I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học không gian là một môn khoa học nghiên cứu về hình dạng, độ lớn và vị trí
không gian của vật thể, là một môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Rất nhiều
em cảm thấy ngán ngại khi học môn học này, có em thuộc định lý, tính chất nhưng không
biết vận dụng vào giải bài tập, có em biết vẽ hình nhưng không đọc được hình…! Bài toán
tính thể tích khối chóp là một nội dung thường gặp trong các bài kiểm tra cuối học kỳ, bài
thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm. Phần lớn
các em cảm thấy không thật thoải mái khi gặp nội dung này, vì các em lúng túng khi vẽ
hình, không xác định được đường cao của khối chóp nên không lập được công thức tính
thể tích khối chóp. Việc học hình học không gian ở lớp 11, các em mới chỉ dừng lại ở
bước quan sát hình vẽ được chiếu trên màn hình trong các tiết dạy có ứng dụng công nghệ
thông tin, mà ít được hướng dẫn cụ thể từng thao tác để vẽ hình. Do vậy, việc truyền đạt
kiến thức liên quan đến hình học không gian nói chung và tính thể tích khối chóp nói riêng
đòi hỏi người Thầy cần có sự chọn lọc nhất định khi lồng ghép các ứng dụng công nghệ
thông tin vào bài giảng, phải kiên nhẫn, hướng dẫn các thao tác theo một trình tự nhất
định, từng bước giúp các em chủ động thực hiện và tìm ra kết quả bài toán.
Hoạt động chủ đạo và thường xuyên trong quá trình học toán của học sinh là hoạt
động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo và khắc sâu kiến thức. Do vậy
việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh
những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối
quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập
suy nghĩ và chủ động để giải bài tập và củng cố kiến thức.
Sách giáo khoa Hình học 12 (chuẩn và nâng cao) có nêu nội dung về “tính thể tích
khối đa diện”, phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật không hề đơn
giản đối với học sinh. Do kỹ năng giải toán hình học không gian nói chung và giải bài toán
liên quan đến tính thể tích khối chóp nói riêng còn nhiều hạn chế nên các em thường bị
mất điểm khi gặp những câu hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp
và tuyển sinh hàng năm.
Cảm thông với những băn khoăn , lo lắng của các em và từ thực tế giảng dạy, tôi đã
rút ra được một số kinh nghiệm trong việc thực hiện các bước cụ thể để hướng dẫn các em
tính thể tích khối chóp. Nhằm giúp các em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vào
các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 sắp tới, ngay từ đầu năm học 2014 –
2015, tôi chọn viết và thực hiện đề tài: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp đối
với học sinh lớp 12
1
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.
Cơ sở lý luận
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến
hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình
bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2 : Tìm cách giải
Bước 3 : Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp
Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt với
hình học là hướng dẫn cho học sinh biết phân tích đề bài, thấy được sự liên quan giữa giả
thiết và kết luận, biết dựng hình và định hướng được cách giải.
Giải toán là một quá trình biến những tri thức tổng quát thành cái cụ thể, thành kinh
nghiệm của bản thận, là một chặng đường nhiều thử thách, đòi hỏi sự nỗ lực bền bỉ và đan
xen một chút sáng tạo của học sinh. Vì tìm được cách giải một bài toán là một phát minh.
Để giải một bài toán tính khoảng cách, ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Đọc đề và phân tích đề
Bước 2 : Dựng hình phù hợp với nội dung của đề bài.
Bước 3 : Liên hệ nội dung cần chứng minh với các định lý, công thức có liên quan
để giải bài toán.
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải
toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng hoá và
khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ
thể để hướng dẫn các em làm quen dần với các bước cụ thể, nhận biết các dạng bài tập,
từng bước giúp các em hình thành kỹ năng, kỹ xảo, chủ động giải quyết các tình huống
xảy ra trong quá trình giải toán, là cơ sở để các em khắc sâu kiến thức.
2. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài
a. Những khó khăn và những sai lầm mà học sinh thường mắc phải.
Trong đề tuyển sinh đại học – cao đẳng năm 2014 vừa qua, đề thi của khối A, A1, D
và cao đẳng đều có bài toán tính thể tích khối chóp. Các em đều có chung một cảm nhận là
câu này khó, không làm được!. Qua tìm hiểu và trao đổi với các em thì nguyên nhân chính
là vẽ hình chưa chuẩn xác, không xác định được đường cao của khối chóp và lúng túng
trong tính toán do nhớ sai công thức.
