Tài liệu Skkn-toan10-nghe_an - www.mathvn.com

www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 a. LÝ do chän ®Ò tµi Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán. ViÖc ®æi míi ph−¬ng ph¸p d¹y häc To¸n hiÖn nay lµ nh»m ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh qua ®ã khai th¸c vËn dông nh÷ng kh¶ n¨ng vèn cã, vµ tù cã, ph¸t huy trÝ lùc trong häc sinh. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ë tr−êng PT b¶n th©n chóng t«i còng ®· dù rÊt nhiÒu tiÕt d¹y cña ®ång nghiÖp, ®· trùc tiÕp båi d−ìng häc sinh kh¸ giái, song chóng t«i nhËn thÊy r»ng viÖc ph¸t huy trÝ lùc cho häc sinh cßn rÊt nhiÒu h¹n chÕ. NhiÒu bµi to¸n trong c¸c k× thi nh− Häc sinh giái, thi vµo các tr−êng ®¹i häc, ®Æc biÖt c¸c bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa kh«ng ®Õn næi khã. Thế nhưng nhiều häc sinh kh«ng lµm ®−îc mÆc dÇu häc sinh ®· ®−îc lµm quen c¸c d¹ng to¸n, bµi gi¶ng cña thÇy, qua s¸ch vë. §øng tr−íc nh÷ng vÊn ®Ò nh− vËy, lµm thÕ nµo ®Ó ®¸p øng ®−îc nhu cÇu ®æi míi hiÖn nay, lµm cho häc sinh cã høng thó trong häc tËp, kh«ng bÞ ®éng tr−íc c¸c bµi to¸n khó. Chóng t«i thÊy viÖc ph¸t huy trÝ lùc cho häc sinh, ¸p dông vµo c«ng t¸c båi ®−ìng häc sinh kh¸ giái b−íc ®Çu cã mét sè kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh mµ chóng t«i muèn trao ®æi víi ®ång nghiÖp. Trong bµi viÕt nµy chóng t«i xin ®Ò cËp ®Õn viÖc ph¸t huy trÝ lùc cho häc sinh trong viÖc khai th¸c mét sè bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n trong ch−¬ng tr×nh To¸n- THPT líp 10 qua ®ã khai th¸c c¸c øng dông cña nã nh− t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt, bµi to¸n nhËn d¹ng tam gi¸c, bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh, đẳng thức vectơ nh»m ph¸t huy t− duy to¸n häc båi d−ìng n¨ng lùc gi¶i to¸n vµ lµm to¸n cho häc sinh qua ®ã ph¸t huy ®−îc trÝ lùc gióp häc sinh khai th¸c ®−îc c¸c yÕu tè cÇn thiÕt trong to¸n häc nh»m båi d−ìng cho c¸c em t− duy s¸ng t¹o, linh hoạt trong mọi vấn đề. Đứng trước mộ vấn đề như vậy, làm sao để đáp ứng được nhu cấu đổi mới hiện nay, làm cho học sinh hứng thú,tích cực chủ động trong việc tiếp thu kiến thức. Chúng tôi xin có một số trao đổi với các đồng nghiệp lµ tr×nh bµy minh ho¹ b»ng mét sè bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc qua ®ã khai th¸c øng dông ®Ó vËn dông gi¶i c¸c bµi to¸n cã liªn quan nh»m “Ph¸t huy trÝ lùc cho häc sinh kh¸ giái qua khai th¸c mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n trong ch−¬ng tr×nh to¸n 10-THPT”. Chóng t«i thµnh thËt mong ®−îc sù gãp ý ch©n thµnh cña c¸c ®éc gi¶ ®Ó b¶n th©n chóng t«i ngµy ®−îc mét hoµn thiÖn. B. néi dung 1. Tõ mét bµi to¸n ®¬n gi¶n ®Õn viÖc khai th¸c øng dông nã. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc, đẳng thức lu«n lµ nh÷ng ®Ò tµi hÊp dÉn. Víi bµi viÕt nµy t«i muèn giíi thiÖu mét sè bÊt ®¼ng thøc, đẳng thức hình học ®−îc Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 1 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 khai th¸c øng dông cña nã nhê mét bÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n trong s¸ch gi¸o khoa Toán 10 -THPT qua đó nhằm phát huy trí lực cho học sinh. Ta bắt đầu đi từ một số bài toán cơ bản trong sách giáo khoa. a/ VÝ dô 1: ë SGK §¹i sè 10(ch−¬ng tr×nh chuÈn), sau khi häc xong bµi bÊt ®¼ng thøc cã mét bµi tËp sau(bµi 4, tr.79) Chøng minh r»ng nÕu a ≥ 0 , b ≥ 0 th× a 3 + b 3 ≥ ab ( a + b) .(*) §¼ng thøc x¶y ra khi nµo ? Chøng minh. ⇔ a 2 ( a − b) − b 2 ( a − b) ≥ 0 C¸ch 1: ⇔ (a − b)(a 2 − b2 ) ≥ 0 ⇔ ( a − b ) 2 ( a + b) ≥ 0 (*) ⇔ a 3 − a 2 b + b 3 − ab 2 ≥ 0 ⇔ a 2 (a − b) − b 2 (a − b) ≥ 0 ⇔ ( a − b )( a 2 − b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a − b) 2 (a + b) ≥ 0 BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng lu«n ®óng. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b. C¸ch 2: Ta cã: a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 + b 2 − ab ) ≥ ( a + b )( 2 ab − ab ) = ab ( a + b ) ( v× a 2 + b 2 ≥ 2ab ). DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a=b. NhËn xÐt 1: v× a, b lµ hai sè d−¬ng nªn, tõ (*) ta cã thÓ suy ra mét bÊt ®¼ng thøc a3 + b3 ≥ a+b míi a + b ≥ ab(a + b) ⇒ ab 3 3 ở bài toán này nhiều giáo viên cho là dễ nên có thể không cần phải hướng dẫn hoạc hướng dẫn qua loa. Như vậy là vấn đề cơ bản chưa được giải quyết đã bỏ sót một trong những yếu tố quan trọng trong phát triển trí lực cho học sinh.Theo chúng tôi, cần cho học sinh suy nghĩ và hứng dẫn khai thác các bài toán qua đó vận dụng từ bài toán cơ bản trên để hướng dẫn gải các bài toán có liên quan. Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 2 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 + + ≥ 2(a + b + c ) (1) Bµi 1: Cho a, b ≥ 0 , chøng minh r»ng ab bc ca HD: B§T (1) gi¶i ®−îc nhê viÖc ¸p dông nhËn xÐt 1, ba lÇn Bµi 2. Cho a, b, c lµ ba sè thùc kh«ng ©m. Chøng minh r»ng a 3 + b3 + c 3 ≥ a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab . Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) ta ®−îc a3 + b3 ≥ ab(a + b) b3 + c3 ≥ bc(b + c) a3 + c3 ≥ ac(a + c) Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã 2(a3 + b3 + c3) ≥ a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) (1) MÆt kh¸c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè thùc kh«ng ©m ta ®−îc 2 2 2 a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) ≥ 2a bc + 2b ac + 2c ab (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. NhËn xÐt 2: Thùc chÊt ®©y lµ mét d¹ng khai th¸c bµi to¸n trªn dưới cách nhìn khác mà thôi. Tuy nhiªn nÕu nh− học sinh không biết vËn dông ví dụ trên th× liÖu bµi to¸n trªn học sinh giải được không phải đơn giản chút nào. Vµ ë bµi to¸n sau ®©y, chóng ta cã thÓ ®Æt thªm mét vÊn ®Ò nh»m khai th¸c bµi to¸n trªn víi viÖc ab=1. Ta l¹i cã bµi to¸n mới sau. a3 b3 + ≥ 1. Bµi 3. Cho a > 0, b > 0 vµ ab = 1. Chøng minh r»ng 1+ b 1+ a Chøng minh. a3 + b3 + a4 + b4 ≥ 1. BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi 2+ a +b ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) vµ bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè kh«ng ©m ta cã a3 + b3 + a4 + b4 ab(a + b) + 2a2b2 2 + a + b ≥ = = 1 (®pcm). 2+ a +b 2+ a +b 2+ a +b Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 3 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = 1. 1 1  3b+c c+a a +b 3 3 3  1 + +  Bµi 4. Chøng minh r»ng ( a + b + c ) 3 + 3 + 3  ≥  b c  b c  2 a a Trong ®ã a, b, c lµ ba sè thùc d−¬ng. Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) ta ®−îc a3 + b3 ≥ ab(a + b) b3 + c3 ≥ bc(b + c) a3 + c3 ≥ ac(a + c) Suy ra 2(a3 + b3 + c3) ≥ bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) (1) MÆt kh¸c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè d−¬ng ta ®−îc 1 1 1 3 + 3+ 3 ≥ (2) 3 abc a b c Tõ (1), (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. NhËn xÐt 3: Ta cã thÓ chuyÓn t¶i bµi to¸n trªn vÒ nh÷ng bµi to¸n mò, th× viÖc quy l¹ vÒ quen t¹o cho chóng ta dÔ dµng h¬n trong viÖc khai th¸c c¸c bµi to¸n t−¬ng tù nhằm phát huy trí lực cho học sinh. Bµi 5. Cho ba sè a, b, c ∈ N tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b + c = 0. Chøng minh r»ng 27a + 27b + 27c ≥ 3a + 3b + 3c. Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) ta cã 27a + 1 ≥ 3a(3a + 1) 27b + 1 ≥ 3b(3b + 1) 27c + 1 ≥ 3c(3c + 1) Suy ra 27a + 27b + 27c +3 ≥ 3a + 3b + 3c + (3a)2 + (3b)2 + (3c)2 MÆt kh¸c (3a)2 + (3b)2 + (3c)2 ≥ 3 3 (3 a 3b 3 c ) 2 = 3 (1) (2) Tõ (1),(2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 0. Bµi 6: Cho ba sè d−¬ng a, b, c. Chøng minh r»ng 5b 3 − a 3 5c 3 − b 3 5a 3 − c 3 + + ≤ a + b + c. ab + 3b 2 cb + 3c 2 ac + 3a 2 Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 4 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) ta cã a3 + b3 – 6b3 ≥ ab(a + b) – 6b3 = b(a2 + ab – 6b2) = (ab + 3b2)(a – 2b) ⇔ 5b 3 − a 3 ≤ (ab + 3b 3 )(2b − a ) ⇔ 5b 3 − a 3 ≤ 2b − a ab + 3b 2 5c 3 − b 3 5a 3 − c 3 ≤ 2 c − b ≤ 2a − c T−¬ng tù , cb + 3c 2 ac + 3a 2 Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn vÕ víi vÕ ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. Bµi 7. Chøng minh r»ng víi ba sè d−¬ng a, b, c bÊt k× ta cã a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 2 2 2 3 a + ab + b b + bc + c c + ac + a Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) ta ®−îc a3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔ a 3 ≥ a 2 b + ab 2 − b 3 ⇔ 3a 3 ≥ a 2 b + ab 2 + a 3 + a 3 − b 3 ⇔ 3a 3 ≥ a(a 2 + ab + b 2 ) + (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) a3 2a − b ⇔ 2 ≥ 2 3 a + ab + b b3 2b − c c3 2c − a ≥ ≥ T−¬ng tù , 2 2 2 2 3 3 b + bc + c c + ac + a Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. Bµi 8. Cho x, y, z lµ ba sè thùc d−¬ng vµ xyz =1. Chøng minh r»ng 2x9 + y 9 2y9 + z9 2z 9 + x9 + + ≥3 x6 + x3 y3 + y 6 y 6 + y3 z 3 + z 6 z 6 + z 3 x3 + x6 Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 5 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) ta ®−îc (x3)3 + (y3)3 ≥ x6y3 + x3y6 ⇔ 2x9 + y 9 ≥ x6 y 3 + x3 y 6 + x9 ⇔ 2x9 + y 9 ≥ x3 (x6 + x3 y 3 + y 6 ) ⇔ T−¬ng tù 2x9 + y 9 ≥ x3 6 3 3 6 x +x y +y 2y9 + z9 2z 9 + x9 3 ≥y , 6 ≥ z3 6 3 3 6 3 3 6 y +y z +z z +z x +x Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®−îc 2x 9 + y 9 2y9 + z9 2z 9 + x9 + + ≥ x 3 + y 3 + z 3 (1) 6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 x +x y +y y +y z +z z +z x +x MÆt kh¸c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: x3 + y3 + z3 ≥ 3xyz = 3. (2) Tõ (1), (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x=y =z =1 Bµi 9. Cho a, b, c lµ ba sè thùc d−¬ng. Chøng minh r»ng 1 1 1 1 + + ≤ . a 3 + abc + b 3 b 3 + abc + c 3 a 2 + abc + c 3 abc Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) ta ®−îc a3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔ a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) ⇔ T−¬ng tù 1 c ≤ a 3 + abc + b 3 abc(a + b + c) 1 a 1 b ≤ ≤ , 2 3 3 abc(a + b + c) a + abc + c b + abc + c abc(a + b + c) 3 Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. NhËn xÐt 4: NÕu ë bµi to¸n trªn chúng ta céng ®iÒu kiÖn n÷a abc=1. ta cã bµi to¸n míi sau ®©y. Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 6 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 Bµi 10. Cho a, b, c lµ ba sè thùc d−¬ng vµ abc=1. Chøng minh r»ng 1 1 1 + 3 3 + 3 3 ≤ 1. 