Tài liệu Skkn ứng dụng đạo hàm giải phương trình.

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trường THPT TRẤN BIÊN ******************* Mã số:………………………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: VÕ THANH LONG Lĩnh vực nghiên cứu: GIÁO DỤC Quản lý giáo dục: Phương pháp dạy bộ môn: TOÁN Phương pháp giáo dục: Đổi Mới Phương Pháp Giảng Dạy Lĩnh vực khác:…………………………. Năm học: 2014 – 2015 Võ Thanh Long Page 1 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN 1. Họ và tên VÕ THANH LONG 2. Ngày tháng năm sinh: 02 / 01 / 1977. 3. Giới tính: Nam. 4. Địa chỉ: B9/10, Tổ 4, khu phố 1, Phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai. 5. Điện thoại di động: 0918806566. 6. Email: [email protected] 7. Đơn vị công tác: Trường THPT Trấn Biên, Biên Hoà, Đồng Nai. II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO  Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học Sư phạm.  Năm nhận bằng: 1999  Chuyên ngành đào tạo: Toán III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC  Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy Toán bậc THPT  Số năm có kinh nghiệm: 14 năm  Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1) 2009 – 2010: Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức 2) 2012 – 2013: Một số phương pháp giải hệ phương trình dành cho học sinh lớp 10. 3) 2013 – 2014: Một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng.  Võ Thanh Long Page 2 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN ******************* CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các phương trình không mẫu mực, phương trình bậc cao, phương trình chứa căn thức…là những bài toán khó đối với học sinh phổ thông. Khi giải các bài toán này nếu áp dụng các phép biến đổi thông thường học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải toán. Vì thế mà học sinh không làm được bài, hoặc rất dài dòng trong lời giải, mất nhiều thời gian có thể dẫn đến kết quả sai hoặc bế tắc trong quá trình hoàn thành lời giải bài toán. Khi đó việc dùng “ứng dụng đạo hàm” hay “phương pháp hàm số” là một công cụ rất hay, rất nhanh gọn để giải quyết các bài toán trên, đặc biệt là ứng dụng để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Việc giải quyết các bài toán phương trình chứa căn, phương trình bậc cao, phương trình mũ, logarit, nhất là các phương trình không mẫu mực dùng phương pháp hàm số hay đạo hàm thì việc giải các bài toán trở nên một cách nhẹ nhàng, dễ áp dụng và bài toán được giải nhanh chóng. Tôi xin mạo muội viết lại “Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình”, nhằm hỗ trợ cho học sinh có thêm một tài liệu bổ sung, giúp các em học tốt hơn trong giải toán các bài toán nâng cao, nhẹ nhàng hơn trong quá trình học toán cũng như ôn thi trong các kì thi THPT quốc gia. Thêm một tài liệu để các giáo viên giảng dạy cho các em trong các kỳ thi, trong quá trình bồi dưỡng thêm cho các em trên lớp. II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy trên lớp, sau khi các em học xong tính đơn điệu của hàm số. Tôi thực hiện ôn tập cho các em theo từng chủ đề. Khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình , các em giải quyết bài toán bằng các phương pháp đã biết ở lớp 10, lớp 11 rất khó khăn, nhiều em không làm được hoặc không đi đến kết luận cuối cùng Khi đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên, dùng đạo hàm hay phương pháp hàm số để giải các bài toán trên thì việc giải toán trở nên nhẹ nhàng hơn, dễ hơn. Trong lớp các em cũng hăng say hơn trong học tập môn toán. Võ Thanh Long Page 3 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Do các em ở trường đa số là học sinh khá, giỏi nên các em tiếp thu phương pháp mới một cách nhanh chóng, áp dụng linh hoạt, giải các bài tập tương tự một cách thuần thục, gọn gàng. Từ đó việc giải các bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình không còn là bài tập khó đối với các em. Sau khi áp dụng