Tài liệu Skkn-vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 trung học cơ sở

Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 trung học cơ sở Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 trung học cơ sở Hoàng Trung Thành Trường Đại học Giáo dục Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học; Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn: GS.TS. Nguyễn Hữu Châu Năm bảo vệ: 2011 Abstract: Trình bày một số vấn đề lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học tích cực và kỹ năng giải toán. Nghiên cứu một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh. Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp đã đề xuất. Keywords: Phương pháp giảng dạy; Toán học; Dạy học tích cực; Trung học cơ sở Content Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trên thế giới, từ thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều phương pháp dạy học tích cực. Cụm từ "phương pháp dạy học tích cực" được sử dụng để chỉ những phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo của người học. Bằng kinh nghiệm, vốn tri thức sẵn có của mình, người học tích cực, chủ động vận dụng để giải quyết tình huống mới, qua đó hình thành tri thức mới. Trong phạm vi đề tài này, tác giả dùng cụm từ "Phương pháp dạy học tích cực" để chỉ những phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học nhằm hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học, hay nói cách khác là vận dụng một số phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực nhận thức của người học. Trong toán học, hình học vốn đã hấp dẫn học sinh bởi tính trực quan của nó. Chúng ta không thể phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng to lớn của hình học trong việc rèn luyện tư duy toán học, một phẩm chất rất cần thiết cho hoạt động sáng tạo của con người. Tuy nhiên, học toán mà đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có những khó khăn riêng của mình. Nguyên nhân của những khó khăn đó là: - Học sinh chưa nắm vững các khái niệm cơ bản, các định lý, tính chất của các hình đã học. Một số học sinh không biết cách vận dụng các kiến thức ấy như thế nào vào việc giải bài tập. - Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh một hệ thống đầy đủ các kiến thức cơ bản nhưng chưa thể truyền tải các kiến thức đó đến các em một cách sâu đậm nếu không có bàn tay chế biến của người giáo viên. Hơn nữa, khi học sinh phải tiếp xúc với các bài toán, các chuyên đề toán nâng cao, mà người giáo viên chưa kịp trang bị đủ các kỹ năng cần thiết để giải toán thì sẽ rất dễ dẫn đến tâm lí chán nản, buông xuôi ở nhiều học sinh. - Đối với bộ môn hình học, ngoài các bài toán về chứng minh hình học, các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích còn có "Các bài toán cực trị hình học" (hay còn gọi là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng). Đây là những dạng toán khó, hấp dẫn, thường gặp trong các câu hỏi khó của các đề thi tốt nghiệp, các đề thi chọn lọc học sinh giỏi toán thuộc chương trình lớp 8, 9, thi tuyển sinh vào lớp 10 ở các trường chuyên, trường năng khiếu. Xuất phát từ những vấn đề, trên và giúp học sinh có những định hướng chung ban đầu khi gặp những bài tập về cực trị hình học, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài "Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 trung học cơ sở". 