Skkn ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

  • Số trang: 20 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 11 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

A- ĐẶT VẤN ĐỀ Đổi mới phương pháp dạy học nói chung và phương pháp dạy toán nói riêng trong nhà trường phổ thông là vấn đề rất cần thiết và phải được thực hiện thường xuyên. Lựa chọn phương pháp thích hợp cho mỗi tiết dạy, mỗi bài dạy Toán theo từng đối tượng học sinh là cả một quá trình nghệ thuật của người thầy. Qua trao đổi với nhiều thầy cô và học sinh chúng tôi tự đặt câu hỏi cho mình là làm thế nào để truyền tải kiến thức không nhỏ theo tinh thần sách giáo khoa cho học sinh? Làm thế nào để học sinh có cái nhìn tổng thể, nắm được những phương pháp tổng quát để giải lớp các bài toán? Theo tôi để đạt được những điều này đòi hỏi giáo viên phải có nhiều kỹ năng giải toán và càng có nhiều thuật toán thì càng có nhiều kinh nghiệm giúp học sinh định hướng giải nhanh một bài toán. Bài toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” là một trong những bài toán khó được quan tâm nhiều ở các kì thi trung học cơ sở đến Đại học. Để giải loại bài toán này, đòi hỏi giáo viên, học sinh có kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích, hình học. Để giải bài toán này có rất nhiều phương pháp. Trong bài viết này chúng tôi chỉ nêu một phương pháp cơ bản mà chúng tôi thường dùng khi dạy học sinh các lớp ban Khoa học tự nhiên, đặc biệt các lớp Bồi dưỡng học sinh giỏi đó là “Ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”. 1 B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận Sự phát triển đi lên của toán học cũng như sự hoàn chỉnh các dạng toán học là một quá trình khái quát hóa, tổng quát hóa. Những hiểu biết rời rạc trong việc giải Toán sẽ dần dẫn được thống nhất, chắp nối thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh. Đó là cơ sở giúp cho học sinh hoạt động học tập có hiệu quả cao và hoàn thiện các chức năng cơ bản như: - Chức năng hình thành, cũng cố kiến thức và kỹ năng. - Chức năng hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, tạo hứng thú học tập, rèn luyện phẩm chất đạo đức, vận dụng kiến thức vào đời sống. - Chức năng phát triển năng lực tư duy, hình thành phẩm chất tư duy khoa học. - Chức năng kiểm tra kiến thức và đánh giá trình độ học sinh. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một bài toán cơ bản trong chương trình toán học phổ thông. Để giải quyết lớp bài toán này ta thường dùng các phương pháp như: đạo hàm, đồ thị, sử dụng các bất đẳng thức cổ điển…., tuy nhiên đối với các bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có điều kiện ban đầu dưới cách nhìn và sau một số phép biến đổi ta có thể lượng giác hóa được thì bài toán sẽ được giải quyết một cách dễ dàng và thuận lợi hơn. 2. Thực trạng vấn đề Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thông thường học sinh phải sử dụng kiến thức liên quan đến bất đẳng thức. Do đó đứng trước bài toán này, đa số học sinh lúng túng. Sử dụng lượng giác là chuyển bài toán đại số, hình học, … sang bài toán mới mang hình thức lượng giác thuần túy. Việc lượng giác hóa được nghĩ đến khi dữ liệu bài toán có