phương pháp này vào giảng dạy, điểm thi Đại học – Cao đẳng của các em cao hơn hẳn, điều đó thể hiện qua việc bảng xếp hạng điểm thi trên toàn quốc của trường Trấn Biên càng ngày càng tăng bậc, năm sau luôn cao hơn năm trước. IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Trong quá trình giảng dạy, đề tài này áp dụng cho các em từ học sinh trung bình đến các em học sinh khá giỏi đều tiếp thu nhanh chóng và hiệu quả. Các em hứng thú hơn trong học tập. Các Thầy – Cô cũng sử dụng để giảng dạy cho các em học sinh trong lớp giờ bài tập, giờ học tăng tiết, trong bồi dưỡng học sinh giỏi và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. V. TÀI LIỆU THAM KHẢO       Trong bài viết này có tham khảo các tài liệu của các tác giả: Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu: Phương pháp giải toán chuyên đề “ Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Bất đẳng thức”. Trần Phương – Lê Hồng Đức: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán “ Đại số sơ cấp”. Nguyễn Cam: Giải toán đại số” Trần Phương: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán “ Hàm số”. Các bài viết trên các trang web: Violet.vn, Hocmai.vn;… Các đề thi đại học các năm gần đây…. NGƯỜI THỰC HIỆN Võ Thanh Long Võ Thanh Long Page 4 Trường THPT Trấn Biên SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Trấn Biên ––––––––––– Ứng dụng đạo hàm giải phương trình CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– Biên Hòa, ngày tháng 05 năm 2015 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2014 - 2015 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Họ và tên tác giả: VÕ THANH LONG Chức vụ: không Đơn vị: Trường THPT Trấn Biên. Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán ........................  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: ........................................................  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây) - Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn  - Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn  - Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị  2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây) - Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao  - Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả  - Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị  3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây) - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành  Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại  Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình. Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của chính tác giả. Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của tác giả và người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm. Võ Thanh Long Page 5 Trường THPT Trấn Biên NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN (Ký tên và ghi rõ họ tên) Võ Thanh Long Ứng dụng đạo hàm giải phương trình XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) Page 6 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Nội dung chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình 1 – Phương trình bậc cao. 2 – Phương trình chứa căn thức. 3 –Phương trình Mũ – Logarit. Võ Thanh Long Page 7 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH A- Lý thuyết Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng I, ( a; b)  I. Khi đó: 1. y  f ( x ) đồng biến trên ( a; b)  f '  x   0 , x  ( a; b) 2. y  f ( x ) nghịch biến trên ( a; b)  f '  x   0 , x  ( a; b) 3. y  f ( x ) đồng biến trên  a; b  thì min f  x   f  a  , max f  x   f  b   a ;b  a ;b 4. y  f ( x ) nghịch biến trên  a; b  thì min f  x   f  b  , max f  x   f  a   a ;b  a ;b  Chú ý:  Nghiệm của phương trình f ( x )  g ( x ) là hoành độ giao điểm của đồ thị y  f ( x ) với đồ thị y  g ( x ) .  