Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN CƯM’GAR
TRƯỜNG THCS NGUYỄN HUỆ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG NHỮNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC “NON STANDARD
PROBLEMS” TRONG RÈN LUYỆN TƯ DUY TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH GIỎI BẬC
TRUNG HỌC CƠ SỞ.
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
CưM’gar, tháng 12 năm 2009
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :1
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------PHẦN A : MỞ ĐẦU
Trong thời kỳ phát triển và hội nhập, cộng với việc gia nhập tổ chức WTO đã mở
cho đất nước ta rất nhiều cơ hội lớn nhưng cũng không ít những thách thức lớn. Trước
một thực tại như vậy , nước ta lại phải cùng một lúc giải quyết ba nhiệm vụ : Thoát khỏi
tình trạng nghèo nàn lạc hậu của nền kinh tế nông nghiệp ; đẩy mạnh công nghiệp hóa ,
hiện đại hóa và đồng thời tiếp cận ngay với nền kinh tế tri thức . Để làm nên sự nghiệp ấy
đòi hỏi rất nhiều yếu tố tác động tới, trong đó có việc thích ứng ngay với nền kinh tế tri
thức của thế giới . với bộ môn toán nếu “Toán học là một môn thể thao của trí tuệ” thì
công việc của người dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào
thuận lợi hơn môn toán trong công việc đầy hứng thú và khó khăn này.
Là một giáo viên giảng dạy môn toán hơn 9 năm và làm công tác quản lý được
2 năm tôi luôn luôn trăn trở rất nhiều về quá trình học toán và làm toán của các em học
sinh, trong quá trình học toán, làm toán các em học sinh có thể gặp đây đó những bài
toán mà đầu đề có “vẻ lạ”, “không bình thường”, những bài toán không thể giải bằng
cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc. Những bài toán như
vậy thường được gọi là “không mẫu mực”(non standard problems) có tác
dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học và thường là sự thử thách đối với
học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán, thi vào đại
học.Đương nhiên quen thuộc hay “không mẫu mực” chỉ là tương đối, phụ thuộc vào
trình độ, kinh nghiệm của người giải toán, có bài toán là “lạ”, “không mẫu mực” đối với
người này nhưng lại quen thuộc đối với người khác.
Để đạt được mục tiêu này tôi xin chân thành cảm ơn tập thể GV- CBCNV trường
THCS Nguyễn Huệ đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành SKKN.
Chân thành cảm ơn!
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :2
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------PHẦN B : ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Lý do : Năm học 2009 – 2010 với chủ đề “ Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất
lượng dạy học”, là Phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn tôi nhận thấy việc đào tạo
chất lượng mũi nhọn là một trong những nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu, trong đó đầu tư
tập trung cho khối 8 và 9 nhằm đào tạo và phát hiện ra những học sinh có tố chất, học
sinh giỏi là rất quan trọng vì vậy tôi mạnh dạn xây dựng SKKN này với mong muốn các
thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường cùng tham khảo .Trong quá trình học
toán, làm toán các em học sinh có thể gặp những bài toán không thể giải bằng cách áp
dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc. Những bài toán như vậy
thường được gọi là “không mẫu mực” (non standard problems). Những bài
toán đó có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học và thường là sự thử
thách đối với học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán, thi
vào đại học. Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán, đã tổng hợp,
phân loại và hướng dẫn phương pháp giải đối với nhiều phương trình và hệ phương
trình “không mẫu mực” ở các lớp 8 , 9 và các lớp đầu cấp THPT, tôi mạnh dạn xây
dựng SKKN này nhằm giúp các em học sinh luyện tập để nhiều bài toán giải phương
trình và hệ phương trình “không mẫu mực” dần trở thành “quen thuộc” với mình, qua
đó biết cách suy nghĩ trước những phương trình và hệ phương trình “ không mẫu mực”
khác.
