Skkn phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

  • Số trang: 14 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 13 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

BM 01-Bìa SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG  Mã số :……………….. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Người thực hiện : NGUYỄN THỊ BÍCH DIỄM Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục : Phương pháp dạy học bộ môn :…………… Phương pháp giáo dục : Lĩnh vực khác :…………………………… . Có đính kèm : Mô hình Phần mềm Phim ảnh SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC Năm học : 2011- 2012 Hiện vật khác BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN : 1. Họ và tên : NGUYỄN THỊ BÍCH DIỄM 2. Ngày tháng năm sinh : 3. Nam, nữ : 01 - 09 - 1982 NỮ 4. Địa chỉ : Ấp 2 – xã Xuân Hưng, huyện Xuân Lộc, tỉnh Đồng Nai 5. Điện thoại : 01677732182 6. Fax : - E-mail : 7. Chức vụ : 8. Đơn vị công tác : Trường THPT Xuân Hưng II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học - Năm nhận bằng : - Chuyên ngành đào tạo : 2004 Toán-Tin học III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC : - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Giảng dạy Toán. - Số năm có kinh nghiệm : 04 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây : Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. - Trong những năm học qua, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10. Đa số học sinh nhận thức còn chậm giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn. - Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy? - Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được trình bày ở phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) rất là ít và hạn hẹp chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa ra cách giải khá rườm rà khó hiểu và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn. Vì vậy tôi mới tổng hợp một số phương pháp giải và bài tập để giúp các em học sinh lớp 10 có thể tự học để nâng cao kiến thức, đặc biệt tôi hy vọng chuyên đề này có thể giúp các em học sinh lớp 12 tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học - Cao đẳng –THCN. II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI. 1. Thuận lợi Có nhiều tài liệu để tham khảo làm chuyên đề. Được sự hỗ trợ của các thành viên trong tổ. 2. Khó khăn Một số áp dụng đòi hỏi tính tư duy cao. Do đó chưa thể phổ biến cho toàn thể học sinh. III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lí luận. - Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. - Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải. - Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. -Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải hai dạng phương trình thường gặp dạng cơ bản và một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn nâng cao. 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài: Đưa ra một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn, có ví dụ cho học sinh tham khảo và tự học. A. DẠNG CƠ BẢN: 1.Phương trình f ( x ) = g(x) (1) a) Phương pháp: pt � g ( x) �0 f ( x ) = g(x) � � 2 �f ( x)  g ( x ) g(x) � 0 là điều kiện cần và đủ vì f(x)= g2(x) � 0 . Không cần đặt thêm điều Điều kiện kiện f(x) �0 b) Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình 3x  4 = x - 3 . (1) � x �3 � � 9  29 � x �3 � x  3 �0 � �� x 9  29 (1) � � � �2 �� � x  2 2 � 3 x  4  ( x  3) 2 � �x  9 x  13  0 �� 9  29 �� x 2 �� + Ví dụ 2: Giải phương trình 3x 2  2 x  1 = 3x + 1 . (2) � � 1 � �x � 3  1 � x� � 3 x  1 �0 � 1 � (2) � � 2 �� � ��x  1 � x  3 2 3 x  2 x  1  (3 x  1) 3 � � �� 1 3x 2  4 x  1  0 � �� x �� 3 � 2.Phương trình : f ( x)  g ( x) (2) a. Phương pháp: �f ( x) �0( g ( x) �0) � f ( x)  g ( x ) pt(2) � � Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g(x) �0 và f(x) �0 vì f(x)=g(x) . b. Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình 3 x  2 = 2x 1 , (1) � 1 x� � � 2 x  1 �0 1 � 2 (1) � � �� � x 3 x  2  2 x  1 � 1 5 � x � 5 + Ví dụ 2: Giải phương trình 2 x 2  3x  4 = 7 x  2 , (2) Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm. � � 7 7 � �x � 7 x  2 �0 � � x� � 2 (2) � � 2 �� �� � x3 2 x  1 � 2 x  3x  4  7 x  2 2 � � � 2x  4x  6  0 � � � ��x  3 � Trong thực tế khi giảng dạy tôi thấy đa số học sinh nắm và nhớ được phương pháp giải hai dạng trên nhưng đa số các em lại giải sai kết quả. Lí do là các em không nhớ và không khai triển đúng biểu thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu,và giải sai phương trình bậc hai. Do đó trước khi giảng dạy phần này tôi thường phát tài liệu cho học sinh tự ôn tập trước về các kiến thức sau: 1. Nhắc lại hai hằng đẳng thức (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ; (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 Bài tập áp dụng: Khai triển các biểu thức sau (x-3)2; (3x-4)2; (4x+5)2; (3-2x)2 2.Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai: a x 2  bx  c  0 (a �0) (*) +Tính   b 2  4ac (hoặc  '  (b' )2  ac ) -Nếu  <0 thì pt (*) vô nghiệm -Nếu  =0 thì pt (*) có nghiệm kép x=  b 2a -Nếu  >0 thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt x1,2  b �  2a +Tính nhẩm nghiệm pt bậc hai: ax2 +bx +c = 0 a) a +b +c = 0 thì nghiệm x1= 1, b) a –b +c = 0 thì nghiệm x1= -1, x2 = x2= c a c a Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1) x 2  2 x  3  0 2) 2 x 2  3x  5  0 3) 3x 2  x  4  0 4) x 2  ( 3  1) x  3  0 Qua hai năm áp dụng cách trên tôi thấy đạt kết quả tốt. Đa số học sinh khai triển được hai dạng hằng đẳng thức trên và giải tốt phương trình bậc hai và bài giảng về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn nhẹ nhàn hơn nhiều. Ta chỉ cần đưa ra phương pháp giải hai dạng cơ bản là các em giải được tốt các phương trình. Sau khi dạy xong phần lí thuyết tôi đưa ra một số phương pháp giải một số phương trình nâng cao để học sinh tự học và hình thành kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. B. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC (Phương trình không tường minh). + Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x  2  2 x  1 - x  1 = 4 (1), (ĐH-CĐ Khối D năm 2005) Điều kiện của phương trình là x �-1 , Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn (*) x  2  2 x  1 có dạng hằng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi như sau. pt(1) � 2 ( x  1  1) 2 - x  1 = 4 � 2 x  1 +2 � x 1 = 4 x  1 = 2 � x + 1 = 4 � x = 3 (thoả mãn điều kiện (*) ) Vậy, nghiệm của phương trình là x = 3. + Ví dụ 2: Giải phương trình 2 x  4  x  1  2 x  3  4 x  16 . Lời giải : Ta có Pt � 2 x  4  x  1  2 x  3  2 x  4 �x  4 �0 � � � x 1  2x  3 �x  4 �0 � � �x 1 �0 �x 1  2 x  3 � �x �4 � � �x  2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm A B  Chú ý rằng: A  0 A C   B C + Ví dụ 3: Giải phương trình x2 – 7x + 12 =  x  3  x 2  x  6 Lời giải: Ta có x2 – 7x + 12 =  x  3  x 2  x  6  (x-3)(x-4) =  x  3 x  3 x  2  (x-3)(x-4) =  x  3 2  x  2  ( x  3) x + 2 =( x  3)( x  4) �    ( x  3) x + 2 =( x  3)( x  4) (1)  2 Giải (1)   x  3 x + 2 = (x-3)(x-4)  x =3    x + 2 =x  4 Giải (2)    x + 2  x + 4 =0  x =3    x =7   x  3 x + 2 = (x-3)(x-4)  x =3    x + 2 =4  x   x  3    x  3   x + 2 + x  4 =0  x =3    x =2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 2 v x = 3 v x = 7. Chú ý rằng:  0 khi A =0  A2 B = A B = A B khi A > 0    A B khi A < 0 C. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ DẠNG CƠ BẢN Trường hợp phương trình đã cho có nhiều căn thức -Ta bình phương nhiều lần để khử dấu căn -Mỗi lần bình phương hai vế, cần đặt các điều kiện:  Điều kiện có nghĩa của các căn thức  Điều kiện về dấu của hai vế để phương trình mới tương đương với phương trình trước a) Ví dụ: Giải phương trình 7  x 2 + x x + 5 = 3  2 x  x 2 (*) Giải: 3 x  1  3 x  1 3  2x  x2  0    (*)       x ( x + 2)  0 2 2  7  x + x x + 5 =3  2 x  x 2  x x + 5 = 2( x + 2)  x ( x + 5) =4( x + 2) 2   2 x 0 2 x 0    3    x = 1 2 2  ( x + 1)( x  16) =0  x + x  16( x + 1) =0 b) Bài tập áp dụng Giải các phương trình:1. x 2 + x + 3 = x 2  3 + 2 D. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ VÀ THỬ LẠI 2. 1 + x  x + 8 = x + 1 2 a) Ví dụ: Giải phương trình x + x + 16 = 40 2 x + 16 (*) Giải: 2 2 4 2 2 (*) � x x 2  16  x 2  16  40 � x x 2  16   x 2  24  x ( x + 16) =x  48 x + 24  64 x 2 =242  x 2 =9  x = 3 Thử lại: thay x  �3 vào phương trình (*), ta chỉ nhận nghiệm x = 3 b) Bài tập áp dụng 2 Giải phương trình :1. x + 5 =x + 1 2. 2 x 3 x2 +1  1 5 x  3 =x 2 E. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ẨN PHỤ Đôi khi trong qua trình biến đổi đưa về dạng cơ bản, ta được một phương trình bậc cao phức tạp. Trong trường hợp này ta có thể tìm cách biến đổi phương trình đã cho thành phương trình tích số hoặc đặt ẩn phụ. 1. Đặt ẩn phụ t = ( x) dẫn đến phương trình theo t Điều kiện của t là điều kiện làm cho phương trình t = ( x) có nghiệm a) Ví dụ: Giải phương trình x 2  x  4  x 2  x  1  2 x 2  2 x  9(*) Giải: Đặt t = x 2 + x + 1 Phương trình (*) trở thành t �0 � � t �0 � t �0 � � t  3  t  2t  7 � � �� � �2 � t 1 t  3t  4  0 2t  3  2 t (t  3)  2t  7 � � t (t  3)  2 � �x  0 x  1 � với t = 1 ta có x2+x+1=1 � � b) Bài tập áp dụng Giải phương trình 1. 3x 2  2 x  15  3 x 2  2 x  8  7 3. x 2  x 2  3 x  5  3x  7 2. x 2  x  7  x 2  x  2  3x 2  3x  19 4. 2 x 2  3 x  5 2 x 2  3x  9  3  0 2. Đặt ẩn phụ t   ( x) dẫn đến một phương trình theo t với x là tham số Ta giải phương trình, tính t theo x.Từ đó suy ra x a) Ví dụ: Giải phương trình (4 x  1) x 2  1  2 x 2  2 x  1(*) Giải: Đặt t = x 2  1(t �1) (*) � (4 x  1) x 2  1  2( x 2  1)  2 x  1 Phương trình trở thành � 1 t  (loai ) 2 2t -(4x-1)t+2x-1=0 � � � �t  2 x  1 2 � 2 x  1 �1 � x �1 4 �� 2 � x với t= 2x-1 ta có: x 2  1  2 x  1 � �2 x  1  4 x2  4 x  1 3x  4 x  0 3 � � b) Bài tập áp dụng Giải phương trình x 2  4 x  11  (2 x  3) x 2  9 3. Đặt ẩn phụ t   ( x) dẫn đến một hệ hai ẩn x và t a) Ví dụ: Giải phương trình x 2  x  5  5(*) Giải: �x �5 �t �0 Đặt t = x  5 � t 2  x  5 . Điều kiện � 2 �x 2  t  5 � � x2  t  5 � x  t 5 (*) � �2 � �2 2 �� t  x  5 �x  t  t  x ( x  t )( x  t  1)  0 � � � � � 1  21 � � 2 2 �x  x t 5 x  x  5( x �0) � 2 � �� � 2 �� � t  x �t   x  1(t �0) x   x  4( x �1) � 1  17 � x � � � � 2 � � b) Bài tập áp dụng Giải phương trình 1. x 2  x  4  4 2. x  17  x 2  x 17  x 2  9 F. PHƯƠNG PHÁP CHẶN HAI VẾ Giả sử ta có phương trình f(x)=g(x) và tìm được một hằng số C sao cho f ( x) �C �g ( x) với mọi x thuộc miền xác định của phương trình �f ( x )  C �g ( x )  C Khi đó f ( x)  g ( x) � � a) Ví dụ: Giải phương trình x  2  4  x  x 2  6 x  11 (*) Giải: Điều kiện 2 �x �4 Ta có x  2  4  x � 2.2  2 và x 2  6 x  11  x 2  6 x  9  2  ( x  3) 2  2 �2 � x  2  4  x �2 �x 2  6 x  11 � x2  4 x  2 � x3 2 � ( x  3)  2  2 (*) � � b) Bài tập áp dụng Giải các phương trình 1. x  1  x  1 2. 3x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14  4  2 x  x 2 G. ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC. Nhắc lại kiến thức về phương trình đường thẳng 1) Phương trình tổng quát r Đường thẳng đi qua điểm M(x 0;y0) và có vectơ pháp tuyến n  ( A; B) có phương trình tổng quát là: A(x-x0)+B(y-y0) = 0 � Ax+By+C=0 2) Phương trình tham số r Đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0) và có vectơ chỉ phương u  (u1 ; u2 ) có phương trình tham �x  x0  u1t số là: �y  y  u t 0 2 � +Ví dụ 1: Giải phương trình x 3  8  3 12  x 3  10 3 � 1 � x  8  1  3t  �t �3 ) Đặt � điều kiện ( 3 3 � � 12  x  3  t �x 3  8  (1  3t ) 2 (1) �� .Lấy (1)+(2) ta có 20+10t2=10 � t 2  1 � t  1 hoặc t=-1(loại) 3 2 12  x  (3  t ) (2) � Với t = 1 � x3  8  4 � x3  8 � x  2 . Thuật toán nào đã giúp ta nhìn thấy cách đặt ẩn t? Không phải ngẫu nhiên mà tôi trình bày lại vấn đề dường thẳng , một vấn đề tưởng chừng như chẳng liên quan gì đến đại số.Nhưng thực ra “đường thẳng” chính là “tuyệt chiêu” để giải phương trình chứa căn thức.Mấu chốt đó là: B1: Đặt X  x 3  8 và Y  12  x3 Từ đó ta có phương trình đường thẳng: X+3Y = 10 �X  1  3t . �Y  3  t B2:Ta viết lại phương trình X+3Y = 10 theo tham số t: � Lúc này phương trình đã quy về ẩn t và việc giải phương trình này là không khó. +Ví dụ2: Giải phương trình x 3  3 x  2 1 � �x  3  1  2t  t 2 (1) � x  3  1 t Đặt � 3 ( t �1) � � . 3 � x  2  t (2) � x2 t Lấy phương trình (2) trừ pt (1) ta có t3-t2+2t=0 � t  0 Với t=0 � x  2 . Bài tập tự luyện: 1) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x 2  mx  2  2 x  1 (ĐH-CĐ Khối B năm 2006) 2) Giải phương trình 2 x  1  x 2  3 x  1  0 ( x ��), (ĐH-CĐ Khối D năm 2006) 3) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2  2x  8  m  x  2  . (Khối B – 2007) 4) Giải phương trình 2 3 3 x  2  3 6  5 x  8  0 (ĐH năm 2009) 5) Giải phương trình 3x  1  6  x  3x 2  14 x  8  0( x ��) (ĐH Khối B năm 2010) 6) Giải phương trình 3 2  x  6 2  x  4 4  x 2  10  3x( x ��) , (ĐH Khối B năm 2011) IV. KẾT QỦA. - Chuyên đề này có thể áp dụng cho học sinh ôn thi sau này V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM. - Cần đưa thêm nhiều dạng bài tập hơn nữa. - Cập nhật thêm một số vấn đề mới liên quan đến phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. VI. KẾT LUẬN. Giúp học sinh có thêm tài liệu tham khảo về phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. Tài liệu tham khảo + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất bản giáo dục + Các bài giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất bản giáo dục + Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất bản giáo dục + Các đề thi đại học các năm trước Xuân Hưng, ngày tháng năm 2012 Nguyễn Thị Bích Diễm SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Xuân Hưng, ngày tháng PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học : 2011 – 2012 năm 2012 Tên sáng kiến kinh nghiệm : Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Họ và tên tác giả : NGUYỄN THỊ BÍCH DIỄM.Đơn vị (Tổ) : Toán-Tin. Lĩnh vực : Giảng dạy Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn :……………… Phương pháp giáo dục : Lĩnh vực khác :……………………………… 1. Tính mới: - Có giải pháp hoàn toàn mới : - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 2. Hiệu quả: - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 3. Khả năng áp dụng: - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách : Tốt Khá Đạt - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống : Tốt Khá Đạt - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng : Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
- Xem thêm -