Số lelong và lý thuyết cắt

  • Số trang: 69 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 149 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Chiến SỐ LELONG VÀ LÝ THUYẾT CẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Chiến SỐ LELONG VÀ LÝ THUYẾT CẮT Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU T 0 .................................................................................................................... 7 T 0 CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ........................................................... 8 T 0 T 0 1.1 Hàm chỉnh hình trong  n ............................................................................................. 8 T 0 T 0 1.1.1 Định nghĩa ([Ad]) ..................................................................................................... 8 T 0 T 0 1.1.2 Bổ đề Osgood ([Ad]) ................................................................................................ 8 T 0 T 0 1.1.3 Định nghĩa ([Ad]) ..................................................................................................... 8 T 0 T 0 1.2 Hàm đa điều hòa dưới ................................................................................................... 8 T 0 T 0 1.2.1 Định nghĩa hàm đa điều hòa dưới ([Kli]) ................................................................. 8 T 0 T 0 1.2.2 Ví dụ ([Kli]) .............................................................................................................. 9 T 0 T 0 1.2.3 Định nghĩa:................................................................................................................ 9 T 0 T 0 1.2.4 Định nghĩa:................................................................................................................ 9 T 0 T 0 1.2.5 Định lý xấp xỉ chính cho hàm đa điều hòa dưới ([Kli]) ......................................... 10 T 0 T 0 1.2.6 Hệ quả ([Kli]).......................................................................................................... 10 T 0 T 0 1.2.7 Hệ quả ([Kli]).......................................................................................................... 10 T 0 T 0 1.2.8 Hệ quả ([Kli]).......................................................................................................... 10 T 0 T 0 1.2.9 Nguyên lý cực đại cho hàm đa điều hòa dưới ([Kli]) ............................................. 10 T 0 T 0 1.2.10 Định lý ([Kli]) ....................................................................................................... 10 T 0 T 0 1.3 Phân bố ......................................................................................................................... 11 T 0 T 0 1.3.1 Không gian các hàm thử ([Kli]) .............................................................................. 11 T 0 T 0 1.3.2 Mệnh đề .................................................................................................................. 11 T 0 T 0 1.4 Đa tạp phức .................................................................................................................. 11 T 0 T 0 1.4.1 Định nghĩa ([Ad]) ................................................................................................... 11 T 0 T 0 1.4.2 Định nghĩa ([Ad]) ................................................................................................... 12 T 0 T 0 1.4.3 Định nghĩa ([Ad]) ................................................................................................... 12 T 0 T 0 1.4.4 Định nghĩa ([FG]) ................................................................................................... 12 T 0 T 0 1.4.5 Định nghĩa ([Ad]) ................................................................................................... 12 T 0 T 0 1.4.6 Định nghĩa ([FG]) ................................................................................................... 13 T 0 T 0 1.4.7 Định lý (Nguyên lý đồng nhất) ([Kli]) ................................................................... 13 T 0 T 0 1.4.8 Định lý (Nguyên lý cực đại) ([Kli]) ........................................................................ 