mang dấu hiệu đặc biệt của các yếu tố trong bài. Nếu phát hiện được, định hướng được, chuyển được sang lượng giác thì rất nhiều bài toán được giải nhanh hơn và đơn giản hơn nhờ công thức lượng giác và bất đẳng thức lượng giác quen thuộc. Trong nhiều năm phân công dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và dạy các lớp thuộc ban Khoa học tự nhiên, chủ đề này cho học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi (khoảng 12 tiết) vào cuối năm học 11. Đa số học sinh tiếp cận được và đều có cách giải, cách nhìn bài toán dưới con mắt lượng giác hóa khi phát hiện được dấu hiệu một cách hiệu quả. 2 3. Giải pháp và tổ chức thực hiện 3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT a. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: (SGK 12 NC trang 18)  Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập D  D �� a) Nếu tồn tại một điểm x0 �D sao cho f ( x) �f ( x0 ), x �D thì số M  f  x0  được gọi là gía trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D. Kí hiệu: M  max f ( x) . x�D b) Nếu tồn tại một điểm x0 �D sao cho f ( x) �f ( x0 ), x �D thì số m  f  x0  được gọi là gía trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D. Kí hiệu: m  min f ( x) . x�D Từ định nghĩa trên thông thường để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần tiến hành các bước sau: Bước 1: Xác lập bất đẳng thức dạng f ( x) �M (hay f ( x) �m ), với M, m là các hằng số. Bước 2: Kiểm tra dấu đẳng thức “có” xảy ra. Bước 3: Kết luận max (hay min) theo yêu cầu. b. Các dấu hiệu cơ bản để lượng giác hóa bài toán nhờ phương pháp đặt ẩn phụ:  Trường hợp cho trước điều kiện của biến: Điều kiện của Cơ sở lượng giác biến x, y Đặt ẩn phụ với t x �1 x  sin t �1 hoặc �  � x  sin t , t ��  ; � hoặc x  cos t �1 �2 2� x  cos t , t � 0;   x �k , k  0 x  k sin t �k hoặc  k cos t �k �  x � x  k sin t , t ��  ; � �2 2� hoặc x  k cos t , t � 0;   a 2 x2  b2 y 2  c2  a, b, c  0  � c x  sin t � � a , t � 0;2  � �y  c cos t � b a 2 x 2  b2 y 2  c 2 sin 2 t  c 2 cos 2 t  c 2  sin 2 t  cos 2 t   c 2 3 x �k x k k �  � � 3 � , t �� 0; ��� ; � x  �k cos t cos t � 2� � 2 �  Trường hợp điều kiện của biến x, y không cho trước mà ẩn trong hàm số chứng ta cần lưu ý cho học sinh mối liên hệ giữa biểu thức đại số và biểu thức lượng giác và công thức lượng giác tương ứng. Biểu thức đại số Đặt ẩn mới Công thức lượng giác 1  x2 2 �1  � x  sin t , t ��  ; sin�t  cos t  cos t � 2 2 �2 1  cos t  sin t  sin t hoặc x  cos t , t � 0;   x x 1 2 x k 2 2 4 x3  3 x 2 x2  1 2x 1  x2 x y 1  xy x yz  xyz k �  � � 3 � , t ��0; ��� ; � sin t � 2� � 2 � �  � x  tan t , t ��  ; � �2 2� �  � x  k tan t , t ��  ; � �2 2� x  cos t , t � 0;  x  cos t , t � 0;  �  � x  tan t , t ��  ; � �2 2� �x  tan u �  � , u, v �� ; � � �2 2� �y  tan v tan u  tan v  tan(u  v ) 1  tan u.tan v x  tan  ; y  tan  ; z  tan  �  �  ; � với  ,  ,  �� �2 2� 1 1 cos 2 t x2  1   tan 2 t  tan t  tan t hoặc x x2  1 k �  � � 3 � , t �� 0; ��� ; � cos t 2 � � 2� � x2  1  1 1 sin 2 t  cot 2 t  cot t  cot t x 2  1  tan 2 t  1  1 cos 2 t k2 x  k  k tan t  k  cos 2 t 4cos3 t  3cos t  cos3t 2 2 2 2 2 2cos 2 t  1  cos 2t 2 tan t  tan 2t 1  tan 2 t tan   tan   tan   tan  .tan  .tan  tan   tan  �   tan  1  tan  .tan  � tan       tan    �       k 4 x  tan  ; y  tan  ; z  tan  xy  yz  zx  1 * Nếu cho x, y, z > 0 thì      �  �  ; � với  ,  ,  �� �2 2� tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan   1 tan   tan  1 �  1  tan  .tan  tan  � � � tan       tan �   � �2 � � 2  2  2    k 2 * Nếu cho x, y, z > 0 thì 2  2  2   c. Những điều cần lưu ý về miền giá trị của biểu thức lượng giác: �  �  ; �thì tập giá trị của sint là  1;1 ; sin t �1 . * Nếu tập giá trị của t là � �2 2� * Nếu tập giá trị của t là  0;  thì tập giá trị của cost là  1;1 ; cos t �1 . * Nếu tập giá trị của t là  0;2  thì tập giá trị của a cos t  b sin t là �  a 2  b 2 ; a 2  b 2 �. � � �  � � 3 � 0; ���  ; �thì tập giá trị của tan t  cot t là * Nếu tập giá trị của t là � 2 � � � 2 �  2;� . * Điều kiện để phương trình a.cos x  b.sin x  c có nghiệm là a 2  b 2  c 2 �0 . d. Các bước sử dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: - Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa. Biến đổi điều kiện của biến cho xuất hiện dấu hiệu áp dụng. - Bước 2: Đặt ẩn phụ và phạm vi góc lượng giác tương ứng thích hợp. Đưa biểu thức đã cho sang biểu thức lượng giác. - Bước 3:Thu gọn biểu thức lượng giác. Sử dụng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản. - Bước 4: Chứng tỏ tồn tại một giá trị của biến x để đẳng thức xảy ra. - Bước 5: Kết luận. 3.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN DẠNG 1: Sử dụng điều kiện biến x với x �k , k  0 Ví dụ 1: Cho x �1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P   1 x 2009  1 x 2009 Giải: 5 Từ điều kiện x �1 ta nghĩ đến dùng phương pháp lượng giác để tìm. Đặt x  cos 2t ,2t � 0;   . Khi đó ta có: P   1  cos 2t  2009   1  cos 2t  2009   2sin 2 t  2009   2cos 2 t  2009 .  22009.(sin 4018 t  cos 4018 t ) Suy ra: P �22009.(sin 2 t  cos2 t ) hay P �22009 . Ta có: Tồn tại P  22009 t 0 � khi � sin t.cos t  0 hay �  . Lúc đó: x  1 � t � 2 hoặc x  1 . P  22009 khi x  �1 . Vậy xmax � 1;1 Ví dụ 2: Cho x �1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải: �� cos  t,t � 0; x 1. Tương tự ví dụ 1, đặt x  � � 2� �  2  P  x . 4 x 2  3 3 Lúc đó: P  cos t. 4cos t  3  4cos t  3cos t  cos3t �1 . Ta có: P  1 � cos3t  1 � t  0 . Suy ra: x  1 hoặc x  1 . Vậy max P  1 khi x  �1 . x� 1;1 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  3. 9  x 2  4 x Giải: x 2 0 x 3. Điều kiện: 9 � Thông qua điều kiện bài toán ta đặt x  3cos t , t � 0;   . Lúc đó: P  3. 9  9cos 2 t  4.3.cos t  9.sin t  12.cos t . 3 � sin   � 4 � �3 � �� 5  15 � sin t  cos t � 15cos(t   ) với � , �� 0; � 4 5 2� �5 � � � cos   � 5 12 Suy ra: P �15. Tồn tại x  để P  15 . 5 P  15 khi x  12 . Vậy xmax � 3;3 5 Ví dụ 4: Cho x thỏa điều kiện 1 �x �3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4 x3  24 x 2  45 x  26 Giải: Từ điều kiện 1 �x �3 ta suy ra: 2 �x  1 �2 � x  2 �1 . 