Tài liệu Sơ lược về đường cong elliptic trên trường hữu hạn

BË GI•O DÖC V€ TR×ÍNG €O T„O „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 KHOA TO•N Nguy¹n Thà Ph÷ìng SÌ L×ÑC V— ×ÍNG CONG ELLIPTIC TR–N TR×ÍNG HÚU H„N KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC H Nëi N«m 2016 BË GI•O DÖC V€ TR×ÍNG €O T„O „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 KHOA TO•N Nguy¹n Thà Ph÷ìng SÌ L×ÑC V— ×ÍNG CONG ELLIPTIC TR–N TR×ÍNG HÚU H„N Chuy¶n ng nh: H¼nh håc KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC: Ph¤m Thanh T¥m H Nëi N«m 2016 Möc löc 1 ÷íng cong Elliptic 1.1 Tr÷íng húu h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1.1.1 Tr÷íng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 3 °c sè cõa tr÷íng . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 T½nh ch§t tr÷íng húu h¤n. . . . . . . . . . . . . 3 1.2 a t¤p aphin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 a t¤p x¤ £nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 C§u x¤ tr¶n a t¤p . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 C§u x¤ Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 ÷íng cong Elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Luªt nhâm tr¶n ÷íng cong Elliptic . . . . . . . 18 1.4.2 ¯ng gièng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Tªp iºm cõa ÷íng cong Elliptic tr¶n tr÷íng húu h¤n 24 2.1 Sè c¡c iºm húu t¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 H m z¶ta cõa mët a t¤p x¤ £nh . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Gi£ thuy¸t Riemann cho ÷íng cong elliptic . . . . . . 26 2.4 Gi£ thuy¸t Weil cho ÷íng cong elliptic . . . . . . . . . 28 1 Ch÷ìng 1 ÷íng cong Elliptic 1.1 Tr÷íng húu h¤n 1.1.1 Tr÷íng Mët v nh giao ho¡n câ ìn và câ nhi·u hìn mët ph¦n tû v måi ph¦n tû kh¡c khæng ·u kh£ nghàch ( èi vîi ph²p nh¥n) ÷ñc gåi l mët tr÷íng. Nh÷ vªy mët tªp k vîi 2 ph²p to¡n cëng v nh¥n l mët tr÷íng n¸u thäa m¢n: k l nhâm Aben vîi ph²p to¡n cëng câ ph¦n tû trung háa. knf0g l nhâm aben vîi ph²p to¡n nh¥n câ ph¦n tû ìn và. Vîi måi a,b,c thuëc k ta câ: c:(a + b) = c:a + c:b (a + b):c = a:c + b:c (luªt ph¥n phèi) V½ dö: Q, R, C Mët tr÷íng câ thº câ væ h¤n ph¦n tû (R) Mët tr÷íng ÷ñc gåi l húu h¤n n¸u nâ câ húu h¤n c¡c ph¦n tû V½ dö: Zp={0,1,. . . ,p-1} , p l sè nguy¶n tè. Zp l tr÷íng húu h¤n. 2 1.1.2 °c sè cõa tr÷íng Cho k l mët tr÷íng vîi ph¦n tû ìn và e. Khi â sè tü nhi¶n nhä nh§t n 6= 0 sao cho bëi ne = 0 ÷ñc gåi l °c sè cõa tr÷íng k. Trong tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i ta nâi k câ °c sè 0. V½ dö: C¡c tr÷íng Q,R,C ·u câ °c sè 0 K½ hi»u: Char(k) Câ thº th§y r¬ng n¸u tr÷íng k câ °c sè n 6= 0 th¼ n l mët sè nguy¶n tè n o â. Trong tr÷íng hñp n y måi ph¦n tû kh¡c 0 cõa nhâm cëng k ·u câ c§p p 1.1.3 T½nh ch§t tr÷íng húu h¤n. n Sè ph¦n tû trong mët tr÷íng húu h¤n F l lôy thøa p vîi p l «c sè cõa tr÷íng F , p l sè nguy¶n tè. Hai tr÷íng húu h¤n ¯ng c§u khi v ch¿ khi chóng câ còng sè ph¦n tû. Vîi méi sè nguy¶n tè p v vîi méi sè tü nhi¶n n > 1 ·u tçn t¤i tr÷íng húu h¤n c§p p n Trong tr÷íng húu h¤n F nhâm nh¥n c¡c ph¦n tû kh¡c 0 l xyclic. n Gi£ sû F l tr÷íng húu h¤n câ q = p ph¦n tû . Khi â c§p cõa nhâm Galoa G = G(F=Zp) b¬ng n. Hìn núa, G l nhâm xyclic p sinh bði tü ¯ng c§u ' : a 7!a , vîi måi a 2 F n Méi tr÷íng húu h¤n F câ q = p ph¦n tû l mët tr÷íng chia ÷íng trán bªc q 1 tr¶n tr÷íng nguy¶n tè P ' Zp. 3 hñp cõa d¢y Cho p l sè nguy¶n tè. Bao âng ¤i sè cõa Fp l S t«ng c¡c tr÷íng húu h¤n câ °c sè p : Fp = 1.2 n2N Fpn a t¤p aphin. Khæng gian aphin n - chi·u tr¶n tr÷íng k l tªp câ d¤ng An = f(a1; :::; an)jai 2 k; i = 1; :::; ng: Tªp c¡c k n iºm cõa khæng gian A l tªp n A = f(a1; :::; an)jai 2 k; i = 1; :::; ng: Méi a thùc f 2 R tªp c¡c khæng iºm cõa a thùc f n Z(f) = fP 2 A jf(P ) = 0g: T÷ìng tü, vîi méi tªp con T R ta câ n Z(T ) = fP 2 A jf(P ) = 0; 8f 2 T g: Gåi a l ideal cõa R sinh bði tªp T Rl v nh Noether n¶n tçn t¤i c¡c R th¼ Z(T ) = Z(a). V nh a thùc f1; :::; fn 2 R sao cho Z(a) = Z(f1; :::; fn): n ành ngh¾a 1.2.1. Cho Y A . Tªp Y ÷ñc gåi l tªp ¤i sè (aphin) n¸u tçn t¤i T R sao cho Y = Z(T ): C¡c tªp ¤i sè thäa m¢n ti¶n · d nh cho c¡c tªp âng cõa khæng gian tæ pæ. Tæ pæ c£m sinh bði c¡c tªp ¤i sè ÷ñc gåi l tæ pæ Zariski. ành ngh¾a 1.2.2. Cho X l khæng gian tæ pæ, ; 6= Y X. Tªp Y ÷ñc gåi l tªp b§t kh£ qui n¸u Y khæng l hñp cõa hai tªp con âng thüc sü cõa Y . 4 1 V½ dö 1.2.3. Khæng gian A l tªp b§t kh£ qui v¼ c¡c tªp con âng 1 thüc sü cõa A ch¿ l c¡c tªp húu h¤n. n ành ngh¾a 1.2.4. Cho Y A . Ideal cõa Y trong v nh R l tªp ÷ñc x¡c ành I(Y ) = ff 2 Rjf(P ) = 0; 8P 2 Y g: Tªp ¤i sè Y ÷ñc gåi l x¡c ành tr¶n k n¸u ideal I(Y ) cõa nâ sinh bði c¡c a thùc trong k[x1; :::; xn], k½ hi»u Y =k. M»nh · 1.2.5. 1. N¸u T1 Y2 T2 R th¼ Z(T1) Z(T2). n 2. N¸u Y1 A th¼ I(Y1) I(Y2). 3. 4. Måi tªp con Y1; Y2 A ta câ I(Y1 [ Y2) = I(Y1) \ I(Y2). Måi a l ideal cõa R ta câ I(Z(a)) = rad(a). 