13 T 0 T 0 1.5 Đa tạp Stein .................................................................................................................. 13 T 0 T 0 1.5.1 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 13 T 0 T 0 1.5.2 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 14 T 0 T 0 1.5.3 Định lý ([De2]) ....................................................................................................... 14 T 0 T 0 1.5.4 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 14 T 0 T 0 1.5.5 Định lý ([De2]) ....................................................................................................... 14 T 0 T 0 1.5.6 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 14 T 0 T 0 1.5.7 Định lý ([De2]) ....................................................................................................... 15 T 0 T 0 1.5.8 Mệnh đề ([De2]) ..................................................................................................... 15 T 0 T 0 1.6 Dạng vi phân trên đa tạp phức ................................................................................... 15 T 0 T 0 1.6.1 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 15 T 0 T 0 1.6.2 Các toán tử vi phân ([De2]) .................................................................................... 16 T 0 T 0 1.6.3 Không gian các dạng vi phân ([Kli]) ...................................................................... 17 T 0 T 0 1.6.4 Các phép toán trên dạng vi phân ([De2]) ................................................................ 17 T 0 T 0 1.6.5 Công thức Stokes ([De2]) ....................................................................................... 18 T 0 T 0 1.6.6 Công thức tích phân từng phần ([De2]) .................................................................. 18 T 0 T 0 1.7 Dạng vi phân dương .................................................................................................... 18 T 0 T 0 1.7.1 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 18 T 0 T 0 1.7.2 Mệnh đề ([De2]) ..................................................................................................... 18 T 0 T 0 1.7.3 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 18 T 0 T 0 1.7.4 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 19 T 0 T 0 1.7.5 Mệnh đề ([De2]) ..................................................................................................... 19 T 0 T 0 1.8 Dòng ........................................................................................................................... 19 T 0 T 0 1.8.1 Định nghĩa ([Kli]) ................................................................................................... 19 T 0 T 0 1.8.2 Ví dụ ([Kli]) ............................................................................................................ 20 T 0 T 0 1.8.3 Định nghĩa ([Kli]) ................................................................................................... 20 T 0 T 0 1.8.4 Đạo hàm của tích ngoài ([De2]) ............................................................................. 20 T 0 T 0 1.8.5 Công thức Stokes ([De2]) ....................................................................................... 21 T 0 T 0 1.8.6 Công thức tích phân từng phần ([Blo]) ................................................................... 21 T 0 T 0 1.9 Dòng dương .................................................................................................................. 21 T 0 T 0 1.9.1 Định nghĩa ([LG]) ................................................................................................... 21 T 0 T 0 1.9.2 Định lý ([LG]) ......................................................................................................... 21 T 0 T 0 1.9.3 Định lý ([LG]) ......................................................................................................... 21 T 0 T 0 1.9.4 Định lý ([LG]) ......................................................................................................... 21 T 0 T 0 1.9.5 Định lý ([LG]) ......................................................................................................... 