Số âm trong dạy học toán ở trường phổ thông, một nghiên cứu so sánh giữa lào và việt nam

  • Số trang: 100 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 20 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH VONGSAVENG Chanthaveesouk SỐ ÂM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG: MỘT NGHIÊN CỨU SO SÁNH GIỮA LÀO VÀ VIỆT NAM. LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH SỐ ÂM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG: MỘT NGHIÊN CỨU SO SÁNH GIỮA LÀO VÀ VIỆT NAM. Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: Toán-07-025 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.Lê Thị Hoài Châu Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC......................................................................................... 3 T 1 T 1 MỞ ĐẦU ........................................................................................... 6 T 1 T 1 1.Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 6 T 1 T 1 2.Khung lý thuyết tham chiếu ............................................................................ 7 T 1 T 1 2.1. Sai lầm và chướng ngại. Giải thích sai lầm và chướng ngại .................. 7 T 1 T 1 2.1.1. Khái niệm về sai lầm và chướng ngại ............................................. 7 T 1 T 1 2.1.2. Đặc trưng của chướng ngại ............................................................. 7 T 1 T 1 2.1.3. Quan niệm và qui tắc hành động ................................................. 8 T 1 T 1 2.2. Thuyết nhân học: .................................................................................. 10 T 1 T 1 3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu .......................................................... 10 T 1 T 1 Chương 1 : MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VỀ T 1 KHÁI NIỆM SỐ ÂM .................................................................................. 13 T 1 1.1.Mục tiêu của chương .................................................................................. 13 T 1 T 1 1.2Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm số âm ..................... 13 T 1 T 1 1.3.Về các quy tắc cộng, trừ, nhân chia trên các số âm ................................... 18 T 1 T 1 Chương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG QUAN T 1 ĐIỂM SO SÁNH ......................................................................................... 20 T 1 2.1. TIẾN TRÌNH XÂY DỰNG CÁC TẬP HỢP SỐ ÂM TRONG CHƯƠNG T 1 TRÌNH TOÁN THCS LÀO VÀ VIỆT NAM .................................................. 20 T 1 2.1.1. Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thông ở T 1 Lào ............................................................................................................... 21 T 1 2.1.2. Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thông Việt T 1 Nam .............................................................................................................. 23 T 1 2.2. SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I1 ................................................................. 25 T 1 T 1 2.2.1. Khái niệm số âm: ............................................................................... 25 T 1 T 1 2.2.2. Giá trị tuyệt đối của một số ................................................................ 29 T 1 T 1 2.2.3. So sánh hai số (hữu tỉ) ....................................................................... 29 T 1 T 1 2.2.4. Các phép toán..................................................................................... 31 T 1 T 1 2.2.4.1. Phép cộng, trừ ............................................................................. 31 T 1 T 1 Định lý: ........................................................................................... 32 T 1 T 1 2.2.4.2. Phép nhân ................................................................................... 32 T 1 T 1 2.2.4.3. Phép T 1 chia ..................................................................................................................... 34 2.2.4.4. Các tổ chức toán học liên quan đến số âm ................................. 34 T 1 T 1 2.3. SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I2 ................................................................. 