…………………………………………………………….. Trang 3
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm……………………………….. Trang 4
. .
……………………………………………………….. Trang 4
. . h c
g của vấ đề……………………………………………… Trang 4
h
2.3. Các biệ
iế hà h………………………..………………….. Trang 6
2.3.1. Giải pháp mới của SKKN…………………………....................... Trang 6
2.3.2. Biện pháp tiến hành ………………………………….................. Trang 7
2.3.2.1. Củng cố kiến thức c bả q a c c hư
2.3.2.2. V n dụng và phát triể kĩ ă g q a hư
c c hư
g h
g h
c bản............. Trang 7
g h : Phối hợp
hô g hườ g…………………………………………... Trang 17
ưd yq a
2.3.2.3. Phát triể
hư
g h
2.3.2.4. Các d ng bài t p ứng dụng phâ
hâ
ch mới ……............ Trang 20
ch đa hức thành nhân tử ….. Trang 28
* Các bài t
iê q a …………………………………………………….
Trang 28
* Các bài t
ư
g
…………………………………………………….
Trang 31
2.4. Hiệu quả của SKKN ……………………………………………...
ế
Trang 33
…………………………………….………………………… Trang 34
* Kết quả đ t được…………………………………………………... Trang 34
* Bài học kinh nghiệm……………………………………………….. Trang 34
ế
………………………………..…………………... Trang 35
* Tài liệu tham khảo…………………………………………………… Trang 36
1
tv
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt b c học phổ thông.
Là một môn học khó, đòi hỏi mỗi học sinh phải có s nỗ l c lớ để chiếm ĩ h
tri thức cho mình. Chính vì v y việc tìm hiểu cấu trúc của chư g ì h, ội
dung của sách giáo khoa, nắm vữ g hư g h d y học, từ đó ìm a hững
hư g h hay yề đ t cho học sinh là nhiệm vụ phải làm của mỗi giáo
viên.
o g chư g ì h Đ i số lớp 8, Phâ ch đa hức thành nhân tử là một
phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫ kĩ ă g h c hiện đối với học sinh. Nó
có thể được coi là nội dung nòng cốt của chư g ì h. Kĩ ă g hâ ch đa
thức thành nhân tử là mộ kĩ ă g c bản quan trọng, nếu nắm vững và thành
th o kĩ ă g ày hì học sinh có khả ă g giải quyết nhiều vấ đề toán học có
liên quan sau này.
Xuất phát từ th c tế giảng d y
ường THCS Ba Cụm Bắc, qua việc
theo dõi kết quả bài th c hành, bài kiểm tra của học sinh lớp 8, tôi thấy để làm
đú g kết quả của bài o
hâ ch đa hức thành nhân tử là vấ đề nan giải đối
với đa ố học sinh. Tình tr ng chung là lúng túng, m hồ, không biế hư g
pháp để giải quyết vấ đề đặt ra. Ngoài ra còn mắc những sai lầm khi phân tích,
đặc biệ à đối với học sinh trung bình, học sinh yếu; từ đó c c em cũ g gặp
khô g khó khă o g việc giải những bài toán ứng dụng có liên quan; dẫ đến
hiện ượng chán nản, ng i khó. Ngược l i, đối với số ít học sinh khá, giỏi thì giải
bài o
hâ ch đa hức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú và
không kém phần say mê.
ước tình hình th c tế đó, tôi thấy việc cần thiết là phải đị h hướng
hư g h giải cụ thể, è c c kĩ ă g biế đổi để bổ trợ cho việc v n dụng
kiến thức vào giải các d ng bài t p liên quan. Ngoài ra, nhằm t o nền tảng cho
học sinh có ý thức t học và tìm tòi sáng t o trong quá trình học t p nên bản
thân tôi đã chọn SKKN: Giúp học sinh lớp 8 phát hiện phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao năng lực giải toán.
SKKN của tôi được nghiên cứu trong ph m vi học sinh lớp 8 của ường
THCS Ba Cụm Bắc - Kh h S - Khánh Hòa. Phư g h mà ôi ử dụ g để
nghiên cứu chủ yế à hư g h
h c nghiệm ư h m. Hình thức kiểm
nghiệm là kết quả ước khi v n dụng và sau khi v n dụng của cù g đối ượng.
2
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2
ơ sở lí lu n
Qua các ăm giảng d y bộ môn Toán, tôi nh n thấy đây à bộ môn khoa
học có tác dụng phát triể ư d y, hì h hà h kĩ ă g, kĩ xảo, phát huy tính tích
c c trong học t p của học sinh. Ngoài ra, việc học tốt môn Toán còn giúp cho
học sinh học tốt các môn học khác. Vì v y, dưới góc độ là một giáo viên d y
Toán tôi thấy việc hướng dẫn các em nắm vững hư g h đối với từng d ng
toán là rất cần thiết.
Từ kinh nghiệm giảng d y bộ môn toán 8, tôi xét thấy d ng toán Phân
tích đa thức thành nhân tử có vị trí khá quan trọng o g chư g ì h Đ i số 8.