1. Mục đích :Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn đưa ra những kinh nghiệm và
những bài học thực tiễn qua quá trình bồi dưỡng nhiều năm học sinh giỏi, giảng
dạy cho các em học sinh có tố chất và yêu thích toán học tại trường THCS Nguyễn
Huệ
2. Tính thực tiễn, ý nghĩa : Qua nhiều năm bồi dưỡng tôi nhận thấy phương trình và
hệ phương trình không mẫu mực được quan tâm và ra đề thi nhiều trong các kỳ thi
học sinh giỏi các cấp vì vậy , cho đến năm học 2008 – 2009 đã thôi thúc tôi viết lên
những kinh nghiệm nhỏ trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đến nay tôi nhận
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :3
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------thấy đề tài phần nào đã đem lại hiệu quả cao, chất lượng học sinh giỏi cấp trường,
cấp huyện và học sinh giỏi toàn diện đi lên, các thầy cô cũng đã quan tâm nhiều
hơn đến phương trình và hệ phương trình không mẫu mực vì vậy không gặp khó
khăn trong quá trình giảng dạy học tập và bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN :
1. Cơ sở lí luận khoa học :
Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm
chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống
của học sinh. Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc
lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết trong việc học
toán. Chính vì vậy bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em
một số vốn kiến thức thông qua việc làm bài tập càng nhiều, càng tốt, càng khó càng hay
mà phải cần thiết rèn luyện khả năng phát triển tư duy, sáng tạo làm toán cho học sinh,
đặc biệt đối với những bài toán được các em coi là “lạ”.
2. Cơ sở lý luận thực tiễn:
Qua nhiều năm công tác giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy việc học toán
nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được
tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi người thầy (cô) cần phải có
nhiều phương pháp và nhiều cách hướng dẫn học sinh tiếp thu và tiếp cận bài giải. Đặc
biệt qua những năm giảng dạy thực tế ở trường trung học cơ sở Nguyễn Huệ việc có
được học sinh giỏi của môn Toán là một điều rất khó mà không phải giáo viên toán nào
cũng có thể làm được nếu không biết đầu tư, không thực sự nhiệt tình và không nghiên
cứu các chuyên đề về Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực,hoặc các chuyên
đề khác, tuy nhiên có nhiều nguyên nhân có cả khách quan và chủ quan. Song đòi hỏi
người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp và cách giải qua một
bài Toán để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động tư duy sáng tạo, phát triển
bài toán và có thể đề xuất hoặc tự làm những bài toán tương tự đã được nghiên cứu bồi
dưỡng.
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :4
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------III.
THỰC TRẠNG:
* Thuận lợi: Là một phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn có 9 năm giảng dạy
và 5 năm làm tổ trưởng tổ toán, 2 năm làm quản lý .Năm học 2008 – 2009 được sự chỉ
đạo, quan tâm của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động đặc biệt trong họat
động chuyên môn, luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập và nghiên cứu,
phát huy các phương pháp dạy học đổi mới sáng tạo nhất. Bên cạnh đó các môn học khác
có học sinh giỏi huyện luôn khuyến khích các giáo viên dạy toán và học sinh phải năng
động tìm tòi, tư duy sáng tạo trong việc dạy và học toán. Mặt khác trong sự nghiệp giáo
dục của huyện CưMgar nói chung , và trường THCS Nguyễn Huệ nói riêng đã có nhiều
thay đổi đáng kể, đã có rất nhiều học sinh giỏi cấp tỉnh, giỏi cấp huyện, do đó các cấp uỷ
Đảng chính quyền, các bậc phụ huynh, đặc biệt Hội khuyến học xã đã có phần quan tâm
động viên hơn đối với sự nghiệp giáo dục của xã và nhà trường.