42 T 1 T 1 2.3.1. Khái niệm số âm ................................................................................ 42 T 1 T 1 2.3.2. So sánh hai số nguyên ........................................................................ 42 T 1 T 1 2.3.3. Cộng hai số nguyên............................................................................ 42 T 1 T 1 2.4.KẾT LUẬN ................................................................................................ 45 T 1 T 1 2.4.1. Đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm ........................................... 45 T 1 T 1 2.4.2. Về quy tắc nhân hai số âm ................................................................. 47 T 1 T 1 Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM GIỚI THIỆU THỰC T 1 NGHIỆM ..................................................................................................... 48 T 1 3.1. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN ................................................. 48 T 1 T 1 3.1.1. Câu hỏi thực nghiệm: ......................................................................... 48 T 1 T 1 3.1.2. Phân tích a priori các câu hỏi thực nghiệm........................................ 49 T 1 T 1 3.1.3. Phân tích a posteriori ......................................................................... 53 T 1 T 1 3.2. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI HỌC SINH................................................... 55 T 1 T 1 3.2.1. Các bài toán thực nghiệm .................................................................. 55 T 1 T 1 3.2.2. Phân tích a priori các bài toán thực nghiệm ...................................... 56 T 1 T 1 3.2.2.1. Bài toán 1.................................................................................... 56 T 1 T 1 3.2.2.2. Bài toán 2.................................................................................... 57 T 1 T 1 3.2.2.3. Bài toán 3.................................................................................... 58 T 1 T 1 3.2.2.4. Bài toán 4.................................................................................... 59 T 1 T 1 3.2.2.5. Bài toán 5.................................................................................... 60 T 1 T 1 3.3. Phân tích a posteriori thực nghiệm của HS ............................................... 61 T 1 T 1 KẾT LUẬN ..................................................................................... 65 T 1 T 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................. 66 T 1 T 1 PHỤ LỤC ........................................................................................ 67 T 1 T 1 MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Khái niệm số âm có một vai trò quan trọng trong sự phát triển của toán học và trong thực tế. Ý nghĩa của số âm được tìm thấy nhiều trong thực tiễn. Khi chưa được học số âm, các em HS cũng đã bắt gặp chúng đâu đó nhiều trong cuộc sống. Số âm tuy phát biểu rất đơn giản, có thể xem một cách THUẦN TUÝ như là số dương gắn với dấu “ – ” đằng trước nhưng khi thực hiện các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia, so sánh,…) HS gặp không ít khó khăn. Trong chương trình môn toán bậc trung học cơ sở (PTCS) của Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào (CHDCNDL) khái niệm số âm được đưa vào giảng dạy ở lớp 6, 7. Đây là một nội dung rất hay nhưng cũng khá khó đối với học sinh. Nếu như trước khi nghiên cứu số âm, HS chỉ thực biện được phép trừ khi số bị trừ lớn hơn số trừ thì nay, phép tính này. Nhưng giải thích như thế nào cho học sinh (HS) về kết quả âm của một phép tính trừ, chẳng hạn 3 – 8 = – 5 là gì ? Liệu HS có hiểu bản chất của các quy tắc tính toán và so sánh trên tập hợp Z hay không ? Chúng ta biết rằng trong lịch sử các nhà toán học cũng đã từng phải đi tìm nghĩa của số âm bằng mô hình lỗ lãi trong thương mại. Nhưng dường như mô hình này không cho phép giải thích quy tắc “tích (thương) hai số âm là một số dương”. Câu hỏi về tính hợp thức này đã phải được họ giải thích bằng cách chuyển sang phạm vi hình học. Nhưng điều đó không phải dễ đối với HS bậc THCS. Nếu tiếp cận theo thuật ngữ NGỮ (signifiant – cái biểu đạt) và NGHĨA (signifié – cái được biểu đạt) thì lúc này, dấu “ – ” được tìm thấy với ba nghĩa khác nhau : dấu “ – ” của phép trừ, của