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu một số phương pháp dạy học nhằm hướng tới hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học, hay nói cách khác là phát huy tính tích cực nhận thức của người học. (Ví dụ: Phương pháp vấn đáp, phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp hoạt động nhóm, phương pháp dạy học khám phá ... ) - Đề xuất một số kịch bản dạy học về việc vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học thuộc chương trình líp 8, 9 ở trường THCS. 3. Phạm vi nghiên cứu Các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 THCS. 4. Mẫu khảo sát Học sinh khối 8, 9 (8A1, 8A2, 9A1, 9A2) - Trường THCS Nguyễn Trãi - Ba Đình - Hà Nội. 5. Vấn đề nghiên cứu 2 - Thế nào là phương pháp dạy học tích cực ? - Các kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình 8, 9 ? - Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực như thế nào để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 THCS. 6. Giả thuyết nghiên cứu Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 trung học cơ sở sẽ tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh góp phần nâng cao hiệu quả dạy học. 7. Phương pháp nghiên cứu 7.1. Nghiên cứu lí luận - Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học và lý luận dạy học bộ môn Toán). - Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, bài viết, sách giáo viên, sách nâng cao lớp 8, 9 có liên quan đến các bài toán cực trị hình học. - Nghiên cứu cỏc công trình khoa học có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài. 7.2. Điều tra xã hội học - Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh ở các lớp trong chuyên đề "cực trị hình học". - Sử dụng phiếu trắc nghiệm và phỏng vấn trực tiếp học sinh, đồng nghiệp và cỏc phụ huynh học sinh. 7.3. Thực nghiệm sư phạm - Tiến hành thực nghệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. - Thực nghiệm đối chứng. - Đánh giá của giáo viên và học sinh sau khi dạy và học xong chuyên đề "cực trị hình học". 8. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trỡnh bày trong 3 chương: Chương 1: Một số vấn đề lý luận và thực tiễn về phương phỏp dạy học tớch cực và kỹ năng giải toỏn. Chương 2: Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 3 4 Chương 1 một số vấn đề lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học tích cực và kỹ năng giải toán 1.1. Phương pháp dạy học tích cực 1.1.1. Tính tích cực nhận thức của người học 1.1.1.1 Tính tích cực Theo tác giả I. F. Kharlamop: "Tính tích cực là trạng thái hoạt động của học sinh, đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững tri thức". Hình thành và phát triển tính tích cực nhận thức là một nhiệm vụ quan trọng và chủ yếu của giáo dục nhằm đào tạo ra những con người tự chủ, năng động, sáng tạo, phù hợp với yêu cầu của xã hội trong thời kì mới. Có thể xem tính tích cực như là một điều kiện đồng thời là kết quả của sự phát triển nhân cách học sinh trong quá trình phát triển giáo dục. 1.1.1.2. Tính tích cực học tập I. F. Kharlamop khẳng định: “Học tập là quá trình nhận thức tích cực”, ở đó tính tích cực không chỉ tồn tại như một trạng thái, một nét tính cách cụ thể mà nó còn là kết quả của quá trình tư duy, là mục đích cần đạt của quá trình dạy học và nó có tác dụng nâng cao không ngừng hiệu quả học tập của học sinh. G. I. Sukina đã chia tính tích cực ra làm ba cấp độ: + Tính tích cực bắt chước tái hiện: Xuất hiện do tác động kích thích bên ngoài (yêu cầu của giáo viên), trong trường hợp này, người học thao tác trên đối tượng, bắt chước theo mẫu hoặc mô hình của giáo viên, nhằm chuyển đối tượng từ ngoài vào trong theo cơ chế: “Hoạt động bên ngoài và bên trong có cùng cấu trúc”. Nhờ đó, kinh nghiệm hoạt động được tích luỹ thông qua kinh nghiệm của người khác. + Tính tích cực tìm tòi: đi liền với quá trình hình thành khái niệm, giải quyết các tình huống nhận thức, tìm tòi các phương thức hành động trên cơ sở có tính tự giác, có sự tham gia của động cơ, nhu cầu, hứng thú và ý chí của học sinh. Loại này xuất hiện không chỉ do yêu cầu của giáo viên mà còn hoàn toàn tự phát trong quá trình nhận thức. Nó tồn tại không chỉ ở dạng trạng thái, cảm xúc mà còn ở dạng thuộc tính bền vững của hoạt động. Ở mức độ này tính độc lập cao hơn mức trên, cho phép học sinh tiếp nhận nhiệm vụ và tự tìm cho mình phương tiện thực hiện. + Tính tích cực sáng tạo: Thể hiện khi chủ thể nhận thức tự tìm tòi kiến thức mới, tự tìm ra phương thức hành động riêng và trở thành phẩm chất bền vững của