* Khó khăn: Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như:
Điều kiện cơ sở vật chất của nhà trường thiếu thốn, không có phòng học để mở việc bồi
dưỡng cho học sinh khá giỏi theo một trình tự có hệ thống từ các lớp nhỏ đến lớp lớn, cụ
thể từ lớp 6 đến lớp 9. Phòng thư viện của nhà trường còn ít đầu sách, do đó việc tìm tòi
sách đọc là vấn đề hạn chế. Nhưng khó khăn nhất vẫn là các em học sinh do điều kiện
của địa phương với đặc thù là vùng 2 của huyện , số nhân khẩu đông, điều kiện kinh tế
khó khăn,dân di cư tự do nhiều, vì vậy việc quan tâm đến học hành còn hạn chế nhiều về
tinh thần và vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành của các em đặc biệt là môn toán.
Vì vậy để cho môn toán ngày càng được nhiều học sinh yêu thích trước hết người
Thầy phải tác động như thế nào đó vào tiềm thức của các em, không những học sinh khá,
giỏi mà cần phải đánh thức các em có học lực trung bình và những học sinh chưa thật sự
yêu thích môn toán, để đạt được các mục tiêu này cần phải có một cú “hích” đó chính là
đào tạo , phát hiện ra những học sinh giỏi nhằm khuyến khích động viên các em kịp thời ,
là nhân tố khơi dậy và là tấm gương sáng cho những học sinh khác noi theo.
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :5
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------IV.
GIẢI PHÁP THỰC HIỆN (NỘI DUNG SKKN) :
Phương trình
Phần I :
I/ Phương trình một ẩn
Phương pháp thường vận dụng :
1/
Đưa về phương trình tích :
a/Các bước :
+ Tìm tập xác định của phương trình
+ Dùng các phép biến đổi đại số đưa PT về dạng f(x).g(x)....h(x)=0
+ Dùng ẩn phụ
+ Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách số hạng....
b/ Ví dụ1 : Giải phương trình :
x 2 10 x 21 3 x 3 2 x 7 6
� ( x 3)( x 7) 3 x 3 2 x 7 6
� x 3( x 7 3) 2( x 7 3) 0
� ( x 7 3)( x 3 2) 0
�x 7 3 0
� �
�x 3 2 0
x7 9
�
� �
x3 4
�
ĐS : x=1; x= 2.
Ví dụ 2: Giải phương trình :
3
1 x x 2 1
Giải : Điều kiện x �- 2
Đặt : t x 2 ( t �0)
�
3
3 t2 t 1
�
3
3 t2 1 t
� 3- t2 = (1- t)3
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :6
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------� t3 – 4t 2 + 3t + 2 = 0
� (t-2)( t2 – 2t – 1) = 0
Đs : x= 2; x= 1+ 2 2
c/ Bài toán áp dụng :
1.Giải phương trình :
a/
x 294 x 296 x 298 x 300
4
1700
1698
1696
1694
Đs : x= 1994.
b/
c/
3
2
ĐS : ; 2
3x+1 +2x.3x – 18x – 27 = 0
(x2 – 4x + 1)3 = (x2 –x - 1)3 –( 3x-2)3
gợi ý : áp dụng HĐT (a - b)3 - (a3 –b3 )= -3ab( a - b)
ĐS : 2 � 3;
d/
1� 5 2
;
2
3
(x2 – 3x + 2)3 + (- x2 +x + 1)3 + ( 2x-3)3 = 0
Gợi ý : áp dụng HĐT (a - b)3 + (b - c)3 +(c - a)3 = 3(a –b )(b – c)(c- a)
Đáp số : 2;1;
1� 5 3
;
2
2
2/ Áp dụng bất đẳng thức :
a/ Các bước :
+ Biến đổi phương trình về dạng : f(x) = g(x) mà f(x) �a ; g(x) �a (a là hằng số)
Nghiệm là các giá trị x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a.
+ Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m ( m là hằng số) mà ta luôn có : h(x) �m
hoặc h(x) �m thì nghiệm của PT là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra.