Nếu hàm số f ( x )  0 , x  (a; b) mà f ( x ) liên tục tại a và b thì f ( x)  0, x  a;b  Bất phương trình f ( x)  m đúng x  I  min f  x   m, x  I I  Bất phương trình f ( x)  m đúng x  I  max f  x   m, x  I I  Nếu hàm số y  f ( x ) đơn điệu trên D thì phương trình f ( x)  k nếu có nghiệm x  x0 thì x  x0 là nghiệm duy nhất.  Nếu hàm số y  f ( x) đơn điệu trên D , u( x), v( x) là các hàm số nhận giá trị thuộc D thì ta có f u ( x )   f  v ( x )   u ( x )  v( x)  Nếu y  f ( x ) là hàm số đồng biến (nghịch biến) thì y  n f ( x ) đồng biến 1 với f ( x )  0 là nghịch biến (đồng biến), y   f ( x ) f ( x) nghịch biến (đồng biến).  Tổng các hàm đồng biến (nghịch biến) trên D là đồng biến (nghịch biến) trên D  Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) trên D là một hàm đồng biến (nghịch biến) trên D  Phương trình f ( x)  m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số (nghịch biến), y  Võ Thanh Long Page 8 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình y  f ( x ) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x ) với đường thẳng y  m . Nếu trên tập D hàm số y  f ( x ) đạt giá trị lớn nhất là p, giá trị nhỏ nhất là n thì phương trình f ( x)  m có nghiệm khi n  m  p  Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, ta cần thực hiện:  Tìm tập xác định của phương trình.  Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f ( x ) bằng một biểu thức nào đó.  Tính đạo hàm f ( x ) , rồi dựa vào tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình.  Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầu học sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:  Phương trình f ( x )  m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y  f ( x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x) với đường thẳng y  m Để giải các bài toán: Tìm giá trị của tham số để phương trình (hoặc bất phương trình) có nghiệm ta thực hiện các bước sau: o Biến đổi phương trình về dạng f ( x)  g ( x). Tìm tập xác định của hàm số y  f ( x ). o Tính f '( x) o Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D . Tìm max f ( x); min f ( x) . xD xD  Đối với những phương trình có những biểu thức phức tạp, ta có thể đặt ẩn phụ thích hợp t  ( x) , từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t (với bài toán chứa tham số, ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ, ta thường dùng là đánh giá bằng bất đẳng thức, hoặc đôi khi phải khảo sát hàm t  ( x) ) để có thể tìm được điều kiện chính xác của biến mới t).  Sau đó đưa phương trình đã cho về phương trình theo t và lại sử dụng phương pháp hàm số như trên Võ Thanh Long Page 9 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình B – Các ví dụ minh họa I − Phương trình bậc cao Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình sau có nhiệm duy nhất x 5  x 2  2 x  1  0 ( ĐH KD − 05) Nhận xét : Đây là một phương trình mà khi giải nó cần có sự có mặt của tư duy hàm số. Sau đây là một vài cách người thầy giúp học sinh tiếp cận lời giải . 2 2  x 1   1 3 Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng x    x   1   (*)  x   x 3 Nhận xét nếu x  x0 là nghiệm của phương trình thì x0  0 . Vì vậy trong phương trình (*) ta chỉ xét x  0. 2 3 1   Mặt khác f ( x )  x là hàm số đồng biến trên  0;   , và hàm số g ( x)   1    x nghịch biến trên  0;   nên phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm trên  0;   . Hàm số h( x)  x 5  x 2  2 x  1 liên tục trên R , h(1)  3, h(2)  23 . nên h(1).h(2)  0 . Theo định lý hàm số liên tục thì h( x )  0 có nghiệm thuộc khoảng 1;2  . Kết hợp với điều kiện trên ta có phương trình có nghiệm duy nhất. 2 Cách 2: Biến đổi phương trình như sau: x 5   x  1 từ phương trình ta thấy nếu phương trình có nghiệm x thì x  0 2  0  x  1  x 5  1,  x  1  1 nên phương trình vô nghiệm  x  1 : xét hàm số h( x)  x 5  x 2  2 x  1, 4 3 4 4 có h '( x )  5 x  2 x  2  2 x ( x  1)  2( x  1)  x  0, x  1 nên h (x ) đồng biến trên  0;   phương trình h (x )  0 có nhiều nhất một nghiệm. Lại có h( x)  x 5  x 2  2 x  1 liên tục trên R nên liên tục trên 