6 Đặt x  2  cos t � x  2  cos t , t � 0;   . Khi đó: P  4(2  cos t )3  24(2  cos t ) 2  45(2  cos t )  26  4cos 3 t  3cos t  cos3t �1 . �  t 5 Ta có: P  1 � cos3t  1 � � 3 . Suy ra: x  hoặc x  1. � 2 t  � P  1 khi x  5 hoặc x  1 . Vậy min x� 1;3 2 * Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp đạo hàm (chương trình học 12), tuy nhiên giải bằng cách trên học sinh lớp 11 vẫn làm được. Ví dụ 5: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa: x 2  y 2  z 2  xyz  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  y  z . Giải: Từ điều kiện ban đầu ta suy ra: x, y, z � 0;2  . Từ đây gợi chúng ta đi đến phép thế lượng giác. �� 0; � Đặt x  2cos  , y  2cos  , z  2cos  với  ,  ,  �� . � 2� Ta xem điều kiện x 2  y 2  z 2  xyz  4 như là một phương trình bậc hai theo ẩn x. Từ đó ta có: x   yz  Suy ra: 2.cos    4  y  . 4  z  . 2 2 4cos  .cos   2  4  4cos   . 4  4cos   2 2 2 � 4.cos   4cos  .cos   4sin  .sin  � cos   cos      � cos   cos        �     Khi đó ta có:    � � P  2  cos   cos   cos    2 � 2cos .cos  1  2sin 2 � 2 2 2� � 2 � 3 �  �  1 �� 3 2 � �2 � 2sin .1  1  2sin � 2 �  2. � sin  ���2.  3. 2 2 2 � � � � 2 2 �� 2  1  Ta có: P  3 khi sin  . Suy ra:       hay  x; y; z    1;1;1 . 3 2 2 P  3 khi  x; y; z  bằng  1;1;1 . Vậy xmax � 3;3 7 DẠNG 2: Sử dụng điều kiện: x 2  y 2  1 hoặc a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 Ví dụ 1: Cho x 2  y 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 6  y 6 Giải: �x  sin t , t � 0;2  . Từ điều kiện x 2  y 2  1 ta đặt � y  cos t � 3 Khi đó: P  sin 6 t  cos 6 t  1  sin 2 2t . 4 1 Do 0 �sin 2 t �1, t nên �P �1. 4 �x  0 �x  �1  Ta có: P  1 � sin 2t  0 � t  k . Suy ra: � hoặc � . 2 �y  �1 �y  0 1   P  � sin 2 2t  1 � cos 2 2t  0 � t   k . 4 4 2 � 2 x� � � 2 Suy ra: � . 2 �y  � � � 2 � 2 x� � � 1 2 P  Vậy min khi ; � x 2  y 2 1 4 2 �y  � � � 2 x  �1 �x  0 m ax P  1 khi � hoặc . 2 2 � � x  y 1 �y  0 �y  �1 Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2  y 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2  x 2  6 xy  1  2 xy  2 y 2 . (Đề thi Đại học – Khối B 2008) Giải: �x  cos t , t � 0;2  . Từ điều kiện x 2  y 2  1 ta đặt � �y  sin t 2  cos 2 t  6cos t.sin t  1  cos 2t  6sin 2t Khi đó: P  .  1  2cos t.sin t  2sin 2 t 2  sin 2t  cos 2t Suy ra:  2  sin 2t  cos 2t  P  1  cos 2t  6sin 2t �  1  P  cos 2t   6  P  sin t  2 P  1 (*) 8 Phương trình (*) có nghiệm theo t 2 2 2 2 �  1  P    6  P  � 2 P  1 � 2 P  6 P  36 �0 � 6 �P �3 . 4 3 * Với P  3 , từ (1) suy ra: 4cos 2t  3sin t  5 � cos 2t  sin t  1 (1) 5 5 4 � cos   � � �� 5 , �� 0; �. Từ (1) ta có: Đặt � 3 2� � � sin   � 5  cos  2t     1 � t   k . 2   k � � x  cos �  k �  1 .cos 2 �2 � Khi đó: .   k � � y  sin �  k �  1 .sin 2 �2 � 1 � �3 Suy ra:  x; y   � ; �khi k chẵn hoặc � 10 10 � 1 � � 3 ;  x; y   � khi k lẻ. � 10 � � 10 * Với P  6 , từ (1) suy ra: 5cos 2t  12sin t  13 � 5 12 cos 2t  sin t  1 (1) 13 13 5 � cos   � � �� 13 ,  �� 0; � Đặt � . Từ (1) ta có: 12 2 � � � sin   � 13  cos  2t     1 � t    k . 2 k � � �� x  cos �   k �  1 .cos �  � �2 � �2� Khi đó: . k � � �� y  sin �   k �  1 .sin �  � �2 � �2� 2 � �3 Suy ra:  x; y   � ;  khi k chẵn hoặc � 10 � � 10 2 � � 3 ;  x; y   � khi k lẻ. � � 10 10 � 9 Vậy max P  3,min P  6 . Ví dụ 3: Cho x, y là hai số thực thay đổi và thỏa hệ thức x 2  y 2  1 . 2 2 1� � 1 � � Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  �x 2  2 � �y 2  2 � y � � x � � Giải: �x  cos t , t � 0;2  . Từ điều kiện x 2  y 2  1 ta đặt � y  sin t � Khi đó: 2 2 1 � � 2 1 � 1 1 � 2 P  �cos t   sin t  2 � cos 4 t  sin 4 t   4 4 2 � � 4 cos t � � sin t � cos t sin t � 1 16 � � � � 1 2 ��   cos 4 t  sin 4 t  � 1  4  1  sin 2 t . 