+ Áp dụng BĐT : Cô si, Bunhia kốpxki, .........
b/ Ví dụ1 : Giải phương trình :
19
x 1
5
4
x 2 1
95
6
x 2 3 x 2
3
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :7
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------�x 1 �0
�2
Điều kiện : �x 1 �0
�x 2 3x 2 �0
�
Ta có :
19
x 1
5
4
x 2 1
95
6
x 2 3 x 2
�190 50 950 3
Nên x - 1 = 0 ; x2 – 1 = 0 và x2 – 3x + 2 = 0
Đáp số : x = 1
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
x2 – 3x + 3,5 = ( x 2 2 x 2)( x 2 4 x 5)
Hướng giải : ta có
x2 – 2x + 2 = ( x - 1)2 + 1 > 0
x2 – 4x + 5 = ( x - 2)2 + 1 > 0
x2 – 3x + 3,5 =
(x 2 – 2x 2)(x 2 – 4x 5 )
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương :
(x2 – 2x + 2 ) và
(x2 – 4x + 5)
Đáp số : x = 3.
c/ Bài toán áp dụng :
a/ x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
gợi ý : ( x 1 2) 2 ( x 1 3) 2 1
áp dụng bất đẳng thức : a b �a b
dấu bằng sảy ra khi ab �0 với a= x 1 2 ; b= 3- x 1
b/ 13[(x2 – 3x +6)2 + (x2 -2x + 7)2] = ( 5x2 – 12x + 33)2
Gợi ý : sử dụng BĐT Bunhia cốpxki cho 4 số : (a2 + b2)(c2 + d2) �(ac + bd)2
Đáp số : x = 1; 4
3/ Chứng minh nghiệm duy nhất :
a/ Các bước :
Ta có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm sau đó chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra
không còn nghiệm nào khác nữa :
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :8
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------b/ Ví dụ
Ví dụ 1:Giải phương trình :
25(3
2
2
Gợi ý : ( x 4) 1
3
x 4 8 x 2 14
7
25
( x 2 4)2 2
1 4
x 4 x 2 8
2
7
4
2
4
2
) 29 18.3x 8 x 12 7 x 8 x 16
( x2 4) 2
(1)
29
x = � 2 là nghiệm số của (1)
Xét x �� 2, (giáo viên hướng dẫn cho học sinh xét x �� 2)
Đáp số : x = � 2
Ví dụ 2: Giải phương trình :
x
2 x ( 3) 1
Giải :
�
1 (
3 x
1
) ( )x
2
2
(*)
Dễ thấy : x= 2 là nghiệm của *
Xét x > 2 . Ta có (
Xét x< 2 ta có : (
3 x
1
3
1
) ( ) x ( )2 ( )2 1
2
2
2
2
3 x
1
3
1
) ( ) x ( )2 ( )2 1
2
2
2
2
Vậy ta có nghiệm duy nhất là 2.
c/ Bài toán áp dụng :
Giải phương trình :
1.
2x + 3x + 5x-1 = 21-x + 31-x + 51-x
2.
3x + 4x = 5x
4/ Đưa về hệ phương trình
a/ Các bước :
- Tìm ĐK tồn tại của phương trình.
- Biến đổi PT để xuất hiện nhân tử chung.
- Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc GPT về việc giải HPT quen thuộc.
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :9
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------b/ Ví dụ
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
4 4 x x
�x �0
�
x
0
Điều kiện : �4 ��
�
�4 4 x �0
0
x 12
Đặy y = 4 x ta có hệ phương trình :
�
�x 4 y
�
�y 4 x
Đây là bài toán quen thuộc nên giải một cách dễ dàng
Lưu ý : x + y
�0
x1
1 13
1 13
; x2
; (loại)
2
2
Đáp số : x1
1 13
2
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
4 4 x x
Giải : Điều kiện :
�x �0
�
x
0
�4 ��
�
�4 4 x �0
0
x 12
Đặt y = 4 x ta có hệ phương trình :
�
�x 4 y
�
�y 4 x
�x 2 4 y
�x 2 y 2 ( x y )
�
�
� �2
� �2
�y 4 x
�x 4 y
( x y )( x y 1) 0
�
� �2
�x 4 y
�x y 1 0
Vì x + y � 0 nên ta có hệ : �2
�x 4 y
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :10
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Suy ra : x2 = 4 – x – 1 � x2 + x – 3 = 0
Suy ra : x1
1 13
1 13
; x2
(loại)
2
2
Đáp số : x
1 13
;
2
c/ Bài toán áp dụng :
Giải phương trình :
1.