Hiện t i với ượng thời gian phân phối chư g ì h à 7 iết song nội dung này
àc
v n dụ g cho c c chư g a , c c d ng toán khác nhau, chẳng h n: giải
hư g ì h, ú ọn phân thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x,… Có
thể nói bài toán phân tích đa hức thành nhân tử là bài toán “đầu tiên” của các
d ng toán khác. ê c
đó, để giúp học sinh lớp 8 phát hiệ hư g h
hâ ch đa hức thành nhân tử nhằm â g cao ă g c giải toán là vấ đề mà
bản thân tôi hết sức quan tâm.
Vấ đề đặt ra là làm thế ào để học sinh nắm được các hư g h , có
kĩ ă g h n biế , hâ ch để giải bài o
hâ ch đa hức thành nhân tử một
c ch ch h x c, ha h chó g và đ t hiệu quả cao. Để th c hiện tố điề ày, đòi
hỏi giáo viên cần xây d ng cho học sinh những hư g h phân tích cụ thể,
chi tiế , è c c kĩ ă g hư q a
, h xé , đ h gi bài o và các quy tắc
biế đổi. Tuỳ theo từ g đối ượng học sinh, mà giáo viên xây d ng cách giải cho
phù hợ ê c
c c hư g h đã học và các cách giải kh c, để giúp học
sinh học t p tốt bộ môn.
2.2. Thực trạng của v
c bài o
hâ ch đa hức thành nhân tử có thể không mấy khó khă
đối với những học sinh khá, giỏi hư g i khá nan giải đối với nhữ g đối ượng
học sinh trung bình, yếu kém. B i vì, để giải được các bài t p d ng này không
chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà ó cò đòi hỏi học sinh cần có một
kĩ ă g giải bài t p nhấ định.
ê h c ế, với mức độ iếp thu cò ch m của các em thì tro g chư g
trình chỉ kị hoà hà h hầ bài p c bả cò việc đi â vào ghiê cứ ,
khai h c, ìm hiể c c c ch giải bài toán hâ ch đa hức hà h hâ ử à ấ
h chế. Đa ố c c em mấ kiế hức că bả
c c ớ dưới, i chưa chủ độ g
o g học
, cò chay ười, chưa ổ c học,
è , mộ ố em ý hức học
cò yế kém. H
ữa, với đặc hù à vù g miề úi ê hụ h y h học i h
3
chưa h
q a âm đú g mức đế việc học
cò hó h c cho hà ườ g dẫ đế kế q ả học
của co em mì h, hầ
cò hấ .
ớ
Tuy v y, với s trang bị kh đầy đủ bộ sách giáo khoa, sách tham khảo
của hư việ hà ường kết hợp với s say mê, tìm tòi học hỏi của các em học
sinh và lòng nhiệt tình, tâm huyết với nghề à điều kiện thu n lợi để giúp tôi
nghiên cứu và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này.
Năm học 0 3 - 0 4
8, a khi học xo g c c bài
àm bài kiểm a viế , hì h
Kiểm a mức độ ắm kiế
hức hà h hâ ử .
ôi được hà ườ g hâ cô g giả g d y o
ớ
hâ ch đa hức hà h hâ ử, ôi đã cho các em
hức
o g hời gia 45 hú với mục iê :
hức và kĩ ă g v dụ g vào bài
hâ ch đa
Kế q ả à:
Kết quả điểm ước khi v n dụng sáng kiến
Tổng HS
36
0-< 3đ
3đ - < 5đ
5 -<8đ
8– 0đ
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
5
13,9
9
25
21
58,3
1
2,8
ừ bài kiểm a ôi hấy khả ă g v dụ g c c hư g h đã học vào
bài o
hâ ch đa hức hà h hâ ử học i h cò m hồ, đa ố c c em cò
ú g ú g, chưa ìm được hướ g giải h ch hợ , khô g biế
dụ g hư g h p
ào ước, hư g h
ào a , hướ g giải ào à ố hấ . Mộ ố em hiể
được hư g h giải hư g i hầm ẫ trong biế đổi, h o dẫ đế kế
q ả ai, có ườ g hợ đi đú g hư g h
hư g hâ ch bài toán chưa iệ
để.
Q a đây ôi hấy việc làm cho học sinh nắm vữ g hư g h để v n
dụng kiến thức đã học vào giải toán là công việc rất quan trọng và không thể
thiế được của gười d y toán. Vì hô g q a đó có hể è được ư d y ogic,
khả ă g
g o, khả ă g v n dụng cho học i h. Để àm được điề đó hì
theo tôi, nhà giáo phải cung cấp cho học i h c c hư g h giải cụ thể, chi
tiết để học sinh hiể được th c chất của vấ đề, phát hiệ hư g h
hù hợp
với từng bài cụ thể các d ng khác nhau. Từ đó giúp học sinh có c c kĩ ă g
giải toán thành th o, thoát khỏi tâm lí chán nản, hoang mang, dẫ đến sợ môn
toán.
