Tài liệu Skkn toán thpt một số phương pháp xây dựng dãy số

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TÊN ĐỀ TÀI TRƯƠNG NGỌC ĐẮC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ A. MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề 1. Thực trạng của vấn đề Dãy số là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của Đại số, Giải tích và Số học... Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc trong Giải tích, trong lý thuyết phương trình xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn… Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, thi Olympíc Toán khu vực và quốc tế…các bài toán liên quan đến dãy số hay đề cập và thường là loại rất khó. Các bài toán vể ước lượng và tính giá trị các tổng, tích cũng như các bài toán cực trị và xác định giới hạn của một biểu thức cho trước hoặc xây dựng công thức nghiệm của các phương trình nghiệm nguyên, thường có mối quan hệ ít nhiều đến các đặc trưng của dãy tương ứng. Lý thuyết về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của Giải tích toán học. Tuy nhiên để tạo cho học sinh niềm tin sáng tạo và tạo cho các em thích thú với việc giải các bài toán về dãy số, khi chúng biết rằng có những mối quan hệ mật thiết giữa việc giải các các bài toán số học với các dãy số nguyên và từ đó tạo cho các em tự tin khi giải quyết bài toán về dãy số. Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán của trường và nhất là được đi học tập các chuyên đề Toán bồi dưỡng học sinh giỏi vào các dịp hè tại trường ĐHKHTN Hà Nội được các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi đã tích lũy soạn giảng theo đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ ”. Đây cũng là chuyên đề mà tôi phụ trách giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh đội tuyển Toán tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia hằng năm. 2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài Nội dung tôi muốn đề cập trong chuyên đề này là tóm tắt một số khái niệm cơ bản về dãy số và một số phương pháp xây dựng dãy số thỏa mãn một số tính chất nào đó. 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC Từ việc nghiên cứu các bài toán về dãy số trong các đề thi học sinh giỏi Toán THPT quốc gia, tôi đã tìm được một số cách xây dựng ra các bài toán về dãy số, phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán có kết quả cao trong những năm gần đây. Trong đề tài đưa ra sáu phương pháp xây dựng dãy số từ hai nghiệm của phương trình bậc hai, từ việc xác định nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, công thức nghiệm của phương trình Pell, công thức nghiệm của phương trình Pell chứa tham số, từ hàm số phân tuyến tính và công thức lượng giác. Ta xây dựng được các bài toán về dãy số mà ta đã xác định được quan hệ của các số hạng của dãy số đó. Từ đó cho chúng ta biết các mối quan hệ giữa các bài toán về dãy số không những có liên quan mật thiết với Đại số, Giải tích mà còn ở môn Số học. Chính vì vậy, nếu sử dụng, khai thác các kiến thức Toán sơ cấp như môn Số học một cách có hiệu quả để tập dợt cho học sinh chuyên Toán sáng tạo, phát huy trí tuệ là một việc cần làm. Đây lại là một nhiệm vụ khó khăn cho đội ngũ giáo viên dạy chuyên Toán mà thực tế xã hội đang đề ra. 3. Giới hạn đề tài Đề tài chủ yếu nêu được một số phương pháp xây dựng dãy số từ các nghiệm của phương trình bậc hai, công thức nghiệm của phương trình Pell, từ hàm số phân tuyến tính và hàm lượng giác. Đề tài chưa đề cập đến xây dựng dãy số từ các hàm lượng giác ngược hoặc ứng dụng toán cao cấp vào