Tài liệu Skkn vận dụng kiến thức hệ thức lượng trong tam giác để giải một số bài toán có nội dung thực tiễn

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƢỜNG THPT SÔNG RAY Mã số: ................................ (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG KIẾN THỨC HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN Người thực hiện: TẠ HỮU DŨNG Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: …………..  (Ghi rõ tên bộ môn) - Lĩnh vực khác: .......................................................  (Ghi rõ tên lĩnh vực) Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2015-2016 BM02-LLKHSKKN SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: TẠ HỮU DŨNG. 2. Ngày tháng năm sinh: 02-8-1982. 3. Nam, nữ: Nam. 4. Địa chỉ: tổ 7, ấp 8, xã Xuân Tây, huyện Cẩm Mỹ, tỉnh Đồng Nai. 5. Điện thoại: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 01686084319. 6. Fax: E-mail: [email protected]. 7. Chức vụ: Giáo viên. 8. Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy, chủ nhiệm. 9. Đơn vị công tác: Trƣờng THPT Sông Ray. II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân. - Năm nhận bằng: 2005. - Chuyên ngành đào tạo: Đại học toán. III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Hình học. Số năm có kinh nghiệm: 10 năm. - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: Phƣơng pháp tiếp cận các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 12 (năm 2015) 2 VẬN DỤNG KIẾN THỨC HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi dạy tiết bài tập hệ thức lƣợng trong tam giác tôi nhận thấy các em chỉ quan tâm đến việc áp dụng công thức nào, thay số để tính các yếu tố còn lại, các em thực hiện dường như được lập trình sẵn, nhiều khi chẳng cần hình vẽ. Khi đưa vào một vài vấn đề thực tiễn vào trong bài toán thì các em thấy khó định hướng lời giải. Như vậy các em đang thụ động trong học tập và thiếu đi kĩ năng vận dụng kiến đã học vào trong thực tiễn. Chính vì những lí do trên tôi nhận thấy cần phải thay đổi cách dạy để các em thấy được toán học và thực tiễn gần gũi với nhau, và chỉ có gần gũi với thực tiễn thì các em mới hiểu được ý nghĩa của toán trong đời sống. Từ đó mới có thể tạo cho các em tính chủ động trong học tập và hứng hứng thú học môn hình. Và đây là cơ hội để tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “ Vận dụng kiến thức hệ thức lƣợng trong tam giác để giải một số bài toán có nội dung thực tiễn”. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lí luận Hiện nay chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình giáo dục phổ thông vừa là căn cứ, vừa là mục tiêu của giảng dạy, học tập, kiểm tra đánh giá của các trường trung học phổ thông. Yêu cầu chung của dạy học bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng: - Căn cứ vào chuẩn kiến thức, kĩ năng để xác định mục tiêu bài học. Chú trọng dạy học nhằm đạt được các yêu cầu cơ bản và tối thiểu về chuẩn kiến thức, kĩ năng, đảm bảo không quá tải và không quá lệ thuộc hoàn toàn vào SGK; mức độ khai thác thức sâu kiến thức, kĩ năng trong SGK phải phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh. - Sáng tạo về phương pháp dạy học phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác học tập của học