Skkn rèn luyên và pt năng lực tư duy giải toán hình học 9 thông qua bài tập sgk

  • Số trang: 33 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 16 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa I. §Æt vÊn ®Ò. 1. VÞ trÝ m«n häc trong ch¬ng tr×nh to¸n THCS. H×nh häc lµ m«n khoa häc c¬ b¶n trong ch¬ng tr×nh phæ th«ng, nã tríc h×nh thµnh tõ nh÷ng n¨m ®Çu cña ch¬ng tr×nh tiÓu häc. M«n h×nh häc nã ®îc g¾n liÒn víi thùc tiÓn cuéc sèng. Bëi vËy gi¶i to¸n h×nh häc lµ vÊn ®Ò träng t©m cña ngêi d¹y còng nh ngêi häc, m«n h×nh häc kÝch thÝch sù s¸ng t¹o, sù ph¸n ®o¸n cña con ngêi bªn c¹nh ®ã nã rÌn luyÖn tÝnh kiªn tr×, nhÉn n¹i cña ngêi häc. 2. Thùc tr¹ng häc h×nh häc hiÖn nay cña häc sinh THCS . HiÖn nay sè häc sinh sî m«n to¸n ®Æc biÖt lµ m«n h×nh häc rÊt cao ®èi víi häc sinh lêi häc ®· ®µnh. Cßn ®èi víi nh÷ng häc sinh "ch¨m häc" mÆc dï thuéc lÝ thuyÕt vÈn kh«ng gi¶i ®îc . ThËm chÝ cã nh÷ng bµi chØ lµ t¬ng tù bµi ®· gi¶i hay chØ lµ mét khÝa c¹nh cña bµi ®· gi¶i, hoÆc bµi to¸n ngîc l¹i cña bµi ®· gi¶i mµ häc sinh vÉn kh«ng gi¶i quyÕt ®îc. Nguyªn nh©n c¬ b¶n dÉn ®Õn t×nh tr¹ng ®ã lµ: - Häc sinh lêi häc, lêi suy nghÜ, kh«ng n¾m ®îc ph¬ng ph¸p - Häc sinh häc thô ®éng, thiÕu s¸ng t¹o - Kh«ng liªn hÖ trîc gi÷a c¸c " Bµi to¸n gèc" ®· gi·i víi c¸c bµi to¸n tríc suy ra tõ "bµi to¸n gèc" hay nãi c¸ch kh¸c kh«ng biÕt nghiªn cøu lêi gi¶i cña mét bµi to¸n Nh÷ng tån t¹i trªn kh«ng nh÷ng do ngêi häc mµ cßn do c¶ ngêi d¹y. Ngêi d¹y thêng chó träng híng dÉn c¸c em gi¶i, hoÆc gi¶i c¸c bµi to¸n ®éc lËp mµ kh«ng chó träng hÖ thèng, x©u chuæi, ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n tõ c¸c " bµi to¸n gèc" nhê viÖc nghiªn cøu kü lêi gi¶i mçi bµi to¸n,th«ng qua h×nh vÏ, nhÇn xÐt, thay ®æi gi¶ thiÕt c¸c bµi to¸n. LËt ngîc vÊn ®Ò… §èi víi häc sinh kh«ng cã g× ®¸ng nhí h¬n b»ng tù b¶n th©n c¸c em, t×m kiÕm ph¸t hiÖn ra nh÷ng vÊn ®Ò xung quanh bµi to¸n gèc SGK ®a ra, c¸c em sÏ nhí l©u khi gÆp mét bµi to¸n c¸c em biÕt liªn hÖ gi÷a bµi to¸n ph¶i gi¶i víi bµi to¸n cò ®· gi¶i mµ c¸c em ®· ®îc biÕt vµ nã sÏ gióp c¸c em biÕt bÊt kú mét bµi to¸n nµo còng xuÊt ph¸t tõ nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n. §Ó gióp c¸c em cã ph¬ng ph¸p häc tËp tèt h¬n m«n h×nh häc trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i thêng t×m tßi c¸c c¸ch kh¸c nhau ®Ó tiÕp cËn mét vÊn ®Ò, gi¶i kü c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n träng t©m, vµ ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n ®ã díi c¸c h×nh thøc kh¸c nhau. Th«ng qua c¸c nhËn xÐt, liªn hÖ gi÷a c¸i míi võa t×m ®îc ®Ó t¹o ra c¸i míi. 1 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa II. BiÖn ph¸p ®· thùc hiÖn. Thùc hiÖn víi ph¬ng ch©m:  Cho häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n t¹i líp  Gi·i kü c¸c c¸ch kh¸c nhau c¸c bµi to¸n c¬ b¶n  XuÊt ph¸t tõ nh÷ng vÊn ®Ò ®· gi¶i quyÕt. Th«ng qua nh÷ng nhËn xÐt ®Ó ®Ò xuÊt vÊn ®Ò míi. C¸c vÝ dô: VÝ dô 1: Bµi to¸n I: Bµi 30 SGK to¸n 9. TËp 1: Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Ax, By lµ c¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i A vµ B. M lµ ®iÓm thuéc nöa ®êng trßn. TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t Ax, By theo thø tù ë C vµ D. Chøng minh r»ng:  1). COD =900 2). CD = AC + BD 3). AC . BD kh«ng ®æi khi M ch¹y trªn nöa ®êng trßn. Gi¶i: 1. §Ó chøng minh COD = 900 ta cã nhiÒu c¸ch chøng minh sau ®©y lµ mét c¸ch. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t nhau.  Ta cã: OC lµ ph©n gi¸c AOM OD lµ ph©n gi¸c BOM Mµ  AOM vµ   BOM nªn OC  OD hay 2. .  