2 – x 2 = 2 x
2.
x3 + 1 = 2
3
3
3.
(3x 1) 2
II/ Phương trình nhiều ẩn :
1/ Đưa về phương trình tích :
2x 1
3
(3 x 1) 2 9 x 2 1 1
a/Các bước :
Đưa phương trình về dạng f1(x,y,....).....fn(x,y......) = a1.a2.........an .
Với a1; a2;.......;an � Z. rồi sử dụng tính chất của tập hợp số tự nhiên , tập hợp số
nguyên ......, f1(x,y,....); f2(x,y........); ....fn(x,y......) � Z
Xét mọi trường hợp có thể sảy ra để tìm được nghiệm thích hợp của phương trình.
b/ Ví dụ1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x2 + 91 = y2
(1)
(1) � y2 – x2 = 91
�
y x y x 91
Vì y >0; x >0; y x y x
Và y - x >0
91 = 1.91 = 13. 7
�
�
�y
�
�
�
�y
Nên ta có : �
�
�
�y
�
�
�y
�
x 91
x 1
x 13
x 7
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :11
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 45
�
�
�x
�
�
�
�y
� �
�
�
�x
�
�
�y
�
46
3
10
Nghiệm của phương trình là : (45;46);(45;-46); (-45;-46);
(3;10); (3;-10); (-3;10); (-3;-10)
Ví dụ 2: Tìm nhiệm tự nhiên của phương trình sau :
2m – 2n = 1984 (2)
+
( Đề thi HSG toán tỉnh Nghĩa Bình năm 1984)
Với m �n thì 2m – 2n �0 thì (2) không sảy ra
+ Với n = 0 thì 2m -1 = 1984
Không có số tự nhiên nào thỏa mãn đẳng thức này.
+ Với m �n �1
2m – 2n = 1984
� 2n( 2m-n – 1)= 26. 31
�
�2n 26
�m n
�2 1 31
�
�n 6
�
�m 11
Nghiệm tự nhiên của phương trình là m=11; n = 6.
c/ Bài toán áp dụng :
Tìm nhiệm tự nhiên của phương trình sau :
1.
x2 (x2 + 2y) – y2 (y + 2x) = 1991 ( Đêt thi hsg toán 9 Hà Nội 1990 – 1991).
ĐS : x = 12; y = 1.
2.
x4 = y2 (y- x2)
ĐS : x= y = 0
2/ Đưa về phương trình tổng :
a/Các bước :
+ Biến đổi phương trình về dạng sau :
Dạng 1 : f1k ( x; y;...) f 2k ( x; y;...) ..... f nk ( x; y;...) a1k a2k ... ank
Với k; a1; a2;.......;an � Z.
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :12
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------f1(x,y,....); f2(x,y........); ....fn(x,y......) � Z
Xét mọi trường hợp có thể sảy ra để tìm được nghiệm thích hợp.
Dạng 2 :
f ( x, y,....) m
g ( x, y ,.....) n
Với m, n � Z cụ thể ; b>0
Vận dụng điều đã được chứng minh sau :
“ Mọi số hữu tỉ đều được biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng một liên
phân số bậc n”
a
1
q0
1
b
q1
q2 ..