sinh. Chú trọng rèn luyện phương pháp tư duy, năng lực tự học, tự nghiên cứu; tạo niềm vui, hứng khởi, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh. - Dạy học thể hiện mối quan hệ tích cực giữa giáo viên và học sinh, giữa học sinh với học sinh; tiến hành thông qua việc tổ chức các hoạt động học tập của học sinh, kết hợp giữa học tập cá thể với học tập hợp tác, làm việc theo nhóm. - Dạy học chú trọng đến việc rèn luyện các kĩ năng, năng lực hành động, vận dụng kiến thức, tăng cường thực hành và gắn với nội dung bài học với thực tiễn cuộc sống. 3 Dạy học chú trọng đến sử dụng hiệu quả phương tiện thiết bị dạy học được trang bị hoặc do giáo viên và học sinh tự làm; quan tâm ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học. Yêu cầu đối với giáo viên: - Bám sát chuẩn kiến thức kĩ năng để thiết kế bài giảng với mục tiêu là đạt được các yêu cầu cơ bản, tối thiểu về kiến thức, kĩ năng, dạy không quá tải và không quá lệ thuộc hoàn toàn vào SGK. Việc khai thác sâu kiến thức, kĩ năng phải phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh. - Thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh thực hiện các hoạt động học tập với các hình thức đa dạng, phong phú, có sức hấp dẫn phù hợp với đặc trưng bài học, với đặc điểm và trình độ của học sinh, với điểu kiện cụ thể của lớp, trường, địa phương. - Động viên, khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh được tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá, phát hiện, đề xuất và lĩnh hội kiến thức; chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng đã có của học sinh; tạo niềm vui, hứng khởi, nhu cầu hành động và có thái độ tự tin trong học tập cho học sinh, giúp học sinh phát triển năng lực, tiềm năng của bản thân. - Thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng câu hỏi, bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kĩ năng; hướng dẫn sử dụng thiết bị dạy học; tổ chức các giờ thực hành; hướng dẫn học sinh thói quen vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn. - Sử dụng các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học một cách hợp lí, hiệu quả, linh hoạt, phù hợp với đặc trưng của cấp học, môn học. ( trích trong Chuẩn kiến thức, kĩ năng) Trên cơ sở đó tôi quan tâm đến việc đưa những nội dung thực tiễn vào bài dạy của mình nhằm cho học sinh vận dụng được kiến thức đã học vào những vấn đề gần gũi với cuộc sống. 2. Cơ sở thực tiễn Trong tiết bài tập, khi làm các bài tập về giải tam giác tôi có cho các em làm một bài tập đơn giản: Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh AB bằng 5m và góc B  600 . Hãy tính cạnh AC. Khi đó tôi nhận được kết quả lời giải như sau: AC AB AB sin B 5.sin 600   AC   5 3 sin B sin C sin C sin300 Và hầu hết các học sinh trong lớp học đều làm đúng kết quả. Vậy điều gì làm tôi băn khoăn? Khi tôi đưa một bài toán tương tự nhưng được cho ở dạng có nội dung thực tiễn: 4 Một dây cáp nối từ đỉnh của cột điện xuống mặt đất phẳng hợp với mặt đất một góc bằng 300. Giả sử em có một dụng cụ là thước dây dài. Hãy nghĩ cách đo chiều dài của cây cột điện mà không được trèo lên cây cột điện, biết rằng cột điện thẳng đứng. Sau 5 phút để các em suy nghĩ, tôi kiểm tra kết quả của 35 học sinh trong lớp học