1  � � � � � 4 4 4 4 � cos t.sin t � � 2 �� sin 2t � 25 � 1� 1 �  1  16   4  . Khi đó: P �� 2 � 2� 25   � sin 2 2t  1 � cos 2t  0 � t   k . Ta có: P  2 4 2 � 2 x� � � 2 Khi đó: � . 2 �y  � � � 2 � 2 x� � � 25 2 P  Vậy min khi . � 2 2 x  y 1 2 �y  � 2 � � 2 �x 2  y 2  9 �2 2 Ví dụ 4: Cho các số thực x, y, z, t thỏa điều kiện: �z  t  16 . Hãy tìm �xt  yz �12 � giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  z. Giải: �x  3sin a Từ điều kiện x 2  y 2  9 ta đặt � . �y  3cos a 10 �z  4sin b Từ điều kiện z 2  t 2  16 ta đặt � . t  4cos b � Ta có: xt  yz  12sin a.cos b  12.cos a.sin b  12.sin(a  b) �12 . Khi đó: sin( a  b) �1 , kết hợp với sin( a  b) �1, a, b ta được  sin( a  b)  1 . Suy ra: a  b   k 2 . 2 Do đó:  P  x  z  3sin a  4sin b  3sin a  4sin(  a  k 2 )  3sin a  4cos a 2 2 2 2 2 Suy ra: P  3� 4 . sin a cos a P 5. 4 � cos a  � � sin a cos a 3 � 5 P  5 �  � tan a  . Ta có: Khi đó: � . 3 3 4 4 � sin a  � � 5 �9 12 16 12 � Từ đó ta nhận được:  x; y; z; t   � ; ; ; �hoặc �5 5 5 5 � 9 12 16 12 �  ; ; ; �  x; y; z;t   � . Vậy max P  41 . � 5 5� �5 5 DẠNG 3: Sử dụng điều kiện x �1 hay x �m (m  0) Lưu ý: + Bài toán có chứa x 2  m2 thì đặt m �  � � 3 � x , t �� 0; ��� ; � . cos t 2 � � 2� � + Công thức liên quan: 1 x2  1   1  tan 2 t  tan t  tan t . 2 cos t x Ví dụ 1: Cho x  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  . x2  1 Giải: 1 �� , t �� 0; � Do x > 1 nên đặt x  . cos t � 2� 1 1 1 1 1 1 1 P    �2 . Khi đó: cos t cos t cos t sin t cos t sin t 1  1 cos 2 t (Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương sint, cost) 11 2 2 2  �2 2 . sin 2t sin 2t  Ta có: P  2 2 � sin 2t  1 � t  . Suy ra: x  2 . 4 P  2 2 khi x  2 . Vậy min x 1 Suy ra: P �2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của P  x2  1  y2  1 . xy Giải: �x 2  1 �0 �2 1 0 Điều kiện: �y �۳ �xy �0 � �x 1 � �y 1 . �xy �0 � 1 � x  � � cos a �  � � 3 � ; a, b �� 0; ��� ; � Từ điều kiện trên ta đặt � . 1 2 2 � � � � �y  � cos b 1 1  1  1 2 2 cos a cos b Khi đó: P    tan a  tan b  .cos a.cos b 1 1 . cos a cos b  sin a.cos b  cos a.sin b  sin(a  b) . Suy ra: P �1. Khi x  y  2 thì đẳng thức xảy ra. Vậy min P  1 khi x  2 . DẠNG 4: Sử dụng lượng giác khi bài toán có xuất hiện biểu thức 1  x 2 hay x 2  m2 �  �  ; �. Lưu ý: Bài toán có chứa x 2  m2 thì đặt x  m.tan t , t �� �2 2� m2 Khi đó: x 2  m2  m2  tan 2 t  1  cos 2 t 1  x6 3 . Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P   1  x2  Giải: �  �  ; � . Với mọi x ��, đặt x  tan t , t �� �2 2� 12 sin 2 t sin 4 t 1  2 1  tan 6 t 1  tan 2 t  tan 4 t cos t cos 4 t   Khi đó: P  3 2 1  1  tan 2 t   1  tan 2 t  cos 4 t  cos 4 t  sin 2 t.cos 2 t  sin 4 t   sin 2 t  cos 2 t   3sin 2 t.cos 2 t 2 3  1  sin 2 2t 4 1 1 �P �1. Ta có: P  � sin 2 2t  1 � x  �1. 4 4 1 P  1 � sin 2 2t  0 � x  0. Vậy min P  ,m ax P  1. 4 3  8 x 2  12 x 4 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P  .  1  2 x2  Do 0 �sin 2 2t �1 nên Giải: �  � 2 x  tan t , t ��  ; � . 