SỞ GD & ĐT NINH BÌNH
TRƯỜNG THPT BÌNH MINH
TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
1. Đinh Hồng Chinh
Chức vụ: Giáo viên
Học vị: Cử nhân sư phạm Toán
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình
Số điện thoại: 0936850333
2. Đỗ Thị Lan
Chức vụ: Giáo viên
Học vị: Cử nhân sư phạm Toán
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình
Số điện thoại: 0919222356
3. Nguyễn Thị Lan Hương
Chức vụ: Giáo viên
Học vị: Cử nhân sư phạm Toán
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình
Số điện thoại: 01668607570
1
PHẦN MỞ ĐẦU.........................................................................................................................3
1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................................3
2. Giả thuyết khoa học.............................................................................................................3
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu......................................................................................3
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu...........................................................................................3
5. Phương pháp nghiên cứu.....................................................................................................4
6. Ý nghĩa của đề tài................................................................................................................4
7. Cấu trúc của đề tài...............................................................................................................4
NỘI DUNG.................................................................................................................................5
CHUYÊN ĐỀ 1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG..............................................5
1. Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng..............................................................5
2. Bài tập về phương trình đường thẳng..............................................................................8
CHUYÊN ĐỀ 2. XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC....................................59
1 .Giải tam giác khi biết tính chất các đường trong tam giác............................................59
2. Một số bài toán giải tam giác khi biết các tính chất của tam giác:................................79
CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA TỨ GIÁC............................................87
BÀI TOÁN: HÌNH BÌNH HÀNH.....................................................................................87
BÀI TOÁN: HÌNH THANG.............................................................................................98
BÀI TOÁN: HÌNH THOI................................................................................................113
BÀI TOÁN: HÌNH CHỮ NHẬT....................................................................................120
BÀI TOÁN: HÌNH VUÔNG...........................................................................................132
KẾT LUẬN.............................................................................................................................149
PHỤ LỤC................................................................................................................................150
2
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò rất quan trọng trong quá trình hình thành và phát triển tư duy
của học sinh. Trong toán học phổ thông, các bài toán hình học phẳng chiếm vị trí đặc
biệt quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kỳ thi, đặc biệt trong các kỳ thi học
sinh giỏi toán các cấp, kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng… và thường xuất hiện dưới
dạng là bài toán khó trong đề. Đề bài của bài toán hình học phẳng tuy được phát biểu
hết sức ngắn gọn nhưng học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi đi tìm lời giải. Trước
những vấn đề trên chúng tôi nhận thấy cần đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ
thể để giải quyết các vấn đề của các bài toán đó.
Hình học phẳng là một trong những nội dung cơ bản và rất hay của Toán phổ
thông, cũng là một nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh. Tuy vậy,
tài liệu tham khảo đầy đủ về dạng bài tập này còn ít, chủ yếu nằm rải rác ở nhiều tài
liệu khác nhau và chưa hệ thống thành phương pháp giải. Việc sử dụng phương pháp
nào cho một bài toán cụ thể phụ thuộc vào nội dung của bài toán và kinh nghiệm của
người giải. Chúng tôi nhận thấy cần phải có hệ thống cơ sở lý thuyết, phương pháp,
cũng như bài tập xuyên suốt phần hình học phẳng giúp các em dễ dàng và chủ động
rèn luyện kĩ năng cho bản thân. Có như vậy mới có thể vừa tích cực hóa được việc học
của người học, vừa rèn luyện được tính linh hoạt nhìn nhận một vấn đề theo nhiều
phương diện khác nhau, nhằm nâng cao khả năng tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời
bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho các em học sinh.
Từ những lý do trên, sáng kiến kinh nghiệm được chọn với đề tài : “Sử dụng các
kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác,
tứ giác trong hình phẳng”
2. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những
câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến
hành các hoạt động tư duy sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng
thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu là tổng hợp và hệ thống các dạng bài tập hình học phẳng,
tạo nguồn tài liệu đầy đủ và dễ hiểu nhất cho học sinh rèn luyện kĩ năng giải quyết các
bài toán.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Tổng hợp và phân dạng các bài tập hình học phẳng.