thì tôi nhận được 5 câu trả lời đúng, và phần còn lại thì không trả lời được hoặc trả lời sai. Nhận xét: - Phần lớn học sinh không giải quyết được yêu cầu trên là do không hiểu được yêu cầu của bài toán, một số học sinh chỉ quan tâm đến số liệu nhằm thay vào công thức để tính toán, một số học sinh thì lười vẽ hình nên không biết bắt đầu từ đâu. - Yêu cầu của bài toán chỉ là nêu ra ý tưởng, không đặt nặng kĩ năng tính toán. Câu trả lời đúng là: B Đặt tên điểm A là chân cây cột điện, điểm B là đỉnh cây cột điện, gọi C là điểm tại vị trí mà bóng của cây cột hợp với mặt đất bằng 300. Khi đó ta luôn đo được độ dài đoạn AC (việc đo đạc luôn thực hiện được trên mặt đất), ta được tam giác ABC có đầy đủ điều kiện để áp dụng định lí sin để tính đoạn AB (chiều cao cây cột) C 30 0 A AB AC AC sin C   AB  sin C sin B sin B Bài toán 2: (Bài 6b, trang 69, SGK hình học 10 cơ bản) Cho tam giác ABC có các cạnh a  8 cm, b = 10 cm, c = 13 cm . Tính độ dài đƣờng trung tuyến MA của tam giác ABC đó. Lời giải của hầu hết của học sinh là: MA  2 2  b2  c2   a 2 4  2 102  132   82 4  237 2 474 cm. 2 Bài toán 3: Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác có AB = 13 km, AC = 10 km và BC = 8km. D là một điểm nằm trên đoạn CB. Biết rằng một ô tô đi từ A đến B rồi đến D tổng cộng hết 17 km. Vậy nếu có con đƣờng thẳng nối từ A đến D thì đoạn đƣờng AD dài bao nhiêu km?  MA  Trong bài toán trên tôi nhận thấy: 5 - Khoảng một nửa số học sinh của lớp thấy được rằng giả thiết này giống với giả thiết ở bài toán 2, tuy vậy các em còn phân vân không biết điểm D có phải là trung điểm của đoạn BC không, nên chưa dám sử dụng công thức đường trung tuyến vào tam giác ABC. - Một số học sinh thì tính đoạn AD theo hướng: dựa vào tam giác ABC để tính cos ABC rồi sau đó áp dụng vào tam giác ABD để tính AD: AD2 = BA2 + BD2 – 2BA.BC.cos ABC - Một số thì nhận ra D là trung điểm của BC và áp dụng công thức đường trung tuyến để tính AD. • Nhận xét: Nếu cho một bài toán với đầy đủ yếu tố thì học sinh giải rất nhanh, nhưng nếu đưa một vài vấn đề có nội dung thực tiễn vào bài học thì chỉ có một số học sinh hiểu vấn đề và giải quyết được vấn đề, một số học sinh thì hiểu vấn đề nhưng chưa biết làm sao để áp dụng được kiến thức đã học vào giải quyết bài toán, một số thì chậm chạp trong việc đọc và phân tích bài toán. Vì vậy tôi nhận thấy cần đem những nội dung thực thực tiễn vào bài học để các em quen dần với lối tư duy hiện đại. Chỉ có vậy các em mới thực sự hiểu được ý nghĩa của việc học toán trong đời sống chứ không chỉ học toán để thi cử. Cần phải trang bị cho các em kĩ năng đọc và phân tích khó khăn của tình huống hoặc bài toán, tìm ý tưởng giải quyết vấn đề. Ở đây tôi chỉ muốn học sinh tìm được ý tưởng, không đặt nặng kĩ năng tính toán. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Trong sáng kiến kinh nghiệm này có các giải pháp sau: 1. Giải pháp 1: Tóm tắt lí thuyết. 