21 T 0 T 0 1.9.6 Định nghĩa ([De1]).................................................................................................. 22 T 0 T 0 1.10 Dòng dương đóng....................................................................................................... 22 T 0 T 0 1.10.1 Định nghĩa ([LG]) ................................................................................................. 22 T 0 T 0 1.10.2 Định lý ([LG]) ....................................................................................................... 22 T 0 T 0 1.11 Đa tạp Hermit và đa tạp Kahler ([De2]) ................................................................. 22 T 0 T 0 1.12 Tập giải tích phức ([De2]) ......................................................................................... 23 T 0 T 0 CHƯƠNG 2: TOÁN TỬ MONGE – AMPERE VÀ SỐ LELONG MỞ RỘNG . 27 T 0 T 0 2.1 Toán tử Monge - Ampere mở rộng ([De1]) ............................................................... 27 T 0 T 0 2.1.1 Mệnh đề ([De1]) ..................................................................................................... 27 T 0 T 0 2.1.2 Định nghĩa ([De1]).................................................................................................. 28 T 0 T 0 2.1.3 Định lý (Bất đẳng thức Chern – Levine – Nirenberg) ([De1]) ............................... 29 T 0 T 0 2.1.4 Hệ quả ([De1]) ....................................................................................................... 29 T 0 T 0 2.1.5 Định lý ([De1]) ....................................................................................................... 30 T 0 T 0 2.1.6 Bổ đề ([De1]) .......................................................................................................... 31 T 0 T 0 2.1.7 Hệ quả ([De1]) ........................................................................................................ 32 T 0 T 0 2.1.8 Mệnh đề ([De1]) ..................................................................................................... 33 T 0 T 0 2.1.9 Mệnh đề ([De1]) Giả sử: ........................................................................................ 34 T 0 T 0 2.1.10 Hệ quả ([De1]) ...................................................................................................... 35 T 0 T 0 2.1.11 Mệnh đề ([De1]) ................................................................................................... 35 T 0 T 0 2.1.12 Định lý ([De1]) ..................................................................................................... 36 T 0 T 0 2.1.13 Mệnh đề ([De1]) ................................................................................................... 36 T 0 T 0 2.1.14 Hệ quả ([De1]) ...................................................................................................... 36 T 0 T 0 2.1.15 Hệ quả ([De1]) ...................................................................................................... 36 T 0 T 0 2.2 Số Lelong suy rộng ...................................................................................................... 36 T 0 T 0 2.2.1 Định nghĩa ([De1]).................................................................................................. 37 T 0 T 0 2.2.2 Định nghĩa ([De1]).................................................................................................. 37 T 0 T 0 2.2.3 Công thức ([De1]) ................................................................................................... 37 T 0 T 0 2.2.4 Mệnh đề ([De1]) ..................................................................................................... 39 T 0 T 0 2.2.5 Định nghĩa ([De1]).................................................................................................. 40 T 0 T 0 2.2.6 Công thức Lelong – Jensen ([De1]) ........................................................................ 41 T 0 T 0 2.2.7 Định lý (Định lý so sánh các số LeLong thứ nhất) ([De1]) .................................... 42 T 0 T 0 2.2.8 Định lý (Định lý so sánh các số LeLong thứ hai) ([De1]) ...................................... 