việc xác lập các dãy số có giới hạn hữu hạn. 4. Hướng phát triển đề tài Việc sáng tạo có rất nhiều con đường đi khác nhau, đề tài còn có thể phát triển, khai thác từ các hàm lượng giác ngược để xây dựng một số dãy số hoặc xây dựng một số dãy số có giới hạn hữu hạn mà khi giải chúng cần sử dụng công cụ đạo hàm và đây là bài toán khó cần có thời gian nghiên cứu. II. Phương pháp tiến hành 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn  Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán của trường và nhất là được đi học tập các chuyên đề Toán bồi dưỡng học sinh giỏi vào các dịp hè tại trường ĐHKHTN Hà Nội được các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi nhận thấy các dãy số 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC nguyên có liên hệ mật thiết với công thức nghiệm của phương trình nghiệm nguyên và khi giải chúng cần những kiến thức về số học như chia hết , đồng dư,…  Qua tham khảo các đề thi Toán quốc gia và đề thi Toán các nước trên thế giới đều đưa nội dung dãy số vào trong đề thi nhằm phát hiện và tuyển chọn được học sinh giỏi môn Toán. 2. Các phương pháp tiến hành, thời gian tiến hành đề tài Tôi đã tiến hành các phương pháp sau:  Phương pháp phân tích, đánh giá, dự đoán từ các đề thi Olympiad của các nước trên thế giới và Việt Nam.  Phương pháp tổng hợp, rút ra được một số cách xây dựng bài toán mới.  Thời gian tiến hành: Trong 5 năm học từ 2010 – 2015 dựa trên thực tế giảng dạy các lớp chuyên Toán và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán dự thi cấp quốc gia, trên cơ sở tích lũy trong quá trình soạn giảng, tham khảo ý kiến các đồng nghiệp và được tích lũy từ các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi do các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi đúc kết viết kinh nghiệm giảng dạy này. 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC B. NỘI DUNG I. Mục tiêu  Xây dựng một số dãy số mới từ việc giải các phương trình bậc hai, giải phương trình nghiệm nguyên, công thức nghiệm của phương trình Pell, xây dựng dãy số từ hàm phân tuyến tính và hàm lượng giác nhằm tạo ra được một lớp bài tập về dãy số.  Tạo cho học sinh không ngại khó, tự tin khi giải quyết bài toán về dãy số, vì những bài toán đó có thể giải được chỉ qua vài phép biến đổi đại số, số học, công thức lượng giác có thể đưa về bài toán quen thuộc.  Tạo cho học sinh biết cách sáng tạo, bước đầu nghiên cứu sự hình thành các bài toán mới từ các bài toán đơn giản.  Tạo nguồn tài liệu về chuyên đề dãy số dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán. II. Mô tả đề tài 1- Thuyết minh chung nội dung đề tài dự thi 1.1. Những nhược điểm hiện tại. - Giáo viên và học sinh thường tập hợp các bài toán đã có trong các đề thi học sinh giỏi các năm trước, phân loại và tìm tòi các phương pháp giải, phục vụ cho việc giảng dạy và học tập. - Chưa tìm hiểu các bài toán thường có trong các đề thi được xây dựng ra từ những nguyên lý nào. - Học sinh không biết mối liên hệ giữa dãy số với các phép toán số học, với hàm số như thế nào. - Tính thụ động, không chịu đào sâu suy nghĩ các kiến thức đã được học của học sinh, hơn nữa học sinh chưa dám mạnh dạn nghĩ ra một bài toán khác từ các bài toán cơ bản đã được học. - Tài liệu dùng cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán về dãy số còn hạn chế. 1.2. Tính mới của giải pháp 4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC - Đã sử dụng, khai thác việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai hoặc công thức nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, phương