Tài liệu Skkn tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY” 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toán cực trị là mô hình đơn giản của các bài toán kinh tế trong cuộc sống. Với tinh thần đổi mới giáo dục trong các đề thi Đại học của những năm gần đây, bài toán cực trị được đưa vào thường xuyên. Điều đó đặt ra cho quá trình giảng dạy bộ môn Toán học cần phải chú ý rèn luyện cho học sinh những dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi của thực tiễn và đưa giáo dục nói chung và Toán học nói riêng gần hơn với cuộc sống. Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chất lượng bài giảng, chất lượng quá trình giáo dục chúng tôi mạnh dạn “Tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp giải bài toán cực trị hình học giải tích. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Đề xuất một số phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích. 4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu 2 Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán học ở trường phổ thông. Đối tượng: Các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích. 5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích được giảng dạy tại trường THPT Văn Giang trong 02 năm học 2012-2013; 2013-2014. 6. Giả thuyết khoa học Hiện nay việc giảng dạy và học tập các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích còn gặp một số khó khăn. Nếu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của tác giả một cách phù hợp thì hiệu quả học tập và giảng dạy chuyên đề cực trị trong hình học giải tích sẽ tốt hơn. 7. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học 8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu Nội dung 3 Kết luận Tài liệu tham khảo 4 NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận 1. Các tính chất của Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung a b � acbc c0 a  b � ac  bc c0 a  b � ac  bc �a  b �ac bd � cd � 0ab � � ac  bd � 0cd � a  b � a 2 n 1  b 2 n 1 ; n �N * 0  a  b � a 2 n  b 2 n ; n �N * 0ab� a  b ab� 3 a  3 b 2. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho hàm số f  x xác định trên tập D Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 5 f  x trên D nếu �f  x  �M x �D; � � M  Max f x � D  x � D : f x  M . � 0 � 0     Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x trên D nếu �f  x  �m x �D; � � m  min f x � D  x � D : f x  m . � 0 � 0     Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự. 3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) Cho n số không âm: a1; a2 ;...; an a  a  ...  a 2 n �n a a ...a 1 2 n n khi đó ta có: 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an 4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho hai bộ n số: a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn khi đó ta có bất đẳng thức:  a1.b1  a2 .b2  ...  an .bn  2 � a12  a22  ...  an2   b12  b22  ...  bn2  a a a 1 2 n Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b  b  ...  b . 1 2 n 6 5. Định lý Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b thì hàm số tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn  a; b . 6. Phương trình tham số của đường thẳng r r M x ; y   u a ; b � 0    Đường thẳng đi qua nhận làm vector chỉ phương. Khi đó  0 0 �x  x0  at ; �y  y0  bt. có phương trình tham số là: � 7. Phương trình tổng quát của đường thẳng r r Đường thẳng  đi qua điểm M  x0 ; y0  nhận u  a; b  �0 làm vector pháp tuyến. Khi đó  có phương trình tổng quát là: a  x-x 0   b  y  y0   0 � ax  by  c  0;  c   ax 0  by0  8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 và điểm M  x0 ; y0  . Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  được tính bằng công thức: d  M ,   ax 0  by0  c a2  b2 . 9. Góc giữa hai đường thẳng 7 Cho 2 đường thẳng 1 ;  2 lần lượt có phương trình a1 x  b1 y  c1  0 a2 x  b2 y  c2  0  a  b �0  ;  a  b �0  . 2 1 2 2 2 1 2 2 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng đã cho. Khi đó: cos  a1a2  b1b2 a12  b12 . a22  b22 . 10. Phương trình tổng quát của mặt phẳng r r Cho đường thẳng  đi qua M  x0 ; y0 ; z0  nhận n  a; b; c  �0 làm vector pháp tuyến. Khi đó đường thẳng  có phương trình tổng quát là: a  x  x0   b  y  y0   c  z  z0   0 � ax + by + cz + d = 0;  d = -ax0  by0  cz0  . 11. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho mặt phẳng    : ax + by + cz + d = 0 và điểm M  x0 ; y0 ; z0  . Khoảng cách từ điểm M đến    được tính bằng công thức d  M ,     II. ax 0  by0  cz0  d a 2  b2  c 2 . Một số dạng bài toán cực trị hình học giải tích trong chương trình phổ thông 8 1. Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị Bài 1 Cho đường thẳng  : x  2 y  2  0; A  0;6  ; B  2;5  . Tìm điểm M � sao cho: a) MA  MB nhỏ nhất. b) MA  MB lớn nhất. A Lời giải B a) Phân tích: A/ M Nếu hai điểm A, B khác phía so với đường thẳng   thì điểm M cần tìm chính là giao điểm của đường thẳng  với đường thẳng AB. Nếu hai điểm A, B cùng phía so với đường thẳng  (Hình 1) khi đó ta thực hiện theo các bước sau: Hình 1 Bước 1: Xác định điểm A/ là điểm đối xứng với A qua  . Bước 2: Từ đánh giá: MA  MB  MA/  MB �A/ B  hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A/ ; M ; B thẳng hàng. Nên ta đi viết phương trình đường thẳng A/ B . Bước 3: Điểm M   �A/ B . Với thuật toán trên ta đi đến lời giải chi tiết cho câu a) như sau: Đặt f  x; y   x  2 y  2 9 Ta có: f  0;6   0  12  2  10; f  2;5   2  10  2  6 . Như vậy hai điểm A; B nằm về một phía so với đường thẳng  . Gọi A/ là điểm đối xứng với A qua  . Đường thẳng AA / : 2( x  0)  1( y  6)  0 � 2 x  y  6  0 Gọi I  AA / � . Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình: 2x  y  6  0 � �x  2; �� � I  2;2  � �x  2 y  2  0 �y  2. / Do I là trung điểm của AA / nên ta có: A  4; 2  uuuu r Từ đó A/ B   2;7  . Đường thẳng A/ B : 7( x  2)  2( y  5)  0 � 7 x  2 y  24  0 Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ phương trình: � 11 x ; � �x  2 y  2  0 11 19 � � 4 � �� �M� ; � � 7 x  2 y  24  0 �4 8 � � �y  19 . � 8 Trong trường hợp câu b) thì thuật toán lại có sự khác biệt so với câu a). Nếu hai điểm A; B mà nằm về hai phía so với  thì ta lại phải đi tìm điểm A/ đối xứng với A qua  . Sau đó ta sử dụng đánh giá: 10 MA  MB  MA/  MB �A / B  hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M , A/ , B thẳng / hàng. Từ đó tìm ra tọa độ của M.  M  A B �  Nếu hai điểm A; B nằm về cùng một phía so với  thì ta có ngay đánh giá: MA  MB �AB  hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M ; A; B thẳng hàng. Do đó điểm M cần tìm là giao của AB với  . Sử dụng kết quả câu a) ta có hai điểm A; B nằm về cùng phía so với  nên ta có đánh giá: MA  MB �AB  hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M ; A; B thẳng hàng. uuu r AB   2; 1 nên AB :1( x  0)  2( y  6)  0 � x  2 y  12  0 Ta có Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: �x  5; �x  2 y  12  0 � � 7� �� 7 �M� 5; � � y . � 2� �x  2 y  2  0 � � 2 Để củng cố thuật toán trên các em học sinh làm thêm một số bài tập: Bài 2 Cho hai điểm A  2;5  ; B  4;5  và đường thẳng �3 9 � M � : MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số: M � ; �) �2 4 � 11  : x  2y  3  0. Tìm điểm Bài 3 Cho hai điểm A  2; 5  ; B  4;5  và đường thẳng  : x  2 y  3  0 . Tìm điểm N � : NA  NB đạt giá trị lớn nhất? Bài 4 �x  t ; . Tìm M � sao cho : �y  1  2t. Cho hai điểm A  1;2  ; B  0; 1 và đường thẳng  : � a) MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất. b) MA  MB đạt giá trị lớn nhất. Vẫn là bài toán tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị nhưng được hỏi theo hình thức khác. Ta xét ví dụ tiếp theo. Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M  2;1 . Đường thẳng  đi qua M cắt Ox; Oy lần lượt tại A  a;0  ; B  0; b  ;  a  0; b  0  . a)Tìm a; b để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất? b) Tìm a; b : 1 1  đạt giá trị nhỏ nhất? 2 OA OB 2 c) Tìm a; b : OA  OB đạt giá trị nhỏ nhất? 12 a) Lời giải 1 x a Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có:  :  y 1 b 1 2 Nhận thấy tam giác OAB vuông tại O nên: SOAB  a.b 2 a 1 b Mặt khác do M � �   1;  1 2 1 2 �۳۳2 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: a b ab 1 2 2 ab ab 8;  2 1 2 Từ đó suy ra: SOAB  ab �4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  2  xảy ra dấu bằng. Khi �2 1  � a  4; � �a b �� đó kết hợp với  1 ta có hệ phương trình: � b  2. �2  1  1 � �a b Bình luận: Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM và nhận thấy tính hiệu quả cao, lời giải gọn gàng và đẹp. Vấn đề là học sinh cần tìm hiểu được nhiều cách giải cho một đề toán. Do vậy một trong những thủ thuật của người thầy (theo cá nhân tôi) là sau lời giải một bài toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Còn lời giải nào khác 13 nữa không?. Câu hỏi đó làm cho học sinh có hứng thú tìm tòi, và phải làm cho học sinh thấy được chúng ta không nên bằng