Skkn về giải bất phương trình chứa tham số trong chương trình toán thpt

  • Số trang: 21 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 98 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình toán của trung học phổ thông, thì dạng toán tìm các giá trị của tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng trên một tập D nào đó là một trong những dạng toán rất phổ biến và tương đối quan trọng. Nhưng việc giải nó thì học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn, kể cả khi có những lời giải sẵn nhưng học sinh cũng không hiểu tại sao lại phải đưa ra các điều kiện như thế. Giả sử ta xét các bài toán sau đây: Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình f(x) = (m2 +1)x2 + (2m - 1)x – 5 < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-1 ; 1). Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình f(x) = -(m2 +2)x2 – 2mx +1 – m > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2 ; +∞ ). Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m ≠ 0 để bất phương trình f(x) = 2mx2 – (1 – 5m)x +3m +1 > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2 ; 0). Trên đây là 3 bài toán có đề bài hoàn toàn hợp lý. �af ( 1) �0 Khi giải bài toán 1 thì điều kiện đúng đưa ra là: �af (1) �0 � Với bài toán 2 thì khi gặp thường học sinh cũng bắt tay ngay vào việc giải nó mà không biết nhận xét để đưa ra kết quả nhanh và chính xác hơn. Nếu để ý thì ta thấy hệ số a = -(m 2 +2) < 0, m  R nên không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện bài toán (bài toán vô nghiệm). Khi gặp bài toán 3 thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn, nếu không cẩn thận thì sẽ dẫn đến thiếu nghiệm ngay. Để giải bài toán 3 thì ta phải xét 4 trường hợp sau: TH1: �a  0 � �  0 TH2: �a  0 � �0 � � �a. f (2) �0 � �s �2 �2 TH3: �a  0 � �0 � � �a. f (0) �0 � �s �0 �2 TH4: �a  0 � �a. f ( 2) �0 �a. f (0) �0 � V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 1 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Nhưng chắc chắn rằng nhiều học sinh không hiểu được là tại sao ta lại phải xét các trường hợp như thế. Song nếu có sự giúp đỡ của đồ thị thì việc giải bài toán 3 trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều và ít xảy ra tình trạng thiếu nghiệm. Thật vậy để tìm được các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện bài toán thì (về mặt đồ thị) ta có các trường hợp sau (có thể) xảy ra giữa vị trí của đồ thị hàm số f(x) = 2mx2 – (1 – 5m)x +3m +1 và trục Ox thỏa mãn bài toán như sau: a) ( -2 b) ( -2 ) 0 d) ( -2 ) 0 c) e) ( -2 ) 0 ( -2 ) 0 ( -2 ) 0 ) 0 f) Nhìn vào đồ thị trong các trường hợp trên thì ta dễ dàng suy ra điều kiện cho các trường hợp của bài toán 3: Ứng với a) ta có điều kiện là TH1 Ứng với b) và c) ta có điều kiện chung là TH2 Ứng với d) và e) ta có điều kiện chung là TH3 Ứng với f) ta có điều kiện là TH4 Vì lý do đó mà tôi chọn đề tài: “Sử dụng đồ thị để giải một số bài toán tìm các giá trị của tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng trên tập D ” nhằm giúp các em học sinh cũng như các thầy cô giáo có những nhận xét đúng đắn để đưa ra lời giải đúng cho những bài toán về dạng này. II. THỰC TRẠNG CŨ VÀ GIẢI PHÁP MỚI: 1.Thực trạng cũ: Khi gặp các bài toán dạng này thì học sinh rất lúng túng và gặp nhiều khó khăn trong vấn đề đưa ra các trường hợp đúng để từ đó đi tìm được các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện bài toán. V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 2 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an 2.Giải pháp mới: Khi gặp bài toán dạng này thì học sinh nên vận dụng đồ thị để đưa ra các trường hợp đúng của bài toán, từ đó tìm được các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện của bài toán mà lại tránh được nhiều thiếu sót. III. NỘI DUNG: Trong khi chúng ta đi giải dạng toán này, nhưng chúng ta rất ít khi chú ý tới một kết quả rất đơn giản mà lại rất hữu ích sau đây: Nếu hệ số a > 0 thì Parabol y = ax 2 + bx + c có bề lõm quay lên trên. Trong hệ trục tọa độ Oxy, nếu ta xét vị trí tương đối của Parabol y = ax2 + bx + c với trục Ox thì có 3 khả năng sau: a) b) c) Nếu hệ số a < 0 thì Parabol y = ax2 + bx + c có bề lõm quay xuống dưới. Trong hệ trục tọa độ Oxy, nếu ta xét vị trí tương đối của Parabol y = ax2 + bx + c với trục Ox thì có 3 khả năng sau: a) b) c) *Chú ý: Trong các hình vẽ của các bài toán thì trục nằm ngang là trục Ox và Parabol là đồ thị của hàm số bậc hai. Để tìm các giá trị của tham số m sao cho tam thức bậc hai f(x,m) > 0 (hay f(x,m) < 0) trên tập D nào đó, có nghĩa là ta phải tìm các giá trị của tham số m để cho đồ thị hàm số f(x,m) nằm phía trên (hay nằm phía dưới) trục hoành (trục Ox) với mọi x thuộc tập D. Dựa vào những nhận xét đó thì việc giải các bài toán như đã nêu trong phần I là tương đối đơn giản. V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 3 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Ta lần lượt xét một số bài toán sau đây: Bài toán 4: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình f(x) = x2 + 2(2m+1)x + 4m2 – 3 > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (0 ; 1). Chỉ dẫn: Nếu khi gặp bài toán này mà chúng ta không cẩn thận thì việc giải nó thường rất dễ nhầm lẫn và dẫn đến thiếu nghiệm. Nhưng nếu dựa vào đồ thị, ta có nhận xét sau: Để tìm các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán, thì ta phải tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số f(x) = x2+2(2m+1)x +4m2 – 3 nằm phía trên trục hoành (trục Ox) với mọi x thuộc khoảng (0 ; 1). Vì hệ số a = 1 > 0 nên ta có các trường hợp có thể xảy ra sau đây: a) ( 0 b) ) 1 ( 0 c) ) 1 ( 0 ) 1 e) d) ( 0 ) 1 ( 0 ) 1 Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: �a  0 � �  0 Với trường hợp b) và c) thì tương ứng điều kiện �a  0 � �0 � � là: �af (1) �0 � �s �1 �2 V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 4 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Với trường hợp d) và e) thì tương ứng điều kiện là: a0 � �  �0 � � � af (0) �0 � �s �0 �2 Từ đó ta có lời giải bài toán này như sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 3 trường hợp sau: TH1: TH2: TH3: �a  0 � �  0  a0 � �  �0 � � � a. f (1) �0 � �s �1 �2 1 0 � � 2 2 �4(2m  1)  4(4m  3)  0  �a  0 � �0 � � �a. f (0) �0 � �s �0 �2 1 0 � � m �1 � � 2 8m �0 � � (2m  1) �1 �  1 0 � � m �1 � � 2  4m  3 �0 � � (2m  1) �0 �  m < -1  -1≤ m ≤ 1 � m �1 � � 3 � m ‫ڳ‬� � 2 � 1 � m � � 2 � m 3 2  m� 3 2 Kết hợp kết quả của 3 trường hợp trên ta được m R đều thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán 5: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình f(x) = x2 – m(m-2)x + 2m2 – 4 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [1 ; 2]. Chỉ dẫn: Với bài toán này nếu chúng ta biết minh họa bằng đồ thị thì nó có các trường hợp sau có thể xảy ra: a) b) c) [ ] [ ] [ ] 1 2 1 2 1 2 V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 5 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: a0 � � af (1)  0 � � af (2)  0 � Với trường hợp b) thì tương ứng điều kiện là: a0 � � af (1) �0 � � af (2) �0 � Với trường hợp c) thì tương ứng điều kiện là: a0 � � af (1)  0 � � af (2)  0 � Kết hợp 3 điều kiện trên ta được điều kiện chung là: a0 � � af (1) �0 � � af (2) �0 � Do đó ta có lời giải bài toán 5 như sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn điều kiện sau: a0 � � a. f (1) �0 � � a. f (2) �0 � Giải hệ trên ta sẽ tìm được kết quả của bài toán. Bài toán 6: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình f(x) = -2x2 +(m-3)x +m-3 < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [-1; 0]. Chỉ dẫn: Đây là bất phương trình bậc hai có hệ số a < 0, nên khi giải ta nên để ý rằng đồ thị của f(x) có thể có các khả năng sau đây xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán: -1 [ 0 ] -1 [ a) 0 ] -1 [ b) -1 [ 0 ] 0 ] c) -1 [ 0 ] V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng d) e)D¬ng I 6 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: �a  0 � �  0 Với trường hợp b) và c) thì tương ứng điều kiện là: Với trường hợp d) và e) thì tương ứng điều kiện là: a0 � �  �0 � � � af (1)  0 � �s  1 �2 a0 � �  �0 � � � af (0)  0 � �s  0 �2 Từ nhận xét đó ta có lời giải bài toán như sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 3 trường hợp sau: TH1: TH2: TH3: �a  0 � �  0 a0 � �  �0 � � � af (1)  0 � �s  1 �2 a0 � �  �0 � � � af (0)  0 � �s  0 �2 Kết hợp kết quả của 3 trường hợp trên ta tìm được các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán7: Tìm các giá trị của tham số m ≠ 0 để bất phương trình f(x) = -m2x2 + 2(m+2)x -1 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc đoạn [0 ; 