Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
LỜI MỞ ĐẦU
1. LÝ do chän ®Ò tµi
Trang bÞ nh÷ng tri thøc, ph¬ng ph¸p vµ ph¸t triÓn t duy, trÝ tuÖ cho häc sinh lµ môc
tiªu ®îc ®Æt lªn hµng ®Çu trong c¸c môc tiªu d¹y häc m«n to¸n. Trong ch¬ng tr×nh
H×nh häc 10 c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn täa ®é vµ ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Oxy lµ phÇn rÊt quan träng. PhÇn täa ®é trong mÆt ph¼ng ®ãng vai trß cùc k× quan
trong trong to¸n häc vµ còng lµ phÇn kh«ng thÓ thiÕu trong c¸c ®Ò thi §¹i häc trong
nh÷ng n¨m häc gÇn ®©y. Häc sinh ®îc lµm quen víi c¸c bµi tËp vÒ täa ®é vµ ®êng
th¼ng trong §¹i sè tõ khi häc THCS, lªn THPT c¸c em l¹i gÆp l¹i trong m«n §¹i sè
10 vµ h×nh häc 10, nhng c¸c em vÉn hay gÆp khã kh¨n khi cho r»ng ®©y lµ to¸n h×nh
häc. §Ó häc sinh thÊy ®îc c¸ch nhÊt qu¸n cña d¹ng to¸n t×m ®Ønh vµ c¹nh cña tam
gi¸c t«i muèn lµm næi bËt yÕu tè gi¶i tÝch trong viÖc gi¶i quyÕt bµi tËp h×nh häc.
Trong qu¸ tr×nh d¹y häc t«i lu«n t×m tßi c¸c vÝ dô ®iÓn h×nh tæng hîp thµnh c¸c ph¬ng
ph¸p gi¶i cô thÓ cho häc sinh, ®ång thêi híng dÉn häc sinh biÕt nhËn d¹ng bµi to¸n
vµ ph¸t triÓn thµnh c¸c bµi to¸n míi. §©y còng lµ vÊn ®Ò cã thÓ ph¸t triÓn ®îc t duy
to¸n häc cho häc sinh.
Díi ®©y t«i xin trao ®æi víi quý ®ång nghiÖp vµ c¸c em häc sinh mét chuyªn ®Ò
nhá tr×nh bµy vÊn ®Ò nhá vÒ ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng: ”T×m mét sè yÕu tè
cña tam gi¸c trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy.”
Néi dung ®Ò tµi gåm 3 phÇn:
PhÇn 1: LÝ thuyÕt vÒ ®iÓm ®êng th¼ng trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy.
PhÇn 2: §iÓm ®êng th¼ng ®Æc biÖt trong tam gi¸c.
PhÇn 3: Bµi tËp tæng hîp.
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
Mét vÊn ®Ò trong H×nh häc 10 mµ häc sinh thÊy khã kh¨n khi gÆp ph¶i. Gióp häc
sinh ®Þnh híng ®îc bµi to¸n t×m mét sè yÕu tè cña tam gi¸c trong mÆt ph¼ng Oxy khi
gi¶i bµi tËp.
Båi dìng cho häc sinh ph¬ng ph¸p, kÜ n¨ng gi¶i to¸n h×nh häc gi¶i tÝch trong mÆt
ph¼ng. Qua ®ã nh»m n©ng cao kh¶ n¨ng t duy logic, t¹o høng thó häc tËp cho häc
sinh.
3. §èi tîng nghiªn cøu
C¸c kiÕn thøc vÒ täa ®é ®iÓm, ®êng th¼ng ®Æc biÖt cña tam gi¸c vµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng. Nh»m t×m lêi gi¶i cho mçi bµi to¸n vÒ ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
cô thÓ.
4. Giíi h¹n cña ®Ò tµi
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
2
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Lµ gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng d¹y häc sinh khèi 10 cña trêng THPT Hång Th¸i t«i
thÊy c¸c em hay gÆp khã kh¨n khi lµm bµi tËp vÒ t×m ®iÓm vµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
trong tam gi¸c. Nªn t«i tËp trung vµo viÖc: “gióp häc sinh t×m ®iÓm ®êng th¼ng trong
tam gi¸c khi biÕt mét sè d÷ kiÖn ®Æc biÖt”, ¸p dông gi¶ng d¹y trong c¸c tiÕt häc tù
chän b¸m s¸t cho häc sinh líp 10 t«i d¹y.
5. NhiÖm vô cña ®Ò tµi.
KÕ ho¹ch gióp ®ì häc sinh häc tèt m«n H×nh häc 10 phÇn ph¬ng ph¸p täa ®é trong
mÆt ph¼ng: gi¶i ®îc bµi to¸n “t×m mét sè yÕu tè cña tam gi¸c trong mÆt ph¼ng täa ®é
Oxy ”.
6. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
6.1 VÒ lÝ luËn:
“Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng
một cách thông minh những điều đã học”.
§æi míi trong ph¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn nay coi träng viÖc: “lÊy häc trß lµm
trung t©m ngêi thÇy chØ ®ãng vai trß lµ ngêi gióp c¸c em ®i ®óng híng, gióp c¸c
em tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸ch chñ ®éng, s¸ng t¹o”.
6.2 VÒ thùc tiÔn
PhÊn ®Êu ®Ó d¹y tèt c¸c m«n häc nãi chung vµ m«n To¸n nãi riªng lµ nguyÖn
väng tha thiÕt cña ®éi ngò gi¸o viªn. To¸n häc lµ m«n khoa häc suy diÔn trõu tîng
nªn lµ gi¸o viªn To¸n víi t«i ®©y còng lµ dÞp ®Ó t«i häc tËp, nghiªn cøu, trau dåi ®Ó
rót ra nh÷ng kinh nghiÖm cho riªng m×nh. §Ó mçi tiÕt häc to¸n tr«i qua häc sinh
h×nh thµnh nh÷ng kiÕn thøc míi vµ kÜ n¨ng míi, vËn dông mét c¸ch s¸ng t¹o nhÊt,
th«ng minh nhÊt trong viÖc häc to¸n. C¸c em thÊy yªu thÝch m«n to¸n h¬n, høng
thó häc tËp h¬n.