- Chỉ ra từng phương pháp, hướng đi cho các dạng bài tập.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
3
Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán hình học phẳng ở trường trung học phổ
thông trong các kì thi học sinh giỏi và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp các bài toán thường gặp về hình học phẳng trong
các đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
5. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lý luận.
Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hướng cho việc
nghiên cứu, phân tích và tổng hợp, định hướng phương pháp giải cho các bài toán.
6. Ý nghĩa của đề tài.
Tạo nguồn tài liệu khá đầy đủ và chi tiết cho học sinh, cũng như giáo viên tham
khảo, trong quá trình dạy và học. Nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán, nâng
cao chất lượng dạy và học trong nhà trường THPT nói chung và bài toán hình học
phẳng nói riêng.
7. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung sáng kiến gồm 3 chuyên đề:
Chuyên đề 1. Phương trình đường thẳng
Chuyên đề 2. Xác định các yếu tố trong tam giác
Chuyên đề 3. Xác định các yếu tố của tứ giác
Trong mỗi phần, đều có cơ sở lý thuyết, phân dạng bài tập, phương pháp giải cho
từng dạng, ví dụ và bài tập tự luyện.
4
NỘI DUNG
CHUYÊN ĐỀ 1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Giáo viên thực hiện: Đỗ Thị Lan
1. Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng
1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
r
r
Vectơ u 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song
song hoặc trùng với .
Nhận xét:
r
r
– Nếu u là một vectơ chỉ phương của thì ku (k 0) cũng là một vectơ chỉ
phương của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ
phương.
1.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
r r
n
Vectơ 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của nó vuông góc
với .
r
r
Nhận xét: – Nếu n là một vectơ pháp tuyến của thì kn (k 0) cũng là một vectơ
pháp tuyến của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp
tuyến.
r
r
r
r
– Nếu u là một vectơ chỉ phương và n là một vectơ pháp tuyến của thì u n .
1.3. Phương trình tham số của đường thẳng
r
M
(
x
;
y
)
u
0
0
0
Cho đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương (u1; u2 ) .
x x0 tu1
:
y y0 tu2
Phương trình tham số của
(1) ( t là tham số).
5
x x0 tu1
y y tu
0
2 .
Nhận xét: – M(x; y) t R:
– Gọi k là hệ số góc của thì:
+ k = tan,
0
�
với = xAv , 90 .
u2
+ k = u1 ,
với u1 0 .
1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
r
Cho đường thẳng đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương u (u1; u2 ) .
Phương trình chính tắc của :
x x0 y y0
u1
u2
(2) (u1 0, u2 0).
Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình
chính tắc.
1.5. Phương trình tham số của đường thẳng
2
2
PT ax by c 0 với a b 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu có phương trình ax by c 0 thì có vectơ pháp tuyến là
r
r
r
n (a; b) và vectơ chỉ phương u (b; a ) hoặc u (b; a ) .
r
– Nếu đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có vectơ pháp tuyến n (a; b) thì phương trình của là:
a ( x x0 ) b( y y0 ) 0
Các trường hợp đặc biệt:
6
Các hệ số
Phương trình đường thẳng
Tính chất đường thẳng
c=0
ax by 0
đi qua gốc toạ độ O
a=0
by c 0
// Ox hoặc Ox
b=0
ax c 0
// Oy hoặc Oy
x y
1
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b 0): Phương trình của : a b .
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của : y y0 k ( x x0 )
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
1.6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x b1 y c1 0 và 2: a2 x b2 y c2 0 .
Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
a1 x b1 y c1 0
a x b y c 0
2
2
2
(1)
hệ (1) có một nghiệm
a1 b1
a2 b2
1 // 2
hệ (1) vô nghiệm
a1 b1 c1
a2 b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2 0 )
1 2
a1 b1 c1
hệ (1) có vô số nghiệm a2 b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2 0 )
1 cắt 2
(nếu a2 , b2 , c2 0 )
1.7. Góc giữa hai đường thẳng
r
Cho hai đường thẳng 1: a1x b1 y c1 0 (có VTPT n1 (a1; b1 ) ) và
7
r
2 : a2 x b2 y c2 0 (có VTPT n2 (a2 ; b2 ) ).
1 , 2
n1 ; n2 khi n1 ; n2 90 0
180 0 n1 ; n2 khi n1 ; n2 90 0
cos 1 ; 2 cos n1 ; n 2
n1 .n2
n1 n1
a1b1 a 2 b2
a12 b12 . a 22 b22
Chú ý: 1 2 a1a2 b1b2 0 .
Cho 1: y k1x m1 , 2: y k2 x m2 thì:
+ 1 // 2 k1 = k2
+ 1 2 k1. k2 = –1.
1.8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax by c 0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
d ( M 0 , )
ax0 by0 c
a 2 b2
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax by c 0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; y N ) .
– M, N nằm cùng phía đối với ( axM byM c)(axN by N c) 0 .
– M, N nằm khác phía đối với ( axM byM c)(axN by N c) 0 .
8
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x b1 y c1 0 và 2: a2 x b2 y c2 0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
a1 x b1 y c1
a12 b12
a2 x b2 y c2
a22 b22
2. Bài tập về phương trình đường thẳng
2.1. Các bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng
2.1.1. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ta cần xác
r
định một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và một vectơ chỉ phương u (u1; u2 ) của .
x x0 y y0
x x0 tu1
y y tu
u1
u2
0
2 ; PTCT của :
PTTS của :
(u1 0, u2 0).
Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng ta cần xác định một điểm
r
M 0 ( x0 ; y0 ) và một vectơ pháp tuyến n (a; b) của .
PTTQ của : a ( x x0 ) b( y y0 ) 0
Một số bài toán thường gặp:
+ đi qua hai điểm A( x A ; y A ) , B( xB ; y B ) (với x A xB , y A yB ):
x xA
y yA
PT của : xB x A yB y A
x y
1
+ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b 0): PT của : a b .
+ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: PT của : y y0 k ( x x0 )
Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của
9
một đường thẳng.
Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như
sau:
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với d.
– Xác định I = d (I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M sao cho I là trung điểm của MM.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM. Khi đó:
uuuuur
MM ur
d
I
d
M đối xứng của M qua d
(sử dụng toạ độ)
Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng
, ta có thể thực hiện như sau:
– Nếu d // :
+ Lấy A d. Xác định A đối xứng với A qua .
+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d.
– Nếu d = I:
+ Lấy A d (A I). Xác định A đối xứng với A qua .
+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và I.
Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, , ta có
thể thực hiện như sau:
– Lấy A d. Xác định A đối xứng với A qua I.
– Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d.
Ví dụ 1.1 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M (1; 2) và có một vec
r
u
tơ chỉ phương (2; 1)
Giải
r
u
+) Vì đường thẳng đi qua M (1 ;-2) và có vec tơ chỉ phương là (2; 1) nên
phương trình tham số của đường thẳng là :
10
x 1 2t
y 2 t
r
u
+) Vì đường thẳng có vec tơ chỉ phương là (2; 1) nên có vec tơ pháp tuyến là
r
n (1; 2) . Vậy phương trình tổng quát của là : 1 x 1 2 y 2 0 x 2 y 3 0
Ví dụ 1.2 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua M (1; 2) và có một vectơ pháp
r
n
tuyến là (2; 3) .