1
qn
Trong đó q0 là số nguyên ; q1......nguyên dương và qn > 1
Đôi khi dùng bất đẳng thức để tìm nghiệm nguyên của phương trình.
b/ Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x2 – 4xy + 5y2 = 169
(1)
(1) � (x - 2y)2 + y2 = 169
Số 169 chỉ có 2 cách phân tích thành tổng hai số chính phương :
169 = 132 + 02 = 122 + 55
Mà y � Z+ ; x 2 y � N
Do đó có các khả năng sau :
1.
x 2 y 0 ; y= 13 suy ra x = 26 ; y= 13
2.
x 2 y 5 ; y= 12 suy ra x = 29 ; y= 12
Hoặc x= 19 ; y = 12
3.
x 2 y 12 ; y= 5 suy ra x = 22 ; y= 5
Hoặc x= -2 ; y= 5 (loại)
Thử lại ta có nghiệm nguyên dương (x;y) của phương trình là :
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :13
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------(26 ; 13); (29;12); (19;12); (22;5)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x2 + 13y2 = 100 +6xy
Giải :
� (x - 3y)2 + (2y)2 = 100
� ( x 3 y )2 + ( 2 y )2 = 100
Mà
100 = 02 + 102 = 62 + 85
x 3y ;
2 y �N
Từ đó giáo viên có thể đưa ra nghiệm của pt như sau :
(15 ; 5); (-15;-5); (10; 0); (-10;0); (18 ; 4); (-18;-4); (6;4);
(-6;-4); (17 ; 3); (-17;-3); (1; 3); (-1;- 3) .
Chú ý :
1. Tìm nghiệm nguyên của một số phương trình có dạng :
ax2 + bxy + cy2 + d = 0
(a ; b;c;d là các hằng số nguyên )
Có thể giải được bằng PP trên.
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
3x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2xz = 26 – 2yz
� x2 +(x2+ 2xy + y2 )+ (x2+ y2 + z2 +2xy+ 2xz + 2yz) = 26
� x2 +(x+y)2+ (x+y+z) 2 = 26
vì x , y, z nguyên dương nên 1 �x< x + y < x + y + z
mà 26 = 12 + 32 + 42
do đó ta có :
�x y z 4
�
�x y 3
�x 1
�
�x 1
�
� �y 2
�z 1
�
Nghiệm nguyên dương là ( 1;2;1)
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :14
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------2.Nếu phương thình có dạng :
f1k ( x; y;...) f 2k ( x; y;...) ..... f nk ( x; y;...) a
Mà a � N, f i ( x; y;...); i 1, 2...., n � N
k
Thì ta viết a dưới dạng
a m1h m2g ..... mnk ' ( x; y;...)
mi �N; i = 1,2....., n
xét các trường hợp có thể sảy ra, từ đó tìm được nghiệm thích hợp
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
x
1
y
1
z
10
7
10
viết dưới dạng liên phân số hữu hạn như sau :
7
10
1
1
1
7
2
3
x
Do đó ta có :
1
y
1
z
1
1
2
1
3
Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có :
x = 1 ; y = 2 ; x = 3.
c/ Bài toán áp dụng :
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau :
1,
31(xyzt+ xy + xt + zt + 1 ) = 40 ( yzt + y + t)
Đáp số nghiệm tự nhiên của phương trình là ( 1; 3 ; 2 ; 4 )
2,
55( x3y3 + x2 + y2 )= 229( xy3 + 1 )
Đáp số : (2;3)
3.
(x2 + 4 y2 + 28 )2 = 17(x4 + y4 +14y2 +49)
Gợi ý : sử dụng Bunhia Kopski
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :15
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Đáp số : (2;3).
4. Tìm các giá trị nguyên dương khác nhau x1;....xn sao cho :
1 1
1
2 ........... 2 1
2
x1 x2
xn
Đáp số : không có giá trị nguyên nào thỏa mãn YCBT.
3/ Nhận xét về ẩn số :
a/Các bước :
1.
Trước khi bắt tay vào giải toán, ta nên nhận xét xem vai trò của các
ẩn số , cấu trúc của ẩn. Để có một cách giải phù hợp.
2.
Nếu các ẩn (x;y;z.....) có vai trò bình đẳng như nhau, thì ta có thể
giả sử x �y �...... hoặc x �y �..........để thu hẹp miền xác định của bài toán.
3.
Nếu ẩn có cấu trúc giống nhau, như lũy thừa cùng bậc của các số
nguyên liên tiếp hoặc tích các số nguyên liên tiếp.......thì ta “khử ẩn” để đưa
phương trình về dạng quen thuộc hơn hoặc ít ẩn hơn.