43 T 0 T 0 2.2.9 Hệ quả ([De1]) ........................................................................................................ 43 T 0 T 0 2.3 Định lý phân tích Siu ................................................................................................... 44 T 0 T 0 2.3.1 Định nghĩa ............................................................................................................... 44 T 0 T 0 2.3.2 Định nghĩa ............................................................................................................... 44 T 0 T 0 2.3.3 Định lý .................................................................................................................... 44 T 0 T 0 2.3.4 Bổ đề ....................................................................................................................... 45 T 0 T 0 2.3.5 Hệ quả ..................................................................................................................... 45 T 0 T 0 2.3.6 Định lý phân tích Siu .............................................................................................. 46 T 0 T 0 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA SỐ LELONG TRONG LÝ THUYẾT SỐ ....... 47 T 0 T 0 3.1 Mệnh đề ([De1]) ........................................................................................................... 48 T 0 T 0 3.2 Định lý ([De1]) .............................................................................................................. 49 T 0 T 0 3.3 Bổ đề (Bổ đề Schwarz) ([De1])................................................................................... 50 T 0 T 0 3.4 Hệ quả ([De1]) .............................................................................................................. 52 T 0 T 0 3.5 Định lý ( Bombieri) ([De1]) ......................................................................................... 53 T 0 T 0 3.6 Bổ đề ([De1]) ................................................................................................................. 54 T 0 T 0 CHƯƠNG 4: LỚP GIAO (CẮT) TOÀN CỤC VÀ TỰ CẮT ................................. 55 T 0 T 0 4.1 Định lý ([De1]) .............................................................................................................. 63 T 0 T 0 4.2 Định lý ([De1]) .............................................................................................................. 64 T 0 T 0 4.3 Hệ quả ([De1]) .............................................................................................................. 65 T 0 T 0 4.4 Định lý ([De1]) .............................................................................................................. 66 T 0 T 0 4.5 Hệ quả ([De1]) .............................................................................................................. 67 T 0 T 0 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.................................................................................... 68 T 0 T 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 69 T 0 T 0 MỞ ĐẦU Số Lelong là một công cụ để nghiên cứu hình học vi phân phức và lý thuyết đa thế vị. Trong trường hợp đơn giản nhất, số Lelong chính là cấp tại 0 của một hàm chỉnh hình trên một tập mở U ⊂  . Theo định nghĩa cổ điển do Lelong đưa ra, số Lelong của dòng dương đóng T bậc p trên Ω ⊂  n tại x ∈ Ω xác định bởi: v (T , x ) lim = r →0+ 1 r2 p ∫B( x,r ) ( T ∧ dd c z ) 2 p Trong [De1], Demailly đã tổng quát các số Lelong cho dòng dương đóng T song chiều ( p, p ) với khối ϕ = v (T , ϕ ) lim ∫ r →−∞ ϕ −1 là hàm nửa vét kiệt: ( ( −∞,r )) ( T ∧ dd cϕ ) p Mục đích của luận văn này là trình bày định nghĩa và các tính chất của số Lelong suy rộng được Demailly đưa ra ở trên, qua đó nêu các ứng dụng của chúng trong Lý thuyết số và Lý thuyết cắt. Luận văn gồm 4 chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị U U Chương 2: Trình bày toán tử Monge – Ampere và các số Lelong suy rộng U U Chương 3: Trình bày ứng dụng của số Lelong trong Lý thuyết số U U Chương 4: Trình bày ứng dụng của số Lelong trong Lý thuyết cắt U U Luận văn được trình bày dựa trên [De1], [De2]. Cảm ơn các tác giả và TS. Nguyễn Văn Đông đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ để luận văn được hoàn thành. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 12 năm 2011 Người thực hiện Nguyễn Quốc Chiến CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình trong  n 1.1.1 Định nghĩa ([Ad]) Hàm giá trị phức f xác định trên tập con mở Ω ⊂  n được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu tại mỗi điểm a = ( a1 , a2 ,..., an ) ∈ Ω có một lân cận mở U ⊂ Ω sao cho f có khai triển chuỗi lũy thừa: ∞ ∑ = f ( z) i1 ,i2 ,...,in = 0 hội tụ= với mọi z ci1i2 ...in ( z1 − a1 ) 1 ( z2 − a2 ) 2 ... ( zn − an ) n (1) i i i ( z1 , z2 ,..., zn ) ∈ U . Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên Ω được ký hiệu là O ( Ω ) . Nếu = I n , z ( z1 , z2 ,..., zn ) ∈  n ( i1 , i2 ,..., in ) ∈ = Khi đó (1) có thể viết dưới dạng:= f ( z) ta định nghĩa: z I = z1i1 .z2i2 ...znin . ∑c ( z − a) I I . I 1.1.2 Bổ đề Osgood ([Ad]) Nếu một hàm giá trị phức f liên tục trên tập mở Ω và chỉnh hình đối với từng biến thì nó chỉnh hình trên Ω . 1.1.3 Định nghĩa ([Ad]) Ánh xạ f = ( f1 , f 2 ,..., f m ) : Ω →  m được gọi là ánh xạ chỉnh hình nếu fi chỉnh hình với mọi i = 1, 2,..., m . 1.2 Hàm đa điều hòa dưới 1.2.1 Định nghĩa hàm đa điều hòa dưới ([Kli]) Cho tập mở Ω ⊂  n và u : Ω → [ −∞, ∞ ) là hàm nửa liên tục trên và không đồng nhất bằng −∞ trên mỗi thành phần liên thông của Ω . Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới trên Ω nếu với mỗi a ∈ Ω, b ∈  n hàm λ  u ( a + λb ) là điều hòa dưới hoặc đồng nhất bằng −∞ trên mỗi thành phần liên thông của tập {λ ∈  : a + λb ∈ Ω} . Họ tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω được ký hiệu là PSH ( Ω ) . 1.2.2 Ví dụ ([Kli]) Nếu f ∈ O ( Ω ) thì log f ∈ PSH ( Ω ) . 1.2.3 Định nghĩa:  −1t Đặt h :  → là hàm xác định bởi h ( t ) = e , t > 0 . 0 , t ≤ 0 Dễ thấy h ∈ C ∞ (  ) . ( Ta định nghĩa: χ= ( x ) C.h 1 − x 2 ) trong đó C = ( ) Dễ thấy χ ∈ C ∞  ∞ và supp χ = B ( 0,1) , Với ε > 0 , ta định nghĩa: χε ( x ) = Dễ thấy: 1 (∫ ( B ( 0,1) h 1− x 2 ) dx ) −1 . ∫ χ ( x ) dx = 1. x . Khi đó χε được gọi là nhân trơn. χ ε m  ε  ∫ χε ( x ) dx = 1 và supp χε = B ( 0, ε ) . Cho tập mở Ω ⊂  m . Nếu Ω ≠  m thì ta đặt: Ω= ε { x ∈ Ω : d ( x, ∂Ω ) > ε } với ε > 0 . Nếu Ω = m thì Ωε = m . 1.2.4 Định nghĩa: ( ) Nếu u , v ∈ L1  m thì tích chập u * v của u và v được định nghĩa như sau: v )( x ) ∫ u ( x − y ) v ( y ) dy ( u *=  m ( ) Dễ thấy u * v = v * u . Ngoài ra, tích chập u * v cũng được định nghĩa tốt nếu u ∈ L1loc  m v ∈ L1 (  m ) , v có giá compact. và 1.2.5 Định lý xấp xỉ chính cho hàm đa điều hòa dưới ([Kli]) Cho tập mở Ω ⊂  n và u ∈ PSH ( Ω ) . Nếu ε > 0 và Ωε ≠ ∅ thì uε = u * χε ∈ C ∞  PSH ( Ωε ) Ngoài ra, uε đơn điệu giảm khi ε giảm và limuε ( x ) = u ( x ) với mỗi x ∈ Ω . ε →0 1.2.6 Hệ quả ([Kli]) Cho Ω và Ω ' lần lượt là các tập mở trong  n và  m . Nếu u ∈ PSH ( Ω ) và f : Ω ' → Ω là một ánh xạ chỉnh hình thì u  f đa điều hòa dưới trên Ω ' . 1.2.7 Hệ quả ([Kli]) Nếu Ω là tập con mở của  n thì PSH ( Ω ) ⊂ SH ( Ω ) ⊂ L1loc ( Ω ) . 1.2.8 Hệ quả ([Kli]) Nếu u , v ∈ PSH ( Ω ) và u = v hầu khắp nơi trên Ω thì u ≡ v . 1.2.9 Nguyên lý cực đại cho hàm đa điều hòa dưới ([Kli]) Nếu Ω là tập con mở liên thông bị chặn của  n và u ∈ PSH ( Ω ) thì u = const hoặc u ( x ) < sup u * ( y ) . y∈∂Ω 1.2.10 Định lý ([Kli]) Cho Ω là tập con mở của  n . Khi đó: (1) Họ PSH ( Ω ) là một nón lồi. (2) Nếu Ω liên thông và {u j } j∈ ⊂ PSH ( Ω ) là dãy giảm thì u = lim u j ∈ PSH ( Ω ) hoặc j →∞ u ≡ −∞ . (3) Nếu u : Ω →  và {u j } j∈ ⊂ PSH ( Ω ) hội tụ đều địa phương đến u thì u ∈ PSH ( Ω ) . (4) Cho {uα }α∈A ⊂ PSH ( Ω ) sao cho u = sup uα bị chặn trên địa phương. α ∈A Khi đó u * ∈ PSH ( Ω ) và u = u * hầu khắp nơi trên Ω . Ngoài ra uε = u * χε đơn điệu giảm khi ε giảm và lim uε = u * trên Ω . ε →0 1.3 Phân bố 1.3.1 Không gian các hàm thử ([Kli]) Cho Ω là tập con mở của  n . Tập hợp tất cả các hàm thử D ( Ω ) là tập hợp tất cả các hàm hữu hạn, khả vi vô hạn trong Ω : D ( Ω= ) C0∞ ( Ω ) . Ta định nghĩa sự hội tụ trong D ( Ω ) : một dãy các hàm ϕ1 , ϕ 2 ,... trong D ( Ω ) hội tụ đến hàm ϕ ∈ D ( Ω ) nếu: i. Tồn tại tập con K compact tương đối trong Ω sao cho supp ϕi ⊂ K ∀i . → Dα ϕ khi k → ∞ . ii. Với mọi tập đa chỉ số α ∈  n ta có: Dα ϕ k → k →∞ Ta viết: ϕ k  →ϕ trong D ( Ω ) . 