RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng
qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
I. §Æt vÊn ®Ò.
1. VÞ trÝ m«n häc trong ch¬ng tr×nh to¸n THCS.
H×nh häc lµ m«n khoa häc c¬ b¶n trong ch¬ng tr×nh phæ th«ng, nã tríc h×nh
thµnh tõ nh÷ng n¨m ®Çu cña ch¬ng tr×nh tiÓu häc. M«n h×nh häc nã ®îc g¾n liÒn víi
thùc tiÓn cuéc sèng. Bëi vËy gi¶i to¸n h×nh häc lµ vÊn ®Ò träng t©m cña ngêi d¹y
còng nh ngêi häc, m«n h×nh häc kÝch thÝch sù s¸ng t¹o, sù ph¸n ®o¸n cña con ngêi
bªn c¹nh ®ã nã rÌn luyÖn tÝnh kiªn tr×, nhÉn n¹i cña ngêi häc.
2. Thùc tr¹ng häc h×nh häc hiÖn nay cña häc sinh THCS .
HiÖn nay sè häc sinh sî m«n to¸n ®Æc biÖt lµ m«n h×nh häc rÊt cao ®èi víi
häc sinh lêi häc ®· ®µnh. Cßn ®èi víi nh÷ng häc sinh "ch¨m häc" mÆc dï thuéc lÝ
thuyÕt vÈn kh«ng gi¶i ®îc . ThËm chÝ cã nh÷ng bµi chØ lµ t¬ng tù bµi ®· gi¶i hay chØ
lµ mét khÝa c¹nh cña bµi ®· gi¶i, hoÆc bµi to¸n ngîc l¹i cña bµi ®· gi¶i mµ häc sinh
vÉn kh«ng gi¶i quyÕt ®îc. Nguyªn nh©n c¬ b¶n dÉn ®Õn t×nh tr¹ng ®ã lµ:
- Häc sinh lêi häc, lêi suy nghÜ, kh«ng n¾m ®îc ph¬ng ph¸p
- Häc sinh häc thô ®éng, thiÕu s¸ng t¹o
- Kh«ng liªn hÖ trîc gi÷a c¸c " Bµi to¸n gèc" ®· gi·i víi c¸c bµi to¸n tríc suy
ra tõ "bµi to¸n gèc" hay nãi c¸ch kh¸c kh«ng biÕt nghiªn cøu lêi gi¶i cña mét bµi
to¸n
Nh÷ng tån t¹i trªn kh«ng nh÷ng do ngêi häc mµ cßn do c¶ ngêi d¹y. Ngêi
d¹y thêng chó träng híng dÉn c¸c em gi¶i, hoÆc gi¶i c¸c bµi to¸n ®éc lËp mµ kh«ng
chó träng hÖ thèng, x©u chuæi, ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n tõ c¸c " bµi to¸n gèc" nhê
viÖc nghiªn cøu kü lêi gi¶i mçi bµi to¸n,th«ng qua h×nh vÏ, nhÇn xÐt, thay ®æi gi¶
thiÕt c¸c bµi to¸n. LËt ngîc vÊn ®Ò…
§èi víi häc sinh kh«ng cã g× ®¸ng nhí h¬n b»ng tù b¶n th©n c¸c em, t×m
kiÕm ph¸t hiÖn ra nh÷ng vÊn ®Ò xung quanh bµi to¸n gèc SGK ®a ra, c¸c em sÏ nhí
l©u khi gÆp mét bµi to¸n c¸c em biÕt liªn hÖ gi÷a bµi to¸n ph¶i gi¶i víi bµi to¸n cò
®· gi¶i mµ c¸c em ®· ®îc biÕt vµ nã sÏ gióp c¸c em biÕt bÊt kú mét bµi to¸n nµo
còng xuÊt ph¸t tõ nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n.
§Ó gióp c¸c em cã ph¬ng ph¸p häc tËp tèt h¬n m«n h×nh häc trong qu¸ tr×nh
gi¶ng d¹y t«i thêng t×m tßi c¸c c¸ch kh¸c nhau ®Ó tiÕp cËn mét vÊn ®Ò, gi¶i kü c¸c
ph¬ng ph¸p kh¸c nhau nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n träng t©m, vµ ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n
®ã díi c¸c h×nh thøc kh¸c nhau. Th«ng qua c¸c nhËn xÐt, liªn hÖ gi÷a c¸i míi võa
t×m ®îc ®Ó t¹o ra c¸i míi.
1
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
II. BiÖn ph¸p ®· thùc hiÖn.
Thùc hiÖn víi ph¬ng ch©m:
Cho häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n t¹i líp
Gi·i kü c¸c c¸ch kh¸c nhau c¸c bµi to¸n c¬ b¶n
XuÊt ph¸t tõ nh÷ng vÊn ®Ò ®· gi¶i quyÕt. Th«ng qua nh÷ng nhËn xÐt
®Ó ®Ò xuÊt vÊn ®Ò míi.
C¸c vÝ dô:
VÝ dô 1:
Bµi to¸n I: Bµi 30 SGK to¸n 9. TËp 1:
Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Ax, By lµ c¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB
t¹i A vµ B. M lµ ®iÓm thuéc nöa ®êng trßn. TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t Ax, By theo thø tù ë
C vµ D. Chøng minh r»ng:
1). COD
=900
2). CD = AC + BD
3). AC . BD kh«ng ®æi khi M ch¹y trªn nöa ®êng trßn.
Gi¶i:
1. §Ó chøng minh COD = 900 ta cã nhiÒu c¸ch chøng minh sau ®©y lµ mét
c¸ch. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t nhau.
Ta cã: OC lµ ph©n gi¸c
AOM
OD lµ ph©n gi¸c
BOM
Mµ
AOM
vµ
BOM
nªn OC OD hay
2.
.
lµ hai gãc kÒ bï
COD =90
0
.
Còng theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã:
CM = CA; DM = DB nªn ta cã: CD = CM + MB
= CA +BD.
3.
AC. BD = CM .MD ( Do CM = CA; DM =DB).
Mµ COD vu«ng t¹i O cã ®êng cao OM nªn
CM.MD = OM2 =R2 . ( R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn(O))
Khai th¸c bµi to¸n:
NhËn xÐt 1: Theo gi¶ thiÕt CA AB, DB AB ABCD lµ h×nh vu«ng.