trình Pell và một số hàm số xây dựng được một số dãy số mà mối quan hệ của các số hạng của dãy số đã biết được. - Giúp học sinh chuyên Toán biết cách đào sâu kiến thức toán học phổ thông, tạo niềm say mê nghiên cứu, tự tin tập dợt sáng tạo. - Giúp cho giáo viên tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán có tài liệu về việc soạn giảng chuyên đề về dãy số.. 1.3. Nội dung giải pháp - Sử dụng việc xác định nghiệm của phương trình bậc hai, xây dựng công thức nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, phương trình Pell và tính chất của hàm phân tuyến tính và hàm lượng giác xây dựng được một số lớp bài toán về dãy số. Đề tài đưa ra 6 phương pháp xây dựng dãy số. a. Xây dựng dãy số từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai. b. Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình nghiệm nguyên. c. Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình Pell x 2  dy 2  1 . d. Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình Pell chứa tham số x 2  dy 2  m . e. Xây dựng các dãy số từ các hàm số phân tuyến tính. f. Xây dựng dãy số từ các hàm lượng giác. 2- Khả năng áp dụng  Đề tài đã được soạn giảng, bồi dưỡng cho học sinh các lớp chuyên Toán của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn và các em trong đội học sinh giỏi Toán của Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định dự thi học sinh giỏi Toán THPT quốc gia hằng năm.  Giúp cho học sinh tiếp cận và tập dợt nghiên cứu, sáng tạo.  Đề tài cũng đã giúp cho các đồng nghiệp trong tổ Toán trao đổi xây dựng được một số lớp bài toán về dãy số, mà cách giải dựa trên những kiến thức rất cơ bản.  Đề tài còn có thể phát triển, khai thác từ các hàm lượng giác ngược để xây dựng một số dãy số hoặc xây dựng một số dãy số có giới hạn hữu hạn mà khi giải chúng cần sử dụng công cụ đạo hàm và đây là bài toán khó cần có thời gian nghiên cứu. 5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC 3- Lợi ích kinh tế-xã hội  Hầu hết các em học sinh các lớp chuyên Toán hiểu và vận dụng được, tạo cho các em say mê sáng tạo và có những cách giải độc đáo khác ngoài cách xây dựng nên dãy số đó.  Rèn luyện và phát huy được tính sáng tạo cho học sinh.  Giúp cho đồng nghiệp trong tổ Toán có tư liệu trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán tham gia thi chọn học sinh giỏi các cấp.  Kết quả: Khi soạn giảng các chuyên đề này cho học sinh các đội tuyển tham gia thi học sinh giỏi môn Toán các cấp, các em học sinh đã đạt được một số kết quả sau  Kết quả thi học sinh giỏi Toán của Tổ Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Năm học HS Giỏi cấp Tỉnh Olympic 30/04 HSG Quốc gia 2010 -2011 29 giải 3 HC 5 giải 2011-2012 18 giải 5 HC 5 giải 2012-2013 21 giải 6 HC 1 giải 2013-2014 28 giải 5 HC 5 giải 2014-2015 16 giải(lớp 12) 2 HC 6 giải Cộng 112 giải 21 HC 17 giải * Kết quả thi học sinh giỏi Toán của các lớp do tôi trực tiếp giảng dạy : Năm học HS Giỏi cấp Tỉnh Olympic 30/04 HSG Quốc gia 2010 -2011 13 giải 3 HC 2 giải 2011-2012 8 giải 3 HC 4 giải 2012-2013 9 giải 3 HC 0 giải 2013-2014 6 giải Lớp 12 không thi 3 giải 2014-2015 10 giải 1 HC 5 giải Cộng 46 giải 10 HC 14 giải 6 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC III. Nội dung đề tài MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ Chương I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ 1.1 Định nghĩa. Dãy số là một hàm số từ  vào một tập hợp số (  , , ,  hay một tập con nào đó của các tập hợp trên). Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu un , vn , xn , ym , zm ... Một dãy số thường được ký hiệu:  xn  . 