NỘI DUNG
Phần 1: LÍ THUYẾT VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
1. VÉC TƠ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1.1 Véctơ u (u , u ) là véctơ chỉ phương (VTCP) của () () // giá của u
1.2 Véctơ n(a, b) là véctơ pháp tuyến (VTCP) của () () // giá của n
1.3 Nhận xét: Đường thẳng () có vô số véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp
tuyến đồng thời u n
2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1
2
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
3
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
( )
đi qua điểm M 0 ( x0 , y0 ) và có VTCP
2.1
Phương trình tham số: Đường thẳng
2.2
0
1
tR
phương trình tham số dạng:
y
y
u
0
2t
Nhận xét: VTCP u (u , u ) VTPT n(u , u )
Phương trình chính tắc: Đường thẳng () đi qua điểm M 0 ( x0 , y0 ) và có VTCP
x x u t
u (u1 , u 2 )
1
u (u1 , u 2 )
2
2
1
phương trình chính tắc dạng:
x x0 y y 0
.
u1
u2
Phương trình tổng quát: Đường thẳng () đi qua điểm M 0 ( x0 , y0 ) và có VTPT
n( a , b ) phương trình tổng quát dạng:
a ( x x0 ) b( y y0 ) 0 ax by c 0 .
Nhận xét:VTPT n(a, b) VTCP u (b, a ) .
Phương trình hệ số góc: Phương trình đường thẳng với hệ số góc a: phương
trình dạng y ax b .
Phương trình đường thẳng qua 2 điểm M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y 2 ) : Phương trình
2.3
2.4
2.5
x x
y y
1
1
dạng x x y y .
2
1
2
1
2.6
Phương trình dạng đoạn chắn qua
A( a;0), B (0; b) dạng:
x y
1 .
a b
2.7
Phương trình chùm đường thẳng: Cho 2 đường thẳng cắt nhau:
(1 ) : a1 x b1 y c1 0 , ( 2 ) : a2 x b2 y c2 0 với I (1 ) ( 2 ) thì đường thẳng
( ) qua I là p(a1 x b1 y c1 ) q (a2 x b2 y c2 ) 0 với p 2 q 2 0
3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
x x1 a1t
y y1 b1t
tR
3.1
Dạng tham số: ( 1 ) đi qua M 1 ( x1 , y1 ) :
3.2
x x2 a 2 t '
( 2 ) đi qua M 2 ( x2 , y2 ) :
t ' R
y y2 b2t '
Nếu u1 (a1 , b1 ) k u2 (a2 , b2 ) a1b2 a2b1 0 thì (1 ) ( 2 ) tại I.
Nếu u1 (a1 , b1 ) k u2 (a2 , b2 ) và M 1 ( 2 ) thì (1 ) //( 2 )
Nếu u1 (a1 , b1 ) k u2 (a2 , b2 ) và M 1 ( 2 ) thì (1 ) ( 2 )
Dạng tổng quát: (1 ) : a1 x b1 y c1 0 và ( 2 ) : a2 x b2 y c2 0
a1 x b1 y c1 0
Xét hệ:
a2 x b2 y c2 0
Nếu hệ có 1 nghiệm ( x0 , y0 ) thì (1 ) ( 2 ) I ( x0 , y0 ) .
Nếu hệ vô nghiệm thì (1 ) //( 2 ) .
Nếu hệ có nghiệm với mọi x hoặc mọi y thì (1 ) ( 2 ) .
-
4. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
4.1 Dạng hệ số góc: Cho (1 ) : y a1 x b1 ;
( 2 ) : y a2 x b2
a a
Góc giữa 1 , 2 00 ;900 với a1a2 1: tan 1 1 a a2
1
2
0
với a1a2 1: 90 (1 ) ( 2 )
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
4
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
4.2
Dạng tổng quát: Cho 2 đường thẳng:
cos
(1 ) : a1 x b1 y c1 0
VTPT n1 (a1 ; b1 )
( 2 ) : a2 x b2 y c2 0
VTPT n2 (a 2 ; b2 )
n1.n2
n1 . n2
a1.a2 b1.b2
2
1
a b12 . a22 b22
.
5. KHOẢNG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
là d M 0
ax0 by0 c
5.1
Khoảng cách từ M 0 ( x0 , y0 ) đến
5.2
Cho ( ) : a x b y c 0 cắt nhau thì phương trình 2 đường phân giác:
2
2
2
2
( ) : ax by c 0
( 1 ) : a1 x b1 y c1 0
a1 x b1 y c1
2
1
2
1
a b
a x b y c
2 2 2 2 2
a2 b2
Dấu hiệu
Phân giác góc nhọn
Phân giác góc tù
a1a2 b1b2 0
a1 x b1 y c1
2
1
a1a2 b1b2 0
a 2 b2
2
1
a b
a1 x b1 y c1
a12 b12
a2 x b2 y c2
2
2
2
2
a b
a2 x b2 y c2
a22 b22
a1 x b1 y c1
2
1
2
1
a b
a1 x b1 y c1
a12 b12
a2 x b2 y c2
a22 b22
a2 x b2 y c2
a22 b22
Phần 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC
Loại 1: Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương
trình của 2 đường có cùng tính chất.
Dạng 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 đường cao xuất
phát từ 2 đỉnh còn lại.
Cách giải:
* Viết phương trình AB, AC.
* Tìm toạ độ của B,C.
* Viết phương trình BC.
Bài tập 1.1: Cho ABC biết A(-1;-3) và phương trình 2 đường cao BH: 5 x 3 y 25 0 ,
CK: 3x 8 y 12 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Vì AB CK nên AB có phương trình 8 x 3 y c 0
A AB c 1 : Phương trình AB có dạng: 8 x 3 y 1 0 .
Vì AC BH nên AC có phương trình 3x 5 y m 0
A AC m 12 : Phương trình AC có dạng: 3 x 5 y 12 0 .
