Tài liệu Skkn sáng kiến kinh ngiệm hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán về số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƢỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƢỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC Ngƣời thực hiện: Lê Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán THANH HOÁ NĂM 2015 MỤC LỤC Trang A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lời mở đầu 1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 1 Đối tƣợng và thời gian nghiên cứu 2 Phƣơng pháp nghiên cứu 2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3 Cơ sở lí thuyết 3 Các dạng bài tập cơ bản 4 C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 20 Kết quả 20 Kiến nghị 20 A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI MỞ ĐẦU Toán học là một môn học rất quan trọng trong chƣơng trình phổ thông, nó chiếm một vai trò lớn trong việc hình thành và phát triển trí tuệ, nhân cách con ngƣời; Toán học còn là môn học công cụ để cho các em học tốt các môn học khác. Trang bị những kiến thức, phƣơng pháp, kĩ năng và phát triển tƣ duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn Toán nói chung và chƣơng trình lớp 12 phần Số phức nói riêng. Số phức là một phần quan trọng trong chƣơng trình toán THPT có thể phát triển khả năng tƣ duy Toán học cho học sinh, đƣợc áp dụng nhiều trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và Đại họcCao đẳng (nay là kì thi THPT quốc gia) nhƣng thời lƣợng nội dung này rất ít và nội dung này mới đƣợc đƣa vào chƣơng trình phổ thông từ năm 2008 do đó học sinh còn lúng túng khi trong việc phân dạng và lựa chọn phƣơng pháp phù hợp để giải các bài toán về số phức. Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dƣỡng học sinh khá giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, Đại họcCao đẳng, tôi đã lựa chọn và phân dạng cho mỗi bài toán về Số phức từ đơn giản đến phức tạp và có phƣơng pháp giải phù hợp để giúp cho mọi đối tƣợng học sinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài toán. Từ đó, tôi đã lựa chọn nghiên cứu đề tài "Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán về Số phức" với mong muốn giúp học sinh của mình thấy dễ dàng hơn khi học phần Số phức và có thêm tài liệu trong quá trình ôn thi kì thi THPT quốc gia. Với kinh nghiệm, năng lực và thời gian nghiên cứu có hạn, tôi mong đƣợc sự góp ý của đồng nghiệp và hội đồng khoa học để đề tài hoàn thiện hơn. II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 1. Thực trạng Trên thực tế đã có rất nhiều năm trong các kì thi vào đại học cao đẳng, các kì thi tốt nghiệp THPT đều có các bài toán về số phức trong bài thi. Tuy nhiên sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy môn Toán lớp 12 ở trƣờng THPT Triệu Sơn 2, tôi nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ năng thực hành, phƣơng pháp tƣ duy,...của một số học sinh về các bài toán về số phức còn yếu, do một số nguyên nhân sau: - Học sinh nắm kiến thức cơ bản không vững, chƣa chủ động học tập một cách tích cực, ngại phát hiện và giải quyết những vấn đề mới dựa trên nền tảng kiến thức cũ. - Thời lƣợng dành cho nội dung số phức còn ít và lại xếp vào cuối chƣơng trình Giải tích 12. - Số phức là một mảng kiến thức mới đƣợc đƣa vào chƣơng trình phổ thông nên tài liệu tham khảo còn ít. 2. Hiệu quả vấn đề Các dạng toán này đã đƣợc tôi áp dụng giảng dạy cho học sinh ở trƣờng THPT Triệu Sơn 2. Tôi đã áp dụng giảng dạy cho học sinh và khi các em gặp các bài toán dạng này thì các em giải rất nhanh và thƣờng đạt kết quả tốt. III. ĐỐI TƢỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU 1. Đối tƣợng nghiên cứu - Chỉ chủ yếu đề cập đến phƣơng pháp giải một số bài toán về số phức và một số bài tập có liên quan. - Đối tƣợng đƣợc áp dụng để thực hiện là học sinh lớp 12 của trƣờng THPT Triệu Sơn 2 ở các lớp tôi phụ trách. 