lµ hai gãc kÒ bï COD =90  0 . Còng theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CM = CA; DM = DB nªn ta cã: CD = CM + MB = CA +BD. 3. AC. BD = CM .MD ( Do CM = CA; DM =DB). Mµ  COD vu«ng t¹i O cã ®êng cao OM nªn CM.MD = OM2 =R2 . ( R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn(O)) Khai th¸c bµi to¸n: NhËn xÐt 1: Theo gi¶ thiÕt CA  AB, DB AB  ABCD lµ h×nh vu«ng. M lµ ®iÓm trªn nöa ®êng trßn nªn khi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB th× CD = AB. Ta cã c©u hái tiÕp. 2 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa 4. T×m vÞ trÝ ®iÓm M trªn nöa ®êng trßn sao cho tø gi¸c ABDC cã chu vi nhá nhÊt. Gi¶i: Chu vi h×nh thang ABCD b»ng AB +BD +DC+CA = AB +2CD Chu vi ABCD nhá nhÊt  2CD nhá nhÊt  CD nhá nhÊt  CD vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn t¹i M  CD =AB  M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB. NhËn xÐt 2: ABCD lµ h×nh thang vu«ng nªn diÖn tÝch sÏ lµ . S= 5. AC  BD . AB. 2 Ta cã cã thÓ ®Æt c©u hái tiÕp. T×m vÞ trÝ ®iÓm M trªn cung AB sao cho diÖn tÝch tø gi¸c ABCD nhá nhÊt. Gi¶i: LËp luËn t¬ng tù ta cã nhá nhÊt  M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB. NhËn xÐt 3: Ta thÊy  AMB vu«ng M,  COD vu«ng ë O OC  AM; OD  BM. Ta ®Æt c©u hái tiÕp. 6. Gäi giao ®iÓm AM víi OC lµ P, BM vµ OD lµ Q. Chøng minh tø gi¸c OPMQ lµ h×nh ch÷ nhËt Gi¶i: Dùa vµo nhËn xÐt 3 ta dÔ dµng chøng minh ®îc tø gi¸c OPMQ lµ h×nh ch÷ nhËt NhËn xÐt 4: Do AC // BD . Ta ®Æt c©u hái tiÕp. 7. Gäi giao ®iÓm AD vµ BC lµ H . Chøng minh MH  AB Gi¶i: Do CA // BD  CA CH  BD HB mµ CA = CM BD =DM Nªn CM CH   MD HB MH //BD( ®/l ®¶o ®Þnh lý ta let)  MH  AB ( Do DB  AB). NhËn xÐt 5: 8. H lµ giao ®iÓm 2 ®êng chÐo cña h×nh thang ABDC mµ MH// (AC// BD) ta ®Æt c©u hái tiÕp. Gäi giao ®iÓm AD vµ BC lµ H, MH c¾t AB ë K. Chøng minh HM = HK 3 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa Gi¶i: HK BH  AC BC Theo c©u 7  HK // AC  BH DH  BC DA AC//BD  MH// CA  Tõ c¸c ®¼ng thøc trªn  DH MH  DA CA HK MH   HK  MH . AC CA  NhËn xÐt 6: H lµ trung ®iÓm MK; P lµ trung ®iÓm AM; Q lµ trung ®iÓm BM ta ®Æt c©u hái tiÕp theo. 9. Chøng minh r»ng P, H, Q th¼ng hµng P lµ giao ®iÓm AM víi OC, H lµ giao ®iÓm AD vµ BC, Q lµ giao ®iÓm MB vµ OD Gi¶i: Dùa vµo nhËn xÐt 6 . ta dÔ dµng chøng minh ®îc P,H ,Q th¼ng hµng.  NhËn xÐt 7: ABDC lµ h×nh thang vu«ng cã O lµ trung ®iÓm c¹nh bªn AB ta liªn tëng ®Õn trung ®iÓm c¹nh bªn CD.Nªn ta cã thÓ ®Æt c©u hái tiÕp. 10. Chøng minh r»ng. AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp  COD. Gi¶i: Gäi I lµ trung ®iÓm CD  IC = ID =IO(  COD vu«ng cã OI lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn) O lµ trung ®iÓm AB ,I lµ trung ®iÓm CD  IO lµ ®êng trung b×nh h×nh thang ABDC  IO // BD Mµ DB  AB  IO  AB t¹i O  AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp  COD Ta sÏ tiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n theo híng kh¸c :  NhËn xÐt 8: Khi M n»m trªn nöa ®êng trßn (O). TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn Ax,By t¹i C vµ D hay CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M th× COD =  900 ®Òu ngîc l¹i cßn ®óng kh«ng? Ta cã bµi to¸n sau: Bµi to¸n 1.I: Cho nöa ®êng trßn (()) ®êng kÝnh AB, Ax, By lµ c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B, trªn Ax lÊy ®iÓm C tïy ý . VÏ tam giac vu«ng COD, D By vµ cïng n»m trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C . 4 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa Chøng minh r»ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O) . Gi¶i : ta cã:   0 D 1 O 2 cïng phô O 1 ; A  B 90 (gt)      DOB ~  OCA ( g.g)  OD OB  OC CA mµ OB = OA nªn MÆt kh¸c  CAD = COD =  OD OA  OC AC ; 900   COD ~  CAO ( c.g.c)    ACO DCO hay CD lµ ph©n gi¸c cña gãc  ACD . Tõ O vÏ OM  CD ( M  CD ) ; CO lµ ph©n gi¸c  ACM OA AC  OM = OA(§iÓm n»m trªn ph©n gi¸c c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc) . VËy CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i M.  NhËn xÐt 9: Theo c©u 2. Bµi I th×: AC +BD =CD ta h·y ®Æt vÊn ®Ò ngîc l¹i cña c©u 2. Bµi to¸n I. Bµi to¸n 2.I: Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB . hai tiÕp tuyÕn Ax vµ By trªn 2 tiÕp tuyÕn ®ã lÊy 2 ®iÓm C vµ D sao cho CD = AC + BD chøng minh COD =90  0 vµ CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O). Gi¶i: Qua O kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB c¾t CD t¹i I ta cã I lµ trung ®iÓm cña CD  IO lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABCD nªn IO = 1 1 ( AC  BD)  .CD ( 2 2 do AC +BD = CD)   COD vu«ng ë O. theo bµi to¸n 2 th× CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O)  NhËn xÐt 10: TiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n b»ng c¸ch thay ®æi ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n: Ch¼ng h¹n ®iÓm O ®îc thay bëi ®iÓm O' bÊt kú thuéc ®o¹n AB, lóc nµy CD kh«ng cßn lµ tiÕp tuyÕn nöa mµ trë thµnh c¸t tuyÕn, b©y giê bao nhiªu?. 