và. Vîi
måi a,b,c thuëc k ta câ:
c:(a + b) = c:a + c:b
(a + b):c = a:c + b:c
(luªt ph¥n phèi)
V½ dö: Q, R, C
Mët tr÷íng câ thº câ væ h¤n ph¦n tû (R)
Mët tr÷íng ÷ñc gåi l húu h¤n n¸u nâ câ húu h¤n c¡c ph¦n tû
V½ dö: Zp={0,1,. . . ,p-1} , p l sè nguy¶n tè.
Zp l tr÷íng húu h¤n.
2
1.1.2
°c sè cõa tr÷íng
Cho k l mët tr÷íng vîi ph¦n tû ìn và e. Khi â sè tü nhi¶n nhä nh§t n
6= 0 sao cho bëi ne = 0 ÷ñc gåi l °c sè cõa tr÷íng k. Trong tr÷íng
hñp ng÷ñc l¤i ta nâi k câ °c sè 0.
V½ dö: C¡c tr÷íng Q,R,C ·u câ °c sè 0
K½ hi»u: Char(k)
Câ thº th§y r¬ng n¸u tr÷íng k câ °c sè n 6= 0 th¼ n l mët sè
nguy¶n tè n o â. Trong tr÷íng hñp n y måi ph¦n tû kh¡c 0 cõa nhâm
cëng k ·u câ c§p p
1.1.3
T½nh ch§t tr÷íng húu h¤n.
n
Sè ph¦n tû trong mët tr÷íng húu h¤n F l lôy thøa p vîi p l «c
sè cõa tr÷íng F , p l sè nguy¶n tè.
Hai tr÷íng húu h¤n ¯ng c§u khi v ch¿ khi chóng câ còng sè
ph¦n tû.
Vîi méi sè nguy¶n tè p v vîi méi sè tü nhi¶n n > 1 ·u tçn t¤i
tr÷íng húu h¤n c§p p
n
Trong tr÷íng húu h¤n F nhâm nh¥n c¡c ph¦n tû kh¡c 0 l xyclic.
n
Gi£ sû F l tr÷íng húu h¤n câ q = p ph¦n tû . Khi â c§p cõa
nhâm Galoa G = G(F=Zp) b¬ng n. Hìn núa, G l nhâm xyclic
p
sinh bði tü ¯ng c§u ' : a 7!a , vîi måi a 2 F
n
Méi tr÷íng húu h¤n F câ q = p ph¦n tû l mët tr÷íng chia ÷íng
trán bªc q 1 tr¶n tr÷íng nguy¶n tè P ' Zp.
3
hñp cõa d¢y
Cho p l sè nguy¶n tè. Bao âng ¤i sè cõa Fp l
S
t«ng c¡c tr÷íng húu h¤n câ °c sè p : Fp =
1.2
n2N
Fpn
a t¤p aphin.
Khæng gian aphin n - chi·u tr¶n tr÷íng k l tªp câ d¤ng
An
= f(a1; :::; an)jai 2 k; i = 1; :::; ng:
Tªp c¡c k
n
iºm cõa khæng gian A l tªp
n
A = f(a1; :::; an)jai 2 k; i = 1; :::; ng:
Méi a thùc f 2 R tªp c¡c khæng
iºm cõa a thùc f
n
Z(f) = fP 2 A jf(P ) = 0g:
T÷ìng tü, vîi méi tªp con T
R ta câ
n
Z(T ) = fP 2 A jf(P ) = 0; 8f 2 T g:
Gåi a l ideal cõa R sinh bði tªp T
Rl
v nh Noether n¶n tçn t¤i c¡c
R th¼ Z(T ) = Z(a). V nh
a thùc f1; :::; fn 2 R sao cho
Z(a) = Z(f1; :::; fn):
n
ành ngh¾a 1.2.1. Cho Y A . Tªp Y ÷ñc gåi l tªp ¤i sè (aphin) n¸u
tçn t¤i T R sao cho Y = Z(T ):
C¡c tªp ¤i sè thäa m¢n ti¶n · d nh cho c¡c tªp âng cõa khæng gian
tæ pæ. Tæ pæ c£m sinh bði c¡c tªp ¤i sè ÷ñc gåi l tæ pæ Zariski.
ành ngh¾a 1.2.2. Cho X l khæng gian tæ pæ, ; 6= Y
X. Tªp Y
÷ñc gåi l tªp b§t kh£ qui n¸u Y khæng l hñp cõa hai tªp con âng
thüc sü cõa Y .
4
1
V½ dö 1.2.3. Khæng gian A l tªp b§t kh£ qui v¼ c¡c tªp con âng
1
thüc sü cõa A ch¿ l c¡c tªp húu h¤n.
n
ành ngh¾a 1.2.4. Cho Y A . Ideal cõa Y trong v nh R l tªp ÷ñc
x¡c ành
I(Y ) = ff 2 Rjf(P ) = 0; 8P 2 Y g:
Tªp ¤i sè Y ÷ñc gåi l x¡c ành tr¶n k n¸u ideal I(Y ) cõa nâ sinh
bði c¡c a thùc trong k[x1; :::; xn], k½ hi»u Y =k.
