Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
MỤC LỤC
1. Cơ sở đề xuất giải pháp..............................................................................2
1.1-Sự cần thiết hình thành giải pháp.............................................................2
1.2-Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp........................................2
1.3-Mục tiêu của giải pháp...............................................................................2
1.4-Các căn cứ để xuất giải pháp.....................................................................3
1.5-Phương pháp thực hiện..............................................................................3
1.6-Đối tượng và phạm vi áp dụng...................................................................3
2. Quá trình hình thành và nội dung giải pháp.................................................3
2.1- Quá hình hình thành nên giải pháp ..........................................................3
2.2-Những cải tiến để phù hợp với thực tiến phát sinh .................................3
2.3-Nội dung của giải pháp mới hiện nay .......................................................4
3. Hiệu quả giải pháp........................................................................................16
3.1. Thời gian áp dụng hoặc áp dụng thử của giải pháp.................................16
3.2. Hiệu quả đạt được hoặc dự kiến đạt được................................................17
3.3. Khả năng triển khai, áp dụng giải pháp ...................................................17
3.4. Kinh nghiệm thực tiễn khi áp dụng giải pháp...........................................17
4. Kết luận và đề xuất, kiến nghị......................................................................18
4.1. Kết luận.....................................................................................................18
4.2. Đề xuất, kiến nghị......................................................................................18
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................19
GV: Nguyễn Hoài Điệp
1
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
Giải pháp
VẬN DỤNG LINH HOẠT TỈ SỐ THỂ TÍCH
TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12
1. Cơ sở đề xuất giải pháp
1.1-Sự cần thiết hình thành giải pháp
Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay phần hình học không gian
ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng túng
trong việc xác định đường cao của khối đa diện. Trước tình hình đó cùng với
quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối
đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải
ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa, kỳ thi THPT quốc gia 2017 sẽ tổ chức theo hình
thức trắc nghiệm ở bài thi môn toán. Với suy nghĩ giúp các em có thêm phương
pháp giải quyết bài toán và cũng là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay
tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong
bài toán hình học không gian lớp 12”.
1.2-Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp
Bài toán tính thể tích khối đa diện, tính tỉ số thể tích các khối đa diện, tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
1.3-Mục tiêu của giải pháp
Giúp học sinh hình thành tư duy sáng tạo trong giải quyết một số bài toán
tính thể tích khối đa diện, tính tỉ số thể tích các khối đa diện, tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng. Qua đó kích thích học sinh tìm tòi, phát hiện và
tạo hứng thú trong quá trình học môn Toán.
GV: Nguyễn Hoài Điệp
2
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
Học sinh áp dụng vào giải quyết một số bài toán tính thể tích khối đa diện,
tính tỉ số thể tích các khối đa diện, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng.
1.4-Các căn cứ đề xuất giải pháp
Học sinh tỏ ra rất lúng túng trong việc xác định đường cao của khối đa
diện. Đây là yếu tố quan trọng để có thể giả được bài toán về thể tích khối đa
diện, tính tỉ số thể tích các khối đa diện, tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng. Phương pháp mới giúp học sinh có thể tính được thể tích của một
khối đa diện dựa vào thể tích của khối đa diện đã biết.
1.5-Phương pháp thực hiện
Phương pháp phân tích: nghiên cứu thực trạng vận dụng kiến thức vào
giải bài toán tính thể tích khối đa diện và bài toán khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng. Đặc biệt là các khó khăn mà học sinh thường gặp đối với các bài
toán khó.
Phương pháp tổng hợp: sử dụng các tài liệu tham khảo cùng với thực tế
diễn ra trên lớp học, cùng với đóng góp của quý thầy, cô giáo.
Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu và cung cấp những
kết quả thảo luận với các thầy, cô giáo trong tổ. Thảo luận với học sinh thông
qua hệ thống bài tập để giúp học sinh hình thành các phương pháp giải với từng
dạng bài toán.
1.6-Đối tượng và phạm vi áp dụng
Đề tài này có thể áp dụng cho tất cả học sinh lớp 12, học sinh ôn thi
THPT ở các trường THPT.
2. Quá trình hình thành và nội dung giải pháp
2.1- Quá hình hình thành nên giải pháp
GV: Nguyễn Hoài Điệp
3
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
Thời gian
Nội dung
Từ tháng 1 năm 2015 đến
Nghiên cứu, đề xuất
tháng 8 năm 2015
Từ tháng 9 năm 2015 đến
Áp dụng thử nghiệm
tháng 12 năm 2015
Từ tháng 8 năm 2016 đến
Tiếp tục áp dụng thử nghiệm.
nay
2.2-Những cải tiến để phù hợp với thực tiễn phát sinh
Hệ thống lại các bài toán cơ bản thể tích khối đa diện, bài toán về tỉ số thể
tích của các khối đa diện. Hình thành hướng tư duy mới.