4
2.3. Các biện pháp tiến hành
2.3.1. Giải pháp mới của SKKN
* SKKN đưa ra giải pháp mới như sau:
- Đị h hướ g hư g h cụ thể cách phân tích của 3 hư g h : Đặt
nhân tử chung, dùng hằ g đẳng thức, nhóm h ng tử. Xây d ng trình t chi tiết
c c bước của mỗi hư g h
hâ ch.
- Phát triể ư duy cho học sinh thông qua việc giới thiệ
hư g h
phân tích mới: Phư g h
ch một h ng tử thành nhiều h ng tử khác và
Phư g h hêm và bớt cùng một h ng tử.
a) Củng cố kiến thức c bản cho học sinh
- Giáo viên nêu các hư
g h :
+ Phư
g h : Đặt nhân tử chung
+ Phư
g h : Dùng hằ g đẳng thức
+ Phư
g h : Nhóm nhiều h ng tử
- Giáo viên chỉ a hư g h p chung cho mỗi d ng, hướng dẫn chi tiết
heo c c bước cho học i h. Sa đó cho học sinh t trình bày các bài t
ư g
t với mức độ nâng dần nhằm cho học sinh thấy được các sai lầm hường gặp,
đồng thời giáo viên chữa các sai sót cho học sinh trong quá trình giải.
- Khai thác bài toán
mức độ đ
giản.
b) V n dụng và phát triển kỹ ă g cho học sinh
hư
- Giáo viên ê hư g h : Phối hợp nhiề hư g h (Phối hợp các
g h
ê : Đặt nhân tử chung, dùng hằ g đẳng thức, nhóm h ng tử)
- ê c
à c c hư g h đã học, đối với d ng phối hợp nhiều
hư g h gi o viê chỉ hướng dẫn tổng quát, cho học sinh t th c hành là
chủ yếu. Từ đó chữa các sai lầm hường gặp cho học sinh.
- Củng cố các phép biế đổi c bản và hoàn thiệ c c kĩ ă g h c hành.
(Đặc biệ à kĩ ă g lấy dấu ngoặc, bỏ dấu ngoặc o g đa hức)
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán dành cho các học sinh
khá giỏi.
- Đối với hư g h
ày, gi o viê ẽ phân lo i bài t p theo mức độ
khác nhau của học i h để học sinh th c hiệ đ t yêu cầu. (Phân nhóm học t p
phù hợp để hướng dẫn chi tiế cho đối ượng yếu kém; è kĩ ă g h c hành
5
cho đối ượng trung bình; rèn tính logic, phát huy tính sáng t o cho đối ượng
khá giỏi)
c) Phát triể
ư d y cho học sinh
- Giới thiệu hai hư
+ Phư
g h
+ Phư
g h
g h :
ch một h ng tử thành nhiều h ng tử khác
hêm và bớt cùng một h ng tử.
- Đây à
hư g
ượng học sinh khá, giỏi.
viên chỉ giới thiệ hư
hướng giải để học i h è
h
ư g đối khó nên giáo viên chỉ áp dụ g cho đối
Với đối ượng học sinh yếu kém hay trung bình, giáo
g h ch g, v dụ ê a được hướng dẫn chi tiết
kĩ ă g h c hiệ c c hư g h c bả đã học.
2.3.2. Biện pháp tiến hành
Tất cả các phần trong SKKN tôi xin trình bày theo logic. Sau khi định
hướng hư g h , c c bước th c hiện cụ thể tôi nêu ví dụ minh họa với gợi ý
b m
hư g h . Q a v dụ è kĩ ă g biế đổi, sửa chữa sai lầm hường
gặp, và khai thác bài toán với mức độ ă g dần. ê c
đó, a c c bài p yêu
cầu học sinh v n dụ g hư g h và c ối cùng là hệ thống bài t đề nghị.
2.3.2.1. Củng cố kiến thức cơ bả q a các p ƣơ
* P ƣơ
p áp
p áp cơ bản
t nhân tử chung
a) Định hướng phương pháp chung
dư
- Bước 1: Tìm hệ số của nhân tử ch g: Ư LN của các hệ số nguyên
g
- Bước 2: Tìm biến (nếu có) của nhân tử chung: Biến có mặt trong tất cả
các h ng tử, với số mũ hỏ nhất.
- Bước 3: X c định nhân tử chung: L p tích của hệ số và biến chung
- Bước 4: X c định các h ng tử trong ngoặc.
Nhằm đưa đa hức về d ng: A.B + A.C + …+ A.E = A.(B + C +…+ E)
Chú ý: Nhiề khi để làm xuất hiện nhân tử ta cầ đổi dấu các h ng tử.
b) Các ví dụ
Ví dụ 1: Phâ
ch đa hức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử. (BT- 39c -
SGK-tr19)
* Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các h ng tử trên
6
(Đáp án: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28) = 7)
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2 (Đáp án: xy)
- Tìm nhân tử chung của các h ng tử o g đa hức đã cho (Đáp án: 7xy)
- Tìm các h ng tử trong ngoặc bằ g kĩ ă g hâ đ
hức với đ
hức.