8 x 3 y 1 0
B(2;5)
B AB BH Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
5 x 3 y 25 0
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
5
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
3x 5 y 12 0
C ( 4;0)
C AC CK Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:
3x 8 y 12 0
Phương trình cạnh BC:
x 2 y 4
5 x 2 y 20 0 .
4 2 0 4
Bài tập tương tự
Bài tập 1.2: Cho tam giaùc ABC vôùi phöông trình caïnh BC: x-y +2=0, hai ñöôøng cao
BH:2x-7y-6=0, CH: 7x-2y-1=0.Vieát phöông trình hai caïnh coøn laïi vaø ñöøông cao thöù
ba .
Bài tập 1.3. Cho tam giaùc ABC coù phöông trình caïnh AB : 5x-3y+2=0 vaø phöông
trình caùc ñöôøng cao qua ñænh A vaø B laàn löôït laø : 4x-3y +1=0 , 7x+2y -22 =0
Laäp phöông trình hai caïnh AC, BC vaø ñöôøng cao thöù ba.
Bài tập 1.4: Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát B(-4;-5) vaø hai ñöôøng
cao coù phöông trình : 5x+3y – 4=0 , 3x +8y +13=0
Bài tập 1.5: Cho tam giaùc ABC vôùi ñænh A(1;1) .Caùc ñöôøng cao haï töø B vaø C laàn
löôït naèm treân caùc ñöôøng thaúng : -2x +y -8 = 0; 2x +3y-6=0
Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng chöùa ñöôøng cao haï töø A vaø xaùc ñònh toaï ñoä caùc
ñænh B,C. (ĐHSP HN 2000)
Bài tập 1.6: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1;0) và 2 đường thẳng lần
lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình : x 2 y 1 0 và 3 x y 1 0 .
Tính diện tích tam giác ABC.
Dạng 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 trung tuyến
xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.
Cách giải:
Cách 1.
* Kiểm tra A không thuộc (d1), (d2).(nếu giả thiết chưa cho cụ thể)
* Tìm toạ độ trọng tâm.
* Tìm toạ độ B, C.
* Viết phương trình các cạnh.
Cách 2.
* Kiểm tra A không thuộc (d1), (d2).(nếu giả thiết chưa cho cụ thể)
* Tìm toạ độ trọng tâm G.
* Tìm toạ độ A0 là điểm đối xứng với A qua G.
* Viết phương trình đường thẳng (d3) qua A0 và song song với (d1),
Viết phương trình đường thẳng (d4) qua A0 và song song với (d2).
* Tìm B, C.
* Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Bài tập 2.1: Cho ABC biết A(1;3) và phương trình 2 đường trung tuyến BM:
x 2 y 1 0 , CN: y 1 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Gọi G là trọng tâm G BM CN Tọa độ G là nghiệm của hệ:
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
6
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
x 2 y 1 0
G (1;1) .
y 1 0
Gọi I là trung điểm của BC thì
BM:
CN:
A
2
AG AI I (1;0)
3
x 2t 1
x 2 y 1 0
B(2t 1; t )
y t
x t '
y 1 0
C (t ' ;1)
y 1
2t 1 t '
1
2
Vì I là trung điểm của BC nên: t 1
0
2
Phương trình AB:
Phương trình AC:
Phương trình BC:
N
M
B
t 1
t ' 5
C
B ( 3; 1)
C (5;1)
x 1
y 3
x y 2 0
3 1 1 3
x 1 y 3
x 2 y 7 0
5 1 1 3
x 3 y 1
x 4 y 1 0 .
5 3 1 1
Bài tập tương tự:
Bài tập 2.2: Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa moät tam giaùc bieát ñænh A(4,3) ,hai trung
tuyeán coù phöông trình x+y -5= 0 ,2x-y -1 =0.
Bài tập 2.3: Cho ABC biết A(1;1) các trung tuyến hạ từ B và C lần lượt có phương
trình : 2 x y 8 0 , CN: 2 x 3 y 6 0 .
a. Viết phương trình trung tuyến xuất phát từ A.
b. Xác định tọa độ B, C..
Bài tập 2.4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 1) và phương trình
hai đường trung tuyến BB1 : 8x y 3 0,CC1 :14x 13y 9 0 . Viết phương trình các cạnh
của tam giác.
Dạng 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 phân giác trong
xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.
Cách giải:
Cách giải.
* Tìm toạ độ các điểm A1,A2 lần lượt đối xứng với A qua (d1), (d2).
* Viết phương trình A1A2 và tìm toạ độ của B, C.
* Viết phương trình AB, AC.
Bài tập 3.1: Cho ABC biết A(2;-1) và phương trình 2 đường phân giác trong của góc
B: x 2 y 1 0 , góc C: x y 3 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác.
A
Gọi A1 , A2 lần lượt đối xứng với A qua CN và BM
AA1 CN : phương trình dạng x y c 0
AA1 qua A(2;-1) nên c 3 : AA1: x y 3 0
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
N
B
I
M
K
THPT Hồng
A1
A2
7 C
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
x y 3 0
x 0
I (0; 3)
x y 3 0
y 3
I AA1 CN
A1 đối xứng với A qua CN nên I là trung điểm của AA1 A1 ( 2; 5)
AA2 BM : phương trình dạng 2 x y m 0
AA2 qua A(2;-1) nên m 3 : AA2: 2 x y 3 0
2 x y 3 0
x 1
K (1;1)
x 2 y 1 0
y 1
K AA2 BM
A2 đối xứng với A qua BM nên K là trung điểm của AA2 A2 (0;3) .
Đường thẳng BC qua A1A2 nên phương trình dạng:
x 2 y 5
4 x y 3 0 .
02 35
4 x y 3 0
x 5 7
5 1
B( ; )
7 7
x 2 y 1 0
y 1 7
19 8
1
Đường thẳng AB có VTCP AB ( 7 ; 7 ) 7 ( 19;8) VTPT n AB (8;19)
Phương trình dạng: 8( x 2) 19( y 1) 0 8 x 19 y 3 0
4 x y 3 0
x 6 5
6 9
C ( ; )
C BC CN
5 5
x y 3 0
y 9 5
16 4
4
Đường thẳng AC có VTCP AC ( 5 ; 5 ) 5 (4;1) VTPT n AC (1; 4)
Phương trình dạng: 1( x 2) 4( y 1) 0 x 4 y 6 0 .