2 2 � � 2 4 4 3  4 tan t  3tan t 3cos t  4sin 2 t.cos 2 t  3sin 4 t P   2 2 Khi đó: 2  1  tan t   cos2 t  sin 2 t  Với mọi x ��, đặt  3  sin 2 t  cos 2 t   2sin 2 t.cos 2 t 2 1  3  sin 2 2t 2 5 5 2 Do 0 �sin 2 2t �1 nên �P �3. Ta có: P  � sin 2 2t  1 � x  . 2 2 2 5 P  3 � sin 2 2t  0 � x  0. Vậy min P  ,m ax P  3. 2 ( a  b)(1  ab) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P  . (1  a 2 )(1  b 2 ) Giải: Dấu hiệu chuyển sang lượng giác là: 1  a 2 ,1  b 2 . �  �  ; � . Đặt a  tan  , b  tan  ; ,  �� �2 2� Khi đó ta có: ( a  b)(1  ab) (tan   tan  )(1  tan  tan  ) P  (1  a 2 )(1  b 2 ) (1  tan 2  )(1  tan 2  ) 13 sin(   ) cos  .cos   sin  .sin  . cos  .cos  cos  .cos   sin(   )cos(   ) 1  .sin  2(   )  2 1 1 1 Do 1 �sin  2(   )  �1 nên  � sin  2(   )  � 2 2 2 1 1 hay  �P � . 2 2 a  1 a0 � � 1 2    �   1 Ta có: P   � sin � . Suy ra: hoặc .   � � � � b0 b  1 2 � � a 1 a0 � � 1 2    �  1 Ta có: P  � sin � . Suy ra: hoặc .   � � � � b0 b 1 2 � � 1 1 Vậy min P   ,m ax P  . 2 2  cos 2  cos 2  . Ví dụ 4: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất, giá  x  y   1  xy  trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 2 .(Đề thi Đại học năm 2008 – Khối D)  1  x  . 1  y  Giải: �� 0; � . Đặt x  tan  , y  tan  ; ,  �� � 2� Khi đó ta có: �sin  sin  �� sin  sin  �  .� 1 . tan   tan    1  tan  .tan   � cos  cos  � cos  cos  �  � � � � P  2 2 2 2  1  tan   . 1  tan   � sin  � � sin  � 1 1 � �.� � � cos  � � cos  �  sin  .cos   cos .sin   . cos  .cos   sin  .sin   2 2  sin   cos  . sin   cos   sin      .cos      1 sin 2  sin 2    .  1  sin 2  . 1  sin 2   2  1  sin 2  .  1  sin 2    � 1 �1  sin 2  1  sin 2  � 1 � 1 1  �  � � 2 � 1  sin 2  . 1  sin 2   � 2 � 1  sin 2  1  sin 2 � � Do 0 �2 ,2 � nên 0 �sin 2 �1,0 �sin 2  �1. 14 1 1 Suy ra:  �P � . 4 4 �  sin 2  1  � �x  1 1 � � � 4 . Suy ra: � . Ta có: P  � � sin 2   0 y  0 4 � � � �  0  0 � sin 2  0 � � �x  0 1 � �  . Suy ra: � . Ta có: P   � � sin 2   1 y  1 4   � � � � 4 Ví dụ 5: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi thỏa hệ thức xy  yz  zx  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P     3( x  y  z ) . x y z Giải: �� 0; � Đặt x  tan  ; y  tan  ; z  tan  với  ,  ,  �� . � 2� Do xy  yz  zx  1 nên tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan   1 tan   tan  1 � � �  � tan       tan �   � 1  tan  .tan  tan  �2 � � 2  2   2   ( Do ,  ,   0) 1 1 1    3(tan   tan   tan  ) Khi đó: P  tan  tan  tan   cot   cot   cot   3(tan   tan   tan  )   cot   tan     cot   tan     cot   tan    2(tan   tan   tan  )  2  cot 2  cot 2   cot 2   2(tan   tan   tan  )   cot 2  cot 2   2 tan     cot 2   cot 2  2 tan     cot 2  cot 2  2 tan   sin  2  2   2sin 2  sin 2 .sin 2  sin  2  2    sin  2  2  2sin 2 2sin 2 4sin  cos  �    2 tan  1  sin  2  2   1  cos 2 2cos 2  � cot 2  cot 2   2 tan  �0 . 1 Từ đó suy ra: P �0. Với x  y  z  thì P  0. Vậy min P  0. 3 DẠNG 5: Sử dụng lượng giác khi bài toán có xuất hiện biểu thức x 2  y 2 hay Nhận xét: cot 2  cot 2    x  a 2   y  b 2 2 2 Lưu ý: Bài toán có chứa  x  a    y  b  thì đặt x  a  Asint và y+b=Acost . 