4.
Thường vận dụng hai nhận xét sau :
a) xn < yn < (x + a)n ; (a � Z+)
suy ra : y = (x + a+ i)n . với i = 1;2;........; a-1.
b) x(x+ 1) .....(x + n) < y (y+1)........(y+ n) < (x + a)( x+ a + 1) ....(x + a+ n)
a � Z+
Suy ra : y(y +1) ....(y + n) = (x+ i)(x + i +1)..........(x + i + n) . với i = 1;...;a-1.
b/ Vd :
Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
1 1 1
2
x y z
Giải : do vai trò bình đẳng của x , y , z nên ta có thể giả sử :
x �y �z.
ta có :
1 1 1 1
3. � 2
x x y z
suy ra
x=1
1
1 1 2
� � y 1 hoặc y = 2
y z y
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :16
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------y=1 loại vì
1
0
z
y= 2 suy ra z = 2.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : ( 1; 2 ; 2 ) và các hoán vị.
Ví dụ 2 : Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình :
x + y + 1 = xyz
Giải : vai trò của x, y bình đẳng nên giả sử x �y ta có :
+
x = y thì
2x + 1 = x2z � x( xz -2 ) =1
� x = 1 ; xz – 2 = 1
� x = 1 ; z = 3.
+ x > y thì 2x +1 > xyz. � 2x > xyz.
Hay 2 �yz ( vì x khác 0)
y=1,z=2 � x=2
y= 2 , z = 1 � x = 3
Vậy nghiệm tự nhiên của PT là : (1;1;3 ); ( 2;1;2); ( 1;2;2); (3;2;1); (2;3;1).
c/ Bài toán áp dụng :
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau :
1.
4/
xy xz yz
3
z
y
x
2.
5(x + y + z +t) = 2xyzt- 10
3.
y3 – x3 = 3x
4. Giải phương trình : x6 – x2 + 6 = y3 - y
Vận dụng tính chất của tập hợp số nguyên :
a/Các bước :
+ Vận dụng tính chất chia hết hoặc tính chất của phép chia có dư trong tập hợp số
nguyên để tìm nghiệm.
+ Vận dụng tính chất của số nguyên tố , số vô tỉ để tìm nghiệm.
+ Ví dụ : các mệnh đề đúng :
+ Mệnh đề 1 : với mọi số nguyên a, số a2 + 1 không có ước nguyên tố dạng 4k + 3; k
� Z+.
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :17
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------+ Mệnh đề 2 : cho p là một số nguyên tố dạng 4k + 3 ; k � Z+ , a nà b là các số
nguyên, khi đó nếu a2 + b2 chia hết cho p thì a chia hết cho p; b chia hết cho p.
b/ Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
4xy – x – y = z2
Giải : � (4x – 1) (4y – 1) = ( 2z)2 + 1
Giả sử : (xo ; yo ; zo ) là nghiệm của phương trình:
Ta có : (4xo – 1) (4yo – 1) = ( 2zo)2 + 1
Vì :
4xo – 1 là số nguyên dương lớn hơn 3 và có dạng 4m + 3 , m � Z+, nên nó có
ít nhất một ước nguyên tố dạng 4k + 3, k thuộc Z+
Nhưng theo mệnh đề 1 thì ( 2zo)2 + 1 không có ước nguyên tố dạng 4k + 3
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:
x3 – 63y2 + 36z = 1995
Giải : ta có x3 chia cho 9 dư 0 hoặc 1 hoặc 8.
Thật vậy đặt : x = 3a + r
( a � Z; r = 0 ; 1 ; -1 )
x3 = (3a +r)3 = 9M + r3
Rõ ràng x3 có dạng 9k; 9k + 1; 9k – 1
Suy ra
Vế trái của phương trình chia cho 9 có dư là 0 hoặc 1 hoặc 8
Vế phải của phương trình chia cho 9 có dư là 6
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
c/ Bài toán áp dụng :
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :
1.