5  CO' D b»ng RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa Bµi to¸n 3.I: Cho ®iÓm M n»m trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB, O' lµ ®iÓm bÊt kú n»m trong ®o¹n AB, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi MO ' t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn Ax, By t¹i C vµ D . Chøng minh CO ' D 90 0 .  Gi¶i: Do O' bÊt kú thuéc AB nªn O' trïng O ; hoÆc O' trïng A hoÆc O' trïng B. +/ NÕu O' trïng O Th× bµi to¸n 3.I trë thµnh bµi to¸n I. +/ NÕu O' trïng A  D trïng B, khi ®ã CO' D CAB 90 0 +/ NÕu O' trïng B  C trïng A khi ®ã CO' D DBA 90 0     XÐt O' kh«ng trïng O ; O' kh«ng trïng A; O' kh«ng trïng B.  Ta cã : AO'MC néi tiÕp  O ' M cïng ch¾n 1 1 Cung CA  BO'MD néi tiÕp  O ' M 2 Do AMB 90 0 (gt)  nªn 2   M 1  M 2 90 0    '  CO ' D 90 0 .  ' O 1  O 2 90 0  NhËn xÐt 11: Khi O n»m trªn ®êng th¼ng AB th× bµi to¸n 3.I cßn ®óng nöa kh«ng. Ta cã bµi to¸n sau: Bµi to¸n 4.1: Cho ®iÓm M n»m trªn nöa ®êng trßn ®êng AB, O' lµ ®iÓm bÊt kú trªn ®êng th¼ng AB nhng ë phÝa ngoµi ®o¹n AB, ®êng th¼ng vu«ng gãc O'M t¹i M c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax, By t¹i C vµ D. Chøng minh CO ' D 90 0 Gi¶i ( Tãm t¾t). +) CMAO' néi tiÕp     O' CM  MAB cïng bï MAO ' +) DBMO' néi tiÕp    O' DM O ' BM cïng ch¾n cung     MO' mµ MAB  O' BM 90 0 nªn O ' CM  O ' DM 90 0   CO ' D 90 0 (Tæng 3 gãc trong tam gi¸c). '  NhËn xÐt 12: Qua bµi to¸n 4 vµ 4.1 ta cã bµi to¸n tæng qu¸t sau: Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB, M lµ ®iÓm bÊt kú trªn nöa ®êng trßn ®ã ( M  A, M  B) O lµ ®iÓm bÊt kú trªn ®êng th¼ng AB, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OM t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn Ax vµ By t¹i C vµ D. Chøng minh r»ng OC  OD. VÝ dô 2: (Dùa vµo bµi tËp 95 SGK .To¸n 9 . TËp 2). Bµi to¸n II: Cho  ABC nhän trùc t©m H c¸c ®êng cao AM, BN, CP Chøng minh: C¸c tø gi¸c APHN; BPNC néi tiÕp ®îc 6 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa Gi¶i: ( Tãm t¾t). +/ APH 90 0 ; ANH 90 0  APH  ANH 180 0      APHN néi tiÕp +/   BPC  BNC 90 0  BPNC néi tiÕp NhËn xÐt 1: H×nh vÏ gîi cho ta mét sè tø gi¸c néi tiÕp. Ta ®Æt thªm c©u hái. 1. Trªn h×nh vÏ cã bao nhiªu tø gi¸c néi tiÕp Cã 6 tø gi¸c néi tiÕp: APHN; BPHM; CMHN; ANMB; BPNC; APMC. NhËn xÐt 2: Víi  BHC cã A lµ trùc t©m,  AHC cã B lµ trùc t©m ta ®Æt c©u hái tiÕp theo. 2. Chøng tá r»ng mçi ®Ønh cña ®· cho lµ trùc t©m cña tam gi¸c t¹o thµnh bëi 2 ®Ønh cßn l¹i vµ trùc t©m H cña ABC . NhËn xÐt 3: Tõ c¸c tø gi¸c néi tiÕp ®· t×m ®îc ta thÊy:         M 1  B1 ; B1 C1 ; C1 M 2  M 1 M 2 3. ta cã c©u hái tiÕp theo. Chøng minh r»ng H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp MNP . Gi¶i: ( Dùa vµo nhËn xÐt 3 . Ta dÔ dµng chøng minh ®îc) NhËn xÐt 4: ta cã NH lµ ph©n gi¸c  PNM NA  NH(gt)  NA lµ ph©n gi¸c gãc ngoµi ®Ønh N cña MNP . Nªn A lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp cña MNP. Ta cã c©u hái tiÕp theo. 4. Chøng minh r»ng mçi ®Ønh cña ABC lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp c¸c gãc t¬ng øng cña MNP . Gi¶i: ( Dùa vµo nhËn xÐt 4) NhËn xÐt 5: Dùa vµo 4 Th× NA lµ ph©n gi¸c ngoµi ®Ønh N cña MNP , NH lµ ph©n gi¸c trong nªn ta cã c©u hái tiÕp. 5. Gäi G,K,I lÇn lît lµ giao ®iÓm cña AH víi PN, BH víi PM, CH víi MN . Chøng minh r»ng. AG HG BK KH CI IH  ;  ;  AM HM BN HN CP HP Gi¶i: Dùa vµo nhËn xÐt 5. Sö dông tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 7 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa NhËn xÐt 6: LÊy H1®èi xøng víi H qua AB Ta thÊy mµ AHB  NHM ; NHM  NCM 180 0 tø       AH 1 B ABH  AH 1 B  AHB gi¸c NHMC néi tiÕp    AH 1 B  ACB 180 0 nªn tø gi¸c AH1BC néi tiÕp dîc ta ®Æt c©u hái tiÕp. 6. Gäi H1,H2,H3 lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua c¸c c¹nh AB, BC, CA cña ABC . Chøng minh r»ng . 