3 a + b +1 b + c +1 a + c +1 3 NhËn xÐt 5: NÕu ta l¹i ®Æt a3=x; b3=y; c3=z. Ta l¹i cã bµi to¸n míi sau. Bµi 11. Cho x, y, z lµ ba sè thùc d−¬ng vµ xyz=1. Chøng minh r»ng 1 1 1 + + ≤1. x + y +1 y + z +1 z + x +1 NhËn xÐt 6: Ta l¹i bá ®i ®iÒu kiÖn xyz=1. Ta l¹i cã bµi to¸n míi khã h¬n Bµi 12. Cho x, y, z lµ ba sè thùc d−¬ng. Chøng minh r»ng 1 x + y + 3 xzy + 1 + y + z + 3 xyz 1 z + x + 3 xyz ≤ 1 3 xyz . a3 b3 c3 + + = 1. Bµi 13. Cho a, b, c >0 tho¶ m·n 2 a + b 2 + ab b 2 + c 2 + bc a 2 + c 2 + ca T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc S = a + b + c NhËn xÐt 7: ViÖc chøng minh c¸c bµi 10,11,12,13 kh«ng khã, nÕu biÕt sö dông linh ho¹t c¸c bµi to¸n ®−¬ng tù bµi 9. NÕu HS kh«ng biÕt vËn dông bµi 9(tøc sÏ vËn dông ví dụ 1). Th× e lµ khã lµm ®èi víi c¸c em HS(kÓ c¶ ®éi tuyÓn HSG). 3 3 3 3  a a a a  = + + 1  b b  b b   a  b  c a b c  +  +  ≥ + + . Trong ®ã a, b, c lµ Bµi 14. Chøng minh r»ng       b c a  b  c  a c¸c sè thùc d−¬ng. Chøng minh.  a  +1 ≥ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) ta ®−îc   b   3  b b b T−¬ng tù   + 1 ≥ + c c  c 3  c c c  +1 ≥ + ,  .  a a  a Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®−îc Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 7 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 3 3 3  a  b  c a b c a b c        b  + c  + a  +3≥ b + c + a + b + c + a       MÆt kh¸c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã a b c + + ≥3 b c a (1) (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. NhËn xÐt 8: NÕu chóng ta l¹i ®Æt a b c = X; = Y; = Z . Ta l¹i cã bµi to¸n b c a míi sau Bµi 15. Chøng minh r»ng X 3 + Y 3 + Z 3 ≥ X + Y + Z . Trong ®ã X, Y, Z lµ c¸c sè thùc d−¬ng vµ XYZ=1. NhËn xÐt 9: Tõ bµi to¸n võa nªu, nÕu chóng ta ®Æt x=3a; y=3b,z=3c. Th× ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n 5 ®¬n gi¶n h¬n. Bµi 16: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b + c = 0. Chøng minh r»ng 27a + 27b + 27c ≥ 3a + 3b + 3c. HD: Bµi to¸n nµy trë vÒ viÖc chøng minh B§T x3+y3+z3 ≥ x+y+z. ¸p dông bµi to¸n 15, ta cã ngay kÕt qu¶. NhËn xÐt 10: Ta l¹i cã bµi to¸n míi tæng qu¸t bµi to¸n 15 sau ®©y. Bµi 17: Cho m lµ mét sè kh«ng ©m; x, y, z lµ 3 sè tho¶ m·n: x+y+z=0. Chøng minh r»ng m3x+m3y+m3z≥ mx+my+mz. NhËn xÐt 11: Tõ bµi to¸n tæng qu¸t trªn,qua quá trình phân tích, nhận định phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh ta xây dựng bµi to¸n tæng qu¸t ví dụ 1 Bµi 18 (bµi to¸n tæng qu¸t ví dụ 1) Cho a1, a2,..,an lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m, n ∈ N * . Chøng minh r»ng a1n+1 + a2n+1 + .. + ann+1 ≥ a1a2..an(a1 + a2 + .. + an). Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho n + 1 sè thùc kh«ng ©m ta cã a1n+1 + a1n+1 + a2n+1 + .. + ann+1 ≥ (n + 1)a12a2…an Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 8 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 a1n+1 + a2n+1 + a2n+1 + …. + ann+1 ≥ (n + 1)a1a22a3…an ………………………………………. a1n+1 + a2n+1 + …. + ann+1 + ann+1 ≥ (n + 1)a1a2….an2 Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a1 = a2 = …. = an . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (*) vµ bÊt ®¼ng thøc tæng qu¸t vµo chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau. Bµi 19. Cho a1, a2, ….,an lµ c¸c sè thùc d−¬ng; n ∈ N * . Chøng minh r»ng n a1 2n+1 a1 + a2 +...+ an n n + n a1 + a2 n a2 2n+1 + ...+ an n + ...+ n an a1 + a2 + ...+ an n n 2n+1 1  1  ≤   n  a1   n+1 1 +    a2  n+1 1 + ...+    an  n+1    Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc tæng qu¸t cña bÊt ®¼ng thøc (*) ta cã 1    a1  n+1 1 +    a2  n+1 1 + ...+    an  n+1 ≥ 1 1 1 1  + +...+ (1) a1a2 ...an  a1 a2 an  MÆt kh¸c ¸p dông bÊt ®¼ng C«si cho mÉu thøc cña c¸c biÓu thøc ë vÕ tr¸i ta ®−îc n a1 2n+1 a1 + a2 +...+ an n n + n a1 + a2 n a2 2n+1 +...+ an n +...+ n an a1 + a2 +...+ an n n 2n+1 ≤ 1 1 1 1  + +...+ (2) na1a2 ...an  a1 a2 an  Tõ (1) vµ (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a1 = a 2 = ... = a n = 1 NhËn xÐt 12: Tõ nh÷ng vÝ dô minh ho¹ thªm chóng ta cã thÓ khai th¸c bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch nhiÒu h−íng kh¸c nhau.Hướng cho hướng cho học sinh hiểu rõ được những vấn đề cơ bản của nó, học sinh sinh sẽ giải quyết được các bài toán trên đây dễ dàng hơn, qua đó nâng cao được hứng thú tìm tỏi, rèn luyện được đức tính nhẫn nại kiên trì phát huy trí lực cho học sinh. b/ VÝ dô 2. (S¸ch bµi tËp §¹i sè 10- ch−ong tr×nh chuÈn) Chøng minh r»ng nÕu a ≥ 0 , b ≥ 0 th× a 4 + b 4 ≥ ab( a 2 + b 2 ) .(**) §¼ng thøc x¶y ra khi nµo ? Chøng minh. Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 9 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 (**) ⇔ a 4 + b 4 − a 3 b − ab 3 ≥ 0 ⇔ a 3 (a − b) − b 3 (a − b) ≥ 0 ⇔ ( a − b)(a − b)( a 2 + ab + b 2 ) ≥ 0 ⇔ ( a − b) 2 ( a 2 + ab + b 2 ) ≥ 0 BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng lu«n ®óng. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b. Bµi 1(bµi to¸n tæng qu¸t). Cho a1, a2,….,an lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m, n ∈ N * . Chøng minh r»ng a1n+2 + a2n+2 + …. + ann+2 ≥ a1a2….an(a12 + a22 + …. + an2). Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho n + 1 sè thùc kh«ng ©m ta cã a1n+2 + a1n+2 + a1n+2 + a2n+2 + …. + ann+2 ≥ (n + 2)a13a2….an a1n+2 + a2n+2 + a2n+2 + a2n+2 + …. + ann+2 ≥ (n + 2)a1a23a3….an ………………………………… a1n+2 + a2n+2 + ….+ ann+2 + ann+2 + ann+2 ≥ (n + 2)a1a2….an3 Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a1 = a2 = …. = an . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (**) vµ bÊt ®¼ng thøc tæng qu¸t vµo chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau. Bµi 2: Cho hai sè d−¬ng a, b. Chøng minh r»ng a a b + b b a ≥ a + b. Chøng minh. 2 2 BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi a + b ≥ a b ( a + b) . §©y chÝnh lµ bÊt ®¼ng thøc (**) cho hai sè d−¬ng a vµ b nªn ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh. 4 4 4 3 3 3 Bµi 3. Chøng minh r»ng a + b + c ≥ a bc + b ac + c ab . Trong ®ã a, b, c lµ ba sè thùc kh«ng ©m. Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (**) ta cã a4 + b4 ≥ a3b + ab3 b4 + c4 ≥ b3c + bc3 Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 10 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 a4 + c4 ≥ a3c + ac3 Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®−îc 2(a4 + b4 + c4) ≥ a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b). (1) MÆt kh¸c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho hai sè kh«ng ©m ta cã 3 3 3 a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) ≥ 2a bc + 2b ac + 2c ab (2) Tõ (1), (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. 2 2 2 a b c a b c Bµi 4. Cho ba sè d−¬ng a, b, c. Chøng minh r»ng   +   +   ≥ + + b c a b c a Chøng minh. 4  a  +1 ≥ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (**) ta cã   b   a a 1 +  b b 4  b b b   +1 ≥ 1 +   c c  c   4  c    a  +1 ≥   c c 1 +  a a Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®−îc 2 2 2 a b  c    +  +  +3≥ b c a 3 3 3 a b c  a  b  c  +  +  (1) + + + b c a  b   c   a  MÆt kh¸c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã 3 a b c + + ≥ 3 (2) b c a 3 3  a  b  c a b c vµ ¸p dông kÕt qu¶ Bµi 9. ta ®−îc   +   +   ≥ + + (3) b c a  b  c  a Tõ (1), (2), (3) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 11 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 Bµi 5. Chøng minh r»ng 2 x 16 + y 16 2 y 16 + z 16 2 z 16 + x 16 + 12 + 12 ≥ x4 + y4 + z4 12 8 4 12 8 4 12 8 4 12 x +x y +y y +y z +z z +z x +x trong ®ã x, y, z lµ ba sè thùc d−¬ng. Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (**) ta cã (x ) + (y ) 4 4 4 4 ≥ x12 y 4 + x 4 y 12 ⇔ 2 x16 + y 16 ≥ x12 y 4 + y 12 x 4 + x16 ⇔ 2 x16 + y 16 ≥ x 4 ( x12 + x 8 y 4 + y 12 ) 2 x16 + y 16 ⇔ 12 ≥ x4 8 4 12 x +x y +y T−¬ng tù 2 y 16 + z 16 2 z 16 + x16 4 ≥ y , 12 ≥ z4 . 12 8 4 12 8 4 12 y +y z +z z +z x +x Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z. Bµi 6. Cho a, b, c lµ ba sè thùc d−¬ng. Chøng minh r»ng (a 5 ) 1 1 1 + b5 + c5  3 + 3 + 3  ≥ 3(a2 + b2 + c2 ) a b c  Chøng minh. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc tæng qu¸t cña bÊt ®¼ng thøc (**) cho n = 3 ta ®−îc a5 + b5 + c5 ≥ abc(a2 + b2 + c2) (1). MÆt kh¸c ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè d−¬ng ta cã 1 1 1 3 (2) + 3+ 3≥ 3 a b c abc Tõ (1), (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. NhËn xÐt 13: Tõ bµi to¸n 6, chóng ta cã thÓ khai th¸c bËc 5, ®èi víi 2 sè b»ng mét bÊt ®¼ng thøc a 5 + b 5 ≥ (a + b)a 2 b 2 (***) râ rµng viÖc chøng minh bÊt ®¼ng thøc nµy qu¶ thËt kh«ng khã. Tuy nhiªn, nªu ng−êi thÇy biÕthướg dẫn nhìn nhận khai th¸c bµi to¸n c¬ b¶n trªn th× viÖc nhËn ra vµ chøng minh bµi to¸n nµy lµ mét viÖc lµm ®¬n gi¶n qua đó ta lại cã mét bµi to¸n míi. Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 12 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 Bµi 7: C¸c sè d−¬ng x, y, z cã tÝch b»ng 1. Chøng minh r»ng: xy yz zx + 5 + 5 ≤ 1. 5 5 x + xy + y y + yz + z z + zx + x 5 5 Chøng minh: 5 5 2 2 ¸p dông (***), ta cã: x + y + xy ≥ ( x + y ) x y + xy ⇒ xy xy 1 z ≤ = = 5 2 2 x + xy + y xy + ( x + y ) x y 1 + ( x + y ) xy x + y + z 5 T−¬ng tù yz x zx y ; 5 ≤ ≤ 5 5 x + y + z z + zx + x x+ y+z y + yz + z 5 Céng vÕ theo vÕ c¸c B§T trªn ta cã ®iÒu cÇn chøng minh C¸c bµi tËp t−¬ng tù ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc (*),(**) vµ c¸c bÊt ®¼ng thøc tæng qu¸t cña chóng gi¶i c¸c bµi tËp sau Bµi 8. Cho ba sè d−¬ng a, b, c. Chøng minh r»ng a 2 + b 2 + c 2 ≥ abc ( a + b + c ) . Bµi 9. Cho a, b, c lµ ba sè d−¬ng vµ a2 + b2 + c2 = 3. Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 ≥ a + b + c. Bµi 10. Cho a, b, c, d lµ nh÷ng sè thùc d−¬ng. Chøng minh r»ng a 2 b2 c 2 d 2 a b c d + + + ≥ + + + b2 c 2 d 2 a 2 b c d a Bµi 11. Cho a1, a2,………,an lµ c¸c sè thùc d−¬ng (n ≥ 3, n ∈ N). Chøng minh r»ng (a n 1 ) a + a +...+ an−1  1 1  n  a2 +...+ an a1 + a3 +...+ an n n  1   + a2 +...+ an  n + n +...+ n  ≥ + +...+ 1 2 a1 a2 an an  n −1   a1 a2 Bµi 12. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau  y 8 (3 − x 8 ) = 2  2  y (4 y 4 − x 4 ) = 2 x 2 Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 13 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10