1.2 Một số định nghĩa  Dãy số  xn  được gọi là dãy tăng ( giảm ), nếu với mọi số nguyên dương n ta có xn 1  xn ( xn1  xn ) . Dãy số tăng hoặc giảm còn gọi chung là dãy đơn điệu.  Dãy số  xn  được gọi là bị chặn trên, nếu M   : xn  M , n   .  Dãy số  xn  được gọi là bị chặn dưới, nếu m   : xn  m , n   . Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.  Dãy số  xn  được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k, nếu xn  k  xn , n   . Dãy số tuần hoàn với chu kỳ 1 gọi là dãy hằng. 1.3 Một số định nghĩa và định lý về giới hạn của dãy số  Định nghĩa 1. Ta nói dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến vô cùng, nếu với mọi   0 , tồn tại số tự nhiên  0 ( phụ thuộc vào dãy số  xn  và  ) sao cho với mọi n >  0 , ta có xn  a   . Ký hiệu: lim x n  a    0,  0   : n   0 xn  a   .  Định nghĩa 2. Ta nói dãy số  xn  dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng, nếu với mọi số thực dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên  0 ( phụ thuộc vào dãy số  xn  và  ) sao cho với mọi n >  0 , ta có xn  M . Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.  Định lý 1 ( Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ ) 7 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ Nếu TRƯƠNG NGỌC ĐẮC  xn  ,  yn  là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy số  xn    yn  0, b  0  cũng hội tụ và có giới hạn tương ứng là  yn   xn  yn  ,  xn . yn  ,  a  b, a.b và a . b  Định lý 2 Cho dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn L, nếu  0   : n   0 , a  xn  b  a  L  b  Định lý 3 ( Định lý kẹp) Cho ba dãy số  xn  ,  yn  ,  zn  , trong đó dãy số  xn  và  zn  có cùng giới hạn hữu hạn L và  0   : n   0 , xn  yn  zn  lim yn  L .  Định lý 4 (Dãy đơn điệu) Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 1.4 Cấp số cộng  Định nghĩa Dãy số  xn  được gọi là một cấp số cộng khi và chỉ khi tồn tại hằng số d sao cho n   : xn 1  xn  d . Số d gọi là công sai của cấp số cộng, x0 gọi là số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Ta có các tính chất cơ bản sau của một cấp số cộng. xn  x0  nd , n   S n  x0  x1  ...  xn  (n  1)( x0  xn ) (n  1)(2 x0  nd ) .  2 2 1.5 Cấp số nhân  Định nghĩa Dãy số  xn  được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ khi tồn tại hằng số q sao cho n   : xn 1  q.xn . Số q gọi là công bội của cấp số nhân, x0 gọi là số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Ta có các tính chất cơ bản sau của một cấp số nhân. xn  x0 .q n , n   Sn  x0  x1  ...  xn  x0 1  q n 1 , (q  1) . 1 q 8 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC 1.6 Một số kiến thức liên quan giữa dãy số với công thức nghiệm của phương trình nghiệm nguyên. 1. Xét phương trình nghiệm nguyên có dạng ax2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0 (1). Sử dụng các phép biến đổi, ta đưa phương trình (1) về dạng x 2  dy 2  m (2), trong đó m là số nguyên. Nếu d là số nguyên dương chính phương thì ta có thể giải phương trình (2) bằng cách đưa về phương trình tích. Nếu d là số nguyên dương không chính phương, khi đó phương trình (2) có nghiệm nguyên dương thì nó sẽ có vô số nghiệm nguyên dương. Chứng minh Thật vậy, gọi ( a; b) là nghiệm cơ sở của phương trình Pell: x 2  dy 2  1 , và ( x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình (2). Xét các dãy số  xn  ,  yn   x0 , y0    xác định bởi  xn1  axn  dbyn . (*)  y  bx  ay , n   n n  n1 Ta có xn21  dyn21  (axn  dbyn )2  d (bxn  ayn ) 2  (a 2  db 2 ) xn2  d (a 2  db 2 ) yn2  xn2  dyn2  m Do đó, nếu ( x0 ; y0 ) là nghiệm không tầm thường của phương trình (2) thì ( xn ; yn ) cũng là nghiệm của phương trình (2) với mọi n nguyên dương. Chú ý a. Tuy nhiên, với m  1 , công thức (*) không nhất thiết vét cạn tất cả các nghiệm của phương trình (2) b. Mặt khác, từ hệ (*), ta có hai dãy số  xn  ,  yn  xác định  x  ax  b d ( x 2  m) n n  n 1 , n   .  