Tài liệu Skkn rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học một số bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ oxy

1.Tên sáng kiến: Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học một số bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: từ năm 2014 đến nay 4.Tác giả: - Họ và tên: Lương Văn Thuỷ Nơi thường trú: Năm sinh: 1958 Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Chức vụ công tác: giáo viên Nơi làm việc: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong- TP Nam Định - Họ và tên: Đỗ Thị Hải Hà Năm sinh: 1976 Nơi thường trú: Số nhà 41 đường Phùng Chí Kiên – khu đô thị Hòa VượngNam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Chức vụ công tác: giáo viên Nơi làm việc: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa chỉ liên hệ: Số nhà 41 đường Phùng Chí Kiên – khu đô thị Hòa Vượng- Nam Định Số điện thoại: 0961360888 - Họ và tên : Nguyễn Phương Hạnh Năm sinh: 1977 Nơi thường trú: Số 69 đường Trương Hán Siêu- Khu đô thị Hòa Vượng- Nam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Chức vụ công tác: giáo viên Nơi làm việc: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa chỉ liên hệ: Số 69 đường Trương Hán Siêu- Khu đô thị Hòa Vượng- Nam Định Số điện thoại: 0982223628 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa chỉ: 76 Vị Xuyên, thành phố Nam Định Điện thoại: 0350.3640.297 Trang 1 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa NXB : Nhà xuất bản THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở VTPT : véc tơ pháp tuyến VTCP : véc tơ chỉ phương Trang 2 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN. Trong nhà trường THPT, môn Toán giữ một vị thế hết sức quan trọng, có khả năng to lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh. Để thực hiện được nhiệm vụ này, môn Toán cần được khai thác nhằm góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung. Môn Toán là một môn học đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, …đó cũng là các kỹ năng quan trọng trong quá trình giải toán. Vì vậy, việc rèn luyện các kỹ năng giải toán nằm trong nhiệm vụ phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh THPT trong dạy học môn Toán và một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của việc giảng dạy môn Toán là dạy cách cách nghĩ, dạy cách tư duy, dạy cho học sinh biết các loại thao tác tư duy và sử dụng linh hoạt khi gặp các tình huống cụ thể. Rèn luyện thao tác tư duy được quan niệm thế nào là đầy đủ và đúng đắn, hoạt động đó phụ thuộc những yếu tố nào, về mặt sư phạm nên tổ chức ra sao… là những vấn đề cần được nghiên cứu. Trong thực tế giảng dạy môn Toán nói chung và phần hình học lớp 10 nói riêng, các giáo viên cũng đang hết sức chú trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thông qua rèn luyện các thao tác tư duy. Quá trình giải bài toán thường diễn ra theo 4 bước, trong đó bước cuối cùng là kiểm tra nghiên cứu lời giải. Ở bước này, người giải toán có thể tiếp tục suy luận, sáng tạo ra những lời giải hay, những bài toán mới độc đáo. Với đặc thù của học sinh trường chuyên, đa số các em học sinh đều có tư chất và khả năng tự học tốt nên việc hướng dẫn học sinh nghiên cứu lời giải, sáng tạo các bài toán liên quan càng cấp thiết hơn bao giờ hết. Xuất phát từ những lí do trên và với mong muốn được nghiên cứu, đóng góp những vấn đề lí luận và kinh nghiệm trong thực tiễn về lĩnh vực này chúng tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học một số bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy” . Trang 3 II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP 1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến. Trong thực tế hiện nay, vẫn còn nhiều học sinh học tập một cách thụ động, chỉ đơn thuần là nhớ kiến thức và áp dụng một cách máy móc mà chưa rèn luyện kỹ năng tư duy. Đặc biệt với học sinh lớp 10, là lớp đầu tiên khi tiếp cận một môi trường và phong cách học của cấp học THPT nên các em còn bỡ ngỡ khi lựa chọn một phương thức học tập phù hợp để đạt được kết quả cao. Khi tham khảo các nguồn tài liệu hoặc đọc một lời giải có sẵn về các bài toán trong mặt phẳng toạ độ Oxy nói chung và các bài toán về hình vuông nói riêng, một số em thường đặt ra câu hỏi: +) Tại sao khi giải bài toán này phải bắt đầu như thế này hoặc thế kia? +) Tại sao người giải lại biết phải xuất phát từ đối tượng mà tưởng chừng như không liên quan đến đối tượng cần phải tìm? +) Tại sao phải tìm nhiều lời giải của một bài toán ? +) Với