2. Thời gian nghiên cứu: Nghiên cứu trong các năm học 2009-20010, 20102011, 2012-2013, 2014-2015. IV. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu là sách giáo khoa và một số sách tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ để có đƣợc hệ thống các kiến thức hoàn chỉnh về số phức sau đó sắp xếp những kiến thức cần dùng theo một trình tự và logic môn học. Phân chia các bài toán thành các dạng để học sinh dễ vận dụng và nắm bắt phƣơng pháp. - Nghiên cứu thực tế: Sau khi có đƣợc nghiên cứu lí thuyết có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm vào các giờ dạy tự chọn nâng cao và các buổi bồi dƣỡng ôn thi đại học. Thông qua đó đánh giá mức độ hứng thú tiếp thu của học sinh kết quả cho thấy phƣơng pháp này rất hiệu quả cho các em giải các bài toán phần này. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa số phức: Một số phức là một biểu thức dạng a + bi trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i 2  1 . Kí hiệu: z = a + bi. i: đơn vị ảo a: phần thực b: phần ảo Chú ý: - Số phức có phần ảo bằng 0 đƣợc gọi là số thực. - Số phức có phần thực bằng 0 đƣợc gọi là số ảo (hay số thuần ảo). - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. - Tập hợp các số phức đƣợc kí hiệu là . 2. Hai số phức bằng nhau: Hai số phức z  a  bi  a, b  , z '  a ' b ' i  a ', b '   gọi là bằng nhau nếu: a  a ', b  b ' . Khi đó ta viết z  z ' . 3. Biểu diễn hình học số phức Một số phức z = a + bi đƣợc biểu diễn hình học bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Ngƣợc lại mỗi điểm M(a; b) biểu diễn một số phức z = a + bi. Gốc toạ độ O: biểu diễn số 0 Trục Ox : Trục thực Trục Oy : Trục ảo. 4. Môđun của số phức: Độ dài của vectơ OM đƣợc gọi là môđun của số phức z và kí hiệu z . 5. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi . Ta gọi a - bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu z  a  bi . 6. Phép cộng số phức: Tổng của hai số phức z  a  bi và z '  a ' b ' i (a, b, a ', b '  ) là số phức z  z '  a  a ' (b  b ')i . 7. Phép trừ số phức: Hiệu của hai số phức z  a  bi và z '  a ' b ' i (a, b, a ', b '  ) là tổng của z với -z', tức là z  z '  a  a ' (b  b ')i . 8. Phép nhân số phức: Tích của hai số phức z  a  bi và z '  a ' b ' i (a, b, a ', b '  ) là số phức z.z '  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i . 9. Tổng và tích của hai số phức liên hợp: Cho số phức z  a  bi (a, b ) . Ta có z  z  2a 2. z. z  a 2  b 2  z z ' z '.z 10. Phép chia hai số phức: Nếu z  0 thì  2 . z z 11. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2  w đƣợc gọi là một căn bậc hai của w. 12. Phƣơng trình bậc hai: Cho phƣơng trình bậc hai Az 2  Bz  C  0 , trong đó A, B, C là những số phức và A ≠ 0. Xét biệt thức   B 2  4 AC . B   B   , z2  * Nếu   0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt: z1  . Với  2A 2A là một căn bậc hai của  B * Nếu  = 0 thì (1) có nghiệm kép: z1  z2   . 2A 13. Acgumen của số phức: Cho số phức z  0. Gọi M là điểm trong mặt phẳn phức biểu diễn số phức z. Số đo (rad) của mỗi góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đƣợc gọi là một acgumen của z. 14. Dạng lƣợng giác của số phức Định nghĩa: Dạng z = r(cos  + i sin  ), trong đó r >0 đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của số phức z  0 . Còn dạng z  a  bi  a, b  đƣợc gọi là dạng đại số của số phức z. 15. Công thức Moa-vrơ: [r (cos   i sin  )]n  r n (cos n  i sin n ) . Khi r = 1, ta có: (cos  i sin  )n  cos n  i sin n . II. CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP 1. Giải phƣơng trình trên tập số phức 1.1. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai và phƣơng trình quy về bậc hai Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2012) Giải phƣơng trình sau trên tập số phức z 2  3(1  i) z  5i  0 . (1) Giải: Ta có   3(1  i)  4.5i  2i  1  2i  i 2  (1  i) 2 . 2 3(1  i )  (1  i)  z   2  i 1  2 (1)    z  3(1  i )  (1  i )  1  2i  2 2 Đáp số: z1 = -2 - i, z2 = -1 - 2i. Bài 2: (Trích đề thi Cao đẳng khối A,B, D năm 2012) Cho số phức z thoả mãn 2i   3  i  z (1) 1  2i  z  1 i Tìm toạ độ điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng toạ độ Oxy. 2i 2i 1 7 Giải: (1)  1  2i  z   3  i  z   (2  i ) z  z  i 1 i 1 i 10 10 Đáp số: Vậy tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng toạ độ Oxy thỏa mãn 1 7 yêu cầu bài toán là M  ;  .  10 10  Bài 3: (Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Giải phƣơng trình sau 4 z  3  7i trên tập số phức: (1)  z  2i z i Giải: ĐK: z  i (1)  4 z  3  7i   z  2i  z  i   z 2   4  3i  z  1  7i  0 (2) Phƣơng trình (2) có    4  3i   4 1  7i   3  4i  4  4i  i 2   2  i  . 2 2 4  3i  (2  i)  z   1  2i (t/m)  2 Do đó: (2)    z  4  3i  (2  i)  3  i (t/m)  2 Đáp số: z  1  2i và z  3  i . 2 2 Bài 4: Giải phƣơng trình sau trên tập số phức  9 z 2  11  16  3z  2   0. Giải:  9 z 2  11  16  3z  2   0   9 z 2  11  4  3z  2  i   0  9 z 2  11  4  3 z  2  i  9 z 2  11  4  3 z  2  i   0 2 2 2 2   9 z 2  12iz  11  8i  9 z 2  12iz  11  8i   0 1 1 2 Đáp số: Vậy phƣơng trình có 4 nghiệm là z1   2i; z2    i; 3 3 3 1 1 2 z3   2i; z4    i. 3 3 3 2 2 Chú ý: Khi gặp phương trình dạng  f ( z )   g ( z )  0 ta đưa phương trình đó về dạng  f ( z )   g ( z ).i   0   f ( z )  g ( z ).i  f ( z )  g ( z ).i   0  f ( z )  g ( z ).i  0 .  f ( z )  g ( z ). i  0  Bài 5: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phƣơng z z 3i z 2  (m  4i) z  1  7i  0 (1). Tìm số phức m sao cho 1  2  . z2 z1 2 2 2 Giải: Phƣơng trình (1) có    m  4i   4  1  7i  . Phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt    0 .  z  z  m  4i Khi đó theo định lí Vi-et ta có  1 2 . z z   1  7 i  1 2 2 z1 z2 3  i z12  z22 3  i z  z  3i Mặt khác:      1 2 2 z2 z1 2 z1 z2 2 z1 z2 2 2  m  4i   1  7i 2  7i 2 2 2   m  4i   7  24i   m  4i    3  4i  2 trình  m  4i  3  4i m  3    t/m   0  m  4 i   3  4 i m   3  8 i   Vậy m = 3; m  3  8i. Chú ý: Bài này học sinh thường giải thiếu nghiệm m  3  8i vì xem m là số thực. Bài 6: Giải các phƣơng trình sau trên tập số phức: 2 a)  z 2  z   4  z 2  z   12  0 . b)  z  3  i 2  6  z  3  i   13  0 .  iz  3   iz  3  c)    3 40.  z  2i   z  2i  Hướng dẫn 2 w  2 a) Đặt w  z 2  z ta đƣợc phƣơng trình w2  4w  12  0   .  w  6 * Với w  2  z 2  z  2  z  1, z  2 . * Với w  6  z 2  z  6  z  1  i 23 2 Vậy phƣơng trình có 4 nghiệm là z  1, z  2, z  1  i 23 . 2 b) Đặt w  z  3  i . iz  3 c) Đặt w  . z  2i 2 Chú ý: Khi gặp phương trình dạng A f ( z )  B  f ( z )  C  0 ta đặt w  f ( z ) để được phương trình Aw2  Bw  C  0 , giải phương trình này tìm w rồi tìm z. z2 Bài 7: Giải phƣơng trình: z 4  z 3   z  1  0 trên tập số phức. 2 Giải: Dễ thấy z = 0 không phải là nghiệm của phƣơng trình đã cho nên chia cả hai vế của phƣơng trình cho z 2 ta đƣợc 2 1 1 1 1 1   2 z  z    2  0  2 z    2 z    5  0 2 z z z z   1 1  3i Đặt t  z  ta đƣợc phƣơng trình 2t 2  2t  5  0  t  . z 2 1  3i 1 1  3i 1 i z   2 z 2  (1  3i ) z  2  0  z1   , z2  1  i . * Với t  2 z 2 2 1  3i 1 1  3i 1  i z   2 z 2  (1  3i ) z  2  0  z3  , z4  1  i . * Với t  2 z 2 2 1 i 1  i , z 2  1  i , z3  , z4  1  i. 2 2 Bài 8: Giải phƣơng trình sau trên tập số phức z 4  z 3  6 z 2  4 z  16  0 . 