số âm và số đối. Ví dụ (-5) là âm 5, (-5) là số đối của 5 và là dấu “ – ” trong phép toán, chẳng hạn 3 – 5. Sơ bộ tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy sự mơ hồ trong cách hiểu về số âm đã làm cho HS thật sự lúng túng khi vận dụng vào giải bài tập. Chẳng hạn, nhiều học sinh ghi = − x x, = x 2 x và cho rằng − x không có nghĩa vì hễ có dấu “ – ” ở trước thì đó là số âm, có dấu “+” thì là số dương Là một sinh viên Lào tôi chọn đề tài “nghiên cứu về số âm trong dạy học toán ở trường phổ thông” cho luận văn thạc sĩ của mình. Câu hỏi mở đầu là: 1. Khái niệm số âm được trình bày như thế nào trong chương trình toán bậc THCS ở Lào? 2. Những sai lầm thường gặp của HS Lào khi học về số âm? Chúng xuất phát từ những nguyên nhân nào? Có thể khắc phục được không? 2.Khung lý thuyết tham chiếu Để trả lời những câu hỏi trên, trước hết chúng tôi xuất phát từ quan niệm về “sai lầm và nguồn gốc của chủng” vốn được thừa nhận rộng rãi trong cộng đồng các nhà nghiên cứu Pháp. Những ý kiến trình bày dưới đây được chúng tôi trích ra từ cuốn sách song ngữ Việt-Pháp Nhập môn didactic toán (2009)của nhóm tác giả Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến. 2.1. Sai lầm và chướng ngại. Giải thích sai lầm và chướng ngại 2.1.1. Khái niệm về sai lầm và chướng ngại “Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard và Brousseau thì kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó. Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được xây dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác. Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và có thể là không hoàn toàn chính xác.” Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh: “Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không hiểu biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, và chúng tạo nên những chướng ngại.” (Brousseau, 1983). Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có một nguồn gốc chung. Việc phân tích sai lầm có thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập”. 2.1.2. Đặc trưng của chướng ngại Cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều có thể được xem là chướng ngại. Trước hết, chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm. “Kiến thức, quan niệm này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một số ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn đến những câu trả lời sai ở ngoài những ngữ cảnh này. Để có một câu trả lời chính xác và đúng trong mọi trường hợp, cần phải có sự thay đổi trong quan điểm.” Các chướng ngại được phân biệt tùy theo nguồn gốc của chúng. Có bốn kiểu chướng ngại chủ yếu sau : - Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử của những kiến thức mà việc loại bỏ nó đòi hỏi phải được đưa vào một cách tường minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh. - Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi didactic, chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của từng hệ thống giáo dục. - Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của nó. - Chướng ngại văn hóa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luôn luôn tồn tại. “Chỉ có những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc vượt qua chúng đóng một vai trò quyết định trong việc xây dựng tri thức. Và người ta có thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử phát sinh của chính khái niệm đang được nói đến. Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic của khái niệm, và như vậy nó đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đó.” 2.1.3. Quan niệm và qui tắc hành động Nếu sai lầm của HS không phải là ngẫu nhiên mà có thể dự đoán trước được thì làm thế nào để dự đoán và giải thích chúng ? Trả lời câu hỏi này, người ta đã sử dụng khái niệm quân niệm và quy tắc hành động. • Quan niệm Quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán học. G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khó khăn trong điều kiện bất lợi”. Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau): - Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh; - Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau. • Qui tắc hành động “Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh. Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thường thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó. Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó.” Một vấn đề được đặt ra : bằng cách nào, ta có thể dự đoán trước những quan niệm mà HS có thể có về một đối tượng tri thức ? những quy tắc hành động nào có thể chi phối ứng xử liên quan đến tri thức đó của HS ? Với cách giả thích về thuật ngữ quan niệm và quy tắc hành động như trên, chúng ta thấy là điều này phải được tiếp cận từ ba nghiên cứu : - Nghiên cứu đặc trưng của tri thức - Nghiên cứu sản phẩm của HS khi họ được đặt trước những tình huống mà tri thức này có thể can thiệp. Để nghiên cứu đặc trưng của tri thức, cần phải xem xét tri thức đó về phương diện khoa học luận : đâu là lý do nảy sinh, phát triển của tri thức ? nó có vị trí, vai trò gì, có quan hệ ra sao với các tri thức khác ? trong quá trình xây dựng nó, các nhà toán học đã phải vượt qua những trở ngại, khó khăn nào ? sự thay đổi gì trong quan niệm cho phép hình thành nên nó ? … Rất nhiều câu hỏi có thể được trả lời từ nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của tri thức. Nhưng, để bàn về việc dạy học tri thức đó thì như vậy hoàn toàn chưa đủ, bởi vì, để có thể tồn tại và phát triển trong một thể chế dạy học nào đó, tri thức phải bị biến đổi cho phù hợp với những ràng buộc và điểu kiện do thể chế quy định. Phân tích cuộc sống của tri thức trong thể chế là một nghiên cứu không thể bỏ qua khi bàn về việc dạy học tri thức đó. Liên quan đến nghiên cứu này, chúng tôi sẽ đặt mình trong phạm vi của Thuyết nhân học trong didactic toán, mà người ta thường nói một cách ngắn gọn là thuyết nhân học. 2.2. Thuyết nhân học: Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”. Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [Τ,τ ,θ , Θ] , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ. 3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu Quan hệ thể chế với một đối tượng tri thức sẽ được làm rõ thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với nó mà thể chế đã thiết lập. Ngoài ra, chúng tôi thừa nhận một giả thuyết công việc đã được tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) phát biểu trong luận án của mình như sau : “Việc đối chiếu cuộc sống của tri thức trong một thể chế khác sẽ cho phép làm rõ những đặc trưng của thể chế mà ta muốn nghiên cứu”. Thể chế mà chúng tôi chọn để đối chiếu là thể chế dạy học số âm ở Việt Nam, bậc THCS, theo chương trình và sách giáo khoa (SGK) hiện hành. Giống như chương trình của Lào, số âm cũng được giảng dạy ở lớp 6 và lớp 7. Để thuận tiện, chúng tôi quy ước gọi I1 là thể chế dạy học số âm ở lớp 6, 7 của Lào, còn I2 là thể chế dạy học số âm ở lớp 6, 7 củaViệt Nam, theo chương trình và SGK hiện hành. Thừa nhận giả thuyết công việc nêu trên và trong khung lý thuyết đã được lựa chọn, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi nghiên cứu như sau : Q 1 : Liên quan đến số âm, các tổ chức toán học nào được soạn thảo trong hai bộ SGK Lào và Việt Nam ? Đâu là những đặc trưng của quan hệ của hai thể chế I1, R R I2 với đối tượng O – số âm ? Chúng có những điểm gì giống nhau ? khác nhau ? Đâu là những điều kiện và ràng buộc của việc dạy học O trong mỗi thể chế ? Q 2 : Khó khăn của HS khi tiếp xúc với khái niệm số âm ? R R Q 3 : Những khó khăn này có thể sinh ra từ quan niệm hay quy tắc hành động nào ? Liệu những kiến thức về tập hợp các số tự nhiên mà các em biết trước đó có là trở ngại và nguyên nhân dẫn đến những sai lầm khi thực hiện các phép toán trên tập hợp số nguyên âm không? R R Đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên là mục đích nghiên cứu của chúng tôi. Để trả lời câu hỏi, chúng tôi sẽ tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng có tác dụng bổ sung cho nhau, một nghiên cứu điều tra khoa học luận về khái niệm số âm và một nghiên cứu thể chế với đối tượng này. Đối với nghiên cứu thứ nhất, chúng tôi sử dụng kết quả của các nghiên cứu đã tồn tại mà chúng tôi được biết về lịch sử của khái niệm số âm. Ở đây chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ sự tiến triển cũng như nghĩa của khái niệm số âm. Đối với nghiên cứu thứ hai, chúng tôi sẽ phân tích hai bộ SGK hiện đang được sử dụng ở Lào và Việt Nam, làm rõ sự giống và khác nhau giữa trong cách trình bày khái niệm số âm, những điều kiện và ràng buộc thể chế gắn với khái niệm đó. Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho chúng tôi hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm. Đó sẽ là cơ sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm. Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng tôi hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trò gì trong thể chế. Nó cũng giúp cho chúng tôi xác định nguồn gốc didactic của những khó khăn mà học sinh thường gặp. Từ đó đưa ra dự đoán kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh phạm phải gắn liền với khái niệm số âm. Như vậy, hai nghiên cứu trên sẽ cho phép chúng tôi đưa ra những giả thuyết nhằm mục đích trả lời cho các câu hỏi Q2, Q3. Các giả thuyết sẽ được kiểm chứng (hay bác bỏ) bằng một thực nghiệm dành cho học sinh lớp 6, 7 và một thực nghiệm trên giáo viên hai nước. Kết quả nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong ba chương. Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ ÂM Do không có điều kiện thực hiện một nghiên cứu đầy đủ về lịch sử hình thành tri thức, chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả của Nguyễn Thiện Chí. Chương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG QUAN ĐIỂM SO SÁNH Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng số âm. Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập hiện hành ở các lớp 6, 7. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm số âm, cũng như chỉ ra được các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp, bậc học. Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tôi trả lời câu hỏi và đưa ra các giả thuyết nghiên cứu. Chương 3: THỰC NGHIỆM Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này, chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: Thực nghiệm đối với giáo viên và học sinh qua các phiếu học tập. Chương 1 : MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM SỐ ÂM 1.1.Mục tiêu của chương Mục tiêu của chương là nghiên cứu lịch sử hay khoa học luận về khái niệm số âm nhằm làm rõ các đặc trưng của đối tượng này trong quá trình nảy sinh và phát triển của nó Đặc trưng khoa học luận và đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm là gì? Phần này chúng tôi lấy lại kết quả nghiên cứu của Nguyễn Thiện Chí. Cụ thể chúng tôi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây: 1. Khái niệm “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học luận? 2. Chướng ngại gì gắn liền với số âm? 1.2Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm số âm Một lần nữa, chúng tôi nhắc lại rằng toàn bộ phần này được chúng tôi lấy từ luận văn của tác giả Nguyễn Thiện Chí. Những người Trung Quốc đã sử dụng những số âm từ thế kỷ đầu tiên của thời đại chúng ta. Thông thường họ dùng những que tính màu đen để biểu thị các số âm, những que màu đỏ để biểu thị các số dương. Liu Hui (220-280) đã giải thích và dạy các phép tính số học bằng cách liên kết với các que tính. Tuy nhiên những số âm chỉ xuất hiện như là hỗ trợ cho tính toán, nghĩa là công cụ trung gian, không có số âm trong những phát biểu của bài toán, cũng không có trong các câu trả lời. Trong thời kỳ này số âm được hiểu như số “tiền nợ”Diophante (khoảngthế kỉ thứ 3, sau công nguyên) không chấp nhận những phương trình dạng như 4 = 4x + 20 1, bởi nghiệm của chúng là “vô lý”. Diophante xem số âm là số “vô lý”. F 0 P P − − Ẩn số x được ki hiệu là s’, bên phải ẩn số Diophante ghi hệ số, ví dụ 4x được viết là s’ δ (trong đó δ = 4). Khi cộng ông viết số hạng này sát số hạng kia, dùng chữ l để chỉ đẳng thức. Như vậy phương trình ở 1 − trên được viết là s’ δ − − κ l δ , với κ =20. Brahmagupta (598-660) là nhà toán học lớn người Ấn Độ thế kỷ VI và VII. Qua tác phẩm của ông người ta xác nhận rằng: “Ông là người đầu tiên đưa ra số 0 và những số âm. Và ông đã dùng những số này trong tính toán những “khoản tiền” ”. Các nhà toán học Ấn Độ xem số âm là “số lỗ”, là “món nợ”. Quy tắc cộng các số được viết là: “Tổng của hai số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của số lãi và số lỗ là hiệu của chúng và nếu hai số đó bằng nhau thì tổng bằng không”. Trong giai đoạn này số âm được trình bày dưới dạng các “khoản nợ”. Nó không được sử dụng mà chỉ được coi như một khả năng lý luận. Mặt khác Brahmagupta đã sử dụng dấu chấm (.) để chỉ số “tiền nợ”. Vào năm 1484, trong tác phẩm “khoa học về các số” của mình Chuquet (1445− 1500) đã