1.3.2 Mệnh đề Cho Ω là tập con mở của  n . Khi đó với mỗi tập con K compact tương đối trong Ω , tồn tại một hàm ϕ ∈ D ( Ω ) sao cho: ϕ = 1 trên K và 0 ≤ ϕ ≤ 1 . 1.4 Đa tạp phức 1.4.1 Định nghĩa ([Ad]) Cho n ∈  . Một đa tạp phức n chiều X là một không gian tôpô Hausdorff cùng với một atlas phức A = {(U α , ϕα )}α∈A thỏa mãn: i. U α là tập con mở khác rỗng của X với mọi α ∈ A . ii. ϕα : U α →  n là đồng phôi từ U α lên một tập mở trong  n với mọi α ∈ A . iii.  α∈AU α = X . iv. ϕ β  ϕα−1 : ϕα (U α  U β ) → ϕ β (U α  U β ) chỉnh hình với mọi α , β ∈ A . + (U α , ϕα ) được gọi là bản đồ địa phương. + U α được gọi là miền tọa độ hay miền xác định của bản đồ địa phương đó. + Các thành phần của ϕα ( z ) = ( z1α , z2α ,..., znα ) được gọi là hệ tọa độ địa phương trên U α xác định bởi ϕα . + ϕ β  ϕα−1 được gọi là phép đổi tọa độ. 1.4.2 Định nghĩa ([Ad]) Cho hai đa tạp X , Y và tập mở Ω ⊂ X . Khi đó ánh xạ f : Ω → Y được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi cặp bản đồ địa phương (U , ϕ ) trên X và (V ,ψ ) trên Y sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xạ ψ  f  ϕ −1 : ϕ (U ) → ψ (V ) là chỉnh hình. 1.4.3 Định nghĩa ([Ad]) Một tập con M của đa tạp phức n chiều X được gọi là đa tạp con m chiều ( m ≤ n ) nếu với mỗi ξ ∈ M , có một bản đồ địa phương (U , ϕ ) trên X sao cho ξ ∈ U và ( ) M U = ϕ −1 { z = zm + 2 = ... = zn = 0} . ( z1 , z2 ,..., zn ) ∈  n : zm+1 = Số n − m − 1 được gọi là đối chiều của M . Ký hiệu: co dim M = n − m − 1 . 1.4.4 Định nghĩa ([FG]) a. Giả sử (U , α ) là một bản đồ địa phương với hệ tọa độ ( z1 , z2 ,..., zn ) và f là hàm giá trị phức xác định trên U . Khi đó ta có thể xem f như một hàm n biến phức ( z1 , z2 ,..., zn ) xác định bởi: ( z1 , z2 ,..., zn )  f  ϕ −1 ( z1 , z2 ,..., zn ) . b. Cho tập mở Ω ⊂ X và số tự nhiên k ∈   {∞} . Hàm f : Ω →  được gọi là thuộc lớp C k trên Ω nếu f  ϕα−1 ∈ C k (ϕα (U α  Ω ) ) với mọi α ∈ A mà U α  Ω ≠ ∅ . Ký hiệu tập tất cả các hàm (phức) thuộc lớp C k trên Ω là C k ( Ω,  ) . 1.4.5 Định nghĩa ([Ad]) Cho tập mở B ⊂ X . Hàm f : B →  được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu với mỗi p ∈ Ω tồn tại một bản đồ địa phương (U , ϕ ) với p ∈ U sao cho f  ϕ −1 : ϕ (U  B ) →  là chỉnh hình. Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên B ký hiệu là: O ( B ) . 1.4.6 Định nghĩa ([FG]) - Nếu ( z1 , z2 ,..., zn ) ( z1 , z2 ,..., zn )  là hệ tọa độ địa phương ứng với (U ,ϕ ) thì f  ϕ −1 ( z1 , z2 ,..., zn ) là hàm chỉnh hình theo nghĩa thông thường. - Nếu z j = z j (ω1 , ω2 ,..., ωn ) trong đó (ω1 , ω2 ,..., ωn ) là hệ tọa độ địa phương ứng với bản đồ địa phương (V , ω ) thì f ψ −1 (ω1 , ω2 ,..., ωn ) = f  ϕ −1 ( z1 (ω1 , ω2 ,..., ωn ) ,..., zn (ω1 , ω2 ,..., ωn ) ) cũng chỉnh hình. Do đó định nghĩa chỉnh hình là độc lập với cách chọn hệ tọa độ địa phương. 1.4.7 Định lý (Nguyên lý đồng nhất) ([Kli]) Nếu X liên thông và f , g ∈ O ( X ) , f = g trên một tập mở khác rỗng U ⊂ X thì f = g trên X . 1.4.8 Định lý (Nguyên lý cực đại) ([Kli]) Cho X liên thông, f ∈ O ( X ) . Giả sử tồn tại p ∈ X sao cho f đạt cực đại địa phương tại p . Khi đó f là hằng trên X . 1.5 Đa tạp Stein 1.5.1 Định nghĩa ([De2]) Cho X là đa tạp phức và K là tập con compact của X . Bao chỉnh hình của K trong X xác định bởi: = K  O( X ) = K {z ∈ X : f ( z ) ≤ sup f } ∀f ∈ O ( X ) . K  O( X ) của mỗi tập Đa tạp phức X được gọi là lồi chỉnh hình nếu bao chỉnh hình K compact K ⊂ X cũng là tập compact. Lưu ý Đa tạp phức X là lồi chỉnh hình nếu và chỉ nếu có một dãy các tập compact { K v } U U o  với K v ⊂ X sao = cho: X = Kv , K K v , K v −1 ⊂ K v . v 1.5.2 Định nghĩa ([De2]) Tập mở Ω ⊂  n được gọi là miền chỉnh hình nếu với mỗi tập con mở liên thông U của  n cắt ∂Ω và với mỗi thành phần liên thông V của U  Ω tồn tại f ∈ O ( Ω ) sao cho f V không có mở rộng chỉnh hình đến U . Ví dụ ([De2]) + Tập mở Ω ⊂  là miền chỉnh hình. + Tập mở lồi trong  n là miền chỉnh hình. 1.5.3 Định lý ([De2]) Cho Ω là tập mở trong  n . Các tính chất sau là tương đương: a. Ω là miền chỉnh hình. b. Ω là lồi chỉnh hình. c. Tồn tại hàm F ∈ O ( Ω ) sao cho F không bị chặn trên mỗi lân cận của mỗi điểm thuộc ∂Ω . 