1;2 h(1)  3, h(2)  23 nên h(1)h(2)  0 . Theo định lý hàm số liên tục thì h( x)  0 có nghiệm thuộc khoảng 1;2  . Kết hợp với điều kiện trên ta có phương trình có nghiệm duy nhất. Cách 3: Biến đổi phương trình x 5   x  1 2 2 2 Ta có:  x  1  0  x 5  0   x  1  1  x 5  1  x  1 sau đó lại xét hàm số h( x)  x 5  x 2  2 x  1 như trên. Võ Thanh Long Page 10 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình Ví dụ 2. Tìm m để phương trình x 2  2(m  2) x  5m  4  0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn: x1  1  x2 . Nhận xét: Do trong chương trình mới không có mặt định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai nên việc sử dụng định lý này học sinh phải chứng minh. Vì vậy ta áp dụng phương pháp hàm số là phù hợp Giải Biến đổi phương trình như sau:  x 2  4 x  4  m  2 x  5  (1) 2 x  4x  4 5 Vì x   không là nghiệm nên (1)  m 2 2x  5 Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số  x2  4x  4 tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thoả mãn f ( x)  2x  5 x1  1  x2  x  7 2 x 2  10 x  28 Ta có f '( x)   0  2 x  2 .  2 x  5  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m  3 là giá trị cần tìm Nhận xét : Ngoài cách giải trên ta có thể dùng định lý Viét để giải như sau: Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thoả mãn (x1+1)(x2+1)<0 Bình luận: Bài toán trên có thể được hỏi trực tiếp bằng hàm số như sau: Tìm m để hàm số y  1 3 x   m  2  x 2   5m  4  x  m 2  1 có cực trị tại hai điểm 3 x1, x2 và thoả mãn x1 < −1 < x2. Đây là một câu hỏi mà các thí sinh thường gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng. Qua bài toán này người thầy cần nhấn mạnh thêm cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa phương trình và đồ thị hàm số, đồng thời phát Võ Thanh Long Page 11 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình triển ở học sinh tư duy linh hoạt, biết lột bỏ cái ngụy trang của bài toán để đưa chúng về bài toán quen thuộc. Đây cũng chính là nội dung của phương pháp “ Quy lạ về quen” mà Giáo sư Nguyễn Bá Kim đề cập trong cuốn : “Phương pháp giảng dạy toán ” . Tập 1- NXB GD Ví dụ 3. Tìm a để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt x6  3x5  6 x4  ax3  6 x 2  3x  1  0 (1) Giải 3 Vì x  0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta 1  2 1   1  3 x   6 x       a x3   x2   x 1 Đặt t  x   x 2  tx  0 . Để tồn tại x thì   t 2  4  0  t  2 x Phương trình trở thành: t 3  3t 2  9t  a  6 (2) Để ý rằng với t  2 phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm x , còn với mỗi t  2 cho tương ứng với 2 giá trị của x . Do đó, (1) có 2 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm t  2 hoặc có đúng 1 nghiệm t sao cho t  2   được  x 3  2  a  6 không thoả mãn.  22  a  6 * Trường hợp 1: (2) có 2 nghiệm t  2   * Trường hợp 2: (2) có đúng 1 nghiệm t sao cho t  2 Xét hàm số y  t 3  3t 2  9t với t   ; 2    2;   . t  1  y '(t )  3t 2  6t  9  0   t  3 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên,  (2) có đúng 1 nghiệm t sao cho t  2 a  6  27 a  21   a  6  2  a  4 Võ Thanh Long Page 12 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình  a  21 Kết luận: giá trị của a thoả mãn   a  4 Nhận xét : Đây là dạng toán gặp khá nhiều, khi làm cần lưu ý + Đặt ẩn phụ t chuyển sang phương trình mới với t  D (cần đánh giá để được miền giá trị của t ứng với miền giá trị của x ). + Đưa phương trình về dạng cơ bản f (t )  g (m ), t  D . Ví dụ 4. Cho phương trình x 4  x 2  x  m( x 2  1)2 (3). Tìm m để phương trình có nghiệm. Giải Phương trình đã cho tương đương 4( x 3  x 2  x ) 4 x ( x 2  1)  4 x 2 2x 2x 2  m   4 m  2.  ( )  4m (1  x 2 )2 (1  x 2 )2 1  x2 1  x2 2x (*) Đặt t  ; t   1;1 2 1 x 2 Khi đó phương trình (3) trở thành 2t  t  4m (3) có nghiệm  (*) có nghiệm 2 Xét hàm số y  f (t )  t  2t với t   1;1 . Ta có f '(t )  2t  2  0, t   1;1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên  1  4m  3   1 3 m 4 4 Bình luận : Các bài tập có dạng như trên nếu học sinh giải theo hướng khác thì gặp rất nhiều khó khăn, phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho các lớp bài tập dạng này . Ví dụ 5. Tìm m để phương trình x3  x 2  18mx  2m  0 (1) Có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho x1  0  x2  x3 . (Đề thi thử ĐH – Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định) Giải Võ Thanh Long Page 13 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình Nhận xét: Bài toán trên nếu giải theo phương pháp đại số thông thường thì học sinh sẽ phải dùng đến định lý viét cho phương trình bậc ba - Đây là định lý không được trình bày trong chương trình phổ thông, nếu dùng thì học sinh phải chứng minh. Ta hãy xét cách giải sau bằng phương pháp hàm số . Biến đổi phương trình như sau (1)   x 3  x 2  2m(9 x  1) (1) 1  x3  x 2  2m Vì x  không là nghiệm của phương trình nên (1)  9 9x 1 Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 2 x  0  x3  x 2 2 x  3 x  1 f ( x)  và đường thẳng y  2m . Ta có f '( x )  0 1 . 9x 1 x  (9 x  1) 2  3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m < 0 là giá trị cần tìm. Nhận xét:  Ta thấy cách giải bài toán trên là rất tự nhiên, phù hợp với tư duy, nhận thức của học sinh. Khi đã rất quen thuộc với bảng biến thiên. Với cách giải như trên chúng ta có thể giải quyết nhiều câu hỏi khó khác nhau của bài toán như: Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất, hay tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt 1 x1 , x2 , x3 sao cho x1  0  x2  x3  . 3  Ta xét cách giải khác sau bằng điều kiện cần và đủ. Giả sử tìm được m thoả mãn yêu cầu bài toán khi đó: f ( x)  x 3  x 2  18mx  2m  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) Do x1  0  x2  x3 nên f (0)  0 hay m  0 Với m  0 , f (0)  2m  0, f (1)  16m  0. lim f ( x)   , lim f ( x)   x  x  Nên tồn tại a  1 sao cho f (a )  0 , tồn tại b  0 sao cho f (b )  0 . Từ đó theo định lý hàm số liên tục ta thấy phương trình (1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thoả x1   b;0  , x2   0;1 , x3   a;   . Suy ra điều phải chứng minh. Võ Thanh Long Page 14 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình 3 Ví dụ 6. Tìm m để phương trình: x  4 1  x   m (6) có nghiệm trên đoạn  1;1 Giải 6 2 3 Đặt y  x  4 1  x  . Đặt u  x 2   0;1 . Ta có (6) có nghiệm khi phương trình 6 2 3 u 3  4 1  u   0 có nghiệm trong đoạn  0;1 Xét hàm số y  u 3  4(1  u )3  u 3  12u 2  12u  4 2  y '  9u 2  24u  12  y '  0  u1   0;1; u2  2  1 3 Bảng biến thiên Nhìn bảng biến thiên ta có max y  4; min y  4 0;1 9 0;1 4 Vậy phương trình có nghiệm khi  m  4 . 9 Nhận xét: Ngoài cách giải bằng hàm số như trên, học sinh cũng có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất suy ra điều kiện có nghiệm như sau: Đặt x  sin u  y  sin 6 u  4cos6 u   sin 6 u  cos6 u   3cos6 u  y   sin 2 u  cos 2 u   3  4  max y4 0;1 Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có  6 6 8 8 8 8 4 2 3 sin u  27  27  3 sin u  27  27  3 sin u   4cos 6 u  4  4  3 3 4cos 6 u  4  4  4 cos 2 u 27 27 27 27 3   y  sin 6 u  4cos 6 u  8  4  sin 2 u  cos 2 u   4  12  y  4 . 9 3 3 9 9 2 4 4 Với x   min y   y4  0;1 3 9 9 Võ Thanh Long Page 15 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình Các bài tập tương tự: 6 5 1. Tìm các nghiệm âm của phương trình x  2 x  3  0 Đáp số: x  1 3 2 2 2 2. Cho phương trình x  3mx  3(m  1) x  (m  1)  0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt dương. Đáp số: m  1 . 3 2 3. Xác định m để phương trình x  3 x  9 x  m  0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng. Đáp số: m  11 . 