đưa vào số mũ âm, chẳng hạn 5 3m P (m là từ chữ la tinh minus nghĩa là P trừ) là kí hiệu của 5-3, nói chung a k m là ký hiệu của a − k . Như vậy, trong thời kỳ này ông dùng ký hiệu chữ m với một vạch nhỏ trên đầu để chỉ phép trừ và cho cả số âm. P P Số âm được hiểu theo nghĩa là số “thiếu”. Tuy nhiên lúc bấy giờ số âm chưa được chấp nhận. Ở phương tây những số âm xuất hiện vào cuối thế kỷ XV, khi giải phương trình. Chẳng hạn, qua tác phẩm “Các qui tắc đại số” của nhà toán học người Ý Cardan (1501-1576) người ta xác nhận rằng: “Cardan là người đầu tiên đã nhận ra nhiều giá trị của ẩn số trong những phương trình và ông phân biệt các số dương, số âm. Chính ông đã đề nghị một phương trình bậc hai: x2 + 4x = 21 và nhận thấy các giá trị của x là +3 và số hư 7”. Cardan gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”. Ông P P dùng ký hiệu m để chỉ số “hư”. Ký hiệu này trùng với ký hiệu của phép toán trừ mà Chuquet đã sử dụng. Vào năm 1637, trong tác phẩm “hình học” của mình Descartes (1596-1650) đã giới thiệu các nghiệm của một phương trình như sau: “Đôi khi một vài nghiệm thì được gọi là “hư” hoặc nhỏ hơn 0, khi giả sử x để chỉ số lượng thiếu nó là 5 thì x + 5 ∝ 2 0, lấy x + 5 nhân với x3 – 9xx + 26x – 24 ∝ 0 thì được x4 – 4x3 – 19xx + 106x – 120 ∝ 0. Phương trình này có bốn nghiệm, trong đó ba nghiệm thật là 2, 3, 4 và một nghiệm hư là 5”. P P P P P P P F 1 P 2 Kí hiệu dấu “=” ∝ được đưa vào năm 1557 bởi Robert Record (1510 – 1558) tương ứng với ngày nay là kí hiệu Như vậy, Descartes gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”, số “nhỏ hơn 0”, số “thiếu”. Dấu “-” trong đoạn trích trên dùng để chỉ phép trừ, kí hiệu này được giới thiệu bởi nhà bác học Tiệp Vidman (1489). Các số âm đã phải trải qua nhiều khó khăn trong một thời gian dài vẫn chưa được công nhận, số âm được hiểu theo nghĩa như số “tiền nợ”, số “thiếu”, các nghiệm âm của phương trình gọi là số “vô lý”, nghiệm “hư”, bên cạnh nghiệm thật là số dương. Các nghiệm này sinh ra từ giá trị của chữ chưa biết trong phương trình. Đến khi hình học giải tích của Descartes ra đời, số âm được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17 sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích. Với sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng (chẳng hạn các đoạn thẳng hướng theo chiều ngược, di chuyển theo chiều ngược với chiều đã chọn). Ông biểu diễn số âm trên trục số vào bên trái điểm 0 với cách viết như 1,-2, -3,…Từ đó kí hiệu dấu“-” được gán để chỉ số âm đã xuất hiện. Như vậy, sự xuất hiện của dấu “-” là một dấu hiệu chỉ số âm. Điểm đáng chú ý ở đây là dấu “” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu vào năm 1489. Vào năm 1748, Maclaurin (1698-1746) đã hình thành các quy tắc nhân: nhân một số âm với một số dương, nhân hai số âm như sau: “Với a và n là các số dương thì: n × [a + (-a)] = n × 0 = 0 (1) n × [a + (-a)] = n × a + n × (-a) (2) Từ (1) và (2) suy ra: n × a + n × (-a) = 0 Vì n × a là số dương nên n × (-a) là số âm n là số dương và (-a) là số âm nên tích của một số dương và một số âm là một số âm (-n) × [a + (-a)] = (-n) × 0 = 0 (-n) × [a + (-a)] = (-n) × a + (-n) × (-a) Do đó: (-n) × a + (-n) × (-a) = 0 Mà (-n) × a là số âm (vì nhân một số dương với một số âm) Suy ra: (-n) × (-a) là một số dương Vì (-n) là số âm và (-a) là số âm nên tích của hai số âm là một số dương” Trong chứng minh trên Maclaurin đã đề cập đến việc dùng ký hiệu chữ, nhưng ở đây chữ chỉ đại diện cho số dương và do đó chẳng hạn (–a) được hiểu là số âm. Như vậy đã có thời kỳ mà (-a) luôn được xem là số âm (vì luôn giả thiết a > 0). Vào năm 1766, trong sách giáo khoa của mình Euler (1707-1783) đã khẳng định sự tồn tại phép toán 25 - 40 = -15 và những số âm thì nhỏ hơn 0. Ông đã xem 2 dãy số: 0, 1, 2, 3, 4,…,-4, -3, -2, -1, 0 hợp lại thành tập số nguyên. Euler định nghĩa bốn phép toán trên những số này. Trong giáo trình giải tích của mình (1821), Cauchy (1789-1857) đã định nghĩa số (để chỉ số cụ thể) và đưa ra quy tắc nhân dấu dựa trên các ký hiệu “+” và “-” như sau: “Những số bao gồm phần bằng số và trước nó có dấu “+” hoặc “-”. Dấu “+” hoặc “-” đặt trước một số sẽ làm thay đổi nghĩa của số đó, gần như là một tính từ đổi thành danh từ. Những số mà đằng trước có dấu “+” gọi là những số dương, những số mà đằng trước có dấu “-” gọi