Tài liệu Skkn sử dụng hệ thức vi et trong giải toán

Bïi ThÞ Thuý Nga I ) Lý do chän ®Ò tµi Tõ bµi to¸n ®¬n gi¶n kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh tæng vµ tÝch 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc 2 , häc sinh cã ph¬ng tiÖn lµ hÖ thøc Vi – Ðt ®Ó tÝnh to¸n . HÖ thøc cßn gióp häc sinh xÐt dÊu 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mµ khong biÕt cô thÓ mçi nghiÖm lµ bao nhiªu . Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh bËc 2 cã chøa tham sè lµ lo¹i to¸n khã . TiÕp tôc bµi to¸n nµy thêng kÌm theo yªu cÇu tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc , quan hÖ gi÷a 2 nghiÖm , c¸c phÐp tÝnh trªn 2 nghiÖm ... cña ph¬ng tr×nh . ViÖc tÝnh mçi nghiÖm cña ph¬ng tr×nh theo c«ng thøc nghiÖm lµ v« cïng khã kh¨n v× ph¬ng tr×nh ®ang chøa tham sè . Trong trêng hîp ®ã hÖ thøc Vi – Ðt lµ 1 ph¬ng tiÖn hiÖu qu¶ gióp häc sinh gi¶i lo¹i to¸n nµy . Cuèi häc kú 2 líp 9 , thêi gian gÊp rót cho «n thi häc kú 2 vµ c¸c kú thi cuèi cÊp . C¸c bµi to¸n cÇn ¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt ®a d¹ng cã mÆt trong nhiÒu kú thi quan träng nh thi häc kú 2, thi tuyÓn sinh vµo líp 10 , thi vµo c¸c trêng chuyªn líp chän ...Trong bµi viÕt nµy , t«i hy väng ®ãng gãp thªm 1 sè kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh lµm quen vµ tiÕn tíi giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét II ) Néi dung ®Ò tµi A) KiÕn thøc c¬ b¶n : 1) NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a � 0 ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 th× tæng vµ tÝch hai nghiÖm ®ã lµ: S = x1  x2   c b vµ P = x1.x2  a a 2 ) TÝnh nhÈm nghiÖm a ) NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a � 0 ) cã c¸c nghiÖm sè c a b ) NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a � 0 ) cã c¸c nghiÖm sè lµ x1  1, x2  lµ x1  1, x2   c a 3 ) T×m 2 sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng NÕu 2 sè u vµ v cã tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P th× u vµ v lµ 2 nghiÖm cña ph 1 Bïi ThÞ Thuý Nga ¬ng tr×nh bËc hai : x 2  Sx  P  0 B ) Bµi tËp ¸p dông vµ bµi tËp ph¸t triÓn , n©ng cao 1 ) Lo¹i to¸n xÐt dÊu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mµ kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh Bµi tËp 1: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho biÕt dÊu c¸c nghiÖm ? a) x 2  13 x  40  0 b) 5 x 2  7 x  1  0 c) 3 x 2  5 x  1  0 Gi¶i a) Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã S = x1  x2   P = x1.x2  b  13 a c  40 a V× P > 0 nªn 2 nghiÖm x 1 vµ x 2 cïng dÊu S > 0 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu d¬ng c a 1 5 b) Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã P = x1.x2    0 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu S = x1  x2  c) P = x1.x2  b 7   0 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu ©m a 5 c 1   0 nªn 2 nghiÖm tr¸i dÊu a 3 b a 5 3 S = x1  x2      0 Bµi tËp 2 : Cho ph¬ng tr×nh x 2  10 x  m 2  0 (1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi gi¸ trÞ cña m � 0 . NghiÖm mang dÊu nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n ? Gi¶i Ta cã a = 1 > 0 , c = - m 2 < 0 víi mäi m � 0 V× a , c tr¸i dÊu nªn ph¬ng tr×nh (1) lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt . Theo hÖ thøc Vi - Ðt : P = x1 , x2  m 2 < 0 . Do ®ã x1 vµ x2 tr¸i dÊu S = x1  x2  10 nªn nghiÖm d¬ng cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n 2 Bïi ThÞ Thuý Nga Bµi tËp 3: (§Ò TS chuyªn H¹ Long 1999 – 2000) (3®) Cho ph¬ng tr×nh x 2  ( m  1) x  m 2  m  2  0 (1) (víi m lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn víi m = 2 b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu  m c) Gäi 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ x 1 , x 2 T×m m ®Ó biÓu thøc 3 3 �x � �x � A  � 1 � � 2 �®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt �x2 � �x1 � Gi¶i : a) Thay m = 2 vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc x2  x  4  0   1  4.( 4)  17  0 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1  x2  1 17 2 1 17 2 1 1 3 3� � 1 2 b)XÐt ac   m2  m  2  (m 2  m  2)  (m2  2 m   1 )   � (m  )  1 � 2 4 4 4� � 2 2 2 1� 3 � 1� 3 Cã � m� ��  m ��  1 � 1 P � � 0 � 4 � 2� � 2� 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu m 1 3 4 P 0 m c) Gäi 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ x 1 , x 2 Tõ kÕt qu¶ phÇn b cã x 1 , x 2 � 0 , biÓu thøc A ®îc x¸c ®Þnh víi mäi x 1 , x 2 tÝnh theo m vµ ( §Æt ( x1 3 x )  0; ( 2 )  0 x2 x1 x1 3 )   a Víi a > 0 x2 Cã A = -a + 1 a �( x2 3 1 )  x1 a mang gi¸ trÞ ©m A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt <=> - A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt 2 Cã – A = a + 1  a  1 a a 3 Bïi ThÞ Thuý Nga Theo bÊt ®¼ng thøc C« si ¸p dông cho hai sè kh«ng ©m a vµ 1 1 ( v× a > 0 vµ  0 ) a a 1 1 ) : 2 � a. a a Cã � ( a  1 ) : 2 �1 a 1 � a �2 a (a  VËy – A �2 nªn – A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 <=> A �2 nªn A cã GTLN lµ - 2 * A  2 �  a  1  2 a 1  2 a �  a.a  1  2 a � a  �  a 2  2a  1  0 � a 2  2a  1  0 � ( a  1) 2  0 � a 1 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a > 0 )  Víi a = 1 th× ( x1 3 x )  1 � 1  1 � x1   x2 x2 x2  Theo kÕt qu¶ x1   x2 cã S  x1  x2   x2  x2  0  b a � (m  1)  0 � m 1  0 � m 1 * KÕt luËn : Víi m = 1 th× biÓu thøc A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ - 2 2) Lo¹i to¸n tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc chøa tæng, tÝch 2 nghiÖm Bµi tËp 4: Cho ph¬ng tr×nh : x 2  (m  1) x  m 2  m  2  0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m b) Gäi 2 nghiÖm lµ x 1 vµ x 2 t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x12  x22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Gi¶i: 4 Bïi ThÞ Thuý Nga a ) Ta cã a = 1 > 0 c   m 2  m  2   (m 2  m  2) 1 7  (m 2  m   ) 4 4 1 7 7  (m  ) 2  � 0 2 4 4 a, c tr¸i dÊu nªn ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi tham sè m P = x1.x2  Theo hÖ thøc Vi Ðt c  m 2  m  2  0 do ®ã 2 nghiÖm tr¸i dÊu a b) Ta cã x12  x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  (m  1) 2  2(m 2  m  2) = m 2  2m  1  2m 2  2m  4  3m 2  4m  5 5� 2 4 11 �2 4  3� m  m  � 3(m 2  2m   ) 3 3� 3 9 9 � 2 11 11  3(m  ) 2  � 3 3 3 VËy Min  x12  x22   2 11 khi m = 3 3 Bµi tËp 5: Cho ph¬ng tr×nh 2 x 2  ( m  2) x  7  m2  0 T×m gi¸ trÞ d¬ng cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nghÞch ®¶o cña nghiÖm kia Gi¶i : Ta cã a = 2 > 0 Phong tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu � 7  m2  0 �  7  m  7 Víi ®iÒu kiÖn nµy gi¶ sö x 1 < 0 ,x 2 > 0 theo ®Ò ra ta cã x1  1 7  m 2 �  x1 x2  1 � ( )  1 � 7  m2  2 � m2  5 � m  � 5 x2 2 V× m > 0 nªn ta chän m= 5 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn  7  m  7 ) 5 Bïi ThÞ Thuý Nga KÕt luËn : VËy víi m = 5 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng ngÞch ®¶o cña nghiÖm kia . Bµi tËp 6 : ( §Ò tuyÓn sinh líp 10 n¨m 2006 – 2007 ) (2 ®) XÐt ph¬ng tr×nh : x 4  2(m 2  2)  5m 2  3  0 (1) víi m lµ tham sè 1) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã 4 nghiÖm ph©n biÖt 2) Gäi c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ x1 , x2 , x3 , x4 . H·y tÝnh theo m gi¸ trÞ cña biÓu thøc M = 1) §Æt x 2 = y 1 1 1 1  2  2  2 2 x1 x2 x3 x4 Gi¶i : ( §K : y �0 ) Pt (1) trë thµnh y 2  2( m 2  2) y  5m 2  3  0 (2) 2 2 ,  � (m 2  2) � � � (5m  3)  ( m 2  2) 2  (5m 2  3)  m 4  4 m 2  4  5m 2  3  m4  m2  1 1 1 3   2 4 4 1 3  (m2  ) 2  2 4  (m 2 ) 2  2m 2 . 1 2 1 3 3 ) �0 � ( m 2  ) 2  � 2 2 4 4 Ph¬ng tr×nh (2) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã Cã ( m 2  nªn  , �0 b 2( m 2  2) S  y1  y2    2(m 2  2) a 1 P  y1. y2  c  5m 2  3 a 6 Bïi ThÞ Thuý Nga XÐt P  5m 2  3 cã m 2 �۳� 0 5� m2 nªn P > 0 víi mäi m � Z 0 5m 2 3 3 � y1 , y2 cïng dÊu XÐt S  y1  y2  b  2(m 2  2) . a V× m 2 �0 � m 2  2 �2 � 2( m 2  2) �4 nªn S > 0 � y1 , y2 cïng dÊu d¬ng (tho¶ m·n §K y �0) VËy ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu d¬ng nªn ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt ®èi nhau tõng ®«i mét . 2) Theo kÕt qu¶ phÇn a cã x1 , x2 , x3 , x4 �0 vµ x1  x3  M y1 , x2   y1 y2 , x4   y2 1 1 1 1    ( y1 ) 2 (  y1 ) 2 ( y2 ) 2 (  y2 ) 2  1 1 1 1    y1 y1 y2 y2  2 2  y1 y2  2 y1  2 y2 y1. y2  2( y1  y2 ) y1. y2 Thay kÕt qu¶ S vµ P vµo M ta ®îc 2.2(m 2  2) 4( m 2  2) M   5m 2  3 5m 2  3 2 KÕt luËn: M  4(m  2) 2 5m  3 Bµi tËp 7: (§Ò tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 ®) Cho ph¬ng tr×nh x 2  2( m  1) x  m  0 ( mlµ tham sè) 7 Bïi ThÞ Thuý Nga a) Chøng minh : Ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) Trong trêng hîp m > 0 vµ x1 , x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nãi trªn h·y t×m GTLN cña biÓu thøc x12  x2 2  3( x1  x2 )  6 A x1 x2 Gi¶i: a)  ,   (m  1)   m 2  ( m  1) 2  m  m 2  2m  1  m  m2  m  1 1 1 3  m 2  2. .m   2 4 4  (m  1 2 3 )  2 4 1 1 3 3 V× (m  ) 2 �0 nªn (m  ) 2  � 2 2 4 4  ,  0m �Z � Ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ m x12  x2 2  3( x1  x2 )  6 b) A  x1 x2 Theo kÕt qu¶ phÇn a ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt ta cã S = x1  x2  b  2m  2 a P = x1.x2  c m a V× P = m > 0 nªn x2 , x2 �0 biÓu thøc A ®îc x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ x1 , x2 x1 , x2 tÝnh theo m x12  2 x1 x2  x22  2 x1 x2  3( x1  x2 )  6 A x1.x2 8 Bïi ThÞ Thuý Nga ( x1  x2 ) 2  2 x1.x2  3( x1  x2 )  6 = x1 x2 Thay S vµ P vµo biÓu thøc A ta ®îc : (2m  2) 2  2m  3(2m  2)  6 A m 2 4m  8m  4  2m  3(2m  2)  6  m 4m 2  4 m2  1 m2 1   4( )  4(  ) m m m m 1  4(m  ) m Theo bÊt d¼ng thøc C« Si v× ( m  1 1 ) : 2 � m. m m ( do m > 0vµ 1  0) m 1 �2. 1 m 1 � m  �2 m 1 � 4( m  ) �8 m VËy biÓu thøc A cã GTNN lµ 8 � m Trong bÊt ®¼ng thøc C« Si dÊu b»ng x¶y ra � m = 1 m � m2  1 � m  �1 Víi m = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m > 0 m = -1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m > 0 VËy víi m = 1 th× A cã GTNN b»ng 8 Bµi tËp 8 : ( ®Ò TS chuyªn H¹ Long 2005 - 2006 ) XÐt phu¬ng tr×nh mx 2 + (2m -1) x + m -2 = 0 (1) (2 ®) víi m lµ tham sè a ) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x 1 , x 2 tho¶ m·n x12  x22  x1 x2  4 b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè h÷u tØ Gi¶i 9 Bïi ThÞ Thuý Nga m �0 � a ) §iÒu kiÖn ®Ó m cã 2 nghiÖm �  �0 � XÐt   (2m  1) 2  4m(m  2) 4 m 2  4 m  1  4 m 2  8m  4m  1 �� 0 �۳ 4m 1 0 m 1 4 1 4 VËy ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ m �0 vµ m � Víi ®iÒu kiÖn trªn theo hÖ thøc Vi Ðt cã S  x1  x2  P  x1.x2  Gäi b 1  2m  a m c m2  a m A  x12  x22  x1 x2  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  x1 x2  ( x1  x2 )2  3 x1 x2 �m �0 � ¸p dông hÖ thøc Vi Ðt cã A = 4 ( §K � 1 ) m� � � 4 �( 1  2m 2 m2 ) 3 4 m m 1  4m  4m 2 3m  6  4 m2 m � 1  4m  4m 2  3m 2  6m  4m 2 � � 3m 2  2m  1  0 � 3m2  2m  1  0 Cã a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m 1 = 1 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m �0 vµ m 1 � ) 4 m2 = 1 1 ( kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m �0 vµ m � ) 3 4 10 Bïi ThÞ Thuý Nga VËy víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x12  x22  x1 x2  4 c) Gäi n �N * ta cã m = n( n + 1 ) lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp ( TM§K m � 0 ) d) Theo kÕt qu¶ phÇn a ta cã   4m  1  4n( n  1)  1  4 n 2  4n  1  (2n  1) 2  �0 vËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m   2n  1  2n  1 ( do n > 0 ) x1   1  2m   1  2 n( n  1)  2 n  1 1  2 n 2  2 n  2n  1   2m 2n( n  1) 2n(2 n  1) 2  2n 2 2(1  n 2 ) 2(1  n)(1  n) 1  n    2n(n  1) 2n(n  1) 2n(n  1) n 1  2n   1  2n(n  1)  2n  1 1  2n 2  2n  2n  1 x2    2m 2n(n  1) 2n(n  1) 2n 2  4n 2n(n  2) n2    2n(n  1) 2n( n  1) n 1 V× n �N * nªn 1- n �Z vµ n �N * => x1  tö n +2 �N * vµ n +1 �N * => x2   1 n lµ ph©n sè �Q n n2 lµ ph©n sè �Q n 1 KÕt luËn:Víi m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè h÷u tØ 3 ) Lo¹i to¸n