4 Hướng dẫn: Chia cả hai vế của phƣơng trình cho z 2 rồi đặt t  z  . z 1 15 1 15 i; z 2    i; z3  1  3i; z4  1  3i. Đáp số: z1    2 2 2 2 Bài 9: Giải phƣơng trình sau trên tập hợp số phức:  z 2  z   z  3 z  2   10 Đáp số: z1   4 Hướng dẫn: Chia cả hai vế của phƣơng trình cho z 2 rồi đặt t  z  . z 1 15 1 15 i; z 2    i; z3  1  3i; z4  1  3i. Đáp số: z1    2 2 2 2 Bài 10: Giải phƣơng trình sau trên tập số phức: z 3   3  i  z 2   2  i  z  16  2i  0 (1) biết phƣơng trình trên có một nghiệm thực. Giải: Gọi nghiệm thực của phƣơng trình (1) là a, ta có a 3   3  i  a 2   2  i  a  16  2i  0  a 3  3a 2  2a  16  ( a 2  a  2 )i  0 a 3  3a 2  2a  16  3  a  2. 2 a  3 a  2 a  16   z  2 Do đó (1)   z  2   z 2   5  i  z  8  i   0   2  z   5  i  z  8  i  0 (2) 2 Phƣơng trình (2) có    5  i   4(8  i)  8  6i  1  6i  9i 2  (1  3i) 2 Do đó (2)  z  2  i, z  3  2i. Đáp số: phƣơng trình (1) có 3 nghiệm z  2, z  2  i, z  3  2i. 1.2 Tìm số phức z bằng cách giả sử z = a + bi Bài toán: Tìm số phức z thỏa mãn phương trình (1). Ta thường thực hiện theo các bước: Bước 1: Giả sử z  a  bi (a, b ) Bước 2: Thay z  a  bi vào phương trình (1) và sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau để lập một hệ phương trình từ đó có thể tìm ra a, b. Bước 3: Kết luận. Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2011) Tìm số phức z , biết z   2  3i  z  1  9i . Giải: Giả sử z  a  bi (a, b ). Ta có a  bi   2  3i  (a  bi)  1  9i  a  3b  (3a  3b)i  1  9i a  3b  1 a  2   3a  3b  9 b  1 Đáp số: z = 2 - i. Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011) Tìm tất cả các số phức z, biết 2 z2  z  z . Hướng dẫn: Giả sử z  a  bi (a, b ) 1 1 1 1 Đáp số: z = 0, z    i, z    i . 2 2 2 2 Bài 6: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2011) Tìm số phức z, biết 5i 3 z 1  0. z Hướng dẫn: Giả sử z  a  bi (a, b ). Đáp số: z  1  i 3, z  2  i 3 . Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2010) Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 và z 2 là số thuần ảo. Hướng dẫn: Giả sử z  a  bi (a, b ) Đáp số: z  1  i; z  1  i; z  1  i; z  1  i. 25  8  6i . (1) Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn phƣơng trình: z  z Giải: ĐK: z ≠ 0. Giả sử z  a  bi (a, b  , a 2  b 2  0 )  a  a 2  b 2  25   8 (2)  a  a 2  b 2  25  b  a 2  b 2  25   a 2  b2 (1)   i  8  6i   2 2 a 2  b2 a 2  b2  b  a  b  25   6 (3)  a 2  b2 a 3 3   a  b Thay vào (2) ta đƣợc b 4 4  a  0  b  0 (l) a  a 2  8a  16   0    a  4  b  3 (t/m) Vậy số phức cần tìm là: z  4  3i. iz  (1  3i ) z 2 Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện  z . 1 i 45 9 Đáp số: z1  0; z2   i. 26 26 Bài 7: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2009) Tìm số phức z thỏa mãn: z   2  i   10 và z.z  25 . Đáp số: z  3  4i , z  5 . Lấy (2) chia cho (3) ta đƣợc 2. Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức Chú ý: 1. Cho số phức z  a  bi (a, b  ). Trong đó a: phần thực của số phức z. b: phần ảo của số phức z. z là số thực  b=0 z là số ảo  a=0 Số 0: vừa là số thực, số ảo 2 2. Môđun của số phức z: z  a 2  b 2 , z  z , z.z  z z  OM  a 2  b 2 , với M là điểm biểu diễn z và O là gốc tọa độ. Bài 1: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2011) Cho số phức z thoả mãn z 2  2(1  i) z  2i  0 . 1 Tìm phần thực và phần ảo của số phức . z 1 1 1 Giải: z 2  2(1  i) z  2i  0  z  1  i . Ta có   i z 2 2 1 1 1 Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là  . z 2 2 Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2012) Cho số phức z thoả mãn 2 1  2i   7  8i . Tìm môđun của số phức w  z  1  i . 