4xy – y = 9x2 – 4x + 2
2.
x2 – y3 = 7
3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
13 x 7 y 2000
4.Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :
a/
b/
11x
2x 1 3 y 4 y 1 2
5
5x
y 3x 2 2 y 1 1
3
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :18
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------5/ Chứng minh bằng phản chứng :
a/Các bước :
Ta có thể dùng phương pháp phản chứng sau đây : Giả sử phương trình có
nghiệm nguyên ( x0; y0; .....) rồi xây dựng dãy vô số ngiệm từ đó đi đến mâu thuẫn
hoặc giả sử phương trình có nghiệm nguyên ( x0; y0; .....) với x0 có giá trị nhỏ nhất
trong những giá trị có thể của nó rồi chứng minh phương trình có nghiệm ( x1;
y1, .....) mà x0 > x1.
b/ Ví dụ :
Ví dụ 1 Tìm tất cả các nghiệm tự nhiên của phương trình :
x2 + (x+1 )2 = y2 + 1
Gợi ý : � x2 + (x+1 )2 - y2 = 1
Ta thấy : x1 = 1; y1 = 2 là nghiệm nhỏ nhất của phương trình
Và 3x + 2 y + 1 ; 4x+ 3y + 2 cũng là nghiệm vì
(3x + 2 y + 1)2 +( 3x+ 2y + 2)2 -( 4x+ 3y + 2)2 = x2 + (x +1)2 – y2
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng phương trình sau đây có nghiệm nguyên duy
x2 – 7y2 = 0
nhất x=y=0
Giải : Giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0 ; y0) �(0;0) mà /x0/ nhỏ
nhất trong các giá trị có thể của nó.
Ta có : x02 7 y02 0 � x02 M7 � x0 M7
Đặt x0 = 7x1 do đó
7 x12 y02 0 � y02 M7 � y0 M7 , đặt y0 = 7y1 ta có :
�x y �
x12 7 y12 0 vậy � 0 ; 0 �cũng là nghiệm.
�7 7 �
Mà x1 =
x0
x0 , x1 là nghiệm, vô lý . Suy ra điều phải chứng minh.
7
c/ Bài toán áp dụng :
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau :
x3 + 3y = 7
2. Tìm các số nguyên x , y thỏa mãn phương trình :
1! + 2! +.........+x! = y2
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :19
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phần II :
Hệ phương trình
Ở phần I mục 4 “ Đưa về hệ phương trình” tôi đã đưa ra một số cách giải hệ
phương trình. Ở phần này với tham vọng chỉ đưa ra dưới dạng các ví dụ, hy vọng rằng
qua các ví dụ các thầy cô đồng nghiệp và các em có những ví dụ để tham khảo.
A/ Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau :
Giải :
�x 2 xy 3 y 2 9
�
�2
2
�x 656 xy 657 y 1983
�x 2 xy 3 y 2 9
� �
( x y )( x 657 y ) 1983
�
( x y )( x 657 y ) 1983
( Bài tập áp dụng phương trình tích)
Vậy hệ có nghiêm nguyên là
�x 660
;
�
�y 1
�x 4
Dễ thấy chỉ có : �
�y 1
�x 660 �x 4
�x 4
;�
; �
�
�y 1
�y 1 �y 1
�x 4
;�
là ngiệm nguyên cần tìm .
�y 1
Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên (x ; y ; z ; t )của hệ phương trình sau :
�xyzt x 1995
�xyzt y 1997
�
�
�xyzt z 1999
�
�xyzt t 1555
Hướng giải :
�x ( yzt 1) 1995
�y ( xzt 1) 1997
�
�
�z ( xyt 1) 1999
�
t ( xyz 1) 1555
�
Suy ra x, y , z , t lẻ do đó xyzt + x chẵn, dẫn đến mâu thuẫn
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau :
-------------------------------------------------------------------------------------------Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
Page :20
- Xem thêm -
.DOC 
28 
134 
138 