2. Giải pháp 2: Thiết kế các bài toán có nội dung thực tiễn. 3. Giải pháp 3: Tổ chức các hoạt động học tập của học sinh. GIẢI PHÁP 1: TÓM TẮT LÍ THUYẾT Trước khi vào tiết bài tập việc tóm tắt lại các kiến thức trong chương là rất cần thiết nhằm cho học sinh nhớ một cách hệ thống và nắm được trọng tâm của chương. Kí hiệu a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện với góc A, B, C trong tam giác ABC. Kí hiệu ha , ma , r, R lần lượt là chiều cao hạ xuống cạnh a, độ dài đường trung tuyến hạ xuống cạnh a, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 6 Kí hiệu S ABC là diện tích tam giác ABC. Định lí cosin: a2  b2  c2  2b.c.cos A b2  a2  c2  2a.c.cos B c2  a2  b2  2.a.b.cos C Định lí sin: a b c    2R sin A sin B sin C Công thức đường trung tuyến: m  2 a m  2 b m  2 c 2  b2  c 2   a 2 4 2  a 2  c 2   b2 4 2  a 2  b2   c 2 4 Các công thức tính diện tích tam giác: 1 1 1 S ABC  a.ha  b.hb  c.hc 2 2 2 1 1 1 S ABC  a.b.sin C  a.c.sin B  b.c.sin A 2 2 2 S ABC  p.r S ABC  S ABC  a.b.c 4R p  p  a  p  b  p  c  • Chú ý: Một tam giác hoàn toàn được xác định khi ta biết được ba yếu tố trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh(yếu tố ở đây được hiểu là cạnh hoặc góc). Như vậy khi thực hiện áp dụng hệ thức lượng vào một tam giác thì phải xác định được các yếu tố nào đã được xác định, còn trong các bài toán có nội dung thực tiễn thì phải các định được yếu tố nào có thể đo được bằng một số dụng cụ có sẵn. Khi thực hiện các bài toán về giải tam giác thì ta căn cứ vào số cạnh có sẵn để xác định áp dụng định lí sin, định lí cosin: 7 Với sơ đồ trên học sinh dễ nhận biết được việc sử dụng định lí sin hay cosin vào bài toán. GIẢI PHÁP 2: THIẾT KẾ CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN Quan điểm của tôi trong là: trong một tiết học không nhất thiết học sinh làm được thật nhiều bài tập, đối với tôi học sinh phải lĩnh hội được gì sau giờ học, ý nghĩa của hoạt động giải bài tập đối với thực tiễn. Vì vậy với tôi việc thiết kế những những bài toán sẽ làm cho buổi học không khí vui vẻ, tích cực. Việc sử dụng các phương tiện dạy học giúp học sinh có cái nhìn trực quan sinh động vào các vấn đề có liên quan đến thực tiễn. Thay vì cho học sinh làm bài tập 3 (SGK 10 Cơ bản, trang 59) Cho tam giác ABC có A  1200 , cạnh b  8 cm và c = 5 cm. Tính cạnh a . Tôi đưa ra một bài toán tương tự như sau: Bài toán 1 Một hồ nƣớc khá rộng nằm ở góc tạo bởi hai con đƣờng giao nhau tại điểm A. Ông Bean dự định đi từ vị trí B đến vị trí C bằng cách bơi qua hồ nƣớc. Biết rằng AB = 3km, AC = 4km, góc A = 1200 và sức bơi tối đa của ông Bean là 6km. Hãy đƣa ra lời khuyên chân thành đến ông Bean, có nên bơi hay không? (ông Bean là một nghệ sĩ hài rất nổi tiếng người Anh) 8 Học sinh nhận thấy rằng ông Bean chỉ nên bơi khi mà đoạn đường từ B đến C nhỏ hơn hoặc bằng 6. Vậy để khuyên ông Bean thì cần phải tính đoạn BC. BC 2  AB2  AC 2  2 AB.AC.cos A  32  42  2.3.4.cos1200  37  BC  37  6 Vậy ông Bean không nên bơi mà hãy đi bộ từ B đến A rồi từ A đến C cho an toàn. • Nhận xét: Với việc đưa một tình huống thực tiễn này vào trong bài toán sẽ tạo sự chú ý của học sinh, kích thích trí tò mò muốn được giải đáp câu hỏi được nêu. Bài toán 2: Một ô tô đi từ A và C nhƣng giữa A và C là một ngọn núi cao nên ô tô phải chạy thành hai đoạn đƣờng từ A đến B và từ B đến C, các đoạn đƣờng này tạo thành tam giác ABC có AB=13km, BC=km và góc B=1000 biết rằng cứ 1km đƣờng ô tô phải tốn 0,1 lit xăng. a) Tính số xăng phải tiêu thụ khi chạy từ A đến C qua B. b) Giả sử không có ngọn núi và giả sử có