2  i z  1 i Đáp số: z = 3 + 2i, w = 4 + 3i, w  5 . Bài 3: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2012) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phƣơng trình z 2  2 z  1  2i  0 . Tính z1  z2 . z  i Giải: Ta có z 2  2 z  1  2i  0   z  2  i Vậy z1  z2  1  5 . Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2012) Cho số phức z thoả mãn 5 z  i   2  i . Tìm môđun của số phức w  1  z  z 2 . z 1 Đáp số: z = 1 + i, w = 2 + 3i, w  13 . Bài 5: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011) Tìm môđun của số phức z, biết  2 z  11  i    z  11  i   2  2i . 1 1 2 Đáp số: z   i  z  . 3 3 3 Bài 6: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2011) Cho số phức z thoả mãn 2 1  2i  z  z  4i  20 . Tính môđun của số phức z. Đáp số: z  4  3i, z  5 . Bài 7: Tìm phần thực của số phức: z  1  i  , trong đó n  và thỏa mãn: log 4  n  3  log5  n  6   4 . Đáp số: n  19, z  512  512i nên phần thực của số phức z là -512. Bài 8: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết n z  2 i  1  2i  . 2 Đáp số: z  5  2i nên phần ảo là  2 . Bài 9: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho số phức z thoả mãn  1  3i  3 . Tìm môđun của số phức z  iz . 1 i Đáp số: z = -4 + 4i, z  iz  8  8i  z  iz  8 2 . Bài 10:(Trích đề thi Đại học khối A năm 2009) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức z của phƣơng trình z 2  2 z  10  0. Tính giá trị của biểu thức A  z1  z2 . 2 2 Đáp số: A  z1  z2  20 . Bài 11: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2009) Cho số phức z thỏa mãn (1  i) 2 (2  i) z  8  i  (1  2i) z. Tìm phần thực và phần ảo của z. Đáp số: z có phần thực là 2 và phần ảo là 3 .  Bài 12: Cho  ,  là hai số phức liên hợp thoả mãn 2 là số thực và  2 2     2 3 . Tính  . Đáp số: Giả sử   a  bi (a, b ), thì   a  bi . Ta có     2 3  2bi  2 3  2 b  2 3  b2  3 . a 3  3ab 2  3b  a 2  b 2  i a  bi   3    Mặt khác 2  2      a 2  b2 2  a 2  b2  3 a 2  b 2  0 a 2  3  2 2   3 2. Từ giả thiết ta có 3b  a  b   0   2 b  3   2 b  3 3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức Bài toán: Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện cho trước. Cách giải: Giả sử z  x  yi, x, y  . Từ điều kiện của bài toán, tìm mối quan hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp các số phức z thoả mãn điều kiện của bài toán. 3.1. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đƣờng thẳng Bài 1: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện sau z  i  z  2 . Giải: Giả sử z  x  yi, x, y  . Theo bài ra z  i  z  2  x  yi  i  x  yi  2  x  ( y  1)i  x  2  yi x 2  ( y  1) 2   x  2   y 2  4 x  2 y  3  0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đƣờng thẳng có phƣơng trình 4 x  2 y  3  0 . Bài 2: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z z i thoả mãn từng điều kiện  1. z2 Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đƣờng thẳng có phƣơng trình 4 x  2 y  3  0 . Bài 3: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn z  3z  2  i 3 z . 2   Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là phần đƣờng thẳng có phƣơng trình y   3x với x  0 . 3.2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đƣờng tròn Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2010) Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn z  i  (1  i) z . Giải: Giả sử z  x  yi, x, y  . Theo bài ra z  i  (1  i) z  x  yi  i  (1  i)( x  yi)  x  ( y  1)i  x  y  ( x  y )i x 2  ( y  1)2   x  y   ( x  y ) 2  x 2  y 2  2 y  1  0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đƣờng tròn tâm I  0; 1 bán kính R  2 . Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2009) Trong mặt phẳng toạ độ phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  (3  4i)  2. Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đƣờng tròn tâm I (3; 4) bán kính R=2. Bài 3: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn từng điều kiện sau a) z  1  3i  5 b) (2  z )(i  z ) là số ảo Đáp số: a) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đƣờng tròn tâm I(1; -3) bán kính R = 5. 2 b) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đƣờng 5  1 tròn tâm I 1;  bán kính R  . 2 2   3.3. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một hình tròn Bài 1: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn từng điều kiện sau a) z  1  i  2 b) z  3  2i  2 Đáp số: a) Giả sử z  x  yi, x, y  . Theo bài ra z  1  i  2  x  yi  1  i  2  x  1  ( y  1)i  2   x  1 2  ( y  1) 2  2   x  1  ( y  1) 2  4. 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là hình tròn tâm I 1; 1 , bán kính R  2 (kể cả biên). b) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là hình tròn tâm I  3;2  bán kính R  2 ( không kể biên). 3.4. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đƣờng cônic Bài 1: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z z  z  2i thoả mãn điều kiện  2. z i Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là 1 parabol y  x 2 . 4 Bài 2: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện z  3  z  3  10 . Giải: Trong mặt phẳng phức giả sử các điểm M, F1 , F2 lần lƣợt biểu diễn các số phức z, -3, 3. Dễ thấy: F1M biểu diễn số phức z  (3)  z  3 , F2 M biểu diễn số phức z  3 .Với F1 , F2 nằm trên trục thực Ox. Khi đó điều kiện z  3  z  3  10  MF2  MF1  10 và F1F2  6 . Vậy tập hợp các điểm M là elip (E) có trục lớn bằng 10 và trục bé bằng 8, x2 y 2 phƣơng trình của elip (E) là   1. 25 16 4. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất Bài toán: Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho trước. Cách giải: Bước 1: Tìm tập hợp A các điểm biểu diễn của z thoả mãn điều kiện cho trước. Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm M  ( A) sao cho khoảng cách OM lớn nhất hoặc nhỏ nhất (với O là gốc tọa độ). 4.1. Tập hợp A là một đƣờng thẳng Chú ý: Trong trường hợp này bài toán thường chỉ yêu cầu tìm số phức có môđun nhỏ nhất do đó ta cần tìm điểm M  ( A) sao cho đoạn OM ngắn nhất. Ta có các cách để tìm điểm M: Cách 1: M là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng biểu thị tập A. Cách 2: Từ phương trình đường thẳng biểu thị tập A rút y theo x (hoặc rút x theo y) rồi thay vào công thức tính OM và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc 2 vừa có được. Bài 1: (Minh họa cho cách 1) Biết rằng số phức z thoả mãn u  ( z  3  i)( z  1  3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun của số phức z. Giải: Giả sử z  x  yi , x, y  .Ta có: u  ( z  3  i)( z  1  3i)  ( x  3)( x  1)  ( y  1)(3  y)  [( x  3)(3  y)  ( x  1)( y  1)]i  x  y  4  [( x  3)(3  y)  ( x  1)( y  1)]i u là số thực  x  y  4  0 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z để u là số thực là đƣờng thẳng : x  y  4  0. Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z. Mà z  OM nên z nhỏ nhất  M là hình chiếu của O lên đƣờng thẳng  . Gọi d là đƣờng thẳng qua O và vuông góc với  . Ta có d: x  y  0 . Khi đó M= d   Toạ độ M là nghiệm của hệ phƣơng x  y  0  x  2 trình:   M (2;2)  x  y  0 y  2 Vậy min z  2 2  z  2  2i Bài 2: (Minh họa cho cách 2) Biết rằng số phức z thoả mãn z  2  3i  1 (1) z 4i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất Giải: ĐK: z  4  i  0  z  4  i  z  4  i (*) Giả sử z  x  yi ( x, y  ,( x; y )  (4;1), i 2  1),  z  x  yi (1)  z  2  3i  z  4  i  ( x  2)  ( y  3)i  ( x  4) 2  (1  y) 2  ( x  2) 2  ( y  3) 2  ( x  4) 2  (1  y) 2  ( x  2)  ( y  3)  ( x  4)  (1  y)  3x  y  1  0 (t/m (*)) 2 2 2 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z để u  là đƣờng thẳng  : 3x  y  1  0 Gọi M(x; y) biểu diễn số phức z  x  yi . Do M  nên M ( x;3x  1) Mà 6 1  z  OM  x 2  y 2  x 2  (3x  1)2  10 x 2  6 x  1  10  x 2  x   10 10   2 6 1 3 1 3 1 1     10  x 2  x    10  x 2  2 x    10  x     , x . 10 10  10 10  10  10 10    1 3 1 Vậy min z   z   i. 10 10 10 z 1 3 Bài 3: Cho số phức z thoả mãn  1 . Tìm số phức z biết z   5i đạt giá z  2i 2 trị nhỏ nhất. z 1 Gợi ý: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  x  yi thoả mãn  1 là z  2i đƣờng thẳng 2 x  4 y  3  0 . 3 2 Ta có z   5i  5  y  1  20  2 5 . 2 3 1 Vậy min z   5i  2 5  z   i . 2 2 4.2. Tập hợp A là một đƣờng tròn Chú ý: Trong trường hợp này bài toán thường yêu cầu tìm số phức có môđun nhỏ nhất và số phức có môđun lớn nhất, do đó ta cần tìm điểm M , N  ( A) sao cho đoạn OM ngắn nhất và đoạn ON dài nhất. Ta có các cách để tìm các điểm M, N: Cách 1: M, N là giao của đường thẳng OI với đường tròn biểu thị tập A (I là tâm đường tròn biểu thị tập A). Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki. Cách 3: Lượng giác hóa. Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  1 (1) Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất. Giải Cách 1: Giả sử z  x  yi ( x, y  ) (1)  z  1  2i  1  x  yi  1  2i  1  ( x  1)  ( y  2)i  1  ( x  1) 2  ( y  2) 2  1  ( x  1) 2  ( y  2) 2  1 . Vậy tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn số phức z  x  yi thoả mãn điều kiện (1) là đƣờng tròn (C) có tâm I (1; 2) , bán kính R  1 . Điểm M(x; y) biểu diễn số phức z có môđun nhỏ nhất ( hoặc môđun lớn nhất) là một trong các giao điểm của đƣờng thẳng OI với đƣờng tròn (C) sao cho độ dài đoạn OM nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất). Dễ thấy phƣơng trình đƣờng thẳng OI: y = 2x. Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phƣơng trình:   1 2  M  1  ;  2  1 1    OM  5  1  ( x  1) 2  ( y  2) 2  1 ( x  1) 2  5 5   1   5    1 2  OM 2  5  1  y  2x  y  2 x ; 2   M 2  1   5 5   1  2  Vậy min z  5  1  z  1    2  i 5  5 1  2  max z  5  1  z  1    2  i . 5  5 Cách 2: Giả sử z  x  yi ( x, y  ) (1)  z  1  2i  1  x  yi  1  2i  1  ( x  1)  ( y  2)i  1  ( x  1) 2  ( y  2) 2  1  ( x  1) 2  ( y  2) 2  1 . (2) Ta có 2 z  OM 2  x 2  y 2  ( x  1  1)2  ( y  2  2)2  ( x  1)2  ( y  2)2  2( x  1)  4( y  2)  5  6  2( x  1)  2( y  2) do (2). Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki ta có ( x  1)  2( y  2)  1 2  22  ( x  1) 2  ( y  2) 2   5 do (2)   5  ( x  1)  2( y  2)  5  2 5  2( x  1)  2( y  2)   2 5  6  2 5  6  2( x  1)  2( y  2)  6  2 5    2 5 1  z  2   5 1  x 1 y  2  1   2 Vậy min z  5  1   1  z  1    2  5  ( x  1)  2( y  2)  5   x 1 y  2  1   2 max z  5  1   1  z  1    2  5  ( x  1)  2( y  2)   5  Cách 3: Giả sử z  x  yi ( x, y  ) (1)  z  1  2i  1  x  yi  1  2i  1  ( x  1)  ( y  2)i  1 2 2  i 5 2  i . 5  ( x  1) 2  ( y  2) 2  1  ( x  1) 2  ( y  2) 2  1 .  x  1  cos t  x  1  cos t Đặt  . Ta có   y  2  sin t  y  2  sin t 1 2 2  2  z  x 2  y 2   cos t  1  (sin t  2) 2  6  2(2sin t  cos t )  6  2 5  sin t  cos t  5  5  2 2 1 , ta có z  6  2 5 sin(t   ) .Mà ;sin   5 5 1  sin(t   )  1  2 5  2 5 sin(t   )  2 5 Đặt cos   6  2 5  6  2 5 sin(t   )  6  2 5  Vậy min z  5  1  sin(t   )  1      2  2 5 1  z  2   5 1 2  t  k 2 , k  . 2   x  1  sin t  cos   5  Khi đó   1 cos t  sin    y  2    5 1 1  2  5  z  1    2  i . 