15 Ví dụ 1: Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa mãn 3x+4y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2  y 2 . Giải: �x  Asint �y=Acost Bài toán có chứa dữ kiện x 2  y 2 giúp ta nghĩ đến việc đặt: � � x2 + y2 =A2. Khi đó giả thiết đã cho trở thành: 3A.sint + 4A.cost = 5 3 � cos = � 4 � �3 � 5 hay A � sin t  cost � 1 tức là A.sin( +t ) = 1 với � 4 5 �5 � � sin  = � 5 2 Vì sin( +t ) �1 nên A �1 ۳ A 1 Suy ra x 2  y 2 �1 3 � � 3 sin t = x= � � 3 4 � � 5 5 Đẳng thức xãy ra khi sin t  cost  1 tức � hay � 4 5 5 � �y= 4 cost= � � 5 5 Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm bằng 1. Ví dụ 2: Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa: 14xy +23x2 -25y2 - 24y = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2  y 2 . Giải: �x  Asint � x2 + y2 =A2. �y=Acost Tương tự ví dụ 1, đặt: � Khi đó giả thiết đã cho trở thành : A2.(14.sintcost + 23cos2t - 25sin2t) -24 =0 � A2.(7sin2t + 24cos2t - 1) -24 =0 A2 � 25  sin(2t+  � 7 � c os  = � � 25  1�  24 với � . � 24 � sin = � 25 Từ kết quả trên, kết hợp với tạp giá trị của hàm sinx ta suy ra: 0  25.sin  2t     1 �24 Do đó A2 �1. (Đẳng thức xảy ra khi sin(2t+  )=1.Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm bằng 1. Ví dụ 3: Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa mãn 5x+12y+7  13 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2  y 2 +2(y-x) +1. Giải: Ta biến đổi biểu thức P = (x-1)2+(y+1)2 -1 16 Như vậy bài toán có xuất hiện dấu hiệu  x  a    y  b  2 2 �x  1  A.sin t khi đó P= A2 - 1. �y  1  A.cost Đặt � Điều kiện đã cho trở thành: 5( A.sin t  1)+12(A.cost-1)+7  13 � 13 A.sin(t   )  13 � 5 A.sin t  12A.cost  13 � A.sin(t   )  1 5 � c os  = � � 13 Với � . Từ đây suy ra 12 � sin = � 13 A �1 hay P=A 2  1 �0 . 5 � � 18 x 1  x � � � � 13 13 �� Đẳng thức xảy ra khi sin(t+  )=1 hay � �y  1  12 �y  1 13 � � 13 Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm bằng 0. 2 2 Ví dụ 4: Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa mãn 3(x -y )+8xy+14x+2y+8  5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2  y 2 +2(x+y) +1. Giải: �x  1  A.sin t . �y  1  A.cost Tương tự ví dụ 3, biến đổi P = (x+1)2 +(y+1)2 -1 và Đặt � Khi đó P= A2 - 1. Ta cũng tìm được giá trị nhỏ nhất của P là 0. 3.3. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa hệ thức: x 2  y 2  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x 3  y 3 . �x 2  y 2  25 �2 2 2) Cho x, y, z, t là các số thực thỏa hệ: �z  t  16 . Tìm giá trị nhỏ nhất �xz  yt �20 � của biểu thức P  x  t . 3) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa hệ thức: x 2  y 2  2 . Tìm giá trị lớn 3 3 nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2  x  y   3xy . 4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P  2 x  x  3x  3 . 5) Cho hai số x, y thay đổi thỏa mãn: x 2  y 2  4 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2  y  y 2  x . 6) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  5 x  12 . 1  x2 17 7) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa hệ thức: x 2  y 2  1 . Tìm giá trị lớn 5 5 3 3 nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  16  x  y   20  x  y   5  x  y  . 8) Cho x, y , z thỏa mãn điều kiện abc  a  c  b . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị 1 1 1   nhỏ nhất của biểu thức: P  . 