bài toán này khi thay đổi một số dữ kiện liệu cách giải cũ còn áp dụng được không? Các em chưa lựa chọn được hướng giải quyết khi đứng trước rất nhiều chi tiết được cho trong giả thiết nên hiệu quả học tập nội dung này chưa cao. Trang 4 2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến PHẦN I: LÝ LUẬN CHUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học 1.1.1. Khái niệm về tư duy Có nhiều định nghĩa, nhiều cách diễn đạt khác nhau về tư duy. Tư duy là phạm trù triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự vật và ứng xử tích cực với nó. Từ định nghĩa trên ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản sau đây của tư duy: - Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan. - Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ. - Bản chất của tư duy là phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con người nhằm phản ánh được đối tượng. - Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo. - Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, tư duy có tính khái quát, có tính gián tiếp. - Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính. Dù tư duy có tính khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy cũng chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, hình tượng tổng quan,…). 1.1.2. Quá trình tư duy Tư duy là một quá trình hoạt động trí tuệ. Nghĩa là tư duy có nảy sinh diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm 4 bước cơ bản: 1) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp. Trang 5 2) Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi. 3) Xác minh giả thiết trong thức tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới. 4) Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng. Như vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ có nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào quá trình tư duy cụ thể như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó biểu hiện ở khả năng con người có thể xây dựng được những khái niệm chung gắn liền với sự trình bày của những quy luật tương ứng. 1.1.3. Tư duy Toán học Cũng như những lĩnh vực khác nhau của đời sống xã hội, toán học với tư cách là một khoa học có nguồn gốc thực tiễn và có ứng dụng vô cùng phong phú, đa dạng trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng, phương pháp nghiên cứu. Do đó, tư duy toán học là sự thống nhất giữa tư duy biện chứng và tư duy logic. Tư duy toán học được hiểu là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, phát hiện ra những mối quan hệ bên trong có tính quy luật của các đối tượng toán học mà trước đó ta chưa biết. Sản phẩm của tư duy toán học là những khái niệm, những định lý, quy tắc, phương pháp, suy luận,… mang tính khái quát, tính trừu tượng cao, có tính khoa học, tính lôgic chặt chẽ, các tri thức có mối quan hệ mật thiết và hỗ trợ lẫn nhau, được biểu đạt chủ yếu bằng ngôn ngữ viết (ký hiệu, biểu thức, công thức,…). Theo tác giả Nguyễn Duy Thuận [6] thì việc rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng trong sự nghiệp giáo dục, đặc biệt là trong quá trình dạy học toán. Nó phải trải qua một quá trình thường xuyên vận dụng các nguyên tắc tư duy cơ bản một cách thích hợp, phải xuất phát từ các vấn đề dễ đến khó, đi từ các trường hợp đơn giản đến phức tạp, phải vận dụng các phương pháp suy luận một cách linh hoạt. Kiến thức toán học được sắp xếp theo hệ thống lôgic chặt chẽ và liên tục, tri thức trước làm cơ sở cho tri thức sau cho nên phải hiểu và nắm vững kiến thức, có kiến thức mới có cơ sở để Trang 6 dựa trên đó mà tư duy đúng đắn, hiểu biết càng sâu sắc, kiến thức càng vững vàng thì t ư duy càng chính xác, càng mạch lạc. Để phát triển tư duy toán học trong quá trình dạy học toán, chúng ta cần chú ý rèn luyện cho người học một số ý thức và kỹ năng như: ý thức tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề; kỹ năng sử dụng các phương pháp suy luận phân tích, tổng hợp; kỹ năng vận dụng các thao tác tư duy khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự và quy nạp,… trong quá trình giải quyết vấn đề. Cụ thể là: - Phân tích bài toán một cách toàn diện dưới nhiều khía cạnh, nhiều góc độ khác nhau, chia bài toán thành nhiều bài toán nhỏ, xét các khả năng có thể xảy ra, đưa bài toán về dạng có thể sử dụng được các định lý, công thức, khái niệm đã biết, trên cơ sở đó tìm ra mối quan hệ giữa các đối tượng, các khái niệm và từ đó huy động các kiến thức, kinh nghiệm đã có để dự đoán cách giải quyết cho từng vấn đề, từng