  c/ VÝ dô 3: G lµ träng t©m tam gi¸c ABC khi vµ chØ khi GA + GB + GC = 0 Chøng minh: Gäi M lµ trung ®iÓm BC








  Ta cã: GA + GB + GC = 0








 ⇔ GA = − GB + GC













  ⇒ GA = −2GM ⇔ GA + 2GM = 0 ( A ) ⇔ G lµ träng t©m tam gi¸c ABC G B M C








 NhËn xÐt 14: Nh− vËy ®Ó vÝ dô trªn ta biÓu thÞ GA qua 2 vect¬ GB, GC. Do G thuéc miÒn trong tam gi¸c ABC, cho nªn G chia diÖn tÝch tam gi¸c ABC thµnh 3 phÇn b»ng nhau cã diÖn tÝch lµ S1, S2, S3 lÇn l−ît lµ diÖn tÝch tam gi¸c GBC, GCA, GAB vµ b»ng








  1 S ABC v× thÕ (I) ⇒ S1 GA + S 2 GB + S 3 GC = 0 . §iÒu nµy cho ta liªn 3 t−ëng G lµ ®iÓm bÊt kú thuéc miÒn trong tam gi¸c ABC. Khi ®ã ta cã thÓ vËn dông ph−¬ng ph¸p chøng minh ®Þnh lÝ trªn ®Ó chøng minh cho bµi to¸n sau, qua viÖc biÓu thÞ mét vect¬ qua hai vect¬ kh¸c. Bµi 1: (§Ò thi ®Ò nghÞ Olimpic 30/4 lÇn 8) Cho ABC, M thuéc miÒn trong tam gi¸c. Gäi S1, S2, S3 lÇn l−ît lµ diÖn tÝch tam gi¸c MBC, MAC, MAB.