4 3 4. Tìm m để phương trình x  4 x  8 x  m  0 có nghiệm phân biệt. Đáp số: 4  m  5 4 3 2 5. Giải phương trình 4 x  4 x  3x  x  2  0 Đáp số: x  1, x  Võ Thanh Long 1 2  3 2 5  3 2 5 Page 16  Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Ví dụ 1. Giải phương trình Giải 4x  1  0 Điều kiện:  2 4x  1  0 4 x  1  4 x 2  1  1 (1) x 1 1  . Tập xác định D   ;   2 2  Nhận xét: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y  4 x  1  4 x 2  1  1 và trục Ox. 1  Xét hàm số y  4 x  1  4 x 2  1  1 có tập xác định D   ;   2  2 4x 1 Có y '    0, x   hàm số đồng biến D 2 4x 1 4 x2  1 Do đó phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Ta thấy x  1 thỏa mãn phương trình 2 Vậy phương trình chỉ có một nghiệm x  1 2 Ví dụ 2. Giải phương trình 3  x  x 2  2  x  x 2  1 (2) Giải 2 Đặt t  x  x , phương trình (2) viết lại: 3  t  1  2  t (2’) Điều kiện: 3  t  2 .  Xét hàm số f (t )  3  t xác định trên D   3;2 1  0, x   3; 2   hàm số đồng biến trên D 2 3t  Xét hàm số g (t )  1  2  t xác định trên D   3;2 1  g '(t )    0, x   3; 2   hàm số nghịch biến trên D 2 2t  f '(t )  Do đó phương trình (2) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Ta thấy t  1 thỏa mãn phương trình (2’) Khi đó: x 2  x  1  x  1 5 2 Vậy phương trình (2) có hai nghiệm x  Võ Thanh Long 1 5 2 Page 17 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình Ví dụ 3. Giải phương trình Giải x  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  1 (3)  x  x 2  x  1  0  x 2  x  1   x (*) Điều kiện    x  1  x 2  x  1  0  x 2  x  1   x  1 (2*)   x  0  2 x  0 x  x 1  0 (*)     xR x  0  x  0      x 2  x  1  0  1  x  0  2  x  1 x  x 1  0 (2*)     xR x   1 1  x  0     x 2  x  1  0 Vậy tập xác định D  R Phương trình (3) viết lại: x  x2  x  1  x  x  1  x2  x  1  x  1 x  x 2  x  1  x (a) có tập xác định D  R Xét hàm số f ( x )   x ' Có f '( x)  2 1  2 x  x  x 1  x 2 x2  x  1  2 x  1 2 1 2 4 x  x  1. x  x  x  1 Nhận xét: 2 x2  x  1  2x 1  (2x 1)2  3  2x 1  2x 1  2x 1  0, x  R  f '( x )  0, x  R nên hàm số f ( x) luôn đồng biến x  R Khi đó phương trình (3)  f ( x )  f ( x  1)  x  x  1 vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 4. Giải phương trình x 2  2 x  5  x 2  4 x  40  x 2  5 x  45 4 Giải Tập xác định: D  R x 2  2 x  5  x 2  4 x  40 có tập xác định D  R x 1 x2 Ta có: f '( x)   x2  2 x  5 x 2  4 x  40  f '( x)  0   x  1 x 2  4 x  40   x  2  x 2  2 x  5 Xét hàm số f ( x )  Võ Thanh Long Page 18 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình  x  12  x 2  4 x  40    x  2 2  x 2  2 x  5    x  1 x  2   0 36( x  1) 2  4( x  2) 2 5   5    x  1  x   và f     5 2  2  x  2  6 x  35 lim f ( x)  lim 3 2 2 x  x  x  2 x  5  x  4 x  40 6 x  35 lim f ( x)  lim  3 x  x  x 2  2 x  5  x 2  4 x  40 Bảng biến thiên Xét parabol (P): g ( x)  x 2  5 x  45 4 5 2  5  2 Có g '( x )  2 x  5  g '( x)  0  x   , ta có g     5 Bảng biến thiên của Parabol (P): Dựa vào đồ thị hàm số f ( x) và g ( x) ta thấy x   5 là nghiệm duy nhất của 2 phương trình Vậy phương trình có một nghiệm x   Võ Thanh Long 5 2 Page 19 Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình Ví dụ 5. Giải phương trình : 5 x3  1  3 2 x  1  x  4 (5) Nhận xét Quan sát vế trái của phương trình (5), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng. Từ đó ta thấy vế trái là hàm đồng biến, vế phải bằng 4 là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu Giải 1 , khi đó đặt f ( x )  5 x 3  1  3 2 x  1  x 3 5 15 x 2 2 1 f '( x)    1  0 , x  ( 3 ; ) 5 2 5 x3  1 3 3 (2 x  1) 2  1   Hàm số đồng biến trên  ;   . Mà f (1)  4 nên x  1 là nghiệm duy nhất của 3  5  Điều kiện: x  phương trình. Ví dụ 6. Giải phương trình:  x  2 2x  1  3 x  6  4   x  6 2x  1  3 x  2 Giải 1 Điều kiện: x  2 Viết lại phương trình dưới dạng như sau: 2 x  1  3 x2  x6 4    Nhận thấy 2 x  1  3  0  x  5 hơn nữa hàm g ( x)  2 x  1  3  0, x  5, h( x )  x  2 x  6  0, x  5 g ( x), h( x ) đồng biến với x  5 . mà f (7)  4 nên x  7 là nghiệm duy nhất của phương trình. 2 2 Ví dụ 7. Giải phương trình: 3 x(2  9 x  3)  (4 x  2)(1  1  x  x )  0 (7) Giải Tập xác định D  R Cách 1: Dùng phương pháp đánh giá: Viết lại phương trình dưới dạng:    3 x 2  (3 x) 2  3  (2 x  1) 2  [(2 x  1) 2 ]  3   1  2   Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn 3 x (2 x  1)  0 hay x    ;0  Võ Thanh Long Page 20