Giải:
14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ 2: Phâ
ch đa hức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. (BT-39e -
SGK-tr19)
* Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 (Đáp án: 2)
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x)
(Đáp án: (x – y) hoặc (y – x))
- Hãy th c hiệ đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân
tử chung (y – x) hoặc (x – y)
Cách 1: Đổi dấu tích - 8y(y - x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x - y) = -10x(y - x) (Hs tự giải)
Giải:
10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 3: Phâ
ch đa hức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử
(Cho HS t giải)
* Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2
= 9x(x – y) + 10(x – y)2
(đổi dấu sai)
= (x – y)[9x + 10(x – y)]
(sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y)
(kết quả sai)
* Sai lầm của học sinh:
Th c hiệ đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2
Sai lầm
trên là đổi dấu ba nhân tử: –10 và (y – x)2 của tích –10(y – x)2
7
(Vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x).
* Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
c) Nhận xét
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các h ng tử (tìm nhân tử chung của các hệ
số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ hỏ nhất).
- Lư ý quy tắc đổi dấ và c ch đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
Chú ý: ch khô g đổi khi a đổi dấu hai nhân tử o g ch đó (một
cách tổ g q , ch khô g đổi khi a đổi dấu một số chẵn nhân tử o g ch đó).
d) Vận dụng (mức độ tăng dần)
Bài 1: Phâ
ch đa hức thành nhân tử bằ g hư
g h
đặt nhân tử chung
a) 5x – 20y
b) 5x(x - 1) - 3x(x – 1)
c) x2(x + 1) – x (x + 1)
Giải:
a) 5x – 20y = 5x – 5.4y = 5(x - 4y)
b) 5x(x - 1) - 3x(x – 1) = (x - 1)(5x - 3x) = (x – 1).2x
c) x2(x + 1) – x (x + 1) = (x + 1)(x2 – x) = (x + 1)x(x – 1)
Bài 2: Phâ
ch đa hức thành nhân tử bằ g hư
g h
đặt nhân tử chung
a) 6xy – 30y
b) 5x (x – 2y) + 2 (2y – x)
c) x(x + y) – (2x + 2y)
d) 7x(x – 2)2 – (2 – x)3
Giải:
a) 6xy – 30y = 6xy – 6y.5 = 6y(x - 5)
b) 5x (x – 2y) + 2 (2y – x) = 5x (x – 2y) - 2(x – 2y)
= (x – 2y)(5x - 2)
c) x(x+y) – (2x+2y)
= x(x+y) – 2(x+y)
8
= (x+y)(x – 2)
d) 7x(x – 2)2 – (2 – x)3
= 7x(x– 2)2 – (x – 2)2(2 - x)
= (x– 2)2[7x- (2 - x)]
= (x– 2)2(7x - 2 + x)
= (x– 2)2(8x - 2)
e) Một số bài tập đề nghị
Phân tích c c đa hức sau thành nhân tử bằng hư
g h
đặt nhân tử chung
a) 2x + 6y
b) 5x2y + 20xy2
c) x2y3 –
1 4 8
xy
2
d) a2b4 + a3b – abc
e) 5x (x – 11) – 10y(x – 11)
f) x (2x – 1) – xy(1 – 2x)
g) x3 – 4x2 + x
f) x2y2z – 6x3y – 8x4z2 – 9x5y5z5
h) 7x(y – 4)2 – (4 – y)3
i) x2 – x + 1 + 7x (x2 – x + 1)
m) 5x5 (y3 + 3y – 13) – 4y (y3 + 3y – 13) – 2x(y3+ 3y – 13).
* P ƣơ
p áp ằ
ẳng thức
a) Định hướng phương pháp chung
* Yêu cầu: Học sinh phải nắm vững các hằ g đẳng thức đ g hớ
1. Bì h hư
g của một tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2. Bì h hư
g của một hiệu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3. Hiệ hai bì h hư
g:
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4. L
hư
g của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5. L
hư
g của một hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3
6. Tổng hai l
hư
g:
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. Hiệu hai l
hư
g:
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
* P ƣơ
p áp:
9
Bước 1: - Nh n d ng hằ g đẳng thức có thể phân tích qua số mũ c c
h ng tử o g đa hức
- Nh n d ng hằ g đẳng thức được áp dụng thông qua số h ng tử, và
các hệ số của các h ng tử đó.
Bước : Phâ
định nhân tử.
ch đa hức theo d ng hằ g đẳng thức đã chọ để xác
ưu ý: Có thể cầ
đẳng thức dễ dà g h
hay đổi vị trí của các h ng tử để nh n d ng hằng
.
b) Ví dụ
Ví dụ 4: Phâ
ch đa hức x2 – 6x + 9 thành nhân tử
* Giáo viên gợi ý:
- Đa hức x2 – 6x + 9 thuộc d ng hằ g đẳng thức nào?