2 5  5 5  max z  5  1  sin(t   )  1      t  k 2 , k  . 2 2 1   sin t   cos    x   1   1  2  5 5  Khi đó    z  1    2  i . 1 2 5 5   cos t   sin     y  2  5 5   z  2i Bài 2: Biết rằng số phức z thoả mãn (1)  2 z 1 i Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của môđun số phức z. Đáp số: z min  10  3  z  (3  10)i , z max  10  3  z  ( 10  3)i z  2  3i là số thuần ảo z i Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun của số phức z. 2  10 2  10  i Đáp số: min z  5  2  z  2 2 2  10 2  10 max z  5  2  z   i. 2 2 4.3. Dùng phƣơng pháp hàm số Bài 1: Cho số phức z thoả mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Bài 3: Biết rằng số phức z thoả mãn: u  của biểu thức P  1  z  31  z Giải: Giả sử z  x  yi; x, y  Theo bài ra z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2 , mà y 2  0  1  x 2  0  1  x  1 . Ta có 1  z  2 x  2, 1  z  2  2 x Vậy P  2 x  2  2  2 x với x   1;1 liên tục trên đoạn  1;1 1 1 4  , x   1;1  P '  0  x   5 2x  2 2  2x  4 Ta có P(1)  6, P     2 10; P(1)  2  5 Vậy: min P  2  x  1, y  0  z  1, 4 3 4 3 max P  2 10  x   ; b    z    i. 5 5 5 5 Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của M  z 3  z  2 . Giải: Giả sử z  x  yi; x, y  Theo bài ra z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2 , mà y 2  0  1  x 2  0  1  x  1 . P'  Ta có M  z 3  z  2  2 4 x3  x 2  4 x  2 Dễ thấy hàm số f ( x)  4 x3  x 2  4 x  2 liên tục trên đoạn  1;1 1 2 f '( x)  12 x 2  2 x  4  f '( x)  0  x   , x  2 3 8  1  13  2  Ta có f  1  f 1  1, f     , f     3  2 4 3 1 3 Vậy max M  2 max f ( x)  13  x    y   .  1;1 2 2 5. Dạng lƣợng giác của số phức Chú ý: Cách tìm dạng lượng giác của số phức z  0 : 1. Tìm r  a 2  b2 = OM (M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z). a b 2. Tìm  ( là một acgumen của z);  là số thực sao cho cos   và sin   . r r Và  là số đo của góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM. Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2012) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phƣơng trình z 2  2 3iz  4  0 viết dạng lƣợng giác của z1 và z2 .   2 2    Đáp số: z1  2  cos  i sin  , z2  2  cos  i sin . 3 3 3 3    Bài 2: Cho số phức z  1  3i Hãy viết dạng lƣợng giác của số phức z 5 . Đáp số:   5 5          z  2  cos  i sin   z 5  32  cos  i sin   32  cos     i sin     3 3 3 3     3  3   Bài 3: Cho số phức z  1  i 3. Hãy viết số phức z n dƣới dạng lƣợng giác biết rằng n  và thỏa mãn: n 2  2n  6  4  log3 n2  2 n  6    n 2  2n  6  log3 5 .       Đáp số: n  3 , z  2 cos     i sin      z 3  8 cos     i sin      3    3 Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2011) Tìm phần thực và phần ảo của 3 1 i 3  số phức z    . 1  i   Hướng dẫn: Sử dụng dạng lƣợng giác của số phức ta đƣợc    z  2 2  cos  i sin   2  2i . 4 4  Vậy z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2. Bài 5: Giải phƣơng trình sau trên tập số phức z 2  z  106  120i (1) Giải: Giả sử z  r (cos  i sin  ) (r > 0) (1)  r 2 (cos  i sin  )2  r  106  120i   r  r 2 cos2    r 2 sin 2  i  106  120i r  106  cos 2    r  r cos 2  106  r2  2  r sin 2   120  sin 2  120  r2 Lại có 2 2  r  106   120  2 2 4 2 sin 2  cos 2  1       2   1  r  r  212r  25636  0 2 r    r    r  13  r 3  13r 2  168r  1612   0  r  13 do r > 0. 2 119 119   2 2 cos 2    cos   sin      169 169 Suy ra   sin 2  120 sin  cos   60 169 169   5 5   cos    13 cos   13 hoặc   12 sin    12 sin     13 13 Vậy z1  5  12i; z2  5  12i. Bài 6: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 2   z   4 3i số phức nào có  một acgument bằng . 3 2 Giải: Giả sử z  a  bi (a, b  ). Ta có z 2   z   4 3i  ab  3 (1) 2