2
Bài toán tính thể tích khối chóp rất đa dạng nên đã tạo ra không ít khó khăn trong
quá trình hướng dẫn, truyền đạt của giáo viên và việc tiếp thu kiến thức của học sinh. Tuy
nhiên nếu biết sắp xếp và phân tích cụ thể các yếu tố có liên quan của bài toán, biết gợi mở
thì sẽ phát huy được tính tích cực của học sinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giải
bài toán tính thể tích khối chóp
b. Biênê pháp khắc phục.
Khắc phục những hạn chế nêu trên, cần có những bước đi thâ ât cụ thể:
+ Các tiết bài tâ pâ cần chuẩn bị thâ ât chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ dễ đến
khó, chú ý vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với
các dạng toán có liên quan.
+ Bài tâ pâ nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vâ ây khi hướng dẫn học sinh ta
cần điều chỉnh mô ât số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhâ nâ thức của các em.
+ Cần tạo điều kiê ân cho các em có sự chuẩn bị bị ở nhà theo tổ nhóm, qua mỗi dạng toán
cần hướng dẫn các em nhâ nâ xét để rút ra những bài học kinh nghiê m
â nhằm khắc sâu kiến
thức và rèn luyê ân kỹ năng giải bài toán tính toán.
+ Giáo viên cần hướng dẫn các em dựng hình và đọc được các chi tiết trên hình, làm cơ sở
định hướng công việc cần làm theo một trình tự nhất định, qua đó nâng cao nhận thức của
các em trong nhận định và giải quyết công việc trong cuộc sống sau này.
+ Qua mỗi bài tập, giáo viên cần hướng dẫn các em nhận xét là cở sở phân tích, suy luận
để giải quyết các bài tập khác có liên quan.
Các giải pháp tôi nêu ra ở phần sau là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có,
giải pháp mới này tỉ mỉ hơn, cụ thể và khoa học hơn; giúp các em tiếp thu và vận dụng tốt
hơn.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Gồm hai phần:
Phần một: Hê â thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp.
Phần hai: Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp
Các dạng toán thường gặp :
Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Khối chóp đều
3
Một số dạng khác
PHẦN MỘT
Hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp
Thông thường, bài toán về hình chóp được chia thành hai dạng như sau:
Hình chóp
Hình chóp có cạnh bên, mặt bên
vuông góc với mặt đáy
Hình chóp đều
S
S
S
S
A
C
A
C
A
H
B
B
A
C
N
D
O
B
H
C
M
B
SA ABC
SAB ABC
Đa giác đáy:
Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tứ giác đều
SH ABC
SO ABCD
- Tam giác vuông, tam giác cân
- Tam giác đều, tam giác thường
- Hình vuông, hình chữ nhật
- Hình thoi, hình bình hành, hình thang
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tam giác
Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
1
S ABC aha
bhb
chc
2
= 2 =2
A
1
1
1
S ABC bc sin A ac sin B ab sin C
2
2
2
b
c
B
ha
H
a
C
S ABC
abc
4 R ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC )
S ABC pr ( r là bán kính đường tròn nô âi tiếp ABC )
S ABC p( p a )( p b)( p c )
với:
p
abc
2
4
Các tam giác đặc biệt:
Cho tam giác ABC vuông tại A
A
B
2
2
BA BH .BC , CA CH .CB
AB. AC BC. AH
AH BH .CH
1
1
1
2
2
AB
AC 2
AH
2
C
H
Tam giác vuông
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
2
2
2
Định lí Pitago: BC AB AC
Diện tích tam giác ABC:
Cho tam giác ABC vuông tại A
Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông:
A
B
))
(
H
1
AB. AC
2
S ABC
sin B cos C
AC
BC
sin C cos B
AB
BC
tan B cot C
AC
AB
tan C cot B
AB
AC
C
Cho tam giác ABC cân tại A
A
Tam giác cân
Gọi H là trung điểm của BC AH BC
AH BH .tan B CH .tan C
B
)
(
C
H
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a
A
Diện tích tam giác ABC:
H
1
AH .BC
2