M»nh
· 1.2.5. 1. N¸u T1
Y2
T2
R th¼ Z(T1)
Z(T2).
n
2.
N¸u Y1
A th¼ I(Y1) I(Y2).
3.
4.
Måi tªp con Y1; Y2 A ta câ I(Y1 [ Y2) = I(Y1) \ I(Y2).
Måi a l ideal cõa R ta câ I(Z(a)) = rad(a).
5.
Måi tªp con b§t k¼ Y cõa A ta câ Z(I(Y )) = Y :
n
n
n
V¼ vªy, tªp Y A l a t¤p aphin khi v ch¿ khi ideal I(Y ) l ideal
nguy¶n tè cõa v nh R.
ành lþ 1.2.6. ( ành l½ khæng iºm Hilbert) Cho a l mët ideal cõa
; :::; xn], a thùc f 2 k[x ; :::; xn] sao cho f(P ) = 0; 8P 2
v nh k[x
1
1
r
Z(a). Khi â tçn t¤i sè r > 0 sao cho f 2 a.
n
H» qu£ 1.2.7. Câ mët sü t÷ìng ùng 1 1 giúa c¡c tªp ¤i sè cõa A v
n
c¡c ideal c«n cõa v nh R cho bði Y A 7!I(Y ) v a R 7!Z(a). Hìn th¸
n
núa, tªp Y A l b§t kh£ qui khi v ch¿ khi I(Y ) l ideal nguy¶n tè cõa
R.
n
ành ngh¾a 1.2.8. Cho Y
A l
tªp
¤i sè. V nh tåa
ë cõa Y
tr¶n k (k½ hi»u k[Y ]) l v nh ÷ñc x¡c ành
k[Y ] = R=I(Y ):
N¸u Y l tªp ¤i sè x¡c
÷ñc ành ngh¾a
ành tr¶n k. V nh tåa
k[Y ] = k[x1; :::; xn]=I(Y ):
ë cõa Y tr¶n k
5
Trong tr÷íng hñp Y =k l a t¤p aphin th¼ v nh tåa ë cõa Y l mi·n
nguy¶n. Tr÷íng c¡c th÷ìng cõa nâ, k½ hi»u l k(Y ), ÷ñc gåi l
tr÷íng h m cõa Y tr¶n k. T÷ìng tü ta
ành ngh¾a k(Y ).
mi·n
Nhªn x²t 1.2.9. N¸u V l a t¤p aphin th¼ v nh tåa ë k[V ] l
¤i
nguy¶n çng thíi l k ¤i sè húu h¤n sinh. Ng÷ñc l¤i, n¸u B l
sè húu h¤n sinh, mi·n nguy¶n th¼ B = R=a trong â a l ideal nguy¶n
tè. Khi â B l v nh tåa ë cõa a t¤p x¡c ành bði V = Z(a).
n
ành ngh¾a 1.2.10. Tªp Y A ÷ñc gåi l a t¤p aphin n¸u Y l tªp ¤i
sè v tªp b§t kh£ qui. Mët tªp mð cõa mët a t¤p aphin ÷ñc gåi l a
t¤p tüa aphin.
ành ngh¾a 1.2.11. Khæng gian tæ pæ X ÷ñc gåi l khæng gian
tæ pæ Noether n¸u trong X måi d¢y gi£m c¡c tªp con âng ·u l c¡c d
¢y døng.
n
V½ dö 1.2.12. Khæng gian A l mët khæng gian tæ pæ Noether
n
v¼ måi d¢y gi£m Y1 Y2 ::: c¡c tªp con âng cõa A c£m sinh t÷ìng
ùng d¢y t«ng I(Y1) I(Y2) ::: c¡c ideal c«n cõa v nh R. L¤i câ v nh R l
v nh Noether n¶n d¢y t«ng c¡c ideal ph£i l d¢y døng. V¼ vªy tçn
t¤i r > 0 sao cho Ys = Yr; 8s r.
M»nh · 1.2.13. Cho X l khæng gian tæ pæ Noether. Khi â måi tªp
âng ; =6 Y X luæn tçn t¤i c¡c tªp con âng b§t kh£ qui
Yi; i = 1; :::; n sao cho Y = Y1 [ ::: [ Yn: Hìn núa, n¸u Yi 6= Yj; 8i 6= j
th¼ biºu di¹n tr¶n l duy nh§t.
n
V¼ vªy måi tªp ¤i sè trong khæng gian A ·u câ thº biºu di¹n duy
nh§t th nh hñp cõa húu h¤n c¡c a t¤p aphin.