B BC BM
Bài tập tương tự:
Bài tập 3.2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 1) và phương trình
hai đường phân giác BB2 : x 1 0,CC2 : x y 1 0 .
a. Tính tọa độ các điểm B, C.
b. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Loại 2:Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương
trình của 2 đường có tính chất khác nhau.
Dạng 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh B và 1 đường cao
AH và 1 phân giác trong góc C.
Cách giải:
* Lập phương trình BC..
C
* Tìm C giao của BC và phân giác.
* Tìm B’ đối xứng với B qua phân giác góc C.
* Lập phương trình AC qua B’ và C.
* Tìm A giao của AC và AH.
H
* Lập phương trình AB.
B’
I
B
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
A
D
D
THPT Hồng
8
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Bài tập 4.1: Cho ABC biết B(2;-1) và đường cao AH 3 x 4 y 27 0 và phân giác trong
CD: x 2 y 5 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Vì BC AH nên phương trình BC có dạng: 4 x 3 y c 0
BC qua B(2;-1) nên c 5 . Phương trình BC: 4 x 3 y 5 0 .
4 x 3 y 5 0
x 1
C ( 1;3)
y 3
x 2 y 5 0
C BC CD nên tọa độ C là nghiệm của hệ:
Gọi B’ đối xứng với B qua CD nên BB ' CD . Phương trình BB’ có dạng: 2 x
BB’ qua B(2;-1) nên m 5 . Phương trình BB’ dạng: 2 x y 5 0 .
y m 0
2 x y 5 0
x 3
I (3;1)
x 2 y 5 0 y 1
I BB'CD nên tọa độ I là nghiệm của hệ:
I là trung điểm của BB’ nên B ' (4;3)
Đường thẳng AC qua C và B’ có VPCP CB '(5;0) VTPT n AC (0;5) .
Phương trình AC dạng: 0( x 1) 5( y 3) 0 y 3 0 .
y 3 0
x 5
A( 5;3)
y 3
3x 4 y 27 0
A AC AH nên tọa độ A là nghiệm của hệ:
Phương trình AB dạng:
x 5
y 3
4 x 7 y 1 0
2 5 1 3
Bài tập tương tự:
Bài tập 4.2 (ĐH KTHN 98) Cho tam giác ABC có đỉnh A( 1;3) , đường cao BH nằm
trên đường thẳng y x , phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng x 3 y 2 0 . Viết
phương trình cạnh BC.
Bài tập 4.3: Cho tam giác ABC có B(1;5) và phương trình đường cao AH: x 2 y 2 0 ,
đường phân giác CD: x y 1 0 . Tìm tọa độ các điểm A, C.
Dạng 5:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và
trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.
Cách giải:
* Kiểm tra điểm A không thuộc 2 đường đã cho.
* Lập phương trình cạnh AC ( vuông góc với đường cao)
* Tìm tọa độ C.
* B thuộc BH ( tham số hóa B) tìm trung điểm M của AB theo tham số.
* Vì M thuộc CM nên tìm được tham số đó. Tìm được B.
* Lập phương trình AB,BC.
Bài tập 5.1: Cho ABC biết A(2;-7) và đường cao BH 3x y 11 0 và trung tuyến
CM : x 2 y 7 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
A
Vì AC BH : 3x y 11 0 và AC qua A nên
phương trình AC dạng: 1( x 2) 3( y 7) 0
H
x 3 y 23 0
M
C AC CM nên tọa độ C là nghiệm của hệ:
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
C
THPT Hồng
B
9
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
x 3 y 23 0
C (5; 6)
x 2 y 7 0
x t
BH : 3x y 11 0
y 3t 11
B BH B (t ; 3t 11) .
tR
t 2 3t 18
;
)
Trung điểm M của AB: M (
2
2
t 2
3t 18
2
7 0 t 4 B ( 4;1)
2
2
x4
y 1
trình đường thẳng AB: 2 4 7 1 4 x 3 y 13 0 .
x4
y 1
trình đường thẳng BC: 5 4 6 1 7 x 9 y 19 0 .
M CM
Phương
Phương
Bài tập tương tự
Bài tập 5.2: Cho tam giaùc ABC coù B(-4;0) , ñöôøng cao kẻ từ A: 4 x 3 y 2 0 vaø
ñöôøng trung tuyeán keû töø ñænh C coù phöông trình : 4 x y 3 0 .
a. Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
b. Tính diện tích tam giác.
Bài tập 5.3: Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1) đường cao qua B: x 3 y 7 0 và trung
tuyến qua C: x y 1 0 . Xác định tọa độ B và C của tam giác.
Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC có đỉnh A(13) đường cao qua B: y 1 0 và trung tuyến
qua C: x 2 y 1 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Bài tập 5.4: Cho tam giaùc ABC coù C(4;-1) , ñöôøng cao vaø ñöôøng trung tuyeán keû töø
ñænh A coù phöông trình töông öùng laø : (d1) : 2x-3y +12=0 , (d2) : 2x+3y =0
Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
Dạng 6:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 trung tuyến và 1
phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.
Cách giải:
* Kiểm tra điểm A không thuộc 2 đường đã cho.
* Tìm K đối xứng với A qua phân giác.
* C thuộc CK (tham số hóa C), tìm trung điểm M của AC theo tham số
* Vì M thuộc BM nên tìm được tham số đó. Tìm được C.
* Lập phương trìnhAC, BC.
* Tìm B lập phương trình AB.
Bài tập 6.1:Cho ABC biết A(1;2), đường trung tuyến BM :
trong CD: x y 1 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Giải:
Điểm C CD : x y 1 0 C (t;1 t )
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
2 x y 1 0 và
phân giác
A
D
I
M
THPT Hồng
B
K
10
C
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
t 1 3 t
;
)
Trung điểm M của AC: M (
2
2
t 1 3 t
M BM 2.