1.5.4 Định nghĩa ([De2]) Hàm ψ : X → [ −∞, ∞ ) trên không gian tôpô X được gọi là một vét kiệt nếu tất cả các tập mức dưới X c = { z ∈ X :ψ ( z ) < c} là compact tương đối với mọi c ∈  . Cho đa tạp phức n chiều X . Khi đó: a. X được gọi là giả lồi yếu nếu tồn tại một hàm vét kiệt ψ ∈ PSH ( X )  C ∞ ( X ) . b. X được gọi là giả lồi ngặt nếu tồn tại một hàm vét kiệt ψ ∈ PSH ( X )  C ∞ ( X ) và Hψ xác định dương tại mọi điểm. 1.5.5 Định lý ([De2]) Mọi đa tạp lồi chỉnh hình X là giả lồi yếu. 1.5.6 Định nghĩa ([De2]) Đa tạp phức X được gọi là đa tạp Stein nếu: i. X là lồi chỉnh hình. ii. X là tách chỉnh hình, tức là mỗi điểm x ∈ X có một lân cận V sao cho: với mỗi y ∈ V \ { x} , ∃f ∈ O ( X ) : f ( y ) ≠ f ( x ) . U Lưu ý: - Điều kiện ii. là hiển nhiên nếu X = Ω là tập con mở của  n . Do đó một tập mở Ω ⊂  n là Stein nếu và chỉ nếu Ω là miền chỉnh hình. - Tập con mở Ω ⊂ X được gọi là tập mở Stein nếu Ω cũng thỏa các điều kiện i. và ii. 1.5.7 Định lý ([De2]) Mọi đa tạp Stein là giả lồi ngặt. 1.5.8 Mệnh đề ([De2]) Ký hiệu C là lớp các đa tạp lồi chỉnh hình (tương ứng là đa tạp Stein, giả lồi yếu, giả lồi ngặt) a. Nếu X , Y ∈ C thì X × Y ∈ C . b. Nếu X ∈ C và S là đa tạp con đóng của X thì S ∈ C . c. Nếu ( S j ) 1≤ j ≤ N là một họ các đa tạp con của X sao cho S j ∈ C ∀j =1, 2,..., N và S =  S j cũng là đa tạp con của X thì S ∈ C . d. Nếu F : X → Y là ánh xạ chỉnh hình và S ⊂ X , S ' ⊂ Y là các đa tạp con thuộc lớp C thì S  F −1 ( S ') ∈ C . (giả sử S  F −1 ( S ') cũng là một đa tạp con của X ) e. Nếu X là đa tạp giả lồi yếu (ngặt) và u là hàm trơn đa điều hòa dưới trên X thì tập mở = Ω u −1 ( ( −∞, c ) ) là giả lồi yếu (ngặt). Đặc biệt, các tập mức dưới= X c ψ −1 ( ( −∞, c ) ) của hàm đa điều hòa dưới (ngặt) vét kiệt ψ cũng là giả lồi yếu (ngặt). 1.6 Dạng vi phân trên đa tạp phức 1.6.1 Định nghĩa ([De2]) Cho đa tạp phức n chiều X . Ta ký hiệu A p ,q ( X ) là tập tất cả các dạng vi phân kiểu ( p, q ) = u trên X , tức là các dạng u có biểu diễn: ∑ = I p= ,J q u I , J dz I ∧ dz−J (*) Trong đó ( z1 , z2 ,..., zn ) là hệ tọa độ địa phương bất kỳ, I = i , i ,..., i ) , J ( j , j ,..., j ) là (= 1 2 p 1 2 q các tập đa chỉ số độ dài p, q tương ứng (1 ≤ i1 < i2 < ... < i p ≤ n,1 ≤ j1 < j2 < ... < jq ≤ n ) , và dz I = dzi1 ∧ dzi2 ∧ ... ∧ dzi p , d z J = d z j1 ∧ d z j2 ∧ ... ∧ d z jq . + Ta nói u thuộc lớp C s nếu u I , J ∈ C s ( X ,  ) với mọi I , J ; u I , J được gọi là các hệ số của u. Ký hiệu tập tất cả các dạng vi phân lớp C s kiểu ( p, q ) trên X là: C(sp ,q ) ( X ) . + Ta nói u là dạng vi phân bậc r trên X nếu trong hệ tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., zn ) bất m kỳ, u được biểu diễn dưới dạng u = ∑ u j trong đó u j là các dạng vi phân kiểu ( p, q ) thỏa j =1 p+q = r. Tập tất cả các dạng vi phân bậc r trên X được ký hiệu: Ar ( X ) . 1.6.2 Các toán tử vi phân ([De2]) a. Nếu f ∈ C1 ( X ,  ) thì trong hệ tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., zn ) ta có: = df n ∂f ∑ ∂z k =1 dzk + k ∂f d zk ∂ zk ∂f dzk k =1 ∂zk n ∂f = ∑ ∂f d zk . k =1 ∂ zk n ∂f = ∑ b. Nếu u ∈ C(∞p ,q ) ( X ) và trong hệ tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., zn ) , u có biểu diễn (*) thì các toán tử vi phân ngoài d : C(∞p ,q ) ( X ) → C(∞p +1,q +1) ( X ) , ∂ : C(∞p ,q ) ( X ) → C(∞p +1,q ) ( X ) , ∂ : C(∞p ,q ) ( X ) → C(∞p ,q +1) ( X ) xác định bởi: = ∂u ∑∑ ∂u I , J ∑∑ ∂u I , J I , J 1≤ k ≤ n = ∂u I , J 1≤ k ≤ n ∂zk ∂ zk dzk ∧ dz I ∧ d z J d zk ∧ dz I ∧ d z J du = ∂u + ∂u 2 U Lưu ý: d 2 =∂ 2 =∂ =0, ∂∂ =−∂∂ . U ( ) i 1 ∂∂ và nếu u ∈ C 2 ( X ,  ) thì trong hệ tọa độ địa ∂ − ∂ , khi đó: dd c= 2π i π c. Đặt = dc phương ( z1 , z2 ,..., = zn ) ta có: dd cu ∂ 2u dz ∧ d zk . ∑ π j ,k =1 ∂z j ∂ zk j n i 1.6.3 Không gian các dạng vi phân ([Kli]) Cho đa tạp phức n chiều X . Họ tất cả các dạng vi phân kiểu ( p, q ) mà các hệ số thuộc C0∞ ( X ,  ) được ký hiệu là D ( Nếu {ϕ j } j ≥0 ⊂ D( p ,q ) p ,q ) ( X ) . Trong và ϕ j ∑ ϕ Ij, J dz I ∧ d z J ( X )= D( p ,q ) (X) ta xét sự hội tụ: trong mỗi tập mở tọa độ Ω ⊂ X thì I ,J j →∞ →ϕ 0 nếu và chỉ nếu với mọi tập mở tọa độ Ω các điều kiện sau thỏa: ϕ j  i. Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho supp ϕ Ij, J ⊂ K ∀i, I , J . ii. Dα (ϕ Ij, J ) → Dα (ϕ I0, J ) đều khi j → ∞ với mọi I , J và α ∈  2n + . 1.6.4 Các phép toán trên dạng vi phân ([De2]) Cho đa tạp phức n chiều X . Khi đó: a. Nếu ϕ = ϕ ∑ ϕ I , J dz I ∧ dz−J ∑ ϕ I , J d z I ∧ dz J . = I p= ,J q ϕ là dạng kiểu = I p= ,J q ( p, q ) trong hệ thì ϕ tọa là dạng kiểu độ địa ( q, p ) , phương trong đó nếu ( z1 , z2 ,..., zn ) b. Nếu ϕ ,ψ là các dạng kiểu ( p, q ) thì ϕ + ψ , λϕ ( λ ∈  ) cũng là các dạng kiểu ( p, q ) . c. Nếu ϕ là dạng kiểu ( p, q ) , ψ là dạng kiểu ( p ', q ') thì ϕ ∧ ψ là dạng kiểu ( p + p ', q + q ') và ta có: + ϕ ∧ ψ =( −1) pqp ' q ' ψ ∧ϕ . + d (ϕ ∧ ψ )= dϕ ∧ ψ + ( −1) p+q ϕ ∧ dψ . thì 1.6.5 Công thức Stokes ([De2]) Giả sử K là tập con compact của X với biên trơn từng khúc và ϕ là dạng vi phân bậc n − 1 lớp C1 trên X . Khi đó: ∫ ∂K ϕ = ∫ dϕ . K 1.6.6 Công thức tích phân từng phần ([De2]) Giả sử Ω là tập mở bị chặn, compact tương đối trong X có biên trơn và f , g là các dạng thuộc lớp C 2 trên Ω kiểu ( p, p ) và ( q, q ) với p + q = n − 1 . Khi đó: ∫ ( f ∧ dd Ω c g − dd c f ∧ g= ) ∫ ( f ∧d c ∂Ω g − dc f ∧ g) 1.7 Dạng vi phân dương 1.7.1 Định nghĩa ([De2]) a. Dạng vi phân ω ∈ C(∞p , p ) ( X ) được gọi là dạng dương cơ bản nếu ω có biểu diễn: ω = i pω1 ∧ ω1 ∧ ω2 ∧ ω2 ∧ ... ∧ ω p ∧ ω p Trong đó ω j ∈ C(∞1,0) ( X ) ∀j =1,..., p . b. Dạng vi phân ω ∈ C(∞p , p ) ( X ) được gọi là dương ngặt nếu ω là tổ hợp lồi tuyến tính của các dạng dương cơ bản. 1.7.2 Mệnh đề ([De2]) Một dạng vi phân kiểu ( p, p ) hệ số hằng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các dạng dương cơ bản. 1.7.3 Định nghĩa ([De2]) n a. Dạng vi phân kiểu (1,1) trên X có biểu diễn: = β i ∑ dz j ∧ d z j được gọi là j =1 dạng Kahler trên X . b. Dạng thể tích trên X có biểu diễn: dVn = 1 n β . n! 1.7.4 Định nghĩa ([De2]) Một dạng vi phân ω ∈ A( p, p) ( X ) được gọi là dương bậc f βn p nếu ω ∧ α = với mọi dạng dương cơ bản α ∈ C(∞n − p ,n − p ) ( X ) , trong đó f ≥ 0 . Tập tất cả các dạng dương bậc p trên X được ký hiệu: Φ +p ( X ) . 1.7.5 Mệnh đề ([De2]) a. Nếu u1 , u2 ,..., us là các dạng dương ngặt trong C(∞p , p ) ( X ) thì u1 ∧ u2 ∧ ... ∧ us cũng là dạng dương ngặt. b. Nếu u1 , u2 ,..., us là các dạng dương ngặt, trong đó u j ( j ∈ {1,..., s} ) là dương, thì u1 ∧ u2 ∧ ... ∧ us là dạng dương. 1.8 Dòng 1.8.1 Định nghĩa ([Kli]) Cho đa tạp phức n chiều X . Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D( p ,q ) ( X ) được gọi là một dòng song bậc ( n − p, n − q ) (hoặc song chiều ( p, q ) ) trên X . Tập tất cả các dòng song bậc ( n − p, n − q ) trên X được ký hiệu: D '( p ,q ) ( X ) . + Mỗi dòng T ∈ D '( p ,q ) ( X ) có thể viết được dưới dạng: = T ∑ I= n− p , J = n−q TIJ dz I ∧ d z J , TIJ ∈ D ' ( X ) + Giá trị của T tại φ ∈ D( p ,q ) ( X ) được ký hiệu: T (φ ) hoặc ∫ T ∧ φ . w + Tôpô (yếu) trên D '( p ,q ) ( X ) : T j  → T ⇔ ∫ T j ∧ φ → ∫ T ∧ φ ∀φ ∈ D( p ,q ) ( X ) + Đạo hàm của dòng: ∀φ ∈ D( p ,q ) ( X ) , ∫ ∂T ∧ φ = ( −1) p + q +1 ∫ T ∧ ∂φ ∫ ∂T ∧ φ = ( −1) p + q +1 ∫ T ∧ ∂φ ∫ dT ∧ φ =( −1) p + q +1 ∫ T ∧ dφ Khi đó dT , ∂T , ∂T và dd cT cũng là các dòng. Dòng T được gọi là đóng nếu dT = 0 . Giá của dòng T , ký hiệu: suppT , là tập đóng nhỏ nhất A ⊂ X sao cho thu hẹp của T trên D ( X \ A ) là không. 1.8.2 Ví dụ ([Kli]) a. Cho dạng ψ ∈ D( p ,q ) ( X ) . Khi đó ta có thể xem ψ là dòng Tψ song bậc ( n − p, n − q ) xác định bởi công thức: Tψ (ϕ= ) ∫ ψ ∧ϕ X ∀ϕ ∈ D( n− p ,n− q ) ( X ) b.Cho Z là đa tạp con đóng p chiều của X . Khi đó dòng tích phân T = [ Z ] sinh bởi Z là dòng xác định bởi: Z ] (ϕ ) ∫ ϕ [= Z , ϕ ∈ D( p , p ) ( X ) Hơn nữa, nếu Z đóng thì [ Z ] là đóng. 1.8.3 Định nghĩa ([Kli]) Cho T ∈ D '( p ,q ) ( X ) và ϕ ∈ D( p ',q ') ( X ) với p + p ' ≤ n, q + q ' ≤ n . Khi đó tích ngoài T ∧ ϕ ∈ D '( p + p ',q + q ') ( X ) xác định bởi: (T ∧ ϕ )(ψ =) T (ϕ ∧ ψ ) ∀ψ ∈ D( n − p − p ',n− q − q ') ( X ) 1.8.4 Đạo hàm của tích ngoài ([De2]) Với các ký hiệu như trong định nghĩa 1.8.1 ta có: d (T ∧ ϕ )= dT ∧ ϕ + ( −1) 2 n− p −q T ∧ dϕ 2 n− p −q T ∧ ∂ϕ 2 n− p −q T ∧ ∂ϕ ∂ (T ∧ ϕ ) = ∂T ∧ ϕ + ( −1) ∂ (T ∧ ϕ ) = ∂T ∧ ϕ + ( −1)
- Xem thêm -