ành ngh¾a 1.2.14. Cho X l khæng gian tæ pæ. Sè chi·u cõa X,
k½ hi»u dimX l sè cüc ¤i n sao cho tçn t¤i mët x½ch c¡c tªp con
âng b§t kh£ qui ph¥n bi»t cõa X :
X0
X1
:::
Xn
X:
6
Sè chi·u cõa mët a t¤p aphin ÷ñc ành ngh¾a l sè chi·u cõa
khæng gian tæ pæ Noether t÷ìng ùng.
1
V½ dö 1.2.15. Trong khæng gian X = A måi tªp con âng b§t kh£
1
qui cõa A ·u l tªp gçm mët iºm. Do â sè chi·u cõa khæng gian
1
A b¬ng 1.
ành ngh¾a 1.2.16. Cho p l ideal nguy¶n tè cõa R. ë cao cõa p,
k½ hi»u height(p) l sè n cüc ¤i sao cho câ x½ch c¡c ideal nguy¶n
tè ríi nhau
p0
p1
:::
pn = p:
Sè chi·u cõa v nh R, k½ hi»u dimR l sè cüc ¤i cõa ë cao mët
ideal nguy¶n tè trong v nh R.
Ta ¢ bi¸t méi tªp con b§t kh£ qui cõa Y t÷ìng ùng 1 1 vîi mët
ideal nguy¶n tè cõa v nh R chùa I(Y ). Do â méi tªp con b§t kh£
qui cõa Y t÷ìng ùng 1 1 vîi mët ideal nguy¶n tè cõa v nh tåa ë
n
l
k[Y ]. V¼ vªy n¸u Y A
tªp ¤i sè th¼ dimY = dim(k[Y ]).
ành lþ 1.2.17. Cho k l
tr÷íng, B l mi·n nguy¶n çng thíi l
k ¤i sè húu h¤n sinh. Khi â
1. Sè chi·u cõa B b¬ng bªc si¶u vi»t cõa tr÷íng th÷ìng k(B) cõa
B tr¶n k.
2. Måi ideal nguy¶n tè p trong B
height(p) + dim(B=p) = dimB:
H» qu£ 1.2.18. Cho V l
n
a t¤p cõa A . Khi â
height(I(V )) + dimk[V ] = dim(k[x1; :::; xn]) = n:
n
V½ dö 1.2.19. Khæng gian A câ sè chi·u b¬ng n. Thªt vªy, ta câ
n
n
I(A ) = 0 n¶n dimA = n
0 = n:
M»nh
· 1.2.20. Cho A l v nh Noether. Khi â
7
1. N¸u x 2 A kh¡c ìn và v khæng l ÷îc cõa khæng th¼ måi ideal
nguy¶n tè cüc tiºu p chùa (x) câ height(p) = 1:
2. Mi·n nguy¶n A l mi·n ph¥n t½ch duy nh§t khi v ch¿ khi måi
ideal nguy¶n tè câ height b¬ng 1 ·u l
ideal ch½nh.
n
M»nh · 1.2.21. Cho V l a t¤p cõa khæng gian A . Khi â dim(V ) = n
1 khi v ch¿ khi tçn t¤i a thùc b§t kh£ qui f 2 R sao cho V = Z(f).
Chùng minh. N¸u dim(V ) = n 1 th¼ theo ành l½ tr¶n height(I(V ))
= 1. Gi£ thi¸t v nh R l mi·n ph¥n t½ch duy nh§t n¶n tçn t¤i a thùc f
2 R sao cho I(V ) = (f). Do I(V ) l ideal nguy¶n tè n¶n a thùc f
b§t kh£ qui. Ng÷ñc l¤i, tø V = Z(f) trong â f l a thùc b§t kh£ qui
trong v nh R suy ra dim(V ) = n 1.
ành ngh¾a 1.2.22. Cho V l mët a t¤p, P 2 V v f1; :::; fm 2 R
l h» sinh cõa I(V ). a t¤p V gåi l trìn t¤i P n¸u h¤ng cõa ma trªn Jacobi
@fi (P )
@xj
b¬ng n dimV . a t¤p V gåi l
V . Ng÷ñc l¤i, a t¤p V gåi l
V½ dö 1.2.23. 1. Cho V l
0 i m
0 j n
trìn n¸u V trìn t¤i måi iºm P cõa
câ iºm k¼ dà t¤i P .
a t¤p x¡c ành bði a thùc b§t kh£ qui
f 2 R. Khi â V k¼ dà t¤i iºm P 2 V khi v ch¿ khi
@f
@xi
1; 2; :::; n:
(P ) = 0; 8i =
2. Cho V : Y 2 = X3 + X2.
iºm P (x; y) 2 V l
iºm k¼ dà cõa V
khi v ch¿ khi @f (P ) = 0; @f (P ) = 0. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ta câ iºm
@x
k¼ dà cõa V l P (0; 0).
@y
ành ngh¾a 1.2.24. Cho V l
f2
MP = f
l ideal cüc ¤i cõa k[V ].
a t¤p x¤ £nh, P 2 V . Ng÷íi ta gåi
g
k[V ] : f(P ) = 0
8
- Xem thêm -