con đƣờng thẳng từ A đến C thì ô tô chạy trên con đƣờng này tốn bao nhiêu lit xăng. 9 C 1000 A B (hình minh họa) a) Để biết số lit xăng phải tiêu tốn trong quãng đường từ A đến C thì ta phải tính tổng độ dài quãng đường từ A đến C. Ta có: Tổng chiều dài quãng đường từ A đến C là 23 km, suy ra số lit xăng phải dùng trong quãng đường là 23.0,1 = 2,3 lit xăng. b) Giả sử có con đường chạy thẳng từ A đến C, khi đó: AC  BA2  BC 2  2BA.BC.cos B  132  102  2.13.10.cos1000  17,7km Vậy số lit xăng phải tiêu tốn là 1,77 lit xăng. •Nhận xét: -Bài toán trên chỉ là một bài toán đơn giản nhằm cho học sinh so sánh được lợi ích kinh tế nếu có con đường nối thẳng từ A đến C. Bài toán 3 Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác có AB = 400 m, AC = 460 m và BC = 700 m. D là một điểm nằm trên đoạn CB. Ngƣời ta kéo một đƣờng điện từ A đến B rồi kéo từ B đến D hết 650 m dây điện. Nếu kéo đƣờng dây điện chạy thẳng từ A đến D(đoạn thẳng AD) thì khi đó sẽ tiết kiệm đƣợc bao nhiêu m dây điện? A B D C 10 Bài toán quy về tính độ dài AD. Để tính chiều dài đoạn dây nối thẳng từ A đến D thì ta áp dụng vào tam giác ABD có BA  400 m, BD  250 m và BA2  BC 2  AC 2 4002  7002  4602 137 cos ABD    2 BA.BC 2.400.700 175 Khi đó AD  BA2  BD 2  2 BA.BD.cos ABD  4002  2502  2.400.250. 137  257m . 175 Vậy so với đường dây cũ thì đường dây mới ngắn hơn đường dây cũ khoảng 393 m. • Nhận xét: Bài toán 2 và 3 là những bài toán có một số nội dung thực tiễn nhằm cho học sinh biết vận dụng định lí cosin. Trong hai bài toán trên học sinh làm quen với những vấn đề về lợi ích kinh tế. Bài toán 4 Ông Bean đi du lịch đến nƣớc Ý và đến thăm tháp nghiêng nổi tiếng Pisa, ông tò mò muốn tự mình khám phá ra chiều dài của tháp. Trong tay của ông Bean có hai dụng cụ là thƣớc dây và dụng cụ ngắm đo góc. Tuy vậy ngƣời ta không cho trèo lên tháp, vì thế ông Bean đang bối rối không biết làm gì để thực hiện đƣợc khám phá này. Em hãy nghĩ cách giúp ông Bean. Hướng giải quyết vấn đề 11 - Ngắm chọn điểm A nằm trên đỉnh của tháp, điểm B dưới chân tháp và một điểm C trên mặt đất. Mục đích của việc chọn điểm này là tạo ra một tam giác mà có một cạnh là chiều dài của tháp. A - Đo độ bài đoạn BC bằng thước dây, đo góc ABC , BCA bằng dụng cụ ngắm đo góc. Đây là những yếu tố hoàn toàn thực hiện được trên mặt đất. - Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta sẽ tính được độ dài AB là chiều dài của tháp: AB BC BC.sin C   AB  sin C sin A sin A   (trong đó A  1800  B  C ) B C •Nhận xét: Đây là một bài toán tìm ý tưởng để giải quyết vấn đề. Học sinh cần xác định được tam giác mà có một cạnh là chiều dài của tháp, đo được những yếu tố nào bằng những dụng cụ đã cho. •Ghi chú: - Hiện giờ ở các của hàng bán đồ gia dụng hay các của hàng đồ chơi trẻ em có rất nhiều các vật dụng có gắn đèn chiếu tia laze, đặc biệt là chiếc đèn pin nhỏ có chiếu tia laze của trẻ nhỏ ta có thể sử dụng vật dụng này để làm dụng cụ ngắm xác định điểm ở xa và xác định tia để đo góc. Chẳng hạn trong ví dụ trên ta có thể hướng tia laze từ điểm C hướng lên đỉnh tháp và chọn được điểm A, rồi ta sẽ đo được góc hợp bởi CA và CB chính là góc hợp bởi phương của đèn với CB. Bài toán 5 Ngƣời ta dự định xây một cây cầu bắc qua một con sông tƣơng