2  yn 1  ayn  b dyn  m 9 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC 2. Phương trình Pell loại 1 Định nghĩa Phương trình Pell loại 1 là phương trình có dạng x 2  dy 2  1 (3), trong đó d là một số nguyên dương. Định lý 1 (về sự tồn tại nghiệm) Phương trình Pell loại 1 có nghiệm nguyên dương ( x; y ) khi và chỉ khi d là số không chính phương. Chú ý Phương trình Pell loại 1 với d là số không chính phương có nghiệm nguyên dương nên tồn tại nghiệm nguyên dương nhỏ nhất ( x; y )  ( a; b) , trong đó b là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 1  db2 là số chính phương. Định lý 2 (Công thức nghiệm) Giả sử ( a; b) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell loại 1. Xét hai  x0  1, x1  a, xn  2  2axn1  xn thì ( xn ; yn ) là tất cả các  y0  0, y1  b, yn  2  2ayn1  yn dãy số  xn  ,  yn  xác định bởi  nghiệm nguyên dương của phương trình (3), n  * . 3. Phương trình Pell có chứa tham số Định nghĩa Phương trình Pell có chứa tham số là phương trình có dạng x 2  dy 2  m (4), trong đó d là một số nguyên dương không chính phương, còn m là số nguyên. Định lý1 Giả sử phương trình (4) có nghiệm. Nếu ( x0 ; y0 ) là nghiệm nhỏ nhất của nó thì  ma 2  y02  max mb 2 ;   , trong đó ( a; b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell loại 1 d   x 2  dy 2  1 . Định lý 2 Giả sử phương trình (4) có nghiệm. Gọi (1; 1 ), ( 2 ;  2 ),...( k ;  k ) là tất cả các nghiệm của phương trình (4) thỏa mãn bất đẳng thức 10 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ  i2  max mb 2 ;   TRƯƠNG NGỌC ĐẮC ma 2   , i  1, 2,..., k , trong đó ( a; b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình d  Pell loại 1 x 2  dy 2  1 . Xét k dãy sau đây. Dãy thứ i ( i = 1, 2,…,k) xác định khi  x0,i   i ; y0,i  i   xn 1,i  axn,i  dyn,i b   yn 1,i  bxn,i  yn,i a Khi đó các dãy (**)  x  và  y  vét hết các nghiệm của phương trình (4). n ,i n ,i 11 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ Chương II §1 Xây dựng dãy số từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai Chúng ta nhận thấy từ hai nghiệm của một phương trình bậc hai có thể xây dựng ra các dãy truy hồi tuyến tính bậc hai ( kiểu dãy số Fibonacci). 1. Xét phương trình bậc hai x 2  mx  1  0 có hai nghiệm  ,  . Xét một số thực a  n n   n 1  n1 bất kỳ. Xét dãy số xn  a  2   2  xn2  a 2  2   2  2  a 2  xn 1  2  . xn2 Từ đó suy ra dãy số: x0  am và xn 1  2  2, n   . a Chọn m = 4, a = 1/4, ta có dãy số: Bài toán 1. Cho dãy số  xn  được xác định: x0  1, xn 1  16 xn2  2 n   . Xác định công thức xác định dãy. 2. Xét phương trình bậc hai x 2  mx  1  0 có hai nghiệm  ,  . Xét một số thực a bất kỳ. Xét dãy số  n n   n1 n1 xn  a  3   3  xn3  a3  3   3 Từ đó suy ra dãy số: x0  am và xn1    3 3n n  n n   3  3   3  a3  xn 1  3 xn  . xn3  3xn , n   . a3 Chọn m = 1, a = 1, ta có dãy số: Bài toán 2. Cho dãy số  xn  được xác định: x0  1; xn 1  xn3  3 xn , n   . Xác định công thức xác định dãy. 3. Xét phương trình bậc hai x 2  4 x  5  0 có hai nghiệm x  1, x  5 . Ta lập dãy số  xn  : xn  A(1) n  B(5) n , n  * .  x1   A  5B .  