M lµ ®iÓm trªn nöa ®êng trßn nªn khi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB th×
CD = AB. Ta cã c©u hái tiÕp.
2
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
4. T×m vÞ trÝ ®iÓm M trªn nöa ®êng trßn sao cho tø gi¸c ABDC cã chu vi nhá
nhÊt.
Gi¶i: Chu vi h×nh thang ABCD b»ng AB +BD +DC+CA = AB +2CD
Chu vi ABCD nhá nhÊt 2CD nhá nhÊt CD nhá nhÊt CD vu«ng gãc
víi tiÕp tuyÕn t¹i M CD =AB M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB.
NhËn xÐt 2:
ABCD lµ h×nh thang vu«ng nªn diÖn tÝch sÏ lµ .
S=
5.
AC BD
. AB.
2
Ta cã cã thÓ ®Æt c©u hái tiÕp.
T×m vÞ trÝ ®iÓm M trªn cung AB sao cho diÖn tÝch tø gi¸c ABCD nhá nhÊt.
Gi¶i:
LËp luËn t¬ng tù ta cã nhá nhÊt M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB.
NhËn xÐt 3:
Ta thÊy AMB vu«ng M, COD vu«ng ë O
OC AM; OD BM. Ta ®Æt c©u hái tiÕp.
6.
Gäi giao ®iÓm AM víi OC lµ P, BM vµ OD lµ Q.
Chøng minh tø gi¸c OPMQ lµ h×nh ch÷ nhËt
Gi¶i:
Dùa vµo nhËn xÐt 3 ta dÔ dµng chøng minh ®îc tø gi¸c OPMQ lµ h×nh
ch÷ nhËt
NhËn xÐt 4:
Do AC // BD . Ta ®Æt c©u hái tiÕp.
7.
Gäi giao ®iÓm AD vµ BC lµ H . Chøng minh MH AB
Gi¶i: Do CA // BD
CA CH
BD HB
mµ CA = CM
BD =DM
Nªn
CM CH
MD HB
MH //BD( ®/l ®¶o ®Þnh lý ta let)
MH AB ( Do DB AB).
NhËn xÐt 5:
8.
H lµ giao ®iÓm 2 ®êng chÐo cña h×nh thang ABDC mµ
MH// (AC// BD) ta ®Æt c©u hái tiÕp.
Gäi giao ®iÓm AD vµ BC lµ H, MH c¾t AB ë K.
Chøng minh HM = HK
3
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
Gi¶i:
HK
BH
AC
BC
Theo c©u 7 HK // AC
BH
DH
BC
DA
AC//BD
MH// CA
Tõ c¸c ®¼ng thøc trªn
DH
MH
DA
CA
HK MH
HK MH .
AC
CA
NhËn xÐt 6:
H lµ trung ®iÓm MK; P lµ trung ®iÓm AM; Q lµ trung ®iÓm BM ta ®Æt c©u hái
tiÕp theo.
9.
Chøng minh r»ng P, H, Q th¼ng hµng
P lµ giao ®iÓm AM víi OC, H lµ giao ®iÓm AD vµ BC, Q lµ giao ®iÓm MB vµ OD
Gi¶i: Dùa vµo nhËn xÐt 6 . ta dÔ dµng chøng minh ®îc P,H ,Q th¼ng hµng.
NhËn xÐt 7: ABDC lµ h×nh thang vu«ng cã O lµ trung ®iÓm c¹nh bªn AB ta
liªn tëng ®Õn trung ®iÓm c¹nh bªn CD.Nªn ta cã thÓ ®Æt c©u hái tiÕp.
10.
Chøng minh r»ng.
AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp COD.
Gi¶i:
Gäi I lµ trung ®iÓm CD
IC = ID =IO( COD vu«ng cã OI lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn)
O lµ trung ®iÓm AB ,I lµ trung ®iÓm CD
IO lµ ®êng trung b×nh h×nh thang ABDC IO // BD
Mµ DB AB IO AB t¹i O AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp
COD
Ta sÏ tiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n theo híng kh¸c :
NhËn xÐt 8:
Khi M n»m trªn nöa ®êng trßn (O). TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn Ax,By t¹i C vµ D
hay CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M th×
COD =
900 ®Òu ngîc l¹i cßn ®óng
kh«ng?
Ta cã bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 1.I: Cho nöa ®êng trßn (()) ®êng kÝnh AB, Ax, By lµ c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ
B, trªn Ax lÊy ®iÓm C tïy ý . VÏ tam giac vu«ng COD, D By vµ cïng n»m trªn
nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C .
4
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
Chøng minh r»ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O) .
Gi¶i : ta cã:
0
D 1 O 2 cïng phô O 1 ; A B 90 (gt)
DOB ~ OCA ( g.g)
OD OB
OC CA
mµ OB = OA nªn
MÆt kh¸c
CAD
=
COD =
OD OA
OC
AC
;
900
COD ~ CAO ( c.g.c)
ACO DCO
hay CD lµ ph©n gi¸c cña gãc
ACD
.
Tõ O vÏ OM CD ( M CD ) ; CO lµ ph©n gi¸c
ACM
OA AC OM = OA(§iÓm n»m trªn ph©n gi¸c c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc) . VËy
CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i M.
NhËn xÐt 9: Theo c©u 2. Bµi I th×: AC +BD =CD ta h·y ®Æt vÊn ®Ò ngîc l¹i
cña c©u 2. Bµi to¸n I.
Bµi to¸n 2.I: Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB . hai tiÕp tuyÕn Ax vµ By trªn 2
tiÕp tuyÕn ®ã lÊy 2 ®iÓm C vµ D sao cho CD = AC + BD chøng minh
COD =90
0
vµ
CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O).
Gi¶i: Qua O kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB c¾t
CD t¹i I ta cã I lµ trung ®iÓm cña CD IO lµ ®êng trung b×nh cña h×nh
thang ABCD nªn
IO =
1
1
( AC BD) .CD (
2
2
do AC +BD = CD)
COD
vu«ng ë O.
theo bµi to¸n 2 th× CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O)
NhËn xÐt 10: TiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n b»ng c¸ch thay ®æi ®iÒu kiÖn cña bµi
to¸n: Ch¼ng h¹n ®iÓm O ®îc thay bëi ®iÓm O' bÊt kú thuéc ®o¹n AB, lóc nµy
CD kh«ng cßn lµ tiÕp tuyÕn nöa mµ trë thµnh c¸t tuyÕn, b©y giê
bao nhiªu?.