lòng theo kiểu “ăn xổi”. a) Lời giải 2 Từ kết quả  1 ta rút ra: 2 1 a  1� b  a b a2 Theo bài ra do b  0; a  0 � a  2 1 2 Từ đó: SOAB  ab  a2  f  a ; 2a  4  a  2 Ta đi khảo sát hàm số f  a  trên miền a  2 . f /  a  2a.  2a  4   2a 2  2a  4  a0 � f /  a  0 � � a4 � 2  2a  4  2  l  t / m Lại có: lim f  a   lim a �2   2 a 2  8a a �2  a2  � 2a  4 a2 lim f  a   lim  � a �� a �� 2a  4 Lập bảng biến thiên ta có: 14 a 2 f /  a  � 4 0  � � f  a f  4 f  a   f  4  4 Suy ra: amin 2 a  4; � b  2. � Với a  4 � b  2 . Vậy các giá trị cần tìm là: � Bình luận: Lời giải 2 có vẻ phức tạp, tuy nhiên việc sử dụng đạo hàm vào bài toán cực trị cũng cần hết sức chú ý vì đây cũng là một công cụ rất mạnh trong chương trình toán phổ thông mà học sinh cần được trang bị và thành thạo. b) Lời giải 1 Gọi H là chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có: 1 1 1 1   �  2 2 2 OA OB OH OM 2 hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M �H . Tức là OM  AB . 15 uuu r uuuu r 2a  b  0 � � 5 a ; �AB.OM  0 � � � �2 1 �� 2 Vậy ta có hệ phương trình: �  1 �M � � � b  5. � �a b � 5 �a  ; Vậy các giá trị cần tìm là: � 2 � b  5. � Bình luận: Trong câu b) ta đã sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu luôn nhỏ hơn độ dài đường xiên. Giống như câu a) ta lại có một câu hỏi: Còn lời giải nào khác nữa không? Và cứ như vậy học sinh sẽ có sự hứng thú nhất định và các em trở thành những nhà thám hiểm thực sự trong kho tàng kiến thức! 2 2 1 1 �1 � �1 �   � � � � gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki? Do Để ý thấy: 2 2 OA OB �a � �b � đó gợi ý cho ta lời giải thứ 2 như sau: b) Lời giải 2 2 a 1 b Theo bài ra do M � �   1 Xét: 2 1� �1 �1 1 � 2.  1. �� 4  1 � 2  2 �  Bunhiacopxki  � b� �a �a b � 16 � 1 1 1  � . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2a  b a 2 b2 5 b  2a � � 5 � �a  ; Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình: �2 1 � � 2  1 � � b  5. � �a b � 5 �a  ; Vậy các giá trị cần tìm là: � 2 � b  5. � Bình luận: Thật gọn, đẹp! Còn có cách giải khác nữa không? Đối với câu c) Giáo viên sẽ tránh cho học sinh một sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời giải 1 của câu c) như sau: c) Lời giải 1 Ta có OA  OB  a  b �2 ab ;  3 (Theo bất đẳng thức AM-GM) 2 a 1 b Mặt khác 1 �۳ 2 2 ab ab 8;  4  (Theo bất đẳng thức AM-GM) Từ đó suy ra: OA  OB �2 8  4 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cả hai đánh giá a  b; � �  3 ;  4  cùng xảy ra dấu bằng. Điều đó tương đương với �2 1 1   . � �a b 2 Dễ nhận thấy hệ trên vô nghiệm. Như vậy lời giải là sai! 17 c) Lời giải 2 Ta có OA  OB  a  b Mặt khác 2 1 a  1� b  a b a2 Do a  0; b  0 � a  2 a a2  a   f  a Ta được OA  OB  a  a2 a2 Ta đi khảo sát hàm số f  a  với a  2 / Ta có f  a    2a  1  a  2   a 2  a  a 2  4a  2 2 2  a  2  a  2 f /  a  0 � a 2  4a  2  0 � a  2  2  l ; �� � a  2  2  t / m . � Lại có a2  a lim f  a   lim  � a � � a � � a  2 a2  a lim f  a   lim  � a2   a�2 a�2 Ta có bảng biến thiên 18 a 2 f /  a - f  a � � 2 2 0 + � 3 2 2 � a  2  2; � Từ đó ta có kết luận: min  OA  OB   3  2 2 khi � b  2  1. � Củng cố thuật toán các em học sinh làm thêm một số bài tập sau: Bài 6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A  1;3 và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho 2 1  đạt giá trị nhỏ nhất? 2 OM ON 2 Bài 7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2;5) , cắt chiều dương của các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N khác gốc toạ độ sao cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 8 19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M  3;2  , cắt chiều dương của các trục Ox, Oy tại các điểm A; B khác gốc toạ độ sao cho OA  2OB đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 9 Bài toán về góc sút và khung thành. Cho hai điểm A, B nằm về cùng phía so với đường thẳng  . Tìm trên đường thẳng  điểm M sao cho M nhìn xuống A, B một góc lớn nhất? Nhận xét: Bài số 9 là một bài khá lý thú, gây hứng thú và tò mò cho người làm toán. Dễ nhận thấy một vài trường hợp đặc biệt như khi  là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB thì điểm M cần tìm chính là tiếp điểm. Vậy trong các trường hợp còn lại thì ta xử lý thế nào? Dựng đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc  N với  tại M. Ký hiệu là đường tròn (C) I Xét điểm N trên  và khác M. M Gọi I là giao của (C) và NB (Hình 2) A Ta có � AMB  � AIB (cùng chắn cung AB) B Hình 2 Mặt khác: 20