x2  A  25B Với  8   A  3  x1  39 8 25 Nếu chọn  và xn  (1) n  (5) n , n  * (*)  3 3  B  25  x2  211  3 Khi đó, ta lập được công thức dãy số  xn  bằng cách: 12 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC 8 25 25 25 8  40 xn  2  (1)n  2  (5)n  2  (1  5)  (1) n1  (5) n1   (1) n1  (5) n1 3 3 3 3 3  3 25 25 8  8   4  (1) n1  (5) n1   5  (1) n  (5) n   4 xn 1  5 xn . 3 3 3  3  Như vậy, ta có được dãy số  xn  xác định: x1  39, x2  211, xn 2  4 xn1  5 xn , n  * . 1 Từ công thức dãy số (*), ta có x2016  8  25(5) 2016  . 3 Theo định lý Fecma: 52016  1  0(mod 2017) (2017 là số nguyên tố) Và 52016  1  0(mod 3)  52016  1  3.k .2017, k   . Suy ra x2016  1 8  25(3.k.2017  1)  25.k .2017  11 . 3 Nếu đặt xn  yn  11  y2016  2017 . Từ đó, ta có bài toán. Bài toán 3. Cho dãy số  yn  được xác định: y1  28, y2  200, yn  2  4 yn 1  5 yn  88, n  * . Chứng minh rằng y2016  2017 . 4. Xét phương trình bậc hai x 2  6 x  2016  0 có hai nghiệm x  42, x  48 . Ta lập dãy số  xn  : xn  A(42) n  B(48)n , n   .  x0  A  B .  x1  42 A  48B Với  49   A  90  x0  1 49 41 Nếu chọn  và xn  (42) n  (48) n , n   (*)  90 90  B  41  x1  1  90 Khi đó, ta lập được công thức dãy số  xn  bằng cách: 49 41 (42)n 2  (48) n 2 90 90 41 49 41  49   (42  48)  (42) n1  (48)n 1   48 (42) n1  42 (48) n1 90 90 90  90  xn 2  41 41  49   49   6  (42)n1  (48) n1   42.48  ( 42) n  (48) n   6 xn 1  2016 xn . 90 90  90   90  Như vậy, ta được dãy số  xn  xác định: x0  1, x1  1, xn 2  6 xn1  2016 xn , n   (**). 13 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ Từ công thức dãy số (*), ta có x2012  TRƯƠNG NGỌC ĐẮC 49 41 (42) 2012  (48) 2012 . 90 90 Theo định lý Fecma: (42)2010  (48)2010  1(mod 2011) (2011 là số nguyên tố) Suy ra 90 x2012  49(42)2012  41(48) 2012  49(42)2  41(48)2  2010(mod 2011) . Nhưng (90, 2011)  1  x2012  2010  0(mod 2011) Từ công thức (**), ta có: xn 2  6 xn1  (2011  5) xn  (6 xn1  5 xn )(mod 2011), n   . Do đó, ta có bài toán VMO(2011) Bài toán 4. Cho dãy số  yn  được xác định: y0  1, y1  1, yn 2  6 yn1  5 yn , n   . Chứng minh rằng ( y2012  2010) 2011 . 5. Xét phương trình bậc hai x 2  3 x  1  0 có hai nghiệm x  n 3 5 3 5 . ,x  2 2 n  3 5   3 5  Ta lập dãy số  xn  : xn  A    B   , n   .  2   2   x0  A  B  Với  3 5 3 5 . x  A  B  1  2 2  5 5 n n A   x0  1 5 5  3 5  5 5  3 5   10 Nếu chọn  và xn        , n   (*) x  1 10 2 10 2 5  5  1     B   10 Khi đó, ta lập được công thức dãy số  xn  bằng cách: xn 2 5 5  3 5     10  2  n 2 5 5  3 5     10  2  n2 n 1 n 1  3 5 3 5  5  5  3  5   3 5   5  5             2 2 10 2 10 2        3 5 5 5  3 5   .   2 10  2  n 1 3 5 5 5  3 5     2 10  2  n 1 n n   3 5  5 5  3 5   5  5  3xn1          3xn1  xn  10  2  10  2     14 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC Như vậy, ta có được dãy số  xn  xác định: x0  1, x1  1, xn  2  3xn 1  xn , n   . (**) Và ta có đẳng thức 3xn1xn  xn21  xn2  1, n   . (1) Từ công thức (**) bình phương hai vế và sử dụng (1), ta được: xn2 2  7 xn21  xn2  2, n   . Do đó, nếu đặt xn2  yn , ta được bài toán. Bài toán 5. Cho dãy số  yn  được xác định: y0  1, y1  1, yn 2  7 yn1  yn  2, n   . Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số  yn  đều là số chính phương. Nhận xét 1. Với cách chọn phương trình bậc hai có nghiệm biết trước cho mục đích nào đó, ta xây dựng các dãy số mà mối quan hệ các số hạng của dãy số đó đã được xác định. 2. Từ các dãy truy hồi tạo được, ta đã có ít nhất một cách xác định được công thức của dãy số đã cho. 15 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC §2 Xây dựng dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình nghiệm nguyên Một dãy truy hồi tuyến tính với hệ số nguyên và các số