trường hợp. - Chuyển từ việc nghiên cứu cách giải quyết những trường hợp đơn lẻ, trường hợp cụ thể của bài toán sang giải quyết trường hợp tổng quát hoặc ngược lại, từ đó có thể cho ta những gợi ý tốt để tìm phương án, cách thức giải quyết và vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có vào thực hiện giải quyết các vấn đề. - Khai thác đánh giá cách giải quyết bài toán để phát hiện ra các sai lầm, nguyên nhân sai lầm, tìm ra nhiều cách giải khác nhau, từ đó tìm được cách giải quyết tốt hơn, rút ra phương pháp giải chung cho lớp các bài toán tương tự hoặc đề xuất ra các vấn đề mới, bài toán mới. - Tổng kết, đúc rút kinh nghiệm và tìm cách ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Thông thường, trước một vấn đề, một bài toán mới cần giải quyết, học sinh phải thực hiện một loạt các hoạt động trí tuệ: 1) Xác định yêu cầu, nhiệm vụ cần giải quyết, xác định các dữ kiện đã biết, từ đó dùng các thao tác tư duy phát hiện ra mối quan hệ giữa chúng và mối quan hệ với kiến thức, kinh nghiệm đã có; 2) Khoanh vùng, huy động những kiến thức liên quan (khái niệm, tính chất, định lý, quy tắc,…) và những kinh nghiệm đã có, đã sử dụng (vấn đề tương tự, bài toán tương tự, cách thức giải quyết,…) có thể vận dụng trong trường hợp này, tự đặt ra những câu hỏi và tìm cách tự trả lời, từ đó đưa ra những phán đoán, định hướng cách giải quyết; 3) Lập kế hoạch giải quyết từng bước các vấn đề đặt ra, xác định vấn đề nào cần giải quyết trước vấn đề nào giải quyết sau, kiến thức nào vận dụng trước kiến thức nào vận dụng sau,… và thực hiện từng bước theo kế hoạch giải; Trang 7 4) Phân tích ưu, nhược điểm của cách giải quyết đã thực hiện để tìm cách giải quyết khác hợp lý hơn, từ đó đúc rút, tích luỹ kinh nghiệm; 5) Thay đổi các dữ kiện của bài toán ở mức độ khác nhau, tìm cách phát triển các vấn đề, bài toán đã giải quyết thành những vấn đề mới, bài toán mới. Hoạt động huy động vận dụng các kiến thức liên quan và kinh nghiệm đã có của học sinh để phát triển tư duy toán học cho học sinh diễn ra trong suốt quá trình học toán, tuy nhiên hoạt động này mang lại hiệu quả nhiều hơn trong quá trình thực hiện các bước giải các bài toán. Theo G. Pôlya, muốn huy động những kiến thức liên quan, những kinh nghiệm đã có và vận dụng chúng một cách thích hợp vào giải quyết các bài toán cụ thể thì ng ười học cần phải biết: khoanh vùng các kiến thức đã biết tương ứng với bài toán; xác định các mối quan hệ giữa bài toán đang giải quyết với các khái niệm, định lý, công thức, tính chất, với các dạng bài toán đã biết; hồi tưởng lại những khái niệm, định lý, công thức, tính chất, các dạng bài toán đã biết cách giải;… 1.2. Thao tác tư duy Tính giai đoạn của tư duy chỉ mới phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của qúa trình tư duy. Còn nội dung bên trong nó diễn ra trên cơ sở những thao tác trí tuệ, các thao tác tư duy là những quy luật bên trong của tư duy. Có các thao tác sau đây: +) Phân tích- tổng hợp: Phân tích là sự phân chia bằng trí óc đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần, thuộc tính , quan hệ khác nhau để nhận thức nó sâu sắc hơn. Tổng hợp là sự hợp nhất bằng trí óc các bộ phận, thành phần, thuộc tính , quan hệ ..của đối tượng nhận thức thành một chỉnh thể. Phân tích và tổng hợp thống nhất với nhau: Sự phân tích được tiến hành theo phương hướng của sự tổng hợp. Còn tổng hợp được thực hiện trên kết quả của sự phân tích – Khẳng định - Chính xác hóa - Phủ định- Giải quyết – Vấn đề -Hành động - Tư duy mới. +) So sánh: là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện tượng. +) Trừu tượng hoá – khái quát hoá : Trừu tượng hoá là sự gạt bỏ bằng trí óc những mặt, những thuộc tính những liên hệ và quan hệ thứ yếu, không cần mà chỉ giữ lại những yếu tố nào cần thiết để tư duy mà thôi. Trang 8 Khái quát hoá: là sự hợp nhất bằng trí óc nhiều đối tượng khác nhau nhưng có chung những thuộc tính, liên hệ quan hệ … nhất định thành một nhóm, một loại. Khái quát hoá bao giờ cũng mang lại một cái chung gì đó. Trừu tượng hoá và khái quát hoá có quan hệ qua lại với nhau. Khái quát hoá chính là sự tổng hợp ở mức độ cao. +) Mối liên hệ giữa các thao tác tư duy Các thao tác tư duy có quan hệ mật thiết với nhau, thống nhất với nhau theo một hướng nhất định do nhiệm vụ tư duy quy định. Các thao tác tư duy đan chéo nhau chứ không theo một trật tự nhất định. Tuỳ theo điều kiện và nhiệm vụ tư duy không nhất thiết phải thực hiện tất cả các thao tác tư duy khi giải quyết một