(Đáp án: (A – B)2 = A 2 – 2 A B + B2))
- Biế đổi đa hức để x c định A, B
Ta thấy đa hức x2 + 6x + 9 có d ng của hằ g đẳng thức A 2 + 2A B + B2
nên ta phân tích : x2 = (x)2 A là x
9 = 32 B là 3 và 6x = 2 . x . 3
Hay
x2 + 6x + 9 =
(x)2 + 2 . x . 3 + (3)2 = (x + 3)2
A2 + 2 . A . B + B2 = (A + B)2
Giải:
x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2 . x . 3 + (3)2 = (x + 3)2
Ví dụ 5: Phâ
ch đa hức 8x3 – y3 thành nhân tử (Cho Hs giải)
* Giáo viên gợi ý:
- Đa thức trên có d ng hằ g đẳng thức nào? (Đáp án: A3 – B3)
* Lời giải sai: 8x3 – y3 = (2x)3 – y 3 = (2x – y)(2x2 + 2x . y + y2)
* Sai lầm của học sinh: Th c hiện thiếu dấu ngoặc
* Lời giải đúng: 8x3 – y3 = (2x)3 – y 3 = (2x – y)[ (2x)2 + 2x . y + y2]
Ví dụ 6: Phâ ch đa hức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử bằ g hư
pháp dùng hằ g đẳng thức. (BT- 28a- SBT-Tr 9) (cho Hs giải)
g
* Giáo viên gợi ý:
- Đa hức trên có d ng hằ g đẳng thức nào? (Đáp án: A2 – B2)
10
* Lời giải sai:
(x + y)2 – (x – y)2
= (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
* Sai lầm của học sinh: Th c hiện thiếu dấu ngoặc
* Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
* Khai thác bài toán: (Đối với học sinh khá giỏi)
- Với ví dụ 6, nếu thay “bì h hư
g” b i “
Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử
hư
g” ta có bài toán:
(BT- 44b-SGK-tr20)
- Với ví dụ 6, nế đặt x + y = a, x –y = b, hay mũ “3” b i mũ “6” ta có
bài toán: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c-SBT-tr9)
c) Nhận xét
Giáo viên cho học sinh thấy được:
- Các sai lầm dễ mắc phải:
+ Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu
+ Cho học sinh thấy được s giống nhau và khác nhau của các d g hư
hiệ hai bì h hư g và tổ g hai bì h hư g, tổng hai l
hư g và hiệu hai
l p hư g để tránh nhầm lẫn.
- Rèn kĩ ă g h n d ng hằ g đẳng thức qua bài toán, d a vào các h ng
tử, số mũ của các h ng tử mà sử dụng hằ g đẳng thức cho thích hợp.
d) Vận dụng
Bài 1: Phâ
ch đa hức thành nhân tử bằ g hư
g h
hằ g đẳng thức
a) x2 – 9
b) 4x2 – 25
c) x4 – y4
Giải:
a) x2 – 9
= x2 – 32
= (x + 3)(x – 3)
b) 4x2 – 25 = (2x)2 – 52
c) x4 – y4
= x2 y 2
2
= (2x + 5)(2x - 5)
2
= (x2 – y2)(x2 + y2)
11
= (x + y)(x - y)(x2 + y2)
Bài 2: Phâ
ch đa hức thành nhân tử bằ g hư
g h
dù g hằ g đẳng
thức
a) 9x2 + 6xy +y2
b) x2 + 4y2 + 4xy
c) (3x + 1)2 – (x+1)2
Giải:
a) 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.3x.y + y2
= (3x + y)2
b) x2 + 4y2 + 4xy = x2 + 2.x.2y +(2y)2
= (x +2y)2
c) (3x + 2)2 – (x+1)2 = (3x + 2+ x +1)[3x+ 2 - (x+1)]
= (4x+ 3)(3x+2 – x - 1) = (4x + 3)(2x + 1)
e) Một số bài tập đề nghị
Bài 1: Phâ
ch đa hức thành nhân tử
a) x2 + 10x + 25
b) x2 + 14x + 49
c) 16x2 + 24xy + 9y2
d) (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1
e) 6x - 9 – x2
f) x3 + y3+ z3 - 3xyz.
Bài 2: Hoàn thiện vào chỗ trố g để có kết quả đú g
a) x2 + ……….. + 8 = (……… + …………)2
b) …………+ 8x + 6 = (…………. + ………….)2
c) y 2 – 20y + ………… = (…………. – ………….)2
d) z4 + ……………. + 64 = (…………. + ………….)2
e) 25x2 – ……… + ……… = (…………. + 7)2
f) 36y2 – 49z2 =(…….)2 – (……..)2 = (….. – …..)(…… + …….)
g) m3 – 125 = m3 – …3= (…….. – …….)(…….. + ……… + ……..)
h) 8x3 + 12x2 + 6x +1 = (….)3 + 3(….)2 ….. + 3……. + ….3 = (…. +….)3
i) 1 +
1 3
x = …..3 + (…..)3 = (…. + ….)(… – ….. + …….)