6 ®iÓm A,H1, B, H2, C, H3 cïng thuéc mét ®êng trßn. Gi¶i:Dùa vµo nhËn xÐt 6 ta dÔ dµng chøng minh ®îc. NhËn xÐt 7: Theo nhËn xÐt 6 th× AH 1 B = AHB vµ ®èi xøng nhau qua AB  ®êng trßn (AH1B) = ®êng trßn( AHB)= ®êng trßn(ABC), tõ ®ã ta cã c©u hái tiÕp. 7. Gäi R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC . Chøng minh r»ng: ®êng trßn (AHB) = ®êng trßn(AHC) = ®êng trßn(BHC) cïng cã ®êng kÝnh 2R. Gi¶i: Dùa vµo c©u 6 vµ nhËn xÐt 7 ta chøng minh ®îc. 1 AN . AP.SinA 2 NhËn xÐt 8: Ta thÊy. SAPN = SABC=  T¬ng tù: 8. 1 AB. AC.SinA 2 S APN AN . AP AN AP   . CosA.CosA Cos 2 A S ABC AB. AC AB AC S S BPM Cos 2 B ; CMN Cos 2 C S ABC S ABC tõ ®ã ta ®Æt c©u hái tiÕp. S MNP 1  (Cos 2 A  Cos 2 B  Cos 2 C ) CMR: S ABC Gi¶i: Dùa vµo nhËn xÐt 8 ta cã: SAPN = SABC..Cos 2 A; SBPM = SABC . Cos 2 B SCMN = SABC . Cos 2 C SMNP = SABC- SABC( Cos2A+ Cos2B +Cos2C) = SABC( 1- ( Cos2A + Cos2B + Cos2C) 8 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa  S MNP 1  (Cos 2 A  Cos 2 B  Cos 2 C ) S ABC NhËn xÐt 9: Theo c©u 6 . Th× A,H1, B, H2, C, H3 cïng thuéc 1 ®êng trßn  cung AH1 = cung AH3  A lµ ®iÓm chÝnh giöa cña cung H1AH3 ta ®Æt c©u hái tiÕp theo. 9. Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC chøng minh: AO  PN ; CO  MN ; BO  PM Gi¶i: ( cã nhiÒu c¸ch gi¶i) Xin nªu mét c¸ch. Ta cã:    B1 C1 H 1 AH 3 ( cïng phô  BAC )    AH 1  AH 3  A lµ ®iÓm chÝnh giöa cung  AO  H1H3 Tø gi¸c BPNC néi tiÕp cung H3C)    P1  H 3 H 1C   P1  B2 (cïng   ch¾n cung NC) ; B 2   H 3 H 1C ( cïng ch¾n PN // H1H3 mµ AO  H1H3 suy ra PN  OA Chøng minh t¬ng tù ta ®îc CO  NM; BO  PM. NhËn xÐt 10: KÎ ®êng kÝnh AI cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC ta cã IC // BH ( Cïng vu«ng gãc víi AC) H2I // BC ( H2 lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua BC) Ta ®Æt c©u hái tiÕp. 10. KÎ ®êng kÝnh AI, Gäi H2 lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua BC. Chøng minh r»ng: +Tø gi¸c BHCI lµ h×nh b×nh hµnh +Tø gi¸c BCIH2 lµ h×nh thang c©n NhËn xÐt 11: Theo trªn th× BPNC néi tiÕp, AO  PN vÊn ®Ò ngîc l¹i cã ®óng kh«ng? Tøc lµ PN  AO  BPNC néi tiÕp . Ta cã bµi to¸n sau: Bµi to¸n 1.II: Cho ABC nhän néi tiÕp (O) ®êng kÝnh AI, d lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AI c¾t AB, AC t¹i M vµ N. Chøng minh BPNC néi tiÕp ®îc. Gi¶i: Do d bÊt kú nªn: d cã thÓ ®i qua A, B, C. +Khi d ®i qua A  M  A; N  A  BMNC trë thµnh ABC 9 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa +Khi d ®i qua B  M  B  BMNC trë thµnh MNC +Khi d ®i qua C  N  C  BMNC trë thµnh BMC +Khi d c¾t AI kh«ng ®i qua c¸c ®Ønh cña ABC §Ó chøng minh ®îc BMNC néi tiÕp Ta chøng minh B  N 180 0 .   Gäi T lµ giao ®iÓm cña d víi AI   Ta cã: ITNC néi tiÕp ®îc < ICN 90 0 ; ITN 90 0     I  N 180 0 cung AC  mµ    I B  B  N 180 0 cïng ch¾n  Tø gi¸c BMNC néi tiÕp. NÕu d c¾t c¸c ®êng th¼ng chøa c¹nh AB, AC t¹i M vµ N ( M, N kh«ng thuéc c¹nh AB, AC cña ABC . Ta cã:   N  A1 90 0 cung IC   IBM    mµ   A1  B1 N  B1 90 0 cïng ch¾n mÆt kh¸c  = 900 nªn N  B 1  IBM 180 0 hay  N  MBC 180 0  Tø gi¸c MBCN néi tiÕp ®îc. NhËn xÐt 12: Theo c©u 4. Th× 3 ®Ønh cña ABC lÇn lît lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp c¸c gãc t¬ng øng M, N, P cña MNP . Gäi I, K lÇn lît lµ tiÕp ®iÓm cña ®êng trßn ( B) vµ ( C) víi ®¬ng th¼ng PN Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: 2 NI = Chu vi MNP ( hai tiÕp tuyÕn cña (B) c¾t nhau t¹i N 2PK = Chu vi MNP (hai tiÕp tuyÕn cña (C) c¾t nhau t¹i P 2(NI + PK) = 2 Chu vi MNP  Chu vi MNP = NI + PK. 10 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa Hay MN +NP + PM = IP + PN + PN + NK = (IP +PN + NK) + PN Hay MN + MP = IK Ta cã bµi to¸n sau: Bµi to¸n 2.II: Cho ABC nhän c¸c ®êng cao AM, BN, CP Gäi I, K lµ h×nh chiÕu cña B vµ C lªn ®êng th¼ng PN . Chøng