Tam giác đều
Gọi H là trung điểm của BC AH BC
Độ dài đường cao:
B
S ABC
AH
C
Diện tích tam giác ABC:
a 3
2
S ABC
1
a2 3
AH .BC
2
4
2. Tứ giác
A
B
D
O
C
Hình vuông
5
Diện tích hình vuông ABCD cạnh bằng a
S ABCD AB 2 a 2
Độ dài đường chéo hình vuông ABCD cạnh bằng a
AC BD AB 2 a 2
A
Hình chữ nhật
Diện tích hình chữ nhật ABCD
D
S ABCD AB.BC
O
B
Độ dài đường chéo hình chữ nhật ABCD
C
AC BD AB 2 BC 2
Hình thoi
Diện tích hình thoi ABCD
A
B
D
O
S ABCD
1
AC.BD
2
C
Hai đường chéo hình thoi ABCD: AC BD
Cho hình thang ABCD có AB / / CD
A
D
Hình thang
Diện tích hình thang ABCD
S ABCD
B
C
H
1
AH AB DC
2
AH DC
Dựng: H DC
AH là đường cao của hình
thang ABCD
d
3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
A
d’
P)
H
(
M
00 900
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa
đường thẳng d và đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc
của d trên mặt phẳng (P)
Thực hiện:
Bước 1. Tìm hình chiếu d’ của d trên (P)
Bước 2. Khi đó, góc giữa d và (P) là góc giữa d và d’
4. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
b
H )d
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt năm trên hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao
tuyến tại một điểm
(Q
a
(0P0 900
6
Thực hiện:
Bước 1. Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
Bước 2. Tìm trong (P) đường thẳng a vuông góc với d và
trong (Q) đường thẳng b vuông góc với d
Bước 2. Khi đó, góc giữa hai mặtt phẳng (P) và (Q) là góc
giữa hai đường thẳng a và b
5. Thể tích khối chóp
S
A
1
V Bh
3
Công thức tính thể tích khối chóp:
C
H
Trong đó: B là diện tích đa giác đáy
h là chiều cao của hình chóp
B
6. Thể tích khối tứ diện đều
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a
A
Tất cả các các cạnh đều bằng nhau
Tất cả các mặt đều là tam giác đều
Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD
AH BCD
,
khi đó AH là đường cao của hình tứ diện đều.
B
D
H
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a:
M
VABCD
C
(xem bài toán 20)
1
1 a 2 a 2 3 a3 2
AH .SBCD .
.
3
3 3
4
12 (đvtt)
PHẦN HAI
Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp
A. Phương pháp thực hiện. Để giải bài toán tính thể tích khối chóp, cần thực hiện theo
các bước sau:
+ Bước 1. Đọc kỹ nội dung đề bài, phân tích và nhận dạng khối chóp
+ Bước 2. Xác định đường cao của khối chóp.
+ Bước 3. Dựng hình và thể hiện nội dung của giả thiết trên hình vẽ
+ Bước 4. Lập công thức tính thể tích khối chóp
+ Bước 5. Tính diện tích đa giác đáy và tính độ dài đường cao của khối chóp
B. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.
Yêu cầu đối với giáo viên:
+ Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, thiết kế theo trình tự từ dễ đến khó, cần
chú ý vào các dạng bài tập cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần
với các dạng toán có liên quan.
7
+ Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn giải,
giáo viên cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của học
sinh.
Yêu cầu đối với học sinh:
+ Cần nắm vững phần lý thuyết, thuộc công thức và hoạt động tích cực trong các tiết
bài tập.
+ Qua mỗi dạng bài tập cần suy nghĩ để khắc sâu, làm cơ sở để hoàn thành các bài tập
theo yêu cầu của giáo viên.
C. Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp
1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
Bài toán 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy. Biết AB a 2, AC SB a 3 với 0 a �. Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
S
Xác định đường cao của khối chóp
SA vuông góc với mặt đáy
SA là đường cao của khối chóp
A
C
Đáy là tam giác ABC vuông tại B
B
Bài giải.