là những số âm. Trong trường hợp mà ở đó chữ a được đại diện bởi một số thì ký hiệu – a để chỉ số đối của a. Theo sự thỏa thuận này thì nếu A đại diện cho số bất kỳ, người ta có: a = +A, b = -A. Ta có: +a = +A, +b = -A, -a = -A, -b = +A. Nếu trong bốn phương trình này, người ta đặt lại a, b và giá trị của chúng trong ngoặc đơn thì sẽ có: +(+A) = +A; +(-A) = -A; -(+A) = -A, -(-A) = +A. Trong mỗi công thức này dấu ở vế phải gọi là tích của hai dấu ở vế trái. Việc xem xét duy nhất những phương trình ở trên đủ để hình thành quy tắc của những dấu”. Từ đoạn trích trên, chúng tôi nhận thấy Cauchy đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể), dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ). Theo chúng tôi đây chính là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ. Theo quan điểm của Wilckens (1800) thì ông đưa ra việc phân biệt rõ ràng giữa dấu của phép toán với dấu của một số, để giải thích sự khác nhau ông đề nghị một khái niệm số đối của một số a được ký hiệu bởi a và số đối ở đây được xác định bởi phương trình: a + a = 0. Bằng cách sử dụng a như là dấu của một số đối của a, ông đưa đến định nghĩa: “đối với một số nguyên bất kỳ b, số đối của nó là b được cho bởi phương trình b + b = 0. Vì vậy phép trừ tổng quát trên những số nguyên được định nghĩa bởi: a – b = a + b ” Theo quan điểm của Hankel (1867), được thể hiện trong giáo trình: “lý thuyết của số phức”. Ông giải thích phép nhân hai số đối: “0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb) 0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb) Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab” Từ cách trình bày trên đã cho thấy Hankel kí hiệu (oppa) để chỉ số đối của số a. Với cách ký hiệu này thì ông đã phân biệt một cách rõ ràng dấu “-” của số đối (trong cách ký hiệu số đối của Cauchy) và dấu “-” của phép toán trừ. Bảng 1. Sự tiến triển của khái niệm số âm Thời điểm Liu Hiu (220-280) Diophante(Thế kỉ thứ 3) Kí hiệu của số âm Các que tính màu đen Không có kí hiệu Brahmagupta(598-660) Dấu chấm (.) − Chuquet (1445-1500) m Cardan (1501-1576) m Descartes (1596-1650) − Dấu “-” Đối Đặc trưng của số tượng âm số cụ thể Số cụ thể Số cụ thể Số âm được hiểu như số “tiền nợ” Số âm được hiểu như số “vô lý” Số âm được hiểu như số “tiền nợ” Số cụ thể Số âm được hiểu như số “thiếu” Số cụ thể Số âm được hiểu như số “hư” Số cụ thể Số âm được chấp nhận, sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng. Maclaurin (1698-1746) Dấu “-” Chữ chỉ đại diện - a được hiểu là số cho số âm dương Dấu “-” Số cụ thể Số âm được hiểu như một ký hiệu gồm số dương và dấu “-” đứng trước. Số cụ thể Số âm được hiểu như một ký hiệu gồm số dương và dấu “-” đứng trước. Euler (1707-1783) Cauchy (1789-1857) Dấu “-” Dấu “-” Chữ - a được hiểu là số đối của a Tóm lại, trong lịch sử, số âm đã có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau đây: - Số âm được sinh ra từ nhu cầu tính toán các “khoản tiền”, giải phương trình,…Trong một thời gian dài số âm không được chấp nhận, chẳng hạn các nghiệm âm của phương trình được gọi là nghiệm “hư”, số “vô lý”, số “thiếu”. Cuối cùng số âm cũng được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17, sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích, với sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng. Cuối cùng đã xóa bỏ sự khác biệt về nguyên tắc giữa các nghiệm âm và nghiệm dương. - Ký hiệu của số âm đã được sử dụng qua các giai đoạn lịch sử: Các que màu đen, dấu chấm, m (trùng với dấu của phép toán trừ m mà chuquet đã sử dụng), dấu“-” (trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu). Điều này cho thấy tính không thống nhất trong việc sử dụng ký hiệu gắn với số âm. Hơn nữa đã có thời kỳ (-a) được hiểu là số âm (vì luôn giả thiết a dương). - Đã có các quan điểm khác nhau trong cách sử dụng kí hiệu số đối của một số, chẳng hạn, theo Hankel thì số đối của a, kí hiệu là oppa, theo Wilekens thì số đối của a, kí hiệu là ā. Với các quan điểm này tạo thuận lợi cho việc phân biệt dấu của số âm và dấu của phép toán trừ. Tuy nhiên, Cauchy lại sử dụng cùng một kí hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số âm (trong trường hợp số cụ thể) và là dấu chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”). Điều này dẫn đến trở ngại trong việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí hiệu chữ. Theo chúng tôi đây được xem như là kiểu trở ngại liên quan đến phức tạp về nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang chữ. Như vậy, việc phân tích lịch sử cho phép chúng tôi chỉ ra chướng ngại chủ yếu liên quan đến số âm: Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể có thể tạo nên chướng ngại cho việc hiểu số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ. 