minh r»ng: MP + MN = IK Chøng minh: Dùa vµo nhËn xÐt 12 ta chøng minh ®îc  NhËn xÐt 13: Ta cã Chu vi MNP = MP + PN +MN Ta gäi M1, M2 lÇn lît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi M qua AB vµ AC. Khi ®ã ta cã: PM = PM1; NM = NM2 vµ M1, M2 thuéc ®êng th¼ng PN khi ®ã: M1P+ PN + NM2 = M1M2 = MP + PN +MN = Chu vi MNP trong trêng hîp nµy Chu vi MNP nhá nhÊt. Tõ ®ã ta ®Ò xuÊt bµi to¸n sau: Bµi to¸n 3.II: Cho ABC nhän. H·y t×m trªn c¸c c¹nh cña ABC c¸c ®iÓm M, N, P sao cho Chu vi MNP nhá nhÊt. Gi¶i: Gi¶i sö M  BC, N  AC, P  AB LÊy ®iÓm M1, M2 Lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi M qua c¸c c¹nh AB, AC ta cã AM1 =AM = AM2 c¸c AM 1 M ; AM 2 M ; M 1 AM 2 lµ c¸c tam gi¸c c©n t¹i A AM 1 M c©n t¹i A  M 1 AM AM 2 M c©n t¹i A  M 2 AM 2 CAM   M 1 AM 2 mµ =  M 1 AM M 1 AM 2 c©n +   =2 BAM     M 2 AM = 2( BAM t¹i A vµ   M 1 AM 2   + CAM ) = 2 BAC  =2 BAC kh«ng ®æi Chu vi MNP = MP + PN +MN= M1P +PN + NM2  Chu vi MNP nhá nhÊt khi M1, P, N, M2 th¼ng hµng vµ M1M2 nhá nhÊt. Do M 1 AM 2 c©n t¹i A, cã   M 1 AM 2 kh«ng ®æi nªn M1M2 nhá nhÊt khi AM nhá nhÊt, AM nhá nhÊt khi AM  BC  M lµ ch©n ®êng cao h¹ tõ ®ØnhA cña ABC . Do vai trß cña M, N, P nh nhau nªn lËp luËn t¬ng tù ta cã: 11 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa BN  AC, CP  AB  N, P lµ ch©n c¸c ®êng cao h¹ tõ B vµ C cña ABC . NhËn xÐt 14: Theo c©u 3. ta cã H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp MNP SPNM = SPNH + SPHM + S NHM = r ( MP 2 + PN +MN) ( r lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp MNP ). Nhng theo c©u 9: AO  PN, BO  PM, CO  NM Nªn c¸c tø gi¸c APON, PBMO, CNOM lµ c¸c tø gi¸c cã 2 ®êng chÐo vu«ng gãc vµ tæng diÖn tÝch 3 tø gi¸c nµy b»ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC. SABC = SAPON+ SBPMO+ SCNOM = OA OB CO .PN  .PM  .NM 2 2 2 = R (MP + PN +MN). R lµ 2 b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC Ta ®Ò xuÊt bµi to¸n sau: Bµi to¸n 4.II: Cho ABC nhän néi tiÕp (O,R) c¸c ®êng cao AM, BN, CP gäi r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp MNP . Chøng minh r»ng: S MNP r  S ABC R Chøng minh: Dùa vµo nhËn xÐt trªn ta chøng minh ®îc. NhËn xÐt 15: theo bµi to¸n 4.II Cßn theo c©u 8. th× th× S MNP r  S ABC R S MNP 1  (Cos 2 A  Cos 2 B  Cos 2 C ) S ABC Ta l¹i ®Ò xuÊt bµi to¸n sau: Bµi to¸n 5.II: Cho ABC nhän néi tiÕp (O,R) , M, N, P l©n lît lµ ch©n ®êng cao cña tam gi¸c, r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp MNP . Chøng minh r»ng: r 1  ( Cos 2 A  Cos 2 B  Cos 2 C ) R Chøng minh: Dùa vµo nhËn xÐt trªn ta chøng minh ®îc: NhËn xÐt 16: Tõ c©u 7. R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC th× ®êng trßn (AHB) = ®êng trßn(AHC) = ®êng trßn(BHC) Cïng cã ®êng kÝnh 2R. Ta l¹i ®Ò xuÊt bµi to¸n sau: 12 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa Bµi to¸n 6.II: Cho ABC nhän, trùc t©m H néi tiÕp ®êng trßn(O,R) Gäi O1, O2, O3 lÇn lît lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c AHB, AHC, vµ BHC chøng minh r»ng tam gi¸c O1O2O3 b»ng tam gi¸c ABC. Chøng minh: Theo c©u 7. C¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c AHB, AHC , BHC , ABC b»ng nhau nªn ta cã. OA = OB = O1A = O1B = R  AOBO1 lµ h×nh thoi  AO //BO1 T¬ng tù AOCO2 lµ h×nh thoi  AO // CO2  BO1// CO2 vµ BO1 = CO2  BO1O2C lµ h×nh b×nh hµnh  O1O2 = BC Do O1,O2, O3 ta chøng minh hoµn toµn t¬ng tù Ta cã: O2O3 = AB; O1O3 = AC VËy O1O2 O3 CAB NhËn xÐt 17: Theo c©u 10. Th× BHCI lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi giao ®iÓm 2 ®¬ng chÐo lµ T. Ta cã: OT = 1 AH 2 hay AH = 2OT (®êng trung b×nh tam gi¸c AHI) Vµ HB + HC = IB + IC Khi ®ã HA +HB + HC = HA + IB +IC NÕu cè ®Þnh BC  OT kh«ng ®æi  AH = 2OT kh«ng ®æi  Tæng HA +HB + HC chØ phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm I . Ta ®Ò xuÊt bµi to¸n: Bµi to¸n 7.II: Cho ®êng trßn (O) vµ d©y BC kh«ng ®i qua O, A lµ ®iÓm ®i trªn ®êng trßn sao cho ABC nhän, Gäi H lµ trùc t©m ABC . T×m vÞ trÝ ®iÓm A sao cho tæng kho¶ng c¸ch HA +HB + HC lín nhÊt . Lêi gi¶i: ( Tãm t¾t ) VÏ ®êng