Lập công thức tính thể tích khối chóp
1
VS . ABC SA.S ABC
3
Thể tích khối chóp S.ABC:
Tính độ dài cạnh góc vuông BC
Tam giác ABC vuông tại B:
Tính diện tích tam giác ABC
Tính độ dài đường cao SA
BC AC 2 AB 2 3a 2 2a 2 a
Diện tích tam giác ABC:
S ABC
1
a2 2
AB.BC
2
2
SA ABC SA AB
Tính thể tích khối chóp S.ABC
Tam giác SAB vuông tại A:
SA SB 2 AB 2 3a 2 2a 2 a
VS . ABC
1
a3 2
SA.S ABC
3
6
(đvtt)
Bài toán 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA
vuông góc với mặt đáy. Biết AC a 2, SB a 3 với 0 a �. Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
S
8
Nhận xét: Bài toán 2 tương tự bài toán 1, chỉ
khác: đáy là tam giác ABC vuông cân tại B
Xác định đường cao của khối chóp
SA vuông góc với mặt đáy
SA là đường cao của khối chóp
A
C
B
Đáy là tam giác ABC vuông tại B
Bài giải.
Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính độ dài cạnh góc vuông
AB BC
Tính diện tích tam giác ABC
Tính độ dài đường cao SA
1
VS . ABC SA.S ABC
3
Thể tích khối chóp S.ABC:
Tam giác ABC vuông cân tại B:
2 AB 2 AC 2 2a 2 AB a
Diện tích tam giác ABC:
S ABC
1
a2
AB 2
2
2
SA ABC SA AB
Tam giác SAB vuông tại A:
Tính thể tích khối chóp S.ABC
SA SB 2 AB 2 3a 2 a 2 a 2
1
a3 2
VS . ABC SA.S ABC
3
6
(đvtt)
Bài toán 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a với 0 a �,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết SB a 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét: Bài toán 3 tương tự bài toán 1, chỉ
khác: đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a
Xác định đường cao của khối chóp
SA vuông góc với mặt đáy
SA là đường cao của khối chóp
S
A
C
M
B
Đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a
Bài giải.
Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính độ dài đường cao tam giác đều
1
VS . ABC SA.S ABC
3
Thể tích khối chóp S.ABC:
Trong tam giác đều ABC cạnh 2a , gọi M là
9
AM
AM BC
2a 3
a 3
AM
2
trung điểm của BC
AB 3
2
Tính diện tích tam giác ABC
Diện tích tam giác ABC:
Tính độ dài đường cao SA
S ABC
Tính thể tích khối chóp S.ABC
1
AM .BC a 2 3
2
SA ABC SA AB
Tam giác SAB vuông tại A:
SA SB 2 AB 2 5a 2 4a 2 a
VS . ABC
1
a3 3
SA.S ABC
3
3
(đvtt)
Bài toán 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC a với
0 a �, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét: Bài toán 4 tương tự bài toán 2, chỉ
thêm: góc giữa SB và (ABC) bằng 600
Xác định đường cao của khối chóp
SA vuông góc với mặt đáy
SA là đường cao của khối chóp
S
A
C
60
Đáy là tam giác ABC vuông cân tại B
0
(
B
Bài giải.
Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính độ dài cạnh góc vuông
AB BC
1
VS . ABC SA.SABC
3
Thể tích khối chóp S.ABC:
Tam giác ABC vuông cân tại B:
2 AB 2 AC 2 a 2 AB
a
2
Tính diện tích tam giác ABC
Xác định góc giữa SB với (ABC)
Diện tích tam giác ABC:
Tính độ dài đường cao SA
SA ABC
S ABC
1
a2
AB 2
2
4
AB là hình chiếu vuông góc của
SB trên (ABC)
Tính thể tích khối chóp S.ABC
� 600
góc giữa SB với (ABC) là SBA
10
Tam giác SAB vuông tại A:
� tan 600
tan SBA
VS . ABC
SA
a 3
SA AB.tan 600
AB
2
1
a3 6
SA.S ABC
3
24
(đvtt)
Bài toán 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a với 0 a �,
0
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 60 . Tính
thể tích khối chóp S.ABC theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
S
Nhận xét: Bài toán 5 tương tự bài toán 3, chỉ
thêm: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng 600
Xác định đường cao của khối chóp
SA vuông góc với mặt đáy
SA là đường cao của khối chóp
A
C
600 (
M
Đáy là tam giác đều ABC cạnh a
B
Bài giải.