2 2 1  a 1  b 1  c2 9) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  2 xyz  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  y  z . 10) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 x  3  4 1 x 1 P . 4 x  3  3 1 x 1 11) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  xyz  4 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc P  xy  yz  zx  xyz . 12) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x  1  y2   2 y  1  x2  P .  1  x2   1  y2  4. Kiểm nghiệm Trong các năm qua với những kinh nghiệm tích luỹ được của bản thân, tôi đã áp dụng trực tiếp đề tài trên qua các lớp được phân công giảng dạy, lớp bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học. Đối với các lớp chính khoá, để thực hiện đề tài tôi đã lồng ghép khéo léo trong các tiết lý thuyết, giải bài tập ôn chương, bài tập ôn cuối năm. Học sinh vận dụng hiệu quả và rất hăng say. Khi cho bài tập tương tự, hầu hết các học sinh đại trà đều giải được. Nhiều bài toán loại này thuộc loại khó đối với học sinh đại trà nhưng khi được biết các phương pháp trên các em nhớ rất lâu và xem như những bài “tủ” của mình. Đối với lớp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, mặc dầu có chương trình dạy riêng song tôi đã một phần áp dụng các phương pháp trên. Các phương pháp này thực tế, gần gũi với chương trình học nên đã giúp các em ham mê, tìm tòi . Đặt biệt với đối tượng học sinh giỏi này khi cho bài tập về nhà, buộc các em tìm tòi các lời giải để chọn lời giải hay chung cho nhiều bài khác thì các em tranh luận và tham khảo cách giải từ nhiều nguồn như: sách báo, mạng internet, hay của các thầy cô khác... đã giúp cho bản thân chúng tôi tích luỹ thêm được rất nhiều kiến thức. Năm học 2008, 2011 lớp bồi dưỡng học sinh giỏi mà chúng tôi dạy đều có học sinh đạt giải cấp tỉnh. 18 C- KẾT LUẬN Việc đi sâu nghiên cứu mở rộng phạm vi lý thuyết để giải bài tập toán luôn là nhu cầu đối với tất cả thầy trò dạy học toán. Việc sử dụng phương pháp lượng giác đã nêu phần nào giúp cho bản thân chúng tôi tự học hỏi trao đổi để đổi mới mình cũng như góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo và ham học của học sinh. Các phương pháp đã nêu trong đề tài phù hợp cho nhiều đối tượng học sinh. Đặc biệt nếu khéo léo áp dụng sẽ giúp cho học sinh có kỹ năng vận dụng nhất định khi giải bài tập. Đồng thời giúp học sinh tin tưởng vào bản thân, học khá lên và ngày càng yêu thích bộ môn toán. Trong quá trình giảng dạy, bản thân cũng đã lồng ghép hợp lý tuỳ từng lớp. Có thể giới thiệu cho học sinh lớp 10 (ôn tập cuối năm), lớp 11( đầu năm) và lớp 12 (ôn thi). Đề tài mà chúng tôi đã nghiên cứu trên có thể mở rộng theo nhiều hướng như có thể mở rộng việc sử dụng dấu hiệu liên quan đến các đẳng thức hay bất đẳng thức trong tam giác. Đặc biệt nếu nắm được phương pháp trên thì học sinh có thể vận dụng để chứng minh bất đẳng thức một cách hiệu quả. Đề tài mang tính chủ quan, cảm nhận riêng của cá nhân nên không tránh những sai sót. Trên tinh thần học hỏi và trao đổi, rất mong ý kiến đóng góp, bổ sung đề tài của các thầy cô giáo và đồng nghiệp. XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 4 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. NGƯỜI VIẾT Lê Đăng Bản 19 20
- Xem thêm -