Học sinh cần hiểu được rằng:
- Chiều cao của một khối chóp chính là khoảng cách từ đỉnh đến mặt
phẳng đáy của khối chóp.
- Chiều cao của một khối lăng trụ chính là khoảng cách từ một điểm trên
mặt đáy này đến mặt đáy kia của khối lăng trụ.
2.3-Nội dung của giải pháp mới hiện nay
Bài toán 1: (Bài 4 sgk HH12CB trang25)
Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
.
.
V
SA
SB
SC
điểm A’, B’, C’ khác điểm S. CMR: S . ABC
(1)
Giải:
Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ lên (SBC)
GV: Nguyễn Hoài Điệp
4
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC)
SA ' A ' H '
AH (*)
nên chúng thẳng hàng. Xét SAH ta có SA
A
A'
B'
B
S
H H'
C
Do đó
VS . A ' B ' C '
VS . ABC
C'
1
A ' H '.SSB ' C '
�' SC '
A ' H ' SB '.SC '.sin B
3
.
�
1
AH
SB.SC.sin BSC
AH .SSBC
3
(**)
Từ (*) và (**) ta được đpcm □
Trong công thức (1), đặc biệt hoá,
cho B’ B và C’ C ta được
VS . A ' BC SA '
VS . ABC
SA
(1’)
Ta lại có
VS . ABC VS . A ' BC VA '. ABC
(1') VS . ABC
GV: Nguyễn Hoài Điệp
SA '
.VS . ABC VA '. ABC
SA
5
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
VA '. ABC
SA ' A ' A
1
VS . ABC
SA
SA
VA '. ABC A ' A
VS . ABC
SA
Vậy:
(2)
Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A 1A2…An ( n 3) , trên
đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có
VA1 '. A1 A2 ... An
VS . A1 A2 ... An
A1 ' A1
SA1
(2’)
Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp
S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)
2.3.1- DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Ví dụ 1:
S
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành, gọi M là trung điểm của CD và
A
I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích
D
O
của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD.
I
Giải:
B
M
C
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD,
do đó
GV: Nguyễn Hoài Điệp
6
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
1
1 1
1 1 1
VISCM VB .SCM . .VD.SBC . . VS . ABCD
3
3 2
3 2 2
VISCM
1
Vậy VS . ABCD 12
Ví dụ 2:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần
lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số
thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’)
Giải:
S
Gọi O là giao điểm của AC và BD và I
C'
B'
là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI
cắt SC tại C’
I
A
Ta có
D'
O'
O
B
VS . AB ' C ' SB ' SC ' 1 SC '
.
VS . ABC
SB SC 2 SC ;
D
C
VS . AC ' D ' SC ' SD ' 1 SC '
.
VS . ACD
SC SD 2 SC
1 SC '
1 SC '
VS . AB ' C ' VS . AC ' D ' .
(VS . ABC VS . ACD ) .
.VS . ABCD
2
SC
2
SC
Suy ra
Kẻ OO’//AC’ ( O ' SC ) . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều
nên ta có SC’ = C’O’ = O’C
VS . A ' B ' C ' D ' 1
1 1
VS . A ' B ' C ' D ' . .VS . ABCD
V
6
2
3
S
.
ABCD
Do đó
Hay
GV: Nguyễn Hoài Điệp
7
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
Ví dụ 3:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I là trung điểm của B’C. Hãy tính tỉ số
thể tích giữa khối tứ diện IABC và khối chóp B’.AA’C’C.
Giải:
VB ' ABC
Ta có: VABC . A ' B ' C '
1
1
VB ' ABC VABC . A ' B ' C '
3
3
2
VB '. AA ' C ' C VABC . A ' B ' C ' VB ' ABC VABC . A ' B ' C '
3
VIABC
IC
1
VIABC 1 VB ' ABC 1 VABC . A ' B ' C '
VB ' ABC B ' C 2
2
6
VIABC
VB '. AA ' C ' C
Suy ra:
1
VABC . A ' B ' C '
1
6
2
VABC . A ' B ' C ' 4
3
* Bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có
trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,
CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của
hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP
VH .MNP
1
ĐS: VS . ABC 32
Bài 2:
GV: Nguyễn Hoài Điệp
8
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (
SM
) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính SC để mặt phẳng ( ) chia
hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
SM
3 1
2
ĐS: SC
2.3.2- DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH
Ví dụ 1:
0
�
�
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD ABC 90 ,
AB BC a, AD 2a, SA ( ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.