t×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng Bµi tËp 9 : T×m hai sè x y biÕt a) x + y = 11 vµ xy = 28 b) x – y = 5 vµ xy = 66 Gi¶i : a ) Víi x + y = 11 vµ xy = 28 theo kÕt qu¶ hÖ thøc Vi Ðt x ,y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 - 11x + 28 = 0 11 Bïi ThÞ Thuý Nga   b 2  4ac = 121 – 112 = 9 > 0   3 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ 11  3 11  3 =4  7; x2  2 2 VËy x = 7 th× y = 4 x = 4 th× y = 7 x1  �x  y  5 �x  ( y )  5 b) Ta cã � �� �xy  6 �x (  y )  66 cã x , y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 - 5x - 66 = 0   b 2  4ac = 25 + 264 = 289 > 0 ,  = 17 5  17 5  17  11; x2   6 2 2 VËy x = 11 th× y = - 6 cßn x = - 6 th× y = 11 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ x1  Bµi tËp 10 : T×m hai sè x y biÕt x 2 + y 2 = 25 vµ xy = 12 Gi¶i : Ta cã x 2 + y 2 = 25 <=> (x + y ) 2 - 2xy = 25 <=> (x + y ) 2 - 2.12 = 25 (x + y ) 2 = 49 <=> x +y = � 7 * Trêng hîp x + y = 7 vµ xy =12 Ta cã x vµ y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 - 7x +12 = 0   b 2  4ac = 49 – 4.12 = 1 7 1 7 1  4; x2  3 2 2 * Trêng hîp x + y = - 7 vµ xy =12 Ta cã x vµ y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x1  x 2 +7x +12 = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc x 3 = -3 ; x 4 = - 4 c¸c cÆp sè x, y cÇn t×m lµ (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4) 4 ) Lo¹i to¸n t×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a tæng tÝch 2 nghiÖm kh«ng phô thuéc tham sè : Bµi tËp 11 : Cho ph¬ng tr×nh x 2 - ax + a - 1 = 0 cã 2 nghiÖm x1 , x2 12 Bïi ThÞ Thuý Nga 3 x12  3x22  3 a) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M  2 x1 x2  x22 x1 b) T×m a ®Ó tæng c¸c b×nh ph¬ng 2 nghiÖm sè ®¹t GTNN ? Gi¶i 2 2 3� ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  1� 3( x  x  1) � � 1 2 a) M   x1 x2 ( x1  x2 ) x1 x2 ( x1  x2 ) Theo hÖ thøc Vi Ðt cã S  x1  x2  a; P  x1.x2  a  1 3� a 2  2( a  1)  1� � 3  (a  1)(a  1)  2(a  1)  VËy M  � a (a  1) a (a  1) 3(a  1) 2 3(a  1) 2 3( a  1)    a(a  1) a(a  1) a b) Ta cã S  x1  x2  a (§K : a �0, a �1 ) (1) P  x1.x2  a  1 (2) Trõ 2 vÕ cña (1) cho (2) ta cã x1  x2  x1 x2  1 , ®©y lµ biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x 1 vµ x 2 kh«ng phô thuéc vµo a C) C¸c bµi tËp t¬ng tù Bµi tËp 1 : Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho biÕt dÊu c¸c nghiÖm ? a) x 2 - 6x +8 = 0 b) 11 x 2 +13x -24 =0 c) 2 x 2 - 6x + 7 = 0 Bµi tËp 2 : Chøng minh r»ng víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña k , ph¬ng tr×nh a) 7 x 2 + kx -23 = 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu b) 12 x 2 +70x + k 2 +1 = 0 kh«ng thÓ cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu c) x 2 - ( k +1)x + k = 0 cã mét nghiÖm b»ng 1 Bµi tËp 3 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh a) mx 2 - 2(m +1)x + m + 2 = 0 b) (m -1) x 2 + 3m + 2m + 1 = 0 c) (1 – 2m) x 2 + (2m +1)x -2 = 0 13 Bïi ThÞ Thuý Nga Bµi tËp 4 : Cho ph¬ng tr×nh x 2 - 2m + m - 4 = 0 