1]. V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 7 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Chỉ dẫn: Trong bài toán này ta thấy rằng nếu m ≠ 0 thì hệ số a < 0, nên bài toán chỉ có một khả năng duy nhất xảy ra như sau: [ 0 ] 1 Từ đó ta có lời giải của bài toán như sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn điều kiện: a0 � � af (0)  0 � � af (1)  0 � Giải hệ trên ta được các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán 8: Tìm các giá trị của tham số m ≠ 0 để bất phương trình f(x) = mx2 +2(m+1)x + 4m > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-2; +∞). Chỉ dẫn: Đây là một bất phương trình mà hệ số a ta chưa biết là âm hay dương, khi gặp bài toán này thường học sinh rất lúng túng. Nhưng nếu dựa vào đồ thị ta có nhận xét về các trường hợp có thể xảy ra như sau: Nếu hệ số a < 0 thì đồ thị của f(x) quay bề lõm xuống dưới nên không có trường hợp nào xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán. Nếu hệ số a > 0 thì (về đồ thị) ta có các trường hợp (có thể) xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán như sau: a) ( -2 b) +∞ ( -2 c) +∞ ( -2 V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I +∞ 8 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an �a  0 Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: �  0 � Với trường hợp b) và c) thì tương ứng điều kiện là: �a  0 � �0 � � �a. f (2) �0 � �s �2 �2 Từ những nhận xét đó ta có lời giải của bài toán như sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 2 trường hợp sau: TH1: �a  0 � �  0 TH2: �a  0 � �0 � � �af ( 2) �0 � �s �2 �2 Kết hợp kết quả của 2 trường hợp trên ta tìm được các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán 9: Tìm các giá trị của tham số m ≠ 0 để bất phương trình f(x) = mx2 +4(m-1)x + m – 1 < 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-∞ ; 1). Chỉ dẫn: Bài toán này có dạng giống như bài toán 8, khi giải nó ta cũng có nhận xét như sau: Vì m ≠ 0 nên hệ số a ≠ 0 Nếu hệ số a > 0 thì không có trường hợp nào thỏa mãn điều kiện bài toán. Nếu hệ số a < 0 thì (về đồ thị) ta có các trường hợp (có thể) xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán là: -∞ 1 ) a) -∞ 1 ) b) -∞ 1 ) c) V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 9 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: �a  0 � �  0 Với trường hợp b) và c) thì tương ứng điều kiện là: �a  0 � �0 � � �af (1) �0 � �s �1 �2 Từ những nhận xét đó ta có lời giải của bài toán như sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 2 trường hợp sau: TH1: �a  0 � �  0 TH2: a0 � �  �0 � � � af (1) �0 � �s �1 �2 Kết hợp kết quả của 2 trường hợp trên ta tìm được các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán 10: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình f(x) = x2 -2(m+1)x -2m -2 ≥ 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng [-1 ; 1). Chỉ dẫn: Vì hệ số a =1 > 0 nên (về đồ thị) ta có các trường hợp sau có thể xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán như sau: a) [ -1 b) ) 1 [ -1 d) ) 1 c) [ -1 ) 1 e) V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I [ ) [ ) -1 1 -1 1 10 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: �a  0 � �  0 Với trường hợp b) và c) thì tương ứng điều kiện Với trường hợp d) và e) thì tương ứng điều kiện �a  0 � �0 � � là: �af (1)  0 � �s  1 �2 a0 � �  �0 � � là: �af (1) �0 � �s �1 �2 Từ nhận xét đó ta có lời giải của bài toán này như sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 3 trường hợp sau: TH1: TH2: TH3: �a  0 � �  0 a0 � �  �0 � � � af (1)  0 � �s  1 �2 a0 � �  �0 � � � af (1) �0 � �s �1 �2 Kết hợp kết quả của 3 trường hợp trên ta tìm được các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán 11: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình f(x) = x2 +m(m+1)x +6m - 3 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc tập [-1 ; 0]  [2 ; 3]. Chỉ dẫn: V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 11 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Vì hệ số a = 1 > 0 nên (về đồ thị) ta có các trường hợp sau có thể xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán: a) [ -1 ] 0 b) [ 2 ] 3 [ -1 c) [ -1 ] 0 [ 2 ] 3 Với trường hợp Với trường hợp [ 2 ] 3 d) [ -1 ] 0 Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: Với trường hợp ] 0 [ 2 ] 3 �a  0 � �  0 a0 � �  �0 � � b) thì tương ứng điều kiện là: �af (1)  0 � �s  1 �2 a0 � �  �0 � � c) thì tương ứng điều kiện là: �af (3)  0 � �s  3 �2 � � a0 �  �0 � � d) thì tương ứng điều kiện là: �af (0)  0 � af (2)  0 � � s 0 2 � � 2 Từ nhận xét đó ta có lời giải của bài toán này như sau: V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 12 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 4 trường hợp sau: TH1: �a  0 � �  0 TH2: a0 � �  �0 � � � af (1)  0 � �s  1 �2 TH3: a0 � �  �0 � � � af (3)  0 � �s  3 �2 TH4: � � a0 �  �0 � � af (0)  0 � � af (2)  0 � � s 0 2 � � 2 Kết hợp kết quả của 4 trường hợp trên ta tìm được các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán 12: Tìm các giá trị của tham số m ≠1 để bất phương trình f(x) = (m -1)x2 +2mx + 6m 2 - 3 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc tập [0 ; 1]  [4 ; 5]. Chỉ dẫn: Nếu m > 1 thì (về đồ thị) ta có các trường hợp sau có thể xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán: a) [ 0 ] 1 b) [ 4 ] 5 [ 0 c) [ 0 ] 1 [ 4 ] 5 ] 1 [ 4 ] 5 [ 4 ] 5 d) [ 0 ] 1 Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: �a  0 � �  0 V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 13 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Với trường hợp Với trường hợp Với trường hợp a0 � �  �0 � � b) thì tương ứng điều kiện là: �af (0)  0 � �s  0 �2 a0 � �  �0 � � c) thì tương ứng điều kiện là: �af (5)  0 � �s  5 �2 � � a0 �  �0 � � d) thì tương ứng điều kiện là: �af (1)  0 � af (4)  0 � � s 1  4 � � 2 Nếu m < 1 thì (về đồ thị) ta có duy nhất trường hợp sau có thể xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán: [ 0 ] 1 [ 4 ] 5 e) Với trường hợp này thì tương ứng điều kiện là: a0 � � af (0)  0 � � af (5)  0 � Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 5 trường hợp sau: TH1: �a  0 � �  0 TH2: a0 � �  �0 � � � af (0)  0 � �s  0 �2 TH3: a0 � �  �0 � � � af (5)  0 � �s  5 �2 V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 14 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an TH4: � � a0 �  �0 � � af (1)  0 � � af (4)  0 � � s 1  4 � � 2 TH5: a0 � � af (0)  0 � � af (5)  0 � Kết hợp kết quả của 5 trường hợp trên ta tìm được các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. IV. KẾT LUẬN: Việc sử dụng đồ thị của một hàm số bậc hai để giải toán là điều hoàn toàn hợp lí và phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Nếu biết nhìn nhận đúng đắn chúng ta cũng có thể nhận xét được nhanh kết quả của một số bài toán mà không cần phải giải nó, giả sử ta có các bài toán sau đây: Bài toán 13: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình f(x) = 3x2+ (2m-1)x –m2 +12 < 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (0; +∞). Bài toán 14: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình f(x) = -(2m2+1)x2+ 2mx +m - 2 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-∞ ; 1). Với hai bài toán 13; 14 và cũng giống như bài toán 2 đã nêu trong phần I, thì đây là những bài toán vô nghiệm (nghĩa là không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán). Điều này được giải thích dựa trên đồ thị của nó như sau: Nếu hệ số a > 0 thì đồ thị của hàm số bậc hai chỉ có thể có một phần ứng với x  (x1 ; x2) nằm dưới trục Ox mà thôi. Do đó với bài toán 13 thì không thể tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn được điều kiện bài toán. Nếu hệ số a < 0 thì đồ thị của hàm số bậc hai chỉ có thể có một phần ứng với x  (x1 ; x2) nằm trên trục Ox mà thôi. Do đó với bài toán 14 thì cũng không thể tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn được điều kiện bài toán. (Với x1 và x2 nói trong 2 trường hợp trên là nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = 0) V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 15 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Với việc sử dụng đồ thị của một hàm số bậc hai đúng đắn, học sinh có thể áp dụng nó để giải quyết các dạng bài toán đã nêu ở trên và các bài toán tương tự một cách hiệu quả./. V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 16 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 17 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 18 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 19 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 20
- Xem thêm -