vấn đề nào đó. Có tác giả cho rằng phân tích và tổng hợp được coi như hình thức cơ bản của hoạt động tư duy. Tư duy dù dưới hình thức nào đi nữa cũng không thể tiến hành nếu thiếu hai thao tác này. 1.3. Kỹ năng thực hiện các thao tác duy 1.3.1. Kỹ năng Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Những định nghĩa này thường bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn và quan niệm cá nhân của người viết. Tuy nhiên hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ ràng. Vậy, Kỹ năng là năng lực hay khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả mong đợi. Kỹ năng được hình thành ra sao? Bất cứ một kỹ năng nào được hình thành nhanh hay chậm, bền vững hay lỏng lẻo đều phụ thuộc vào khát khao, quyết tâm, năng lực tiếp nhận của chủ thể, cách luyện tập, tính phức tạp của chính kỹ năng đó. Dù hình thành nhanh hay chậm thì kỹ năng cũng đều trải qua những bước sau đây: - Hình thành mục đích. Lúc này thường thì chủ thể tự mình trả lời câu hỏi “Tại sao tôi phải sở hữu kỹ năng đó?”; “Sở hữu kỹ năng đó tôi có lợi gì?”… Trang 9 - Lên kế hoạch để có kỹ năng đó. Thường cũng là tự làm. Cũng có những kế hoạch chi tiết và cũng có những kế hoạch đơn giản như là “ngày mai tôi bắt đầu luyện kỹ năng đó”. - Cập nhật kiến thức / lý thuyết liên quan đến kỹ năng đó. Thông qua tài liệu, báo chí hoặc buổi thuyết trình nào đó. Phần lớn thì những kiến thức này chúng ta được học từ trường và từ thày của mình. - Luyện tập kỹ năng. Bạn có thể luyện tập ngay trong công việc, luyện với thày hoặc tự mình luyện tập. - Ứng dụng và hiệu chỉnh. Để sở hữu thực sự một kỹ năng chúng ta phải ứng dụng nó trong cuộc sống và công việc. Nói chung, quy trình rèn luyện kỹ năng bao gồm các bước sau: Bước 1: Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động. Bước 2: Quan sát mẫu và làm thử theo mẫu. Bước 3: Luyện tập để tiến hành hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của hoạt động nhằm đạt được mục đích đề ra. 1.3.2. Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy Kỹ năng là biết làm một việc gì đó nhằm đạt được mục đích đã đề ra trong những điều kiện cho phép của thực tiễn. Từ việc nghiên cứu về hành động tư duy quy trình thực hiện các thao tác đó và kỹ năng nói trên ta rút ra được – kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy là biết thực hiện ở các mức độ khác nhau các thao tác đó hướng tới một mục đích đề ra trong những điều kiện thực tiễn cho phép. Hay nói một cách khác kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy chính là kỹ năng thực hiện các bước của quy trình. 1.3.3. Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy Toán học Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng thấy được mỗi lời giải bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy của học sinh mà phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài Toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân người giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài Toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh,.... Đồng thời, qua việc rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán làm cho học sinh biết được tính thực tiễn của Toán học: Xuất phát từ thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn. Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất Trang 10 trừu tượng cao độ của nó. Nhờ trừu tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy. Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừ tượng hoá mà tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển. Bởi qua các thao tác tư duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư tưởng của người khác. Một mặt các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Rèn luyện thao tác tư duy trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong quá trình phát triển tư duy học sinh. Nhưng trong thực tế, nó chưa được ưu tiên thích đáng xứng với vị trí của nó. Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do giáo viên chưa chú ý được tầm quan trọng của nó hoặc chưa xây dựng được các biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực giải Toán cho học sinh. Trang 11 CHƯƠNG II: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH CHO HỌC SINH LỚP 10 QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÌNH VUÔNG TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ Oxy 2.1. Một số thao tác tư duy phổ biến của học sinh THPT trong giải toán Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn, hoạt động tư duy chỉ diễn ra trong tình huống có vấn đề, khái niệm mà ta thường dùng để chỉ các mâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét một cách nôm na, ta thường gọi là bài toán. Bài toán bao gồm hai hệ thống thông tin, hai bộ phận luôn mâu thuẫn với nhau nhưng luôn có những liên hệ gắn bó với nhau. Bộ phận thứ nhất là “điều kiện” bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách tường minh hoặc tiềm ẩn. Tức là điều kiện có liên quan đến bài toán sẽ biểu hiện sau những biến đổi nhất định. Bộ phận thứ hai là “yêu cầu” gồm những thông tin mà bài toán đòi hỏi phải tìm. Quá trình giải bài toán là hoạt động trí óc gồm những thao tác đa dạng, phức tạp nhưng xét đến cùng luôn là sự phân tích, tổng hợp, so sánh, đối chiếu các điều kiện với các yêu cầu của bài toán; phân tích, lý giải các mối liên hệ đã có để giải quyết những mâu thuẫn giữa điều kiện và yêu cầu. Quá trình phân tích, lý giải này sẽ dẫn tư duy đến những mối liên hệ mới. Cứ như thế mà dần dần làm sáng tỏ yêu cầu cần đạt của bài toán. Thông tin cần cho việc giải bài toán còn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc lý giải thông qua các thao tác tư duy, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện tường minh hay tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán. Việc khám phá dần dần các điều kiện tiềm ẩn cũng chính là quá trình chứng minh, bổ sung hoàn chỉnh hoặc bác bỏ giả thuyết ban đầu, bởi vì nhờ các hoạt động đó mà tư duy có thể nhìn thấy rõ hơn mối liên hệ thực giữa điều kiện và yêu cầu. Nó sẽ giúp ta thấy được con đường đi tới mục đích mà yêu cầu đặt ra là đúng hướng. “Tiêu biểu cho tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá,... việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm,... kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó. Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của tư duy được biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgic chứng minh của con người”. Hoạt động tư duy của con người luôn hướng vào giải quyết một vấn đề, hoặc làm sáng tỏ điều nào đó mà họ có mong muốn cần hiểu biết. Trang 12 Trong quá trình dạy học, việc rèn các hoạt động trí tuệ cho học sinh cần tập trung chú ý tới việc rèn luyện một số thao tác tư duy cơ bản. Đó là những hoạt động trí tuệ thường gặp trong dạy học Toán ở nhà trường phổ thông. Xuất phát từ yêu cầu thời gian và phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi đi sâu vào việc tìm hiểu việc rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cơ bản sau: 2.1.1. Phân tích và tổng hợp Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác nhau của các quá trình đó. Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua bộ môn Toán, giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích và tổng hợp. Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh. Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo. Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học của học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo. Theo M. N. Sácđacốp thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của những sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định. Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính như vậy mới nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật và hiện tượng. Tổng hợp (cộng) là sự tổng hợp sơ đẳng, nhờ đó mà các bộ phận của một toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các bộ phận đó. Ông cho rằng; sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kết máy móc các bộ phận thành một chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổng cộng các bộ phận của một toàn thể. Sự tổng hợp chân chính là một hoạt động tư duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực. Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bản của quá trình tư Trang 13 duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp. Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không tầm thường) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau. Chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó. Vì phân tích cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy. Phân tích một cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn. Sự thống nhất của quá trình phân tích- tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2). Như vậy, phân tích và tổng hợp theo con đường: tổng hợp 1 - phân tích - tổng hợp 2. Các thao tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ của con người. Trong giải toán, học sinh thường phải thực hiện các thao tác phân tích, tổng hợp xen kẽ với nhau. Bẳng gợi ý của G. Pôlya viết trong tác phẩm “Giải bài toán như thế nào” đã đưa quyvà trình bước bài mỗi bước tácnăng giả đã đưa ra các đó Vốốtoán. n kiếốnTrong thức Toán học, kĩ và kinh nghi ệmgợi giảý,i Toán Nộira dung hình4 th ức cđể ủa giải bài toán chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán. Có thể thấy trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăng khít với nhau. Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) ịnh ướngtích tm(Để tòi đảm bảo tính lôgic và tính định hướng và trong quá trình tổng hợp phải Đcó sựhphân lời giải bài tập của quá trình tổng hợp). Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần phải giải (Bài tập này do thầy giáo đặt ra, do chương trình học tập yêu cầu, do học sinh biết được trong Hướng 2 Hướng thứ k quá trìnhHướ tự ng học1 vv...) chỉ có hữu hạn các phương pháp giải, các phương pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiến thức đã được học, kiến thức tự tích luỹ...) của học sinh vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh thường là: Nhận thức đếềPhân tch 1 chNh ọnậlự nathho ứcặcđếềbác Phân bỏtch 2 chọn lựa Nh hoậ ặnc bác thứcbỏ đếềPhân tch k chọn lựa hoặc bác bỏ Chọn lựa được hướng giải thích hợp Trang 14 Tiếốn hành phân tch, tổng hợp để đưa ra lời giải của bài tập Để rõ hơn ta xét ví dụ sau: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có D  5;1 . Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho A C  4A N . Tìm tọa độ điểm C biết phương trình đường thẳng MN là 3x  y  4  0 và M có tung độ dương. +) Bước 1: Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác phân tích các giả thiết trong bài toán Điều đó phải dược xuất phát từ những tính chất đặc trưng riêng của hình vuông như tính chất vuông góc, độ dài các cạnh, tính chất đối xứng.... Cho học sinh vẽ hình minh hoạ Trang 15 A B N 3x-y-4=0 M C D(5;1) Học sinh dự đoán tính chất hình học về mối quan hệ của điểm D, điểm M, điểm N và đường thẳng MN. Kết quả dự đoán: DN  MN . Bước 2: Chứng minh DN  MN . ( Chứng minh theo nhiều cách). Bước 3: Giáo viên yêu cầu học sinh kết hợp tính chất hình học nêu trên để tiếp tục tổng hợp thành sơ đồ lời giải cho bài toán. Bước 4: Giáo viên phân tích điểm mạnh của từng quy trình giải quyết để học sinh tự chọn cho mình hướng đi ngắn và hiệu quả nhất. Học sinh trình bày chi tiết nội dung bài giải. Yêu cầu:Trên cơ sở bài toán trên học sinh học cách thay đổi giả thiết để có bài toán tương tự. Kết luận: Trên cơ sở định nghĩa cùng với mối liên hệ giữa phân tích và tổng hợp, có thể đưa ra quy trình chung thực hiện các thao tác đó đối với hoạt động nhận thức như sau: Bước 1: quan sát cái toàn thể một cách tổng quát, xác định các vấn đề cần giải quyết. Bước 2: Xác định các đối tượng, quan hệ cần thiết cho việc giải quyết vấn đề. Tách cái toàn thể thành các bộ phạn theo các quan hệ đã được xác định. Bước 3: Xác định, nghiên cứu các tính chất của các bộ phận vừa tách ra. Bước 4: Gắn kết thông tin thu nhận ở bước 3 vào cái toàn thể ban đầu, kết hợp các bộ phận thành một cái toàn thể hoàn chỉnh hơn. Trang 16 Đặc biệt, vì các lý do nêu trên, giáo viên cần nhận thức rằng việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh qua việc giải bài tập nhất thiết phải được tiến hành thông qua sự phân loại học sinh. Không có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng, thậm chí có những quá trình phân tích-tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh này nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác. Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tượng, nghiên cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trước khi hướng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán là rất quan trọng. 2.1.2. So sánh “So sánh – một trong các thao tác của tư duy làm chức năng đối chiếu các đối tượng để phát hiện ra những nét khác nhau giữa chúng”. Một số nhà tâm lí học Việt Nam cho rằng: “So sánh là quá trình con người dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật – hiện tượng; hoặc so sánh là sự xác định sự giống nhau hay khác biệt giữa các đối tượng, thuộc tính và quan hệ của chúng trong hoạt động khách quan” . Trên cơ sở nghiên cứu các quan điểm khác nhau về khái niệm thao tác so sánh của các nhà tâm lí học, chúng tôi nhận thấy mục đích của thao tác so sánh là phải xác định được đặc điểm giống nhau và khác nhau của các sự vật hiện tượng, vì vậy chúng tôi đã đưa ra khái niệm về thao tác so