cá nhân. 5  1.1.2. Một số nguyên tắc dạy học nhằm phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh  Trong những thập kỉ gần đây, vấn đề tính tích cực của học sinh trong học tập đã được nghiên cứu rất sâu rộng và hàng loạt những nguyên tắc lí luận dạy học nhằm phát huy tính tích cực của học sinh đã được nêu ra. Những nguyên tắc quan trọng nhất trong số đó là:  1.1.2.1. Việc nắm vững kiến thức lý thuyết phải chiếm ưu thế  1.1.2.2. Nguyên tắc của việc dạy học phải được tiến hành ở mức độ khó khăn tăng dần  1.1.2.3. Nguyên tắc đòi hỏi nhịp độ khẩn trương của công tác học tập  1.1.2.4. Nguyên tắc đòi hỏi chăm lo tích cực đến sự phát triển của mọi HS  1.1.2.5. Nguyên tắc làm cho học sinh ý thức được bản thân quá trình học  1.1.3. Một số phương pháp dạy học tích cực ở trường THCS  1.1.3.1. Phương pháp vấn đáp  Bản chất Phương pháp vấn đáp là quá trình tương tác giữa giáo viên và học sinh, được thực hiện thông qua hệ thống câu hỏi và câu trả lời tương ứng về một chủ đề nhất định được giáo viên đặt ra. • ưu điểm - Vấn đáp là cách thức tốt nhất để kích thích tư duy độc lập của học sinh, dạy học sinh cách tự suy nghĩ đúng đắn. Bằng cách này HS hiểu nội dung học tập tốt hơn cách học vẹt, thuộc lòng. - Gợi mở vấn đáp giúp lôi cuốn học sinh tham gia vào bài học, làm cho không khí lớp học sôi nổi, sinh động, kích thích hứng thú học tập và lòng tự tin của học sinh, rèn luyện cho học sinh năng lực diễn đạt sự hiểu biết của mình và hiểu ý diễn đạt của người khác. 6  Hạn chế Hạn chế lớn nhất của phương pháp vấn đáp là rất khó soạn thảo và sử dụng hệ thống câu hỏi gợi mở và dẫn dắt học sinh theo một chủ đề nhất quán. Vì vậy đòi hỏi giáo viên phải có sự chuẩn bị rất công phu, nếu không, kiến thức mà học sinh thu nhận được qua trao đổi sẽ thiếu tính hệ thống, tản mạn, thậm chí là vụn vặt.  Một số lưu ý Phương pháp vấn đáp thường được sử dụng phối hợp với các phương pháp khác nhằm làm cho học sinh tích cực, hứng thú và học tập hiệu quả hơn. Khi soạn các câu hỏi, giáo viên cần lưu ý các yêu cầu sau đây: - Câu hỏi phải có nội dung chính xác, rõ ràng, sát với mục đích, yêu cầu của bài học, không làm cho người học có thể hiểu theo nhiều cách khác nhau. - Câu hỏi phải sát với từng loại đối tượng học sinh. Nghĩa là phải có nhiều câu hỏi ở các mức độ khác nhau, không quá dễ và cũng không quá khó. Giáo viên có kinh nghiệm thường tỏ ra cho học sinh thấy các câu hỏi đều có tầm quan trọng và độ khó như nhau (để học sinh yếu có thể trả lời được những câu hỏi vừa sức mà không có cảm giác tự ti rằng mình chỉ có thể trả lời được những câu hỏi dễ mà không quan trọng). 1.1.3.2. Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề  Quan niệm Theo I. IA. Lecne: "Dạy học giải quyết vấn đề là dạy học trong đó HS tham gia một cách tích cực vào quá trình giải quyết các vấn đề, các bài toán có vấn đề... được xây dựng một cách có dụng ý trong các chương trình dạy học và các tài liệu dạy học"  Đặc điểm của PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau: - HS được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn. (Một tỡnh huống là vấn đề chỉ khi: Người học cú nhu cầu giải quyết; khụng cú sẵn lời giải; khụng vượt quỏ khả năng của người học).  Các mức độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Bảng 1.1: Các mức độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề [6] Mức 1 Phát hiện, Khám phá Chọn chiến nêu vấn đề vấn đề lược và PP GV GV GV Giải Kiểm tra kết quả GV GV Vai Trò Ngườ i Họ c 7  Mức 2 GV GV - HS GV GV GV Mức 3 GV - HS HS GV - HS GV GV - HS Mức 4 HS HS HS HS GV - HS Vận dụng PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề vào việc dạy học giải bài tập toán. Khi đặt vấn đề dạy học bài tập toán theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề, trước hết phải đề cập đến nội dung bài toán đó. Bài toán đặt ra phải thực sự gợi vấn đề, tức là kêu gọi học sinh những khó khăn trong tư duy hoặc hành động chứ không phải những bài toán chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một quy tắc có tính chất thuật toán. Điều này cũng có tính chất tương đối, bởi lẽ có bài toán đối với người này là vấn đề cũn với người khác thỡ không. Tìm hiểu bài toán phát hiện vấn đề Khám phá Chọn phương pháp và chiến lược Giải Đánh giá kết quả phát triển bài toán Sơ đồ 1.2: Các bước giải quyết vấn đề trong môn toán [6] 1.1.3.3. Phương pháp hoạt động nhóm  Quan niệm Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ là một phương pháp dạy học trong đó GV tổ chức và điều khiển các nhóm HS tiến hành hoạt động tập thể để các em cùng làm việc, cùng hợp tác, cùng giải quyết vấn đề, cùng nhau hoàn thành nhiệm vụ học tập hoặc phấn đấu vì một mục đính chung.  Đặc điểm của PPDH hợp tác theo nhóm nhỏ Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ có một số đặc điểm cơ bản sau: 8 - Tất cả các thành viên trong nhóm phải nhận ra rằng các vấn đề mà nhóm giải quyết là vấn đề của cả nhóm mà sự thành công hay thất bại đều liên quan trực tiếp đến mọi thành viên trong nhóm.  Một số thời điểm có thể sử dụng PPDH hợp tác theo nhóm nhỏ - Kiểm tra bài tập về nhà: - Dạy bài mới: - Bài ôn tập: 1.1.3.4. Phương pháp dạy học khám phá  Quan niệm Theo nhà tâm lý học J.Piaget, nhận thức của con người là kết quả của quá trình thích ứng với môi trường qua hai hoạt động đồng hóa và điều ứng. Tri thức không hoàn toàn được truyền thụ từ người biết đến người chưa biết mà nó được chính cá thể xây dựng từ những vấn đề mà người học cảm thấy cần thiết và có khả năng giải quyết vấn đề đó, thông qua tình huống cụ thể, họ sẽ kiến tạo nên tri thức cho riêng mình.  Đặc điểm của PPDH khám phá có hướng dẫn - Phát huy nội lực của học sinh, tư duy tích cực - độc lập - sáng tạo trong quá trình học tập. - Giải quyết thành công các vấn đề là động cơ trí tuệ kích thích trực tiếp lòng ham mê học tập của học sinh. Đó chính là động lực của quá trình dạy học . - Hợp tác với các bạn trong quá trình học tập, tự đánh giá, tự điều chỉnh vốn tri thức của bản thân là cơ sở hình thành phương pháp tự học. Đó chính là động lực thúc đẩy sự phát triển bền vững của mỗi cá nhân trong cuộc sống. Cấu trúc PPDH khám phá có hướng dẫn: Gi¸o viªn nªu vÊn ®Ò häc tËp D¹y häc kh¸m ph¸ Häc sinh hîp t¸c gi¶i quyÕt vÊn ®Ò  Mối liên hệ giữa PPDH khám phá và dạy học nêu vấn đề Bảng 1.2: Mối liên hệ giữa ppdh khám phá và dạy học nêu vấn đề Dạy học nêu vấn đề Dạy học- khám phá - Tình huống có vấn đề ? - Vấn đề học tập: - Vấn đề học tập: + Vấn đề lớn có nội dung rộng + Vấn đề nhỏ 9 Dạy học nêu vấn đề Dạy học- khám phá + Phát hiện vấn đề là do GV  GV và HS + Giáo viên đưa ra vấn đề  bản thân học sinh - Hình thành giả thuyết ? - Chứng minh giả thuyết: - Giải quyết vấn đề: + Giải quyết các VĐ nhỏ đến VĐ lớn + Giải quyết vấn đề nhỏ +GV diễn giảng đến HS, đàm thoại đến học + GV bao quát lớp sinh. + HS hợp tác theo nhóm, giữa các nhóm và với thầy - Đánh giá của giáo viên dẫn đến học sinh - Đánh giá: tự đánh giá, tự điều chỉnh trong tự đánh giá nhóm, lớp và với thầy - Vận dụng vấn đề ? 1.1.3.5. Phương pháp dạy học kiến tạo  Quan niệm Học theo quan điểm kiến tạo là học theo hoạt động của học sinh dựa vào những kinh nghiệm của bản thân, huy động chúng vào quá trình tương tác với các tình huống, tiêu hóa chúng và rút ra điều cần hình thành. Theo quan điểm của thuyết kiến tạo, các tri thức nhất thiết là sản phẩm của hoạt động nhận thức của chính con người. Bằng cách xây dựng trên các kiến thức đã có, học sinh có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm, các quy luật, đi từ nhận biết sự vật sang hiểu nó và phát hiện các kiến thức mới. Kiến thức kiến tạo được khuyến khích tư duy phê phán, nó cho phép học sinh tích hợp được các khái niệm, các quy luật theo nhiều cách khác nhau. Khi đó, họ có thể trình bày khái niệm quan hệ, kiểm chứng chúng, bảo vệ và phê phán các khái niệm và các quan hệ được xây dựng.  