Giải:
S
Áp dụng công thức (1) ta có
M
VS . BCM SM 1
VS . BCA
SA 2
N
2a
2a
a
VS .CMN SM SN 1
.
VS .CAD
SA SD 4
D
A
B
C
Suy ra
VS . BCNM VS . BCM VS .CNM
1
1
a 3 2a 3 a 3
VS .BCA VS .CAD
2
4
2.3 4.3 3
Ghi chú:
GV: Nguyễn Hoài Điệp
9
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
1
V B.h
3
1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức
gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể
tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều
2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP
theo a.
S
Giải:
M
Ta có
VCMNP CN CP 1
.
VCMBD CB CD 4
A
(a)
H
VCMBD VM .BCD MB 1
(b)
VCSBD VS .BCD
SB 2
Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được
B
D
N
P
C
VCMNP 1
1
VCMNP .VS .BCD
VS .BCD 8
8
Gọi H là trung điểm của AD ta có SH AD mà ( SAD) ( ABCD) nên
SH ( ABCD) .
Do đó
VS .BCD
GV: Nguyễn Hoài Điệp
1
1 a 3 1 2 a3 3
.SH .S BCD .
. a
3
3 2 2
12
10
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
Vậy:
VCMNP
a3 3
96 (đvtt)
Ví dụ 3:
Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, DA = 2a và DA
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các
đường thẳng DB và DC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a
Giải:
VDAMN DM DN
.
V
DB
DC
DABC
Ta có
D
AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam
giác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có
N
2a
DM DA2 4a 2
DM 4
2 4
2
MB AB
a
DB 5
M
A
C
a
a
DN 4
Tương tự DC 5
a
B
4 4
16
9
.
Do đó VD.AMN = 5 5 .VD.ABC = 25 .VD.ABC. Suy ra VA.BCMN = 25 .VD.ABC
1
a 2 3 a3 3
.2a.
3
4
6 .
Mà VD.ABC =
A
c
GV: Nguyễn Hoài Điệp
11
B
b
c'
H
b'
Trường THPT C
Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
3a 3 3
Vậy VA.BCMN = 50 (đvtt)
Ghi chú:
b ' b2
2
Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC sau đây c ' c
( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)
Ví dụ 4:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a,
AD = a 2 , SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và
SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a.
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABD, do
đó
S
AI 2
AI 1
AO 3
AC 3
a
VAIMN
AI AM 1 1 1
.
.
V
AC
AD
3 2 6
nên ACDN
A
a
(1)
GV: Nguyễn Hoài Điệp
I
2
D
O
B
VACDN NC 1
V
SC
2
ACDS
Mặt khác
N
Ma
C
(2)
12
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
VAIMN
1
Từ (1) và (2) suy ra VACDS 12
1
1 a 2a a 3 2
1
a3 2
VSACD .SA.S ACD a.
VAIMN .VSACD
3
3
2
6 . Vậy
12
72 (đvtt)
Mà
Ví dụ 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA=a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H
AC
thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = 4 . Gọi CM là đường cao của tam giác
SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện
SMBC theo a.
Giải:
Từ giả thiết ta tính được
AH
a 2
a 14
3a 2
, SH
, CH
, SC a 2 SC AC
4
4
4
.
Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm
của SA.
Ta có
VS .MBC SM 1
1
VS .MBC VS . ABC
VS . ABC
SA 2
2
1
1 a 2 a 14 a 3 14
VS . ABC .SH .S ABC . .
3
6 2
4
48 (đvtt)
GV: Nguyễn Hoài Điệp
13
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
Ví dụ 6:
Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SB = 2a, SC = a. Các cạnh ở đỉnh S hợp
với nhau một góc 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Giải:
Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy điểm A’ và B’ sao cho SA ' SB ' SC a .
Khi đó, SA’B’C là hình tứ diện đều cạnh bằng a.
Nên
VSA ' B ' C
2a 3
12 (đvtt)
VS . A ' B ' C SA '.SB ' 1
V
SA
.
SB
6
Ta lại có: S . ABC
Suy ra
VS . ABC 6.VS . A ' B ' C
2a 3
2 (đvtt)
* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có
�
� 900 , CAD
� 1200 ,
ABC BAD
AB a, AC 2a, AD 3a . Tính thể tích tứ diện ABCD.