5
CO' D
b»ng
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
Bµi to¸n 3.I: Cho ®iÓm M n»m trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB, O' lµ ®iÓm bÊt kú
n»m trong ®o¹n AB, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi MO ' t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn Ax, By t¹i
C vµ D . Chøng minh
CO ' D 90 0 .
Gi¶i: Do O' bÊt kú thuéc AB nªn O' trïng O ; hoÆc O' trïng A hoÆc O' trïng B.
+/ NÕu O' trïng O Th× bµi to¸n 3.I trë thµnh bµi to¸n I.
+/ NÕu O' trïng A D trïng B, khi ®ã
CO' D CAB 90 0
+/ NÕu O' trïng B C trïng A khi ®ã
CO' D DBA 90 0
XÐt O' kh«ng trïng O ; O' kh«ng trïng A; O' kh«ng trïng B.
Ta cã : AO'MC néi tiÕp O ' M cïng ch¾n
1
1
Cung CA
BO'MD néi tiÕp O ' M
2
Do
AMB 90 0 (gt)
nªn
2
M 1 M 2 90 0
'
CO ' D 90 0 .
'
O 1 O 2 90
0
NhËn xÐt 11: Khi O n»m trªn ®êng th¼ng AB th× bµi to¸n 3.I cßn ®óng nöa
kh«ng. Ta cã bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 4.1: Cho ®iÓm M n»m trªn nöa ®êng trßn ®êng AB, O' lµ ®iÓm bÊt kú trªn
®êng th¼ng AB nhng ë phÝa ngoµi ®o¹n AB, ®êng th¼ng vu«ng gãc O'M t¹i M c¾t
c¸c tiÕp tuyÕn Ax, By t¹i C vµ D. Chøng minh CO ' D 90 0
Gi¶i ( Tãm t¾t).
+) CMAO' néi tiÕp
O' CM MAB cïng bï MAO '
+) DBMO' néi tiÕp
O' DM O ' BM cïng ch¾n cung
MO' mµ MAB
O' BM 90 0 nªn O ' CM O ' DM 90 0
CO ' D 90 0 (Tæng 3 gãc trong tam gi¸c).
'
NhËn xÐt 12: Qua bµi to¸n 4 vµ 4.1 ta cã bµi to¸n tæng qu¸t sau:
Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB, M lµ ®iÓm bÊt kú trªn nöa ®êng trßn ®ã ( M A,
M B) O lµ ®iÓm bÊt kú trªn ®êng th¼ng AB, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OM t¹i M
c¾t tiÕp tuyÕn Ax vµ By t¹i C vµ D. Chøng minh r»ng OC OD.
VÝ dô 2: (Dùa vµo bµi tËp 95 SGK .To¸n 9 . TËp 2).
Bµi to¸n II: Cho ABC nhän trùc t©m H c¸c ®êng cao AM, BN, CP
Chøng minh: C¸c tø gi¸c APHN; BPNC néi tiÕp ®îc
6
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
Gi¶i: ( Tãm t¾t).
+/
APH 90 0 ; ANH 90 0 APH ANH 180 0
APHN néi tiÕp
+/
BPC BNC 90 0
BPNC néi tiÕp
NhËn xÐt 1: H×nh vÏ gîi cho ta mét sè tø gi¸c néi tiÕp.
Ta ®Æt thªm c©u hái.
1.
Trªn h×nh vÏ cã bao nhiªu tø gi¸c néi tiÕp
Cã 6 tø gi¸c néi tiÕp: APHN; BPHM; CMHN; ANMB; BPNC; APMC.
NhËn xÐt 2: Víi BHC cã A lµ trùc t©m, AHC cã B lµ trùc t©m ta ®Æt c©u hái
tiÕp theo.
2.
Chøng tá r»ng mçi ®Ønh cña ®· cho lµ trùc t©m cña tam gi¸c t¹o thµnh
bëi 2 ®Ønh cßn l¹i vµ trùc t©m H cña ABC .
NhËn xÐt 3: Tõ c¸c tø gi¸c néi tiÕp ®· t×m ®îc ta thÊy:
M 1 B1 ; B1 C1 ; C1 M 2 M 1 M 2
3.
ta cã c©u hái tiÕp theo.
Chøng minh r»ng H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp MNP .
Gi¶i: ( Dùa vµo nhËn xÐt 3 . Ta dÔ dµng chøng minh ®îc)
NhËn xÐt 4: ta cã NH lµ ph©n gi¸c
PNM
NA NH(gt) NA lµ ph©n gi¸c gãc ngoµi ®Ønh N cña MNP . Nªn A lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp cña MNP. Ta cã c©u hái tiÕp theo.
4.
Chøng minh r»ng mçi ®Ønh cña ABC lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp c¸c
gãc t¬ng øng cña MNP .
Gi¶i: ( Dùa vµo nhËn xÐt 4)
NhËn xÐt 5: Dùa vµo 4 Th× NA lµ ph©n gi¸c ngoµi ®Ønh N cña MNP , NH lµ ph©n
gi¸c trong nªn ta cã c©u hái tiÕp.
5.
Gäi G,K,I lÇn lît lµ giao ®iÓm cña AH víi PN, BH víi PM, CH víi
MN . Chøng minh r»ng.
AG
HG BK KH CI
IH
;
;
AM
HM BN
HN CP HP
Gi¶i: Dùa vµo nhËn xÐt 5. Sö dông tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c ta cã ®iÒu ph¶i chøng
minh.
7
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
NhËn xÐt 6: LÊy H1®èi xøng víi H qua AB Ta thÊy
mµ
AHB NHM ; NHM NCM 180 0 tø
AH 1 B ABH AH 1 B AHB
gi¸c NHMC néi tiÕp
AH 1 B ACB 180 0
nªn
tø gi¸c AH1BC néi tiÕp dîc ta ®Æt c©u hái tiÕp.
6.
Gäi H1,H2,H3 lµ ®iÓm ®èi xøng víi H
qua c¸c c¹nh AB, BC, CA cña ABC .
Chøng minh r»ng . 6 ®iÓm A,H1, B, H2, C, H3
cïng thuéc mét ®êng trßn.
Gi¶i:Dùa vµo nhËn xÐt 6 ta dÔ dµng chøng minh ®îc.
