Tài liệu Skkn sáng kiến kinh nghiệm các bài toàn về số ,dãy số chữ số

C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. Nh÷ng VÊn ®Ò chung I-/TÝnh cÊp thiÕt HiÖn nay häc To¸n vµ gi¶i to¸n cña häc sinh nh×n chung cã chiÒu h-íng tiÕn bé so víi tr-íc. Cã ®-îc ®iÒu ®ã chÝnh lµ nhê c¸c em ®· chó träng, ®Çu t- nhiÒu cho viÖc häc nãi chung trong ®ã cã häc to¸n. MÆt kh¸c, ®iÒu cèt lâi lµ c¸c gi¸o viªn ®· ®æi míi ph-¬ng ph¸p d¹y häc ph¸t huy tÝnh chñ ®éng, s¸ng t¹o vµ ãc t- duy cho häc sinh. Nh-ng do ®Æc ®iÓm løa tuæi, ®¹i ®a sè c¸c em ch-a cã kh¶ n¨ng tæng hîp c¸c kiÕn thøc ®· häc thµnh hÖ thèng nhÊt lµ khi c¸c kiÕn thøc nµy n»m r¶i r¸c ë c¸c líp. V× vËy nhiÖm vô cña gi¸o viªn båi d-ìng häc sinh lµ ph¶i gióp c¸c em hÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc ®· häc thµnh tõng chuyªn ®Ò nhá, tõng lo¹i to¸n, d¹ng to¸n ®Ó c¸c em dÔ dµng tiÕp thu h¬n vµ tiÕp thu mét c¸ch khoa häc. §èi víi c¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè th× c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n cã tõ líp 1 ®Õn líp 5, c¸c kiÕn thøc nµy ®-îc ®-a ra tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p, tõ c¬ b¶n ®Õn n©ng cao nh»m phï hîp víi kh¶ n¨ng t- duy cña c¸c em. Do vËy nÕu ng-êi d¹y ®Çu t- thêi gian c«ng søc tËp hîp c¸c kiÕn thøc nµy thµnh mét chuyªn ®Ò cã tÝnh hÖ thèng vµ h-íng dÉn, gióp ®ì häc sinh c¸c kiÕn thøc tõ dÔ ®Õn khã th× ch¾c ch¾n c¸c em sÏ dÔ dµng n¾m ®-îc l-îng kiÕn thøc mµ gi¸o viªn vµ bµi häc ®Æt ra. Tõ ®ã kh¶ n¨ng häc to¸n cña c¸c em ®-îc n©ng lªn ®Õn ®é thÝch hîp ®Ó tiÕp thu kiÕn thøc theo tr×nh ®é n©ng chuÈn vµ trªn chuÈn II-/Môc ®Ých vµ yªu cÇu Khi chän chuyªn ®Ò nµy ®Ó ¸p dông cho viÖc båi d-ìng häc sinh kh¸ giái th× môc ®Ých cña ®Ò tµi lµ gióp c¸c em cã ®iÒu kiÖn n©ng cao kh¶ n¨ng häc to¸n ®Æc biÖt lµ kh¶ n¨ng t- duy l«gÝc vµ ãc kh¸i qu¸t, tæng hîp. Bªn c¹nh ®ã ®Ò tµi nµy cßn gióp c¸c em cã kh¶ n¨ng tõ c¸ch gi¶i bµi to¸n cô thÓ mµ kh¸i qu¸t ho¸ ®-a c¸c bµi to¸n kh¸c cïng lo¹i vÒ d¹ng ®· häc ®Ó gi¶i. Häc xong phÇn nµy c¸c em ph¶i ®¹t ®-îc c¸c yªu cÇu sau: - N¾m ®-îc c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ d·y sè cã n©ng cao. L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. -1- C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. - Cã kÜ n¨ng gi¶i to¸n vµ gi¶i ®-îc c¸c bµi to¸n cïng d¹ng vµ cïng lo¹i. - §¹t kÕt qu¶ tèt trong hoc to¸n vµ trong c¸c k× thi chän häc sinh giái. III-/§èi t-îng vµ ph-¬ng ph¸p §Ò tµi nµy dµnh cho ®èi t-îng häc sinh kh¸ giái líp 4 -5 trong c¸c tr-êng, ®Æc biÖt nã cã kÕt qu¶ kh¶ quan h¬n trong viÖc båi d-ìng c¸c ®éi tuyÓn häc sinh giái. Ph-¬ng ph¸p chÝnh lµ: Ph©n tÝch, tæng hîp, gi¶ng gi¶i, vÊn ®¸p, trùc quan, ®iÒu tra..... ®Æc biÖt chó träng ph-¬ng ph¸p ph©n tÝch ®Ó t×m ra c¸ch gi¶i cña bµi to¸n vµ tæng hîp ®Ó tr×nh bµy lêi gi¶i cña bµi to¸n. Ngoµi ra cßn sö dông 1 sè ph-¬ng ph¸p kh¸c nh-: thùc hµnh, luyÖn tËp, hoÆc th¶o luËn theo nhãm... Néi dung vµ kÕt qu¶ I-/Néi dung C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè lµ c¸c bµi to¸n yªu cÇu häc sinh biÕt dùa vµo c¸c tÝnh chÊt, c¸c ®Æc ®iÓm cña ch÷ sè, sè ®Ó gi¶i to¸n ®ång thêi tÝnh to¸n trªn c¬ së d·y sè hoÆc quy vÒ d·y sè ®Ó tÝnh to¸n vµ gi¶i to¸n. Khi b¾t ®Çu båi d-ìng kiÕn thøc cho c¸c em, qua ®iÒu tra vµ tr¾c nghiÖm t«i thÊy kiÕn thøc vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè cña c¸c em cßn bÞ hæng nhiÒu. C¸c em ch-a biÕt c¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè nhÊt lµ c¸c bµi to¸n ph¶i quy vÒ d·y sè ®Ó gi¶i. VÝ dô “Mét quyÓn s¸ch cã 234 trang. Hái ®Ó ®¸nh sè trang quyÓn s¸ch ®ã ng­êi ta ph°i dïng bao nhiªu ch÷ sè “hoÆc” Mét b¹n häc sinh viÕt liªn tiÕp c¸c sè tù nhiªn tõ mät thµnh mét sè lín. Hái ch÷ sè thó 2004 l¯ ch÷ sè n¯o” Qua mét sè bµi lµm cña häc sinh vµ mét sè bµi kiÓm tra, kÕt qu¶ cô thÓ cña häc sinh nh- sau: Tæng sè bµi lµm 35 §iÓm 9 - 10 §iÓm 7 - 8 7 = 20% §iÓm 5 - 6 14 = 40% §iÓm 1 - 4 14 = 40% Víi kÕt qu¶ nµy c¸c em ch-a ®¹t tr×nh ®é chuÈn cña häc sinh giái. Nh- vËy c¸c L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. -2- C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. em khã mµ ®¹t ®-îc ®iÓm cao trong c¸c k× thi chän häc sinh giái c¸c cÊp. Tõ ®ã t«i thÊy cÇn ph¶i gióp c¸c em hÖ thèng ho¸ kiÕn thøc vÒ d·y sè vµ c¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè ®Ó c¸c em cã c¸i nh×n tæng qu¸t vÒ kiÕn thøc ®· vµ ®ang häc B-íc ®Çu ®Ó c¸c em lµm quen víi sè, ch÷ sè vµ d·y sè t«i ®-a ra c¸c vÝ dô cô thÓ sau ®ã tæng qu¸t thµnh c¸c kiÕn thøc ®¬n gi¶n, c¬ b¶n c¸c em cÇn n¾m ®-îc cô thÓ nh- sau: Sè vµ ch÷ sè 1- Nh÷ng kiÕn thøc cÇn l-u ý: a- Ch÷ sè lµ c¸c kÝ hiÖu cã tÝnh chÊt quy -íc, dïng ®Ó ghi c¸c sè. Cã m-êi ch÷ sè lµ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Khi viÕt 1 sè tù nhiªn ta sö dông m-êi ch÷ sè trªn. ch÷ sè ®Çu tiªn kÓ tõ bªn tr¸i cña 1 sè tù nhiªn ph¶i kh¸c 0. Víi 10 ch÷ sè nµy, ta cã thÓ viÕt ®-îc tÊt c¶ c¸c sè. b- Ph©n tÝch cÊu t¹o cña mét sè tù nhiªn : ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = abc x 10 + d = ab x 100 + cd c- Quy t¾c so s¸nh hai sè tù nhiªn : c.1- Trong 2 sè tù nhiªn, sè nµo cã ch÷ sè nhiÒu h¬n th× sè ®ã lín h¬n. c.2- NÕu 2 sè cã cïng ch÷ sè th× sè nµo cã ch÷ sè ®Çu tiªn kÓ tõ tr¸i sang ph¶ilín h¬n sÏ lín h¬n. d- Sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng 0, 2, 4, 6, 8 lµ c¸c sè ch½n. Sè ch½n cã tÝnh chÊt lµ lu«n chia hÕt cho 2. e- Sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng 1, 3, 5, 7, 9 lµ c¸c sè lÎ. Sè lÎ cã tÝnh chÊt lµ kh«ng chia hÕt cho 2, mµ khi chia cho 2 th× lu«n d- 1. g- Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 1 ®¬n vÞ. Hai sè h¬n (kÐm) nhau 1®¬n vÞ lµ hai sè tù nhiªn liªn tiÕp. h- Hai sè ch½n liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 2 ®¬n vÞ. Hai sè ch½n h¬n (kÐm) nhau2 ®¬n vÞ L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. -3- C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. lµ 2 sè ch½n liªn tiÕp. i- Hai sè lÎ liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 2 ®¬n vÞ. Hai sè lÎ h¬n (kÐm) nhau2 ®¬n vÞ lµ 2 sè lÎ liªn tiÕp. k- Khi ph¶i viÕt sè cã nhiÒu ch÷ sè gièng nhau ng-êi ta th-êng chØ viÕt 2 ch÷ sè ®Çu råi ... sau ®ã viÕt ch÷ sè cuèi bªn d-íi ghi sè l-îng ch÷ sè gièng nhau ®ã 10 . . . 