Lập công thức tính thể tích khối chóp
1
VS . ABC SA.S ABC
3
Thể tích khối chóp S.ABC:
Tính độ dài đường cao tam giác đều
Trong tam giác đều ABC cạnh a , gọi M là
AM
AB 3
2
Tính diện tích tam giác ABC
AM BC
a 3
AM
2
trung điểm của BC
Diện tích tam giác ABC:
S ABC
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABC)
1
a2 3
AM .BC
2
4
SA ABC SA BC
BC SA
BC SAM BC SM
BC AM
Tính độ dài đường cao SA
Tính thể tích khối chóp S.ABC
SBC ABC BC
SM SBC , SM BC
AM ABC , AM BC
góc giữa hai mặt
11
�
phẳng (SBC) và (ABC) là SMA 60
Tam giác SAM vuông tại A:
� tan 600
tan SMA
0
SA
3a
SA AM .tan 600
AM
2
1
a3 3
VS . ABC SA.S ABC
3
8
(đvtt)
Bài toán 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a với 0 a �,
0
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt bên (SCD) tạo với mặt đáy một góc 60 . Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét: Bài toán 6 có đáy là hình vuông
ABCD cạnh a và góc giữa hai mặt phẳng
(SCD) và (ABCD) bằng 600
S
Xác định đường cao của khối chóp
SA vuông góc với mặt đáy
SA là đường cao của khối chóp
Đáy là hình vuông ABCD cạnh a
Lập công thức tính thể tích khối chóp
A
B
600 (
D
C
Bài giải.
Thể tích khối chóp S.ABCD:
Tính diện tích hình vuông ABCD
1
VS . ABCD SA.S ABCD
3
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD)
và (ABCD)
Diện tích hình vuông ABCD:
S ABCD a 2
SA ABCD SA CD
CD SA
CD SAD SD CD
CD AD
Tính độ dài đường cao SA
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
SCD ABCD CD
SD SCD , SD CD
AD ABCD , AD CD góc giữa hai mặt
0
�
phẳng (SCD) và (ABCD) là SDA 60
Tam giác SAD vuông tại A:
� tan 600
tan SDA
SA
SA AD.tan 600 a 3
AD
12
1
a3 3
VS . ABCD SA.S ABCD
3
3
(đvtt)
Bài toán 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a với
0 a �cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét: Bài toán 7 tương tự bài toán 6: có
đáy là hình vuông ABCD cạnh 2 a và góc
giữa cạnh bên SC và (ABCD) bằng 600
S
Xác định đường cao của khối chóp
SA vuông góc với mặt đáy
SA là đường cao của khối chóp
Đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a
A
D
60
B
0
(
C
Bài giải.
Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính diện tích hình vuông ABCD
Tính độ dài đường chéo SC của hình
vuông ABCD cạnh bằng 2a
Xác định góc giữa cạnh SC và (ABCD)
Tính độ dài đường cao SA
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
1
VS . ABCD SA.S ABCD
3
Thể tích khối chóp S.ABCD:
Diện tích hình vuông ABCD:
S ABCD 4a 2
AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh
bằng 2a AC 2 2a
SA ABCD
AC là hình chiếu vuông góc của
SC trên (ABCD)
� 600
góc giữa SC và (ABCD) là SCA
Tam giác SAC vuông tại A:
� tan 600
tan SCA
SA
SA AC.tan 600 2a 6
AC
1
8a 3 6
VS . ABCD SA.S ABCD
3
3
(đvtt)
Bài toán 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a với 0 a �,
0
0
�
�
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, BAD 120 , M là trung điểm của BC và SMA 45 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
(Trích đề tuyển sinh khối D năm 2013)
Hướng dẫn
Nhận xét:
Hình vẽ
S
A
1200
B
)600
D
13
M
C
A
D
1200
(
B
C
M
Bài giải.
Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính diện tích hình thoi ABCD
Tính độ dài đường cao SA
Tam giác SAM vuông cân tại A
1
VS . ABCD SA.S ABCD
3
Thể tích khối chóp S.ABCD:
0
0
�
�
ABCD là hình thoi có BAD 120 ABC 60
ABC là tam giác đều cạnh
a AM
a 3
2
Diện tích hình thoi ABCD:
S ABCD 2 SABC AM .BC
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
a2 3
2
0
�
Tam giác SAM vuông tại A và có SMA 45
SA AM
a 3
2
1
a3
VS . ABCD SA.S ABCD
3
4 (đvtt)
Bài toán 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AD CD a, AB 3a với 0 a �, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC
0
tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
Nhận xét:
Hình vẽ
3a
A
B
a
D
S
A
a
B
450
(
C
D
C
Bài giải.