  Chøng minh r»ng: S1 MA + S 2 MB + S 3 MC = 0 (1) Gi¶i: Nh− vËy ®Ó chøng minh bµi to¸n 1, ta vËn dông ph−¬ng ph¸p biÓu thÞ mét vect¬ qua hai vect¬ cßn l¹i


 S



 S


 Ta cã (1) ⇔ MC = − 1 MA − 2 MB S3 S3 KÐo dµi AM, MB c¾t BC, AC lÇn l−ît t¹i A1, B1. Dùng h×nh b×nh hµnh MB'CA'










 ⇒ MC = MA' + MB ' Gäi H, K lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu A, C lªn BM ⇒ B 'C B1C KC B 'C KC MA' KC (v× B'C = MA') = = ⇒ = ⇒ = AM B1A AH AM AH AM AH Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 14 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 1 S1 2 MB.KC KC MA' ⇒ = = = S 2 1 MB.AH AH MA 2



 S



 ⇒ MA' = − 1 MA (*) S3



 S


 T−¬ng tù MB ' = − 2 MB S3 A B1 K M B B' H C A1 (**) A'


 S



 S


 Tõ (*) vµ (**) ta suy ra MC = − 1 MA − 2 MB









  S 3 S3 ⇔ S1 MA +S 2 MB +S 3 MC = 0 NhËt xÐt 15: ë bµi to¸n 1 kÕt qu¶ kh«ng phô thuéc vµo ®iÓm M, nÕu ta thay M bëi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC vµ r lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn th× häc sinh cã thÓ sö dông bµi to¸n 1 ®Ó gi¶i bµi to¸n sau. Bµi 2: (TuyÓn tËp 200 bµi thi v« ®Þch To¸n) Cho ∆ABC, gäi

 I lµ

t©m  ®−êng

  trßn néi tiÕp ∆ABC. §Æt BC = c, BC = a, CA = b. Chøng minh r»ng aIA + bIB + cIC = 0 (2) Gi¶i v¾n t¾t: ¸p dông bµi to¸n 1, ta cã:





 S1 IA + S 2 IB + S 3 IC 1

 1

 1

  ⇔ raIA + rbIB + rcIC = 0 2 2 2





  ⇔ aIA + bIB + cIC = 0 A I B r S1 a C Bµi 3: Cho ∆ABC, gäi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp ∆ABC. §Æt AB = c, BC = a, CA = b.





  Chøng minh r»ng: IAsin A + IB sin B + IC sin C = 0 NhËn xÐt 16: Ta thÊy vÞ trÝ M thuéc miÒn trong tam gi¸c, vËy ∆ABC nhän th× t©m O ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC thuéc miÒn trong. Do ®ã, ta cã bµi to¸n míi. Bµi 4: Cho ∆ABC nhän, BC = a, CA = b, AB = c. Gäi O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.








  Chøng minh r»ng: OAsin 2A + OB sin 2B + OC sin 2C = 0 (4) Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 15 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 NhËn 17: ta b×nh v« h−íng (2) khi ®ã xuÊt hiÖn


 ph−¬ng



 xÐt





Tõ

kÕt qu¶ bµi to¸n 2, nÕu


1 IA.IB, IB.IC, IC.IA . Vµ sö dông c«ng thøc AB.AC = (AB 2 + AC 2 − BC 2 ) .














2 (ThËt vËy CB = (AB − AC) ⇒ CB 2 = (AB − AC)2 ). Ta l¹i cã bµi to¸n míi sau. Bµi 5: (§Ò thi ®Ò nghÞ Olimpic 30/4 lÇn 8,9) Cho ∆ABC nhän, BC = a, CA = b, AB = c. Gäi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp ∆ABC. IA 2 IB 2 IC 2 (5) + + =1 bc ca ab





 Gi¶i v¾n t¾t: (2) ⇒ (aIA + bIB + cIC)2 = 0











 ⇔ a 2 IA 2 + b 2 IB 2 + c2 IC 2 + 2cbIA.IB + 2caIC.IA + 2abIA.IB = 0 Chøng minh r»ng: 1 ⇔ a 2 IA 2 + b 2 IB 2 + c2 IC 2 + 2ab (IA 2 + IB 2 − a 2 ) + 2 1 1 2ca (IC 2 + IA 2 − b 2 ) + 2ab (IA 2 + IB 2 − c2 ) = 0 2 2 ⇔ (a2 + ab + ac) IA2 + (b2 + ba + bc) IB2 + (c2 + ca + cb) IC2 - abc(a + b + c) = 0. ⇔ a(a + b + c) IA2 + b(a + b + c) IB2 + c(a + b + c) IC2 = abc (a + b + c) ⇔ aIA2 + bIB2 + cIC2 = abc. IA 2 IB 2 IC 2 ⇔ + + =1. bc ca ab NhËn xÐt 18: Tõ c«ng thøc (2) nÕu ta thay I bëi M bÊt th× ta lu«n cã