NhËn xÐt 7: Theo nhËn xÐt 6 th× AH 1 B = AHB vµ ®èi xøng nhau qua AB ®êng trßn (AH1B) = ®êng trßn( AHB)= ®êng trßn(ABC), tõ ®ã ta cã c©u hái tiÕp.
7. Gäi R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC . Chøng minh r»ng: ®êng trßn
(AHB) = ®êng trßn(AHC) = ®êng trßn(BHC) cïng cã ®êng kÝnh 2R.
Gi¶i: Dùa vµo c©u 6 vµ nhËn xÐt 7 ta chøng minh ®îc.
1
AN . AP.SinA
2
NhËn xÐt 8: Ta thÊy. SAPN =
SABC=
T¬ng tù:
8.
1
AB. AC.SinA
2
S APN
AN . AP AN AP
.
CosA.CosA Cos 2 A
S ABC
AB. AC
AB AC
S
S BPM
Cos 2 B ; CMN Cos 2 C
S ABC
S ABC
tõ ®ã ta ®Æt c©u hái tiÕp.
S
MNP
1 (Cos 2 A Cos 2 B Cos 2 C )
CMR: S
ABC
Gi¶i: Dùa vµo nhËn xÐt 8 ta cã:
SAPN = SABC..Cos 2 A; SBPM = SABC . Cos 2 B
SCMN = SABC . Cos 2 C
SMNP = SABC- SABC( Cos2A+ Cos2B +Cos2C)
= SABC( 1- ( Cos2A + Cos2B + Cos2C)
8
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
S MNP
1 (Cos 2 A Cos 2 B Cos 2 C )
S ABC
NhËn xÐt 9:
Theo c©u 6 . Th× A,H1, B, H2, C, H3
cïng thuéc 1 ®êng trßn
cung AH1 = cung AH3
A lµ ®iÓm chÝnh giöa cña cung
H1AH3 ta ®Æt c©u hái tiÕp theo.
9.
Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC chøng minh:
AO PN ; CO MN ; BO PM
Gi¶i: ( cã nhiÒu c¸ch gi¶i) Xin nªu mét c¸ch.
Ta cã:
B1 C1
H 1 AH 3
( cïng phô
BAC )
AH 1 AH 3
A lµ ®iÓm chÝnh giöa cung
AO H1H3
Tø gi¸c BPNC néi tiÕp
cung H3C)
P1 H 3 H 1C
P1 B2 (cïng
ch¾n cung NC) ; B 2
H 3 H 1C
( cïng ch¾n
PN // H1H3 mµ AO H1H3 suy ra
PN OA
Chøng minh t¬ng tù ta ®îc CO NM; BO PM.
NhËn xÐt 10: KÎ ®êng kÝnh AI cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC ta cã IC // BH
( Cïng vu«ng gãc víi AC)
H2I // BC ( H2 lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua BC)
Ta ®Æt c©u hái tiÕp.
10. KÎ ®êng kÝnh AI, Gäi H2 lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua BC. Chøng minh r»ng:
+Tø gi¸c BHCI lµ h×nh b×nh hµnh
+Tø gi¸c BCIH2 lµ h×nh thang c©n
NhËn xÐt 11: Theo trªn th× BPNC néi tiÕp, AO PN vÊn ®Ò ngîc l¹i cã ®óng
kh«ng? Tøc lµ PN AO BPNC néi tiÕp . Ta cã bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 1.II: Cho ABC nhän néi tiÕp (O) ®êng kÝnh AI, d lµ ®êng th¼ng vu«ng
gãc víi AI c¾t AB, AC t¹i M vµ N. Chøng minh BPNC néi tiÕp ®îc.
Gi¶i: Do d bÊt kú nªn: d cã thÓ ®i qua A, B, C.
+Khi d ®i qua A M A; N A
BMNC trë thµnh ABC
9
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
+Khi d ®i qua B M B
BMNC trë thµnh MNC
+Khi d ®i qua C N C
BMNC trë thµnh BMC
+Khi d c¾t AI kh«ng ®i qua c¸c ®Ønh cña ABC
§Ó chøng minh ®îc BMNC néi tiÕp
Ta chøng minh
B N 180 0 .
Gäi T lµ giao ®iÓm cña d víi AI
Ta cã: ITNC néi tiÕp ®îc < ICN 90 0 ; ITN 90 0
I N 180 0
cung AC
mµ
I B
B N 180 0
cïng ch¾n
Tø gi¸c BMNC néi tiÕp.
NÕu d c¾t c¸c ®êng th¼ng chøa c¹nh AB, AC
t¹i M vµ N ( M, N kh«ng thuéc c¹nh AB, AC
cña ABC .
Ta cã:
N A1 90 0
cung IC
IBM
mµ
A1 B1
N B1 90 0
cïng ch¾n
mÆt kh¸c
= 900 nªn N B 1 IBM
180 0 hay
N MBC 180 0
Tø gi¸c MBCN
néi tiÕp ®îc.
NhËn xÐt 12:
Theo c©u 4. Th× 3 ®Ønh cña ABC
lÇn lît lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp c¸c
gãc t¬ng øng M, N, P cña MNP .
Gäi I, K lÇn lît lµ tiÕp ®iÓm cña
®êng trßn ( B) vµ ( C) víi ®¬ng th¼ng PN
Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã:
2 NI = Chu vi MNP ( hai tiÕp tuyÕn cña (B) c¾t nhau t¹i N
2PK = Chu vi MNP (hai tiÕp tuyÕn cña (C) c¾t nhau t¹i P
2(NI + PK) = 2 Chu vi MNP
Chu vi MNP = NI + PK.
10
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
Hay MN +NP + PM = IP + PN + PN + NK
= (IP +PN + NK) + PN
Hay MN + MP = IK
Ta cã bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 2.II: Cho ABC nhän c¸c ®êng cao AM, BN, CP
Gäi I, K lµ h×nh chiÕu cña B vµ C lªn ®êng th¼ng PN . Chøng minh r»ng:
MP + MN = IK
Chøng minh: Dùa vµo nhËn xÐt 12 ta chøng minh ®îc
NhËn xÐt 13: Ta cã Chu vi MNP = MP + PN +MN
Ta gäi M1, M2 lÇn lît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi
M qua AB vµ AC. Khi ®ã ta cã:
PM = PM1; NM = NM2 vµ M1, M2 thuéc
®êng th¼ng PN khi ®ã: M1P+ PN + NM2 = M1M2
= MP + PN +MN
= Chu vi MNP
trong trêng hîp nµy Chu vi MNP nhá nhÊt.