64
12
* P ƣơ
p áp
óm
u hạng tử
a) Định hướng phương pháp chung
Đặc điểm của hư g h
hóm h ng tử à đa hức phải có từ 4 h ng tử
tr lên. Dùng các tính chất : giao hoán, kết hợp của phép cộ g c c đa hức ta l a
chọn các h ng tử thích hợp để thành l p nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai
d ng sau: hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức.
hô g hường ta d a vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các h ng tử trong bài toán.
- Thành l p nhóm d a theo mối quan hệ đó, hải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân
tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
* P ƣơ
p áp c
:
- Bước 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc d ng hằ g đẳng thức o g đa
thức
- Bước 2: Nhóm các h ng tử đã h hiện l i để áp dụ g hư
hằ g đẳng thức và nhân tử chung cho từng nhóm.
g h
- Bước 3: Đặt nhân tử ch g cho oà đa hức.
* Chú ý: Đôi khi a hải khai triển (bỏ ngoặc) rồi chọn (sắp xếp) các h ng
tử để nhóm hợp lí.
b) Ví dụ
* Nhóm nhằm xu t hiệ p ƣơ
Ví dụ 7: Phâ
p áp
t nhân tử chung:
ch đa hức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a –SGK - tr22)
* Giáo viên gợi ý:
Cách 1: Nhóm (x2 – xy) và (x – y)
Cách 2: Nhóm (x2 + x) và (– xy – y)
* Lời giải sai:
x2 – xy + x – y
= (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0) (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
* Sai lầm của học sinh: bỏ sót h ng tử a khi đặt nhân tử chung
13
(HS cho rằng
ngoặc thứ 2 khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn l i là số 0)
* Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)
= (x – y)(x + 1)
* Nhóm nhằm xu t hiệ p ƣơ
Ví dụ 8: Phâ
p áp dù
ằ
ẳng thức:
ch đa hức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử
* Giáo viên gợi ý: Nhóm 3 h ng tử đầu với nhau
* Lời giải sai: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – 2y2 (Thiếu dấu ngoặc)
= (x – 1)2 - 2y2 (Không thể phân tích tiếp)
* Sai lầm của học sinh: Th c hiện thiếu dấu ngoặc
* Lời giải đúng: x2 – 2x + 1 – 4y2
= (x2 – 2x + 1) – (2y)2
= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
hằ
* Nhóm nhằm sử dụ
ẳng thức
Ví dụ 9: Phâ
a p ƣơ
p áp:
t nhân tử chung và dùng
ch đa hức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
* Gợi ý: Nhóm hạng tử 1 và hạng tử 3, nhóm hạng tử 2 và hạng tử 4
* Lời giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y
= (x2 – 4y2) – (2x – 4y)
(đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2)
(kết quả dấu sai)
* Sai lầm của học sinh:
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2)-(2x – 4y)(đặt dấu sai ở ngoặc thứ 2)
* Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (– 2x – 4y)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
c) Nhận xét
Qua các ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
- Cách nhóm các h ng tử và đặt dấu trừ “–” hoặc dấu cộ g “+”
dấu ngoặc.
ước
14
- o g hư g h
hóm hường dẫ đến s sai dấu, vì v y học sinh
cần chú ý cách nhóm và kiểm tra l i kết quả sau khi nhóm.
ưu ý: Sa khi hâ ch đa hức thành nhân tử mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử không th c hiện được nữa, hì c ch hóm đó đã ai, hải
th c hiện l i.
d) Vận dụng
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) x2 – x – y2 – y
b) x2 - 2xy + y2 – z2
c) 5x – 5y + ax – ay
d) 2x2 + 4x + xy +2y
Giải:
a) x2 – x – y2 – y
= (x2 – y2) –(x + y)
= (x + y)(x - y) – (x+ y)
= (x + y)(x - y) – (x+ y) = (x + y)(x - y – 1)
b) x2 - 2xy + y2 – z2
= (x2 - 2xy + y2) – z2
= (x – y)2 - z2
= (x – y +z) (x –y –z)
c) 5x – 5y + ax – ay
= (5x – 5y) + (ax – ay)