hạng đầu đều nguyên sẽ chứa toàn số nguyên. Đó là điều hiển nhiên. Thế nhưng có những dãy số mà trong công thức truy hồi có phân số, thậm chí có cả căn thức, nhưng tất cả các số hạng của nó vẫn là số nguyên. Đấy là điều bất ngờ. Tuy nhiên, nếu xem xét kỹ, ta có thể thấy chúng có một mối quan hệ “mật thiết” Chúng ta xét một dãy số sau: Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số  xn  xác định bởi x0  1, xn 1  9 xn  4 5( xn2  4) n   đều là số nguyên. Lời giải Chuyển vế và bình phương công thức truy hồi ta được: xn21  18 xn 1 xn  xn2  320  0 (1) Thay n bởi n-1 vào (1) ta được: xn2  18 xn xn 1  xn21  320  0 hay xn21  18 xn xn 1  xn2  320  0 (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế: xn21  xn21  18 xn ( xn  xn1 )  0   xn 1  xn 1  xn 1  18 xn  xn 1   0 (3) Từ công thức truy hồi của dãy, ta có xn1  xn , n   , do đó từ (3), suy ra: xn 1  18 xn  xn 1 , n  1 với x0  1 . Vậy mọi số hạng của dãy đã cho đều là số nguyên. Chú ý. Từ (1) và (2) ta còn suy ra xn 1 và xn 1 là hai nghiệm của phương trình: x 2  18 xn x  xn2  320  0 Theo định lý Viet, ta có xn 1  xn1  18 xn  xn1  18 xn  xn1 , n  1 Và xn 1 xn1  xn2  320  xn 1  xn2  320 , n  1 (3) xn 1 Từ kết quả bài toán trên, ta nhận thấy cả công thức ban đầu và công thức hệ quả xn 1  18 xn  xn 1 , n  1 của dãy số đều gợi cho chúng ta đến với phương trình nghiệm nguyên. 16 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC 1. Xét phương trình nghiệm nguyên dương x2  y2 5 xy  1 (1.1) Ta nhận thấy phương trình (1.1) có nghiệm ( x0 ; y0 )  (1; 2) . Lập dãy số  xn  xác định: x0  1, x1  2, xn2  xn21  5, n   . xn xn1  1 (1.2) Từ công thức (1.2) suy ra xn2  xn21  5 xn xn1  5  0 (1.3) xn21  xn2  5 xn1xn  5  0 (1.4) Thay n bởi n-1, ta được Từ (1.3) và (1.4) ta nhận thấy xn1, xn1 là nghiệm của phương trình bậc hai x 2  5 xn x  xn2  5  0 (1.5) Theo Viet của phương trình (1.5) ta có xn 1  xn 1  5 xn  xn1  5 xn  xn1 , n  1 Và xn 1 xn 1  xn2  5  xn 1  xn2  5 , n   xn 1 Như vậy, dãy số nguyên được xác lập x0  1, x1  2, xn  2  5 xn1  xn , n   có các cặp số hạng ( xn ; xn1 ), n   là nghiệm của phương trình (1.1). Thật vậy, xét xn21  xn2 2  5 xn1xn 2  xn21  (5 xn1  xn )2  5xn1 (5 xn1  xn )  xn2  xn21  5 xn xn1  5 Do đó ( xn1; xn2 ) cũng là nghiệm của phương trình (1.1). Ta kết luận phương trình (1.1) có vô số nghiệm nguyên dương.  Từ phương trình (1.1), viết lại x 2  5 yx  y 2  5  0 có vô số nghiệm ( x; y ) nguyên dương, nên suy ra   25 y 2  4( y 2  5)  21 y 2  20 phải là số chính phương. Từ đậy, ta xây dựng bài toán về dãy số Bài toán 6. Cho dãy số  xn  được xác định: x0  1, x1  2, xn  2  5 xn 1  xn , n   . Chứng minh rằng số 21xn2  20, n   đều là số chính phương. Bài toán 7. Cho dãy số  xn  được xác định: x0  1, x1  2, xn  2  5 xn 1  xn , n   . Chứng minh rằng ( xn21  5) xn , n   17 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC  Từ công thức dãy số  xn  : xn  2  5 xn1  xn , n    xn2 2  25 xn21  xn2  10 xn xn 1 , kết hợp với xn2  xn21  5  5 xn xn1 , ta có xn2 2  23 xn21  xn2  10 . Đặt xn2  yn , ta có bài toán. Bài toán 8. Cho dãy số  yn  được xác định: y0  1, y1  4, yn  2  23 yn 1  yn  10, n   . Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số  yn  đều là số chính phương. 