1 0 t 7 C ( 7;8)
2
2
Lấy K đối xứng với A qua CD nên AK CD
mà AK qua A phương trình AK:
1( x 1) 1( y 2) 0 x y 1 0
x y 1 0
I (0;1)
I AK CD nên:
x y 1 0
I là trung điểm của AK nên K(-1;0).
Đường thẳng BC qua K, C dạng:
Đường thẳng AC:
B BM BC nên:
Đường thẳng AB:
x 1
y
4 x 3 y 4 0
7 1 8
x 1
y 2
3 x 4 y 11 0
7 1 8 2
2 x y 1 0
1
B ( ; 2)
2
4 x 3 y 4 0
x 1
y 2
8 x y 6 0
1 2 1 2 2
Bài tập tương tự:
Bài tập 6.2: Cho tam giác ABC có A(4;-1) và phương trình trung tuyến BB 1:
8 x y 3 0 , phân giác trong CC1: x y 1 0 . Viết phương trình các cạnh của tam
giác.
Bài tập 6.3: Cho ABC biết C(4;3), Phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một
đỉnh của tam giác có phương trình: x 2 y 5 0 , 4 x 13 y 10 0 .Viết phương trình các
cạnh của tam giác.
Loại 3 Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một số điểm đặc biệt
nào đó của tam giác.
Dạng 7: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và
tọa độ trọng tâm.
Cách giải:
* Tìm được 1 đỉnh của tam giác A
* Tham số hóa đỉnh B và C.
* G là trọng tâm nên tìm được B và C
* Viết phương trình BC.
A
G
B
C
M
Bài tập 7.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm
AB : 4 x y 15 0 , AC : 2 x 5 y 3 0 .
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
G ( 4;3)
THPT Hồng
và
11
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Giải:
4 x y 15 0
A( 4;1)
2 x 5 y 3 0
A AB AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ:
x t
B AB : 4 x y 15 0
B(t ; 4t 15)
y 4t 15
x 4 5t '
C AC : 2 x 5 y 3 0
C ( 4 5t ' ;1 2t ' )
y 1 2t '
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
x A xB xC
25
t 5t ' 8
x
4
t
G
3
3
3
y A y B yC
4t 2t ' 13
17
yG
3 t '
3
3
3
B (
25 55
73 31
; ), C (
;
)
3 3
3
3
BC (
98 86
2
;
) ( 49; 43) VTPT nBC ( 43;49)
3
3
3
Đường thẳng BC qua M(8;4) và có VTPT n (43;49) :
Phương trình dạng: 43( x 8) 49( y 4) 0 43x 49 y 540 0
Bài tập tương tự
Bài tập 7.2: Cho tam giác ABC biết trọng tâm G ( 2; 1) và AB : 4 x y 15 0 ,
AC : 2 x 5 y 3 0 .
a. Tìm tọa độ A và trung điểm M của BC
b. Tìm B và viết phương trình BC
Bài tập 7.3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G ( 2;0) . Biết
phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự : 4 x y 14 0 , 2 x 5 y 2 0 . Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác.
Dạng 8: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và
tọa độ trực tâm.
Cách giải:
A
* Viết phương trình đường thẳng BH, tìm B
A
* Viết phương trình đường thẳng CH, tìm C.
* Viết phương trình BC.
H
BC
B
Bài tập 8.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trực tâm
AB : 5 x 2 y 6 0 , AC : 4 x 7 y 21 0 .
Giải:
Đường thẳng BH AC nên phương trình BH: 7 x 4 y c 0
BH qua H(1;1) c 3 . Phương trình BH dạng: 7 x 4 y 3 0
H (1;1)
C
và
5 x 2 y 6 0
19
B AB BH nên tọa độ B là nghiệm của hệ : 7 x 4 y 3 0 B( 5; 2 )
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
12
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Đường thẳng CH AB nên phương trình CH: 2 x 5 y m 0
CH qua H(1;1) c 7 . Phương trình CH dạng: 2 x 5 y 7 0
4 x 7 y 21 0
28 7
C ( ; )
2
x
5
y
7
0
3
3
C AC CH nên tọa độ C là nghiệm của hệ :
43 43
43
; ) (2;1) VTPT nBC (1; 2)
3 6
6
19
) và có VTPT nBC (1; 2)
Đường thẳng BC qua B ( 5;
2
19
1( x 5) 2( y ) 0 x 2 y 14 0 .
2
BC (
nên phương trình dạng:
Bài tập tương tự:
Bài tập 8.2: Cho phương trình hai cạnh của tam giác ABC là : x 3 y 4 0 ,
3 x 4 y 10 0 và tọa độ trực tâm H(3;-1). Viết phương trình đường thẳng cạnh còn lại.
Dạng 9: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và
tọa độ trung điểm cạnh còn lại
Cách giải:
* B thuộc AB ( tham số hóa B)
* C thuộc AC ( tham số hóa C)
* M là trung điểm của BC
* Viết phương trình BC.
Bài tập 9.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là
M ( 2;2) và AB : x 2 y 2 0 , AC : 3x y 4 0 .
Giải:
B AB : x 2 y 2 0 nên B ( 2b 2; b)
C AC : 3x y 4 0 nên C (c;4 3c )
2b 2 c
x
M
2
Vì M là trung điểm của BC nên
b 4 3c
yM
2
2b 2 c
2 2b c 6
2
M
(
2
;
2
)
Theo bài ra
nên: b 4 3c
b
3
c
0
2
2
B(
18
b 7
6
c
7
22 18
8 32
8
;
) BM ( ; ) (1;4) VTPT nBC ( 4; 1)
7
7
7 7
7
Đường thẳng BC qua M(-2;2) và có VTPT nBC (4; 1) có phương trình :
4( x 2) 1( y 2) 0 4 x y 10 0
Dạng 10: Cho biết tọa độ 2 điểm của tam giác. Tìm tọa độ đỉnh còn lại thuộc 1 đường
thẳng sao cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
Cách giải:
* Tham số hóa tọa độ đỉnh đã cho.