a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau . TÝnh 2 nghiÖm ®ã b) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm thùc d¬ng Bµi tËp 5 : ( ®Ò TS chuyªn H¹ Long n¨m häc 2002 -2003 ) Cho ph¬ng tr×nh x 2 - mx +1 = 0 ( m lµ tham sè ) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi m = 5 (2,5 ®) b) Víi m = 5 , gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®· cho khi ®ã cã 2 nghiÖm lµ x1 , x2 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 x12  5 x1 x2  3 x22 A x1 x23  x13 x2 Híng dÉn gi¶i: a) Víi m = 5 ph¬ng tr×nh trë thµnh x 2 -5x +1 = 0  = 21 , ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1  (5  21) , x2  5  21 2 2 b)Víi m = 5 , ta cã ph¬ng tr×nh bËc hai : x 2  5 x  1  0 Theo hÖ thøc Vi Ðt : S  x1  x2  5 vµ P  x1.x2  1 3 x12  5 x1 x2  3 x22 A x1 x23  x13 x2 3( x12  2 x1 x2  x22 )  x1 x2  x1 x2 � ( x12  x22  2 x1 x2 )  2 x1 x2 � � � 3( x1  x2 ) 2  x1 x2  x1 x2 � ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 � � � Thay S vµ P vµo A ta ®îc : 14 3 Bµi tËp 6 :( ®Ò thi häc sinh giái líp 9 thÞ x· Hµ §«ng , Hµ T©y 2003 -2004) (4®) A Cho ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x : x 2  2(m  1) x  2m 2  3m  1  0 (1) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi 0 �m �1 b) Gäi x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh , chøng minh r»ng 14 Bïi ThÞ Thuý Nga 8 x1  x2  x1 x2 � 8 Híng dÉn gi¶i: a) Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm <=> ,  ( m  1) 2  (2m 2  3m  1) �0 2 �m�� m�۳ 0 m 0 hoÆc m  1 �0 m(m 1) 0 ۣۣۣ �0 m 1 c) Khi m �1 , theo hÖ thøc Vi Ðt cã S  x1  x2  2(m  1) P  x1.x2  2m 2  3m  1 � Q  x1  x2  x1.x2  2(m  1)  2m 2  3m  1  2m 2  m  1  2 m2  m 1 1 9   2 (m  ) 2  2 2 4 16 V× 0 �m �1 �  1 1 3 1 9 �m  � � (m  )2 � 4 4 4 4 16 1 9 do ®ã (m  ) 2  �0 4 16 1 � 9 1 �9 Q  2 �  (m  ) 2 �  2( m  ) 2 16 4 � 8 4 � 1 2 1 V× 2(m ۣ�� )  0 ��� 2( m  ) 2 4 4 0 9 8 2( m 1 2 ) 4 9 8 9 8 Q Bµi tËp 7 : ( ®Ò thi TS líp 10 H¶i D¬ng 2003 – 2004 ) (1®) Cho ph¬ng tr×nh : 2 x 2  5 x  1  0 TÝnh x1 x2  x2 (Víi x 1 , x 2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh) x1 Híng dÉn gi¶i: Theo ®Þnh lý Vi Ðt ta cã x1  x2  Ta cã A  x1 x2  x2 x1  5 1 ; x1 x2  � 2 2 x1 x2 ( x1  x1 x2  1 2 x2 ) NÕu S  x1  x2 � S 2  x1  x2  2 x1 x2  5  2 � S  5  2 2 2 Do ®ã A = x1 x2  x2 2 x1 15 Bïi ThÞ Thuý Nga  1 2 52 2 1  2 2 5 2 2 Bµi tËp 8 : (®Ò thi häc sinh giái líp 9 - TP Hå ChÝ Minh 2003- 2004) (4®) 2 2 a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh 2 x  2mx  m  2  0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt b) Gäi 2 nghiÖm lµ x 1 , x 2 , T×m GTNN cña biÓu thøc A  2 x1 x2  x1  x2  4 Híng dÉn gi¶i: a)  ,  m 2  2(m 2  2)   m 2  4 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm �  �0 �  m 2 �0 ۣ m2  4 � 2 �m �2 2 b)Theo ®Þnh lý Vi Ðt cã x1  x2   m; x1 x2  m  2 2 Do ®ã ta cã A  2 x1 x2  x1  x2  4  (m  2)( m  3) V× m � 2; 2 nªn (m + 2)(m - 3) �0 1 25 25 Khi ®ã A  (m  2)(3  m)  m 2  m  6  (m  ) 2  � 2 4 4 VËy