 (aMA + bMB + cMC)2 ≥ 0 vµ biÕn ®æi hoµn toµn t−¬ng tù nh− bµi to¸n 5, ta suy ra aMA2 + bMB2 + cMC2 ≥ abc (***) DÔ thÊy dÊu "=" x¶y ra ⇔ M ≡ I. Tõ ®ã ta cã thÓ vËn dông gi¶i bµi to¸n sau: Bµi 6: Cho ∆ABC nhän, BC = a, CA = b, AB = c. Chøng minh r»ng tån t¹i duy nhÊt ®iÓm M sao cho aMA2 + bMB2 + cMC2 ≤ abc (6) H−íng dÉn: Tõ (***) vµ (6) ⇒ aMA2 + bMB2 + cMC2 = abc ⇔ M ≡ I, víi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp ∆ABC. VËy M duy nhÊt. NhËn xÐt 19: Còng bµi to¸n 6, ta cã thÓ ph¸t biÓu d−íi d¹ng kh¸c. Nh»m rÌn luyÖn t− duy s¸ng t¹o trong to¸n häc cho häc sinh tõ ®ã quy l¹ vÒ quen. Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 16 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 Bµi 7: (TuyÓn tËp 200 bµi thi v« ®Þch To¸n) Cho ∆ABC nhän, BC = a, CA = b, AB = c. T×m vÞ trÝ M sao cho P = aMA2 + bMB2 + cMC2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. NhËn xÐt 20: Qua d¹ng bµi to¸n trªn, nÕu biÕt vËn dông linh ho¹t kÕt hîp c¸c bµi to¸n l¹i, th× ta cã thÓ vËn dông gi¶i c¸c bµi to¸n t−¬ng tù sau, nh−ng ë møc ®é cao h¬n. Bµi 8: (§Ò thi ®Ò nghÞ Olimpic 30/4 n¨m 1999) Cho ∆ABC nhän, BC = a, CA = b, AB = c, néi tiÕp ®−êng trßn (O; 1). Chøng minh r»ng víi mäi M ta lu«n cã a2(b2 + c2 - a2) MA + b2 (c2 + a2 - b2) MB + c2 (a2 + b2 - c2) MC ≥ a2b2c2.








  Gi¶i v¾n t¾t: Theo bµi to¸n 4, ta cã OAsin 2A + OB sin 2B + OC sin 2C = 0 Vµ OA = OB = OC = 1, a = 2RsinA = 2sinA, b = 2sinB, c = 2sinC. ⇒ MA = OA. MA = OA . MA ≥ OA.MA = OA(OA − OM) = (1 − OA.OM) (****)






 DÊu b»ng x¶y ra cña (****) khi vµ chØ khi OA, MA cïng h−íng.






 Ta cã: a2 (b2 + c2 - a2) MA = 2abc sin2A. MA ≥ 2abcsin2A(1 - OA.MA ), t−¬ng tù cho 2 tr−êng hîp cßn l¹i.






























 Ta suy ra












 VT ≥ 2abc (sin2A + sin2B + sin2C) - 2abc. OM(OAsin 2A + OB sin 2B + OC sin 2C) = 2abc. 4sinA. sinB. sinC = a2b2c2 C¸i mÊu chèt cña bµi to¸n nµy, lµ xuÊt hiÖn a2(b2 + c2 - a2) = 2abc cosA.sinA, O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC nhän. Do ®ã, ta liªn t−ëng vµ vËn dông bµi to¸n 4. NhËn xÐt 21: Tõ bµi to¸n trªn cã sù xuÊt hiÖn a2(b2 + c2 - a2) khi ®ã ta nghÜ ngay ®Õn cosA … Do vËy, nÕu biÕt kÕt hîp víi c¸ch gi¶i bµi to¸n 1, ta cã thÓ vËn dông gi¶i bµi to¸n sau. Bµi 9: Cho ∆ABC nhän, BC = a, CA = b, AB = c. Gäi H lµ trùc t©m ∆ABC.








  1 1 1 Chøng minh r»ng 2 HA + HB + HC = O. b + c2 − a 2 c2 + a 2 − b 2 a 2 + b 2 − c2 Gi¶i s¬ l−îc: T−¬ng tù bµi to¸n 1. KÐo dµi AH, BH c¾t BC, AC lÇn l−ît t¹i A1, B1. Dùng h×nh b×nh hµnh HB' CA'










 ⇒ HC = HA' + HB ' Ta cã: CB ' B1C a cosC = = AH AB1 c cosA Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 17 www.MATHVN.com






 a cosC


 ⇒ HA' = −CB ' = − HA c cosA







 b cosC


 t−¬ng tù HB ' = −CA' = − HB c cosB Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 (9') B1 H (9'') B