= 5(x – y) +a (x – y)
= (x – y)(5 + a)
d) 2x2 + 4x + xy +2y
= (2x2 + 4x) + (xy +2y)
= 2x (x+2) + y(x+2)
= (x+2)(2x+y)
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a) x6 – x4 + 2x3 + 2x2
b) x3 – x2 – 5x + 125
c) a3 – a2x - ay + xy
d) x2 - 2xy - 4z2 + y2
Giải:
a) x6 – x4 + 2x3 + 2x2 = (x6 – x4) + (2x3 + 2x2)
= x4(x2 – 1)+ 2x2(x+1) = x4(x– 1)(x+1) +2x2(x+1)
= (x+1) [x4(x– 1)+2x2] = (x+1) x2[x2 (x-1) +2)]
= (x+1) x2(x3 – x2 +2)
15
b) x3 – x2 – 5x + 125 = (x3 +125) – (x2 + 5x)
= (x + 5)(x2 - 5x + 25) –x(x + 5)
= (x + 5)(x2 - 5x + 25 – x) = (x + 5)(x2 - 6x + 25)
c) a3 – a2x - ay + xy = (a3 – a2x) – (ay - xy)
= a2(a – x) - y (a – x) = (a – x) (a2 – y)
d) x2 - 2xy - 4z2 + y2 = (x2 - 2xy + y2) - 4z2
= (x – y)2 – (2z)2 = (x –y – 2z)(x - y +2z)
e) Một số bài tập đề nghị
Phâ
ch c c đa hức sau thành nhân tử
a) a(x – y) + bx – by
b) x2 + xy – 7x – 7y
c) ac + bc + a + b
d) x2 + 2xy + y2 – 4
e) – 5ax – 7a + 7x
f) 1 – y3 + 6xy2 – 12x2y + 8x3
h) 7z2 – 7yz – 4z + 4y
i) b2c + bc2 + ac2 – a2 c – ab (a + b)
k) x3 + 3x2 + 3x + 9
m) 2a2b + 4ab2 – a2c – 2abc + ac2 + 2bc2 – 4b2c – 2abc
n) ax – 34bx – 15a + 17b
p) x3 – x2y - x2z – xyz
q) x3 + 2x2 – 6x – 27
g) 12x3 + 4x2 – 27x – 9
2.3.2.2. V n dụng và phát triể kĩ ă
các p ƣơ p áp ô
ƣờng
q a p ƣơ
p áp: P ối hợp
a) Định hướng phương pháp chung
Phối hợp nhiề hư g h à s kết hợp nhuần nhuyễn giữa c c hư g
pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằ g đẳng thức, nhóm nhiều h ng tử. Vì v y
hư g h
ày ẽ khó khă đối với học sinh yếu kém, trung bình. Khi tiếp
xúc bài toán phâ ch đa hức thành nhân tử mà đề bài chưa ê hư g h
cụ thể, thì tình tr ng chung là lúng túng, bế tắc trong khâu chọ hư g h ,
16
không biết sử dụng phư g h
ào ước, một số kh c hì cũ g hâ ch được
hư g chưa iệ để. Vì v y tôi cho học sinh nh n xét bài toán một cách cụ thể,
xem mối quan hệ của các h ng tử để ìm hướng giải thích hợp.
* P ƣơ
p áp:
Giáo viên cho học sinh xét lầ
ượt từng phư
g h :
Đặt nhân tử
Dùng hằng đẳng thức
Nhóm nhiều hạng tử
Cụ thể:
- Bước 1: Đầu tiên hãy xét xem các h ng tử có xuất hiện nhân tử chung
hay không?
+ Nế đa hức có nhân tử chung thì áp dụ g hư g h đặt nhân tử
ch g. Sa đó xem đa hức trong ngoặc là bài toán mới và quay l i bước 1, tiếp
tục th c hiệ c c hư g h để phân tích ( nếu có thể) đến kết quả cuối cùng.
+ Nế đa hức không có nhân tử chung thì chuyể
a g bước 2.
- Bước : Xé xem đa hức đó có d ng hằ g đẳng thức nào không?
+ Nếu đa hức có d ng hằ g đẳng thức ta v n dụ g hư
đẳng thức để phân tích.
+ Nế đa hức không có d ng hằ g đẳng thức thì chuyể
g h
hằng
a g bước 3.
- Bước 3: Dù g hư g h nhóm để đưa các h ng tử vào từng nhóm
thỏa mã điều kiện: mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung
của các nhóm hoặc xuất hiện hằ g đẳng thức để tìm nhân tử của bài toán.
b) Ví dụ
Ví dụ 10: Phâ
ch đa hức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử.
(BT- ?2 -
SGK-tr22)
* Gợi ý phân tích: Xét từ g hư
g h :
Đặt nhân tử chung
Dùng hằ g đẳng thức
Nhóm nhiều h ng tử
* Lời giải chưa hoàn chỉnh:
Lời giải 1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)
Lời giải 2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3) + (x2 – 9x)
17
= x3(x – 9) + x(x – 9)
= (x – 9)(x3 + x) (phân tích chưa triệt để)
* Lỗi của học sinh: Phân tích chưa triệt để.
* Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
c) Nhận xét
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Khi hâ ch bài o heo hư g h đã chọn cần xem l i đa hức đó
phân tích triệ để chưa. Nế chưa iệ để hì ìm hư g h để phân tích tiếp.