đối rộng và chảy xiết. Trong một đợt khảo sát ngƣời ta muốn đo khoảng cách giữa hai điểm A và B ở hai bên bờ sông. Khó khăn là ngƣời ta không thể qua sông bằng bất kì phƣơng tiện gì. Em hãy đặt mình vào vị trí của ngƣời khảo sát để giải quyết tình huống này. Biết rằng em có dụng cụ ngắm đo góc và thƣớc dây. 12 Phân tích: Để tính được chiều dài đoạn AB ta sẽ tạo một tam giác mà có AB là một cạnh. Ta chọn một điểm C nằm trên bờ (có thể cùng phía với A hoặc với B) và ta xem trong tam giác này ba yếu tố nào ta đo được bằng các dụng cụ đã có. B  A  Hướng giải quyết vấn đề: -Ta chọn một bên bờ, giả sử bên bờ có chứa điểm A, ta lấy một điểm C. B A -Ta thực hiện việc đo độ dài AC bằng thước dây và các góc BAC , BCA bằng dụng cụ ngắm đo góc. -Áp dụng định lí sin để tìm AB. C AB AC AC.sin C   AB  sin C sin B sin B Bài toán 6 Bạn Tèo chỉ có dụng cụ là thƣớc thẳng dài và bạn ấy muốn đo bán kính của đƣờng tròn lớn của tƣợng đài ở công viên Sông Ray(tâm của đƣờng tròn lớn này bị che khuất bởi tƣợng cây đuốc). Bạn Tèo đang loay hoay không biết làm cách nào để đo đƣợc bán kính của đƣờng tròn này. 13 a) Em hãy tìm cách giúp bạn Tèo hoàn thành công việc. b) Hãy minh họa bằng một kết quả cụ thể với số đo tự cho. Ý tƣởng: - Đo chiều dài của đường tròn, sau đó ta tính được bán kính bằng công thức chu vi . Nhưng vì bạn Tèo chỉ có thước dài nên không thể dùng thước dài để r 2 đi đo chiều dài đường tròn được. Vì vậy ta đi tìm cách khác, ta nhận thấy các công thức về hệ thức lượng trong tam giác có một số công thức có liên quan đến bán kính đường tròn nên ta dùng các công thức này để tính bán kính đường tròn như: 2R  a abc ,S , S  p.r sin A 4R - Dùng định lí sin thì phức tạp vì phải tính cosA rồi mới tính được sinA. - Dùng công thức S  p.r thì việc xác định tam giác ngoại tiếp đường tròn cũng là việc khó. abc có vẻ hợp lí hơn bởi chỉ cần lấy ba điểm nằm trên 4R đường tròn ta dễ dàng được một tam giác và độ dài ba cạnh luôn đo được bằng dụng cụ đã có. - Dùng công thức S  14 Lời giải: B, C nằm trên đường tròn. a) AB  c, BC  a, CA  b . Tính diện tích ABC bằng công thức hê-rông S  p  p  a  p  b  p  c  . Suy ra bán kính R  abc . 4S b) Giả sử đo được độ dài AB  35m, BC  39m, AC  26m. Khi đó diện tích tam giác ABC là S  50.15.11.24 Bán kính đường tròn là R  35.39.26  19,4m 4. 50.15.11.24 Bài toán 7: Trong một buổi gặp nhau cuối tuần nghệ sĩ hài Xuân Bắc đặt ra một tình huống đối với giáo sƣ Cù Trọng Xoay nhƣ sau: “Một ngƣời có chiều cao từ chân đến mắt là 1,6m. Với hai dụng cụ đo là thƣớc dây và giác kế, ngƣời đó muốn đo chiều cao của một cái cây cao. Vậy làm thế nào để đo đƣợc chiều cao của cây.” Nếu đƣợc ở vị trí của giáo sƣ Cù Trọng Xoay em làm cách nào để đo đƣợc chiều cao của cây? Hãy minh họa bằng một kết quả cụ thể. Một người có chiều cao từ chân đến mắt là 1,6m. Với hai dụng cụ đo là thước dây và giác kế, người đó muốn đo chiều cao của một cái cây cao. Vậy làm thế nào để đo được chiều cao của cây? 15 Ý tƣởng: - Chọn một vị trí đứng là điểm H, gọi A là vị trí của mắt khi người đó đứng tại H, B là vị trí tại gốc cây, C là đỉnh của cây. - Áp dụng vào tam giác ABC để tính BC, các yếu tố có thể đo được: CAB, ABC và độ dài AB. - Dùng thước dây đo độ dài HB, áp dụng vào tam