Tài liệu Skkn sử dụng yếu tố phụ trong việc chứng minh hình học lớp 8 và 9

Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 PHẦN THỨ NHẤT. MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước. Hướng đổi mới của giáo dục và đào tạo là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ động trong học tập, dễ thích ứng với cuộc sống và lao động. Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên còn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập. Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức. Những thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “tài sản riêng” của các em. Học sinh không những nắm vững, nhớ lâu mà còn biết vận dụng tốt những tri thức đạt được để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong học tập, trong thực tế cuộc sống và lao động mai sau. Đồng thời, học sinh có phương pháp học trên lớp học và phương pháp tự học để đáp ứng được sự đổi mới thường xuyên của khoa học công nghệ ngày nay. Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán hình học nói riêng, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, tìm được cái mới hơn rồi, lại tiếp tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìm mối liên hệ giữa các vấn đề, . . . cứ như thế chúng ta sẽ tìm ra được những kết quả thú vị. Trong quá trình tìm kiếm lời giải, học sinh phải biết cách đưa về hình huống quen thuộc để có thể vận dụng trực tiếp các kiến thức đã biết. Ngoài việc phải vẽ hình chính xác, tổng quát theo dữ kiện bài toán (tránh vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt, học sinh dễ ngộ nhận hình) thì một trong các biện pháp có hiệu quả là sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học thông qua vẽ hình phụ. Việc vẽ hình phụ rất đa dạng, không theo khuôn mẫu nhất định nào và đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốt, trên cơ sở các suy luận hợp lý. Vì vậy, cần thiết có thể bồi dưỡng cho học sinh phát triển năng lực này. Đã từng giảng dạy toán và hiện đang dạy toán lớp 8, 9 chúng tôi đã tích cực, tự bồi dưỡng và hướng dẫn các em học sinh bồi dưỡng kiến thức nâng cao, luôn quan tâm đến việc khai thác bài toán. Ở đây tôi không muốn đề cập tới các dạng bài tập, các hệ thống câu hỏi gợi mở. Mà chúng tôi chỉ muốn nêu lên một số cách hướng dẫn học sinh đi tìm lời giải cho bài toán hình học lớp 8, 9 thông qua việc vẽ hình phụ và sử dụng yếu tố phụ đó để chứng minh. Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 Với các lí do trên, chúng tôi xin trình bày đề tài “Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9” hy vọng góp phần vào giải quyết vấn đề trên. II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: 1. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8, lớp 9 THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm – Duy Vinh – Duy Xuyên – Quảng Nam. 2. Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8, lớp 9 THCS. PHẦN THỨ HAI. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Đặc điểm của lứa tuổi học sinh THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô giáo. Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài. *Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh được thể hiện ở một số mặt sau: - Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập khuôn, máy móc. - Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh khác nhau. - Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Cơ sở nào? Liệu có các mối liên hệ nào khác nữa không? - Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề. - Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết. *Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như: - Nhìn lại toàn bộ các bước giải. Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó. - Rút ra các kinh nghiệm giải toán. - Tìm thêm các cách giải khác. - Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới. - Biết tìm mối quan hệ giữa các đại lượng để tìm hướng giải quyết. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 - Đa số học sinh, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân để tìm hướng giải quyết ngắn gọn hơn. - Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc. Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân. - Học sinh yếu toán nói chung và yếu hình học, đặc biệt là yếu về giải bài toán chứng minh hình học nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập, không có sự liên hệ, không có sự khai thác triệt để. Đa số học sinh sử dụng sách giải, vở bài tập của các bạn học sinh để giải quyết vấn đề bài tập nhà. - Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao. - Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân học sinh ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết. - Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung. Một số giáo viên chưa hệ thống phương pháp cho học sinh để có cơ sở giải quyết các bài toán chứng minh. - Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em học sinh, giúp học sinh có hứng thú hơn khi học toán. - Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy bản thân chúng tôi thấy học sinh có lỗ hổng ngay từ khi tiếp cận với bài tập chứng minh hình ở lớp 8 nói chung, việc vận dụng yếu tố trung gian của học sinh còn lúng túng, chưa nhận biết và biết khi nào thì cần vận dụng vào chứng minh bài toán hình. - Khi thăm dò khảo sát chất lượng học tập môn Toán của học sinh khối lớp 9 năm học 2008 2009 khi giải bài toán có vận dụng yếu tố trung gian trong chứng minh đã có kết quả như sau: Chất lượng Giỏi Khá Trung bình Yếu - Kém Qua điều tra thử nghiệm với học sinh đang học lớp 9 tôi thấy số học sinh có thể vận dụng yếu tố trung gian cũng như vẽ hình phụ trong chứng minh hình học chỉ có ..... em đạt .... %, số còn lại thì không biết cách giải hoặc giải không hoàn chỉnh. Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp. III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Qua những bài toán mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức như: - Kiểm tra kết quả, xem xét lại cách lập luận. - Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không? . . .. Trong đề tài này, tôi xin minh họa bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả một bài toán quen thuộc để tìm ra hướng giải quyết. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình học nói riêng. Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán. IV. NỘI DUNG CỤ THỂ : Từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bài toán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác. Sau đây là ví dụ minh hoạ: Thực chất của phương pháp này là dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần có, gợi ra hướng vẽ hình phụ để từ giả thiết có thể suy luận đến yếu tố trung gian đó để suy ra kết luận. Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau. ( Hai đại lượng bằng nhau) Bài tập1.1: Cho  ABC, kẻ các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. CMR: I thuộc đường phân giác góc A. Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh I thuộc đường phân giác, ta có hai hướng giải quyết như sau: � = CAI � - Chứng minh: BAI - Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC. - Vậy với điều kiện như trên ta cần thể hiện điều gì ? � = CAI � ta quy về chứng minh tam giác nào bằng nhau?(yếu tố này khó khăn) - Để cm: BAI - Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC. - Điểm I có đặc điểm gì? So với các cạnh của góc B, góc C ? - Từ đặc điểm đó ta cần thể hiện điều gì? ( kẻ các đường vuông góc IM, IN, IP) Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 - Nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng này? Từ đó rút ra kết luận gì về điểm I so với các cạnh của góc BAC. Lời giải: Kẻ IM  BC; IN AB; IP  AC. A Vì I thuộc đường phân giác góc B nên IM = IN (1) P N Vì I thuộc đường phân giác góc C nên IM = IP (2) Từ (1) và (2) suy ra: IN = IP I => I thuộc đường phân giác góc A. B M C Bài tập 1.2: Cho  ABC vuông tại A, kẻ các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Gọi N và P là chân đường vuông góc hạ từ I xuống AB, AC. CMR: AN = AP. Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh: AN = AP ta cần có A P N hướng giải quyết nào? - Cm: Hai tam giác chứa hai đoạn thẳng AN, AP bằng nhau. I - Chứng minh: ANIP là hình vuông. B M C Với cơ sở đó ta cần chứng minh I thuộc phân giác góc A. Như vậy ta có thể khai thác tương tự như bài tập 1.1 - Chứng minh: Điểm I cách đều hai cạnh AB và AC. �  600 . Bài tập 1.3: Cho  ABC, kẻ các đường phân giác của góc BD và CE cắt nhau tại I, BAC CMR: ID = IE Phân tích tìm lời giải: Ở bài này để chứng minh ID = IE ta cần chứng minh điều gì? - Để cm: ID = IE thông thường, ta quy về chứng minh tam giác nào bằng nhau? (yếu tố này khó khăn) Vì vậy yếu tố được đặt ra là đoạn thẳng trung gian. - Với yếu tố đề cho ta có được kết quả gì? � được không? ( BIC � = 1200 ) - Ta có thể tính BIC � = ? Ta có thể liên tưởng được gì từ kết quả này? - Như vậy CID � và chứng minh ID = IE - Kẻ phân giác IF của BIC A (sử dụng yếu tố phụ ở đây là đoạn thẳng trung gian IF) Lời giải: 0 � � � � B �1  C �1  B  C  180  A  600 Xét  IBC có DIC E �IF=600 . Kẻ IF sao cho C 2 1 2 2  IDC=  IFC (g - c - g ) => ID = IF (1) Tương tự:  IEB=  IFB (g - c - g ) => IE = IF (2) Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 D I B 2 F 1 C Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 Từ (1) và (2) =>ID = IE. Bài tập 1.4 ˆ =900; A nằm trong góc xOy; A và B đối xứng nhau qua Bài 54 trang 96/sgk Toán 8: Cho xOy Ox; A và C đối xứng nhau qua Oy. Chứng minh rằng B và C đối xứng nhau qua O Phân tích tìm lời giải: - GV: Để chứng minh B và C đối xứng qua O ta cần chứng minh điều gì ? (OB= OC; O  BC) - Ở đây ta chỉ xét chứng minh OB =OC. - H: Để chứng minh OB = OC ta cần chứng minh điều gì ? ( chứng minh hai tam giác bằng nhau dài) o ( Yếu tố trung gian được đặt ra ở đây là đoạn thẳng OA) o GV gợi ý yếu tố phụ cần kẻ ở đây là đoạn thẳng OA Lời giải: Ta có C và A đối xứng nhau qua Oy � Oy là đường trung trực của AC � OC = OA (1) y E C Ta có B và A đối xứng nhau qua Ox A 1 2 � Ox là đường trung trực của AB � OB = OA (2) O Từ (1)&(2) � OB = OC K 3 4 Chứng minh tiếp tục để được O là trung điểm BC x B Bài tập 1.5 Bài tập 4/Đề thi tuyển 10 – Quảng Nam (2010 – 2011) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc AB. Gọi K là điểm nằm giữa B và C. Tia AK cắt đường tròn (O) ở M. a/ Tính � ACB , � AMC b/ Vẽ CI vuông góc với AM ( I  AM ). Chứng minh AOIC là tứ giác nội tiếp. C c/ Chứng minh hệ thức: AI.AK = AO.AB � d/ Nếu K là trung điểm CB. Tính tg MAB Phân tích tìm lời giải: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 D A M I O K B Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 - Ở đây ta chỉ xét câu b và câu c - H: Để chứng minh tứ giác AOIC nội tiếp ta cần chứng minh điều gì? Cách 1: A, O, I, C cùng cách đều một điểm cho trước ( yếu tố trung gian là điểm D, DA  DO  DI  DC  1 AC ) 2 Cách 2: Sử dụng quỹ tích cung chứa góc. Lời giải: Cách 1: Gọi D là trung điểm AC. 1 AC (1) 2 1 AOC vuông tại O nên DO  DA  DC  AC (2) 2 AIC vuông tại I nên DI  DA  DC  Từ (1) & (2) => A, O, I, C cùng thuộc đường tròn (D) đường kính AC Suy ra: AOIC nội tiếp Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh AI.AK = AO.AB ta thực hiện như thế nào? - H: Nhận định gì về tích AI.AK =? Và AO.AB =? ( Yếu tố trung gian ở đây là AC2 ) Lời giải: Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao cho ACK vuông tại C, đường cao CI ta có: AI.AK = AC2 (1) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao cho ACB vuông tại C, đường cao CO ta có: AO.AB = AC2 (2) Từ (1) & ( 2) => AI.AK = AO.AB Dạng 2: Chứng minh các đoạn thẳng gấp đôi. Bài tập 2.1 Định lý đường trung bình của tam giác : Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Cách 1: Phân tích tìm lời giải: - Với yêu cầu đó, ta có thể tìm đoạn thẳng nào bằng BC được không ? - Ta có thể tăng gấp đôi đoạn thẳng DE để bằng đoạn thẳng BC được không ? ( Xác định điểm trung gian F ) A - Để chứng minh DF // BC; DF = BC ta cần chứng minh điều gì? ( BD // CF; BD = CF) E F D - Cm:  ADE =  CFE. Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 B C Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 Lời giải: - Trên tia DE xác định điểm F sao cho ED = EF. -  ADE =  CFE (c – g – c ) - => CF = AD và chứng minh được CF // AD. - Mà D  AB => BD // CF; BD = CF - => DF // BC; DF = BC 1 2 - Từ đó suy ra: DE // BC; DE = BC Cách 2: Phân tích tìm lời giải: - Củng với yêu cầu trên ta có thể khai thác theo khía cạnh làm giảm. ( Định lý 1 đã học trước) - Với yêu cầu đó, ta có thể tìm đoạn thẳng nào bằng DE được không ? - Ta có thể đoạn thẳng BC bằng đoạn thẳng DE được không ? ( Kẻ EF//AB; xác định điểm trung gian F ) - Để chứng minh EF // BD; EF = BD ta cần chứng minh điều gì? ( DE // BF; DE = BF) - Vậy với DE = FC ta cần chứng minh điều gì? ( hai tam giác chứa hai cạnh bằng nhau) - Cm:  ADE =  EFC. Lời giải: A Kẻ EF//AB (F  BC) Ta cm:  ADE =  EFC => EF = AD = BD; DE = FC (1) E D Do đó EF // BD; EF = BD =>DE // BF; DE = BF (2) Từ (1)&(2) => DE // BC; DE = 1/2BC B C F Bài tập 2.2: Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và BCKF. Chứng minh rằng trung tuyến BM của tam giác ABC bằng nửa đoạn thẳng DF. Phân tích tìm lời giải: F - Với yêu cầu như vậy ta có hai hướng giải quyết D o Thứ nhất: Ta có thể tăng BM gấp đôi. o Thứ hai: Ta có thể giảm DF về một nửa. - Cách thứ nhất: Ta có thể tăng BM gấp đôi. B K E A M C - Giáo viên gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM ( sử dụng yếu tố phụ ở đây là điểm N) - Khi đó ta thử tìm cách chứng minh BN = DF. ( sử dụng đoạn thẳng trung gian ở đây là BN) Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 - Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm). - Hình bình hành ABCN và chứng minh được cặp tam giác bằng nhau. BDF = CNB (c.g.c) - Từ đó sẽ cho ta lời giải BN = DF hay BM = 1 DF. 2 Lời giải: Lấy N đối xứng với B qua N. - Tứ giác ABNC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ) 0 � � - Từ đó suy ra NC = AB và ABC+BCN=180 . F � + DBF � = 3600 - (90o + 90o ) = 1800 - Mà AB = BD (cạnh hình vuông) và ABC D � = BCN � . nên BD = NC và DBF B - Hai BDF = CNB (c – g – c) K E A - Vậy DF = BN hay DF = 2BM C M *Cách thứ hai: Ta có thể giảm DF về một nửa. N GV: Đoạn thẳng nào bằng nửa đoạn thẳng DF ? ( Đường trung bình của BDF) GV gợi ý vẽ đoạn thẳng HK ( yếu tố trung gian là đoạn thẳng HK) 1 2 Vậy để chứng minh DF = 2BM ta cần chứng minh điều gì ? ( DF = BM hay HK = BM) Chứng minh HK = BM ta cần chứng minh điều gì ? ( BHK = PMB ) (yếu tố phụ ở đây là điểm P) F Lời giải: Gọi H là trung điểm BD; K là trung điểm BF. D => HK là đường trung bình BDF => HK = DF/2 (1) H Chứng minh: BHK = PMB ( c – g – c) = > BM = HK (2) Từ (1) & (2) => DF = 2BM  E K B  A M K P C Bài tập 2.3: Cho  ABC, các đường cao BD (DAC), CE (EAB). CMR: B,C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn ta phải làm gì? ( Tìm tâm đường tròn và bán kính) - H: Điểm nào có thể cách đều các điểm đó. ( GV gợi ý: điểm nào cách đều B và C ) - Xác định được yếu tố phụ là điểm O, OD, OE. ( O là trung điểm của BC ) Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 1 2 - GV: Hãy xác định các đoạn thẳng bằng nhau? ( OD = OE = OB = OC = BC ) Lời giải: A D - Gọi O là trung điểm BC. E 1 2 - BDC vuông tại D, OB = OC => OD = BC (1) B C O 1 2 - BEC vuông tại E, OB = OC => OE = BC (2) 1 BC ). 2 2 �D �  900 . CMR: A, B,C, D cùng thuộc một đường tròn. Bài tập 2.4: Cho tứ giác ABCD, có B Từ (1) & (2) => OD = OE = OB = OC = BC => B,C, D, E cùng thuộc đường tròn (O; B A C O D Tương tự bài tập 2.3 ta xác định được yếu tố phụ là điểm O, OD, OB. ( O là trung điểm của AC) Dạng 3: Chứng minh các các góc bằng nhau. ( Hai đại lượng bằng nhau) Bài tập 3.1 Bài tập 28/79 sgkToán 9: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tai A của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P. Tia PB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O). Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh hai đường thẳng AQ // Px ta cần chứng minh điều gì? - Sử dụng các dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng song song? A � ) (� AQB = xPB Q - H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu? O O' B 1 � = 1 sđ PB � ) ( � AQB = sđ � AB ; xPB 2 P x 2 - H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian nào? Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 � ; sử dụng yếu tố phụ là đoạn thẳng AB) ( Yếu tố trung gian ở đây là: PAB Lời giải: Nối AB Xét (O) ta có: 1 � = PAB � = sđ PB � (1) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung PB) xPB 2 Xét (O’) ta có: 1 � � = sđ � (2) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung AB) AQB = PAB 2 AB � => AQ //Px ( Vì hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau) Từ (1) & (2) => � AQB = xPB Bài tập 3.2 Bài tập 27/79 sgk Toán 9: Cho hai đường tròn (O) đường kính A B. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao P điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O). T � = PBT � Chứng minh: APO Phân tích tìm lời giải: A O B � = PBT � ta cần chứng minh điều gì ? - H: Để chứng minh: APO - H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu? 1 � =? PBT � = sđ PB � ) ( APO 2 - H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian nào? � ; sử dụng yếu tố phụ là đoạn thẳng OP) ( Yếu tố trung gian ở đây là: PAB Lời giải: � = OAP � (1) OAP cân (OA = OP; bán kính) => APO Xét (O) ta có: � = PBT � = PAB 1 sđ � (2) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn cung PB) 2 PB � = PBT � Từ (1) & (2) => APO Dạng 4: Chứng minh hai góc bằng nhau ( Góc này gấp đôi góc kia) Bài tập 4.1: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 Bài tập 16/76 Sbt Toán 9 Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt CD tại S. � = 2.MBA � Chứng minh rằng: MSD A M S D O C B Phân tích tìm lời giải: � = 2.MBA � - H: Để chứng minh: MSD ta cần chứng minh điều gì ? - H: Hãy xác định khái niệm và tính chất các góc đã nêu? ( Bài này chỉ sử dụng góc nội tiếp và góc ở tâm) � =? ( � 2.MBA AOM ) H: Hai góc này có thể bằng nhau được không? Sử dụng đại lượng trung gian nào? ( Yếu tố trung gian ở đây là: � AOM ) Lời giải: � = AOM � Xét (O) ta có: 2.MBA ( hệ quả góc nội tiếp) � = MSD � AOM �OS ) (cùng phụ M � = 2.MBA � => MSD Dạng 5: Quan hệ giữa các góc trong hình học (Sử dụng góc ngoài tam giác) Bài tập 5.1 Cho  ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán � � � . kính OA. Chứng minh OAH = ACB - ABC Phân tích tìm lời giải: � � � - H: Để chứng minh: OAH = ACB - ABC ta cần xét khái niệm các góc trên? � có đặc điểm như thế nào? Có thể quan hệ với góc nào? - H: Vậy ABC A - GV hướng dẫn kẻ phụ đoạn thẳng OI  AC (I AC) I � = ABC � + OAH � ta cần chứng minh điều gì? � M  OAH �  AOI � ) O ( ACB - Từ yêu cầu bài toán ta có: ACB Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 B H C Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 �  AOI �  ? ( sử dụng yếu tố trung gian là OMH � ) - Mà OAH Cách giải 1: Lời giải: � � Ta có: OMH = ACB (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc) 1 � � = ABC � (cùng bằng sđ AC ) AOM 2 � = AOM � + OAH � Trong OAM thì: OMH (Góc ngoài tam giác) � = ABC � + OAH � Hay ACB A � = ACB � - ABC � Vậy: OAH (Đpcm) O B H C D Phân tích tìm lời giải: � � � - H: Để chứng minh: OAH = ACB - ABC ta cần xét khái niệm các góc trên? � có đặc điểm như thế nào? Có thể quan hệ với góc nào? ( CAD � ) - H: Vậy ABC - GV hướng dẫn kẻ phụ tia tiếp tuyến AD (D BC) � = ABC � + OAH � ta cần chứng minh điều gì? ( ACB �  OAH �  CAD � - Từ yêu cầu bài toán ta có: ACB ) � =? CAD �  CDA � ( sử dụng yếu tố trung gian là CAD �  CDA � ) - Mà ACB Cách giải 2: Lời giải: � � � ) Ta có: ABC (1) (Cùng chắn AC = CAD � = ADC � (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc) OAH Cộng từng vế của (1) và (2) � + OAH � = CAD � + ADC � Ta được: ABC � + ADC � = ACB � Mà CAD (góc ngoài tam giác) � + OAH � = ACB �  ABC � = ACB � - ABC � Vậy: OAH (Đpcm) Dạng 6: Chứng minh dựa vào quan hệ đại lượng trung gian. Bài tập 6.