Giải
r
n
+) Vì đường thẳng đi qua M (1 ;2) và có vtpt là (2; 3) nên phương trình tổng
quát của đường thẳng là :
2(x – 1) – 3(y – 2) = 0 2x – 3y + 4 = 0
r
n
+) Vì đường thẳng có vectơ pháp tuyến là (2; 3) nên có vec tơ chỉ phương là
r
u (3; 2) . Vậy phương trình tham số của là:
x 1 3t
y 2 2t
Ví dụ 1.3 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4)
Giải
uuu
r
AB
(2; 2)
+) Vì đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) nên có vec tơ chỉ phương
Phương trình tham số của là:
x 1 2t
y 2 2t
uuu
r
AB
(2; 2) nên có vec tơ pháp tuyến
+) Vì đường thẳng có vec tơ chỉ phương là
r
n
là (2; 2) . Vậy phương trình tổng quát của là
2 x 1 2 y 2 0
2 x 2 y 2 0
: x y 1 0
11
Ví dụ 1.4 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua M (1; 2) và có hệ số góc
k 3.
Giải
+) Đi qua M (1; 2) và có hệ số góc k 3 .
r
có hệ số góc k = 3 nên có vec tơ chỉ phương là: u (1;3) .
r
đi qua M(-1 ; 2) và có vec tơ chỉ phương là u (1;3) nên có phương trình là:
x 1 t
y 2 3t
r
+) Vì đường thẳng có vec tơ chỉ phương là u (1;3) nên có vec tơ pháp tuyến là
r
n (3;1) . Vậy phương trình tổng quát của là
3 x 1 1 y 2 0
: 3 x y 5 0
Ví dụ 1.5 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua A(3; 2) và song song với
đường thẳng d : 2 x y 1 0.
Giải
r
+) Đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 có vec tơ pháp tuyến là nd (2; 1) .
r
n
Đường thẳng song song với đường thẳng d nên nhận d (2; 1) làm vec tơ pháp
r
n
tuyến. Vì
đi qua A(3; 2) và có vec tơ pháp tuyến là (2; 1) nên có phương
trình là:
2(x – 3) – (y – 2) = 0 2x – y – 4 = 0
r
n
+) Vì đường thẳng có vectơ pháp tuyến là (2; 1) nên có vec tơ chỉ phương là
r
u (1; 2) . Vậy phương trình tham số của là
12
:
x 3t
y 2 2t
Ví dụ 1.6 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua B(4; 3) và vuông góc với
x 1 2t
d :
(t �)
đường thẳng y t
Giải
r
+) Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là ud (2; 1) . Vì vuông góc với d nên
r
nhận vectơ chỉ phương của d làm vec tơ pháp tuyến n (2; 1) . Đường thẳng đi
r
n
qua B(4 ;-3) và có vec tơ pháp tuyến (2; 1) nên có phương trình tổng quát là:
2(x – 4) – (y + 3) = 0 2x – y – 11 = 0
r
+) Vì đường thẳng có vectơ pháp tuyến là n (2; 1) nên có vec tơ chỉ phương là
r
u (1; 2) .
Vậy phương trình tham số của
là:
x 4t
y 3 2t
Ví dụ 1.7 Cho tam giác ABC, với A(1; 4); B(3; - 1); C(6; 2).
a) Viết phương trình tổng quát của cạnh AB
b) Hãy viết phương trình tổng quát của đường cao AH, và trung tuyến AM của tam
giác ABC.
Giải
uuu
r
AB
(2; 5)
a)
uuu
r
AB
(2; 5) nên có vectơ pháp tuyến là
Vì đường thẳng có vec tơ chỉ phương là
r
n (5; 2) . Vậy phương trình tổng quát của là
13
5 x 1 2 y 4 0
: 5 x 2 y 13 0
uuur
b) + Ta có: AH BC nên AH nhận vec tơ BC = (3; 3) là vectơ pháp tuyến của AH.
uuur
ẠH đi qua A(1 ; 4) và nhận BC = (3; 3) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát
của (AH) là:
3(x - 1) + 3(y - 4) = 0 3x + 3y - 15 = 0.
xB xC 3 6 9
xM
2
2
2
yB yC 1 2 1
yM
2
2
2
+ Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
uuuu
r 7 7
9 1
M ;
AM ;
2 2 là vec tơ chỉ phương của đường thẳng AM.