Tõ ®ã ta ®Ò xuÊt bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 3.II: Cho ABC nhän. H·y t×m trªn c¸c c¹nh cña ABC c¸c ®iÓm M, N,
P sao cho Chu vi MNP nhá nhÊt.
Gi¶i: Gi¶i sö M BC, N AC, P AB
LÊy ®iÓm M1, M2 Lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi M
qua c¸c c¹nh AB, AC ta cã AM1 =AM = AM2
c¸c AM 1 M ; AM 2 M ; M 1 AM 2 lµ c¸c tam gi¸c c©n t¹i A
AM 1 M
c©n t¹i A
M 1 AM
AM 2 M
c©n t¹i A
M 2 AM 2 CAM
M 1 AM 2
mµ
=
M 1 AM
M 1 AM 2 c©n
+
=2 BAM
M 2 AM = 2( BAM
t¹i A vµ
M 1 AM 2
+ CAM
) = 2 BAC
=2 BAC
kh«ng ®æi
Chu vi MNP = MP + PN +MN= M1P +PN + NM2 Chu vi MNP nhá nhÊt khi
M1, P, N, M2 th¼ng hµng vµ M1M2 nhá nhÊt.
Do
M 1 AM 2 c©n
t¹i A, cã
M 1 AM 2
kh«ng ®æi nªn M1M2 nhá nhÊt khi AM nhá
nhÊt, AM nhá nhÊt khi AM BC M lµ ch©n ®êng cao h¹ tõ ®ØnhA cña ABC .
Do vai trß cña M, N, P nh nhau nªn lËp luËn t¬ng tù ta cã:
11
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
BN AC, CP AB N, P lµ ch©n c¸c ®êng cao h¹ tõ B vµ C cña ABC .
NhËn xÐt 14: Theo c©u 3. ta cã H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp MNP
SPNM = SPNH + SPHM + S NHM
=
r
( MP
2
+ PN +MN) ( r lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp MNP ).
Nhng theo c©u 9: AO PN, BO PM, CO NM
Nªn c¸c tø gi¸c APON, PBMO, CNOM lµ c¸c tø gi¸c cã 2 ®êng chÐo vu«ng gãc
vµ tæng diÖn tÝch 3 tø gi¸c nµy b»ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
SABC = SAPON+ SBPMO+ SCNOM =
OA
OB
CO
.PN
.PM
.NM
2
2
2
= R (MP + PN +MN). R lµ
2
b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC
Ta ®Ò xuÊt bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 4.II: Cho ABC nhän néi tiÕp (O,R) c¸c ®êng cao AM, BN, CP gäi r lµ
b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp MNP .
Chøng minh r»ng:
S MNP
r
S ABC
R
Chøng minh: Dùa vµo nhËn xÐt trªn ta chøng minh ®îc.
NhËn xÐt 15: theo bµi to¸n 4.II
Cßn theo c©u 8. th×
th×
S MNP
r
S ABC
R
S MNP
1 (Cos 2 A Cos 2 B Cos 2 C )
S ABC
Ta l¹i ®Ò xuÊt bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 5.II: Cho ABC nhän néi tiÕp (O,R) , M, N, P l©n lît lµ ch©n ®êng cao
cña tam gi¸c, r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp MNP . Chøng minh r»ng:
r
1 ( Cos 2 A Cos 2 B Cos 2 C )
R
Chøng minh: Dùa vµo nhËn xÐt trªn ta chøng minh ®îc:
NhËn xÐt 16: Tõ c©u 7.
R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i
tiÕp ABC th× ®êng trßn (AHB)
= ®êng trßn(AHC) = ®êng trßn(BHC)
Cïng cã ®êng kÝnh 2R.
Ta l¹i ®Ò xuÊt bµi to¸n sau:
12
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
Bµi to¸n 6.II:
Cho ABC nhän, trùc t©m H néi tiÕp ®êng trßn(O,R) Gäi O1, O2, O3 lÇn lît lµ
t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c AHB, AHC, vµ BHC chøng minh r»ng tam
gi¸c O1O2O3 b»ng tam gi¸c ABC.
Chøng minh: Theo c©u 7. C¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c
AHB, AHC , BHC , ABC b»ng nhau nªn ta cã.
OA = OB = O1A = O1B = R AOBO1 lµ h×nh thoi AO //BO1
T¬ng tù AOCO2 lµ h×nh thoi AO // CO2
BO1// CO2 vµ BO1 = CO2 BO1O2C lµ h×nh b×nh hµnh O1O2 = BC
Do O1,O2, O3 ta chøng minh hoµn toµn t¬ng tù
Ta cã: O2O3 = AB; O1O3 = AC
VËy O1O2 O3 CAB
NhËn xÐt 17: Theo c©u 10. Th× BHCI lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi giao ®iÓm 2 ®¬ng chÐo
lµ T. Ta cã: OT =
1
AH
2
hay AH = 2OT (®êng trung b×nh tam gi¸c AHI)
Vµ HB + HC = IB + IC Khi ®ã
HA +HB + HC = HA + IB +IC
NÕu cè ®Þnh BC OT kh«ng ®æi
AH = 2OT kh«ng ®æi
Tæng HA +HB + HC
chØ phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm I .
Ta ®Ò xuÊt bµi to¸n:
Bµi to¸n 7.II: Cho ®êng trßn (O) vµ d©y BC kh«ng ®i qua O, A lµ ®iÓm ®i trªn ®êng
trßn sao cho ABC nhän, Gäi H lµ trùc t©m ABC . T×m vÞ trÝ ®iÓm A sao cho tæng
kho¶ng c¸ch HA +HB + HC lín nhÊt .
Lêi gi¶i: ( Tãm t¾t )
VÏ ®êng kÝnh AI, Gäi T lµ giao ®iÓm HI vµ BC. Theo c©u 10 th× BHCI lµ h×nh
b×nh hµnh T lµ trung ®iÓm HI HB + HC =BI + IC. Mµ O lµ trung ®iÓm AI .
Nªn TO =
1
AH
2
( ®êng trung b×nh
AHI )
AH = 2OT
Do BC cè ®Þnh, O cè ®Þnh OT kh«ng ®æi AH kh«ng ®æi.