sánh như sau: so sánh là một trong những thao tác tư duy thực hiện chức năng xác định các đặc điểm giống nhau hay khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng trong môi trường xung quanh. Các bước của tiến trình so sánh có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, mối quan hệ này được thể hiện qua sơ đồ 3. Trang 17 Tuy nhiên thao tác so sánh cần được xét trong sự tương tác đó. Sơ đồ thể hiện rõ mối quan hệ của thao tác so sánh với các thao tác trí tuệ khác, đồng thời làm rõ vai trò của thao tác so sánh đối với các thao tác khác trong hoạt động trí tuệ. Một mặt, so sánh chịu sự quy định của những thao tác trí tuệ khác, mặt khác, nó cũng tác động trở lại những thao tác, hành động trí tuệ có liên quan. Đây cũng là một trong những cơ sở lí luận của việc hình thành và đánh giá chất lượng, hiệu quả của thao tác so sánh. Sơ đồ mối quan hệ qua lại của các thao tác trí tuệ do J. Lompscher (1972) đưa ra là một trong những minh hoạ cụ thể cho nhận định trên. Trang 18 Ví dụ giáo viên có thể cho học sinh so sánh tính chất của tam giác vuông cân và hình vuông, tính chất của hình vuông với tính chất của hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng, của hình thang vuông có đáy lớn gấp hai lầ đáy nhỏ và cạnh bên bằng đáy nhỏ…..để thấy được điểm chung và điểm riêng trong từng đối tượng, với mục đích nhìn thấy nội dung của bài toán cơ bản này trong một hình đặc biệt khác. 2.1.3. Khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hoá Khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là những thao tác tư duy có vai trò rất quan trọng trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông. Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự là phương pháp giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và góp phần quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh. “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” . Trong “Phương pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát. “Đặc biệt hóa là chuyển từ vịêc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ h ơn chứa trong tập hợp đã cho” Chúng ta có thể hiểu đây là một quá trình ngược lại của khái quát hóa. Chẳng hạn ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu một đa giác sang nghiên cứu một tam giác (là một đa giác đặc biệt, có số cạnh là ba), ta tiếp tục đặc biệt hóa khi chuyển từ tam giác sang tam giác đều (là tam giác đặc biệt, có các cạnh bằng nhau). Trong hai bước đặc biệt hóa trên đã tiến hành theo các hướng khác nhau. Trong lần đầu (từ đa giác sang tam giác) ta thay một biến bởi một hằng (cụ thể là thay n-giác) bởi 3 (3-giác); trong lần thứ hai (từ tam giác sang tam giác đều) chúng ta đã qui định những điều hạn chế (tam giác phải có các Trang 19 cạnh bằng nhau). Ta dùng đặc biệt hóa để minh họa, giải thích những khái niệm, định lí tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể. Tương tự hoá là quá trình dùng trí óc để kết luận về sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu, một số thuộc tính nhằm tạo ra một kết quả mới. Người ta thường xét vấn đề tương tự trong toán học trong các khía cạnh sau: - Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh giống nhau. -Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau, nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó hoặc nếu giữa các phần tử tương ứng của chúng giống nhau”. Xét một ví dụ : trong hình học phẳng ta có bài toán sau “Cho tam giác ABC có O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm,trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng”. Ta có bài toán tương tự trong không gian “Cho tứ diện trực tâm ABCD có O, G, H lần lượt là tâm hình cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ diện. Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thẳng hàng”. Người ta cũng thường xem những trường hợp đặc biệt của cùng một vấn đề là tương tự nhau, chẳng hạn tam giác và tứ giác là tương tự nhau - cùng là trường hợp đặc biệt của đa giác. Tóm lại cùng một yếu tố hay một đối tượng có thể xác lập được những tương tự khác nhau tùy thuộc vào vấn đề chúng ta nghiên cứu. 2.1.4. Rèn năng lực thực hiện các thao tác tư duy qua việc giải bài tập Toán Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán Trong dạy học giải Toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần không thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm của G. Pôlya ông đã đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán. 1) Hiểu rõ bài toán: Trang 20