Đặc điểm của PPDH kiến tạo - Tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài. - Nhận thức là quá trình thích nghi chủ động với môi trường nhằm tạo nên các sơ đồ nhận thức của chính chủ thể chứ không khám phá một thế giới tồn tại độc lập bên ngoài chủ thể. Nói như vậy có nghĩa là người học không phải thụ động tiếp thu kiến thức do người khác áp đặt lên mình mà chính bản thân họ hoạt động kiến tạo ra kiến thức mới.  Các loại kiến tạo trong dạy học - Kiến tạo cơ bản. 10 - Kiến tạo xã hội.  Một số năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học toán: Khi đề xuất năng lực kiến tạo kiến thức toán học, chúng tôi chú trọng xem xét các năng lực tư duy, đặc biệt là năng lực tư duy biện chứng, tư duy toán học liên quan đến việc dự đoán, phát hiện và lập luận xác nhận kiến thức mới. Đồng thời với các cơ sở lý luận khi đề xuất các năng lực kiến tạo kiến thức, chúng tôi dựa vào các năng lực thực tiễn dạy học để tìm tòi kiến thức, tìm tòi lời giải các bài toán ở trường THCS.  Các biện pháp rèn luyện năng lực kiến tạo : - Biện pháp 1: Quan tâm dạy học các khái niệm, qui tắc, định lí . - Biện pháp 2: Thông qua các hoạt động dạy học chứng minh các định lí toán học, dạy giải các bài tập toán, luyện tập cho học sinh cách biến đổi tương đương, nhìn nhận định lí bài toán theo nhiều cách khác nhau dẫn đến cách chứng minh, cách giải bài toán khác nhau. - Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh cách thức chuyển đổi ngôn ngữ trong một nội dung toán học hoặc chuyển đổi ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác thông qua dạy học các tình huống điển hình. - Biện pháp 4 : GV chú trọng cách luyện tập cho học sinh các quan điểm biện chứng của tư duy toán học. - Biện pháp 5: Quan tâm đúng mức, luyện tập cho học sinh thói quen khai thác tiềm năng SGK, khắc sâu mở rộng kiến thức, phát triển các bài toán từ nền kiến thức đã được qui định. 1.1.4. Khó khăn và thuận lợi của các phương pháp dạy học tích cực  Khó khăn  Thuận lợi 1.2. Cỏc kỹ năng giải toán 1.2.1. Khái niệm kỹ năng Theo giáo trình Tâm lí học đại cương: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” Trong luận văn này, chúng tôi quan niệm: Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức (khái niệm, định lí, thuật giải, phương pháp) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Như vậy, tri thức (bao gồm cả tri thức sự vật, tri thức phương pháp) là cơ sở của kĩ năng. Từ quan niệm về kĩ năng, chúng tôi quan niệm về kĩ năng giải toán như sau: 11 Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được. Kĩ năng giải bài tập toán của HS là khả năng sử dụng có mục đích, sáng tạo những kiến thức toán học đã học để giải bài tập toán học. 1.2.2. Phân loại các kỹ năng trong môn toán a. Kỹ năng nhận thức b. Kỹ năng thực hành c. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức d. Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá - 1.3. Cỏc kỹ năng thường dùng để giải các bài toán về cực trị trong hình học phẳng - 1.3.1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu - 1.3.2. Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác - 1.3.3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn - 1.3.4. Sử dụng các bất đẳng thức đại số - 1.4. Thực trạng áp dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong quá trình giảng dạy các bài toán cực trị hình học - Vấn đề vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy môn Toán cho học sinh vẫn còn một số hạn chế: - Thứ nhất: sự hạn chế về nhận thức trong quan niệm về dạy học của người giáo viên. Nhiều đồng chí giáo viên chưa thấy được sự cần thiết của việc áp dụng ph-¬ng ph¸p d¹y häc tích cực vào giảng dạy. - Thứ hai: sức ỳ truyền thống - sự ngại thay đổi thói quen, nhất là ở đội ngũ giáo viên cao tuổi đã ổn định trong môi trường, phương pháp truyền thống, ngại thay đổi, ngại học tập, ứng dụng các phương tiện kỹ thuật hiện đại. - Thứ ba: cơ chế chính sách chưa khuyến khích, chưa