13
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
Do ®ã: HA +HB + HC lín nhÊt khi BI + IC lín nhÊt. MÆt kh¸c v× ABC nhän nªn
A chØ chuyÓn ®éng trªn cung H1H2. Khi A chuyÓn ®éng trªn cung H 1H2 th× I
chuyÓn ®éng trªn cung nhá BC nªn IB + IC lín nhÊt khi I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung
BC A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung lín BC. ( A ë vÞ trÝ A1; I ë vÞ trÝ I1)
NhËn xÐt 18: Theo c©u 6 th× H1, H 2, H3 thuéc ®êng trßn t©m (O) ngo¹i tiÕp tam
gi¸c ABC, ta nhËn ra r»ng A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a
cung H1H3 A thuéc ph©n gi¸c gãc H1H 2H3
ta ®Ò xuÊt bµi to¸n.
Bµi to¸n 8.II: Dùng tam gi¸c nhän ABC biÕt
3 ®iÓm ph©n biÖt H1, H 2, H3 lµ c¸c ®iÓm ®èi
xøng víi trùc t©m H lÇn lît qua AB, BC, AC
Gi¶i: (V¾n t¾t) Dùa vµo nhËn xÐt trªn ta dÔ dµng dùng ®îc theo tr×nh tù
- Dùng ®êng trßn t©m (O) ngo¹i tiÕp tam gi¸c H1H 2H3
Dùng ph©n gi¸c c¸c gãc H1H 2H3 ; H1H3H2; H3H1H2 c¸c giao ®iÓm ph©n gi¸c c¸c
gãc nµy víi ®êng trßn t©m (O) lµ c¸c ®Ønh A,B,C cña tam gi¸c ABC cÇn dùng
Tõ bµi to¸n I,II b»ng c¸ch nghiªn cøu kü lêi gi¶i cña tõng c©u ®Æc biÖt chó ý ®Õn
®Æc ®iÓm c¸c yÕu tè ta cã thÓ ®Ò xuÊt c¸c bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 1: I. Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R ;M lµ ®iÓm di ®éng
trªn nöa ®êng trßn ®ã ( M kh¸c A, M kh¸c B) vÏ ®êng trßn t©m M tiÕp xóc víi AB
t¹i H, tõ A vµ B vÏ 2 tiÕp tuyÕn AC vµ BD víi ®êng trßn t©m M
a. Chøng minh 3 ®iÓm C,M, D cïng n»m trªn tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t©m
(O) t¹i ®iÓm M.
b. Gi¶ sö CD c¾t AB ë K. Chøng minh OA2 = OB2 = OA.OK
Bµi to¸n 2: I. Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB= 2 R, tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M
bÊt kú trªn ®êng trßn c¾t c¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i A vµ B lÇn lît ë C vµ
D
a. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M sao cho chu vi tam gi¸c COD nhá nhÊt
b. Gäi I, J lÇn lît giao ®iÓm cña OC víi AM vµ OD víi BM x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M
®Ó ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CIJD cã b¸n kÝnh nhá nhÊt.
Bµi to¸n 3: II. Cho tam gi¸c ABC trùc t©m H, träng t©m G, O lµ t©m ®êng trßn
ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng.
a. Kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn A gÊp 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC
b. Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng.
14
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
Bµi to¸n 4: II. Cho ®êng trßn t©m O (O) vµ d©y BC cè ®iÞnh kh«ng ®i qua t©m, A
lµ ®iÓm di ®éng trªn cung lín BC sao cho tam gi¸c ABC nhän
a. T×m quü tÝch ®iÓm H
b. T×m vÞ trÝ ®iÓm A sao cho diÖn tÝch tam gi¸c ABC lín nhÊt.
III. KÕt luËn.
Trªn ®©y lµ nh÷ng viÖc lµm nhá nhoi cña b¶n th©n trong qu¸ tr×nh d¹y häc.
Kh¶o s¸t cho thÊy víi c¸ch lµm nµy c¸c em høng thó häc tËp h¬n, c¸c em kh¸, giái
kh«ng coi thêng c¸c bµi tËp SGK ®a ra tëng chõng ®¬n gi¶n mµ c¸c em ®· biÕt ®µo
s©u suy nghÜ , t×m kiÕm ph¸t hiÖn ra nh÷ng vÊn ®Ò rÊt thô vÞ, nh÷ng h/s "h¬i kh¸" ®·
biÕt tæng hîp c¸c bµi tËp cïng d¹y, x©u chuæi c¸c kiÕn thøc ®Ó «n tËp mét c¸ch khoa
häc.
T«i nhËn ra r»ng nh÷ng viÖc lµm cña t«i míi chØ ®¸p øng ®îc mét chót kiÕn
lôc
nghiÖm
thøc trong kho tµng kiÕn Môc
thøc mµ
t¸c kinh
gi¶ SGK
muèn göi g¾m tíi ngêi häc, Th«ng
qua ngêi d¹y bëi vËy t«iI.cÇn
ph¶i
häc®Ò
hái nhiÒu, rÊt nhiÒu ë ®ång nghiÖp ë tµi
§Æt
vÊn
1.
VÞ
trÝ
m«n
häc
liÖu… hy väng ®îc sù d×u d¾t cña ®ång nghiÖp ®Ó. T«i cµng hoµn thiÖn h¬n trong
2. Thùc tr¹ng häc h×nh häc hiÖn nay cña häc sinh THCS
nghÒ d¹y häc./.
II. BiÖn ph¸p ®· thùc hiÖn
III. KÕt luËn
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Th¸ng 04 n¨m 2006
Tµi liÖu tham kh¶o
1. S¸ch gi¸o khoa, s¸ch bµi tËp to¸n 9
2. S¸ch n©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 9.
3. C¸c chuyªn ®Ò h×nh häc 9
15
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
I. §Æt vÊn ®Ò.
i¶i to¸n lµ viÖc lµm thêng xuyªn cña ngêi häc to¸n, th«ng qua gi¶i to¸n häc
sinh kh«ng nh÷ng còng cè vµ kh¾c s©u c¸c kiÕn thøc ®· häc, mµ cßn cã vai trß
rÊt quan träng trong viÖc rÌn luyÖn n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua
viÖc gi¶i to¸n häc sinh rÌn luyÖn, ph¸t triÓn nhiÒu kü n¨ng nh: Kü n¨ng ph©n tÝch,
kü n¨ng lËp luËn, kü n¨ng ph¸n ®o¸n, kü n¨ng vËn dông…thùc tiÔn d¹y häc cho
thÊy häc sinh rÊt m¸y mãc khi vËn dông c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo viÖc gi¶i bµi tËp.