 a cosC


 b cosC


 Tõ (9') vµ (9'') ta suy ra HC = − HA − HB c cos A c cosB a


 b


 c


  HA + HB + HC = 0 cos A cos B cosC








  1 1 1 ⇔ 2 HA + HB + HC =0 b + c2 − a 2 c2 + a 2 − b 2 a 2 + b 2 − c2 ⇔ B' A A1 C A ' 2. Mét sè kinh nghiÖm ®óc kÕt qua viÖc gi¶ng d¹y häc sinh ph¸t huy trÝ lùc Theo chóng t«i, viÖc ph¸t huy trÝ lùc cho häc sinh lµ mét viÖc lµm rÊt quan träng cña ng−êi ThÇy gi¸o. Nã ®ßi hái ng−êi thÇy gi¸o cÇn ph¶i biÕt nh×n nhËn ®Ó ®Þnh h−íng c¸c em häc sinh biÕt c¸ch khai th¸c, vËn dông linh ho¹t c¸ch gi¶i, c¸c ph−¬ng ph¸p chøng minh, nhËn ®Þnh bµi to¸n trªn nhiÒu ph−¬ng diÖn . B¶n th©n chóng t«i trong qu¸ tr×nh d¹y häc ®· th−êng xuyªn ¸p dông vµ thÊy r»ng t−¬ng ®èi cã hiÖu qu¶. §Ó ®¹t ®−îc nh÷ng hiÖu qu¶ ®ã, chóng t«i ®· thùc hiÖn mét sè biÖn ph¸p sau 2.1. Lu«n t¨ng c−êng tham kh¶o tµi liÖu, ®Æc biÖt lµ nghiªn cøu kÜ SGK(®©y lµ mét tµi liÖu quan träng h¬n bao giê hÕt), qua ®ã cè g¾ng ghi l¹i nh÷ng bµi to¸n cã thÓ khai th¸c c¸c øng dông cña nã, giải bài toán được trong nhiều cách nh»m ph¸t huy trÝ lùc cho häc sinh. 2.2. Trong qua tr×nh gi¶ng d¹y ng−êi gi¸o viªn cÇn ph¶i biÕt c¸ch h ư ơng d ẫn nh»m cung cÊp cho c¸c em häc sinh c¸c ph−¬ng ph¸p tiÕp cËn lo¹i bµi to¸n ®ã vµ th−êng xuyªn ®Æt c©u hái “bµi to¸n nµy cã thÓ khai th¸c tõ bµi to¸n nµo? øng dông cña nã ra sao? 2.3. Gi¸o viªn cÇn ph¶i chuÈn bÞ c¸c kiÕn thøc hướng dẫn ®Ó Häc sinh tù kh¸m ph¸, tù ®Æt bµi to¸n tæng qu¸t vµ ®éc lËp gi¶i quyÕt nã. 2.4. §øng tr−íc mét bµi to¸n Gi¸o viªn cÇn h−íng dÉn vµ ph©n tÝch cho c¸c em Häc sinh ph¶i xem xÐt nã c¸ch nh×n nhËn vÊn ®Ò kh¸c nhau, qua ®ã t×m ra ®−îc c¸c ®Þnh h−íng ®−îc c¸ch gi¶i bµi to¸n cho Häc sinh vµ c¸ch khai th¸c øng dông cña nã. Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 18 www.MATHVN.com 2.5. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 Tõ viÖc khai th¸c c¸c øng dông cña nã Gi¸o viªn cã thÓ h−íng c¸c em Häc sinh biÕt lËt ng−îc ®−îc vÊn ®Ò, h−íng dÉn chuyÓn ®æi c¸c d¹ng bµi to¸n vÒ c¸c bµi to¸n míi hay h¬n vµ hiÖu qu¶ h¬n. C kÕt luËn. Khai th¸c tiÒm n¨ng s¸ch gi¸o khoa, øng dông c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n s¸ch gi¸o khoa vµo gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c nh»m phát triển trí lực cho häc sinh lµ viÖc lµm cÇn thiÕt ®èi víi mçi gi¸o viªn, qua ®ã ph¸t triÓn cho häc sinh t− duy to¸n häc, cã kh¶ n¨ng vËn dông vµ sù linh ho¹t trong gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. §i tõ nh÷ng vÊn ®Ò ®¬n gi¶n gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò phøc t¹p phï hîp víi qu¸ tr×nh nhËn thøc cña häc sinh, tõ ®ã lµm cho häc sinh yªu thÝch vµ h¨ng say häc tËp m«n to¸n h¬n. B»ng c¸ch nµy trong thêi gian qua ®−îc nhµ tr−êng ph©n c«ng gi¶ng d¹y vµ båi d−ìng häc sinh giái khèi 10, 11, 12 b−íc ®Çu ®· thu ®−îc kªt qu¶ ®¸ng khÝch lÖ. Qu¸ tr×nh vËn dông chuyªn ®Ò trªn vµo gi¶ng d¹y cã kho¶ng 80 % häc sinh gi¶i quyÕt ®−îc 85% c¸c bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa, 19% häc sinh gi¶i quyÕt trän vÑn c¸c bµi tËp s¸ch gi¸o khoa. ChÝnh v× thÕ trong qu¸ tr×nh båi d−ìng häc sinh giái ®¹t 13/14 em trong ®ã cã 2 gi¶i nh× vµ 5 gi¶i ba; trong c¸c k× thi ®¹i häc 4 n¨m trë l¹i ®©y n¨m nµo còng cã Häc sinh ®Ëu §¹i häc cã ®iÓm cao nhÊt huyÖn. Trªn ®©y lµ mét sè kinh nghiÖm cña b¶n th©n chóng t«i ®· ®óc rót ra trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ båi d−ìng häc sinh giái. B¶n th©n chóng t«i thÊy rÊt quan träng vµ rÊt thiÕt thùc trong c«ng viÖc d¹y häc ®Æc biÖt lµ c«ng t¸c båi d−ìng häc sinh giái nh− hiÖn nay, nªn m¹nh d¹n ®−a ra. RÊt mong c¸c cÊp chuyªn m«n ®ãng gãp ý kiÕn, bæ sung ®Ó b¶n th©n ngµy cµng hoµn thiÖn h¬n vµ cã nhiÒu kÕt qu¶ tèt h¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! §ång t¸c gi¶ Ng« Quang V©n-Tr−¬ng Xu©n S¬n Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 19 www.MATHVN.com Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o nghÖ an Tr−êng thpt quúnh l−u 4 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm khai th¸c øng dông mét sè bÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n nh»m rÌn luyÖn t− duy l«gic cho häc sinh” “ §ång t¸c gi¶ Ng« Quang V©n-Tr−¬ng Xu©n S¬n Ng« Quang V©n- Tr−¬ng Xu©n S¬n: Tr−êng THPT Quúnh L−u 4, NghÖ An – www.mathvn.com 20