5. Måi tªp con b§t k¼ Y cõa A ta câ Z(I(Y )) = Y : n n n V¼ vªy, tªp Y A l a t¤p aphin khi v ch¿ khi ideal I(Y ) l ideal nguy¶n tè cõa v nh R. ành lþ 1.2.6. ( ành l½ khæng iºm Hilbert) Cho a l mët ideal cõa ; :::; xn], a thùc f 2 k[x ; :::; xn] sao cho f(P ) = 0; 8P 2 v nh k[x 1 1 r Z(a). Khi â tçn t¤i sè r > 0 sao cho f 2 a. n H» qu£ 1.2.7. Câ mët sü t÷ìng ùng 1 1 giúa c¡c tªp ¤i sè cõa A v n c¡c ideal c«n cõa v nh R cho bði Y A 7!I(Y ) v a R 7!Z(a). Hìn th¸ n núa, tªp Y A l b§t kh£ qui khi v ch¿ khi I(Y ) l ideal nguy¶n tè cõa R. n ành ngh¾a 1.2.8. Cho Y A l tªp ¤i sè. V nh tåa ë cõa Y tr¶n k (k½ hi»u k[Y ]) l v nh ÷ñc x¡c ành k[Y ] = R=I(Y ): N¸u Y l tªp ¤i sè x¡c ÷ñc ành ngh¾a ành tr¶n k. V nh tåa k[Y ] = k[x1; :::; xn]=I(Y ): ë cõa Y tr¶n k 5 Trong tr÷íng hñp Y =k l a t¤p aphin th¼ v nh tåa ë cõa Y l mi·n nguy¶n. Tr÷íng c¡c th÷ìng cõa nâ, k½ hi»u l k(Y ), ÷ñc gåi l tr÷íng h m cõa Y tr¶n k. T÷ìng tü ta ành ngh¾a k(Y ). mi·n Nhªn x²t 1.2.9. N¸u V l a t¤p aphin th¼ v nh tåa ë k[V ] l ¤i nguy¶n çng thíi l k ¤i sè húu h¤n sinh. Ng÷ñc l¤i, n¸u B l sè húu h¤n sinh, mi·n nguy¶n th¼ B = R=a trong â a l ideal nguy¶n tè. Khi â B l v nh tåa ë cõa a t¤p x¡c ành bði V = Z(a). n ành ngh¾a 1.2.10. Tªp Y A ÷ñc gåi l a t¤p aphin n¸u Y l tªp ¤i sè v tªp b§t kh£ qui. Mët tªp mð cõa mët a t¤p aphin ÷ñc gåi l a t¤p tüa aphin. ành ngh¾a 1.2.11. Khæng gian tæ pæ X ÷ñc gåi l khæng gian tæ pæ Noether n¸u trong X måi d¢y gi£m c¡c tªp con âng ·u l c¡c d ¢y døng. n V½ dö 1.2.12. Khæng gian A l mët khæng gian tæ pæ Noether n v¼ måi d¢y gi£m Y1 Y2 ::: c¡c tªp con âng cõa A c£m sinh t÷ìng ùng d¢y t«ng I(Y1) I(Y2) ::: c¡c ideal c«n cõa v nh R. L¤i câ v nh R l v nh Noether n¶n d¢y t«ng c¡c ideal ph£i l d¢y døng. V¼ vªy tçn t¤i r > 0 sao cho Ys = Yr; 8s r. M»nh · 1.2.13. Cho X l khæng gian tæ pæ Noether. Khi â måi tªp âng ; =6 Y X luæn tçn t¤i c¡c tªp con âng b§t kh£ qui Yi; i = 1; :::; n sao cho Y = Y1 [ ::: [ Yn: Hìn núa, n¸u Yi 6= Yj; 8i 6= j th¼ biºu di¹n tr¶n l duy nh§t. n V¼ vªy måi tªp ¤i sè trong khæng gian A ·u câ thº biºu di¹n duy nh§t th nh hñp cõa húu h¤n c¡c a t¤p aphin. ành ngh¾a 1.2.14. Cho X l khæng gian tæ pæ. Sè chi·u cõa X, k½ hi»u dimX l sè cüc ¤i n sao cho tçn t¤i mët x½ch c¡c tªp con âng b§t kh£ qui ph¥n bi»t cõa X : X0 X1 ::: Xn X: 6 Sè chi·u cõa mët a t¤p aphin ÷ñc ành ngh¾a l sè chi·u cõa khæng gian tæ pæ Noether t÷ìng ùng. 1 V½ dö 1.2.15. Trong khæng gian X = A måi tªp con âng b§t kh£ 1 