kÝnh AI, Gäi T lµ giao ®iÓm HI vµ BC. Theo c©u 10 th× BHCI lµ h×nh b×nh hµnh  T lµ trung ®iÓm HI  HB + HC =BI + IC. Mµ O lµ trung ®iÓm AI . Nªn TO = 1 AH 2 ( ®êng trung b×nh AHI )  AH = 2OT Do BC cè ®Þnh, O cè ®Þnh  OT kh«ng ®æi  AH kh«ng ®æi. 13 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa Do ®ã: HA +HB + HC lín nhÊt khi BI + IC lín nhÊt. MÆt kh¸c v× ABC nhän nªn A chØ chuyÓn ®éng trªn cung H1H2. Khi A chuyÓn ®éng trªn cung H 1H2 th× I chuyÓn ®éng trªn cung nhá BC nªn IB + IC lín nhÊt khi I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung BC  A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung lín BC. ( A ë vÞ trÝ A1; I ë vÞ trÝ I1) NhËn xÐt 18: Theo c©u 6 th× H1, H 2, H3 thuéc ®êng trßn t©m (O) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC, ta nhËn ra r»ng A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung H1H3  A thuéc ph©n gi¸c gãc H1H 2H3 ta ®Ò xuÊt bµi to¸n. Bµi to¸n 8.II: Dùng tam gi¸c nhän ABC biÕt 3 ®iÓm ph©n biÖt H1, H 2, H3 lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi trùc t©m H lÇn lît qua AB, BC, AC Gi¶i: (V¾n t¾t) Dùa vµo nhËn xÐt trªn ta dÔ dµng dùng ®îc theo tr×nh tù - Dùng ®êng trßn t©m (O) ngo¹i tiÕp tam gi¸c H1H 2H3 Dùng ph©n gi¸c c¸c gãc H1H 2H3 ; H1H3H2; H3H1H2 c¸c giao ®iÓm ph©n gi¸c c¸c gãc nµy víi ®êng trßn t©m (O) lµ c¸c ®Ønh A,B,C cña tam gi¸c ABC cÇn dùng Tõ bµi to¸n I,II b»ng c¸ch nghiªn cøu kü lêi gi¶i cña tõng c©u ®Æc biÖt chó ý ®Õn ®Æc ®iÓm c¸c yÕu tè ta cã thÓ ®Ò xuÊt c¸c bµi to¸n sau: Bµi to¸n 1:  I. Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R ;M lµ ®iÓm di ®éng trªn nöa ®êng trßn ®ã ( M kh¸c A, M kh¸c B) vÏ ®êng trßn t©m M tiÕp xóc víi AB t¹i H, tõ A vµ B vÏ 2 tiÕp tuyÕn AC vµ BD víi ®êng trßn t©m M a. Chøng minh 3 ®iÓm C,M, D cïng n»m trªn tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t©m (O) t¹i ®iÓm M. b. Gi¶ sö CD c¾t AB ë K. Chøng minh OA2 = OB2 = OA.OK Bµi to¸n 2:  I. Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB= 2 R, tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M bÊt kú trªn ®êng trßn c¾t c¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i A vµ B lÇn lît ë C vµ D a. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M sao cho chu vi tam gi¸c COD nhá nhÊt b. Gäi I, J lÇn lît giao ®iÓm cña OC víi AM vµ OD víi BM x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CIJD cã b¸n kÝnh nhá nhÊt. Bµi to¸n 3:  II. Cho tam gi¸c ABC trùc t©m H, träng t©m G, O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng. a. Kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn A gÊp 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng. 14 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa Bµi to¸n 4:  II. Cho ®êng trßn t©m O (O) vµ d©y BC cè ®iÞnh kh«ng ®i qua t©m, A lµ ®iÓm di ®éng trªn cung lín BC sao cho tam gi¸c ABC nhän a. T×m quü tÝch ®iÓm H b. T×m vÞ trÝ ®iÓm A sao cho diÖn tÝch tam gi¸c ABC lín nhÊt. III. KÕt luËn. Trªn ®©y lµ nh÷ng viÖc lµm nhá nhoi cña b¶n th©n trong qu¸ tr×nh d¹y häc. Kh¶o s¸t cho thÊy víi c¸ch lµm nµy c¸c em høng thó häc tËp h¬n, c¸c em kh¸, giái kh«ng coi thêng c¸c bµi tËp SGK ®a ra tëng chõng ®¬n gi¶n mµ c¸c em ®· biÕt ®µo s©u suy nghÜ , t×m kiÕm ph¸t hiÖn ra nh÷ng vÊn ®Ò rÊt thô vÞ, nh÷ng h/s "h¬i kh¸" ®· biÕt tæng hîp c¸c bµi tËp cïng d¹y, x©u chuæi c¸c kiÕn thøc ®Ó «n tËp mét c¸ch khoa häc. T«i nhËn ra r»ng nh÷ng viÖc lµm cña t«i míi chØ ®¸p øng ®îc mét chót kiÕn lôc nghiÖm thøc trong kho tµng kiÕn Môc thøc mµ t¸c kinh gi¶ SGK muèn göi g¾m tíi ngêi häc, Th«ng qua ngêi d¹y bëi vËy t«iI.cÇn ph¶i häc®Ò hái nhiÒu, rÊt nhiÒu ë ®ång nghiÖp ë tµi §Æt vÊn 1. VÞ trÝ m«n häc liÖu… hy väng ®îc sù d×u d¾t cña ®ång nghiÖp ®Ó. T«i cµng hoµn thiÖn h¬n trong 2. Thùc tr¹ng häc h×nh häc hiÖn nay cña häc sinh THCS nghÒ d¹y häc./. II. BiÖn ph¸p ®· thùc hiÖn III. KÕt luËn T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Th¸ng 04 n¨m 2006 Tµi liÖu tham kh¶o 1. S¸ch gi¸o khoa, s¸ch bµi tËp to¸n 9 2. S¸ch n©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 9. 