ĐS:
VABCD
a3 2
2
Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên
SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a
GV: Nguyễn Hoài Điệp
14
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
ĐS:
VS . AB ' C ' D '
16a 3
45
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi
M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a
thể tích khối chóp S.DMNP
ĐS:
VS .DMNP
a3 2
36
2.3.3- DẠNG 3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG
CÁCH
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác
định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng
cách thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài
đường cao của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1:
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt
phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm,
= 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
Giải :
I
4
5
4
A
Ta có AB + AC = BC AB AC
2
Do đó
BC
D
VABCD
2
2
C
5
3
B
1
AB. AC. AD 8cm 2
6
Mặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5
GV: Nguyễn Hoài Điệp
15
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
Nên BCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD
SBCD
Vậy
1
2 2
DC.BI
5 (2 2) 2 2 34
2
2
d ( A,( BCD ))
3VABCD
3.8
6 34
S BCD
17
2 34
Ví dụ 2:
0
�
�
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ABC BAD 90 ,
AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là
hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a
khoảng cách từ H đến mp(SCD)
S
Giải:
VS .HCD SH
V
SB
S
.
BCD
Ta có
H
a
A
2a
SAB vuông tại A và AH là đường cao nên
B
2
C
2
SH SA
2a
SH 2
2 2
2
a
SB 3
Ta có HB AB
Vậy
VS.HCD =
GV: Nguyễn Hoài Điệp
2
2 1
a 2 a3 2
VS.BCD = . a 2. =
3
3 3
2
9
16
Trường THPT Nguyễn Du
D
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
1
VS .HCD d ( H ,( SCD)).S SCD
3
Mà
.
SCD vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2),
do đó
S SCD
3a 3 2 a
1
1
2
d ( H ,( SCD)) 2
CD.SC .a 2.2a a 2
3
9
a
2
2
2
. Vậy
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB
= BC = a, AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM và B’C
Giải:
A'
C'
Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’
a 2
Suy ra B’C //(AME) nên
d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))
Ta có
H
E
A
a
VC . AEM MC 1
V
CB
2
C
.
AEB
Ta có
VC . AEM
B'
B
M
a
1
1 1 a 2 a 2 a3 2
VEACB . . .
2
2 3 2 2
24
d (C ,( AME ))
3VC . AEM
S AEM
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có BH AE
GV: Nguyễn Hoài Điệp
17
Trường THPT Nguyễn Du
C
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
Hơn nữa BM ( ABE ) BM AE , nên ta được AE HM
Mà AE =
BH
a 6
2 , ABE
vuông tại B nên
1
1
1
3
2
2
2
2
BH
AB
EB
a
a 3
3
a 2 a 2 a 21
MH
4
3
6
BHM vuông tại B nên
Do đó
SAEM
1
1 a 6 a 21 a 2 14
AE.HM .
.
2
2 2
6
8
d (C ,( AME ))
Vậy:
3a 3 2
a 7
2
7
a 14
24.
8
Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính SAEM
Ví dụ 4:
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB = a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng
(ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)
Giải:
Theo giả thiết ta có A’H (ABC).
GV: Nguyễn Hoài Điệp
18
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
1
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH = 2 BC = a.
2
2
A ' AH vuông tại H nên ta có A ' H A ' A AH a 3
Do
đó
1
a.a 3 a 3
VA '. ABC a 3
3
2
2 .
B'
C'
A'
2a
VA '. ABC
Mặt khác VABC . A ' B ' C '
1
3
B
a
2
2 a3
VA '.BCC ' B ' VABC . A ' B ' C ' .3. a 3
3
3 2
Suy ra
Ta có
d ( A ',( BCC ' B '))
C
H
K
a 3
A
3VA '.BCC ' B '
S BCC ' B '
Vì AB A ' H A ' B ' A ' H A ' B ' H vuông tại A’
Suy ra B’H =
a 2 3a 2 2a BB ' . BB ' H cân tại B’. Gọi K là trung
điểm của BH, ta có B ' K BH . Do đó
Suy ra
S BCC ' B ' B ' C '.BK 2a.
GV: Nguyễn Hoài Điệp
B ' K BB '2 BK 2
a 14
2
a 14
a 2 14
2
19
Trường THPT Nguyễn Du
Giải pháp: Vận dụng linh hoạt tỉ số thể tích trong bài toán hình học không gian lớp 12
3a 3
3 14a
d ( A ',( BCC ' B ')) 2
14
a 14
Vậy
* Bài tập tham khảo :
Bài 1:
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của
AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến
mp(IBC)
ĐS:
d ( A,( IBC ))
2a 5
5
Bài 2:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm
M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)
ĐS:
d ( A,( AB ' C ))
a
2
Bài 3:
0
�
Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), ABC 90 . Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b
ĐS:
d ( A,( BCD ))
ab
a 2 b2
Bài 4:
GV: Nguyễn Hoài Điệp
20
Trường THPT Nguyễn Du
- Xem thêm -