Lập công thức tính thể tích khối chóp
1
VS . ABCD SA.S ABCD
3
Thể tích khối chóp S.ABCD:
14
Tính diện tích hình thang ABCD
Tính độ dài đường cao SA
Tam giác SAC vuông cân tại A
Diện tích hình thang ABCD:
S ABCD
1
AD AB CD 2a 2
2
ADC vuông
2
2
tại D AC AD DC a 2
SA ABCD
AC là hình chiếu vuông góc của
SC trên (ABCD)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
0
�
góc giữa SC và (ABCD) là SCA 45
SAC vuông
0
�
tại A và SCA 45 SA AC a 2
1
2a 3 2
VS . ABCD SA.S ABCD
3
3
(đvtt)
Bài toán 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a với
0
0 a �cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SD và mặt phẳng (SAB) bằng 30 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
(Trích đề tốt nghiệp THPT năm 2013)
Hướng dẫn
Hình vẽ
Nhận xét:
Để tính độ dài đường cao SA của khối
chóp cần xác định được góc giữa SD và mặt
phẳng (SAB)
Cần xác định hính chiếu vuông góc của SD
trên mặt phẳng (SAB)
AD SAB
Cần chứng minh:
S
300
A
B
Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính diện tích hình vuông ABCD
D
C
Bài giải.
1
VS . ABCD SA.S ABCD
3
Thể tích khối chóp S.ABCD:
2
Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD a
Tính độ dài đường cao SA
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
SA ABCD SA AD
AD SAB
AB AD
SA là hình chiếu vuông góc của SD trên
(SAB)
15
0
�
góc giữa SD và (SAB) là ASD 30
SAD vuông
tại D, ta có:
tan �
ASD tan 300
SA
a
SA AD.tan 300
AD
3
1
a3 3
VS . ABCD SA.S ABCD
3
3 (đvtt)
2. Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy
Bài toán 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là
tam giác đều cạnh a với 0 a �và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể
tích khối chóp S.ABC theo a
( Trích đề tuyển sinh khối D năm 2014)
Hướng dẫn
Xác định đường cao của khối chóp
Hình vẽ
S
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và
cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng
nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với
giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng
kia.
A
C
H
B
Bài giải.
Trong tam giác đều SBC cạnh a , gọi H là trung
Tính độ dài đường cao SH
SH BC
a 3
SH
2
điểm của BC
Lập công thức tính thể tích khối chóp
SBC ABC
SBC ABC BC SH ABC
SH SBC , SH BC
Xác định đường cao của khối chóp
Tính diện tích tam giác ABC
Tính thể tích khối chóp S.ABC
1
VS . ABC SH .S ABC
3
Thể tích khối chóp S.ABC:
AH BC
BC a
AH
2
2
ABC vuông cân tại A, ta có:
16
Diện tích tam giác ABC:
S ABC
1
a2
AH .BC
2
4
1
a3 3
VS . ABC SH .S ABC
3
24 (đvtt)
�
Bài toán 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC 30 , mặt bên
SBC là tam giác đều cạnh a với 0 a �và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
( Trích đề tuyển sinh khối A và A1 năm 2013)
Hướng dẫn
Nhận xét:
0
Hình vẽ
S
Bài toán 9 tương tự bài toán 8
Đáy là tam giác vuông tại A
Cần khai thác giả thiết: Đáy là tam giác
0
�
ABC vuông tại A và ABC 30 , BC a
A
ABC là nửa tam giác đều cạnh BC a
300(
B
H
C
Bài giải.
Trong tam giác đều SBC cạnh a , gọi H là trung
Tính độ dài đường cao SH
SH BC
a 3
SH
2
điểm của BC
Lập công thức tính thể tích khối chóp
SBC ABC
SBC ABC BC SH ABC
SH SBC , SH BC
Xác định đường cao của khối chóp
Tính diện tích tam giác ABC
1
VS . ABC SH .S ABC
3
Thể tích khối chóp S.ABC:
B
a 3
2
A
Tam giác ABC là nửa tam
a
giác đều cạnh BC a
Tam giác ABC vuông tại A, ta có:
C
Tính thể tích khối chóp S.ABC
sin �
ABC sin 300
AB
a
AB BC.s in300
BC
2
cos �
ABC cos300
AC
a 3
AC BC.cos300
BC
2
1
a2 3
S ABC AB. AC
2
8
Diện tích tam giác ABC:
17
1
a3
VS . ABC SH .S ABC
3
16 (đvtt)
Bài toán 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA 3a, BC 4a,
� 300
SB 2a 3 với 0 a �, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy và SBC
. Tính
thể tích khối chóp S.ABC theo a
( Trích đề tuyển sinh khối D năm 2011)
Hướng dẫn
Nhận xét:
Hình vẽ
S
Đáy là tam giác vuông, biết độ dài hai cạnh
góc vuông, dễ dàng tính được diện tích đáy.