3. C¸c chuyªn ®Ò h×nh häc 9 15 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa I. §Æt vÊn ®Ò. i¶i to¸n lµ viÖc lµm thêng xuyªn cña ngêi häc to¸n, th«ng qua gi¶i to¸n häc sinh kh«ng nh÷ng còng cè vµ kh¾c s©u c¸c kiÕn thøc ®· häc, mµ cßn cã vai trß rÊt quan träng trong viÖc rÌn luyÖn n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua viÖc gi¶i to¸n häc sinh rÌn luyÖn, ph¸t triÓn nhiÒu kü n¨ng nh: Kü n¨ng ph©n tÝch, kü n¨ng lËp luËn, kü n¨ng ph¸n ®o¸n, kü n¨ng vËn dông…thùc tiÔn d¹y häc cho thÊy häc sinh rÊt m¸y mãc khi vËn dông c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo viÖc gi¶i bµi tËp. Do vËy kh«ng ph¸t triÓn ®îc n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o vµ c¸c kü n¨ng cho häc sinh. Khi gÆp c¸c bµi to¸n kh«ng vËn dông trùc tiÕp c¸c kiÕn thøc ®· häc th× rÊt nhiÒu häc sinh lóng tóng kh«ng t×m ®îc ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n ®ã nh thÕ nµo. §Æc biÖt lµ trong m«n h×nh häc víi nh÷ng gi¶ thiÕt mµ bµi to¸n cho nÕu kh«ng cã tÝnh s¸ng t¹o häc sinh kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®îc bµi to¸n ®ã. Do vËy khi gÆp c¸c bµi to¸n nµy häc sinh ph¶i suy nghÜ ®Ó vÏ thªm c¸c ®êng phô, ®iÓm phô tõ ®ã gióp häc sinh gi¶i quyÕt bµi to¸n mét c¸ch dÔ dµng vµ thuËn lîi h¬n. Tuy nhiªn vÊn ®Ò ®Æt ra lµ: khi gÆp mét bµi to¸n häc sinh kh«ng biÕt vÏ ®êng phô nh thÕ nµo do ®ã rÊt nhiÒu häc sinh " mß mÉm" ®Ó vÏ c¸c ®êng phô nh»m t×m ra lêi gi¶i cho bµi to¸n vµ ®a sè lµ thÊt b¹i kÕt qu¶ bµi tãan kh«ng ®îc gi¶i quyÕt, mét sè em kh¸ t×m ra ®îc c¸ch kÏ ®êng phô nhng kh«ng hîp lý dÉn ®Õn lêi gi¶i dµi dßng phøc t¹p. Víi häc sinh líp 7 G 16 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa th× vÊn ®Ò trªn cµng gÆp nhiÒu khã kh¨n khi c¸c em míi lµm quen víi ph¬ng ph¸p suy luËn, ph¬ng ph¸p chøng minh bµi to¸n h×nh häc. ViÖc c¸c em vËn dông c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo viÖc lËp luËn, chøng minh bµi to¸n h×nh häc ®· khã cha nãi ®Õn viÖc c¸c em ph¶i suy nghÜ t×m c¸ch kÏ ®êng phô råi míi vËn dông ®îc c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n ®ã. §øng tríc khã kh¨n chung cña häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y h×nh häc líp 7 t«i ®· cè g¾ng híng dÉn c¸c em t×m ra mét sè ph¬ng ph¸p " kÎ ®êng phô" trong gi¶i to¸n. ViÖc lµm ®ã ®· gãp phÇn rÊt lín trong viÖc rÌn luyÖn kü n¨ng cho häc sinh, gióp c¸c em rÌn luyÖn ®îc n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o khi gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc. Do ®ã viÖc" rÌn luÖn kü n¨ng kÎ ®êng phô trong viÖc gi¶i to¸n h×nh häc" lµ viÖc lµm hÕt søc khã kh¨n nhng kh«ng thÓ thiÕu cña gi¸o viªn. Víi lý do trªn t«i m¹nh d¹n tr×nh bµy chuyªn ®Ò " RÌn luÖn kü n¨ng kÏ ®êng phô cho häc sinh trong gi¶i to¸n h×nh häc líp 7" II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò I. C¸c bµi to¸n: Chøng minh hai gãc b»ng nhau. 1. Mét sè gîi ý ®Ó ®i ®Õn chøng minh ®îc hai gãc b»ng nhau.  Sö dông hai gãc cïng sè ®o  Sö dông gãc thø ba lµm trung gian, 2 gãc cïng phô hoÆc cïng bï víi mét gãc  Hai gãc cïng b»ng tæng, hiÖu cña hai gãc t¬ng øng b»ng nhau.  Sö dông tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña 1 gãc, gãc ®èi ®Ønh, tÝnh chÊt 2 ®êng th¼ng song song  Gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc song song , gãc cña tam gi¸c ®Æc biÖt  2 gãc t¬ng cña hai tam gi¸c b»ng nhau. 2. Mét sè bµi to¸n. Bµi to¸n 1: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã sao cho AD = BC. TÝnh NhËn xÐt:   B C 80 0 A  20 0 .  Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D ACD .  do ®ã   B  A 80 0  20 0 60 0 lµ 1 gãc cña tam gi¸c ®Òu. Do ®ã ta cã thÓ suy nghÜ ®Õn ph¬ng ph¸p ®Ó vÏ ®êng phô nh sau: C¸ch vÏ 1: Dùng ®iÓm I n»m trong tam gi¸c sao cho tam gi¸c BIC lµ tam gi¸c ®Òu. ( H×nh vÏ 1) Gi¶i: Ta cã ABI ABI ( c.c.c) 17 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa  BAI CAI 10 0 (1)   MÆt kh¸c ADC CIA ( c.g.c)    ACD CAI Tõ (1), (2)  ACD =10  . 