* Cho thỏa mãn điều kiện đầu bài.
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
13
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Bài tập 10.1: Cho tam giác ABC biết A(-1;3), B(1;1) và : 2 x
a. Tìm C thuộc sao cho tam giác ABC cân ở C.
b. Tìm C thuộc sao cho tam giác ABC vuông ở A.
Giải:
a/ C : 2 x y 0 C (t;2t ) , AC (t 1) 2 (2t 3) 2
y 0
BC (t 1) 2 (2t 1) 2
Để ABC cân ở C AC 2 BC 2 (t 1) 2 (2t 3) 2 (t 1) 2 (2t 1) 2 t 2
C (2;4) .
b/ C : 2 x y 0 C (t ;2t ) .
Ta có : AB (2; 2); AC (t 1;2t 3)
Để ABC vuông ở A AB. AC 0 2(t 1) 2(2t 3) 0
t 4 0 t 4 C (4;8)
Bài tập tương tự
Bài tập 10.2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;2) và các đường thẳng
d1 : x y 2 0 và d 2 : x y 8 0 . Tìm tọa độ B, C lần lượt thuộc d1 , d 2 sao cho tam giác
ABC vuông cân tại A.
Dạng 11: Cho 1 đỉnh của tam giác, 2 đỉnh còn lại thuộc 2 đường thẳng khác. Tìm 2
đỉnh (đường thẳng) thỏa mãn điều kiện cho trước.
Cách giải:
* Tham số hóa tọa độ 2 đỉnh thuộc 2 đường thẳng.
* Cho 2 điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài.
( hoặc sử dụng phương pháp khác tùy vào bài toán)
Bài tập 11.1:Cho d1 : 2 x 3 y 1 0 ; d 2 : 4 x y 5 0 và điểm A là giao của d 1, d2. Tìm
B d1 và C d 2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;5)
Giải:
x 1 3b
B d1 : 2 x 3 y 1 0
y 1 2b
(b R) B(1 3b;1 2b)
C d 2 : 4 x y 5 0 C (c;5 4c)
2 x 3 y 1 0
x 1
A d1 d 2
A(1;1)
4 x y 5 0
y 1
x A xB xC
3b c 2
x
3
G
3
3
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
y A yB yC 2b 4c 7
yG
5
3
3
18
61 43
b
B
(
; )
7
7 7
5
5 55
c C ( ; )
7
7 7
Bài tập 11.2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A( 2; 2) . Viết phương trình đường
thẳng d qua M (3;1) cắt trục Ox, Oy tại B và C sao cho ABC cân tại A.
Giải:
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
14
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Gọi
B (a;0) d Ox, C (0; b) d Oy .
Phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn:
x y
1, bc 0
a b
3 1
1
a b
M d
(*) .
ABC cân tại A AB 2 AC 2 (a 2) 2 4 4 (b 2) 2
a 2 b 2
a b 4
a 2 b 2
a b
x y
d1 : 6 2 1 x 3 y 6 0
Với a b 4 thay vào
x y
d 2 : 1 x y 2 0
2 2
(*)
b
2
a
2
Với a b thay vào
(loại) Vì trùng với d 2 .
b 2, a 6
(*) b 2 4
b 2, a 2
Bài tập tương tự
Bài tập 11.2: Cho d1 : x y 5 0 ; d 2 : x 2 y 7 0 và điểm A(2;3). Tìm B d1 và C d 2
sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0).
Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP.
Bài tập 1:Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A(0;2) và B( 3; 1) . Tìm tọa độ trực
tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. (ĐH-A2004)
Giải:
Cách 1: (Viết phương trình 2 trong 3 đường cao và tìm giao điểm)
+ Đường thẳng qua O(0;0) và vuông góc với AB có VTPT BA( 3;3) có phương trình:
3 x 3 y 0
Đường thẳng qua
trình: y 1 .
B(
3; 1)
Trực tâm H là nghiệm của hệ:
và vuông góc với OA có VTPT
OA(0;2)
có phương
3x 3 y 0
H ( 3; 1) .
y 1
+ (Viết phương trình 2 trong 3 đường trung trực và tìm giao điểm)
Đường trung trực cạnh OA có phương trình y 1 , Đường trung trực cạnh OB có
phương trình 3x y 2 0 .
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB nghiệm của hệ:
3 x 3 y 2 0
I (
y 1
Cách 2:
+ Gọi trực tâm
H ( x; y )
3;1) .
của tam giác ABO thì:
AH .OB 0
3x y 2 0
x 3
H ( 3; 1)
y 1 0
y 1
BH .OA 0
I ( a; b) là
+ Gọi
2
2
IA IB IO
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB thì IA IB IO hay
2
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
15
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
a 3
a 2 b 2 a 2 (b 2) 2
4a 4 0
2
I ( 3;1)
2
2
2
2 3a 6 0 b 1
a b (a 3 ) (b 1)
Bài tập 2:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB=AC và góc BAC=90 0 biết
M (1; 1) là
trung điểm cạnh BC và
G(
2
;0) trọng
3
tâm của tam giác. Tìm tọa độ đỉnh A,
B, C.(ĐH-B2003)
Giải:
Vì G là trọng tâm ABC và M là trung điểm BC nên:
C
MA 3MG ( 1;3) A(0;2)
Phương trình BC qua M(1;-1) và vuông góc với
là 1( x 1) 3( y 1) 0
MA ( 1;3)
M
x 3 y 4 0
G
Mà ABC vuông cân tại A nên MA MB MC 10
tọa độ B, C thỏa mãn phương trình đường tròn : x 1 2 ( y 1) 2 A10 .
x 3 y 4 0
B
y 0 x 4
Tọa độ B, C là nghiệm của hệ sau: x 1 2 ( y 1) 2 10 y 2 x 2
Vậy tọa độ B, C là (4;0), ( 2; 2) .
Bài tập 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác biết đỉnh A(2;1) trực tâm H(-6;-3) và
trung điểm cạnh BC là D(2;2).