Trong một số bài có thể có nhiều cách giải, học sinh cần linh ho t l a chọn cách
giải ngắn gọn và phù hợp nhất và cuối cùng là phân tích triệ để bài toán.
d) Khai thác bài toán (Đối với học sinh khá giỏi)
Bài toán:
1) Cho a + b + c = 0. Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc
(Bài tập 38- SBT-tr10)
- Hướng dẫn:
Dùng a3 + b3 = (a + b)3 + 3ab(a + b) và a + b + c = 0 a + b = - c
) Phâ
ch đa hức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử
(Bài tập 28c - SBT-tr9)
- Hướng dẫn:
Dùng x3 + y3 = (x + y)3 + 3xy(x + y)
e) Vận dụng
Phâ
ch đa hức thành nhân tử (Cho học sinh th c hiện theo nhóm thích
hợp)
a) x4 +2x3 + x2
(Nhóm yếu kém)
b) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y (Nhóm trung bình)
c) 5x2 - 10xy + 5y2 - 20z2
(Nhóm khá giỏi)
Giải:
a) x4 + 2x3 + x2 = x2(x2 +2x+1) = x2 (x+1)2
b) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3- y = (x3 + 3x2y +3xy2 + y3) –(x + y)
= (x+y)3- (x+y) = (x+y) [(x+y)2 – 1] = (x+y)(x+y+1)(x + y - 1)
18
c) 5x2 - 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 - 2xy + y2 – 4z2) = 5[(x - y)2 –(2z)2]
= 5(x - y – 2z)(x – y + 2z)
f) Một số bài tập đề nghị
Phâ
ch đa hức thành nhân tử
a) x3 - 2x2 + x
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2
c) 2xy – x2 – y2 +16
d) x3 + 2x
e) 2(x +1) – x2 – x
f) 2x3 - 12x2 + 18x
g) x3 + 5x2 + 4x +20
2.3.2.3. Phát triể
ƣ d y q a 2 p ƣơ
p áp p â
íc mới
o g chư g ì h ch gi o khoa o 8 hiện hành chỉ giới thiệu ba
hư g h
hâ ch đa hức thành nhân tử đó à: Đặt nhân tử chung, dùng
hằ g đẳng thức, nhóm nhiều h ng tử. Tuy nhiên trong phần bài t p l i có những
bài không thể áp dụ g gay ba hư g h
ê để giải, (Chẳng hạn như bài
tập 53, 57 sgk/tr24-25). Sách giáo khoa có gợi ý c ch “tách” một h ng tử thành
hai h ng tử khác hoặc “thêm và bớt cùng một hạng tử” h ch hợp rồi áp dụng các
hư g h
ê để giải. Xin giới thiệu thêm về hai hư g h : Phương
pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác và Phương pháp thêm, bớt cùng
một hạng tử, để học sinh v n dụng rộng rãi trong th c hành giải toán. Tuy nhiên
mức độ của
hư g h
ày ư g đối khó nên tôi chỉ áp dụng nhiề cho đối
ượng khá, giỏi. ò iê g đối ượng trung bình, yếu kém thì sẽ hướng dẫn
hư g h , chi iết trong các ví dụ cụ thể với mức độ đ giản.
* P ƣơ
p áp ác
ạng tử thành nhi u hạng tử khác
a) Định hướng phương pháp
Việc tách h ng tử thành nhiều h ng tử khác là nhằm làm xuất hiện các
hư g h đã học hư: Đặt nhân tử chung, dùng hằ g đẳng thức, nhóm nhiều
h ng tử, là việc làm hết sức cần thiế đối với học sinh trong giải toán. Đối với
hư g h
ày, ôi gợi ý học sinh giải theo 3 hướng giải thông dụng sau:
19
- Hướng giải 1: Tách h ng tử b c nhất thành 2 h ng tử rồi dù g hư g
pháp nhóm các h ng tử và đặt nhân tử ch g. Hướng giải ày được áp dụng khi
hâ ch đa hức có d ng ax2 + bx + c thành nhân tử. Phư g h
hư a :
+ Bước 1: Tìm tích a.c
+ Bước 2: Phân tích a.c thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách
+ Bước 3: Chọn 2 thừa số b1, b2 có tổng bằng b. Khi đó bx được tách thành
2 h ng tử b c nhất b1 x, b2x
- Hướng giải 2: Tách h ng tử khô g đổi (t do) thành 2 h ng tử rồi đưa đa
thức về d ng hiệ hai bì h hư g hoặc làm xuất hiện hằ g đẳng thức và có
nhân tử chung với h ng tử còn l i .
- Hướng giải 3: Tách h ng tử b c hai thành 2 h ng tử rồi đưa đa hức về
d ng hằ g đẳng thức ( hô g hường là hiệu hai bì h hư g).
b) Ví dụ
Ví dụ 11: Phâ
ch đa hức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
* Gợi ý: - Áp dụng 3 hướng giải trên
Cách 1: Tách hạng tử - 8x : - 8x = - 6x - 2x
Cách 2: Tách hạng tử 4 : 4 = -12 + 16
Cách 3: Tách hạng tử 3x2:
3x2 = 4x2 - x2
Giải:
Cách 1: Tách hạng tử - 8x
Ta có: a = 3 ; b = -8 ; c = 4
Bước 1: a.c = 12
Bước 2: a.c = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
Bước 3: b = 8 = (- 6) +(-2)
Như v y sẽ tách h ng tử - 8x = - 6x - 2x
Giải:
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
= 3x(x – 2) – 2(x – 2)
= (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử 4 : 4 = -12 + 16
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
20
- Xem thêm -
.PDF 
36 
78 
136 