0 Nh vËy viÖc kÎ ®êng phô lµ mét viÖc lµm rÊt quan träng trong gi¶i to¸n h×nh häc. KÎ ®êng phô ®óng gióp chóng ta gik¶i quyÕt bµi to¸n mét c¸ch nhanh vµ gän gµng h¬n rÊt nhiÒu. §iÒu quan träng nöa lµ nÕu kh«ng kÎ ®îc ®êng phô th× rÊt nhiÒu bµi to¸n kh«ng gi¶i quyÕt ®îc. Sau khi t×m ®îc ACD =  100 b»ng c¸ch dùng tam gi¸c ®Òu BIC gi¸o viªn cã thÕ híng häc sinh dùng c¸c tam gi¸c ®Òu kh¸c xem thø cã t×m ®îc ®¸p sè hay kh«ng?. - C¸ch vÏ 2: Dùng tam gi¸c ®Òu ADM ( M vµ C kh¸c phÝa so víi AB) ( H×nh vÎ 2) Ta cã: ABC CAM (c.g .c )  ACM 20 0 vµ CM = AC  Tõ ®ã ta cã :   ADC MDC (c.c.c )  ACD  MCD  20 0 10 0 2 C¸ch vÏ 3: Dùng tam gi¸c ®Òu CAN ( B; N kh¸c phÝa so víi AC) Ta cã : ABC NAD (c.g .c ) vµ  AC  ND  AND  20 0 XÐt DNC ta cã ND = NC ( cïng b»ng AC)  CND c©n t¹i N mµ   CND 60 0  AND 60 0  20 0 40 0   180 0  40 0  NCD  70 0  ACD 70 0  60 0 10 0 2 C¸ch vÏ 4: Dùng tam gi¸c ®Òu ABK ( K; C cïng phÝa so víi AB ) ( H×nh vÏ 4) Ta cã ACK c©n t¹i A mµ  CAK 60 0  20 0 40 0  180 0  40 0  AKC  70 0 2 MÆt kh¸c:   ADC BCK (c.g .c )  ACD  BKC 70 0  60 0 10 0 Bµi to¸n 2: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, gi¸c sao cho DBC 10 0 ; DCB 30 0 .   TÝnh A 80 0 .  §iÓm D thuéc miÒn trong tam  ADB NhËn xÐt: §¢y lµ bµi to¸n khã bíi h/s khã nhËn ra mèi quan hÖ gi÷a gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn ®Ó t×m c¸ch gi¶i quyÕt bµi to¸n. Ta cã: 18   ABC  DBC 60 0 lµ mét gãc cña RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa tam gi¸c ®Òu. Tõ ®ã gi¸o viªn cã thÓ híng dÉn häc sinh c¸ch vÏ ®Ó t¹o ra tam gi¸c ®Òu theo c¸c híng sau: C¸ch 1: Dùng tam gi¸c ®Òu BCM ( A; M cïng phÝa so víi BC). Ta cã: ABM ACM (c.c.c)    AMB  AMC 30 0  BM  BC    XÐt ABM vµ DBC cã  AMB  DCM 30     ABM  DBC 10 0  ABM DBC ( g.c.g )  AB  DB  ABD c©n t¹i B  180 0  40 0  ADB  70 0 2 C¸ch 2: Dùng tam gi¸c ®Òu ABE ( C vµ E cïng phÝa so víi AB) Ta cã: ACE c©n t¹i C, mµ   180 0  40 0 CAE 20 0  ACE  80 0  2  BCE 80 0  500 300  BDC BEC ( g .c.g )  BD  BE  BA  BAD c©n t¹i B  180 0  40 0  ADB  70 0 2 C¸ch 3: Dùng tam gi¸c ®Òu ACK ( B; K cïng phÝa so víi AC) Ta cã ABK c©n t¹i K, mµ   BAK 20 0  ABK 80 0   CBK 80 0  50 0 30 0  BDC CKB( g.c.g )  BD CK  ABD mµ c©n t¹i B   180 0  40 0 ABD 40 0  ADB  70 0 2 C¸ch 4: Ta cã nhËn xÐt: §Ó tÝnh ®îc gãc ta cÇn chøng minh ®îc tam gi¸c  ADB ABD c©n t¹i B. Do ®ã ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n trªn theo c¸c híng kh¸c . KÎ Tia ph©n gi¸c cña gãc ta cã:    ABD MBC  MCB 30 0  BMC MÆt kh¸c c¾t CD kÐo dµi t¹i M c©n t¹i M AMB ACM (c.c.c ) 19   BMC 120 0 RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa    AMB  AMC  360 0  120 0 120 0  ABM DBM ( g .c.c) 2 c©n t¹i B, mµ  AB  DB  ABD  ABD 40 0  180 0  40 0  ADB  70 0 2 Bµi to¸n 3: Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng c©n t¹i A. §iÓm D thuéc miÒn trong tam gi¸c sao cho  DAC 150 0 vµ tam gi¸c DAC c©n t¹i D. TÝnh  ADB NhËn xÐt : §Ó tÝnh ®îc gãc ADB ta cÇn chøng minh tam gi¸c ABD c©n t¹i B. Ta cã 1500 - 900 = 600 lµ mét gãc cña tam gi¸c ®Òu. Do vËy trong bµig to¸n nµy ta ph¶i t×m c¸ch vÏ kÎ ®Ó t¹o ra tam gi¸c ®Òu tõ ®ã t×m c¸ch tÝnh gãc ADB. Do ®ã gi¸o viªn cã thÓ híng dÉn häc sinh t×m c¸ch vÏ ®êng phô theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Dùng  ®Òu ADF ( B;F cïng phÝa so víi AC). Ta cã: ADC c©n t¹i D mµ  ADC =1500   180 0  150 0  CAD  15 0  BAF 90 0  (15 0  60 0 ) 15 0 2 vµ   ADC AFB (c.g .c )  AFB 150 0   ABF 15 0  DFB 360 0  (60 0  150 0 ) 150 0 c©n t¹i B mµ  AFB DFB (c.g .c )  AB  DB  ABD   ADB   ABD 30 0 180 0 30 0 75 0 2 C¸ch 2: Dùng tam gi¸c ®Òu ACE ( E;B kh¸c phi¸ so víi AC) Ta cã:  ADE =  CDE(c.c.c) MÆt kh¸c  ADE =  ADB ( c.g.c) VËy    ADE CDE 75 0    ADE  ADB 75 0  ADB 75 0 C¸ch 3: Dùng tam gi¸c ®Òu CDK ( K;B cïng phi¸ so víi AC) Ta cã:  DCB =  KCB ( c.g.c)  DB  KB (*) Ta cã  ADC =  ADK ( c.g.c)  AC = AK; AC = AB MÆt kh¸c:    CAD  KAD 15 0  KAB 90 0  30 0 60 0 (2) Tõ (1) (2)   ABK lµ tam gi¸c ®Òu  BK  BA(**) Tõ (*) (**)  DB  BA  ABD c©n t¹i B VËy  AK  AB(1)  ADB 75 0 20    BAD  BDA 90 0  15 0 750
- Xem thêm -