1.3.Về các quy tắc cộng, trừ, nhân chia trên các số âm Giải thích như thế nào về các quy tắc cộng, trừ nhân chia hai số a, b, trong đó có ít nhất một số âm ? Rõ ràng là trong dạy học toán ở trường phổ thông thì cách giải thích trên tập N không phải lúc nào cũng mở rộng được cho trường hợp này. Chẳng hạn, nếu trước kia a + b được giải thích qua phép đếm a đồ vật và b đồ vật, thì bây giờ a + b, với a, b ∈ Z là gì ? Về câu hỏi này, ta thấy là mô hình « tiền nợ » hay « lỗ, lãi » sẽ cho phép đưa ra câu trả lời. Ví dụ : lãi a (a > 0) đồng, lỗ b (b > 0) đồng thì a + (-b) sẽ là khoản tiền lỗ hay lãi tùy theo |a| và |b|, từ đó có quy tắc cộng hai số trái dấu ; hay nợ a (a > 0) đồng và nợ b (b > 0) đồng thì thành nợ (a + b) đồng, tức là (− a ) + (−b) = − (a + b) (quy tắc tính tổng hai số âm). Trong cách tiếp cận phép nhân a.b (a, b ∈ Z, a > 0, b < 0) như là phép cộng lặp lại a lần b thì ta cũng có thể dùng mô hình đó để giải thích quy tắc nhân hai số trái dấu. Nhưng với mô hình đó thì làm sao giải thích quy tắc dấu trong phép toán nhân, chia hai số âm ? Giải thích của Hankel (1867) và Maclaurin (1748) mà chúng tôi đã trích dẫn trong phần trên cho ta một câu trả lời thỏa đáng. Chẳng hạn, giải thích do Hankel đưa ra là : “0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb) 0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb) Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab” Bằng ngôn ngữ của đại số hiện đại, chúng ta thấy phải đặt hai phép toán cộng, nhân vào vành số nguyên Z và trường số thực R, thì các tiên đề của cấu trúc vành và trường (cụ thể là tiên đề về tính phân phối của phép nhân và phép cộng) sẽ cho phép ta giải thích được những quy tắc tính toán kiên quan đến hai phép toán đó và hai phép toán ngược (trừ, chia) của chúng nói chung, đặc biệt là quy tắc nhân (chia) hai số âm. Chương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG QUAN ĐIỂM SO SÁNH Đặt nghiên cứu của mình trong thể chế dạy học số âm ở hai Nước Việt Nam và Lào để đi tìm lời giải cho những câu hỏi sau là mục đích của chúng tôi ở chương này: Trong chương này chúng tôi sẽ cố gắng tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi: - Sự giống nhau và khác nhau giữa hai bộ sách giáo khoa Việt Nam và Lào trong khi trình bày khái niệm số âm? - Đối với học sinh sự khác nhau giữa số âm và phép “-” theo quan niệm của họ là gì ? - Với cách hiểu đó đã đưa cho họ những sai lầm và khó khăn nào ? cụ thể chúng biểu hiện ra sao? Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là thể chế dạy học số âm trong chương trình hiện hành của Lào. Để tiện lợi trong trình bày, chúng tôi gọi đây là I1. Việc nghiên cứu quan hệ của thể chế I1 với đối tượng O – số âm - sẽ được thực hiện trước hết thông qua phân tích chương trình Tiểu học và Trung học cơ sở. Phân tích này sẽ làm rõ tiến trình hình thành các tập hợp số trong dạy học toán bậc phổ thông của Lào. Sau đó, chúng tôi sẽ tiến hành một phân tích chi tiết sách giáo khoa lớp 7, lớp mà khái niệm số âm và các kiến thức liên quan đến chúng được đưa vào. Phân tích quan hệ của thể chế I1 sẽ được đặt trong quan điểm so sánh. Cụ thể, như đã nói trong phần mở đầu, việc đối chiếu thể chế I1 với một thể chế I2 khác, mà ở đây chúng tôi chọn là thể chế dạy học số nguyên theo chương trình hiện hành ở trường phổ thông Việt-Nam, sẽ giúp làm nổi bật những đặc trưng trong quan hệ của I1 đối với O. 2.1. TIẾN TRÌNH XÂY DỰNG CÁC TẬP HỢP SỐ ÂM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS LÀO VÀ VIỆT NAM Trước hết, chúng tôi phải giải thích rõ là hệ phổ thông của Lào trước đây gồm 11 lớp. Nhưng kể từ năm học 2010-2011 thì hệ phổ thông đã có thêm lớp 12. Với sự xuất hiện này, quá trình đào tạo phổ thông cũng được phân thành ba bậc như Việt-Nam : bậc tiểu học từ lớp 1 đến lớp 5, bậc trung học cơ sở từ lớp 6 đến lớp 9, bậc trung học phổ thông từ lớp 10 đến lớp 12.
- Xem thêm -