giác ABH để tính AB và góc HAB . - Ta có CBA  HAB, AB xác dịnh được, dùng giác kế để đo góc BAC . Từ đó áp dụng định lí sin vào tam giác ABC để tính BC. 1,6 •Giả sử đo được độ dài HB  20cm. Khi đó AB  HA2  HB 2  sin HAB  1,6 2  202  20,06m . HB 20   HAB  860 AB 20,06 Dùng giác kế đo góc BAC , giả sử đo được BAC  450 , ta suy ra: ACB  490 CB AB 20,06.sin 450 Ta có:   BC   18,79m sin A sin C sin 490 Vậy chiều cao trong trường hợp này là 18,79m. 16 Bài toán 8 (*) Bạn Lan xin mẹ một thửa đất trong khu vƣờn nhà để trồng hoa. Mẹ vui vẻ đồng ý nhƣng với một điều kiện thửa đất đó phải là một tam giác vuông. Bạn Lan đƣợc mẹ hƣớng dẫn lấy một sợi dây có độ dài 14m rồi tạo thành đoạn gấp khúc BAC sao cho tam giác ABC vuông tại A. Bạn Lan rất thích hoa nên muốn diện tích trồng hoa lớn nhất, vậy tam giác ABC có đặc điểm gì để có diện tích lớn nhất. Hƣớng dẫn: Tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên 1 diện tích tam giác ABC bằng AB. AC 2 Ta lại có AB  AC  14 . A A Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số AB và AC ta được  AB  AC  AB. AC  B 2 142   49 . 4 4 Dấu “ = ” xảy ra khi AB = AC =7 C Vậy tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A. Bài tập rèn luyện 1. Một cây cột điện cao 20 m được đóng trên một triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương nằm ngang một góc 170. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc. Tìm chiều dài của dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc bằng 72m. C Hƣớng dẫn: - Tính góc ABC - Áp dụng vào tam giác ABC để tính AC. - Đáp số AC  80,16m . 20m B A 17 0 D 2. Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới góc BPA  350 và BQA  480 . Tính chiều cao của tháp. (sgk 10 cơ bản-trang 60) 17 B Hƣớng dẫn: h p -Tính PBQ, BQ . - Đáp số: AB  568,457m . 35 0 P 48 0 300m b Q A 3. Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB  12m , cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt giác kế . Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1 , B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của  490 và DB1C1  350 . Tính chiều cao CD của tháp. Người ta đo được DAC 1 1 tháp đó. (sgk hình 10-cơ bản, trang 60) D Hƣớng dẫn: - Tính A1DB1 , A1D, C1D . - Đáp số CD  C1D  C1C  22,772m 49 0 C1 C A1 35 0 12m 1,3m A 12m B 4. Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên người ta làm như sau: xác định một điểm B có khoảng cách AB = 3,2 km và đo được góc ACB  370 . Hãy tính khoảng cách AC biết rằng BC = 1,3km. B C B1 A Đáp số: AC  4,1km . 5. Một hồ nước có hình tròn nằm giữa ba con đường( hình vẽ), ba con đường thẳng cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho ba con đường này đều là 18 tiếp tuyến của hình tròn. Làm cách nào để đo được bán kính của hồ nước mà không được lội xuống nước. Hãy lấy một ví dụ cụ thể để minh họa cho cách thực hiện đó. • Hƣớng dẫn: - Đo độ dài ba đoạn AB, BC, CA. - Tính diện tích tam giác ABC. - Sử dụng công thức diện tích tam giác có liên quan đến bán kính đường tròn nội tiếp tam giác để tính bán kính. B A C GIẢI PHÁP 3: TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH Phương pháp thảo luận nhóm đang được phần lớn giáo viên sử dụng trong tiết dạy của mình nhằm mang đến cho học sinh tính chủ động