tạo nên động lực cho việc áp dụng phương pháp dạy học tích cực. - Thứ tư: cơ sở vật chất, kỹ thuật còn hạn chế. Hầu hết các trường phổ thông hiện nay còn thiếu phòng thí nghiệm, các thiết bị phục vụ giảng dạy và học tập…. Ngoài ra hệ thống bàn ghế cũng không được trang bị mới phục vụ việc dạy học tích cực, bởi vậy, đã hạn chế không nhỏ đến việc áp dụng phương pháp dạy học này. Cơ sở vật chất thiếu cũng phải kể đến là hệ thống giáo trình, tư liệu không đáp ứng được nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa. Giáo trình thường được viết theo hướng chốt chặt, đóng kín, khuyến khích người học thuộc bài chứ không khuyến khích tư duy sáng tạo. Đổi mới 12 phương pháp phải trên nền chương trình, giáo trình, phương pháp đánh giá kiểm tra đổi mới... XÐt cụ thể trong viÖc dạy học chuyên đề "Cực trị hình học": - Một số giáo viên vẫn còn có thói quen cung cấp lời giải cho học sinh mà chưa chú trọng đến việc dạy học sinh cách để học sinh có thể tự tìm được lời giải cho các bài toán cực trị hình học. - Việc gợi động cơ để học sinh tích cực, chủ động tìm cách giải các bài toán cực trị hình học vẫn chưa được nhiều giáo viên quan tâm. - Hệ thống các câu hỏi mở nhằm phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh chưa được nhiều giáo viên coi trọng, hoặc chưa có sự chuẩn bị chu đáo. Điều này thường phụ thuộc rất nhiều vào kinh nghiệm giảng dạy của người giáo viên. - Hầu hết các em khi giải ra kết quả một bài toán thì dừng lại, không có thói quen suy nghĩ thêm để tìm lời giải khác cũng như xem xét lời giải đó có tối ưu hay chưa; không đào sâu suy nghĩ, xem xét bài toán ở nhiều góc độ khác nhau. - Tính tự giác và độc lập trong học tập của học sinh chưa cao, còn ỷ lại vào thầy cô giáo, dành ít thời gian cho việc tự học, số lượng các em tự đọc sách tham khảo để nâng cao trình độ là không nhiều. 1.5. Kết luận chương 1 Việc phát huy tính tích cực trong hoạt động nhận thức của HS không phải là một vấn đề mới trong ngành giáo dục của nước ta hiện nay song cho tới nay, việc đổi mới PPDH ở trường trung học cơ sở theo hướng này vẫn chưa đạt hiệu quả cao, điều này cũng do nhiều nguyên nhân nhưng có thể thấy rằng để làm tốt việc trên thì đòi hỏi phải có sự kết hợp tốt giữa các ngành, các cấp liên quan, đặc biệt cần thay đổi mạnh mẽ cách dạy học của thầy, cô giáo trực tiếp trên bục giảng. Các thầy, cô giáo khi truyền thụ kiến thức thường không đủ thời gian để chú ý đến các loại đối tượng HS (yếu, trung bình, khá, giỏi), chỉ mong sao giảng hết phần lý thuyết của bài nên một số phần lý thuyết quan trọng không phân tích kỹ. Bên cạnh đó PPDH chưa thực sự đổi mới, hệ thống ví dụ, bài tập chưa được lựa chọn phù hợp. Bởi thế HS chỉ nắm được phần nào kiến thức mà thôi, không nắm được dấu hiệu bản chất của các kiến thức quan trọng, do đó khi học chủ yếu là ghi nhớ hình thức và vận dụng một cách máy móc, coi nhẹ lý thuyết (định nghĩa, định lý, các tính chất cơ bản, các điều kiện khi vận dụng công thức,…), bắt tay vào làm bài tập ngay, dẫn đến hạn chế tính tích cực của bản thân trong quá trình giải toán. Chương 2 13 một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9 theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh. 2.1. Biện pháp 1: Giúp học sinh nhận dạng các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình lớp 8, 9. 2.1.1. Dạng 1: Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu 2.1.2. Dạng 2: Vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc các điểm. 2.1.3. Dạng 3: Vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn 2.1.4. Dạng 4: Vận dụng các bất đẳng thức đại số VÝ dô 10: Trong tam giác ABC, hãy tìm một điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 là nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: Ký hiệu độ dài các cạnh của tam giác ABC là a, b và c. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Trước hết ta có thể chứng minh rằng: 1 GA2  GB2  GC 2  (a 2  b2  c 2 ) 3 Bây giờ nếu ta chứng minh được rằng với mọi điểm M ( M  G) nằm trong tam giác ABC, ta đều có: MA  MB  MC  2 2 2 1 2 a  b2  c2   3 Thì điểm phải tìm chính là điểm G (trọng tâm của tam giác ABC). Gọi A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. A Thế thì MA1 là đường trung tuyến của tam giác MBC và ta có: 1 a2  2 2 MA   MC  MB   2 2 C1 2 1 G Tương tự: B 1 b2  2 2 2 MB1   MC  MA   2 2 1 c2  2 2 MC   MA  MB   2 2 2 1 Dùng định lý Stuya cho  AMA1 và tia MG ta được: MG 2 . AA1  MA2 . GA1  MA12 . AG  AA1.AG.GA1 14 M A1 B1 C 1 2 2  MA2 . AA1  MA12 . AA1  AA1. AA12 3 3 9 Hay MG 2 1 2 2  MA2  MA12  AA12 3 3 9 1 2 1 a2  1 2 2 2  MA  .  MC  MB    AG 2 3 3 2 2 2  MG 2  1 1 a2  AG 2   MA2  MB 2  MC 2   2 3 2  Tương tự ta được: 1 1 b2  MG 2  BG 2   MA2  MB 2  MC 2   2 3 2 1 1 c2  MG 2  CG 2   MA2  MB 2  MC 2   2 3 2 Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được: MG 2  1 1 AG 2  BG 2  CG 2   MA2  MB 2  MC 2   a 2  b2  c 2   2 6 Hay MA2  MB 2  MC 2  1 2 a  b2  c 2   3MG 2  3 Đẳng thức chứng tỏ rằng MA2  MB 2  MC 2  1 2 a  b2  c 2  nếu M  G, và M nằm trong   3 ABC. Đó là điều phải chứng minh. Nhận xét: ở cách giải này, HS phải phát hiện được đẳng thức 1 GA2  GB2  GC 2  (a 2  b2  c 2 ) để từ đó áp dụng với mọi điểm M trong tam giác có 3 MA 2  MB2  MC2  1 2 a  b2  c2  ; dấu "="xảy ra khi M  G. Đây là dạng toán khó  3 nên giáo viên phải sử dụng thật linh hoạt các phương pháp dạy học để giúp HS rèn luyện các kỹ năng giải bài toán này. 2.2. Biện pháp 2: Sử dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học Bảng 2.1: Các kỹ năng giải quyết vấn đề trong môn Toán Giai đoạn GQVĐ Phát hiện vấn đề Khám phá bài toán Chọn chiến lược và PP giải 15 Giải Kiểm tra KQ đánh giá QT Các kĩ năng cần có Xác định các yếu tố. - Nhận biết câu hỏi. - Đọc được hình ảnh. ..... - Phân tích tính đầy đủ của các dữ kiện (cái gì thiếu, cái gì thừa?) - Tổ chức, thể hiện các dữ kiện (Biểu đồ, bảng, sơ đồ, đồ thị, mệnh đề,...) -Ước lượng. - Phỏng đoán. ... - Vẽ hình - Tưởng tượng - Tính toán - Suy luận logic .... - Phân tích - Tổng hợp - Nhìn bài toán dưới góc độ khác - Xây dựng và giải bài toán đơn giản hơn - Đoán và thử - Sắp xếp dữ liệu - Suy luận lôgic .... - Tính toán - Suy luận logic - Thử .... Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC. Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếp  ABC, tức là có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của tam giác ấy. Phân tích và tìm lời giải của bài toán: - Vấn đề của bài toán: Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếp  ABC A - Khám phá bài toán: + Các dữ kiện: M  AB, N  AB, P  AB F 1 2 + Phỏng đoán: Kẻ đường phụ, sử dụng P quy tắc giữa các điểm. M E - Chọn chiến lược và phương pháp giải: Vẽ E, F sao cho AB là đường trung trực của NE, AC là đường trung trực của NF. B N NM + MP + PN = EM + MP + PF ≥ EF (quy tắc giữa các điểm) - Giải: Xét  MNP nội tiếp  ABC một cách tùy ý (M  AB, N  BC, P  AC ). Vẽ E, F sao cho AB là đường trung trực của NE, AC là đường trung trực của NF. Chu vi  MNP bằng NM + MP + PN = EM + MP + PF ≥ EF. Ta cần xét khi nào thì EF nhỏ nhất.   2A  1  2A  2  2BAC  Ta có EAF  EAF là tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất. EF nhỏ nhất  AE nhỏ nhất  AN nhỏ nhất  AN  BC. Như vậy chu vi  MNP nhỏ nhất khi N là chân đường cao kẻ từ A còn M và P là giao điểm của EF với AB và AC. 16 C Ta có nhận xét rằng khi N là chân đường cao kẻ từ A thì M và P cũng là chân hai đường cao còn lại của tam giác. F Chứng minh nhận xét trên như sau : A  Xét  HMP có AB là đường phân giác của EMH ,  . AC là đường phân giác của FPH P M E Ta có B tại đỉnh AB, AC gặp nhau tại A nên HA là tia phân giác của góc trong của tam giác H H. C  . Vì AH  HC nên HC là đường phân giác góc ngoài của Hay HA là tia phân giác của MHP tam giác tại đỉnh H. Theo trên, AC là đường phân giác ngoài của tam giác tại đỉnh P, HC gặp AC tại C nên MC là tia phân giác góc trong tại đỉnh