Giải:
Đường thẳng BC qua D(2;2) và có VTPT HA(8;4) 4(2;1) .
Phương trình BC dạng: 2( x 2) 1( y 2) 0 2 x y 6 0 .
Giả sử B(x;y) thì C(4-x;4-y) (Do D(2;2) là trung điểm của BC.)
AB( x 2; y 1), CH ( x 10; y 7) . Vì AB CH nên AB.CH 0
5 x 2 20 x 15 0
( x 2)( x 10) ( y 1)( y 7) 0
x 1, y 4
2 x y 6 0
y 6 2 x
x 3, y 0
B(1;4) C (3;0) hoặc B(3;0) C (1;4)
nên phương trình AC và AB dạng:
3 x y 7 0; x y 3 0
3
Bài tập 4:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích S , hai đỉnh
A(3; 2), B ( 2; 3) .
Trọng tâm tam giác nằm trên đường thẳng
độ đỉnh C.
Giải:
Vì G đường thẳng : 3 x y 8 0 nên G (t ;3t 8)
Phương trình đường thẳng AB: x y 5 0 và AB
chiều cao
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
1
h.
3
Tìm tọa
C
2
G
2S
3
h
AB
2
Khoảng cách từ G tới AB bằng
2
3 x y 8 0 .
B
A
THPT Hồng
16
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
t 3t 8 5
1 3
d (G; AB ) .
3 2
2
2t 3 1
t 2 G1 (2; 2)
2t 3 1
.
t 1 G2 (1; 5)
2t 3 1
Theo công thức khoảng cách ta có
x 3.2 3 2
xc 3xG x A xB
c
yc 3 yG y A y B yc 3.( 2) 2 3
Với G1 (2; 2) thì
xc 1
C (1; 1)
yc 1
Với G1 (1; 5) thì
x 3.1 3 2
x 3xG x A xB
c
c
yc 3 yG y A y B yc 3.( 5) 2 3
xc 2
C ( 2; 10)
yc 10
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn: C (1; 1), C ( 2; 10) .
Bài tập 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1 : x y 2 0
và d 2 : x y 8 0 . Tìm tọa độ B, C lần lượt thuộc d1 , d 2 sao cho tam giác ABC vuông
cân tại A. (ĐH- B2007).
Giải:
Vì B d1 , C d 2 nên B (b;2 b), C (c;8 c)
(b 2)(c 2) ( b)(6 c) 0
2
2
2
2
(b 2) b (c 2) (6 c)
AB AC
bc 4b c 2 0
(b 1)(c 4) 2
2
2
2
2
b 2b c 8c 18 (b 1) (c 4) 3
AB. AC 0
Để ABC vuông cân ở A thì
Đặt
b 1 x; c 4 y
ta được:
x 2, y 1
xy 2
b 1, c 3
2
2
x y 3
b 3, c 5
x 2, y 1
Vậy B(-1;3), C(3;5) hoặc B(3;-1), C(5;3).
Bài tập 6: Trong mặt phẳng Oxy xác định tọa dộ đỉnh C của tam giác ABC biết hình
chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1,-1), đường phân giác trong
của góc A có phương trình : x y 2 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình
4 x 3 y 1 0 . (ĐH – B2008)
Giải: Gọi
d1 : x y 2 0
d2 : 4 x 3 y 1 0
Vì d1 là phân giác trong của góc A nên đường thẳng l qua
H và vuông góc với d1 cắt AC tại điểm H’ đối xứng với H
qua d1. Gọi I là giao điểm của l và d1, I là trung điểm của
HH’. Phương trình đường thẳng l : y 1 ( x 1)
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ :
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
x y 2 0
I ( 2;0)
y 1 ( x 1)
THPT Hồng
17
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Gọi tọa độ của H’(a;b) thì
a 1 2x1 4 '
H ( 3;1)
b 1 2 y1 0
Đường thẳng AC qua H’(-3;1) và d2:
nên có phương trình là:
4 x 3 y 1 0
3
nên AC có hệ số góc bằng k
4
3
3
13
y 1 ( x 3) y x
4
4
4
x y 2 0
suy ra tọa độ của điểm A: y 1 (3x 13) A(5;7)
4
CH qua H(-1;-1) có VPPT là HA(6;8) 2.(3;4) .
Phương trình CH dạng: 3( x 1) 4( y 1) 0 3x 4 y 7 0
3x 4 y 13 0
10 3
C (
; )
3 4
3 x 4 y 7 0
C AC CH nên tọa độ C là nghiệm của hệ:
Bài tập 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và có đỉnh
A( 1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x y 4 0 . Xác định tọa độc các điểm
B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18 (ĐH-B2009)
Giải :
Gọi đường cao là AH
A
1 4 4
9
Ta được: AH = d ( A, )
2
BC =
AB=
2
2 S ABC 36 2
4 2
AH
9
BC 2
97
AC= AH 2
4
2
B
H
C
Hai điểm B(x; y), C(x; y) cùng thỏa mãn hệ sau:
97
11 3
( x 1) 2 ( y 4) 2
3
5
2 ... ( x; y ) ( ; ) hoặc (x; y)= ( 2 ; 2 )
2 2
x y 4 0
11 3
3 5
3
5
11 3
Vậy B ( ; ), C ( ; ) hoặc B ( ; ), C ( ; ) .
2 2
2
2
2
2
2 2
Bài tập 8: Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, biết
trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình
.
Giải:
Gọi C’ đối xứng với C qua phân giác AD: x 2 y 5 0
Khi đó C ' AB
H AD CC ' thì H (5 2t ; t ) CH (1 2t ; t 3)
VTCP của AD là u AD (2; 1)
Vì AD CH CH .u AD 0
C
2(1 2t ) 1(t 3) 0 t 1 H (3;1) .