trong học tập. Tuy vậy không phải tiết học nào cũng thành công, đối với bộ môn toán thì lại càng khó áp dụng hơn bởi đa số học sinh trong lớp đều là học sinh có học lực từ trung bình trở xuống, lôi kéo được số học sinh này tham gia tích cực vào thảo luận một cách tích cực là không hề đơn giản. Để kích thích các em tham gia vào hoạt động nhóm thì phải tạo cho các em một sự thích thú, vậy làm sao để các em có sự thích thú! Khi dạy bài tập hệ thức lượng trong tam giác tôi nhận thấy rằng đây là phần có liên quan đến nhiều hình ảnh trong thực tiễn nên tôi thiết kế ra những tình huống nhằm kích thích sự tò mò của các em. Theo tôi nên chú trọng nhiều đến việc học sinh đưa ra ý tưởng giải quyết vấn đề hơn là việc tính toán, qua đó giáo dục các em tập đưa ra ý tưởng để giải quyết vấn đề. Khi các em ở vị trí người giải quyết tình huống thì các em có quyền chủ động cho các số liệu (các yếu tố có thể đo được trong thực tiễn) và thực hiện tính toán kết quả theo các số liệu tự cho đó. Qua quá trình quan sát các hoạt động nhóm tôi nhận thấy rằng các em tranh luận sôi nổi để đưa ra ý tưởng giải quyết tình huống. Các em đã tự phát hiện ra những sai lầm của nhau hoặc phát hiện ra những điểm chưa hợp lí. Chẳng hạn: Ngƣời ta dự định xây một cây cầu bắc qua một con sông tƣơng đối rộng và chảy xiết. Trong một đợt khảo sát ngƣời ta muốn đo khoảng cách giữa hai điểm A và B ở hai bên bờ sông. Khó khăn là ngƣời ta không thể qua sông bằng bất kì phƣơng tiện gì. Em hãy đặt mình vào vị trí của ngƣời khảo sát để giải quyết tình huống này. Biết rằng em có dụng cụ ngắm đo góc và thƣớc dây. Hãy minh họa bằng một kết quả cụ thể (tự cho số liệu) Khi đó tôi nhận được kết quả là các nhóm đều tìm ra được cách giải quyết vấn đề : 19 -Ta chọn một bên bờ, giả sử bên bờ có chứa điểm A, ta lấy một điểm C. -Ta thực hiện việc đo độ dài AC bằng thước dây và các góc BAC , BCA bằng dụng cụ ngắm đo góc. B A -Áp dụng định lí sin để tìm AB. C Trong phần tự cho số liệu và tính toán: ◘ Nhóm 1: Đo được AC  50m, A  450 , C  1100 . Khi đó AC.sin C 50.sin1100 AB    137,37m sin B sin 200 ◘ Nhóm 2: Đo được AC  4m, A  500 , C  1000 . Khi đó AB  AC.sin C 4.sin1000   7,88m sin B sin 300 ◘ Nhóm 3: Đo được AC  3km, A  600 , C  700 . Khi đó AC.sin C 3.sin 700 AB    3,68km sin B sin 500 ◘ Nhóm 4: Đo được AC  62m, A  550 , C  880 . Khi đó AC.sin C 62.sin880 AB    102,96m sin B sin 370 Tôi thấy các em nhận xét kết quả của nhau như sau: - Nhận xét kết quả của nhóm 2: lấy giá trị AC quá nhỏ nên dẫn đến AB quá nhỏ so với bề rộng của sông. - Nhận xét kết quả của nhóm 3: lấy giá trị AC quá lớn để có thể đo bằng thước dây. - Nhận xét kết quả của nhóm 1 và 4: có kết quả hợp lí. •Nhận xét: Những kết quả trên đều đúng theo những số liệu đã cho, các em đã tự trao đổi và nhận xét các kết quả của nhau, điều đó mang đến cho buổi học không khí sôi nổi tích cực. Bạn Tèo chỉ có dụng cụ là thƣớc thẳng dài và bạn ấy muốn đo bán kính của đƣờng tròn lớn của tƣợng đài ở công viên Sông Ray(tâm của đƣờng tròn lớn này bị che khuất bởi tƣợng cây đuốc). Bạn Tèo đang loay hoay không biết làm cách nào để đo đƣợc bán kính của đƣờng tròn này. a) Em hãy tìm cách giúp bạn Tèo hoàn thành công việc. b) Hãy cho một kết quả cụ thể với số đo tự cho. 20