SBC ABC
, do đó chỉ cần tìm một
) 300
B
H
đường thẳng nằm trong (SBC) và vuông góc
với giao tuyến BC đường cao của khối
chóp
Xác định đường cao của khối chóp
Lập công thức tính thể tích khối chóp
C
A
Bài giải.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC
SH BC
SBC ABC
SBC ABC BC SH ABC
SH SBC , SH BC
1
VS . ABC SH .S ABC
3
Thể tích khối chóp S.ABC:
Tính độ dài đường cao SH
0
�
Tam giác SBH vuông tại H và SBC 30
Tính diện tích tam giác ABC
� sin 300
sin SBC
Tính thể tích khối chóp S.ABC
SH
SH SB.sin300 a 3
SB
1
SABC BA.BC 6a 2
2
Diện tích tam giác ABC:
1
VS . ABC SH .S ABC 2a 3 3
3
(đvtt)
Bài toán 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC 2a, BD 4a với 0 a �. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn
A
Nhận xét:
B
a
2a
O
C
Hình vẽ
S
D
18
A
Cần nắm vững tính chất của hình thoi để
D
H
tính diện tích đáy
O
B
C
Bài giải.
Trong tam giác đều SAB , gọi H là trung điểm của
Xác định đường cao của khối chóp
Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính diện tích hình thoi ABCD
Tính độ dài đường cao SH
SH AB
AB 3
SH
2
AB
SAB ABCD
SAB ABCD AB SH ABCD
SH SAB , SH AB
1
VS . ABCD SH .S ABCD
3
Thể tích khối chóp S.ABCD:
1
S ABCD AC.BD 4a 2
2
Diện tích hình thoi ABCD:
Gọi O AC BD , tam giác AOB vuông tại O
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
AB OA2 OB 2 a 5
Độ dài đường cao khối chóp:
VS . ABCD
SH
a 15
2
1
2a 3 15
SH .S ABCD
3
3
(đvtt)
Bài toán 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a với 0 a �.
Biết SA SB , mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a
(Trích đề kiểm tra học kỳ I lớp 12 năm học 2014 – 2015 của Tỉnh Đồng Nai)
Hướng dẫn
Hình vẽ
S
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và
cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng
nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với
giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng
kia.
A
C
H
B
Xác định đường cao của khối chóp
Bài giải.
Trong tam giác cân SAB , gọi H là trung điểm của
AB SH AB
19
Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính độ dài đường cao SH
Tính diện tích tam giác ABC
Tính thể tích khối chóp S.ABC
SAB ABC
SAB ABC AB SH ABC
SH SAB , SH AB
1
VS . ABC SH .S ABC
3
Thể tích khối chóp S.ABC:
CH AB
2a
Trong tam giác đều ABC cạnh có: CH a 3
1
SABC CH . AB a 2 3
2
Diện tích tam giác ABC:
1
VS . ABC SH .S ABC 2a 3 3
3
(đvtt)
Bài toán 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a với 0 a �, mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a
( Trích đề tuyển sinh khối B năm 2013)
Hướng dẫn
Nhận xét:
Hình vẽ
S
Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
( dễ dàng xác định đường cao của khối chóp)
A
D
H
B
Xác định đường cao của khối chóp
Tính độ dài đường cao SH
Lập công thức tính thể tích khối chóp
Tính diện tích hình vuông ABCD
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
C
Bài giải.
Trong tam giác đều SAB cạnh a , gọi H là trung
SH AB
a 3
SH
2
điểm của AB
SAB ABCD
SAB ABCD AB SH ABCD
SH SAB , SH AB
1
VS . ABCD SH .S ABCD
3
Thể tích khối chóp S.ABCD:
20
- Xem thêm -