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
C ( 4;3) ,
ác đường phân giác
x 2 y 5 0 , 4 x 13 y 10 0
A
C’
H
D
M
THPT Hồng
B
18
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
xC ' 2 x H xC
x 2
C'
C ' (2; 1).
yC ' 1
yC ' 2 y H yC
H là trung điểm của CC’ nên
A AD AM (AM là trung tuyến từ A, M trung điểm BC) nên tọa độ A là nghiệm của hệ:
x 2 y 5 0
x 9
A(9; 2) .
4 x 3 y 10 0
y 2
Phương trình AB qua A(9;-2) và C’(2;-1) nên:
B AB : x 7 y 5 0 B( 7b 5; b)
13m 10
M AM : 4 x 13 y 10 0 M (
; m)
4
x 9 y2
x 7 y 5 0
2 9 1 2
M là trung điểm của BC nên:
13m 10
7b 5 4 2.
4
b 3 2m
14b 13m 12
b 2m 3
b 1
m 2
Vậy: B ( 12;1) .
Bài tập 9: Cho tam giác ABC có cả 3 góc nhọn. Viết phương trình đường thẳng chứa
cạnh AC của tam giác, biết tọa độ chân đường cao hạ từ A, B, C tương ứng là:
A1 ( 1; 2) , B1 ( 2;2) , C1 ( 1;2)
A
Giải:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì:
B1
Từ tính chất của tứ giác nội tiếp, ta chứng minh được
C1
H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A1B1C1.
Đường thẳng A1B1 có phương trình : 4 x 3 y 2 0
H
Đường thẳng B1C1 có phương trình : y 2 0
B
C
Khi đó phương trình cặp đường phân giác góc A1B1C1:
A1
x 2 y 2 0
4x 3y 2
( y 2)
5
2 x y 6 0
( 1 )
( 2 )
Thay tọa độ của A1, C1 vào phương trình của ( 1 ) ta được:
1 2( 2) 2 5 0
1 2.2 2 3 0
A1 ,C1 nằm về 2 phía khác nhau của ( 1 ) ( 1 ) là phân giác trong của góc A1B1C1.
Nên BB1 là đường thẳng ( 1 ) AC là phân giác ngoài của góc A1B1C1.
Vậy AC có phương trình là ( 2 ) : 2 x y 6 0 .
( Tương tự các đường phân giác ngoài của góc B1A1C1, A1C1B1 tương ứng là các đường
thẳng BC, AB của tam giác ABC).
KÕt luËn
- Với mục đích tự học và nâng cao trình độ, nâng cao chất lượng giảng dạy cho học
sinh trong trường phổ thông, đồng thời cung cấp tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 10.
§Ò tµi t«i ®· nªu ®îc ph¬ng ph¸p chung cho mçi d¹ng còng nh minh häa b»ng c¸c bµi
to¸n cô thÓ, ®ång thêi còng ®a ra cho mçi d¹ng mét sè bµi tËp t¬ng tù ®Ó vËn dông.
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
19
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
- §Ò tµi ®· ®îc t«i ¸p dông gi¶ng d¹y trong giê häc tù chän b¸m s¸t t¹i líp 10A10,
10A12 trêng THPT Hång Th¸i vµ thu ®îc kÕt qu¶ t«i xin tr×nh bµy trang sau.
- Tuy vËy, trong qu¸ tr×nh viÕt, do thêi gian vµ kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cã h¹n nªn kh«ng
tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, h¹n chÕ nhÊt ®Þnh. RÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý cña Héi
®ång khoa häc nhµ trêng THPT Hång Th¸i – §an Phîng – Hµ Néi, Héi ®ång khoa häc
Së GD & §T Hµ Néi. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n.
KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
1. Kết quả thu được
Đề tài đã được tôi áp dụng trong quá trình giảng dạy tự chọn bám sát lớp 10, được
học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tìm điểm và phương trình
đường thẳng trong tam giác khi biết một số yếu tố liên quan.
Các em hứng thú học tập hơn, khi đã quy bài toán hình học về các yếu tố giải tích.
Ở những lớp đã được giảng dạy và phân loại bài toán các em biết định hướng khi giải
bài tập dạng này. Học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải bài
tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Kết quả thu được cụ thể như sau :
Lớp 10A10
Sĩ số 50
Trước khi
thực hiện
đề tài
Sau khi
thực hiện
đề tài
Lớp 10A12
Sĩ số 46
Không hiểu bàikhông làm được
bài tập
71 %
Hiểu bài-làm
được bài tập
G
29 %
5%
29%
53%
13%
24 %
76 %
10%
55%
28%
7%
Không hiểu bàikhông làm được
bài tập
Hiểu bài-làm
được bài tập
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
G
Học lực
K
TB
Học lực
K
TB
Y
Y
THPT Hồng
20
Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
Trước khi
thực hiện
đề tài
Sau khi
thực hiện
đề tài
74 %
26 %
4%
20%
58%
18%
28 %
72 %
8%
53%
30%
9%
Như vậy sau khi chuyên đề được áp dụng tôi thấy các phương pháp có hiệu quả
tương đối. Theo tôi khi dạy phần tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy
giáo viên cần đưa thêm các bài toán dạng tương tự để học sinh vận dụng và nắm được
bài tốt hơn.
2. Bài học kinh nghiệm
Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề, đồng thời tôi có lấy ý
kiến của học sinh cho thấy:
a. Đối với giáo viên
Sau nghiên cứu và viết sáng kiến xong tôi đã nắm rõ về phương pháp tìm các yếu
tố của tam giác khi biết các yếu tố đặc biệt.
Nắm chắc cơ sở lý luận về phương pháp dạy học sinh “tìm một số yếu tố của tam
giác trong mặt phẳng Oxy”
b. Đối với học sinh
Học sinh hiểu rõ, có phương pháp và kĩ năng giải bài tập
Rèn luyện khả năng phân tích, tìm tòi lời giải, nghiên cứu khai thác lời giải một
bài toán.
Như vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức của sách
giáo khoa mà cần chú ý phân loại các dạng toán, khái quát được cách giải cho mỗi dạng
tạo hứng thú học tập cho học sinh.
GV: Hoàng Thương Thương
Thái
THPT Hồng
21
- Xem thêm -
.DOC 
23 
117 
144 