0 8ch÷ sè 0 2- C¸c d¹ng to¸n:  D¹ng 1 : Sö dông cÊu t¹o thËp ph©n cña sè ë d¹ng nµy ta th-êng gÆp c¸c lo¹i to¸n sau: Lo¹i 1: ViÕt thªm 1hay nhiÒu ch÷ sè vµo bªn ph¶i, bªn tr¸i hoÆc xen gi÷a mét sè tù nhiªn. Bµi 1: T×m mét sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè,biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè 9 vµo bªn tr¸i sè ®ã ta ®-îc mét sè lín gÊp 13 lÇn sè ®· cho . Gi¶i : Gäi sè ph¶i t×m lµ ab. ViÕt thªm ch÷ sè 9 vµo bªn tr¸i ta d-îc sè 9ab. Theo bµi ra ta cã : 9ab = ab x 13 900 + ab = ab x 13 900 = ab x 13 – ab 900 = ab x ( 13 – 1 ) 900 = ab x 12 ab = 900 : 12 ab = 75 Bµi 2 : T×m mét sè cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng khi viÕt thªm ch÷ sè 5 vµo bªn ph¶i sè ®ã th× nã t¨ng L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. -4- C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. thªm 1 112 ®¬n vÞ . Gi¶i : Gäi sè ph¶i t×m lµ abc. Khi viÕt thªm ch÷ sè 5 vµo bªn ph¶i ta d-îc sè abc5. Theo bµi ra ta cã : abc5 = abc + 1 112 10 x abc + 5 = abc + 1 112 10 x abc = abc + 1 112 – 5 10 x abc = abc + 1 107 10 x abc – abc = 1 107 ( 10 – 1 ) x abc = 1 107 9 x abc = 1 107 abc = 123 Bµi 3: T×m mét sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt ch÷ sè 0 xen gi÷a ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ cña sè ®ã ta ®-îc sè lín gÊp 10 lÇn sè ®· cho, nÕu viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn tr¸i sè võa nhËn d-îc th× sè ®ã l¹i t¨ng lªn 3 lÇn. Gi¶i: Gäi sè ph¶i t×m lµ ab. ViÕt thªm ch÷ sè 0xen gi÷a ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ ta ®-îc sè a0b. Theo bµi ra ta cã : ab x 10 = a0b VËy b = 0 vµ sè ph¶i t×m cã d¹ng a00. ViÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn tr¸i sè a00 ta ®-îc sè 1a00. Theo bµi ra ta cã : 1a00 = 3 x a00 Gi¶i ra ta ®-îc a = 5 .Sè ph¶i t×m lµ 50 Lo¹i 2 : Xo¸ bít mét ch÷ sè cña mét sè tù nhiªn Bµi 1: Cho sè cã 4 ch÷ sè . NÕu ta xo¸ ®i ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ th× sè ®ã gi¶m ®i 4455 ®¬n vÞ. T×m sè ®ã. Gi¶i : L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. -5- C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. Gäi sè ph¶i t×m lµ abcd. Xo¸ ®i ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ ta ®-îc sè ab. Theo ®Ò bµi ta cã abcd – ab = 4455 100 x ab + cd – ab = 4455 cd + 100 x ab – ab = 4455 cd + 99 x ab = 4455 cd = 99 x (45 – ab) Ta nhËn xÐt tÝch cña 99 víi 1 sè tù nhiªn lµ 1 sè tù nhiªn nhá h¬n 100. Cho nªn 45 – ab ph¶i b»ng 0 hoÆc 1. - NÕu 45 – ab = 0 th× ab = 45 vµ cd = 0. - NÕu 45 – ab = 1 th× ab = 44 vµ cd = 99. Sè ph¶i t×m lµ 4500 hoÆc 4499. Lo¹i 3 : Sè tù nhiªn vµ tæng, hiÖu, tÝch c¸c ch÷ sè cña nã Bµi 1 : T×m mét sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã gÊp 5 lÇn táng c¸c ch÷ sè cña nã. Gi¶i : C¸ch 1 : Gäi sè ph¶i t×m lµ ab. Theo bµi ra ta cã ab = 5 x (a + b) 10 x a + b = 5 x a + 5 x b 10 x a – 5 x a = 5 x b – b (10 – 5) x a = (5 – 1) x b 5xa=4xb Tõ ®©y suy ra b chia hÕt cho 5. VËy b b»ng 0 hoÆc 5. + NÕu b = 0 th× a = 0 (lo¹i) + NÕu b = 5 th× 5 x a = 20, vËy a = 4. Sè ph¶i t×m lµ 45. C¸ch 2 : L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. -6- C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. Theo bµi ra ta cã ab = 5 x ( a + b) V× 5 x (a + b) cã tËn cïng b»ng 0 ho¨c 5 nªn b b»ng 0 hoÆc 5. + NÕu b = 0 thay vµo ta cã : a5 = 5 x (a + 5) 10 x a + 5 = 5 x a + 25 TÝnh ra ta ®-îc a = 4. Thö l¹i : 45 : (4 + 5) = 5 . VËy sè ph¶i t×m lµ 45. Bµi 2 : T×m mét sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng sè chia cho hiÖu c¸c ch÷ sè cña nã ®-îc th-¬ng lµ 28 vµ d- 1 Gi¶i : Gäi sè ph¶i t×m lµ ab vµ hiÖu c¸c ch÷ sè cña nã b»ng c. Theo bµi ra ta cã : ab = c x 28 + 1, vËy c b»ng 1, 2 hoÆc 3. + NÕu c = 1 th× ab = 29. Thö l¹i : 9 – 2 = 7 1 (lo¹i) + NÕu c = 2 th× ab = 57. Thö l¹i : 7 – 5 = 2 ; 57 : 2 = 28 (d- 1) + NÕu c= 3 th× ab = 58. Thö l¹i : 8 – 5 = 3 ; 85 : 3 = 28 (d- 1) VËy sè ph¶i t×m lµ 85 vµ 57. Bµi 3 : T×m mét sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã gÊp 5 lÇn tÝch c¸c ch÷ sè cña nã. Gi¶i : C¸ch 1 : Gäi sè ph¶i t×m lµ abc. Theo bµi ra ta cã abc = 5 x a x b x c. V× a x 5 x b x c chia hÕt cho 5 nªn abc chia hÕt cho 5. VËy c = 0 hoÆc 5, nh-ng c kh«ng thÓ b»ng 0, vËy c = 5. Sè ph¶i t×m cã d¹ng ab5. Thay vµo ta cã. L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. -7- C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. 100 x a + 10 x b + 5 = 25 x a x b. 20 x a + 2 x b +1 = 5 x a x b. V× a x 5 x b chia hÕt cho 5 nªn 2 x b + 1 chia hÕt cho 5. VËy 2 x b cã tËn cïng b»ng 4 hoÆc 9, nh-ng 2 x b lµ sè ch½n nªn b = 2 hoÆc 7. - Tr-êng hîp b = 2 ta cã a25 = 5 x a x 2. VÕ tr¸i lµ sè lÎ mµ vÕ ph¶i lµ sè ch½n. VËy tr-êng hîp b = 2 bÞ lo¹i. - Tr-êng hîp b = 7 ta cã 20 x a + 15 = 35 x a. TÝnh ra ta ®-îc a = 1. Thö l¹i : 175 = 5 x 7 x 5. VËy sè ph¶i t×m lµ 175. C¸ch 2 : T-¬ng tù cach 1 ta cã : ab5 = 25 x a x b VËy ab5 chia hÕt cho 25, suy ra b = 2 hoÆc 7. MÆt kh¸c, ab5 lµ sè lÎ cho nªna, b ph¶i lµ sè lÎ suy ra b = 7. TiÕp theo t-¬ng tù c¸ch 1 ta t×m ®-îc a = 1. Sè ph¶i t×m lµ 175. Lo¹i 4 : So s¸nh tæng hoÆc ®iÒn dÊu Bµi 1 : Cho A = abc + ab + 1997 B = 1ab9 + 9ac + 9b So s¸nh A vµ B Gi¶i : Ta thÊy : B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b = 1999 + ab0 + a0 + c + b = 1999 + abc + ab . . . a > B Bµi 2 : So s¸nh tæng A vµ B. A = abc +de + 1992 L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. -8- C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. B = 19bc + d1 + a9e Gi¶i : Ta thÊy : B = 1900 + bc + d0 + 1 + a00 + e + 90 = abc + de + 1991 Tõ ®ã ta suy ra A > B. bµi 3 : §iÒn dÊu 1a26 + 4b4 +5bc  abc + 1997 abc + m000  m0bc + a00 x5 + 5x  xx +56  D¹ng 2 : KÜ thuËt tÝnh vµ quan hÖ gi÷a c¸c phÐp tÝnh. Bµi 1 : Tæng cña hai sè gÊp ®«i sè thø nhÊt. T×m th-¬ng cña 2 sè ®ã. Gi¶i : Ta cã : STN + ST2 = Tæng. Mµ tæng gÊp ®«i STN nªn STN = ST2 suy ra th-¬ng cña 2 sè ®ã b»ng 1. Bµi 2 : Mét phÐp chia cã th-¬ng lµ 6 vµ sè d- lµ 3, tæng cña sè bÞ chia, sè chia vµ sè d- b»ng 195. T×m sè bÞ chia vµ sè chia. Gi¶i : Gäi sè bÞ chia lµ A, sè chia lµ B Ta cã : A : B = 6 (d- 3) hay A = B x 6 + 3 Vµ : A + B + 3 = 195  A + B = 1995 – 3 = 1992. 3 A: | | | | | | | | | 1992 B: | | L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. -9- C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. B = (1992 – 3) : (6 + 1) = 27 A = 27 x 6 + 3 = 165. Bµi 3 : HiÖu cña 2 sè lµ 33, lÊy sè lín chia cho sè nhá ®-îc th-¬ng lµ 3 vµ sè d- lµ 3. T×m 2 sè ®ã. Gi¶i : 3 Sè lín : | | | | | 33 Sè bÐ : | | Sè bÐ lµ : (33 – 3) : 2 = 15 Sè lín lµ : 33 + 15 = 48 §¸p sè : SL 48 ; SB 15. * Bµi tËp vÒ nhµ : Bµi 1 : T×m 1 sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng khi viÕt thªm sè 21 vµo bªn tr¸i sè ®ã ta ®-îc 1 sè lín gÊp 31 lÇn sè ph¶i t×m. Bµi 2 : T×m 1 sè cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng khi viÕt thªm ch÷ sè 9 vµo bªn tr¸i sè ®ã ta ®-îc sè lín gÊp 26 lÇn sè ph¶i t×m. Bµi 3 : T×m 1sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng khi viÕt thªm ch÷ sè 5 vµo bªn ph¶i sè ®ã ta ®-îc sè lín h¬n sè ph¶i t×m 230 ®¬n vÞ. Bµi 4 : Cho sè cã 3 ch÷ sè, nÕu ta xo¸ ch÷ sè hµng tr¨m th× sè ®ã gi¶m ®i 5 lÇn. T×m sè ®ã. Bµi 5 : t×m mét sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã lín gÊp ba lÇn tÝch c¸c ch÷ sè cña nã . Bµi 6 : Cho A = abcde + abc + 2001 B = ab56e + 1cd8 + a9c + 7b5 L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 10 - C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. So s¸nh A vµ B Bµi 7 : Cho hai sè, nÕu lÊy sè lín chia cho sè nhá ta ®-îc th-¬ng lµ 7 vµ sè d- lín nhÊt cã thÓ cã ®-îc lµ 48. T×m hai sè ®ã. Bµi 8 : T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã b»ng sè lÎ nhá nhÊt cã hai ch÷ sè, cßn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lín h¬n ch÷ sè hµng chôc 3 ®¬n vÞ  D¹ng 3 : Thµnh lËp sè vµ tÝnh tæng. Bµi 1 : Cho 4 ch÷ sè : 0, 3, 8 vµ 9. a, ViÕt ®-îc tÊt c¶ bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau tõ 4 ch÷ sè ®· cho. b, T×m sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè ®· cho. c, T×m sè lÎ lín nhÊt, sè ch½n nhá nhÊt cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè ®· cho. Gi¶i : C¸ch 1: Chän 3 lµm ch÷ sè hµng ngh×n, ta cã c¸c sè : 8 – 9 : 3089 0 9 – 8 : 3098 0 – 9 : 3809 3 8 9 – 0 : 3890 0 – 8 : 3908 9 8 – 0 : 3980 Nh×n vµo s¬ ®å trªn ta thÊy : Tõ 4 ch÷ sè ®· cho ta viÕt ®-îc 6 sè cã chø sè hµng ngh×n b»ng 3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi. Ch÷ sè 0 kh«ng thÓ ®øng ë vÞ trÝ hµng ngh×n. VËy sã c¸c sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi lµ 6 x 3 = 18 (sè) L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 11 - C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. C¸ch 2 : LÇn l-ît chän c¸c ch÷ sè hµng ngh×n, hµng tr¨m, hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ nhsau : - cã 3 c¸ch chän ch÷ sè hµng ngh×n cña sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi (v× sè 0 kh«ng thÓ ®øng ë vÞ trÝ hµng ngh×n). - Cã 3 c¸ch chän ch÷ sè hµng tr¨m (®ã lµ 3 ch÷ sè cßn l¹i kh¸c ch÷ sè hµng ngh×n) - Cã 2 c¸ch chän ch÷ sè hµng chôc (®ã lµ 2 ch÷ sè cßn l¹i kh¸c ch÷ sè hµng ngh×n vµ hµng tr¨m). - Cã 1 c¸ch chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ (®ã lµ ch÷ sè cßn l¹i kh¸c hµng ngh×n, hµng tr¨m vµ hµng chôc). VËy c¸c sè viÕt ®-îc lµ : 3 x 3 x 2 x 1 = 18 (sè) b, Sè lín nhÊt cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè ®· cho ph¶i cã ch÷ sè hµng ngh×n lµ ch÷ sè lín nhÊt (Trong 4 ch÷ sè ®· cho). VËy ch÷ sè hµng ngh×n cña sè ph¶i t×m b»ng 9. Ch÷ sè hµng tr¨m ph¶i lµ ch÷ sè lín nhÊt trong 3 ch÷ sè cßn l¹i. VËy ch÷ sè hµng tr¨m b»ng 8. Ch÷ sè hµng chôc lµ ch÷ sè lín trong 2 ch÷ sè cßn l¹i. VËy ch÷ sè hµng chôc lµ 3. Sè ph¶i t×m lµ 9830. T-¬ng tù phÇn trªn ta nhËn ®-îc sè bÐ nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi lµ 3089. c, Sè lÎ lín nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi ph¶i cã ch÷ sè hµng ngh×n lµ sè lín nhÊt trong 4 ch÷ sè ®· cho. VËy ch÷ sè hµng ngh×n cña sè ph¶i t×m b»ng 9. Sè ph¶i t×m cã ch÷ sè hµng ngh×n b»ng 9 vµ lµ sè lÎ nªn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ph¶i b»ng 3. Ch÷ sè hµng tr¨m ph¶i lµ ch÷ sè lín nhÊt trong hai ch÷ sè cßn l¹i, nªn ch÷ sè L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 12 - C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. hµng tr¨m ph¶i b»ng 8. VËy sè ph¶i t×m lµ 9830. T-¬ng tù sè ch½n nhá nhÊt lµ 3098. Bµi 2 : ViÕt liªn tiÕp 15 sè lÎ ®Çu tien ®Ó ®-îc mét sè tù nhiªn. H·y xo¸ ®i 15 ch÷ sè cña sè tù nhiªn võa nhËn ®-îc mµ vÉn gi÷ nguyªn thø tù c¸c ch÷ sè cßn l¹i ®Îe ®-îc : a, Sè lín nhÊt. b, Sè nhá nhÊt. ViÕt c¸c sè ®ã. Gi¶i : ViÕt 15 sè lÎ ®Çu tiªn liªn tiÕp ta ®-îc sè tù nhiªn : 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 §Ó sau khi xo¸ 15 ch÷ sè ta nhËn ®-îc sè lín nhÊt th× ch÷ sè gi÷ l¹i ®Çu tiªn kÓ tõ bªn tr¸i ph¶i lµ ch÷ sè 9. VËy tr-íc hÕt ta xo¸ 4 ch÷ sè ®Çu tiªn cña d·y 1, 3, 5, 7. Sè cßn l¹i lµ : 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Ta ph¶i xo¸ tiÕp 15 – 4 = 11 ch÷ sè cßn l¹i ®Ó ®-îc sè lín nhÊt. §Ó sau khi xo¸ nhËn ®-îc sè lín nhÊt th× ch÷ sè thø hai kÓ tõ bªn tr¸i ph¶i lµ ch÷ sè 9. VËy tiÕp theo ta ph¶i xo¸ tiÕp nh÷ng ch÷ sè viÕt gi÷a hai ch÷ sè 9 trong d·y, ®ã lµ 11 13 15 17 1. Sè cßn l¹i lµ : 992 123 252 729. Ta ph¶i xo¸ tiÕp 11 – 9 = 2 ch÷ sè tõ sè cßn l¹i ®Ó ®-îc sè lín nhÊt. Ch÷ sè thø ba cßn l¹i kÓ tõ bªn tr¸i ph¶i lµ 2, vËy ®Ó ®-îc sè lín nhÊt sau khi xo¸ 2 ch÷ sè ta ph¶i xo¸ sè 12 hoÆc 21. VËy sè lín nhÊt ph¶i lµ 9 923 252 729. b, LËp luËn t-¬ng tù c©u a. sè ph¶i t×m lµ 1 111 111 122 Bµi 3 : Cho 3 ch÷ sè 2, 3 vµ 5. H·y lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 3 ch÷ sè mµ mçi sè cã ®ñ 3 ch÷ sè ®· cho. Hái : a, LËp ®-îc mÊy sè nh- thÕ L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 13 - C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. b, Mçi ch÷ sè ®øng ë mçi hµng mÊy lÇn? c, TÝnh tæng c¸c sè. Gi¶i : a, Ta lËp ®-îc 6 sè sau 235 325 523 253 352 532 b, Mçi ch÷ sè ®øng ë mçi hµng 2 lÇn. c, Tæng c¸c sè ®ã lµ : (2 + 3 + 5) x 2 x 100 + (2 + 3 + 5) x 2 x 10 + (2 + 3 + 5) x 1 = 10 x 2 x (100 + 10 + 1) = 10 x 2 x 111 = 2220 Bµi 4 : Cho 4 ch÷ sè 1, 2, 3, 4. H·y lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 4 ch÷ sè mµ ë mçi sè cã ®ñ 4 ch÷ sè ®É cho. TÝnh tæng c¸c sè ®ã. Gi¶i : Chän ch÷ sè 1 ë hµng ngh×n ta lËp ®-îc 6 sè sau : 1234 1324 1423 1243 1342 1432 Ta thÊy mçi ch÷ sè ®øng ë mçi hµng 6 lÇn. VËy tæng c¸c sè lËp ®-îc : (1 + 2 + 3 + 4) x 1000 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 100 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 10 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 1 x 6 = 10 x 6 x (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 x 1111 = 66660. Bµi 5 : Cho 5 ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5. H·y lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 5 ch÷ sè mµ ë mçi sè cã ®ñ 5 ch÷ sè ®· cho. TÝnh tæng Gi¶i : Chän ch÷ sè 1 ë hµng chôc ngh×n ta lËp ®-îc 24 sè L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 14 - C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. T-¬ng tù nªn ta lËp ®-îc 24 x 5 = 120 (sè) Tæng lµ : (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 10000 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 1000 x 24 + (1 + 2 + +3+ 4 + 5) x 100 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 10 x 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x x 1 x 24 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) x 24 x 11111 = 15 x 24 x 11111 = 3999960 Bµi 6 : Cho 3 ch÷ sè 3, 3, 4. H·y lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 3 ch÷ sè mµ mçi sè cã ®ñ 3 ch÷ sè ®· cho mµ mçi ch÷ sè trªn chØ viÕt 1 lÇn. TÝnh tæng c¸c sè ®ã. Gi¶i : Ta lËp ®-îc 3 sè 334, 343, 433 Tæng c¸c sè : (3 + 3 + 4) x 100 x 1 + (3 + 3 + 4) x 10 + (3 + 3 + 4) x 1 = 10 x (10 + 10 + 1) = 10 x 111 = 1110. Bµi 7 : Cho 4 ch÷ sè : 2, 2, 5, 1. H·y lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 4 ch÷ sè mµ mçi sè cã ®ñ 4 ch÷ sè ®· cho. TÝnh tæng Gi¶i : - Chän ch÷ sè 1 ë hµng ngh×n ta lËp ®-îc c¸c sè : 1225 1522 1252 - Chän ch÷ sè 5 ë hµng ngh×n ta còng lËp ®-îc 3 sè. - Chän ch÷ sè 2 ë hµng ngh×n ta lËp ®-îc 6 sè 2152 2251 2512 2125 2215 2521 VËy ta lËp ®-îc 12 sè. L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 15 - C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. Tæng lµ : (1 + 2 + 2 + 5) x 1000 x 3 + (1 + 2 + 2 + 5) x 100 x 3 + (1+ 2 + 2 + 5) x 1 x 3 = (1 + 2 + 2 + 5) x 3 x 1111 = 10 x 3 x 1111 = 33330 Bµi 8 : Cho 3 ch÷ sè 0, 3, 7. H·y lËp tÊt c¶c c¸c sè cã 3 ch÷ sè sao cho mçi sè cã ®ñ 3 ch÷ sè ®· cho. TÝnh tæng c¸c sè võa lËp Gi¶i : Ta lËp ®-îc 4 sè 307 703 370 730 Tæng (3 + 7) x 100 x 2 + (3 + 7) x 10 + (3 + 7) x 1 = 10 x 100 x 2 + 10 x 10 + 10 x 1 = 20 x 100 + 100 + 10 = 2110. C¸c bµi tËp ¸p dông: Bµi 1 : Cho 4 ch÷ sè : 0, 2, 3, 5. H·y lËp tÊt c¶ c¸c sè mµ mçi sè cã ®ñ 4 ch÷ sè ®· cho. TÝnh tæng. Bµi 2 : Cho 4 ch÷ sè : 1, 3, 3, 4. H·y lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 4 ch÷ sè mµ mçi sè cã ®ñ 4 ch÷ sè ®· cho. TÝnh tæng. Bµi 3 : Cho 5 ch÷ sè : 0, 1, 3, 2, 4. H·y lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 5 ch÷ sè mµ mçi sè cã ®ñ 5 ch÷ sè ®· cho. TÝnh tæng. Bµi 4 : Cho 5 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4. a, Cã thÓ viÕt ®-îcbao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau tõ 5 ch÷ sè ®· cho? Trong c¸c sè viÕt ®-îc cã bao nhiªu sè ch½n? L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 16 - C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. b, T×m sè ch½n lín nhÊt, sè lÎ nhá nhÊt cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 5 ch÷ sè ®· cho Bµi 5 : Cã thÓ viÕt ®-îc bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau, biÕt r»ng : a, C¸c ch÷ sè cña chóng ®Òu lµ nh÷ng sè lÎ? b, C¸c ch÷ sè cña chóng ®Òu lµ nh÷ng sè ch½n? Bµi 6 : a, T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt cã 5 ch÷ sè ®-îc viÕt t÷ 3 ch÷ sè kh¸c nhau. b, T×m sè tù nhiªn lín nhÊt cã 5 ch÷ sè ®-îc viÕt tõ 3 ch÷ sè kh¸c nhau. Bµi 7 : ViÕt liªn tiÕp c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 15 ®Ó ®-îc 1 sè tù nhiªn. H·y xo¸ ®i 10 ch÷ sè võa nhËn ®-îc mµ vÉn gi÷ nguyªn thø tù cña c¸c ch÷ sè cßn l¹i ®Ó ®-îc : a, Sè lín nhÊt; b, Sè nhá nhÊt; ViÕt c¸c sè ®ã. Bµi 8 : ViÕt liªn tiÕp 10 sè ch½n kh¸c 0 ®Çu tiªn ®Ó ®-îc mét sè tù nhiªn. H·y xo¸ ®i 10 ch÷ sè cña sè võa nhËn ®-îc mµ vÉn gi÷ nguyªn thø tù cña c¸c ch÷ sè cßn l¹i ®Ó ®-îc : a, Sè ch½n lín nhÊt; b, Sè lÎ nhá nhÊt. D·y sè 1- D·y sè lµ g× ? VÝ dô 1: 1 , 2, 3,..............,100 Ta thÊy: 2 - 1 = 1 3 - 2 = 1 ................. VÝ dô 2: 1, 2, 3, 5, 8,............ L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 17 - C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. Ta thÊy: 3 = 1 + 2 5= 2+ 3 ................ Vµ 1 sè vÝ dô kh¸c Rót ra kÕt luËn: D·y sè lµ mét tËp hîp c¸c d·y sè ®-îc viÕt liÒn nhau liªn tiÕp theo mét quy luËt nhÊt ®Þnh 2- D·y sè c¸ch ®Òu VÝ dô 1: 1, 3, 5, 7, 9,......... Ta thÊy: 3 - 1 = 2 hoÆc 1 : 2 = 0 d- 1 5 -3 =2 3 : 2 = 1 d- 1 ............... ...................... VÝ dô 2: 2, 5, 8, 11 ................. Ta thÊy: 5 - 2 = 3 hoÆc 2 : 3 = 0 d- 2 8 - 5 =3 5 : 3 = 1 d- 2 ............... ...................... KÕt luËn: D·y sè c¸ch ®Òu lµ d·y sè mµ hiÖu cña mçi sè h¹ng víi sè liÒn tr-íc nã lu«n lu«n b»ng nhau HoÆc: D·y sè c¸ch ®Òu lµ d·y sè mµ mçi sè h¹ng trong d·y khi ®em chia cho kho¶ng c¸ch gi÷a 2 sè h¹ng ®Òu cã cïng sè d3- D·y sè kh¸c Cã nhiÒu d·y sè kh¸c cã quy luËt kh¸c nhau. Muèn lµm mét bµi to¸n vÒ d·y sè ta buéc ph¶i t×m ®-îc quy luËt cña d·y sè ®ã VÝ dô 1: 1, 2, 4, 8, 16 ........... Quy luËt: Mçi sè h¹ng trong d·y ®Òu gÊp ®«i sè h¹ng ®øng liÒn tr-íc nã VÝ dô 2: 1, 4, 9, 16, 25,.................. Quy luËt: Sè h¹ng ë vÞ trÝ nµo th× b»ng chÝnh sè thø tù cña vÞ trÝ Êy nh©n víi chÝnh nã VÝ dô 3: 1, 3, 6, 10, 15,............ Quy luËt: Mçi sè h¹ng b»ng tæng cña sè h¹ng liÒn tr-íc víi sè thø tù cña nã trong d·y L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 18 - C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. sè ................. Sau khi c¸c em n¾m b¾t ®-îc c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ d·y sè t«i tiÕp tôc n©ng dÇn møc ®é kh¸i qu¸t lªn ®Ó c¸c em hiÓu s©u, hiÓu kÜ h¬n vÒ d·y sè. §ã lµ c¸c bµi to¸n vÒ d·y sè 4- C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè c¸ch ®Òu D¹ng 1: T×m sè h¹ng cña d·y sè Bµi to¸n: Cho d·y sè : 1, 3, 5, 7,........99. Hái d·y sè cã bao nhiªu sè h¹ng - Lêi gi¶i cô thÓ: Sè cuèi h¬n sè ®Çu lµ: 99 - 1 = 98 Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 sè h¹ng liÒn nhau lµ: 3 - 1 = 5 - 3 =2 Sè kho¶ng c¸ch lµ: 98: 2 = 49 Sè sè h¹ng lµ: 49 + 1 = 50 BiÓu thøc ®¸p sè lµ: ( 99 - 1) : ( 5 - 3) + 1 = 50 - Rót ra c«ng thøc tæng qu¸t: Sè sè h¹ng = (Sè cuèi - sè ®Çu): kho¶ng c¸ch + 1 - Bµi tËp ¸p dông + Bµi 1: Cho d·y sè: 2, 4, 6, 8,..............100 - D·y sè ®-îc viÕt theo quy luËn nµo ? sè 51 cã thuéc d·y sè kh«ng? T¹i sao ? + Bµi 2: Cho d·y sè: 1, 4, 7, 10,......... 214. Hái d·y sè cã bao nhiªu sè h¹ng D¹ng 2: TÝnh tæng cña d·y sè Bµi to¸n: Cho d·y sè : 2, 4, 6, 8, .........100. H·y tÝnh tæng cña d·y sè ®ã L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 19 - C¸c bµi to¸n vÒ sè, ch÷ sè vµ d·y sè. - Lêi gi¶i cô thÓ Tæng cña sè ®Çu vµ sè cuèi µ 2+ 100 = 102 D·y sè cã sè h¹ng lµ: ( 100 - 2) : 2 + 1 = 50 Tæng cña d·y sè lµ: (102  50) : 2 = 2550 BiÓu thøc ®¸p sè lµ (2 + 100)  50 : 2 = 2550 - C«ng thøc tæng qu¸t Tæng = (sè ®Çu + sè cuèi)  Sè sè h¹ng : 2 - Bµi to¸n ¸p dông: - Bµi 1: Cho d·y sè: 5, 9, 13,........... 1981 TÝnh tæng cña d·y sè ®ã Bµi 2: ViÕt c¸c sè ch½n liªn tiÕp thµnh d·y sè: 2, 4, 6, 8, . . . , 234 a-TÝnh tæng cña d·y sè trªn? b- Kh«ng lµm tÝnh cô thÓ, em h·y cho biÕt nÕu viÕt tiÕp ®Õn sè 2004 th× tæng cña d·y sè ®ã cã chia hÕt cho 3 kh«ng? T¹i sao? D¹ng 3: T×m sã h¹ng thø n cña d·y sè Bµi to¸n: Cho d·y sè: 1, 3, 5, 7,............Hái sè h¹ng thø 100 cña d·y sè lµ sè nµo - Lêi gi¶i cô thÓ Sè kho¶ng c¸ch tõ sè ®Çu ®Õn sè h¹ng thø 100 lµ 98 - 1 = 99 Mçi kho¶ng c¸ch lµ 3 - 1 = 5 -3 =2 Sè h¹ng thø 100 lµ 1 + 99  2 = 199 L-¬ng §øc Toµn: Tr-êng TiÓu häc Th-îng QuËn. - 20 -