qui cõa A ·u l tªp gçm mët iºm. Do â sè chi·u cõa khæng gian 1 A b¬ng 1. ành ngh¾a 1.2.16. Cho p l ideal nguy¶n tè cõa R. ë cao cõa p, k½ hi»u height(p) l sè n cüc ¤i sao cho câ x½ch c¡c ideal nguy¶n tè ríi nhau p0 p1 ::: pn = p: Sè chi·u cõa v nh R, k½ hi»u dimR l sè cüc ¤i cõa ë cao mët ideal nguy¶n tè trong v nh R. Ta ¢ bi¸t méi tªp con b§t kh£ qui cõa Y t÷ìng ùng 1 1 vîi mët ideal nguy¶n tè cõa v nh R chùa I(Y ). Do â méi tªp con b§t kh£ qui cõa Y t÷ìng ùng 1 1 vîi mët ideal nguy¶n tè cõa v nh tåa ë n l k[Y ]. V¼ vªy n¸u Y A tªp ¤i sè th¼ dimY = dim(k[Y ]). ành lþ 1.2.17. Cho k l tr÷íng, B l mi·n nguy¶n çng thíi l k ¤i sè húu h¤n sinh. Khi â 1. Sè chi·u cõa B b¬ng bªc si¶u vi»t cõa tr÷íng th÷ìng k(B) cõa B tr¶n k. 2. Måi ideal nguy¶n tè p trong B height(p) + dim(B=p) = dimB: H» qu£ 1.2.18. Cho V l n a t¤p cõa A . Khi â height(I(V )) + dimk[V ] = dim(k[x1; :::; xn]) = n: n V½ dö 1.2.19. Khæng gian A câ sè chi·u b¬ng n. Thªt vªy, ta câ n n I(A ) = 0 n¶n dimA = n 0 = n: M»nh · 1.2.20. Cho A l v nh Noether. Khi â 7 1. N¸u x 2 A kh¡c ìn và v khæng l ÷îc cõa khæng th¼ måi ideal nguy¶n tè cüc tiºu p chùa (x) câ height(p) = 1: 2. Mi·n nguy¶n A l mi·n ph¥n t½ch duy nh§t khi v ch¿ khi måi ideal nguy¶n tè câ height b¬ng 1 ·u l ideal ch½nh. n M»nh · 1.2.21. Cho V l a t¤p cõa khæng gian A . Khi â dim(V ) = n 1 khi v ch¿ khi tçn t¤i a thùc b§t kh£ qui f 2 R sao cho V = Z(f). Chùng minh. N¸u dim(V ) = n 1 th¼ theo ành l½ tr¶n height(I(V )) = 1. Gi£ thi¸t v nh R l mi·n ph¥n t½ch duy nh§t n¶n tçn t¤i a thùc f 2 R sao cho I(V ) = (f). Do I(V ) l ideal nguy¶n tè n¶n a thùc f b§t kh£ qui. Ng÷ñc l¤i, tø V = Z(f) trong â f l a thùc b§t kh£ qui trong v nh R suy ra dim(V ) = n 1. ành ngh¾a 1.2.22. Cho V l mët a t¤p, P 2 V v f1; :::; fm 2 R l h» sinh cõa I(V ). a t¤p V gåi l trìn t¤i P n¸u h¤ng cõa ma trªn Jacobi @fi (P ) @xj b¬ng n dimV . a t¤p V gåi l V . Ng÷ñc l¤i, a t¤p V gåi l V½ dö 1.2.23. 1. Cho V l 0 i m 0 j n trìn n¸u V trìn t¤i måi iºm P cõa câ iºm k¼ dà t¤i P . a t¤p x¡c ành bði a thùc b§t kh£ qui f 2 R. Khi â V k¼ dà t¤i iºm P 2 V khi v ch¿ khi @f @xi 1; 2; :::; n: (P ) = 0; 8i = 2. Cho V : Y 2 = X3 + X2. iºm P (x; y) 2 V l iºm k¼ dà cõa V khi v ch¿ khi @f (P ) = 0; @f (P ) = 0. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ta câ iºm @x k¼ dà cõa V l P (0; 0). @y ành ngh¾a 1.2.24. Cho V l f2 MP = f l ideal cüc ¤i cõa k[V ]. a t¤p x¤ £nh, P 2 V . Ng÷íi ta gåi g k[V ] : f(P ) = 0 8