GTNN cña A lµ 25 khi vµ chØ khi m = 2 4 Bµi tËp 9 : (®Ò thi TS líp 10 chuyªn to¸n THPT n¨ng khiÕu TrÇn Phó) (2,5®) 1) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh x 2  4 x  1  0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x 1 , x 2 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ x12 vµ x22 2) T×m m®Ó ph¬ng tr×nh x 2  2mx  2m  3  0 cã hai nghiÖm cïng dÊu .Khi ®ã hai nghiÖm cïng dÊu ©m hay cïng dÊu d¬ng ? Híng dÉn gi¶i: 1)  ,  4  1  0 nªn ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt S  x12  x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  42  2.1  14 P  x12 x22  ( x1 x2 ) 2  1 16 Bïi ThÞ Thuý Nga vËy ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ x 2 - 14x +1 = 0 2) Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm cïng dÊu � (m  1) 2  2 �0 �  ,  m 2  2m  3 �0 3 � �� �� 3 �m 2 x1 x2  2m  3  0 m� � � � 2 Khi ®ã x1  x2  2m  0 Suy ra ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d¬ng Bµi tËp 10 : ( §Ò tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long 2005 – 2006) XÐt ph¬ng tr×nh mx 2  (2m  1) x  m  2  0 vãi m lµ tham sè a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x 1 , x 2 tho¶ m·n x12  x22  x1 x2  4 b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm h÷u tØ III) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh Trong giê häc chÝnh kho¸ t«i lång ghÐp c¸c bµi tËp cïng lêi gi¶i mÉu, c¬ së gi¶i theo tõng ph¬ng ph¸p ®Ó häc sinh h×nh thµnh kü n¨ng gi¶i tõng lo¹i to¸n nµy . Cho häc sinh thùc hµnh bµi tËp t¬ng tù ngay t¹i líp . §Æc biÖt , trong c¸c giê luyÖn tËp , «n tËp ch¬ng gi¸o viªn tiÕp tôc cho häc sinh gi¶i c¸c bµi tËp n©ng cao , lµm thö c¸c ®Ò thi tuyÓn sinh chuyªn chän . Qua ®ã häc sinh thÊy ®îc tÇm quan träng cña lo¹i to¸n nµy , tù rÌn luyÖn t¹o kü n¨ng cho m×nh .B»ng rÌn luyÖn thùc hµnh gi¶i bµi tËp , häc sinh c¸ch gi¶i c¸c bµi tËp phøc t¹p h¬n . C¸c em ®îc n©ng cao kiÕn thøc , h×nh thµnh kü n¨ng ph¶n x¹ khi gÆp c¸c bµi to¸n t¬ng tù . IV) Ph¹m vi , ®èi tîng nghiªn cøu Häc sinh khèi líp 9 trêng THPT Hßn Gai V) Tæng kÕt vµ rót kinh nghiÖm Qua ¸p dông vÊn ®Ò nªu trªn vµo gi¶ng d¹y ë khèi líp 8 , kÕt qu¶ thu ®îc lµ häc sinh ®· h×nh thµnh , ®Þnh híng ®îc c¸ch gi¶i lo¹i to¸n nµy . B»ng ph¬ng ph¸p gîi më nªu vÊn ®Ò , c¸c c©u hái dÉn d¾t , c¸c em tù ph¸t hiÖn ra híng gi¶i cho tõng bµi tËp . Gi¸o viªn t¹o høng thó , ph¸t triÓn trÝ th«ng minh s¸ng t¹o cho häc sinh . C¸c tµi liÖutham kh¶o khi gi¶ng d¹y lo¹i to¸n cÇn ¸p dông hÖ thøc Vi Ðt 17 Bïi ThÞ Thuý Nga 1) 2) 3) 4) 5) SGK vµ s¸ch gi¸o viªn líp 9 c¶i c¸ch “ Bµi tËp n©ng cao vµ 1 sè chuyªn ®Ò to¸n 9” cña Bïi V¨n Tuyªn B¸o to¸n häc vµ tuæi th¬ 2” cña Bé Gi¸o Dôc C¸c ®Ò thi TS vµ thi chuyªn chän hµng n¨m cña c¸c tØnh trªn toµn quèc “ Bµi tËp n©ng cao §¹i sè 9” cña Vò H÷u B×nh 18 Bïi ThÞ Thuý Nga X¸c nhËn cña tæ chuyªn m«n : H¹ Long, ngµy ....th¸ng ...n¨m ....... Tæ trëng X¸c nhËn cña trêng THPT Hßn Gai : H¹ Long, ngµy ....th¸ng ...n¨m ....... 19 Bïi ThÞ Thuý Nga 20