Do vËy kh«ng ph¸t triÓn ®îc n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o vµ c¸c kü n¨ng cho häc sinh.
Khi gÆp c¸c bµi to¸n kh«ng vËn dông trùc tiÕp c¸c kiÕn thøc ®· häc th× rÊt nhiÒu häc
sinh lóng tóng kh«ng t×m ®îc ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n ®ã nh thÕ nµo. §Æc biÖt lµ
trong m«n h×nh häc víi nh÷ng gi¶ thiÕt mµ bµi to¸n cho nÕu kh«ng cã tÝnh s¸ng t¹o
häc sinh kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®îc bµi to¸n ®ã. Do vËy khi gÆp c¸c bµi to¸n nµy häc
sinh ph¶i suy nghÜ ®Ó vÏ thªm c¸c ®êng phô, ®iÓm phô tõ ®ã gióp häc sinh gi¶i
quyÕt bµi to¸n mét c¸ch dÔ dµng vµ thuËn lîi h¬n. Tuy nhiªn vÊn ®Ò ®Æt ra lµ: khi
gÆp mét bµi to¸n häc sinh kh«ng biÕt vÏ ®êng phô nh thÕ nµo do ®ã rÊt nhiÒu häc
sinh " mß mÉm" ®Ó vÏ c¸c ®êng phô nh»m t×m ra lêi gi¶i cho bµi to¸n vµ ®a sè lµ
thÊt b¹i kÕt qu¶ bµi tãan kh«ng ®îc gi¶i quyÕt, mét sè em kh¸ t×m ra ®îc c¸ch kÏ ®êng phô nhng kh«ng hîp lý dÉn ®Õn lêi gi¶i dµi dßng phøc t¹p. Víi häc sinh líp 7
G
16
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
th× vÊn ®Ò trªn cµng gÆp nhiÒu khã kh¨n khi c¸c em míi lµm quen víi ph¬ng ph¸p
suy luËn, ph¬ng ph¸p chøng minh bµi to¸n h×nh häc. ViÖc c¸c em vËn dông c¸c
kiÕn thøc ®· häc vµo viÖc lËp luËn, chøng minh bµi to¸n h×nh häc ®· khã cha nãi
®Õn viÖc c¸c em ph¶i suy nghÜ t×m c¸ch kÏ ®êng phô råi míi vËn dông ®îc c¸c kiÕn
thøc ®· häc vµo ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n ®ã. §øng tríc khã kh¨n chung cña häc sinh
trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y h×nh häc líp 7 t«i ®· cè g¾ng híng dÉn c¸c em t×m ra mét
sè ph¬ng ph¸p " kÎ ®êng phô" trong gi¶i to¸n. ViÖc lµm ®ã ®· gãp phÇn rÊt lín
trong viÖc rÌn luyÖn kü n¨ng cho häc sinh, gióp c¸c em rÌn luyÖn ®îc n¨ng lùc t
duy s¸ng t¹o khi gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc. Do ®ã viÖc" rÌn luÖn kü n¨ng kÎ ®êng
phô trong viÖc gi¶i to¸n h×nh häc" lµ viÖc lµm hÕt søc khã kh¨n nhng kh«ng thÓ
thiÕu cña gi¸o viªn. Víi lý
do trªn t«i m¹nh d¹n tr×nh bµy chuyªn ®Ò " RÌn luÖn kü n¨ng kÏ ®êng phô cho häc
sinh trong gi¶i to¸n h×nh häc líp 7"
II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
I. C¸c bµi to¸n: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.
1. Mét sè gîi ý ®Ó ®i ®Õn chøng minh ®îc hai gãc b»ng nhau.
Sö dông hai gãc cïng sè ®o
Sö dông gãc thø ba lµm trung gian, 2 gãc cïng phô hoÆc cïng bï víi mét gãc
Hai gãc cïng b»ng tæng, hiÖu cña hai gãc t¬ng øng b»ng nhau.
Sö dông tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña 1 gãc, gãc ®èi ®Ønh, tÝnh chÊt 2 ®êng
th¼ng song song
Gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc song song , gãc cña tam gi¸c ®Æc biÖt
2 gãc t¬ng cña hai tam gi¸c b»ng nhau.
2. Mét sè bµi to¸n.
Bµi to¸n 1: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã
sao cho AD = BC. TÝnh
NhËn xÐt:
B C 80 0
A 20 0 .
Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D
ACD .
do ®ã
B A 80 0 20 0 60 0
lµ 1 gãc cña tam gi¸c ®Òu. Do
®ã ta cã thÓ suy nghÜ ®Õn ph¬ng ph¸p ®Ó vÏ ®êng phô nh sau:
C¸ch vÏ 1: Dùng ®iÓm I n»m trong tam gi¸c sao cho tam gi¸c BIC lµ tam gi¸c
®Òu. ( H×nh vÏ 1)
Gi¶i: Ta cã ABI ABI ( c.c.c)
17
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
BAI CAI 10 0 (1)
MÆt kh¸c ADC CIA ( c.g.c)
ACD CAI
Tõ (1), (2)
ACD =10
.
0
Nh vËy viÖc kÎ ®êng phô lµ mét viÖc lµm rÊt quan träng trong gi¶i to¸n h×nh häc.
KÎ ®êng phô ®óng gióp chóng ta gik¶i quyÕt bµi to¸n mét c¸ch nhanh vµ gän
gµng h¬n rÊt nhiÒu. §iÒu quan träng nöa lµ nÕu kh«ng kÎ ®îc ®êng phô th× rÊt
nhiÒu bµi to¸n kh«ng gi¶i quyÕt ®îc. Sau khi t×m ®îc
ACD =
100 b»ng c¸ch dùng
tam gi¸c ®Òu BIC gi¸o viªn cã thÕ híng häc sinh dùng c¸c tam gi¸c ®Òu kh¸c
xem thø cã t×m ®îc ®¸p sè hay kh«ng?.