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh OA vuông góc EF. Phân tích tìm lời giải: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 - H: Để chứng minh OA  EF ta cần chứng minh điều gì? - H: Đoạn thẳng OA có thể vuông góc với đoạn thẳng nào? ( GV hướng dẫn kẻ phụ thêm tia tiếp tuyến Ax ) � � - H: Như vậy ta cần chứng minh điều gì? ( EF // Ax; xAE AEF ) � � - H: Hai góc xAE AEF như thế nào? Sử dụng phương pháp nào? ( Sử dụng yếu tố trung gian � ACB ) Lời giải: A x F Kẻ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) � � Xét (O) có: xAB ACB (cùng chắn cung AB) �EF ) Xét đường tròn đường kính BC có: � AEF  � ACB (cùng bù với B O E C B � � => xAB AEF => Ax // EF ( Vì hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau) Mà OA  Ax ( Ax là tiếp tuyến của (O) Suy ra : OA  EF. Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh OA  EF ta cần chứng minh điều gì? � ? - GV hướng dẫn học sinh tính tổng số đo: � AEF  OAE - H: Góc nào có thể bằng 900 ? ( GV hướng dẫn kẻ thêm đường kính AD, nối BD) - H: Quan hệ các góc cần tính với các góc có trong hình? ( Sử dụng yếu tố trung gian là � ADB ) Lời giải: A Kẻ đường kính AD của đường tròn (O) F Xét đường tròn (O) có: � ACB  � ADB (cùng chắn cung AB) �EF ) Xét đường tròn đường kính BC có: � AEF  � ACB (cùng bù với B => � AEF  � ADB Xét đường tròn (O) có: � ABD  900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) E O C B D � � �  900 => � AEF  OAE ADB  OAE Suy ra : OA  EF. Như vậy ta có thể khai thác bài toán trên theo một cách khác. Bài tập 6.2 Cho tam giác ABC. Kẻ các đường cao BF, CE ( FAC; EAB). Chứng minh OA vuông góc EF. Bài tập này chúng ta giải quyết tương tự như trên Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 Bài tập 6.3 Bài 4/ Đề thi học sinh giỏi Toán 8 (2008 – 2009) Cho hình vuông ABCD. M là trung điểm AD. BM cắt đường chéo AC tại H. Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt đường chéo BD tại N. a/ Chứng minh HN  CD b/ Tính tỉ số: DN AC A M B EH O N D C Phân tích tìm lời giải: Ở đây ta chỉ xét câu a - H: Để chứng minh HN  DC ta cần chứng minh điều gì? - H: Quan hệ các đường thẳng ta xét như thế nào? ( DC // AB) - H: Theo yêu cầu bài toán ta cần chứng minh điều gì? ( Sử dụng yếu tố trung gian là AB ) - H: Nhận định gì về điểm H trong tam giác ABN ( H là trực tâm) Lời giải: Ta chứng minh H là trực tâm tam giác ABN => NH  AB Mà AB // CD Suy ra : HN  CD. Dạng 7: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào hai tỉ lệ cùng mẫu hay mẫu bằng nhau Bài tập 7.1: Cho hình thang ABCD ( AB// CD). Gọi O là giao điểm AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng song song AB, cắt AD tại M, cắt AC tại N. CMR: OM = ON A B M N O C D Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta cần phải chứng minh điều gì ? Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 GV gợi ý: Lời giải: Xét ADC có OM //DC, theo hệ quả định lý Talet ta có: OM OA = (1) DC AC Xét BDC có ON //DC, theo hệ quả định lý Talet ta có: ON OB = (2) DC BD Mà AB//CD, theo định lý Talet ta có: Từ (1); (2) & (3) => OA OB = (3) AC BD OM ON = => OM = ON ( Đpcm) DC DC Bài tập 7.2: Bài 5 ( HSG khối 8/ 2008 – 2009) Cho góc nhọn xOy. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy 1 2 lấy điểm B sao cho OA  OB . Hạ AH  Oy, BK  Ox ( H  Oy, K  Ox ). Tia phân giác Ot của góc xOy cắt BK tại P. Đường thẳng vuông góc với OP tại O cắt đường thẳng AH tại C. Đường thẳng HK cắt OC tại Q. Chứng minh: x b/ HQ = HK K Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh HQ = HK ta cần chứng minh điều gì? A t P O z H B Q C Lời giải: � và OC  Ot nên OC là phân giác � Ta có Ot là phân giác xOy yOz => OQ là phân giác � yOz Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác OHK ta có: Lại có OHA  OKB (g – g) nên : OH OA 1   OK OB 2 Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 (2) QH OH  QK OK (1) y Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 Từ (1) & (2) => QH 1  nên suy ra H là trung điểm QK hay HQ = HK QK 2 Dạng 8: Chứng minh hai tỉ lệ bằng nhau dựa vào tỉ lệ trung gian Bài tâp 8.1: Cho  ABC, kẻ các đường phân giác trong tại A cắt BC tại D, kẻ các đường phân giác ngoài tại A cắt BC tại E. CMR: A C D DB EB  DC EC x B E - H: Để chứng minh hai tỉ lệ: DB EB  bằng nhau ta cần chứng minh điều gì? DC EC - GV gợi ý: Bài tập 8.2: Bài 5 ( HSG khối 8/ 2008 – 2009) Cho góc nhọn xOy. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy 1 2 lấy điểm B sao cho OA  OB . Hạ AH  Oy, BK  Ox ( H  Oy, K  Ox ). Tia phân giác Ot của góc xOy cắt BK tại P. Đường thẳng vuông góc với OP tại O cắt đường thẳng AH tại C. x Đường thẳng HK cắt OC tại Q. Chứng minh: K PK CH  a/ PB CA A - PK CH  H: Để ta cần chứng minh điều gì? PB CA t P O Phân tích tìm lời giải: z H B Q C Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 y Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 Lời giải: � , theo tính chất tia phân giác ta có: PK  OK Xét OKB có Ot là phân giác xOy PB (1) OB � và OC  Ot nên OC là phân giác � Ta có Ot là phân giác xOy yOz CH OH  Xét OHA có OC là phân giác � yOz , theo tính chất tia phân giác ta có: CA Lại có OKB  OHA (g – g) nên : Từ (1), (2) & (3) => OK OB OK OH   => OH OA OB OA (2) OA (3) PK CH  PB CA Việc tìm hiểu nhiều cách giải khau nhau cho một bài toán có vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thông minh và óc sáng tạo cho học sinh. Sở dĩ như vậy là vì trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác nhau của bài toán học sinh sẽ có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác nhau của bài toán, do đó sẽ hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Đồng thời, việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các cách giải đó, chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm để giải toán. Ngoài ra, với một bài toán khó chưa biết cách giải, nếu học sinh được biết rằng dù khó như vậy nhưng bài toán vẫn có nhiều cách giải khác nhau thì các em sẽ cố gắng tìm lời giải hơn; tức là tính tò mò, ham hiểu biết được khơi dậy trong học sinh. V. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Trong quá trình dạy học hình học, tôi đã áp dụng đề tài này không chỉ để dạy và bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho cả học sinh đại trà. Đặc biệt là đối với học sinh lớp 8, 9 các bài toán chứng minh đòi hỏi tư duy cao. Do đó, lúc đầu nhiều em còn rất “ngại” học hình nói chung và rất “sợ” các bài toán chứng minh. Hầu như học sinh chỉ có ý thức làm bài tìm một lời giải và dừng lại không suy nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán, thỏa mãn với chính mình. Các em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn lại bài toán dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác sẽ củng cố được kiến thức của mình, rèn cho mình được thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên trì, độc lập – những đức tính tốt và cần thiết của người học toán. Song, qua một thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài và dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khá thành thạo khi làm một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó. Quan trọng hơn, các em không còn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ nữa. Do đó, trong học toán nói chung và học hình học nói riêng các em đã nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát hiện thể hiện sự tìm tòi, sáng tạo bước đầu rất tích cực. Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 Thực tế, tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho khối 8, 9 nhiều năm học liền gần đây thì kết quả cho thấy học sinh đều có ý thức thi đua nhau học tập, rất hào hứng phát biểu các suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện của mình về cách giải khác, bài toán mới, . . .. Và tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em được phát huy một cách tích cực; kết quả học tập môn toán, nhất là hình học có nhiều tiến bộ. Các em không những nắm vững kiến thức trong SGK, các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán nâng cao, các bài toán khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai thác, phát triển các bài toán cho trước. Cụ thể : MINH CHỨNG KẾT QUẢ HSG KHỐI 8 HAI NĂM QUA MINH CHỨNG KẾT QUẢ HAI KHỐI 8, 9 MINH CHỨNG KÌ THI TUYỂN 10 VI. NHỮNG KIẾN NGHỊ KHI ÁP DỤNG: - Với đối tượng học sinh trung bình trở xuống khả năng lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm nên sự chuyển tải kiến thức rất khó khăn, nhất là dạng toán chứng minh hình học, sử dụng yếu tố phụ học sinh . Do vậy cần có thời gian và phải vận dụng linh hoạt, thường xuyên, kiên trì và cần có nhiều tài liệu tham khảo liên quan. - Muốn dạy học sinh biết cách “Khai thác từ kết quả một bài toán”, bản thân GV phải thường xuyên thực hiện điều đó, liên tục tự tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo và đặc biệt là qua các trang Web có liên quan...; GV cần có sự chủ động, có kế hoạch trong từng ngày, từng giờ lên lớp. - Việc khai thác, phát triển từ bài toán quen thuộc đã biết, giúp cho học sinh định hướng tìm ra lời giải một bài toán hình học là một vấn đề rất quan trọng và không thể thiếu được trong công tác dạy học toán nói chung và dạy học hình học nói riêng. Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trong các trường học là một phong trào có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biệt là trong xu thế thời đại đang rất cần sự sáng tạo, chủ động, tích cực trên mọi lĩnh vực công tác hiện nay. Vì vậy, tôi mạnh dạn và mong muốn Phòng giáo dục đào tạo và cấp trên duy trì phong trào này, khích lệ động viên các tập thể, cá nhân có những sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức phổ biến, trao đổi về các sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên. PHẦN THỨ BA. Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9 KẾT LUẬN: Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh khi học môn Toán - nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận thấy: - Các giáo viên giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác, phát triển từ một bài toán mà học sinh đã giải được. Mở rộng, phát triển thêm các bài toán khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học. - Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích. Nó không chỉ giúp chúng ta nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá một bài toán, từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các em học sinh, giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học, tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn. Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài "Sử dụng yếu tố phụ trong chứng minh hình học khối 8, 9”. Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn đề này. Đồng thời, tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo thói quen tốt cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng tạo khi học toán, tự thấy được sự phong phú, thú vị của toán học. Các em đã ham thích hơn với môn toán. Mặc dù vậy, với khuôn khổ của đề tài này thì đây cũng chưa phải cho tất cả các đối tượng học sinh và đây cũng chỉ là ý kiến của riêng cá nhân tôi là chính. Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết. Tôi rất mong được sự trao đổi, chỉ bảo và đóng góp ý kiến bổ sung của các thầy giáo, cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn !. TÀI LIỆU THAM KHẢO: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895