2. x2  y2  6  8 (2.1) Xét phương trình có nghiệm nguyên dương xy Ta nhận thấy phương trình (2.1) có nghiệm ( x0 ; y0 )  (1;1) . Lập dãy số  xn  xác định: x0  1, x1  1, xn2  xn21  6  8, n   . (2.2) xn xn 1 Từ công thức (2.2) suy ra xn2  xn21  8 xn xn1  6  0 (2.3) xn21  xn2  8 xn1xn  6  0 (2.4) Thay n bởi n-1, ta được Từ (2.3) và (2.4) ta nhận thấy xn1, xn1 là nghiệm của phương trình bậc hai x 2  8 xn x  xn2  6  0 (2.5) Theo Viet của phương trình (2.5) ta có xn 1  xn1  8 xn  xn1  8 xn  xn1 , n  1 Và xn1 xn1  xn2  6  xn1  xn2  6 , n   xn1 Như vậy, dãy số nguyên được xác lập x0  1, x1  1, xn  2  8 xn 1  xn , n   có các cặp số hạng ( xn ; xn1 ), n   là nghiệm của phương trình (2.1). Thật vậy, xét xn21  xn2 2  8 xn1xn 2  xn21  (8 xn1  xn ) 2  8 xn1 (8 xn1  xn )  xn2  xn21  8 xn xn 1  6 Do đó ( xn1; xn2 ) cũng là nghiệm của phương trình (2.1). Ta kết luận phương trình (2.1) có vô số nghiệm nguyên dương.  Từ phương trình (2.1), viết lại x 2  8 yx  y 2  6  0 có vô số nghiệm ( x; y ) nguyên 18 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC dương, nên suy ra  /  16 y 2  ( y 2  6)  15 y 2  6 phải là số chính phương. Từ đậy, ta xây dựng bài toán. Bài toán 9. Cho dãy số  xn  được xác định: x0  1, x1  1, xn  2  8 xn 1  xn , n   . Chứng minh rằng số 5 xn2  2 , n   đều là số chính phương. 3 Bài toán 10. Cho dãy số  xn  được xác định: x0  1, x1  1, xn  2  8 xn 1  xn , n   . Chứng minh rằng ( xn21  6) xn , n   . Bài toán 11. Cho dãy số  xn  được xác định: x0  1, x1  1, xn  2  8 xn 1  xn , n   . Chứng minh rằng số xn1xn 1  6, n   đều là số chính phương.  Từ công thức dãy số  xn  : xn  2  8 xn 1  xn , n    xn2 2  64 xn21  xn2  16 xn xn1 , kết hợp với xn2  xn21  6  8 xn xn1 , ta có xn2 2  62 xn21  xn2  12 . Đặt xn2  yn , ta có bài toán. Bài toán 12. Cho dãy số  yn  được xác định: y0  1, y1  1, yn  2  62 yn 1  yn  12, n   . Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số  yn  đều là số chính phương. 3. Xét phương trình nghiệm nguyên dương x 2  y 2  10  3( x  1)( y  1) (3.1) Ta nhận thấy phương trình (3.1) có nghiệm ( x0 ; y0 )  (1;1) . Lập dãy số  xn  xác định: x0  1, x1  1, xn2  xn21  10  3( xn  1)( xn1  1) n    xn21  3( xn  1) xn1  xn2  3xn  7  0, n   (3.2) Thay n bởi n-1 vào (3.2) ta được xn21  3( xn  1) xn1  xn2  3xn  7  0, n   (3.3) Từ (3.2) và (3.4) ta nhận thấy xn1, xn1 là nghiệm của phương trình bậc hai x 2  3( xn  1) x  xn2  3xn  7  0 Theo Viet của phương trình (3.4) ta có xn1  xn1  3( xn  1)  xn 1  3xn  xn1  3, n  1 Và xn 1 xn 1  xn2  3 xn  7  xn1  xn2  3 xn  7 , n   xn 1 19 (3.4) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC Như vậy, dãy số nguyên được xác lập x0  1, x1  1, xn 2  3 xn1  xn  3, n   có các cặp số hạng ( xn ; xn1 ), n   là nghiệm của phương trình (3.1). Từ phương trình (3.1), viết lại x 2  y 2  10  3 hoặc ( x  y )2  5 xy  3( x  y )  7 . Từ đậy, ( x  1)( y  1) ta xây dựng hai bài toán. Bài toán 13. Cho dãy số  xn  được xác định: x0  1, x1  1, xn 2  3 xn1  xn  3, n   . Chứng minh rằng số ( xn21  xn2  10) ( xn1  1)( xn  1), n   . Bài toán 14. Cho dãy số  xn  được xác định: x0  1, x1  1, xn 2  3 xn1  xn  3, n   . Chứng minh rằng số ( xn21  3xn1  7) xn , n   . Bài toán 15. Cho dãy số  xn  được xác định: x0  1, x1  1, xn 2  3 xn1  xn  3, n   . Chứng minh rằng số 5 xn 1xn  3( xn1  xn )  7, n   đều là số chính phương. 4. Xét phương trình có nghiệm nguyên dương x 1 y 1  4 y x (4.1) Ta nhận thấy phương trình (4.1) có nghiệm ( x0 ; y0 )  (1; 2) . Lập dãy số  xn  xác định: x0  1, x1  2, xn  1 xn1  1   4, n   xn1 xn  xn21  xn2  xn 1  xn  4 xn 1xn  0, n    xn21  (4 xn  1) xn1  xn2  xn  0, n   (4.2) Từ (4.2), thay n bởi n – 1, ta được xn21  (4 xn  1) xn1  xn2  xn  0, n   (4.3) Từ (4.2) và (4.3), ta nhận thấy xn1, xn1 là nghiệm của phương trình bậc hai x 2  (1  4 xn ) x  xn2  xn  0, n   (4.4) Theo Viet của phương trình (4.4), ta có xn 1  xn 1  4 xn  1 Và xn1xn 1  xn2  xn 20