M. MB và MC là các tia phân giác của hai góc kề bù nên MB  MC. Tương tự PC  PB. Vậy chu vi  MNP nhỏ nhất khi M, N, P là chân ba đường cao của  ABC. Do  ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên của tam giác. - Kiểm tra kết quả, đánh giá kết quả: Tính toán, kiểm tra lại cách làm. - Nhận xét: ở bài toán này đề bài cho rất ít dữ kiện. Yêu cầu của đề bài là dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nên ta có thể nghĩ ngay đến việc thay thế chu vi tam giác bởi một đường gấp khúc có độ dài bằng nó, tiếp theo là sử dụng tính chất: độ dài đường gấp khúc nối 2 điểm không nhỏ hơn đoạn thẳng nối 2 điểm đó. Ta cũng có thể sử dụng cách giải khác bằng cách chỉ cho học sinh sử dụng diện tích không đổi của  ABC làm giá trị so sánh trung gian. Bất đẳng thức sử dụng là "diện tích tứ giác không lớn hơn nửa tích 2 đường chéo của chúng, và đẳng thức xảy ra khi 2 đường chéo này vuông góc với nhau" 2.3. Biện pháp 3: Sử dụng hệ thống câu hỏi để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học. Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD. Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Dự kiến các câu hỏi-trả lời của GV và HS: Câu hỏi 1: Các em có nhận xét gì về chu vi của hình chữ nhật AEMF? HS: Chu vi của hình chữ nhật AEMF = 2AB không đổi. Câu hỏi 2: Vậy em có nhận xét gì về tổng ME + MF? HS: ME + MF bằng một nửa chu vi hình chữ nhật AEMF nên cũng không đổi. Câu hỏi 3: Vậy tích ME.MF = SAEMF lớn nhất khi nào? A E B O 17 F M  ME  MF HS: ME.MF  4 2 AB2  2 AB2 Vậy MaxSAEMF là khi ME = MF. 2 Gợi ý giải: Gọi cạnh của hình vuông ABCD có độ dài là a. Ta có chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi nên ME + MF = a không đổi. Do đó tích ME.MF = SAEMF lớn nhất khi và chỉ khi ME = MF. Suy ra AEMF là hình vuông khi và chỉ khi M trùng với O (với O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD) 2.4. Biện pháp 4: Sử dụng phương pháp học hợp tác để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học. Ví dụ 1: AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của một đường tròn tâm O, bán kính R. M là một điểm bất kì thuộc (O ; R). Tìm giá trị lớn nhất của P = MA.MB.MC.MD  , CB  , BD  , DA  nhỏ. Thầy sẽ GV: Trên hình vẽ điểm M có thể nằm trên các cung AC chia lớp mình làm 4 nhóm ứng với mỗi vị trí của điểm M. Các nhóm hãy trao đổi, thảo luận với nhau để t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = MA.MB.MC.MD  nhỏ. Nhóm 1: Tìm GTLN của P = MA.MB.MC.MD, với M  cung AC  nhỏ. Nhóm 2: Tìm GTLN của P = MA.MB.MC.MD, với M  cung CB  nhỏ. Nhóm 3: Tìm GTLN của P = MA.MB.MC.MD, với M  cung BD  nhỏ. Nhóm 4: Tìm GTLN của P = MA.MB.MC.MD, với M  cung DA A A A A M D O M C D C O D O C D O M M B Nhãm 1 B B B Nhãm 2 Nhãm 3 Nhãm 4 Sau khi cho các nhóm trao đổi, thảo luận xong, GV yêu cầu từng nhóm trình bày kết quả thực hiện nhiệm vụ của nhóm mình, các nhóm còn lại theo dõi, quan sát và góp ý. Kết quả trình bày của các nhóm: Nhãm 1: P = MA.MB.MC.MD = (MK.AB).(MH.CD) 18 C (Víi K, H lµ h×nh chiÕu cña M lªn AB vµ CD) A Tõ ®ã P = 4R2.MK.MH MK 2  MH 2 OH 2  MH 2 OM 2 R 2 MK.MH     2 2 2 2 D R2 VËy P  4R .  2R 4 2 M K O 2 H C P đạt Max là 2R4 khi MK = MH hay M là điểm chính giữa của cung AC. B A Nhãm 2: P = MA.MB.MC.MD = (MA.MB).(MC.MD) MA 2  MB2 AB2 4R 2 MA.MB     2R 2 2 2 2 MC2  MD2 CD2 4R 2 MC.MD     2R 2 2 2 2 D C O Vậy P ≤ 4R4 P đạt Max là 4R4 khi MA = MB; MC = MD (vô lí) M B Nhãm 3: P = MA.MB.MC.MD = (MK.AB).(MH.CD) (Víi K, H lµ h×nh chiÕu cña M lªn AB vµ CD) A Tõ ®ã P = 4R2.MK.MH MK 2  MH 2 OH 2  MH 2 OM 2 R 2 MK.MH     2 2 2 2 D R2  2R 4 VËy P  4R . 2 P đạt Max là 2R4 khi MK = MH C O 2 M hay M là điểm chính giữa của cung AC. B A Nhãm 4: P = MA.MB.MC.MD = (ME.AB).(MF.CD) M (Víi E, F lµ h×nh chiÕu cña M lªn AB vµ CD) E 2 Tõ ®ã P = 4R .ME.MF ME 2  MF2 EF2 OM 2 R 2 ME.MF     2 2 2 2 D F O R2  2R 4 VËy P  4R . 2 2 P đạt Max là 2R4 khi MK = MH B hay M là điểm chính giữa của cung AD. 19 C