Vậy 2 2
uuuu
r 7 7
AM ;
2 2 nên AM có phương trình:
Đường thẳng AM đi qua A(1 ; 4) và vtcp
7
x 1 2 t
7
y 4 t
2
Ví dụ 1.8 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1) lên đường thẳng d:
2 x y 3 0 và điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d đó.
Giải
+) Gọi là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d. Nên có vec tơ pháp tuyến là
r
n 1; 2
. Vậy PT đường thẳng có dạng : x 2 y 0
Gọi H(x;y) là hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1) lên đường thẳng d. Suy ra
H d
Vậy tọa độ của H là nghiệm của hệ
14
6
x
x 2 y 0
5 H 6;3
2x y 3 0
3
5 5
y
5
+) Vì điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d nên H là trung điểm của MM’
2 1
M ' ;
5 5
Suy ra
Ví dụ 1.9 Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d :
2 x y 1 0 qua đường thẳng : 3x 4 y 2 0
Giải
+) Tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và đường thẳng là nghiệm của hệ
2
x 5
2x y 1 0
2 1
I ;
3x 4 y 2 0
1
5 5
y
5
+) Chọn
A 0;1 d
Gọi ' là đường thẳng đi qua A và vuông góc với . Nên ' có vec tơ pháp tuyến là
r
n 4;3
.
Vậy PT đường thẳng ' có dạng : 4 x 3 y 3 0
Gọi H(x;y) là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng . Suy ra H '
Vậy tọa độ của H là nghiệm của hệ
17
x
3x 4 y 2 0
25 H 17 ; 6
4x 3y 3 0
6
25 25
y
25
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng nên H là trung điểm của AA’.
15
uur 22 4
12 9
A ' ; IA ' ;
25 25
Vậy 25 25
+ ) Đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng đi qua I và A’
nên có vec tơ pháp tuyến là:
r
n 2; 11
.
Suy ra d’ có phương trình là:
2
1
2 x 11 y 0
5
5
2 x 11 y 3 0
Vậy đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng là
2 x 11y 3 0
Ví dụ 1.10 Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d:
2 x y 1 0 qua điểm I(2;1) .
Giải
+) Chọn A(0;1) thuộc d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua I. Suy ra I là trung điểm của AA’.
Suy ra A’(4;1)
+) Vì d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I(2;1) nên d’ đi qua A’ và d ' P d
Suy ra d’ có vec tơ pháp tuyến là
r
n 2; 1
.
Vậy d’ có phương trình là: . 2 x y 7 0
Ví dụ 1.11 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh
có tọa độ là M (2;1), N (5;3), P(3; 4) .
Giải:
16
Giả sử M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
uuuu
r
Ta có: BC//MN nên đường thẳng BC đi qua P(3; 4) nhận VTCP là: MN (3; 2) suy ra
x3 y 4
2 x 3 y 18 0
2
pt cạnh BC: 3
uuur
Tương tự ta có: AB // NP nên đường thẳng AB đi qua M nhận VTCP là: NP suy ra pt
cạnh AB :7 x 2 y 12 0
uuur
AC đi qua N nhận VTCP là: MP suy ra pt cạnh AC :5 x y 28 0
Bài tập tự luyện
Bài 1. Lập
PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có
r
VTCP u :
r
a) M(–2; 3) , u (5; 1)
r
d) M(1; 2), u (5;0)
r
u (2;5)
r
b) M(–1; 2), u (2;3)
r
e) M(7; –3), u (0;3)
r
c) M(3; –1), u (2; 5)
f) M O(0; 0),
Bài 2. Lập
PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có
r
VTPT n :
r
a) M(–2; 3) , n (5; 1)
r
d) M(1; 2), n (5;0)
r
n (2;5)
r
b) M(–1; 2), n (2;3)
r
e) M(7; –3), n (0;3)
r
c) M(3; –1), n (2; 5)
f) M O(0; 0),
Bài 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có
hệ số góc k:
17
a) M(–3; 1), k = –2
b) M(–3; 4), k = 3
c) M(5; 2), k = 1
d) M(–3; –5), k = –1
e) M(2; –4), k = 0
f) M O(0; 0), k = 4
Bài 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0)
b) A(5; 3), B(–2; –7)
c) A(3; 5), B(3; 8)
d) A(–2; 3), B(1; 3)
e) A(4; 0), B(3; 0)
f) A(0; 3), B(0; –2)
g) A(3; 0), B(0; 5)
h) A(0; 4), B(–3; 0)
i) A(–2; 0), B(0; –6)
Bài 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và
song song với đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x 10 y 1 0 b) M(–1; 2), d Ox
d) M(2; –3), d:
x 1 2t
y 3 4t
c) M(4; 3), d Oy
x 1 y 4
2
e) M(0; 3), d: 3
Bài 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x 10 y 1 0 b) M(–1; 2), d Ox
d) M(2; –3), d:
x 1 2t
y 3 4t
c) M(4; 3), d Oy
x 1 y 4
2
e) M(0; 3), d: 3
Bài 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các
đường cao của tam giác với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1)
b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1)
d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)
Bài 8. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M
qua đường thẳng d với:
a) M(– 5; 13), d : 2 x 3 y 3 0
b) M(3; – 1), d : 2 x 5 y 30 0
c) M(4; 1), d : x 2 y 4 0
Bài 9. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường
thẳng , với:
18
a) d : 2 x 3 y 1 0, : 2 x 3 y 1 0 b) d : x 2 y 4 0, : 2 x y 2 0
c) d : x y 1 0, : x 3 y 3 0
Bài 10. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm
I, với:
a) d : 2 x 3 y 1 0, I O (0;0)
b) d : x 2 y 4 0, I (3; 0)
c) d : x y 1 0, I (0;3)
2.1.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x b1 y c1 0 và 2: a2 x b2 y c2 0 .
Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
a1 x b1 y c1 0
a x b y c 0
2
2
2
(1)
hệ (1) có một nghiệm
a1 b1
a
b2
2
1 // 2
hệ (1) vô nghiệm
a1 b1 c1
a
b
c2 (nếu a2 , b2 , c2 0 )
2
2
1 2
a1 b1 c1
a
b
c2 (nếu a2 , b2 , c2 0 )
2
2
hệ (1) có vô số nghiệm
1 cắt 2
(nếu a2 , b2 , c2 0 )
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau:
– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.
– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.
Ví dụ 2.1. Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong
trường hợp cắt nhau:
a) 1 : x y 2 0;
2 : 2x y 3 0 .
19
b)
c)
1 : 2 x 4 y 10 0
2 :
x 1 4t
y 2 2t
1 : 8 x 10 y 12 0
2 :
x 6 5t
y 6 4t
Giải
a) 1 : x y 2 0;
2 : 2x y 3 0
số giao điểm của 1 và 2 chính là số nghiệm của hệ phương trình:
x y20
2x y 3 0
Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1).
Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm A(1 ; 1).
b)
1 : 2 x 4 y 10 0
2 :
x 1 4t
y 2 2t
Từ phương trình đường thẳng 2 ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào 1 ta được
2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0
không có điểm chung.
10 – 8t + 8t = 0 10 = 0 (vô lí) hai đường thẳng này
Vậy hai đường thẳng 1 và 2 song song với nhau.
c)
1 : 8 x 10 y 12 0
2 :
x 6 5t
y 6 4t
r
r
Đường thẳng 2 có vtcp là u (5; 4) nên 2 có vtpt là n (4;5) . 2 đi qua điểm có
tọa độ (-6 ; 6) nên 2 có pt tổng quát là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0 4x + 5y – 6 = 0.
20
- Xem thêm -
.DOC 
181 
1087 
52 