- C¸ch vÏ 2: Dùng tam gi¸c ®Òu ADM ( M vµ C kh¸c phÝa so víi AB) ( H×nh vÎ
2)
Ta cã:
ABC CAM (c.g .c ) ACM 20 0 vµ
CM = AC
Tõ ®ã ta cã :
ADC MDC (c.c.c ) ACD MCD
20 0
10 0
2
C¸ch vÏ 3: Dùng tam gi¸c ®Òu CAN ( B; N kh¸c phÝa so víi AC)
Ta cã :
ABC NAD (c.g .c )
vµ
AC ND
AND 20 0
XÐt DNC ta cã ND = NC ( cïng b»ng AC)
CND
c©n t¹i N mµ
CND 60 0 AND 60 0 20 0 40 0
180 0 40 0
NCD
70 0 ACD 70 0 60 0 10 0
2
C¸ch vÏ 4: Dùng tam gi¸c ®Òu ABK ( K; C cïng phÝa so víi AB ) ( H×nh vÏ 4)
Ta cã ACK c©n t¹i A mµ
CAK 60 0 20 0 40 0
180 0 40 0
AKC
70 0
2
MÆt kh¸c:
ADC BCK (c.g .c ) ACD BKC 70 0 60 0 10 0
Bµi to¸n 2: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A,
gi¸c sao cho
DBC 10 0 ; DCB 30 0 .
TÝnh
A 80 0 .
§iÓm D thuéc miÒn trong tam
ADB
NhËn xÐt: §¢y lµ bµi to¸n khã bíi h/s khã nhËn ra mèi quan hÖ gi÷a gi¶ thiÕt vµ
kÕt luËn ®Ó t×m c¸ch gi¶i quyÕt bµi to¸n. Ta cã:
18
ABC DBC 60 0
lµ mét gãc cña
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
tam gi¸c ®Òu. Tõ ®ã gi¸o viªn cã thÓ híng dÉn häc sinh c¸ch vÏ ®Ó t¹o ra tam
gi¸c ®Òu theo c¸c híng sau:
C¸ch 1: Dùng tam gi¸c ®Òu BCM ( A; M cïng phÝa so víi BC).
Ta cã: ABM ACM (c.c.c)
AMB AMC 30 0
BM BC
XÐt ABM vµ DBC cã AMB DCM 30
ABM DBC 10 0
ABM DBC ( g.c.g ) AB DB ABD
c©n t¹i B
180 0 40 0
ADB
70 0
2
C¸ch 2: Dùng tam gi¸c ®Òu ABE ( C vµ E cïng phÝa so víi AB)
Ta cã: ACE c©n t¹i C, mµ
180 0 40 0
CAE 20 0 ACE
80 0
2
BCE 80 0 500 300 BDC BEC ( g .c.g ) BD BE BA BAD
c©n t¹i B
180 0 40 0
ADB
70 0
2
C¸ch 3: Dùng tam gi¸c ®Òu ACK ( B; K cïng phÝa so víi AC)
Ta cã ABK c©n t¹i K, mµ
BAK 20 0 ABK 80 0
CBK 80 0 50 0 30 0 BDC CKB( g.c.g )
BD CK ABD
mµ
c©n t¹i B
180 0 40 0
ABD 40 0 ADB
70 0
2
C¸ch 4: Ta cã nhËn xÐt: §Ó tÝnh ®îc gãc
ta cÇn chøng minh ®îc tam gi¸c
ADB
ABD c©n t¹i B. Do ®ã ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n trªn theo c¸c híng kh¸c .
KÎ Tia ph©n gi¸c cña gãc
ta cã:
ABD
MBC MCB 30 0 BMC
MÆt kh¸c
c¾t CD kÐo dµi t¹i M
c©n t¹i M
AMB ACM (c.c.c )
19
BMC 120 0
RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc gi¶i to¸n th«ng qua bµi tËp s¸ch gi¸o khoa
AMB AMC
360 0 120 0
120 0 ABM DBM ( g .c.c)
2
c©n t¹i B, mµ
AB DB ABD
ABD 40 0
180 0 40 0
ADB
70 0
2
Bµi to¸n 3: Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng c©n t¹i A. §iÓm D thuéc miÒn trong
tam gi¸c sao cho
DAC 150 0
vµ tam gi¸c DAC c©n t¹i D. TÝnh
ADB
NhËn xÐt : §Ó tÝnh ®îc gãc ADB ta cÇn chøng minh tam gi¸c ABD c©n t¹i B. Ta
cã 1500 - 900 = 600 lµ mét gãc cña tam gi¸c ®Òu. Do vËy trong bµig to¸n nµy ta
ph¶i t×m c¸ch vÏ kÎ ®Ó t¹o ra tam gi¸c ®Òu tõ ®ã t×m c¸ch tÝnh gãc ADB. Do ®ã
gi¸o viªn cã thÓ híng dÉn häc sinh t×m c¸ch vÏ ®êng phô theo c¸c c¸ch sau:
C¸ch 1: Dùng ®Òu ADF ( B;F cïng phÝa so víi AC).
Ta
cã:
ADC
c©n
t¹i
D
mµ
ADC
=1500
180 0 150 0
CAD
15 0 BAF 90 0 (15 0 60 0 ) 15 0
2
vµ
ADC AFB (c.g .c ) AFB 150 0
ABF 15 0 DFB 360 0 (60 0 150 0 ) 150 0
c©n t¹i B mµ
AFB DFB (c.g .c ) AB DB ABD
ADB
ABD 30 0
180 0 30 0
75 0
2
C¸ch 2: Dùng tam gi¸c ®Òu ACE ( E;B kh¸c phi¸ so víi AC)
Ta cã: ADE = CDE(c.c.c)
MÆt kh¸c ADE = ADB ( c.g.c)
VËy
ADE CDE 75 0
ADE ADB 75 0
ADB 75 0
C¸ch 3: Dùng tam gi¸c ®Òu CDK ( K;B cïng phi¸ so víi AC)
Ta cã: DCB = KCB ( c.g.c)
DB KB (*)
Ta cã ADC = ADK ( c.g.c) AC = AK; AC = AB
MÆt kh¸c:
CAD KAD 15 0 KAB 90 0 30 0 60 0 (2)
Tõ (1) (2) ABK lµ tam gi¸c ®Òu
BK BA(**)
Tõ (*) (**) DB BA ABD c©n t¹i B
VËy
AK AB(1)
ADB 75 0
20
BAD BDA 90 0 15 0 750
- Xem thêm -
.DOC 
33 
90 
91 
